VẬT lý đại CƯƠNG tập 2 điện học, CHƯƠNG 1 TRƯỜNG TĨNH điện

TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN
BÀI 1: TƯƠNG TÁC ĐIỆN. ĐỊNH LUẬT COULOMB
1. TƯƠNG TÁC ĐIỆN. ĐIỆN TÍCH
a. Các khái niệm cơ bản: Từ xa xưa, người ta đã biết hiện tượng một số
vật sau khi được cọ xát với vật khác thì nó hút được các vật nhẹ như giấy vụn,
lông chim … và gọi đó là tương tác điện. Các vật gây ra tương tác điện được gọi
là vật nhiễm điện. Đến cuối thế kỷ XVI lần đầu tiên các hiện tượng điện được
nghiên cứu một cách hệ thống bởi nhà bác học Gin-be (Gilbert, 1540 – 1603).
Từ đó các khái niệm về hiện tượng điện được hình thành.
Vật nhiễm điện là vật có chứa các điện tích.
Điện tích là một trong những thuộc tính cơ bản của vật chất.
Trong tự nhiên tồn tại hai loại điện tích dương và âm.
Bình thường, vật trung hòa điện, tức là tổng các điện tích dương bằng
tổng các điện tích âm, gọi là vật không mang điện hay vật trung hòa điện. Nếu
vì lý do nào đó, tổng đại số các điện tích trong vật khác không, thì nó trở thành
vật nhiễm điện.
Năm 1886, Stoney đưa ra khái niệm điện tích nguyên tố, đó là vật nhiễm
điện được coi là nhỏ nhất trong tự nhiên. Nghĩa là Điện tích chứa trong một vật
bất kỳ luôn bằng số nguyên lần điện tích nguyên tố.
Điện tích nguyên tố âm là electron có điện tích: -e =-1,6.10
-19
C
và khối lượng: m
e
=9,1.10
-31
kg
Điện tích nguyên tố dương là prôtôn có điện tích: +e =+1,6.10
-19
C
và khối lượng: m

p
= 6,67.10
-27
kg.
Giữa thế kỷ XX, các hạt quark có điện tích
e
3
±
hoặc
2e
3
±
được phát hiện.
Nhưng vì các quark không tồn tại một cách riêng biệt nên chúng ta không chọn
chúng làm điện tích nguyên tố.
b. Định luật bảo toàn điện tích: Tổng đại số các điện tích trong một vật
hay một hệ vật cô lập là không đổi.
Nói cách khác, điện tích không sinh ra hoặc mất đi mà chỉ chuyển từ vật
này sang vật khác hoặc từ phần này đến phần khác của một vật.
Trị tuyệt đối của điện tích gọi là điện lượng.
Trong hệ SI, đơn vị đo điện tích và điện lượng là Coulomb (C) để ghi công nhà
bác học Pháp André Marie Coulomb (1775 – 1836).
c. Hiện tượng nhiễm điện: Một vật thể nhiễm điện khi nó cọ xát với vật
khác, hoặc tiếp xúc với vật đã nhiễm điện, hoặc đưa đến gần vật khác đã nhiễm
điện.
Khi tiếp xúc hay qua xát hai vật trung hòa điện với nhau, các electron có
thể bị “đánh bật” khỏi nguyên tử để di chuyển từ vật này qua vật kia, khiến cả
hai trở nên nhiễm điện. Vật thừa electron nhiễm điện âm, vật thiếu electron
nhiễm điện dương.
Khi cho vật A chưa nhiễm điện tiếp xúc với vật B đã nhiễm điện, các điện

tích sẽ “chạy” từ B sang A cho đến khi điện thế của hai vật cân bằng.
Khi đưa một vật chưa nhiễm điện đến gần một vật khác đã nhiễm điện thì
xảy ra hiện tượng nhiễm điện do hưởng ứng. Chúng ta sẽ xét kỹ ở chương 2.
2. ĐỊNH LUẬT COULOMB
Coulumb nhận thấy lực tương tác giữa hai vật nhiễm điện không chỉ phụ
thuộc vào vị trí số và dấu điện tích của chúng, vào khoảng cách và môi trường
giữa chúng mà còn phụ thuộc hình dạng, kích thước của chúng nữa. Để loại trừ
các yếu tố hình dạng, kích thước, năm 1785, bằng thực nghiệm ông thiết lập
biểu thức lực tương tác giữa hai điện tích điểm là những vật tích điện có kích
thước rất nhỏ so với khoảng cách mà ta khảo sát.
a. Phát biểu: Lực tương tác giữa hai điện tích điểm nằm yên trong chân
không có giá nằm trên đường thẳng nối hai điện tích đó; là lực đẩy nếu chúng
cùng dấu, là lực hút nếu chúng trái dấu; độ lớn tỉ lệ với tích độ lớn của hai điện
tích và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng.
1 2
2
q .q
F k
r
=
(1.1)
Hệ số tỷ lệ ứng với hệ SI:
9 2 2
0
1
k 9.10 (Nm / C )
4 .
= =
πε
12

0
8,85.10 (F / m)
−
ε =
là hằng số điện.
Trong chất điện môi đồng nhất, đẳng hướng, hằng số điện môi
ε
, lực
tương tác điện giảm
ε
lần so với trong chân không
`
1 2
2
q .q
k
F
r
=
ε
(1.2)
Ở chân không và không khí
ε
= 1. Trong các chất điện môi
ε
>1.
Chú ý: Tuy định luật Coulumb chỉ áp dụng cho các điện tích điểm, nhưng
do tính đối xứng, nó cũng áp dụng được cho các khối cầu hoặc mặt cầu điện tích
điện đều, ở khá xa nhau để loại trừ hiện tượng điện hưởng, song phải coi điện
tích trên mỗi vật tập trung tại tâm của nó.

b. Biểu thức vectơ: Xét hai điện tích điểm q
1
, q
2
cách nhau một đoạn r
trong môi trường có hằng số điện môi
ε
. Gọi
12
r
uur
là
vectơ khoảng cách hướng từ q
1
đến q
2
thì lực
12
F
uur
do q
1
tác dụng lên q
2
,
21
F
uur
do q
2

tác dụng lên q
1
là:

1 2
12 12
3
12
q .q
k
F r
r
=
ε
uur uur
(1.3a)
1 2
21 21
3
21
q .q
k
F r
r
=
ε
uur uur
(1.3b)
3. NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT CÁC LỰC ĐIỆN
Xét hệ điện tích điểm rời rạc. Gọi các lực

