BÀI TẬP LỚN MÔN XỬ LÝ TÍN HIỆU NÂNG CAO Tìm hiểu mô hình Markov ẩn

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
BÀI TẬP LỚN MÔN
XỬ LÝ TÍN HIỆU NÂNG CAO
Đề tài: Tìm hiểu mô hình Markov ẩn

Người hướng dẫn: TS. NGUYỄN NGỌC MINH
Nhóm học viên : Nguyễn Hữu Hưng
Đinh Trọng Toàn
Nguyễn Nam Long
Lê Công Hòa
Lớp : M12CQDT02-B
HÀ NỘI, 4/2013
Mô hình Markov ẩn Xử lý tín hiệu số nâng
cao
MỤC LỤC
MỤC LỤC 2
DANH MỤC HÌNH 2
LỜI MỞ ĐẦU 3
I. Tổng quan về mô hình Markov ẩn 4
II. Các thuật toán sử dụng trong mô hình Markov ẩn 6
KẾT LUẬN 18
DANH MỤC HÌNH
Hình II-1 Sơ đồ khối hệ thống nhận dạng 7
Hình II-2 Minh họa ví dụ 1- a 7
Hình II-3 Minh họa ví dụ 1 - b 8
Hình II-4 Mô hình 2 –state và 3-state 9
Hình II-5 Mô hình Left – Righ 9
Hình II-6 Mô hình Bakis 10
Hình II-7 Mô hình tuyến tính 10
Hình II-8 Sự tiến hóa của mô hình Markov 10
Hình II-9 Biểu diễn trạng thái bằng sơ đồ mắt lưới 11

Hình II-10 Thuật toán tiến 12
Hình II-11Thuật toán lùi 13
Hình II-12 Ước lượng lại Baum - Welch 16
2
Mô hình Markov ẩn Xử lý tín hiệu số nâng
cao
LỜI MỞ ĐẦU
Mô hình Markov ẩn (Hidden Markov Model - HMM) là mô hình thống kê trong
đó hệ thống được mô hình hóa được như là một quá trình Markov với các tham số
không biết trước và nhiệm vụ là xác định các tham số ẩn từ các tham số quan
sát được, dựa trên sự thừa nhận này. Các tham số của mô hình được rút ra sau đó có
thể sử dụng để thực hiện các phân tích kế tiếp, ví dụ cho các ứng dụng nhận dạng
mẫu.
Trong một mô hình Markov điển hình, trạng thái được quan sát trực tiếp bởi
người quan sát, và vì vậy các xác suất chuyển tiếp trạng thái là các tham số duy
nhất. Mô hình Markov ẩn thêm vào các đầu ra: mỗi trạng thái có xác suất phân bổ
trên các biểu hiện đầu ra có thể. Vì vậy, nhìn vào dãy của các biểu hiện được sinh ra
bởi HMM không trực tiếp chỉ ra dãy các trạng thái.
Đây là một mô hình toán thống kê có ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực nhận
dạng giọng nói, lĩnh vực sinh học như nhận dạng gene hoặc phân loại protein; xử lý
tín hiệu, xử lý hình ảnh và các ứng dụng khác liên quan đến chuỗi chuyển tiếp hoặc
kết hợp các thành phần, dữ kiện. Trong lĩnh vực điện, mô hình Markov được sử
dụng như là 1 công cụ dự báo giá điện năng với các dữ liệu liên quan. Chính vì được
áp dụng trong nhiều lĩnh vực đặc biệt là trong xử lý tín hiệu số nên chúng em chọn
đề tài về “mô hình Markov ẩn” làm hướng nghiên cứu.
Mô hình Markov ẩn Xử lý tín hiệu số nâng
cao
I. Tổng quan về mô hình Markov ẩn
1.1 Khái niệm về mô hình Markov ẩn
Mô hình Markov ẩn là mô hình thống kê trong đó hệ thống được mô hình hóa

