BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG CỦA VỆ TINH NHÂN TẠO VÀ TÀU VŨ TRỤ TRONG TRƯỜNG HẤP DẪN

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích của đề tài 1
3. Nhiệm vụ của đề tài 2
4. Đối tượng nghiên cứu 2
5. Phạm vi nghiên cứu 2
6. Phương pháp nghiên cứu 2
7. Cấu trúc của đề tài 2
8. Kế hoạch nghiên cứu 2
PHẦN 2: NỘI DUNG 3
Chƣơng 1: Cở sở lý thuyết 3
1.1. Trường hấp dẫn 3
1.2 Các định luật Kepler 12
Chƣơng 2: Các bài toán chuyển động của vệ tinh nhân tạo và tàu vũ trụ
trong trƣờng hấp dẫn 18
2.1. Bài toán áp dụng các công thức động học để xác định các đại lượng vận tốc
và độ cao, chu kỳ, tần số, của vệ tinh nhân tạo và tàu vũ trụ chuyển động trong
trường hấp dẫn 18
2.2. Bài toán áp dụng định luật vạn vật hấp dẫn và các định luật Newton trong
chuyển động của vệ tinh nhân tạo và tàu vũ trụ trong trường hấp dẫn 22
2.3. Bài toán áp dụng các định luật Kepler trong chuyển động của vệ tinh nhân
tạo và tàu vũ trụ trong trường hấp dẫn 30
2.4. Bài toán áp dụng các định luật bảo toàn năng lượng và bảo toàn xung
lượng, mômen xung lượng và các định luật biến thiên năng lượng trong chuyển
động của vệ tinh nhân tạo và tàu vũ trụ trong trường hấp dẫn 44
2.4.1. Dạng bài tập xác định năng lượng toàn phần và thế năng tương tác của vệ
tinh nhân tạo và tàu vũ trụ chuyển động trong trường hấp dẫn 44

2.4.2. Các dạng năng lượng cho trước của chuyển động vệ tinh nhân tạo và tàu
vũ trụ. Xác định các đặc điểm của chuyển động của vệ tinh nhân tạo và tàu vũ
trụtrong trường lực thế và trường hấp dẫn 50
PHẦN 3 : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 59
1. Kết luận 59
2. Kiến nghị 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO 60




1
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trường hấp dẫn là một phần không thể thiếu trong chương trình học tập
môn vật lý THPT – lớp 10 và Đại học không những thế mà nó còn đặc biệt quan
trọng đối với một số ngành thiên văn học vũ trụ, nghiên cứu chuyển động của vệ
tinh, vật thể trong vũ trụ,…
Đặc biệt là ở bậc đại học, việc học tốt phần trường hấp dẫn không chỉ
giúp sinh viên đạt được mục tiêu nhất định về kết quả học tập mà còn giúp ích
rất nhiều trong công việc giảng dạy của sinh viên các trường sư phạm.
Thiên văn học có nhiều ứng dụng trong khoa học kỹ thuật và công nghệ.
Trước hết thiên văn học đã thay đổi suy nghĩ của con người về tự nhiên trước
những hiện tượng của các sao trên bầu trời và từ đó con người tính toán được
lịch và dự đoán các hiện tượng khác. Thiên văn học còn là ngành đạo tạo trong
các ngành sư phạm vật lý. Trong việc nghiên cứu các chuyển động của chất
điểm của ngành vật lý, đã giúp các sinh viên sư phạm vật lý nghiên cứu các
chuyển động của các vệ tinh và các sao giúp các sinh viên có khả năng vận dụng
vào các bài toán và lý thuyết thực tiễn giúp giải quyết các bài toán về thiên văn
học, các sinh viên còn học tập giúp mình các kiến thức về thiên văn học và vốn

kiến thức giúp sinh viên sau công tác giảng dạy trong tương lai.
Tuy vậy còn không ít sinh viên gặp nhiều khó khăn, lúng túng trong việc
áp dụng lý thuyết vào việc giải các bài tập của chuyển động của vệ tinh nhân tạo
và tàu vũ trụ trong trường hấp dẫn.
Trên đây là những lý do mà tôi mạnh dạn triển khai đề tài: “Bài toán
chuyển động của vệ tinh nhân tạo và tàu vũ trụ trong trường hấp dẫn”.
2. Mục đích của đề tài
- Xây dựng hệ thống phương pháp giải các bài toán về chuyển động của vệ
tinh nhân tạo và tàu vũ trụ trong trường hấp dẫn.
- Cung cấp thêm tài liệu về trường hấp cho học sinh, sinh viên trong các
trường sư phạm, và có có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên vật lý ở các
trường trung học trong giảng dạy.