1
F
ur
,
2
F
uur
…
n
F
uur
lần lượt do từng điện
tích q
1
, q
2
, …q
n
tác dụng lên một điện tích thử q
0
thì hợp lực tác dụng lên q
0
là:
n
1 2 n i
i 1
F F F F F
=
= + + =
∑ ∑

r ur uur uur ur
(1.4)
4. BÀI TOÁN VÍ DỤ
Cố định hai viên bi nhỏ mang điện tích
10
1
q 10
−
= +
C tại A và
10
2
q 10
−
= −
C
tại B cách nhau AB =3,0 cm trong không khí.
a. Xác định lực tương tác giữa chúng.
Hình 1.1: Tương tác điện
giữa hai điện tích điểm
q
2
q
2
q
2
q
2
q
2

q
2
b. Đặt điện tích thử
9
0
q 2.10
−
= +
C tại điểm C tạo thành tam giác vuông
cân, góc C vuông. Xác định hợp lực tác dụng lên q
0
.
c. Lặp lại hai câu hỏi trên sau khi nhúng cả hệ
thống đó vào chất lỏng có hằng số điện môi
ε
= 2.
Giải: a. Vì q
1
, q
1
trái dấu, chúng hút nhau bởi các
lực cùng độ lớn
9 10 10
7
1 2
12 12
2 2 2
q .q
9.10 .10 .10
F F k 10 N

r (3.10 )
− −
−
−
= = = =
b. Lực do q
1
đẩy q
0
:
9 10 9
6
1 2
t
2
2 2
q .q
9.10 .10 .2.10
F k 4.10 N
3
AC
( .10 )
2
− −
−
−
= = =
Hợp lực
1 2
F F F= +

∑
r ur uur
có hướng như hình vẽ và độ lớn:

6
1
F F 2 4 2.10 N
−
= =
∑
r
c. Sau khi nhúng vào điện môi lỏng, hướng của các lực vẫn như cũ, nhưng
độ lớn giảm
ε
lần.
B¹N Cã BIÕT?
1. Electron là gì?
Cách đây khoảng 2600 năm, con gái của nhà triết học Hi lạp Ta-let
(Thales) vì biết dệt vải khéo nên được cha mẹ mua cho một chiếc thoi bằng hổ
phách rất đẹp, do một người thợ tài hoa ở xứ Phê-ni-xi chuốt. Một hôm, cô bé
đánh rơi chiếc thoi xuống nước và vội vàng lau nó vào vạt áo len. Nhưng lau
xong thì thấy thoi dính đầy tơ len. Tưởng thoi chưa khô, cô lau tiếp và lạ thay, tơ
len bám càng nhiều hơn. Cô bé tìm gặp cha để hỏi cho ra nhẽ. Ta-let cũng hết
sức ngạc nhiên về loại lực thần bí này. Là một triết gia chân chính, ông thực
hiện lại và nghiên cứu hiện tượng đó. Sau đó ông còn lấy hổ phách cọ vào các
vật khác, và cũng thấy xảy ra hiện tượng tương tụ.
Vì loại lực này liên quan đến hổ phách, tiếng Hi Lạp là “electron”, nên
người ta đặt tên cho lực này là “electron”, mà sau này chúng ta gọi theo tiếng
Hình bài toán ví dụ
A

q
0
q
2
C
B
q
2
q
2
a
q
1
q
2
Hán là “lực điện”.
Trong báo cáo năm 1881 về việc chọn đơn vị vật lý cơ bản là: tốc độ ánh
sáng, hằng số hấp dẫn và điện tích nguyên tố. Ông cho rằng phải có một điện
tích nguyên tố nhỏ nhất, không thể chia nhỏ hơn, gắn liền với nguyên tử vật
chất. Ông đề nghị gọi tên nó là “electron”.
Khoảng những năm 1870, Lo-ren-xơ (Lorentz) xây dựng thuyết electron để
bổ sung vào học thuyết của Măc-xoen (Maxwell), vì học thuyết Măc-xoen chưa
xét đến cấu trúc của vật chất.
Năm 1897, Tôm – xơn (J.J.Thomson( chứng minh rằng tia âm cực trong
ống âm cực là chùm hạt điện âm. Ông gọi nó là “corpuscle”-sau đó người ta gọi
là electron. Ông cũng xác định được khối lượng của nó nhỏ hơn khối lượng
nguyên tử hyđrô 1836 lần.
2. Số mũ của khoảng cách r
2
ở biểu thức Coulomb có phải số 2 tròn tĩnh

không?
Trong biểu thức Coulomb, trị số lực tương tác F giữa hai điện tích điểm
q
1
,q
2
tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách r. Câu hỏi đặt ra: Có khả năng
số mũ của r không phải 2 mà là (2
±δ
), trong đó
δ
là một số rất nhỏ mà thiết bị
đo của Coulomb không đủ nhạy để phát hiện?
Người đầu tiên kiểm nghiệm vấn đề này vào năm 1755 là tác giả của cột
thu lôi, nhà khoa học nghiệp dư người Mỹ Benjamin Franklin. Trong phạm vi
chính xác của thí nghiệm thời đó, ông khẳng định
δ
=0. Năm 1767, Joseph
Priestley kiểm tra các thí nghiệm của Franklin, cũng khẳng định như vậy. Sau đó
các thí nghiệm khác được lần lượt được tiến hành với độ chính xác cao hơn:
Robinson 1769:
δ
<0,06; Cavendish 1773:
δ
<0,02; Coulomb 1785:
δ
<0,06
Maxwell 1873:
δ
<5.10

-5
; Plimpton và Lawton 1936:
δ
<2.10
-9
; Bartlett,
Goldhagen, Philips 1970:
δ
<1,3.10
-3
;Williams, Faller, Hill 1971:
δ
<3,0.10
-16
Như vậy có thể coi biểu thức của định luật Coulomb là hoàn toàn chính
xác.
BÀI 2: ĐIỆN TRƯỜNG. LỰC CỦA ĐIỆN TRƯỜNG
1. KHÁI NIỆM ĐIỆN TRƯỜNG
Thế kỷ XIX, nhà bác học người Anh Michael Faraday lần đầu tiên đưa ra
khái niệm điện trường.
Điện trường là môi trường vật chất đặc biệt tồn tại quanh mỗi điện tích và
tác dụng lực lên các điện tích khác đặt trong đó.
Với khái niệm điện trường, chúng ta hiểu bản chất tương tác điện giữa hai
điện tích điểm như sau. Khi hai điện tích q
1
,q
2
ở gần nhau, q
1
gây ra quanh nó

một điện trường, điện trường đó tác dụng lực
12
F
uur
lên q
2
. Đồng thời, điện trường
do q
2
gây ra quanh nó cũng tác dụng lực
21
F
uur
lên q
1
.
2. VECTƠ CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG
F
r
Giả sử lần lượt đặt vào điểm M trong điện trường các điện tích thử q
1
, q
2
…
q
n
có trị số đủ nhỏ, rồi đo cá lực
1 2 n
F ,F F
r r r

do điện trường tác dụng lên chúng.
Kết quả là
1 2 n
1 2 n
F F F

q q q
= = =
r r r
. Ta thấy các tỷ số này không phụ thuộc trị số và
dấu của các điện tích thử q
1
, q
2
…q
n
, chỉ phụ thuộc vị trí đặt chúng (điểm M ở
chỗ nào trong điện trường). Nghĩa là các tỉ số đó đặc trưng cho điện trường tại
điểm M. Vì thế người ta chọn tỉ số đó làm đại lượng đặc trưng cho điện trường
tại một điểm, gọi là vectơ cường độ điện trường, kí hiệu là
E
ur
.
F
E
q
=
ur
ur
(2.1)

