Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
#"



LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC




PHƯƠNG TRÌNH SÓNG
PHI TUYẾN CÓ CHỨA SỐ HẠNG
KIRCHHOFF



Người hướng dẫn: TS. TRẦN MINH THUYẾT
Học viên cao học: TRẦN ĐÌNH GIÁP
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 1.01.01





TP. HỒ CHÍ MINH 2008


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
#"



TRẦN ĐÌNH GIÁP



PHƯƠNG TRÌNH SÓNG
PHI TUYẾN CÓ CHỨA SỐ HẠNG
KIRCHHOFF



LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC


Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 1.01.01




TP. HỒ CHÍ MINH 2008



LUẬN VĂN ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP. HỒ CHÍ MINH

 Người hướng dẫn:
TS. TRẦN MINH THUYẾT
Khoa Toán – Thống kê
Đại học Kinh Tế TP.HCM
 Người nhận xét 1:
PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY
Khoa Toán –Tin học
Đại học Sư phạm TP.HCM
 Người nhận xét 2:
TS. NGUYỄN THÀNH LONG
Khoa Toán – Tin học
Đại học Khoa học tự nhiên TP.HCM
 Học viên cao học:
TRẦN ĐÌNH GIÁP
Đại học Kinh Tế TP.HCM
Luận văn sẽ được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn tại trường Đại Học
Khoa Học Tự Nhiên TP. Hồ Chí Minh vào lúc… giờ… phút,
ngày……tháng… năm 2008.
Có thể tìm hiểu luận văn tại phòng sau Đại học, Thư viện ĐH khoa học tự
nhiên TP . Hồ Chí Minh.






LỜI CẢM ƠN

ời đầu tiên tôi xin kính gởi đến Thầy TS. Trần Minh Thuyết

lời cảm ơn sâu sắc về sự giúp đỡ của Thầy đối với tôi trong
suốt thời gian qua, nhất là trong quá trình hoàn thành luận
văn này.
Xin chân thành cảm ơn Thầy TS. Nguyễn Thành Long đã đọc và cho
những chỉ dẫn hết sức quí báu đối với luận văn này khi còn ở bản thảo.
Xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Bích Huy là Th
ầy dạy của tôi
từ những năm Đại học về những nhận xét bổ ích cho luận văn.
Tôi cũng xin cảm ơn tất cả quí Thầy trong hội đồng chấm luận văn đã
dành cho tôi thời gian quí giá và những nhận xét sâu sắc cho buổi bảo vệ
luận văn.
Xin cảm ơn quí Thầy, Cô khoa Toán tin Trường ĐHKHTN - ĐHQG
TP. HCM, khoa Toán tin Trường ĐHSP TP.HCM đã tận tình giảng dạy và
truy
ền đạt cho chúng tôi nhiều kiến thức khoa học.
Xin cảm ơn anh Phạm Thanh Sơn và anh Nguyễn Kim Âu về những
đóng góp cho bản luận văn này.
Tôi xin cảm ơn quí Thầy, Cô thuộc phòng quản lý sau đại học trường
ĐHKHTN TP. HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi suốt khóa học.
Xin cảm ơn Thầy Ths. Lê Khánh Luận cùng các anh chị em trong
nhóm seminar định kỳ và bạn bè cùng khóa qua những trao đổ
i - thảo luận
các đề tài liên hệ đến luận văn này.
Đặc biệt, tôi xin gởi đến các bậc Cha Mẹ cùng mọi thành viên trong gia
đình tôi, nơi cho tôi những điều kiện thuận lợi để học tập, nghiên cứu lòng
tri ân cao cả nhất.
TP. HCM Xuân Mậu Tý.


L

MỤC LỤC



Trang
Lời cảm ơn
Mục lục
Chương 0 : Phần mở đầu 1
Chương 1 : Một số công cụ chuẩn bị 5
Chương 2 : Nghiên cứu phương trình với
2
()
ttt
f
uuu
β
λ
−
= 14
2.1 : Giới thiệu 14
2.2 : Các giả thiết…………………………………………………………… 15
2.3 : Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm………………………………………16
2.4 : Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi
0λ
+

→ 30
Chương 3 : Nghiên cứu phương trình với
2
2
(, )
ttt
f
uu Ku u u u
β
α
λ
−
−
=+ 37
3.1 : Giới thiệu 37
3.2 : Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm …………………………………… 37
3.3 : Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi
0, 0K λ
++
→→……………… 48
3.4 : Sự ổn định nghiệm……………………………………………………….55
Kết luận 61
Tài liệu tham khảo.

Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 1
Học viên Trần Đình Giáp
CHƯƠNG 0
Phần mở đầu
Trong luận văn này, chúng tôi xét hai bài toán giá trị biên và ban đầu cho
phương trình sóng phi tuyến thuộc dạng dưới đây

()
2
2
(, ) (,),(,) (0, ),
tt t
uuBuufuuFxtxt Tµ+∆− ∇ ∆+ = ∈Ω×

(0.1)


(0,) (1,) 0,ut ut==

(0, ) (1, ) 0,
xx
ut ut==

(0.2)


0

(,0) (),ux u x=

1
(,0) (),
t
ux ux=
(0.3)

trong đó
(0,1), 0, 0T µΩ= > >
là các hằng số dương cho trước, các hàm cho
trước
01
,, , ,BfFu u
sẽ được giả thiết sau. Trong phương trình
(0.1),
số hạng phi
tuyến
()
2
B
u∇
phụ thuộc vào tích phân

1
2
2
0
() ( , )
xx

ut u xtdx=
∫

(0.4)

và thỏa điều kiện

() :iB
+
→\\
liên tục,
(0.5)


00 0 0
0
() 0, 0: () ,
z
ii D B s ds D zγγ∃> > ≥− ∀≥
∫
.
(0.6)

Trong trường hợp
(0, ),LΩ=
phương trình
(0.1)
được tổng quát hóa từ phương
trình sau đây mô tả dao động phi tuyến của một dây đàn hồi ( xem Kirchhoff [6],
Carrier [2] )

2
0
0
(,)
,0 ,0 ,
2
L
tt xx
Eh u y t
hu P dy u x L t T
Ly
ρ
⎛⎞
∂
⎟
⎜
⎟
⎜
=+ << <<
⎟
⎜
⎟
⎜
∂⎟
⎝⎠
∫

(0.7)

ở đây
u là độ võng,
ρ
là khối lượng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài của sợi
dây ở trạng thái ban đầu,
E là môđun Young và
0
P là lực căng lúc ban đầu.





Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 2
Học viên Trần Đình Giáp
Khi
0f =
, bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho phương trình
(0.1)
đã được
nghiên cứu bởi nhiều tác giả; chẳng hạn như Ebihara, Medeiros và Miranda [4].
Medeiros trong [13] đã nghiên cứu bài toán (0.1) – (0.4) với
2
() ,ffubu==

trong đó
b là hằng số dương cho trước, Ω là một tập mở bị chận của
3
.\
K. Nishihara trong [14] đã xét bài toán

(0.1)
– (0.4) với
0
µ
=

()
tt
f
fu uλ==
,
0λ >
là hằng số cho trước.
Hosoya và Yamada trong [5] đã xét bài toán
(0.1)
với
() ,
f
fu u u
α
δ==−

trong đó
0, 0δα>≥
là các hằng số cho trước.
Dmitriyeva trong [3] nghiên cứu bài toán hai chiều

()
2
2

(,), , 0 ,
tt t
uuBuuuFxtx tTλε+∆− ∇ ∆+ = ∈Ω <<
(0.8)

2
2
2
1
0
i
i
i
u
u
x
ν
=
∂
==
∂
∑
trên
,∂Ω
(0.9)

0
(,0) ()ux u x=
,
1

(,0) (),
t
ux ux= (0.10)

trong đó
(0,) (0,),ππΩ= × ν là pháp tuyến đơn vị trên biên ∂Ω hướng ra ngoài,
22
2
cos( , ), ,
6
ii
h
Ox
π
ννλ==
với
,h ε
là các hằng số dương. Trong trường hợp
này, bài toán mô tả dao động phi tuyến của một bản hình vuông có tải trọng tĩnh.
N.T. Long và các tác giả [7] đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của
bài toán

