ước lượng tham số xác suất thống kê

Chương 5
Ước lượng tham số
1. Phương pháp ước lượng điểm
2. Phương pháp ước lượng bằng
khoảng tin cậy
Giả sử  là biến ngẫu nhiên có dạng phân phối xác suất


 đã biết, nhưng phụ thuộc vào một hay một vài tham
số  chưa biết, chẳng hạn        ;     


   

. Phân phối xác suất của  được xác định nếu ta
tìm được hay ước lượng được giá trị của .
Ngay cả trong trường hợp ta chưa biết gì về phân phối của
, khi đó biết được các tham số đặc trưng của  là rất giá
trị. Vì vậy bài toán đi tìm các ước lượng cho các tham ẩn
của phân phối hoặc ước lượng các tham số đặc trưng của
biến ngẫu nhiên là bài toán rất cần thiết.

§1 Phương pháp ước lượng điểm
(sinh viên tự nghiên cứu)


Bài toán tìm một thống kê 



 


   

 để thay thế
(ước lượng) tham số  chưa biết được gọi là bài toán ước
lượng điểm của .
Do giá trị đúng của  chưa biết nên không thể so sánh 


với  để đánh giá chất lượng của 

, vì vậy người ta đưa
ra các tiêu chuẩn sau.

1. Ước lượng không chệch
Định nghĩa: Thống kê 

được gọi là ước lượng không
chệch của  nếu  

 .

Ví dụ 1:
• 

là ước lượng không chệch của 
• 

và 



là các ước lượng không chệch của 


•  là ước lượng không chệch của .

Ý nghĩa: Từ định nghĩa trên ta có  

    (trung bình
của độ lệch (sai số) giữa ước lượng với giá trị thật bằng 0). Sai
số trung bình bằng 0 được gọi là sai số ngẫu nhiên, ngược lại
gọi là sai số hệ thống. Như vậy 

là ước lượng không chệch
của  khi sai số ước lượng là sai số ngẫu nhiên.
Chú ý rằng 

là ước lượng không chệch của  không có
nghĩa là mọi giá trị của 

đều trùng khít với  mà chỉ có nghĩa
rằng trung bình các giá trị của 

bằng . Từng giá trị của 

có
thể sai lệch rất lớn so với .

2. Ước lượng vững
Định nghĩa: Thống kê 


được gọi là ước lượng vững của
 nếu 

hội tụ theo xác suất đến  khi   . Tức là, với
   bé tùy ý ta luôn có:


 

     

Ví dụ 2: Theo luật số lớn của Trêbưsép và luật số lớn của
Becnulli ta có trung bình mẫu 

là ước lượng vững của
trung bình tổng thể  và tần suất mẫu là ước lượng vững
của tần suất tổng thể .

Chú ý: Trong trường hợp 

là ước lượng không chệch của 
thì để tìm ước lượng vững có thể sử dụng kết quả sau:
Nếu 

là ước lượng không chệch của  và 

 

 

thì 

là ước lượng vững của 
3. Ước lượng hiệu quả
Định nghĩa: Thống kê 

được gọi là ước lượng hiệu quả
của  nếu nó là ước lượng không chệch và có phương sai
bé nhất trong các ước lượng không chệch của .
Nếu hàm mật độ xác suất của  thỏa mãn một số điều
kiện nhất định thì ta có bất đẳng thức Crame-Rao:
 




    




 

 
Và 

là ước lượng hiệu quả của  khi:
 





   



Ví dụ 3: Nếu     

thì 

là ước lượng hiệu quả
của .
§2 Phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy


1. Bài toán ước lượng khoảng
Cho xác suất  , từ mẫu ngẫu nhiên 

 

   


tìm các thống kê 



 

   


 



 

   


sao cho:
 

   

   
Ta gọi:
   : độ tin cậy của ước lượng,
 

 

: khoảng tin cậy của ước lượng,
 

 

: độ dài khoảng tin cậy.
2. Khoảng tin cậy cho kỳ vọng toán của biến ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn

a)Trường hợp đã biết σ
2
:
+) Lập mẫu kích thước :   

 

   

và chọn
thống kê  


 

.
+) Với mỗi cặp số số 

 

  sao cho 

 

 , ta
tìm được hai giá trị tới hạn chuẩn tương ứng: 


 và




sao cho
   


   

,    


 


từ đó:  


   


   
  





 


 


   

  







   







   

Vậy, với độ tin cậy 1 – α khoảng tin cậy cần tìm cho μ là:
 
















.
Trong thực hành người ta thường sử dụng các dạng khoảng
tin cậy sau:
 Khoảng tin cậy đối xứng (

 




):
 


















 Khoảng tin cậy bên phải (

  

 ):
 








 Khoảng tin cậy bên trái (

  

 ):
 








Chú ý:
+) Ở khoảng tin cậy đối xứng, ta gọi  





là độ
chính xác của ước lượng, khi đó độ dài của khoảng
tin cậy đối xứng là     





.