được cho là một quá trình Markov với các tham số không biết trước và nhiệm vụ là
xác định các tham số ẩn từ các tham số quan sát được. Các tham số của mô hình
được rút ra sau đó có thể được sử dụng để thực hiện các phân tích kế tiếp, ví dụ ứng
dụng cho nhận dạng mẫu.
Trong một mô hình Markov điển hình, trạng thái được quan sát được từ người
quan sát, vì vậy các xác suất chuyển tiếp trạng thái là các tham số duy nhất. Mô hình
Markov ẩn thêm vào các đầu ra: mỗi trạng thái có xác suất phân bổ trên các biểu
hiện có thể. Vì vậy, nhìn vào dãy các biểu hiện được sinh ra bởi HMM không trực
tiếp chỉ ra dãy các trạng thái.
Nhắc lại Quá trình Markov:
Trong lí thuyết xác suất, quá trình Markov là một quá trình mang tính ngẫu
nhiên (stochastic process) với đặc tính như sau: trạng thái c
k
tại thời điểm k là một
giá trị trong tập hữu hạn {1,…,M}. Với giả thiết rằng quá trình chỉ diễn ra từ thời
điểm 0 đến thời điểm N và rằng trạng thái đầu tiên và trạng thái cuối cùng đã biết,
chuỗi trạng thái sẽ được biểu diễn bởi 1 vecto hữu hạn C={c
0
,…,c
N
}. Nếu P(c
k
|
c
0
,c
1
, ,c
(k − 1)
) biểu diễn xác suất (khả năng xảy ra) của trạng thái c

k
tại thời điểm k
khi đã qua mọi trạng thái cho đến (k-1). Giả sử trong thời điểm đó c
k
chỉ phụ thuộc
vào trạng thái trước đó c
k-1
và độc lập với các trạng thái trước khác. Quá trình đó
gọi là quá trình Markov bậc một(first order Markov process). Có nghĩa là xác suất
để xảy ra trạng thái c
k
tại thời điểm k, khi biết trước mọi trạng thái cho đến thời
điểm k-1 chỉ phụ thuộc vào trạng thái trước, ví dụ trạng thái ck-1 tại thời điểm k-1.
Khi đó ta có công thức:
P(c
k
| c
0
,c
1
, ,c
(k − 1)
)= P(c
k
| c
(k − 1)
)
Nói tóm lại một hệ có thuộc tính Markov được gọi là quá trình Markov (bậc1).
Như vậy, với quá trình Markov bậc n:
P(c

k
| c
0
,c
1
, ,c
(k − 1)
)= P(c
k
| c
k-n
,c
k-n-1
,…,c
(k − 1)
)
4
Mô hình Markov ẩn Xử lý tín hiệu số nâng
cao
Nói chung với giả thuật Viterbi quá trình xảy ra bên dưới được xem là một quá
trình Markov:
 Trạng thái hữu hạn nghĩa là số m là hữu hạn.
 Thời gian rời rạc, nghĩa là việc chuyển từ trạng thái này sang trạng thái
khác cùng mất một đơn vị thời gian.
 Quan sát không tốn bộ nhớ, nghĩa là chuỗi các quan sát có xác suất chỉ
phụ thuộc vào trạng thái ngay trước đó (nên không cần lưu bộ nhớ nhiều).
Mô hình Markov ẩn được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như:
• Nhận dạng tiếng nói.
• Nhận dạng chữ viết tay.
• Xử lý ngôn ngữ thống kê.

• Dịch máy.
• Tin sinh học:
- Khớp xấp xỉ nhiều chuỗi.
- Tìm Motif.
- Tìm kiếm tương tự.
1.2Minh họa một quá trình Markov ẩn đơn giản
Mô hình Markov thong thường được tính toán trực tiếp trên các trạng thái, tuy nhiên
mô hình Markov ẩn không tính toán kết quả trực tiếp trên các trạng thái đó mà phải
thông qua một sự kiện trạng thái khác gọi là các sự kiện trạng thái quan sát.
Một ví dụ đơn giản về quá trình Markov ẩn là về bài toán dự báo thời tiết, làm sao
dự báo được thời tiết mà không trực tiếp quan sát về thời tiết đó mà chỉ biết qua một sự
kiện khác.
Ví dụ tôi ở trong phòng kín nghiên cứu khoa học, không tiếp xúc với bên ngoài đã
nhiều ngày, bây giờ muốn biết thời tiết bên ngoài nắng, mưa hay mây mù thì phải làm
sao? khi mà chỉ biết dữ kiện duy nhất là người phục vụ đem cơm cho tôi có mang theo
dù hay là không mang theo dù? nếu người đó mang theo dù khi đem cơm cho tôi thì tôi
đoán bên ngoài chắc có mưa, đó chỉ là dự đoán, thực tế trời nắng họ cũng mang theo dù
vậy nhưng xác suất thấp hơn. Ở đây tôi muốn minh họa rằng: thời tiết bên ngoài là ẩn
với tôi, tôi không biết gì thời tiết bên ngoài, tôi chỉ biết được người mang cơm cho tôi
có mang dù hay không mang dù?
Quan sát người phục vụ có mang theo dù hay không chính là dữ kiện mà tôi quan sát
được. Còn dữ kiện thời tiết là Ẩn, dựa vào dữ kiện quan sát mang dù hay không mang
5
Mô hình Markov ẩn Xử lý tín hiệu số nâng
cao
dù để đoán xem thời tiết ẩn bên ngoài như thế nào? Đây chính là ý cơ bản nhất tại sao
gọi là Markov ẩn. Ma trận quan sát việc mang dù hay không mang dù được biểu diễn
như sau:
Bảng I-1 Ma trận quan sát – ví dụ về thời tiết
Thời tiết Có mang dù Không mang dù