()
2
1
2
(,), ,0 ,
tt t t
uuBuuuuFxtx tT
α

λε
−
+∆− ∇ ∆+ = ∈Ω <<
(0.11)

0
u
u
ν
∂
==
∂
trên
,∂Ω
(0.12)

0
(,0) (),ux u x=

1
(,0) (),
t
ux ux= (0.13)






Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 3

Học viên Trần Đình Giáp
trong đó
0, 0, 0 1λε α>> <<
là các hằng số cho trước.
Bằng sự tổng quát hóa của [7], N.T. Long và T.M. Thuyết trong [10] đã
nghiên cứu bài toán

()
2
2
(, ) (,),(,) (0, ),
tt t
uuBuufuuFxtxt Tλ+∆ − ∇ ∆+ = ∈Ω×
(0.14)
liên kết với (0.12), (0.13).
Trong [9], Long, Alain và Diễm đã dùng phương pháp xấp xỉ tuyến tính để
chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán

()
2
(,, , , ),(,) (0,1) (0, ),
tt xx x t
uBuu fxtuuu xt T−∇ = ∈ ×
(0.15)

(0,) (1,) 0ut ut==
, (0.16)

0
(,0) ()ux u x=

,
1
(,0) ()
t
ux ux= , (0.17)
trong đó
03
([0, 1 [0, ) ),fC∈×∞×\
2
0
(0,1),uH∈
1
1
(0,1),uH∈
1
(),BC
+
∈ \
0
0,Bb≥>
thỏa điều kiện
03
,, , ([0,1[0,) )
x
ffff
C
xuu u
∂∂∂∂
∈×∞×
∂∂∂ ∂

\

và một số
điều kiện phụ.
Mặt khác nhiều kết quả gần đây thuộc loại phương trình sóng có dạng tương
tự cũng được phát triển và quan tâm theo nhiều khía cạnh khác nhau, xem [8], [11].
Nội dung của luận văn bao gồm các phần sau:
Phần mở đầu, Chương 0 khái quát về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm
qua các kết quả đã có trước đó đồng thời nêu bố
cục luận văn.
Chương 1, là chương công cụ, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị
bao gồm việc nhắc lại một số không gian hàm, các ký hiệu, một số kết quả về phép
nhúng compact giữa các không gian hàm quan trọng.
Chương 2, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu bài toán
(0.1) (0.4)−
với

2
() , 1, 0.
ttt
f
uuu
β
λβλ
−
=>>

Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 4
Học viên Trần Đình Giáp
Chứng minh được dựa vào phương pháp xấp xỉ Galerkin liên hệ với các đánh
giá tiên nghiệm, hội tụ yếu, toán tử đơn điệu và kỹ thuật về tính compact. Sau đó
khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm bài toán
(0.1) (0.4)
−
với

12,β<≤
khi 0.λ
+
→
Trong Chương III, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu bài
toán
(0.1) (0.4)−
với

2
2
( , ) , 1, 1, 0, 0 .
ttt
f
uu Ku u u u K
β
α
λαβ λ
−

−
=+ >>>>

Các chứng minh được thực hiện tương tự như trong Chương III, tiếp theo chúng
tôi khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm bài toán
(0.1) (0.4)
−
với

2, 1 2,αβ≥<≤
khi
0, 0.K λ
++
→→

Sau đó chứng minh nghiệm của bài toán
(0.1) (0.4)
−
với

2, 2, 0, 0Kαβ λ≥≥ >>
là ổn định đối với
,, .KFλ

Kế đến là phần kết luận và sau cùng là danh mục các tài liệu tham khảo.

Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 5
Học viên Trần Đình Giáp
CHƯƠNG 1
Một số công cụ chuẩn bị
1. Các không gian hàm
Đầu tiên, ta đặt các ký hiệu
(0,1),Ω=
(0, ), 0.
T
QTT=Ω× >
Ta bỏ qua
định nghĩa các không gian hàm thông dụng:
(),
m
C Ω (),
p
L Ω (),
m
H Ω
,
().
mp
W Ω Có
thể tham khảo trong [1], [12]. Ta định nghĩa
2
()HL=Ω là không gian Hilbert đối
với tích vô hướng

1
2
0
,()();,().uv uxvxdx uv L〈〉= ∈Ω
∫
(1.1)
Ký hiệu
⋅ chuẩn sinh bởi tích vô hướng này, nghĩa là

1/2
1
22
0
,(),().uuu uxdxuL
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
=〈 〉= ∈ Ω
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
∫
(1.2)
Ta định nghĩa

122
{: }HvLvL
′
=∈ ∈
(1.3)


và

1
11
// / /
00
,,, ()()()().
H
uv uv u v uxvxdx u xv xdx=+ = +
∫∫
(1.4)
1
H là không gian Hilbert đối với tích vô hướng (1.4). Ta ký hiệu
1
1
,
H
H
vuv=〈 〉 là chuẩn trong
1
.H Ta có bổ đề sau.
Bổ đề 1.1. Phép nhúng
1

H 1
0
()ΩC là compact và

01
1
()
2, .
CH
vvvH
Ω
≤∀∈ (1.5)
Chứng minh bổ đề 1.1 có thể tìm trong [12].






Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 6
Học viên Trần Đình Giáp
Chú thích 1.1. Cho
(,)ab ⊂ \
thì ta có
1
(,)Hab1
0
[,] [,]Cab Cab= với phép nhúng là liên tục và do đó

10

(,), [,]: () (), [,],v H ab u C ab vx ux ae x ab•∀∈ ∃∈ = ∈



01
1
00
[,] (,)
0: , ( , ).
Cab Hab
Cv Cv vHab•∃ > ≤ ∀∈
(1.6)
Bổ đề 1.2. Đồng nhất
H
với
/
H
( đối ngẫu của
H
). Khi đó ta có
1
H
1
/
HH≡
1
1/
()H , với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật.
Chú thích 1.2. Từ bổ đề 1.2 ta dùng ký hiệu tích vô hướng
⋅〉

〈
⋅,
trong
2
L để chỉ cặp
tích đối ngẫu giữa
1
H và
1/
()H .
Chuẩn trong
2
L được ký hiệu bởi . . Ta cũng ký hiệu
.
X
để chỉ chuẩn
trong một không gian Banach
X và gọi
/
X là không gian đối ngẫu của .X
2. Không gian hàm
(0, ; ), 1 .
p
LTX p≤≤∞
Ta định nghĩa
(0, ; )
p
LTX là không gian các lớp tương đương chứa hàm
:(0, )uT X→ đo được, sao cho

0
() ,
T
p
X
ut dt<∞
∫
với 1,p≤<+∞
hay

0: ( ) , . ., (0, )
X
MutMaetT∃> ≤ ∈ khi .p =∞ (1.7)
Ta trang bị
(0, ; ), 1 ,
p
LTX p≤≤∞
bởi chuẩn như sau

1
(0, ; )
0
() ,
p
T
p
p
LTX
X
uutdt

⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
=<∞
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
∫
với 1,p≤<+∞

(0, ; )
0
sup ( )
p
LTX X
tT
uessut
<<
=

Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 7
Học viên Trần Đình Giáp

{
}
inf 0 : ( ) , . ., (0, )
X
MutMaetT≡> ≤ ∈
khi . (1.8)p =∞

Khi đó ta có các bổ đề sau đây mà chứng minh của chúng có thể tìm thấy
trong Lions [12].

Bổ đề 1.3. (Lions [12]):
(0, ; ), 1
p
LTX p≤≤+∞
là không gian Banach.
Bổ đề 1.4. (Lions [12]): Gọi
/
X
là đối ngẫu của
.X
Khi đó
/
/
(0, ; )
p
LTX
với

/
11
1, 1 ,p
pp
+= <<∞
là đối ngẫu của
(0, ; ).
p
LTX
Hơn nữa nếu
X
phản xạ
thì
(0, ; )
p
LTX
cũng phản xạ.
Bổ đề 1.5. (Lions [12]):
(
)
/
1/
(0, ; ) (0, ; ).LTX L TX
∞
=
Hơn nữa, các không gian
1/
(0, ; ), (0, ; )LTXL TX
∞
không phản xạ.