Nếu q=+1C thì
E F=
ur r
. Vậy:
Vectơ cường độ điện trường
E
ur
tại một điểm là đại lượng đặc trưng cho
điện trường về phương diện tác dụng lực, bằng lực do điện trường tác dụng lên
một đơn vị điện tích (+) đặt tại điểm đó.
Hệ SI đo cường độ điện trường bằng volt/metr (V/m).
Người ta cũng dùng đơn vị newton/coulomb, B/C, 1V/m=1N/C.
Suy ra, khi đặt điện tích q vào nơi có cường độ điện trường
E
ur
thì điện
trường tác dụng lên q một lực:
F q.E=
r ur
(2.1a)
M
r
r
E
ur
C
E
ur
Q
Hình 2.1: Minh họa (2.4)

Nhận xét: Nếu q>0 thì
F E↑↑
r ur
Nếu q<0 thì
F E↑↓
r ur
3. VECTƠ CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG
E
ur
GÂY BỞI MỘT ĐIỆN TÍCH
ĐIỂM
Trong môi trường đồng nhất, đẳng hướng, hằng số
ε
, ta đặt hai điện tích
điểm: Q tại O và q tại M. Gọi
r
r
là vectơ khoảng cách hướng từ Q đến q.
Theo định luật Coulomb, Q tác dụng lên q một lực:
3
k Qq
F . r
r
=
ε
r r
(*)
Lực này cũng do điện trường
M
E

ur
gây ra bởi Q tác dụng lên q:
M
F q.E=
r ur
(**)
Tất nhiên (**)=(*):
M M
3 3
k Qq k Q
q.E . r E . r
r r
= → =
ε ε
ur r ur r
(2.4)
Biểu thức vectơ cường độ điện trường do điện tích điểm Q gây ra tại điểm
M cách Q một đoạn r là (2.4), có độ lớn là :
M
3
Q
k
E .
r
=
ε
(2.4a)
Nhận xét: Nếu Q> 0 thì
E r↑↑
ur r

tức là
E
ur
hướng ra xa Q
Nếu Q< 0 thì
E r↑↓
ur r
tức là
E
ur
hướng vào gần Q
Q
càng lớn thì gây ra điện trường càng mạnh, và ngược lại
Càng ở gần Q, điện trường càng mạnh, và ngược lại.
Trong chất điện môi có hằng số
ε
thì E giảm
ε
lần so với chân không.
4. NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT ĐIỆN TRƯỜNG
a. Hệ điện tích rời rạc: Xét hệ n điện tích điểm phân bố rời rạc, mỗi điện
tích Q
1
, Q
2
, …Q
n
gây ra vectơ cường độ điện trường tại điểm M lần lượt là
1 2 n
E ,E E

ur ur ur
, thì theo nguyên lý chồng chất điện trường tổng hợp tại M là:
1 2 n i
E E E E E= + + + =
∑
ur ur ur ur ur
(2.5)
Có thể coi việc xác định vectơ
E
ur
tại mặt phẳng trung trực của một lưỡng
cực điện ở trang 11, 12 (mục 6b) là một ví dụ áp dụng (2.5).
b. Hệ điện tích liên tục hay vật nhiễm điện: Xét vật nhiễm điện có điện
tích phân bố liên tục. Ta chia nó thành nhiều phần tử nhỏ mang điện tích dq coi
như điện tích điểm. Theo (2.4), dq gây ra tại M vectơ cường độ điện trường d
E
ur
=
3
k dq
. r
rε
r
. Nguyên lý chồng chất, cường độ điện trường do cả vật gây ra tại M là:
3
Vat Vat
k dq
E dE . r
r
= =

ε
∫ ∫
ur ur r
(2.6)
Gọi điện tích trên 1 đơn vị độ dài của sợi dây mảnh, dài L là mật độ điện
dài
λ
thì một vi phân độ dài dl chứa điện tích điểm dq=
λ
dl. Khi đó dây L gây
ra cường độ điện trường cách dl một đoạn r là:
3
L L
k d
E dE . r
r
λ
= =
ε
∫ ∫
ur ur r
l
(2.6a)
Gọi điện tích trên 1 đơn vị diện tích của bề mặt mỏng, diện tích S là mật độ
điện mặt
σ
thì một vi phân diện tích dS chứa điện tích điểm dq=
σ
.dS. Khi đó
mặt S gây ra cường độ điện trường cách dS một đoạn r là:

3
(S) (S)
k dS
E dE . r
r
σ
= =
ε
∫ ∫
ur ur r
(2.6b)
Gọi điện tích trong 1 đơn vị thể tích của vật đồng nhất, thể tích
τ
là mật độ
điện khối
ρ
thì một vi phân thể tích d
τ
chứa điện tích điểm dq=
ρ
.d
τ
. Khi đó cả
vật gây ra cường độ điện trường cách d
τ
một đoạn r là:
3
( ) ( )
k d
E dE . r

r
τ τ
ρ τ
= =
ε
∫ ∫
ur ur r
(2.6c)
5. VECTƠ CẢM ỨNG ĐIỆN
D
ur
Thực nghiệm cho thấy nếu điện trường trong chân không có trị số cường độ
E
0
thì trong chất điện môi cường độ điện trường giảm
ε
lần
0
E
E =
ε
(2.7)
Vậy khi đi từ môi trường này sang môi trường khác, vectơ
E
ur
gián đoạn ở
mặt phân cách, gây bất lợi cho phép tính vi phân, tích phân. Để loại trừ sự gián
đoạn đó, người ta xây dựng vectơ điện cảm còn gọi là vectơ cảm ứng điện,
vectơ điện dịch
D

ur
.
Nếu chất điện môi đẳng hướng thì:
0
D E= εε
ur ur
(2.8)
trong đó
ε
là hằng số điện môi.
Trong chân không hoặc không khí:
ε
=1, ta viết
0
D E= ε
ur ur
(2.8a)
Trong hệ SI, đơn vị đo vectơ điện cảm là coulomb/ met vuông, C/m
2
.
Theo (2.4) và (2.8), vectơ điện cảm gây bởi điện tích điểm Q đặt cách nó một
khoảng r là:
0
3 3
kQ Q
D r r
r 4 r
= ε =
π
ur r r

(2.9)
6. LƯỠNG CỰC ĐIỆN
a. Định nghĩa: Lưỡng cực điện là hệ gồm hai điện tích điểm cùng độ lớn, trái
dấu gắn với nhau, cách nhau một khoảng l không đổi, có kích thước vi mô.
Đại lượng đặc trưng của lưỡng cực điện là vectơ mômen lưỡng cực điện
hay mômen điện:
e
p q .=
r r
l
(2.10)
Trong đó:
q
là trị số điện tích
r
l
là vectơ khoảng cách hướng từ -q đến +q.
Trong hệ SI, mô men điện được đo bằng coulomb.met,Cm.
Lưỡng cực điện có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu và ứng dụng
các hiện tượng điện, vì đa số phân tử là lưỡng cực điện.
b. Điện trường tại mặt phẳng trung trực của lưỡng cực điện: Cường độ
điện trường gây bởi lưỡng cực điện tại điểm M trên
đường trung trực của nó trong chân không là chồng chất
của điện trường gây bởi điện tích (-) là vectơ
( )
E
−
ur
và điện
tích (+) là vectơ