2
3. Nhiệm vụ của đề tài
- Nghiên cứu kĩ kiến thức về trường hấp dẫn làm nền tảng xây dựng hệ
thống phương pháp giải cho từng dạng bài toán cụ thể.
- Hệ thống các dạng bài tập về phần hấp dẫn trong thiên văn học, có lưu ý
cho từng đoạn.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Lý thuyết và các dạng bài toán về phần trường hấp dẫn.
5. Phạm vi nghiên cứu
Trường hấp dẫn trong chương trình vật lý đại cương.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Sưu tầm tài liệu.
- Nghiên cứu kĩ lý thuyết và từ đó đưa ra hệ thống phương pháp giải cho
từng dạng bài tập cụ thể về vật thể chuyển động trong trường hấp dẫn.
7. Cấu trúc của đề tài
- Phần 1: Mở đầu.
- Phần 2 : Nội dung.

 Chương I: Cơ sở lý thuyết.
 Chương II: Các bài toán chuyển động của vệ tinh nhân tạo
và tàu vũ trụ trong trường hấp dẫn.
- Phần 3 : Kết luận
8. Kế hoạch nghiên cứu
- Từ tháng 12/2013 đến tháng 1/2014: Sưu tầm tài liệu, hoàn thành đề
cương chi tiết.
- Từ tháng 1/2014 đến đầu tháng 2/2014: Nghiên cứu lý thuyết, phân loại
các dạng bài tập, xây dựng phương pháp giải bài tập phần thời gian và lịch.
- Từ tháng 2/2014 đến giữa tháng 3/2014: Viết khóa luận, xin ý kiến tham khảo.
- Từ giữa tháng 3/2014 đến hết tháng 4/2014: chỉnh sửa, hoàn thiện khóa luận.
- Tháng 5/2014: Bảo vệ khóa luận.



3
PHẦN 2: NỘI DUNG
Chƣơng 1: Cở sở lý thuyết
1.1. Trƣờng hấp dẫn
- Trường hấp dẫn theo quan điểm động lực học.
a) Định luật vạn vật hấp dẫn.
Để tìm định luật vạn vật hấp dẫn, ta xét trường hợp đơn giản khi quỹ đạo của
vệ tinh là đường tròn. Khi đó Mặt Trời ở tâm đường tròn,
ar
là khoảng cách
từ tâm Mặt Trời ở tâm đến hành tinh. Gia tốc hướng tâm (hướng về phía Mặt
Trời) của hành tinh có giá trị bằng:
2
2
2

n
v2
a r r
rT


   


.
Trong đó T là chu kỳ quay của hành tinh. Theo định luật III Kepler ta có:
23
T cr
với
c const
.
Gọi
m
là khối lượng của hành tinh,
F
là lực tác dụng của Mặt Trời lên hành
tinh trong chuyển động tròn đều, ta có:
n
F ma
.
Lực
F
đặt ở hành tinh và hướng từ hành tinh đến Mặt Trời. Gía trị của lực
F

bằng :
22
n
2 2 2
4 4 m m
F ma m r
c
T r r

    
.
Với
2
4
const
c

  
. Theo định luật III Newton, hành tinh tác dụng lên mặt
trời một lực
F'
đặt ở tâm Mặt Trời có độ lớn bằng, có chiều ngược với
F
. Lực
F
do Mặt Trời tác dụng lên hành tinh tỉ lệ với khối lượng
m
của hành tinh, lực
F'
do hành tinh tác dụng lên mặt trời tỉ lệ với khối lượng

M
của Mặt Trời. Giá
trị của
F'
bằng giá trị của
F
và có dạng:
22
Mm
F' ' F
rr
    
với
' const
.
Từ đây suy ra:
'M m 
hay
'
G const
Mm

  
.

4
Lực tương tác hấp dẫn giữa Mặt Trời và hành tinh có dạng:

2
GMm

F
r


trong đó
G
là hằng số hấp dẫn. Giá trị của
3
11
2
m
G 6,67.10
kgs


.
Phát biểu định luật:
Hai chất điểm khối lượng m và m’ đặt cách nhau một khoảng r sẽ hút nhau
bằng một lực có phương là đường thẳng nối hai điểm đó, có cường độ tỷ lệ
thuận với hai khối lượng m và m’, tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách r.

2
3
11
2
m.m'
F F' G.
r
m
(G 6,67.10 )

kg.s




- Trường hợp vật m và m’, có kích thước rất nhỏ so với khoảng cách r giữa
chúng thì vật có thể coi là chất điểm và có thể áp dụng định luật.
- Trường hợp vật m và m’ là hai quả cầu đồng chất, đồng tính thì hút một
hạt ở ngoài vỏ tựa như khối lượng của vỏ tập trung vào tâm của nó. Cái vỏ này
không tác dụng lực hấp dẫn vào hạt ở bên trong nó.
- Trong các trường hợp khác ta sẽ áp dụng phương pháp tích phân dựa vào
tính chồng chập của lực hấp dẫn.
- Lực hấp dẫn là phổ biến chon toàn thể mọi vật trong vũ trụ.
- Lực hấp dẫn là lực hút, nó phụ thuộc vào khoảng cách và khối lượng của
vật.Về mặt vật lý, khối lượng hấp dẫn và khối lượng quán tính là hai đại lượng
vật lý khác nhau.
- Định luật vạn vật hấp dẫn còn thể hiện những quan điểm của cơ học cổ
điển Newton về không gian, thời gian.
- Hấp dẫn là một trong bốn loại tương tác cơ bản của tự nhiên. Tuy về cường
độ yếu nhất, nhưng lại là tương tác phổ biến tỏng vũ trụ và đóng vai trò quan
trọng trong việc hình thành và phát triển của vũ trụ và các thiên thể trong vụ trụ.


