logic vị từ toán rời rạc

Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Nhóm 6
Logic vị từ
Hàm mệnh đề
Phép toán logic trên hàm mệnh đề
Lượng từ
Các quy tắc suy luận toán học
Ví dụ và bài tập áp dụng
I. Hàm mệnh đề
•
Hàm mệnh đề là một câu có chứa biến.
•
Kí hiệu: P(x)
•
Giá trị của hàm P tại x khi gán giá trị x => P(x)
có giá trị chân lý nào đó.
Lượng
Từ ∀
Lượng
Từ ∃
Lượng
Từ
II. Lượng từ
1. Lượng từ ∀
•
Lượng từ P(x) là mệnh đề khi P(x) đúng giá trị x trong không ∀ ∀
gian
•
Ký hiệu: x P(x)∀
•
Các cách xác định lượng từ ∀

* Cách 1: - Xác định P(x)
- Biến x
- Biểu diễn câu = lượng từ
Ví dụ: Mọi sinh viên máy tính phải học môn logic
P (x) = “x phải học môn logic”
Mệnh đề: x P(x)∀
1. Lượng từ ∀
* Cách 2: Nếu…thì…
Ví dụ: Nếu bạn là học sinh lớp này thì bạn đã học
toán rời rạc.
P(x): “x là học sinh lớp này”
X: đã học toán rời rạc
∀ x (P(x) -> Q(x))
=> Khi tất cả các phân tích của không gian được liệt
kê thì lượng từ giống phép Hội∀
2. Lượng từ ∃
•
Tồn tại 1 phương trình x trong không gian sao
cho phương trình x là đúng.
•
Ký hiệu: x P(x)∃
∃! x P(x) ( duy nhất)∃
Ví dụ:
P (x) = “x > 3” Q(x) = x = x + 1”
Miền giá trị x R∈
Mệnh đề: x P(x) là T∃
Miền giá trị x R∈
Mệnh đề: x Q(x) là F∃
Tóm tắt ý nghĩa của lượng từ
Phát biểu Khi nào Đúng Khi nào Sai

∀x y P(x, y)∀
∀x y P(x, y)∀
P(x.y) là T với mọi
x,y
Có một cặp x,y làm
cho P(x,y) là F
∀x y P(x,y) ∃ Với mọi x, tồn tại y
làm cho P(x,y) là T
Có một x sao cho
P(x,y) là F với mọi
y
∃x y P(x, y) ∀ Tồn tại x sao cho
P(x,y) là T với mọi
y
Với mọi x, tồn tại y
làm cho P(x,y) là F
∃x y P(x, y)∃
∃y x P(x, y )∃
Tồn tại một cặp x,y
sao cho P(x,y) là T
P(x,y) là F với mọi
x,y
Phủ định BT chứa lượng từ
•
P(x): “x đã học rời rạc”
•
Không gian x: Sinh viên trong lớp
∀ x P(x) (1)
Phủ định: “không phải tất cả sinh viên trong lớp học rời rạc”
(2)

Ký hiệu ⌐( x P(x)) ∀
⌐P(x): “ không phải x đã học rời rạc” (2’)
“x chưa học”
(2’)  (2): tồn tại sinh viên trong lớp chưa học rời rạc
Phủ định BT chứa lượng từ
•
Ví dụ
“Mọi sinh viên máy tính đều học môn logic
toán”
∀xP (x)
"Không phải là mọi sinh viên máy tính đều học
môn logic toán”
∃x¬P (x)
Mệnh đề tương đương Logic
Phủ định MĐTĐ
T F
¬ xP (x)∃ ∀x ¬P(x) Có 1 x để P(x) F Với mọi x: P(x)
là T
¬ xP (x)∀ ∃x ¬P(x) Với mọi x để
P(x) là F
Tồn tại x để
P(x) là T
III. Các phương pháp suy luận toán học
1. Các quy tắc suy luận
p Q P -> q P^(p->q) [p^(p->q)]->q
T F F F T
T T T T T
F F T F T
F T T F T
Quy tắc tam đoạn luận giả định

•
Quy tắc này được thể hiện bằng hằng đúng

Hoặc dưới dạng sơ đồ


[(p ->q) ^ (q->r)] -> (p ->r)
P -> q
͟(q -> r)
:. p -> r
Các quy tắc suy luận
•
Sơ đồ quy tắc suy luận Modus Ponens
•
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng
•
Hoặc dưới dạng sơ đồ

p
p͟͟->q
:. q
[p^(p -> q)] -> q
QUI TẮC MODUS TOLLENS
•
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:

•
Hoặc dưới dạng sơ đồ
[(p -> q) ^ ⌐q] -> ⌐q
P -> q

⌐q͟͟͟͟
:. ⌐p
Quy tắc tam đoạn luận giả định
•
Ví dụ:
1. Nếu An học chăm thì An học tốt.
Mà An học chăm
Suy ra An học tốt
2. Hình vuông là hình bình hành
Mà hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường.
Suy ra hình vuông có hai đường chéo cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường
QUI TẮC MODUS TOLLENS
•
Ví dụ
1. Hai tam giác vuông có cạnh huyền và 1 cặp góc nhọn bằng nhau
thì chúng ta có một cạnh bằng nhau kèm giữa hai góc bằng nhau.
Nếu hai tam giác có cạnh bằng nhau kèm giữa hai góc bằng nhau thì
chúng bằng nhau
Suy ra hai tam giác vuông có cạnh huyền và 1 cặp góc nhọn bằng
nhau thì bằng nhau
2. Một con ngựa rẻ là một con ngựa hiếm
Cái gì hiếm thì đắt
Suy ra một con ngựa rẻ thì đắt
Quy tắc luật cộng
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:
Sơ đồ
P -> (pvq)
P͟͟

:. P v q
Quy tắc Rút Gọn
•
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng
•
Sơ đồ
(p^q) -> p
p͟͟^q
:. P
Quy tắc Modus Ponens
•
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng
•
Sơ đồ
[p^(p -> q)] -> q
p
p͟͟->q
:. q
Tam đoạn luật Tuyển
•
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng
•
Sơ đồ
[(pvq) ^ ¬p] -> q
pvq
∧p͟͟
:. q
CM rỗng
CM tầm thường
CM trực tiếp

CM gián tiếp
Phản chứng
Từng trường hợp
Quy nạp
IV.Các phương pháp CMđịnh lý
Chứng minh rỗng
•
Phương pháp chỉ ra giả thiết sai
VD: nếu n > 1 => n2 >1. CM n=0 đúng
P(0) nếu 0>1 thì 02 > 1
F -> F = T
Chứng minh tâm thường
•
Phương pháp chỉ ra kết luận đúng
VD: P(n) nếu a,b là 2 số nguyên dương và a>= b
thì an>=bn. CM P(0)
Nếu a,b là 2 số dương và a>=b
Thì an > bn
10>=10
T
Chứng minh gián tiếp
•
Thay vì CM p -> q đi CM mệnh đề tương đương
VD: CM 3n+2 là số lẻ thì n là lẻ.
Nếu n là số chẵn thì 3n+2 là số chẵn
n chẵn: n=2k (k thuộc Z)
(3n+2) = (3.2k +2)
= 6k +2 = 2(3k+1)
= 2a (a thuộc Z)
=> 3n+2 chẵn