( )
E
+
ur

M ( ) ( )
E E E
− +
= +
ur ur ur
Có
( ) ( ) M ( )
2 2
1 1
k q k q
E E E 2E .sin 2 sin
r r
− + −
= = → = α = α
Có
M
3
1
q
sin E
2r r
α = → =
k l
l
và

e
p
q
=l
+q -q
r
l
Hình 2.2: Lưỡng cực điện
q
2
q
2
M
q
2
r
1
r
r
2
e
p
r
Suy ra
e
M
3
k.p
E
r

=
Theo hình vẽ
M
e
3
k.
E p
r
= −
ur r
(2.11)
Vectơ cường độ điện trường
E
ur
do một lưỡng cực điện gây ra tại mặt phẳng
trung trực của nó trong chân không cùng phương ngược chiều với vectơ mô
men lưỡng cực điện (mô men điện)
e
p
r
, độ lớn:
e
3 3
q
k.p
E
r 4 r
= − =
πε
l

(2.11a)
7. BÀI TOÁN VÍ DỤ
Điện tích Q>0 phân bố đều trên vòng dây tròn tâm O, bán kính a, đặt trong
không khí.
a. Xác định vectơ
E
ur
tại điểm M ở trên trục đối xứng của vòng dây, OM =h.
b. Trị số
max
E
ứng với h bằng bao nhiêu?
c. Lặp lại hai câu hỏi trên nếu Q<0.
GIẢI:a. Lấy một đoạn ngắn
d
r
l
chứa điện tích
dq để coi được dq là điện tích điểm. Điện tích điểm
dq gây ra tại M một vectơ
3
k.dq.r
dE
r
=
r
ur
có độ lớn
3
k.dq

dE
r
=
(hình vẽ).
Phân tích
n t
dE dE dE= +
ur ur ur
Cả vòng dây gây ra tại M:
n t
L L L
E dE dE dE= = +
∫ ∫ ∫
ur ur ur ur
Do đối xứng
t n
L L
dE 0 E dE= → =
∫ ∫
ur ur ur
.
Vậy
n
E E↑↑
ur ur
, tức là
E∈
ur
trục OM, hướng ra xa tâm O.
Tính độ lớn:

Hình 2.3: Vectơ cường độ điện
trường trên mặt phẳng trung
trực của lưỡng cực điện
r
r
α
α
q
2
M
q
2
q
2
h
dll
l
dql
l
O
Hình Bài toán ví dụ
(
)
( ) ( )
n
3
2 3
L L L L L
2 2
3/2 3/2

L
2 2 2 2
dq h dq.h dq.h
E dE E.cos k k k
r r r
a h
kh kQh
dq
a h a h
= = α = = =
+
= =
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
b. Để tính cực trị E
max
, dùng bất đẳng thức Cauchy
( )
3/2
2 2
2 2
kQh kQh 2kQ
3 3.h.a / 2 3 3.a
a h
≤ =
+
c. Nếu Q<0, vectơ
E
ur

vẫn nằm trên trục OM, nhưng hướng về tâm O
Trị số ở khoảng cách h bất kỳ và trị cực đại vẫn như trên.
BÀI 3: ĐƯỜNG SỨC. ĐIỆN THÔNG
1. ĐƯỜNG SỨC ĐIỆN TRƯỜNG – HỆ ĐƯỜNG SỨC
Faraday cho rằng không gian quanh một vật
tích điện được lấp đầy bởi các đường sức. Sau
này người ta hiểu đường sức không phải là thực
thể như Faraday hình dung, nhưng đường sức vẫn
được dùng để biểu diễn điện trường một cách trực
quan.
Đường sức điện trường là đường mà tiếp
tuyến tại mỗi điểm của nó trùng với giá của vectơ
cường độ điện trường
E
ur
tại đó, chiều của đường
sức là chiều của vectơ cường độ điện trường.
Nói cách khác, đường sức điện trường là đường mà lực điện tác dụng dọc
theo đó.
Hệ đường sức điện trường là tập hợp các đường sức sao cho mật độ đường
sức tại một điểm bằng độ lớn của cường độ điện trường E tại điểm đó.
Nghĩa là các đường sức ở nơi điện trường mạnh (E lớn) sát vào nhau, ở nơi
điện trường yếu (E nhỏ) cách xa nhau.
2. TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG SỨC ĐIỆN TRƯỜNG
1- Qua bất kỳ điểm nào trong điện trường cũng có thể vẽ được một đường sức.
M
E
ur
Hình 3.1: Đường sức điện
trường và vectơ

Thật vậy, ở điểm bất kỳ nào trong điện trường cũng có một giá trị cường độ
điện trường
E
ur
xác định, nên ta vẽ được một đường sức đi qua đó.
2- Các đường sức không cắt nhau.
Thật vậy, giả sử có hai đường sức cắt nhau thì tại giao điểm sẽ có hai vectơ
E
ur
khác nhau. Điều đó là vô lý, vì mỗi điểm chỉ có một giá trị
E
ur
duy nhất.
3- Đường sức điện trường tĩnh thì không khép kín, xuất phát ở điện tích (+), kết
thúc ở điện tích (-) hoặc ra xa, hoặc xuất phát từ xa đến kết thúc ở điện tích (-).
Thật vậy, theo (2.4) ta thấy ngay tính chất này.
4- Hệ đường sức điện trường đều là các đường thẳng song song cách đều nhau.
Thật vậy, vì vectơ
E
ur
ở mọi điểm như nhau nên theo các tính chất 1 và 2 thì
các đường sức phải song
song, cùng chiều. Vì trị số
E =const tại mọi điểm nên
theo quy ước 3 thì mật độ
đường sức như nhau ở mọi
điểm, tức là các đường sức
cách đều nhau.
3. ĐIỆN THÔNG
Điện thông là thông lượng

của điện trường. Thuật ngữ
“thông lượng” (flux) có gốc La tinh là “chảy”
Người ta định nghĩa:
Điện thông
E
dΦ
gửi qua vi phân diện
tích dS là một đại lượng vô hướng được xác
định bởi
E
dΦ E.dS E.dS.cos= = α
ur r
(3.1)
Điện thông
E
Φ
gửi qua diện tích S là
một đại lượng vô hướng được xác định bởi
N
M
(a) (b)
E
A
=E
B
(c)
A
B
(e) E
M

<E
N
(d) E
C
>E
D
D
C
Hình 3.2: Hệ đường sức điện trường
α
S
dS
n
E
Hình 3.3: Vi phân diện tích Ds
thuộc mặt S ở trong điện trường
E E
S S S
Φ d E.dS E.dS.cos= Φ = = α
∫ ∫ ∫
ur r
(3.1a)
Trong đó
E
dΦ
là điện thông qua một vi phân diện tích dS thuộc S;
E
ur
là
cường độ điện trường tại dS; α là góc (