+) Bài toán: Biết 1 – α, 

tìm kích thước mẫu tối thiểu
cần điều tra sao cho   


Từ công thức khoảng tin cậy, ta có:  









 
(kí hiệu  : phần nguyên của , là số nguyên lớn nhất
không vượt quá ; [2,45] = 2).
Ví dụ 1: Trọng lượng một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên
phân phối theo quy luật chuẩn với độ lệch chuẩn là 1 gam.
Cân thử 25 sản phẩm loại này thu được kết quả sau:



Với độ tin cậy 0,95 hãy:
a) Tìm khoảng tin cậy đối xứng của trọng lượng trung bình
của loại sản phẩm nói trên.
b) Ước lượng trọng lượng trung bình tối đa của loại sản
phẩm nói trên.
c) Nếu yêu cầu độ chính xác của ước lượng không vượt
quá 0,1 thì phải điều tra một mẫu kích thước bằng bao
nhiêu?
Trọng lượng (gam)
18 19 20 21
Số sản phẩm tương ứng
3 5 15 2
b) Trường hợp chưa biết phương sai 



Ta thường dùng các khoảng tin cậy sau:

 Khoảng tin cậy đối xứng:
 




















 Khoảng tin cậy bên phải:
 









 Khoảng tin cậy bên trái:
 








Chú ý: Với cỡ mẫu   , khi đó do phân phối Student xấp
xỉ với phân phối Chuẩn hóa nên có thể dùng các giá trị phân
phối chuẩn hóa để thay thế cho các giá trị của phân phối
Student trong các khoảng tin cậy ở trên.
 Khoảng tin cậy đối xứng:


















 Khoảng tin cậy bên phải:








 Khoảng tin cậy bên trái:








Bài toán: Biết    

tìm kích thước mẫu cần điều tra ,
sao cho   


.

Giải.
Giả sử hiện có một mẫu cỡ 

. Khi đó, ta có:
 









 

trong đó 









 






với 











.
Ví dụ 2: Lượng xăng hao phí của một ôtô đi từ A đến B sau
30 lần chạy, kết quả cho trong bảng:





Giả sử lượng xăng hao phí này là biến ngẫu nhiên phân phối
chuẩn. Với độ tin cậy 95%.
a) Ước lượng lượng xăng hao phí trung bình của ôtô đi từ A
đến B.
b) Ước lượng lượng xăng hao phí trung bình tối thiểu của

ôtô đi từ A đến B.
c) Nếu muốn ước lượng lượng xăng hao phí với độ chính xác
0,05 lít thì cần chạy thử thêm bao nhiêu chuyến nữa.
Lượng xăng
hao phí (lít)
9,6
–
9,8
9,8
–
10
10
–
10,2
10,2
–
10,4
10,4
–
10,6
Số lần
tương ứng
3 5 10 8 4
3. Khoảng tin cậy cho phương sai của bnn phân phối
chuẩn
a)Trường hợp đã biết 
 Khoảng tin cậy :




















 Khoảng tin cậy bên phải:







 Khoảng tin cậy bên trái:









b) Trường hợp chưa biết 
Ta thường dùng các khoảng tin cậy sau:
 Khoảng tin cậy:

  







  








 Khoảng tin cậy bên phải:


  






 Khoảng tin cậy bên trái:
 
  






Ví dụ 3: Mức hao phí nguyên liệu cho một đơn vị sản
phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Để ước lượng
mức độ phân tán của mức hao phí này người ta cân thử
25 sản phẩm và thu được kết quả sau:




Với độ tin cậy 90% hãy tìm khoảng tin cậy cho độ phân
tán của mức hao phí nguyên liệu cho một đơn vị sản
phẩm trong hai trường hợp sau:
a) Biết μ = 20
b) Chưa biết μ

Hao phí nguyên liệu (gam)
19,5 20 20,5
Số sản phẩm tương ứng

5 18 2
4. Khoảng tin cậy cho tỉ lệ
Giả sử tỉ lệ  của tổng thể chưa biết, với độ tin cậy
   tìm khoảng tin cậy cho .
Với cỡ mẫu , tần suất mẫu  thỏa mãn    và
    , ta có:

  
   




    
   




   
(với 

 

 
Ta thường dùng các khoảng tin cậy sau:
 Khoảng tin cậy đối xứng:
  
 





  






 Khoảng tin cậy bên phải:
  
 



 
 Khoảng tin cậy bên trái:
   





Bài toán: Biết    

, tìm cỡ mẫu tối thiểu sao cho
  

.

Giải.
Ta có:  









Ví dụ 4: Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm do một máy
sản xuất thấy có 20 phế phẩm. Với độ tin cậy 0,95 hãy
ước lượng:
a) Tỷ lệ phế phẩm của máy bằng khoảng tin cậy đối
xứng.
b) Tỷ lệ phế phẩm tối đa của máy.