5
b) Cường độ trường hấp dẫn.
Lực hấp dẫn do chất điểm có khối lượng
1
m
hút chất điểm có khối lượng
m

được viết dưới dạng:
3
m.m'
F G. r m.g
r
  

trong đó
r
là bán kính vector kẻ từ ví trí của
1
m
tới vị trí của
m
và đại lượng
vector.
1 2 k N
m ,m , ,m , m

1
3
m
g G. r
r


m

Gọi là trường hấp dẫn, hay đơn giản là trường hấp dẫn, do khối lượng

1
m

gây ra tại vị trí của
m
.
Trường hấp dẫn do
1
m
gây ra tồn tại một cách độc lập, không phụ thuộc
trong không gian có mặt hay không có mặt khối lượng
m
.
Lực hấp dẫn do các chất điểm có khối lượng
1 2 k
m ,m , ,m
hút chất điểm
có khối lượng m sẽ là :
k
kk
3
k
k
m.m
F F G. r m.g
r
   


Trong đó

k
r
là vector kẻ từ vị trí của
k
m
tới vị trí của
m
và
k
k
gg

với


k
kk
3
k
m
g G r
r


(1.1)

Công thức
(1.1)
biểu diễn nguyên lý chồng chất của trường hấp dẫn: trường
tổng hợp của nhiều khối lượng bằng tổng vector của các trường do từng khối

lượng riêng lẻ sinh ra.
c) Khối lượng hấp dẫn và khối lượng quán tính.
Khối lượng quán tính
q
m
đặc trưng cho mức quán tính của vật được xác
định theo gia tốc a mà vật thu được dưới dạng của lực
F

Theo định luật Nentow, ta có:
q
F m a


6
Còn khối lượng hấp dẫn
h
m
đặc trưng cho mức hấp dẫn của vật được xác
định từ định luật vạn vật hấp dẫn Newton.
hh
2
mM
F G.
r


Trong đó
h
M

là khối lượng hấp dẫn của vật đã gây ra lực hút lên
h
m

Một chất điểm có khối lượng quán tính
q
m
và khối lượng hấp dẫn
h
m
chuyển
động dưới tác dụng của lực hấp dẫn
F
sẽ thu được gia tốc a bằng:
hh
2
q
Mm
aG
m
r


Người ta dùng con đường thực nghiệm chứng minh được khối lượng hấp dẫn
và khối lượng quán tính tỉ lệ với nhau :
hq
m Km

(
K

là hệ số tỉ lệ)
Nếu chọn đơn vị thích hợp sao cho
2
GM
g
R

thì
K
=1 và như vậy
hq
mm

Dựa vào kết quả đo của (Etveso) độ chênh lệch giữa khối lượng hấp dẫn và
khối lượng quán tính không thể quá
8
10

. Như vậy khối lượng hấp dẫn bằng
khối lượng quán tính ;
hk
mmm
.
Sự tỉ lệ của lực hấp dẫn với khối lượng của chất điểm mà nó tác dụng
F mg
có một nội dụng vật lý sâu sắc: gia tốc của chất điểm trong trường hấp
dẫn không phụ thuộc khối lượng của nó và cường độ trường hấp dẫn:
F mg
ag
mm

  

Như vậy, trường hấp dẫn có tính chất rất đặc biệt: Trong trường hấp dẫn,
mọi vật không phụ thuộc khối lượng lớn bé, đều thu được gia tốc như nhau.



7
- Trường hấp dẫn theo quan điểm về mặt năng lượng.
a) Thế hấp dẫn.
Thế năng tương tác giữa chất điểm
1
m
và chất điểm
m
ở cách nhau một
khoảng
r
bằng :

1
Gmm
Um
r
   

Trong đó
1
m
G

r
  
gọi thế hấp dẫn tại ví trí của khối lượng
m
.
Ta hãy xét thế hấp dẫn do các khối lượng
1 2 k
m ,m , ,m
gây ra tại một
điểm P nào đó trong không gian. Thế hấp dẫn do khối lượng
k
m
gây ra ại một
điểm P là:
k
k
k
Gm
r
  

Trong đó
k
r
là khoảng cách từ vị trí của chất điểm
k
m
đến điểm P.
Cường độ trường hấp dẫn do
k

m
gây ra tại điểm P bằng :
kk
g grad  

Cường độ trường hấp dẫn do các khối lượng
1 2 k
m ,m , ,m
gây ra tại điểm
P sẽ là:
kk
kk
g g grad( ) grad      

.
Trong đó :
k
k
k
kk
m
G
r
    

.
là thế hấp dẫn do các khối lượng
1 2 k
m ,m ,m
gây ra tại điểm P.