E
ur
,
dS
r
).
Đơn vị đo điện thông trong hệ SI là volt.metr (Vm), 1Vm=1 Nm
2
/C.
Tuy số đường sức là tùy ý, nhưng khi đã có một hệ đường sức thì số đường
sức là cố định. Ta quy ước
Trong điện trường tĩnh, trị số điện thông
E
Φ
gửi qua một diện tích S bằng
số đường sức xuyên qua S.
4. THÔNG LƯỢNG CẢM ỨNG ĐIỆN
D
Φ
Tương tự như đường sức điện trường, ta cũng vẽ được một hệ đường cảm
ứng điện, nên cũng có khái niệm thông lượng cảm ứng điện hay thông lượng
điện cảm hay điện dịch thông
D
dΦ D.dS=
ur r
(3.2)
Và
D D
S S S
Φ dΦ D.dS D.dS.cos= = = α

∫ ∫ ∫
ur r
(3.2a)
Trong hệ SI, đơn vị đo thông lượng điện cảm là coulomb, C.
5. BÀI TOÁN VÍ DỤ
Tính điện thông
E
Φ
và thông
lượng cảm ứng điện
D
Φ
qua
diện tích S trong không khí,
nếu S ở trong
a. Điện trường đều E=4.10
-5
T
mặt S=50 cm
2
là mảnh phẳng,
góc
(n,E)α =
r ur
=120
0
.
b. Điện trường của một điện tích điểm Q=+10
-8
C đặt ở tâm mặt cầu S, bán

kính a=20cm.
GIẢI: a. Điện thông
7
E E
S S
d E.cos dS E.S.cos 3.10 Vm.
−
Φ = Φ = α = α = −
∫ ∫Ñ Ñ
dS
S
E
ur
α
n
r
a
D
ur
n
r
Hình a
Hình b
Thông lượng cảm ứng điện
19
D D 0 0 E
S S
d E.cos 15,346.10 C.
−
Φ = Φ = ε α = ε Φ =

∫ ∫Ñ Ñ
b. Trị số cường độ điện trường trên mặt cầu bán kính a là
2
kQ
E
r
=
Do đó
2 9 8
E E
2
S S
Q
d E dS E.S k .4 a 4 .9.10 .10 1130,4Vm.
a
−
Φ = Φ = = = π = π =
∫ ∫Ñ Ñ
Trị số cảm ứng điện trên mặt cầu bán kính a là D=
0
2
Q
.E
4 a
ε =
π
Do đó
2 8
D D
2

S S
Q
d D dS D.S .4 a Q 10 C.
4 a
−
Φ = Φ = = = π = =
π
∫ ∫Ñ Ñ
BÀI 4: ĐỊNH LÝ OSTROGRADXKI – GAUSS (O-G)
Nhà toán học và vật lý học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
phát minh định lý này. Ost’rogradski là người chứng minh định lý về sự biến đổi
của các tích phân. Vì thế, người ta còn gọi định lý này là định lý Gauss.
1. THIẾT LẬP ĐỊNH LÝ
Trong môi trường đồng nhất, đẳng hướng, hằng số điện môi
ε
ta hãy bao
quanh điện tích điểm +Q bởi một mặt cầu có tâm trùng với Q, bán kinh r, diện
tích S=4
2
rπ
. Khi đó thông lượng điện cảm gởi qua S là
D
S
D.dS.cosΦ = α
∫Ñ
.
Vì
2
Q
D r

4 a
=
π
ur r
nên tại mọi điểm trên mặt cầu cùng trị số D=
2
Q
4 aπ
và cosα=1.
Suy ra
2
D
2
S
Q
D dS D.S .4 r Q
4 r
Φ = = = π =
π
∫Ñ
.
Vậy
D
QΦ =
(4.1)
Nhận xét:
Nếu Q không ở tâm mặt cầu, số
đường sức xuyên qua S vẫn thế, nên
D
Φ

vẫn vậy.
Vì
D
Φ
không phụ thuộc r, nên
n
r
D
ur
M
r
S
2
S
S
1
S3
Hình 4.1: Định lí O -G
mặt cầu to hay nhỏ cũng vậy.
Nếu trong mặt cầu có nhiều diện tích Q
1
, Q
2
, Q
3
… thì theo nguyên lý
chồng chất, vectơ
D
ur
tại S là

i
D D=
∑
ur ur
, nên kết quả:
i
D
QΦ =
∑
ur
.
Nếu S là mặt kín bất kỳ, theo tính chất của thông lượng điện cảm, ta vẫn có
kết quả trên. Nếu S không bao quanh Q thì
D
0Φ =
Có
0
D
E =
εε
ur
ur
, thay
D
E
0
S
EdS
Φ
Φ = =

εε
∫
ur r
Ñ
. Rút ra
i
E
0
Q
Φ =
εε
∑
(4.2)
2. PHÁT BIỂU ĐỊNH LÝ
Phát biểu theo
D
Φ
: Thông lượng điện cảm
S
EdS
∫
ur r
Ñ
gửi qua mặt kín S bất kỳ
bằng tổng đại số các điện tích ở trong mặt kín đó.
i
S
EdS Q=
∑
∫

ur r
Ñ
(4.3)
Phát biểu theo
E
Φ
: Điện thông
S
EdS
∫
ur r
Ñ
gửi qua mặt kín S bất kỳ bằng tổng
đại số các điện tích ở trong mặt kín đó chia cho
0
εε
.
i
0
S
Q
EdS =
εε
∑
∫
ur r
Ñ
(4.4)
3. ĐỊNH LÝ O-G DẠNG VI PHÂN
Nếu điện tích phân bố liên tục, ta có thể biểu diễn định lý này ở dạng vi

phân. Muốn thế, ta hãy chuyển tích phân mặt theo diện tích S ở vế trái của (4.3)
thành tích phân theo thể tích
τ
giới hạn bởi mặt S:
S
EdS divD.d
τ
= τ
∫ ∫
ur r ur
Ñ
(*)
Trong hệ tọa độ Descartes, div
D
ur
=
y
x z
D
D D
x y z
∂
∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
.
Điện tích liên tục, mật độ điện khối
ρ
, viết lại vế phải (4.3):
i

Q .d
τ
= ρ τ
∑
∫
(**)
Vế trái của (*) và (**) bằng nhau, nên vế phải của chúng bằng nhau
divD.d
τ
τ
∫
ur
=
.d
τ
ρ τ
∫
hay
(divD )d 0
τ
− ρ τ =
∫
ur
.
Suy ra biểu thức dạng vi phân:
divD
ur
=
ρ
(4.5a)

Trong môi trường điện môi đồng nhất, đẳng hướng
0
divE
ρ
=
εε
ur
(4.5b)
4. CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN KHI SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ O-G
Định lý O-G được sử dụng để xác định các vectơ
D
ur
và
E
ur
gây bởi những
vật tích điện đều, hình dạng đối xứng, trong môi trường đồng nhất đẳng hướng.
Bước 1: Nhận xét tính đối xứng hình học của vật nhiễm điện (đối xứng
cầu, đối xứng phẳng, đối xứng trụ) để vẽ hệ đường sức và xác định quỹ tích
những điểm có cùng trị số E hoặc D. Qũy tích đó thường là mặt cầu nếu vật là
khối cầu hoặc mặt cầu: là mặt phẳng nếu vật là mặt phẳng; là mặt trụ nếu vật là
khối trụ, ống trụ hoặc dây thẳng rất dài.
Bước 2: Lập mạt kín S (còn gọi là mặt Gauss) là quỹ tích đó. Nếu quỹ tích
đó không phải là mặt kín thì ta bịt nó cho kín, nhưng nên chọn phần bịt song
song với đường sức để tiện thông qua đó bằng không. Chọn chiều vectơ pháp
tuyến
n
r
của mặt S hướng ra ngoài.
Bước 3: Tính từng vế của biểu thức O-G, rút ra đại lượng cần tìm.