Bổ đề 1.6 .(Lions [12]): Ta có
(0, ; ( )) ( ), 1 ,
pp p
T
LTL LQ pΩ= ≤<∞

trong đó
(0, ).
T
QT=Ω×

Chứng minh của bổ đề 1.6 đơn giản nên ta bỏ qua.
3. Phân bố có giá trị vectơ
Trên D
()
0,T
ta định nghĩa sự hội tụ như sau

n
ϕϕ→ trong D
()
0,T nếu
1)
K∃ compact
⊂Ω
sao cho
,,
n
supp supp Kϕϕ⊂
với mọi ,n

2)
sup 0, ,
n
n
xK
DD
αα
ϕϕ α
+
∈
−→∀∈]
trong đó
12
,
n
DDDD
αααα
=








Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 8
Học viên Trần Đình Giáp
:,ϕϕΩ→ ∈\ D(),Ω
{:()0}.supp x xϕϕ=∈Ω ≠

(1.9)

Định nghĩa 1.1. Cho
X
là không gian Banach thực. Một ánh xạ tuyến tính liên tục
từ D
()
(0, )T vào X gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có giá trị trong .X Tập các
phân bố có giá trị trong
X ký hiệu là
D
/
(0, ; )TX = (L D(0, ); )TX = { :f D(0, )T /Xf→ tuyến tính, liên tục}.
Chú thích 1.3. Ta ký hiệu D
(0, )T
thay cho D
()
(0, )T
hoặc
()
(0, )
c
CT
∞
để chỉ
không gian các hàm số thực khả vi vô hạn có giá compact trong
(0, ).T
Định nghĩa 1.2. Cho
f ∈ D
/

(0, ; ).TX Ta định nghĩa đạo hàm
df
dt
theo nghĩa phân
bố của
f bởi công thức

,,,
df d
f
dt dt
ϕ
ϕϕ=− ∀ ∈
D(0, ).T (1.10)
Các tính chất
)i Cho (0, ; )
p
vL TX∈ , ta làm tương ứng nó bởi ánh xạ như sau:

:
v
T D(0, )T
X→


0
,()(),
T
v
Tvttdtϕϕϕ=∀∈

∫
D(0, )T . (1.11)
Ta có thể nghiệm lại rằng
v
T ∈ D
/
(0, ; )TX. Thật vậy,

)
j
Ánh xạ :
v
T D(0, )T X→ là tuyến tính.

)
j
j Ta nghiệm lại ánh xạ :
v
T D(0, )TX→ là liên tục.
Giả sử {}
j
ϕ ⊂ D
(0, ),T
sao cho
0
j
ϕ →
trong D
(0, ).T
Ta có

Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 9
Học viên Trần Đình Giáp

00
,()()()()
Tt
vj j j
X
X
X
Tvttdtvttdtϕϕ ϕ=≤
∫∫


/
/
11
00
() () 0, .
TT
p
p
p
p
j

X
vt dt t dt khi jϕ
⎛⎞⎛ ⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
≤→→+∞
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠⎝ ⎠
∫∫
(1.12)
Do đó
,0
vj
T ϕ → trong X khi .j →+∞ Vậy
v
T ∈ D
/
(0, ; ).TX
)ii Ánh xạ
v
vT6 là một đơn ánh, tuyến tính từ (0, ; )
p
LTX vào D
/

(0, ; )TX. Do
đó, ta có thể đồng nhất
.
v
Tv= Khi đó ta có kết quả sau:
Bổ đề 1.7. (Lions [12]).
(0, ; )
p
LTX 1 D
/
(0, ; )TX với phép nhúng liên tục.
4. Đạo hàm trong
(0, ; )
p
LTX
Do bổ đề 1.7, phần tử
(0, ; )
p
fLTX∈ ta có thể coi f và do đó
df
dt
là các phần tử
của D
/
(0, ; )TX. Ta có các kết quả sau.
Bổ đề 1.8. (Lions [12]) Nếu
1
(0, ; )fLTX∈
và
/1