Khi khối lượng
m
chuyển dời từ một điểm có thế hấp dẫn
1

tới một điểm
có thế hấp dẫn
2

thì công của lực hấp dẫn tạo ra sẽ là :
12 1 2 1 2
A U U m( )    
.
Ta có mối liên hệ giữa thế hấp dẫn và lực hấp dẫn.
F gradU
.

8
b) Định lý về mômen động lượng trong trường hấp dẫn.
Ta khảo sát chuyển động của lực hấp dẫn trong trường hấp dẫn của một chất
điểm khối lượng M đặt cố định tại một điểm O.
Ta chọn O làm gốc tạo độ.
Định lí về mômen động lượng áp dụng với chất điểm m.
F
dL
M
dt


Nhưng

F
là lực hướng tâm O nên :
F
M0
và
dL
0
dt


Suy ra :
L const

Vậy khi một chất điểm m chuyển động trong trường hấp dẫn của chất điểm
M thì mômen động lượng của m là một đại lượng bảo toàn.
Hệ quả : Chất điểm m chuyển động trên quỹ đạo phẳng, mặt phẳng quỹ đạo
của chất điểm m vuông góc với
L
( có phương không đổi).
c) Định lí biến thiên và định luật bảo toàn xung lượng của hệ.
Các phương trình chuyển động của hệ chất điểm. Gọi
kl
f
là nội lực do chất
điểm
l
M
tác dụng lên chất điểm
k
M

của hệ. Nội lực do
(N 1)
chất điểm còn
lại tác dụng lên chất điểm của hệ bằng
k kl
l
ff

với
lk
.
Ngoại lực tác dụng lên chất điểm
k
M
được kí hiệu
k
F
. Chuyển động của hệ
N
chất điểm đối với hệ quy chiếu quán tính được xác định bởi
N
phương trình
vector sau đây :
k
k k k kl
l
dp
F f F f
dt
   



(1.2)

l k,k 1,2,3, 
.
Trong đó
k k k
p m v
là xung lượng của chất điểm
k
M
.
Từ phương trình chuyển động
(1.2)
, nội lực
k
f
tác dụng lên chất điểm
k
M

của hệ được viết dưới dạng :

9
k
k kl k
lk
dp
f f F

dt

   

.
Tổng nội lực tác dụng lên mọi chất điểm của hệ bằng :
k
k kl k
k k l k k
dp
f f F
dt
   
   

(1.3)

lk
.
Theo định luật III Newton, chất điểm
l
M
tác dụng lên chất điểm
k
M
một
lực
kl
f
thì ngược lại , chất điểm

k
M
tác dụng lên chất điểm
l
M
một lực
kl lk
ff
. Như vậy, ứng với lực bất kỳ
kl
f
có lực
lk
f
mà
kl lk
f f 0
với
lk
.
Vì tổng từng đôi một của nội lực triệt tiêu nhau :
12 21 13 31 kl lk
f f 0,f f 0, ,f f 0     
,
nên tổng các nội lực tác dụng lên mọi chất điểm của cơ hệ bằng không
kl
kl
f0

.

(1.4)
.
Từ
(1.3)
và
(1.4)
ta có :
dP
F1
dt


(1.5)

Trong đó
k k k k
k k k
P p m v ,F F  
  
.
Đại lượng
P
bằng tổng hình học xung lượng của các chất điểm của các chất
điểm của hệ gọi xung lượng của hệ và đại lượng
F
là tổng ngoại lực tác dụng
lên hệ. Phương trình
(1.5)
được phát biển như sau : Đạo hàm vector xung lượng
của hệ theo thời gian bằng tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ. Đó

là định lí biển thiên xung lượng của hệ.
Đối với hệ cô lập thì
F0
và ta có :
dP
F0
dt

hay
0
P P const
.
Như vậy, xung lượng của hệ cô lập là một vector không đổi. Nói cách khác,
đối với hệ cô lập thì xung lượng của hệ bảo toàn.