4. BÀI TOÁN VÍ DỤ
Xác định cường độ điện trường ở gần mặt phẳng
∆
rất rộng tích điện đều,
mật độ điện +
σ
trong không khí.
GIẢI: Vì điện tích (+) phân bố đều, mặt
phẳng
∆
rất rộng nên ta dễ dàng thấy điện
trường quanh mặt
∆
là đều, các đường sức
cách đều nhau, vuông góc với mặt phẳng
∆
, hướng ra xa.
Vì là điện trường đều, quỹ tích của
những điểm có cùng cường độ lớn E phải là
những mặt phẳng song song với
∆
.
Ta chọn hai mặt phảng song song đối
xứng qua
∆
, thì độ lớn cường độ điện
∆
S
1
E

ur
1
n
r
E
ur
3
n
r
S
0
S
2
E
ur
2
n
r
S
xq
Hình bài toán ví dụ
trường ở mọi điểm trên hai mặt đó bằng nhau, cùng E.
Vì các đường sức vuông góc với
∆
nên ta lập một mặt trụ có đường sinh
vuông góc
∆
, tạo với hai mặt phẳng nói trên thành một mặt kín S (mặt Gauss)
có hai đáy S
1

, S
2
và mặt xung quanh S
3
như hình vẽ. Các vectơ pháp tuyến
1 2 3
n ,n ,n
r r r
hướng ra ngoài.
Phần mặt phẳng tích điện
∆
nằm trong mặt kín Gauss là S
0
=S
1
=S
2
.
Công thức O-G xét trong không khí:
i
S
Q
E.dS
0
=
ε
∑
∫
ur r
Ñ

Vế trái:
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2
3
S S S S S S S
0
1 2 0
S S S
E.dS E.dS E.dS E.dS E.dS.n E.dS.n E.dS.n
E.dS.cos0 E.dS.cos0 E.dS.cos90 E.S E.S 0 2E.S
= + + = + +
= + + = + + =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
ur r ur r ur r ur r ur r ur r ur ur
Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ
Ñ Ñ Ñ
Vế phải:
i
0
0 0
Q
.Sσ
=
ε ε
∑
.
Ghép lại:
0

2E.S
=
0
0
.Sσ
ε
Rút ra
0
E
2
σ
=
ε
(*)
Kết luận: Điện trường quanh mặt phẳng rất rộng tích điện đều, dương là
điện trường đều, vectơ
E
ur
hướng vuông góc ra xa, có độ lớn như (*).
Suy ra nếu mặt phẳng tích điện âm (
σ
<0) thì
E
ur
hướng vào mặt phẳng tích
điện.
BÀI 5: CÔNG CỦA LỰC ĐIỆN. ĐIỆN THẾ
1. CÔNG CỦA LỰC ĐIỆN
a. Xét trong điện trường của
một điện tích điểm: Trong môi trường

đồng nhất đẳng hướng, hằng số điện
môi
ε
ta gắn điện tích điểm +Q ở gốc
tọa độ, sau đó đưa một điện tích điểm
+q <<Q đi theo đường cong L từ điểm
M có tọa độ r
M
đến điểm N có tọa độ
r dr
+
r r
B’
B
A’
A
M
M
r
r
r
r
F
r
N
+Q
N
r
r
Hình 5.1: Điện tích q di chuyển từ M đến

N trong điện trường của điện tích điểm Q
r
N
. Khi q di chuyển, điện trường
3
kQ
E r
r
=
ε
ur r
của Q luôn tác dụng vào q lực
F q.E=
r ur
. Công của lực
F
r
tham gia vào quá trình chuyển động là:
N
M
t
MN
3 2
r
M N
L L L
kQ kqQ dr kqQ 1 1
A F.dr qE.dr q r.dr C
r r r r
 

= = = = = − +
 ÷
ε ε ε
 
∫ ∫ ∫ ∫
r r ur r r r
Hay
MN
M N
kqQ kqQ
A
.r .r
= −
ε ε
(5.1)
Tổng quát: Nếu đó là điện trường gây bởi một hệ điện tích điểm thì:
i i
MN
M N
kq Q kq Q
A
.r .r
= −
ε ε
∑ ∑
(5.1)
Ta thấy công A
MN
của lực điện không phụ thuộc đường đi, chỉ phụ thuộc vị
trí điểm đầu r

M
và vị trí điểm cuối r
N
và nếu M
≡
N (đường đi khép kín) thì công
đó bằng không. Chứng tỏ rằng
* Điện trường là một trường lực thế. Lực điện là một lực thế
b. Thế năng tĩnh điện: Ở cơ học ta đã biết: trong trường lực thế, công của
lực thế bằng hiệu thế năng A
MN
=W
M
-W
N
. Từ (5.1) ta thấy thế năng của q tại các
điểm M, N trong điện trường gây bởi điện tích Q là:
M M
M N
kQ kQ
W q C; W q C
.r .r
= + = +
ε ε
(5.2)
Tổng quát: Thế năng của một điện tích q trong điện trường gây bởi một hệ
điện tích điểm rời rạc Q
1
, Q
2

, Q
3
… là:
t
t
Q
k
W (q) q C
.r
= +
ε
∑
(5.2a)
Trong đó: r là khoảng cách từ q đến điểm ta chọn làm gốc thế năng W
t
=0
C là hằng số cộng, phụ thuộc gốc thế năng do ta chọn.
Nhận xét: Thế năng W
t
tại một điểm phụ thuộc gốc thế năng do ta chọn,
nên thế năng không xác định đơn giá, mà sai khác một hằng số cộng C.
2. LƯU THÔNG CỦA VECTƠ CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG
Chia hai vế (5.1) cho q, được:
MN
M N
A kQ kQ
q r r
= −
ε ε
(*)

Từ các phép biến đổi trên đây, ta thấy
MN
L
A
Edr
q
=
∫
ur r
Hay
L
A
Ed
q
=
∫
ur r
l
(5.3)
Trong đó
L
Ed
∫
ur r
l
được gọi là lưu thông của vectơ
E
ur
dọc theo đường L.
Khi q=+1C thì

L
Ed A=
∫
ur r
l
.
Lưu thông (hay lưu số)
L
Ed
∫
ur r
l
của vectơ cường độ điện trường
E
ur
dọc theo
một đường L nào đó trong điện trường bằng công của lực điện làm di chuyển
một đơn vị điện tích dương dọc theo đường L đó.
Theo kết quả tính công thức ở trên, suy ra:
C
Ed 0=
∫
ur r
Ñ
l
(5.4)
Lưu thông của vectơ cường độ điện trường dọc theo một đường cong kín
chu tuyến) C bất kỳ trong điện trường thì bằng không.
3. HIỆU ĐIỆN THẾ - ĐIỆN THẾ
a. Khái niệm: Ta thấy vế phải của (*) không phụ thuộc điện tích q, nên nó