(0, ; ),fLTX∈
thì f bằng hầu
hết với một hàm liên tục từ
[0, ] .TX→
Chứng minh bổ đề 1.8 bằng nhiều bước:
Bước 1: Đặt
/
0
() () .
t
Ht f sds=
∫

Khi đó
:[0, ]HTX→ liên tục, vì
/1
(0, ; ).fLTX∈

Trước hết, ta chứng minh rằng
/
dH df
f
dt dt
==
theo nghĩa phân bố.
Thật vậy,
ϕ∀∈
D
(0, ),T
ta có

()
,, ()
G
dH d d t
HHtdt
dt dt dt
ϕϕ
ϕ
=− =−
∫






Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 10
Học viên Trần Đình Giáp

//
00 0
() ()
() ()
Tt T T
s
dt dt
f s ds dt f s ds dt
dt dt
ϕϕ

⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
=− =−
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
∫∫ ∫ ∫


//
0
()() , .
T
fs sds fϕϕ==
∫
(1.13)
Vậy
/
dH df
f
dt dt
== trong D
/
(0, ; ).TX

Bước 2: Ta suy ra rằng
fHC=+ theo nghĩa phân bố (trong đó C là hằng số).
Ta giả sử
.vHf=− Ta có
/
0v =
theo nghĩa phân bố (do bước 1). Ta sẽ chứng
minh rằng:
vC= theo nghĩa phân bố. Thật vậy,
/
0v = tương đương với

/
0
() () 0,
T
vs s dsϕϕ=∀∈
∫
D(0, ).T
(1.14)

Coi
ϕ ∈ D(0, ),T ta có thể viết
ϕ
dưới dạng
/
0
,ϕλϕ ψ=+

trong đó

ψ ∈ D(0, ),T
0
ϕ thoả
0
0
() 1
T
sdsϕ =
∫
và
0
() .
T
tdtλϕ=
∫

Ta có điều này do

0
0
[() ()] 0,
T
ttdtϕλϕ−=
∫

nên nguyên hàm của
0
() ()ttϕλϕ− triệt tiêu tại 0t = sẽ thuộc D(0, ).T
Chọn
()

0
0
() () () .
t
tssdsψϕλϕ=−
∫

Trong
(1.14), ta thay
/
ϕ bởi
/
,ψ ta thu được:

/
0
() () 0,
T
vs sdsψψ=∀∈
∫
D(0, ),T
hay





Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 11
Học viên Trần Đình Giáp

0
0
()[ () ()] 0,
T
vs t t dtϕλϕ ϕ−=∀∈
∫
D(0, ),T
hay

0
00
() () () ()
TT
vs sds vs sdsϕλϕ=
∫∫


0
00
() () () ,
TT
tdt vt tdtϕϕϕ=∀∈
∫∫
D
(0, ).T

(
)
1.15

Đặt
0
0
() () ,
T
Cvttdtϕ=
∫
ta suy từ
(
)
1.15 rằng

0
[() ] () 0,
T
vs C s dsϕϕ−=∀∈
∫
D(0, ).T
Vậy ta có
()vt C= trong D
/
(0, ; )TX.
Bước 3: Ta sử dụng tính chất sau:
Nếu
1
(0, ; )wLTX∈ và
0
() () 0
T
wt t dtϕ =

∫
, ϕ∀∈ D(0, ),T
thì
() 0wt ≡
với hầu hết
(0, ).tT∈

Điều này có được là do ánh xạ
w
wT6 từ
1
(0, ; )LTX vào D
/
(0, ; )TX là đơn
ánh (tính chất
)ii ở trên).
Từ các bước
1, 2, 3 ở trên ta suy ra rằng ,fHC=+ theo nghĩa phân bố.
Tương tự ta có bổ đề sau:
Bổ đề 1.9 (Lions [12]). Nếu
(0, ; )
p
fLTX∈
và
/
(0, ; ),
p
fLTX∈
thì f bằng hầu
hết với một hàm liên tục từ

[0, ] .TX→







Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 12
Học viên Trần Đình Giáp
5. Bổ đề về tính compact của Lions [12]