Nắng 0.1 0.9
Mưa 0.8 0.2
Mây mù 0.3 0.7
Ma trận trên gọi là ma trận quan sát, thường được ký hiệu là B, biểu diễn xác
suất quan sát trực tiếp được trong một quá trình Markov ẩn.
1.3 Các thông số của mô hình Markov ẩn
Một mô hình Markov ẩn bao gồm các thông số như:
• Số trạng thái ‘state’ N có trong mô hình và các trạng thái này là ẩn. Các
trạng thái này sẽ được biểu thị tương ứng với giá trị S=(S1, …., SN) gọi
là tập tất cả các trạng thái ẩn.
• M, Số symbol trên mỗi dãy quan sát trong một ‘State’. Các symbol này
sẽ được biểu thị tương ứng bởi các giá trị V=(V¬1, …, VM) gọi là tập
tất cả các ký hiệu quan sát được.
• A= [aij] xác suất chuyển trạng. Trong trường hợp đặc biệt, khi các trạng
thái là như nhau trong một bước đơn, ta có aij > 0 đối với tất cả các giá
trị i và j. Trong một vài loại hình khác của HMM, ta chi aij = 0 cho một
vài căp (i,j).
• B=[bij] xác suất nhả ký hiệu.
• p= [pi] xác suất khởi trạng
• qt - Trạng thái ở thời điểm t.
• Ot= (ký hiệu) Quan sát tại thời điểm t.
II. Các thuật toán sử dụng trong mô hình Markov ẩn
2.1 Mô hình Markov ẩn trong lý thuyết thông tin nhận dạng
Sơ đồ khối của hệ thống nhận dạng như hình 2-1.
6
Mô hình Markov ẩn Xử lý tín hiệu số nâng
cao
Hình II-1 Sơ đồ khối hệ thống nhận dạng
Nhận dạng là tìm cách xác định được khả năng xảy ra lớn nhất của chuỗi ngôn
ngữ,W, khi cho trước căn cứ âm A, Công thức:

)/(max)/( AWPAWP
W
=
∧
• Theo luật Bayes:
)(
)()/(
)/(
AP
WPWAP
AWP
=
• Mô hình HMM quan tâm đến P(W|A)
• Kí hiệu:
A  O
W 
λ
P(A/W)  P(O/
λ
)
Ví dụ1:
Hình II-2 Minh họa ví dụ 1- a
7
Mô hình Markov ẩn Xử lý tín hiệu số nâng
cao
• Xét 3 chén, mỗi chén trộn giữa các các “đá trạng thái” 1 và 2.
• Phân nhỏ chén thứ i thành 2 phần tỉ lệ a
i1
, a
i2

, khi đó a
i1
+ a
i2
=1.
• Xét 2 bình, mỗi bình chứa các quả bóng đen, bóng trắng.
• Chia bình thứ i thành 2 phần tỉ lệ b
iB
, b
iW
, với
• b
iB
+ b
iW
=1
• Vecto tham số cho mô hình này là:
λ
= {a
01
,a
02
,a
11
,a
12
,a
21
,a
22

,b
1
(B),b
1
(W ),b
2
(B),b
2
(W )}
Hình II-3 Minh họa ví dụ 1 - b
Chuỗi quan sát : O={B,W,B,W,W,B}
Chuỗi trạng thái: Q={1,1,2,1,2,1}
Mục đích: cho mô hình λ và chuỗi quan sát O, có thể làm thể nào để chuỗi trạng
thái Q được xác định.
Các yếu tố của mô hình Markov ẩn rời rạc
• N : số trạng thái trong mô hình
Các trạng thái, s= {s
1
,s
2
,…,s
N
}
Trạng thái ở thời điểm t, q
t