đặc trưng cho tính chất thế của điện trường của Q tại mỗi điểm M, N. Gọi vế
phải của (*) là hiệu điện thế giữa hai điểm M, N thì
MN
M N
kQ kQ
U
r r
= −
ε ε
mỗi thành phần của nó là điện thế tại M, N. Kết hợp các biểu thức trên, rút ra :
Công của lực điện tham gia vào quá trình điện tích q đi từ M đến N là:
( )
MN MN M N
A q.U q V V= = −
(5.6)
Biểu thức thể hiện liên hệ
MN
Ed
∫
ur r
l
với hiệu điện thế
M N
MN
Ed V V= −
∫
ur r
l
(5.7)
Trong hệ SI, điện thế và hiệu điện thế được đo bằng volt (V); 1V=1J/C.

b. Điện thế gây bởi điện tích điểm: Thay (5.6) vào (*) rút ra điện thế do
một điện tích điểm Q gây ra tại ví trí cách nó một khoảng r là
k Q
V C
r
= +
ε
(5.8)
Vì thế W
t
sai khác một hằng số cộng, nên điện thế V cũng sai khác nhau
một hằng số cộng C, tùy qui ước gốc điện thế.
- Nếu chọn gốc điện thế ở
∞
, (5.8) thành
k Q
C 0 C 0 C 0
r
+ = + = → =
ε
, do
đó:
k Q
V
r
=
ε
(5.8a)
- Nếu chọn gốc điện thế ở khoảng cách x thì
k Q k Q

V C 0 C
x x
= + = → = −
ε ε
k Q k Q
V
r x
→ = −
ε ε
hay
kQ 1 1
V
r x
 
→ = −
 ÷
ε
 
(5.8b)
CHÚ Ý:
Điện thế V tại một điểm trong điện trường gây bởi điện tích Q là đại lượng
vô hướng. Dấu của V phụ thuộc dấu của Q và vị trí gốc điện thế.
Cũng như nhiệt độ, khi so sánh điện thế V
1
ở điểm 1 với điện thế V
2
ở điểm
2 là ta so sánh giá trị đại số, không phải trị tuyệt đối của chúng.
Ví dụ: có V
1

=+5V, V
2
=-10V thì nói V
1
cao hơn V
2
hay V
1
lớn hơn V
2
.
c. Tính cộng được của điện thế: Điện thế do hệ điện tích điểm rời rạc gây
ra tại điểm M nào đó bằng tổng đại số điện thế do từng điện tích điểm gây ra tại
đó.
i
M i
i
k Q
V V C
r
= = +
ε
∑ ∑
(5.9)
Trong đó: r
i
là khoảng cách từ điện tích điểm Q
i
đến điểm M.
Nếu vật có điện tích phân bố liên tục, ta lấy yếu tố thể tích nhỏ, chứa điện

tích dQ coi là điện tích điểm, gây ra tại M điện thế
k dQ
dV
r
=
ε
.
Điện thế do cả vật gây ra tại M là:
M
Vat Vat
k dQ
V dV C
r
= = +
ε
∫ ∫
(5.10)
Trong đó r là khoảng cách từ điện tích điểm dQ đến điểm M.
Nếu vật là sợi dây dài L có mật độ điện dài
λ
, hoặc bề mặt diện tích S có
mật độ điện mặt
σ
, hoặc thể tích
τ
có mật độ điện khối
ρ
thì ta lấy các yếu tố
tương ứng dl, dS,d
τ

chứa điện tích điểm dQ=
λ
.dl hoặc
σ
.dS hoặc
ρ
.d
τ
thay
vào (5.10). Các tính tương tụ như nguyên lý chồng chất điện trường áp dụng cho
vật nhiễm điện liên tục ở Bài 2.
4. MẶT ĐẲNG THẾ
a. Định nghĩa: Mặt đẳng thế là tập hợp các điểm trong điện trường có
cùng một giá trị điện thế.
Ví dụ, trong điện trường gây bởi một điện tích điểm Q, hệ mặt đẳng thế là
các mặt cầu đồng tâm là điểm đặt của Q. Trong điện trường đều thì hệ mặt đẳng
thế là các mặt phẳng vuông góc với đường sức điện trường. Xem hình 5.2.
1
2 3
1
2
4 5
Hình 5.2. Các mặt đẳng thế (đường đứt nét) gây bởi:
1: điện tích điểm (+). 2: điện tích điểm (-). 3: điện trường đều.
4: hai điện tích điểm cùng dấu. 5: hai điện tích điểm trái dấu.
b. Qui ước vẽ mặt đẳng thế: Độ chênh lệch điện thế
∆
V giữa hai mặt đẳng thế
kề nhau trong một hệ mặt đẳng thế phải cùng một giá trị.
Nghĩa là nơi điện trường mạnh, điện thế biến thiên nhanh theo khoảng

cách, các mặt đẳng thế sít vào nhau; nơi nào điện trường yếu, điện thế biến thiên
chậm theo khoảng cách, các mặt đẳng thế cách xa nhau.
c. Các tính chất của mặt đẳng thế
Tính chất thứ nhất: Các mặt đẳng thế không cắt nhau.
Thật vậy, nếu cắt nhau, tại giao điểm sẽ có hai giá trị điện thế khác nhau.
Tính chất thứ hai: Khi điện tích q di chuyển trên một mặt đẳng thế, lực điện
không sinh công.
Thật vậy, nếu điện tích q đi từ điểm 1 đến điểm 2 trên một mặt đẳng thế,
công của lực điện là A
12
=q(V
1
-V
2
). Vì V
1
=V
2
nên (V
1
-V
2
)=0 khiến A
12
=0.
Tính chất thứ ba: Vectơ cường độ điện trường
E
ur
tại mọi điểm trên một mặt
đẳng thế luôn vuông góc với mặt đẳng thế đó.

Thật vậy, nếu có điện tích q di chuyển trên mặt đẳng thế theo đoạn đường
d
r
l
thì lực điện sinh công dA=
F.d q.E.d q.E.d cosα = 0= =
r r ur r
l l l.
. Suy ra cosα = 0
hay α=90
0
tức là
E
ur

d
r
l
. Mà
d
r
l
nằm trên mặt đẳng thế và có phương tùy ý,
nên vectơ
E
ur
phải vuông góc với mặt đẳng thế.
5. BÀI TOÁN VÍ DỤ
Hai hạt cùng khối lượng m=1,0 g; cùng điện tích q=+10
-6