10
d) Động năng. Định lí biến thiên động năng.
Lực tác dụng lên chất điểm có khối lượng
m
bằng :
d(mv)
F
dt


Công của lực
F
khi chất điểm chuyển dời được khoảng vô cùng bé
ds vdt

bằng:
d
A Fds (mv).vdt vd(mv)
dt
   
.
Lưu ý rằng :
2
22
m(v)
d( ) vd(mv),(v) v
2

,
Ta có :
2
mv
A d( )
2


Đại lượng
2
mv
T
2

gọi là động năng của chất điểm. Công của lực trường
F

trên quãng đường
s
từ vị trí 1 tới vị trí 2 bằng :

22
2 2 2
21
12 2 1
11
mv mv mv
A A d( ) T T
2 2 2
      

.
Trong đó
2
1
1
mv
T
2

và
2
2
2
mv
T
2


là động năng của chất điểm ở vị trí 1 và 2.
Như vậy, độ biến thiên động năng của chất điểm trên một chuyển dời nào đó
bằng công của lực trường đặt lên chất điểm trên chuyển dời đó. Đó là biển thiên
động năng đối với chất điểm.
e) Thế năng.
Khi chất điểm chuyển dời trong trường lực thế từ vị trí đầu
o
r
đến vị trí cuối
r
thì công của lực thế
A
chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu
o
r
và vị trí cuối
r
. Từ tính
chất này, người ta đưa vào hàm thế năng tương tác của chất điểm
U
, nói gọn thế
năng
U
, xác định như sau :

11
Thế năng tương tác của chất điểm trong trường lực thế là một hàm
U
phụ

thuộc vị trí của chất điểm sao cho :
o
o
(r)
(r ) (r)
(r )
A Fds U U  

.
(1.6)
.
Trong đó
o
(r )
U
và
(r)
U
là thế năng của chất điêm ở vị trí
o
r
và
r

Đẳng thức
(1.6)
được phát biểu : Công của lực thế khi chất điểm chuyển dời
từ vị trí đầu
o
r

đến vị trí cuối
r
bằng hiệu các giá trị của thế năng ở vị trí đầu
o
r
và vị trí cuối
r
của chất điểm.
Lưu ý rằng :
oo
(r ) (r) (r ) (r)
A (U C) (U C) U U     
.
Trong đó
C
là hằng số. Vậy, thế năng của chất điểm tại một vị trí được xác
định sai khác một hằng số cộng
C
. Khi chuyển từ vị trí đầu
o
r
về vị trí cuối
r

vì thế năng biến thiên một lượng :
o
(r) (r )
U U U  
.
Khi đó ta có :

AU 

Nếu điểm đầu và cuối được được chọn vô cùng gần nhau . thì công của lực
thế trên độ dời vô cùng bé
ds dr
ấy sẽ là :
A Fdr dU   
.
Đó là hệ thức cho ta mối liên hệ giữa lực tác dụng lên chất điểm và thế năng
của nó.
f) Bảo toàn cơ năng trong trường hấp dẫn.
Vì trường hấp dẫn là trường thế nên khi chất điểm chuyển động trong trường
hấp dẫn thì cơ năng của chất điểm m được bảo toàn.
2
r
mv M.m
E T U ( G )
2r
    
=cosnt.



12
1.2 Các định luật Kepler
- Các định luật Kepler đƣợc phát biểu trên cơ sở thực tiễn
Nhà khoa học Áo Kepler dựa trên những quan sát được đã xây dựng được ba
định luật nổi tiếng sau :
1. Các hành tinh chuyển động trên những quỹ đạo elip mà một tiêu điểm là Mặt
Trời.

2. Bán kính vector (kẻ từ tâm Mặt trời đến hành tinh ) quét những diện tích bằng
nhau trong khoảng thời gian bằng nhau.
3. Bình phương chu kỳ quay T tỉ lệ với lập phương của bán trục lớn a:
23
T ca ,c const
.
- Các định luật Kepler đƣợc xây dựng trên định luật bảo toàn mômmen
xung lƣợng và bảo toàn năng lƣợng
Gọi M là khối lượng của vật gây ra trường hấp dẫn và m là khối lượng của
chất điểm chuyển động cần nghiên cứu.






Trường lực F có giá đi qua tâm của M như vậy gọi là trường xuyên tâm.
Mômen của lực
F
đối với điểm O bằng :
dL
M r F 0
dt
   

vì cánh tay đòn của mômen lực đối với điểm O luôn bằng không.
Do đó mômen xung lượng của chất điểm m đối với tâm O là đại lượng bảo
toàn :
L r mv const  
.

r dr

dr

F

M
m
O
r


13
Chuyển động của chất điểm trong trường hấp dẫn xuyên tâm có những tính
chất riêng. Ta hãy xét lại biển thức của mômen xung lượng của chất điểm m như
sau :
dr
L m(r v) m(r )
dt
   
=
(r dr)
m
dt


Trong đó
dr
là độ rời của chất điểm m trong thời gian
dt

. Lưu ý rằng độ lớn
của diện tích vector
r dr
bằng diện tích hình bình hành có hai cạnh là
r
và
dr
. Mà diện tích hình bình hành bằng hai lần diện tích hình quạt vô cùng bé mà
vector
r
xác định vị trí của chất điểm quét được trong khoảng thời gian
dt
. Gọi
dS
là diện tích đó, ta có thể viết độ lớn mômen xung lượng L như sau :
dS
L 2m 2m
dt
  
.
Đại lượng
dS
dt

là vận tốc diện tích. Vì
L const
nên
const
.
Ta có định luật II Kepler:

“Bán kính vector
r
của hành tinh quét những diện tích bằng nhau trong
những khoảng thời gian bằng nhau.”
- Bây giờ ta tìm phương trình quỹ đạo của chất điểm. Từ biển thức của cơ năng
E dễ thấy rằng :

2
2
(r)
2
dr 2 2 L
( ) [E V ] [E ]
dt m m r
2mr

    

Trong đó :
GMm
.
Hay :


1
2
2
2
dr 2 L
{ [E ]}

dt m r
2mr

   

(1.7)
.
Ta có độ lớn
L
bằng :
2
d
L mrv mr const
dt

  
.
2
dL
dt
mr



(1.8)
.