∈
s
• M: số kí hiệu quan sát (quan sát rời rạc)
Tập các kí hiệu quan sát v={v

1
,v
2
,…,v
M
}
Kí hiệu quan sát ở thời điểm t, o
t
∈
v
• A= {a
ij
}: tập phân phối xác suất chuyển trạng thái
a
ij
= P(q
t+1
= s
j
|q
t
= s
i
), 1 ≤ i,j ≤ N
• B = {b
j
(k)}: phân bổ xác suất kí hiệu quan sát ở trạng thái j:
b
j
(k)= P(v

k
a
t
t|q
t
= s
j
), 1 ≤ j ≤ N, 1 ≤ k ≤ M
• π = {π
i
}: phân bổ xác suất trạng thái khởi đầu
8
Mô hình Markov ẩn Xử lý tín hiệu số nâng
cao
π
i
= P(q
1
= s
i
), 1 ≤ i ≤ N
Một mô hình HMM được viết dưới dạng đặc trưng λ = {A, B,π}
Ví dụ 2:
π={a
01
,a
02
} A=







2221
1211
aa
aa
và B=






)()(
)()(
22
11
WbBb
WbBb
 Một số mô hình thông dụng:
Hình II-5 Mô hình Left – Righ
Hình 2-5: Mô hình Left – Righ
9
Hình II-4 Mô hình 2 –state và 3-state
Mô hình Markov ẩn Xử lý tín hiệu số nâng
cao
Hình II-6 Mô hình Bakis
Hình II-7 Mô hình tuyến tính

Tạo chuỗi quan sát trong HMM:
 Lựa chọn một trạng thái khởi đầu, q
1
=s
i
, dựa trên phân bổ trạng thái khởi đầu, π.
 Cho t chạy từ 1  T:
• Chọn o
t
=v
k
theo sự phân bổ xác suất kí hiệu trong trạng thái s
i
, b
i
(k).
• Chuyển tiếp đến trạng thái mới q
t+1
=s
j
theo sự phân bổ xác suất sự chuyển
tiếp trạng thái cho trạng thái s
i
, a
ij
.
 Tăng t lên 1, quay lại bước 2 nếu t≤T; ngược lại thì kết thúc.
Hình II-8 Sự tiến hóa của mô hình Markov
 Biểu diễn sơ đồ trạng thái bằng sơ đồ mắt lưới(trellis)
10

Mô hình Markov ẩn Xử lý tín hiệu số nâng
cao
Hình II-9 Biểu diễn trạng thái bằng sơ đồ mắt lưới
Vấn đề cơ bản của HMM:
Tính điểm (Scoring) : cho một chuỗi quan sát O = {o
1
,o
2
, ,o
T
} và một mô hình
λ = {A, B,π}, làm thế nào chúng ta có thể tính toán xác suất có điều kiện P(O | λ)
(khả năng xảy ra của chuỗi quan sát)?
 Dùng thuật toán tiến lùi (the forward-backwark algorithm)
So khớp (Matching): cho một chuỗi quan sát O = {o
1
,o
2
, ,o
T
}, làm thế nào
chúng ra có thể lựa chọn chuỗi trạng thái Q = {q
1
,q
2
, ,q
T
} để nó tối ưu theo một số
hướng.
 thuật toán Viterbi

Huấn luyện (Training): làm thế nào chúng ta có thể điều chỉnh các tham số của
mô hình λ = {A,B,π} để đạt được P(O | λ) lớn nhất?
Thủ tục Baum-Wetch
Tính toán P(O|λ)
P(O|λ)=
∑
allQ
QOP )|,(
λ
P(O, Q |λ)= P(O|Q ,λ)P(Q |λ)
Xét chuỗi trạng thái cố định Q = q
1
q
2
q
T
P(O|Q ,λ)= b
q1
(o
1
)b
q2
(o
2
) b
qT
(o
T
)
P(Q |λ)= π