C ở khá xa trong
chân không. Truyền cho chúng các vận tốc đầu cùng giá, ngược chiều, cùng trị
số v
0
=10m/s. Bỏ qua trọng lực. Chọn v
x
=0. Xác định:
a. Khoảng cash r
min
=AB khi chúng đến gần nhau nhất.
b. Điện thế tại trung điểm đoạn AB khi chúng đã gần nhau nhất.
GIẢI: a. Hai hạt điện cùng dấu đẩy nhau. Khi tiến đến gần nhau, chúng bị lực
điện ngăn cản. Khoảng cách r
min
cần tìm là khoảng cách khi chúng dừng, trước
khi lùi lại.
Hệ hai hạt điện này là hệ kín, nên cơ năng của hệ được bảo toàn.
Ban đầu ở xa nhau, thế năng tương tác điện bằng không, tổng động năng
của chúng là:
2
0
1
W 2. mv
2
∞
=
Khi dừng ở khoảng cách r
min
, tổng động năng của chúng bằng không, và thế
năng tương tác điện của hệ hai điện tích điểm bằng nữa thế năng của điện tích

này trong điện trường của điện tích kia:
2
t
min min
1 kq kq
W .q
2 r 2r
= =
Bảo toàn cơ năng
2 2
2
1 0 min
2
min 0
kq kq
W W mv r 4,5cm.
2r 2mv
∞
= → = → = =
b. Chọn
V
λ
=0 thì điện thế ở trung điểm AB là:
5
1 2
min min min
kq kq 4kq
V V V 8.10 V.
r / 2 r / 2 r
= + = + = =

BÀI 6: LIÊN HỆ CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG VỚI ĐIỆN THẾ
1. THIẾT LẬP MỐI LIÊN HỆ
Trong điện trường, xét hai điểm P,Q có điện thế V và (V+Dv), khoảng
cách
d PQ=
r uuur
l
rất ngắn để coi
E
ur
ở đó là đều. Chọn dV>0, tức là
d
r
l
hướng về
phía V điện thế tăng. Nếu có điện tích q đi trên
d
r
l
thì công của lực điện tham
gia vào chuyển động đó có thể được tính theo hai phương pháp sau.
Theo lực điện
dA qE.d=
ur r
l
(*)
Theo hiệu điện thế dA=q(V
P
-V
Q

) = q[V-(V+Dv)]=-q.Dv (**)
Gọi
( )
E,dα =
ur r
l
thì
E.d cos dVα = −l.
.
Vì dV>0 nên cosα<0
→ α
là góc tù.
Vectơ
d
r
l
hướng về phía điện thế tăng nên
E
ur
hướng về điện thế giảm.
2. CÁC KẾT LUẬN
Kết luận thứ nhất: Vectơ cường độ điện
trường
E
ur
luôn hướng về phía điện thế giảm, tức là vectơ
E
ur
hướng từ nơi có
điện thế cao đến nơi có điện thế thấp.

dn
r
P(V)
E
ur
Q(V+dV)
d
r
l
α
E
ur
l
n
Hình 6.1: Liên hệ và V
Tất nhiên (*)=(**) hay
E.d
ur r
l
=-dV.
Kết luận thứ hai: Hình chiếu của vectơ cường độ điện trường
E
ur
lên một
phương nào đó bằng độ giảm điện thế trên một đơn vị độ dài của phương đó.
dV
E
d
= −
l

l
(6.1)
Kết luận thứ ba: Tại lân cận một điểm trong điện trường, điện thế biến thiên
nhanh nhất theo hướng của đường sức đi qua điểm đó.
Vì đường sức vuông góc với mặt đẳng thế, nên phương của đường sức là
phương pháp tuyến
n
r
của mặt đẳng thế,
n
dV
E
dn
= −
Hay
n
dV E .dn=
(6.2)
Tích phân hai vế (6.2) từ 1 đến 2 được:
1 2
1 2
V V E.d
−
− =
∫
ur r
l
(6.2a)
Tổng quát:Ở hệ tọa độ Oxyz có
x y z

V V V
E E .i E .j E .k .i .j .k
x y z
 
∂ ∂ ∂
= + + = − + +
 ÷
∂ ∂ ∂
 
ur r r r r r r
Hay
E gradV=
ur uuuur
(6.3)
3. BÀI TOÁN VÍ DỤ
BÀI TOÁN 1: Trong điện trường đều E = 5.10
3
V/m có tam giác vuông ABC, mặt phẳng tam giác
song song với các đường sức, các cạnh AC=4cm,
BC=3 cm. Tính:
a. Hiệu điện thế U
AC
, U
CB
, U
AB
.
A*
(
*B

A*
(
C
*B
*A
*A
*B
C
V
A
>V
B
;V
B
=V
C
E
A
>E
B
; E
A
>E
C
V
A
<V
B
;V
B

=V
C
E
A
>E
B
; E
A
>E
C
V
A
=V
C
;V
A
>V
B
E
A
=E
B
=E
C
Hình 6.2: Mặt đẳng thế trong điện trường
B
A C
E
ur
Hình Bài toán ví dụ 1

b. Công của lực điện khi một electron di chuyển từ A đến B.
GIẢI: a. Tính các hiệu điện thế theo (6.2a):
3 2
AC A C
AC AC
U V V E.d E d E.AC E.AC.cos0 5.10 (V / m).4.10 (m) 200V.
−
= − = = = = = = +
∫ ∫
ur r ur r ur uuur
l l
CB C B
CB CB
U V V E.d E d E.CB E.CB.cos0 0.= − = = = = =
∫ ∫
ur r ur r ur uuur
l l
µ
AB A B
AB AB
AC
U V V E.d E d E.AB E.AB.cosA
AC
E.AB. E.AC U 200V.
AB
= − = = = =
= = = = +
∫ ∫
ur r ur r ur uuur
l l

b. Dùng (5.6): A
AB
=q(V
A
-V
B
)=e.U
AB
=-1,6.10
-19
(C).200(V)=-3,2.10
-17
J.
BÀI TOÁN 2: Điện tích +Q phân bố đều trong khối cầu tâm O, bán kính a, làm
bằng vật liệu có hsđm
ε
=1, nằm trong không khí. Cường độ điện trường do quả
cầu gây ra ở ngoài (r>a) là:
ng
3
r
E kQ
r
=
r
ur
,
ở trong (r<a) là:
tr
0

.r
E ;
3
ρ
= ρ
ε
r
ur
là mật độ điện khối.
Tính điện thế V tại:
a. Điểm (1) ở ngoài, chọn
V 0
∞
=
và V
3
(tại mặt
cầu) =0.
b. Điểm (2) ở trong, chọn V
O
=0 và V
3
=0.
GIẢI: a. Tính V
1
: Xét dọc theo phương bán kính.
Nếu chọn
V 0
∞
=

, ta lấy lưu thông từ điểm 1 đến
∞
thì
1 1 1
V V V 0 V
∞
− = − =
.
Theo (6.2a):
ng
1
1
V V E .dr
∞
∞
− =
∫
ur r
hay
1 ng
2 2
1 1 1
kQ dr kQ
V E .dr.cos0 .dr kQ
r r r
∞ ∞ ∞
= = = = +
∫ ∫ ∫
Nếu chọn V
3

=0, ta lấy lưu thông từ 3 đến 1 thì V
3
-V
1
=0-V
1
=-V
1
.
1
ng
3 1
3
V V E .dr− =
∫
ur r
hay
1 r
1 ng 1
2
3 a
kQ 1 1 1 1
V E .dr .dr kQ V kQ
r r a r a
   
− = = = − − → = −
 ÷  ÷
   
∫ ∫
b. Tính V

2
: Xét dọc theo phương bán kính.
Nếu chọn V
O
=0, ta lấy lưu thông từ điểm O đến điểm 2 thì V
O
-V
2
=0-V
2
=-V
2
.
r
O
2
*
3
*
1
*
a
Hình Bài toán ví dụ 2