14
Khử
dt

trong các phương trình
(1.7)
và
(1.8)
ta được :
2 2 1
2
2
2
L L dr
d dt
mr mr
2L
{ [E ]}
mr
2mr
   


.
Hay
2
1
2
2
2
L
dr
mr
d

2L
{ [E ]}
mr
2mr
  


.

Tích phân hai vế phương trình này ta nhận được :

2
o
1
2
2
2
L
dr
mr
2L
{ [E ]}
mr
2mr
    




Hay

2
o
1
2
2
2
L
dr
2mr
()
2L
{ [E ]}
mr
2mr
   



.
(1.9)

trong đó
o

là hằng số tích phân.
Nếu đặt
22
22
1 2mE m
u ,A B ,B

r
LL

   
.
Thì ta viết lại
(1.9)
dưới dạng :
o
22
d(u B) u B
( ) arcos( )
A
A (u B)

     


.
Từ hệ thức này suy ra :
oo
u B Acos[ ( )] Acos( )     
.
Hay
o
p
r
1 ecos( )

  

Trong đó:

15
2
1L
p
Bm


,
1
2
o
2
2
2E L
A
e {1 }
B
m
  

.
(1.10)

Với
o
EE
là năng lượng ban đầu của chất điểm.

Ta chọn trục độ cực sao cho khi
0
thì
min
p
rr
1e


.
Khi chọn
o
0
phương trình quỹ đạo của chất điểm bây giờ có dạng đơn
giản:
p
r
1 ecos


.
(1.11)

Đó phương trình của đường cônic có tâm sai e, có tham số p và có tiêu điểm
nằm ở tâm của trường lực ( ở gốc tọa độ O).
Như vậy, tùy theo năng lượng ban đầu
o
E
khác nhau mà chất điểm chuyển
động theo quỹ đạo khác nhau.

Ta có định luật I Kepler :
“Các hành tinh chuyển động theo quỹ đạo elip, Mặt trời nằm tại một trong
hai tiêu điểm của elip quỹ đạo.”
- Ta hãy xét chi tiết hơn chuyển động của chuyển động của hành tinh theo quỹ
đạo elip. Từ phương trình quỹ đạo
(1.11)
.
min max
pp
r ,r
1 e 1 e
  

.
Trong đó
min
r
và
max
r
khoảng cách từ tâm hấp dẫn đến
điểm gần nhất và điểm xa nhất trên quỹ đạo elip.

16









tâm I của elip đến tiêu điểm O,
c
e
a

, và lưu ý rằng : elip là quỹ tích của những
điểm mà tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm O và O’ bằng 2a, ta có:




min max
a IA IB
b IM IN
c
c IO IO',e
a
2a MO' MO 2MO
r OA,r OB



  
  



Từ đó suy ra:
2
2
pp
a ,b
1e
1e




(1.12)

Đặt các giá trị của p và e từ
(1.10)
vào
(1.12)
ta có thể biểu diễn
a
và
b
qua
E

và
L
:
L
a ,b
2E
2m E



(1.13)

max min
2
max min
2
2 2 2
2p
2a r r
1e
2pe
2c r r
1e
b a c
  

  


M

B
A
O’
O
I
N
a
a
b
c
a

17
Từ
(1.13)
ta thấy rằng bán trục bé
b
phụ thuộc cả
L
và
E
, còn bán trục
lớn
a
chỉ phụ thuộc vào
E
.
Gọi T là chu kỳ của hành tinh quanh Mặt Trời,
S ab
là diện tích của elip

quỹ đạo thì ta có:
L
ab T T
2m
   
.
Dễ thấy rằng:
2 2 2
2 2 2 2 2 3
2
4 m m
T m a b 4 a
2E
L
  
   

.
Hay:
2
23
4
Ta
G.M


.
Ta có định luật III Kepler:
Bình phương chu kỳ chuyển động của hành tinh quanh Mặt Trời tỉ lệ với lập
phương bán trục lớn của quỹ đạo elíp.