q1
a
q1q2
a
q2q3
a
qT −1 qT
Vì vậy:
11
Mô hình Markov ẩn Xử lý tín hiệu số nâng
cao
P(O|λ)=
∑
Π
qT, , q2q1,
T12221111
) (o b a )(ob )a(ob
qT qTqT -q qqqq
Số phép tính cấn làm ≈ 2T.N
T
(có N
T
chuỗi như vậy)
Ví dụ: N=5, T=100  2.100.5
100
≈ 10
72
phép tính.
2.2 Thuật toán tiến – thuật toán lùi:
 Toán tử tiến α

t
(t) là xác suất chuỗi quan sát từng phần tiến đến thời điểm t
và trạng thái s
i
ở thời điểm t với điều kiện mô hình đã cho:
α
t
(i)= P(o
1
o
2
o
t
,q
t
= s
i
|λ)
 Dễ dàng thấy rằng:
 α
1
(i)= π
i
b
i
(o
1
), 1 ≤ i ≤ N
 P(O|λ)=
∑

=
N
1i
(i)
T
α
• Theo phương pháp quy nạp
α
t+1
(j)=[
∑
=
N
i
t
1
ij
a (i)
α
] b
j
(o
t+1
), 1≤ t≤ T-1, 1 ≤ j ≤ N
Số phép tính: N
2
T.
Ví dụ: N=5,T=100,  5
2
.100 phép tính,( thay vì 10

72
)
 Diễn tả thuật toán tiến:
Hình II-10 Thuật toán tiến
 Thuật toán lùi:
o Tương tự để xác định toán tử lùi, β
t
(i), khi khả năng xảy ra của
chuỗi quan sát cục bộ từ thời điểm t+1 đến kết thúc, biết trước
trạng thái s
i
ở thời điểm t và với điều kiện mô hình đã cho
β
t
(i)= P(o
t+1
o
t+2
o
T
|q
t
= s
i
,λ)
o Có thể dễ dàng nhận ra rằng
β
T
(i)=1, 1 ≤ i ≤ N
và P(O|λ)=

∑
=
Π
N
1i
11ii
(i))ß(ob
12
Mô hình Markov ẩn Xử lý tín hiệu số nâng
cao
o Theo phương pháp quy nạp
β
t
(i)=
∑
=
N
1j
1+t1+tj
(j))ß(oba
ij
(t=T−1,T−2, ,1; 1 ≤ i≤N)
 Diễn tả thủ tục lùi:
Hình II-11Thuật toán lùi
 Tìm chuỗi trạng thái tối ưu:
+ Một tiêu chuẩn để lựa chọn trạng thái tối ưu q
t
là cực đại hóa số
trạng thái đúng.
+ Toán tử

)(i
t
γ
là xác suất của hệ thống ở trạng thái s
i
tại thời điểm
t, với điều kiện cho chuỗi quan sát O và mô hình
λ
đã cho:
),|()(
λγ
OsqPi
it
==
∑
=
=
N
t
t
i
1
1)(
γ
,
t
∀
+ Chú ý rằng nó có thể biểu diễn dưới dạng sau
)|(
)()(

)(
λ
βα
γ
OP
ii
i
tt
t
=
+ Tuy nhiên với tiêu chuẩn tối ưu riêng phần thì xảy ra vấn đề là
chuỗi trạng thái tối ưu có thể không tuân theo những ràng buộc chuyển
tiếp trạng thái.
+ Một tiêu chuẩn tối ưu khác là cực đại hóa P(Q,O|
λ
). Điều này có
thể tìm thấy bằng thuật toán Viterbi.
+ Với
)(i
t
δ
là xác suất xảy ra cao nhất trên một đường dẫn tính với
t lần quan sát đầu tiên:
)| ,,, ,,(max)(
211121
, ,,
121
λδ
ttt
qqq

t
ooosqqqqPi
t
==
−
−
+ Theo phương pháp quy nạp:
)(])([max)(
11
++
=
tiijt
i
t
obaii
δδ
13
Mô hình Markov ẩn Xử lý tín hiệu số nâng
cao
+ Để thu được chuỗi trạng thái, ta cần theo dõi chuỗi trạng thái mà
cho đường dẫn tốt nhất ở thời điểm t đến trạng thái s
i
. Chúng ta thực hiện
điều này trong một mảng
)(i
t
ψ
.
2.3 Thuật toán Viterbi
+ Khởi đầu:

)()(
1 iii
obi
πδ
=
0)(
1
=
i
ψ
+ Đệ quy:
Ttobaiij
tjjt
Ni
t
≤≤=
−
≤≤
2),(])([max)(
1
1
δδ
Ttaij
ijt
Ni
t
≤≤=
−
≤≤
2],)([maxarg)(