18
Chƣơng 2: Các bài toán chuyển động của vệ tinh nhân tạo và tàu vũ trụ
trong trƣờng hấp dẫn

2.1. Bài toán áp dụng các công thức động học để xác định các đại lƣợng vận
tốc và độ cao, chu kỳ, tần số, của vệ tinh nhân tạo và tàu vũ trụ chuyển
động trong trƣờng hấp dẫn
1) Bài tập mẫu
Bài 1: Một vệ tinh nhân tạo chuyển động tròn đều quanh Trái Đất mỗi vòng hết
1 giờ. Hãy tính tốc độ dài và gia tốc hướng tâm của vệ tinh. Biết bán kính của
Trái Đất là
6400km
. Và độ cao của vệ tinh là
400km
.
Giải
Tốc độ góc của vệ tinh nhân tạo:

22
(rad s)
T 3600 1800
  
   

.
Tốc độ dài của vệ tinh nhân tạo:
55
v R (64.10 4.10 ). 11868(m s)
1800

    
.
Gia tốc hướng tâm của vệ tinh nhân tạo:
22
2
ht
5
v 11868
a 20,7(m s )
Rh
(64 4).10
  


.
Bài 2: Một vệ tinh nhân tạo ở độ cao
250km
bay quanh Trái Đất theo một quỹ
đạo tròn. Chu kỳ quay của vệ tinh là 88 phút. Tính tốc độ góc, tốc độ dài,và gia
tốc hướng tâm của vệ tinh. Cho bán kính của Trái Đất là
R 6400km
.
Giải
Khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vệ tinh nhân tạo là :

6
R' 6400 250 6650(km) 6,65.10 (m)   

Tốc độ góc của vệ tinh nhân tạo :
3
2
1,19.10 (rad s)
5280


  
.
Tốc độ dài của vệ tinh nhân tạo :

19
36
v R 1,9.10 .6,65.10 12635(m s)

   
.
Gia tốc hướng tâm của vệ tinh nhân tạo :
2 3 2 6 2
a R (1,19.10 ) .6,65.10 9,4(m s )

   
.
Bài 3: Một vệ tinh quay quanh Trái Đất tại độ cao
200km
so với mặt đất ở độ
cao đó, gia tốc rơi tự do là 9,2

2
m / s
. Hỏi tốc độ quỹ đạo của vệ tinh là bao
nhiêu.
Giải
Đây là chuyển động tròn đều quanh Trái Đất.
Để tìm
v
ta có thể áp dụng phương trình.
2
v
a
r

với
ag
và
r R h
.
Ta có :
6
R 6,37.10

2
v
g v g(R h) 7770
Rh
     


( / )ms

Vậy tốc độ của vệ tinh là : 7770 (m/s).
Bài 4. Một vệ tinh nhân tạo quay quanh Trái Đất với tần số 5 vòng/phút. Biết vệ
tinh cách tâm Trái Đất là 7600 km.
a) Tốc độ góc của vệ tinh đó là bao nhiêu.
b) Gia tốc hướng tâm của vệ tinh.
Giải
a) Do vệ tinh chuyển động tròn đều quanh Trái Đất nên ta có:
Tốc độ góc :
5.2
60 6

  
(rad/s).
b) Gia tốc hướng tâm của vệ tinh nhân tạo bằng:

2 2 2 2
2
ht
vr
a r 7600. 0,82
r r 36

     
(
2
m / s
).
Bài 5. Một vệ tinh nhân tạo chuyển động trong trường hấp dẫn của Trái Đất với

tần số 400 vòng/phút. Vệ tinh ở độ cao so với tâm Trái Đất là 8400km.
a) Tính chu kỳ của vệ tinh nhân tạo đó.
b) Tính gia tốc hướng tâm của vệ tinh đó.


20
Giải
a) Do vệ tinh chuyển động tròn đều quanh Trái Đất nên ta có:
Tốc độ góc của vệ tinh nhân tạo là:
400.2 40
60 3

  
(rad/s).
Chu kỳ của vệ tinh nhân tạo là:
2 2 3
T
40
20
3

  


(s).
b) Gia tốc hướng tâm của vệ tinh nhân tạo là:
2
2 2 2
26
ht

v r 40
a r 8400. 15.10
r r 3


     


(
2
m / s
).
Bài 6 : Ngày 13/3/1989 tàu vũ trụ con thoi Discover đã chở 5 nhà du hành vũ trụ
ở độ cao 295km trên bề mặt Trái Đất. Ở độ cao này tàu thực hiện 1 vòng bay
quanh Trái Đất trong thời điểm 90ph. Xác định vận tốc và gia tốc của tàu.
Giải
Ta có vận tốc trong chuyển động tròn khi tàu thực hiện được 1 vòng là:
2r
v
T


;
0
r r h
;
T 90.60 5400s
.
Thay số vào tính toán ta được : v=7,67 m/s.
Gia tốc trong chuyển động tròn đều của tàu vũ trụ là:

22
v 7,76
a 0,009
R 6673
  
km/
2
s
=
2
9m / s
.
2) Phƣơng pháp giải
Bước 1: Xác định các dữ kiện trong bài và phân tích bài toán.
Bước 2: Áp dụng các công thức trong chuyển động tròn đều vào giải các bài
toán.
- Vận tốc góc: vận tốc góc có giá trị bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian
của góc quay.
t0
d
lim
t dt

 
  

.