1
1
δψ
+ Kết thúc:

)]([max
1
*
iP
T
Ni
δ
≤≤
=
)]([maxarg
1
*
i
T
Ni
T
q
δ
≤≤
=
+ Quay lui tìm đường dẫn( chuỗi trạng thái) tối ưu
1, ,2,1),(
*
1
1

*
−−==
+
+
tTt
qq
t
t
T
ψ
+ Số phép tính
TN
2
≈
+ Ví dụ thuật toán VIterbi:
 Ví dụ thuật toán
Viterbi(tt)
14
Mô hình Markov ẩn Xử lý tín hiệu số nâng
cao
  Ví dụ so khớp sử dụng thuật toán tiến-lùi:
 Ước lượng lại với thuật toán Baum-Welch
Ước lượng lại với thuật toán Baum-Welch sử dụng EM để xác định tham số ML:
Xét toán tử
)(i
t
ξ
là xác suất của hệ thống ở trạng thái i tại thời điểm t và trạng
thái j tại thời điểm t+1 với điều kiện có chuỗi quan sát O và mô hình Markov ẩn
λ

.

),|,(),(
1
λξ
OsqsqPji
jtitt
===
+
 Khi đó
)|(
)()()(
),(
11
λ
βα
ξ
OP
iobai
ji
ttjijt
t
++
=
15
Mô hình Markov ẩn Xử lý tín hiệu số nâng
cao
∑
=
=

N
j
tt
jii
1
),()(
ξγ
 Kết hợp
)(i
t
γ
và
),( ji
t
ξ
chúng ta được:

∑
−
=
1
1
)(
T
t
t
i
γ
= số chuyển tiếp từ trạng thái s
i


∑
−
=
1
1
),(
T
t
t
ji
ξ
= số chuyển tiếp từ trạng thái s
i
tới s
j
Thủ tục ước lượng lại Baum-Welch
Hình II-12 Ước lượng lại Baum - Welch
Các biểu thức ước lượng lại với thuật toán Baum-Welch
•
)(
1
i
γπ
=
•
∑
∑
−
=

−
=
=
1
1
1
1
)(
),(
T
t
t
T
t
t
ij
i
ji
a
γ
ξ
•
∑
∑
=
==
=
T
t
t

T
vot
t
ij
j
j
b
kt
1
,1
)(
)(
γ
γ
Nếu
),,(
πλ
BA
là mô hình gốc và
),,(
πλ
BA
là mô hình ước lượng lại, khi đó ta
có thể chứng minh:
16
Mô hình Markov ẩn Xử lý tín hiệu số nâng
cao
o Mô hình gốc
λ
xác định điểm tới hạn của hàm có khả năng

xảy ra, trong trường hợp
λ
=
λ
. Hoặc:
o Mô hình
λ
thích hợp hơn
λ
trong điều kiện
)|()|(
λλ
OPOP
>
Chúng ta có thể tăng xác suất chuỗi quan sát O mà đã quan sát được từ mô hình
nếu sử dụng lặp lại
λ
trong không gian
λ
và lặp lại việc ước lượng lại cho đến khi
một số điểm tới hạn đạt được. Mô hình kết quả thu được gọi là mô hình Markov ẩn
có khả năng xảy ra lớn nhất.
17
Mô hình Markov ẩn Xử lý tín hiệu số nâng
cao
KẾT LUẬN
Mô hình Markov ẩn được ứng dụng nhiều trong lĩnh vực nhận dạng giọng nói,
trong nhiều lĩnh vực như sinh học, điện, điện tử, xử lý tín hệu số, vv vv
Đặc biệt trong khuôn khổ phạm vi lĩnh vực xử lý tín hiệu số, mô hình Markov ẩn
được ứng dụng nhiều trong việc xây dựng các hệ thống xử lý hình ảnh, âm thanh, trí

tuệ nhân tạo. Vì thế, việc tìm hiểu và nghiên cứu mô hình Markov ẩn có vai trò trong
việc nắm bắt được lý thuyết cũng như hoạt động thực tế của những hệ thống đó.
Do thời gian nghiên cứu có hạn cũng như kiến thức còn hạn chế, đề tài không
tránh khỏi sai sót, vì vậy chúng em rất mong có sự cảm thông và góp ý của thầy để
phát triển đề tài tốt hơn nữa.
18