21

Vận tốc góc, nói chung, biến đổi theo thời gian. Trong chuyển động quay
đều vận tốc

không đổi và bằng :
2
2f
T

   
.
với
T
chu kỳ quay đó là thời gian để chất điểm quay được một vòng, với
1
f
T


là số chu kỳ ( số vòng quay ) trong đơn vị thời gian và được gọi tần số.
- Sự liên hệ giữa vận tốc góc và vận tốc dài trong chuyển động tròn đều. Trong
khoảng thời gian
dt
chất điểm dịch chuyển được một vô cùng bé
ds
. Ta có :
ds Rd

ds d
v R R
dt dt


   
.
Từ định nghĩa tích hữu hướng của hai vector, ta có :
dR
vR
dt

  

.
(1')

- Gia tốc góc: gia tốc góc bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vector
vận tốc góc xác định biến thiên cảu vector vận tốc góc.
t0
d
lim
t dt

 
  

.
Lấy đạo hàm theo thời gian của
(1')
, ta có:
dv d dR
aR
dt dt dt

   

    
   
   
.
Lưu ý rằng:
d dR
,v R
dt dt


    

.
ta viết được:
tn
a a a

trong đó:
tt
a R ,a R

    

.

22
2
nn

a v R ,a R

   
      
   

.
Thành phần
t
a
gọi gia tốc tiếp tuyến trong chuyển động của chất điểm.
Thành phần
n
a
gọi gia tốc pháp tuyến trong chuyển động của chất điểm.
(Chú ý các bài toán trên chuyển động vệ tinh nhân tạo là chuyển động tròn
đều, hoặc chuyển gần tròn đều).
3) Các dạng bài toán :
- Tìm vận tốc dài của vệ tinh nhân tạo trong trường hấp dẫn.
- Tìm gia tốc góc của vệ tinh nhân tạo trong trường hấp dẫn.
- Tìm độ cao của vệ tinh nhân tạo chuyển động trong trường hấp dẫn.
- Tìm các vận tốc vũ trũ của vệ tinh nhân tạo trong trường hấp dẫn.
2.2. Bài toán áp dụng định luật vạn vật hấp dẫn và các định luật Newton
trong chuyển động của vệ tinh nhân tạo và tàu vũ trụ trong trƣờng hấp dẫn
1) Bài tập mẫu
Bài 1: Vệ tinh nhân tạo của Trái Đất chuyển động tròn trong mặt phẳng xích đạo
từ Tây sang Đông với vận tốc góc bằng vận tốc góc của Trái Đất quay xung
quanh trục của nó( vệ tinh đứng yên ở một độ cao nào đó với mặt đất). Tính độ
cao của vệ tinh. Cho bán kính Trái Đất
6

R 6,37.10 m
.
Giải
Vệ tinh chuyển động tròn. Lực hấp dẫn đóng vai tròn lực hướng tâm :
2
2
2
GMm v
F m ,GM gR
r
r
  
.
2
v r r,r R h,h
T

    
là độ cao.
 
2
2
2
2
2 gR
v R h
T (R h)


  




.
1
2
3
2
T
R h gR
2















23
2
m
g 9,8 ,

s


T 24
giờ
86400s,

6
R 6,37.10 m.

77
7 7 7
R h 4,22.10 m h 4,22.10 R
h 4,22.10 0,637.10 3,583.10 m
    
  

h 35830km
(loại vệ tinh để phát vô tuyến truyền hình).
Bài 2: Một vệ tinh nhân tạo có khối lượng
m
chuyển động theo quỹ đạo tròn
bán kính
r
. Gia tốc hướng tâm của vật bằng
2
16
r
. Vận tốc dài của vệ tinh sẽ bằng
bao nhiêu ?.

Giải
Vệ tinh chuyển động tròn. Lực hấp dẫn đóng vai tròn lực hướng tâm :

2
ht ht
mv
F ma
r

.
Ta có:
2
ht
v ra

ht
v ra
.
2
16 16 4
vr
r
r
r
  

()ms
.
(Tùy theo bài toán cho dữ kiện
r

là một sơ cụ thể ta sẽ tính được vận tốc dài
của vệ tinh).
Bài 3: Mô tả cách phóng một vệ tinh nhân tạo để trở thành vệ tinh địa tĩnh của
Trái Đất. Hãy xác định vận tốc và quỹ đạo của vệ tinh nhân tạo.
Giải
Vận tốc vũ trụ cấp I- vệ tinh địa tĩnh:
Để vật chuyển động tròn quanh Trái Đất, giả sử ở độ cao
h
,
hR
, ta có
thể coi vật chuyển động quỹ đạo tròn bán kính
R
thì vận tốc có liên quan với lực
hướng tâm (là lực hấp dẫn) :
2
2
mv FR
Fv
Rm
  
.