Cho ba không gian Banach
01
,,XXX với
0
X 1 X 1
1
X
sao cho:

01
,XX là phản xạ. (1.16)
Phép nhúng
X 1
1
X liên tục, phép nhúng
0
X 1 X là compact. (1.17)

Với
01
0,1 ,1 ,Tp p< <∞ < <+∞ < <+∞
ta đặt

01
/
01
(0, ) { (0, ; ): (0, ; )}
pp
W T v L TX v L TX=∈ ∈
. (1.18)
Trang bị
(0, )WT bởi chuẩn

0
1
0
1
/
(0, ) (0, ; )
(0, ; )
p
p
WT L TX
LTX
vv v=+. (1.19)
Khi đó
(0, )WT là một không gian Banach.
Hiển nhiên ta có

(0, )WT1
0
(0, ; ).
p
LTX
Ta cũng có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact.

Bổ đề 1.10. (Bổ đề về tính compact của Lions [12]).
Với giả thiết (1.16), (1.17) và nếu
1,1,2,
i
pi<<+∞= thì phép nhúng
(0, )WT1
0
(0, ; )
p
LTX là compact.
Chứng minh bổ đề 1.10 có thể tìm thấy trong Lions [12].
6. Bổ đề về sự hội tụ yếu trong
().
p
LQ
Bổ đề sau đây liên quan đến sự hội tụ yếu trong
()
p
LQ.

Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 13
Học viên Trần Đình Giáp
Bổ đề 1.11. ( Xem Lions [12]).
Cho
Q là tập mở bị chận của
N
\
và
,(),1 ,
p
m
GGLQ p∈<<∞

sao cho:

()
,
p
m
LQ
GC≤
trong đó
C
là hằng số độc lập với m
và

, .
m
GGaetrongQ→

Khi đó ta có :
()
p
m
GGtrongLQ→
yếu.

7. Bổ đề Gronwall
Bổ đề sau liên quan đến một bất phương trình tích phân và nó rất cần thiết cho
việc đánh giá tiên nghiệm trong các chương sau.
Bổ đề 1.12. (Bổ đề Gronwall)
Giả sử
:[0, ]
f
T → \
là hàm khả tích, không âm trên
[0, ]T
và thỏa bất đẳng thức
12
0
() ()
t
f
tCC fsds≤+
∫

, với hầu hết
[0, ],tT∈

trong đó
12
,CC là các hàm số không âm.
Khi đó

2
1
() ,
Ct
f
tCe≤ với hầu hết [0, ].tT∈







Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 14
Học viên Trần Đình Giáp
CHƯƠNG 2
Nghiên cứu phương trình với
2
()
ttt
fu u u
β

λ
−
=

2.1. Giới thiệu
Trong chương này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và điều kiện đầu như sau:

()
2
2
() (,)
tt t
uuBuufuFxtµ+∆− ∇ ∆+ =
,
x (0, 1), 0 t T,∈<<
(2.1)

(0,) (1,) 0,ut ut==
(2.2)

(0,) (1,) 0,
xx
ut ut==
(2.3)

01
(,0) (), (,0) ),(
t
ux u x u x u x==

(2.4)

trong đó
2
() | |fu u u
ttt
β
λ
−
=
,
,,,T µβλ
là các hằng số dương cho trước;
01
,, ,BFu u là các hàm cho trước. Các giả thiết đặt ra cho các hàm này sẽ được chỉ ra
sau. Trong phương trình
(2.1), số hạng phi tuyến
(
)
2
Bu∇ phụ thuộc vào

1
22
0
() ( , )ut uxt dx∇=∇
∫
(2.5)
xác định bởi hàm
B thỏa điều kiện (0.5), (0.6).

2.2. Các ký hiệu và giả thiết
Chúng ta sử dụng các ký hiệu sau:

Ω(),
pp
LL= Ω(),
kk
HH= Ω
00
(),
kk
HH= Ω (0, )
T
QT=× .
Ta ký hiệu
,⋅⋅
để chỉ tích vô hướng trong
2
L hay cặp tích đối ngẫu giữa
một phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của không gian hàm. Ký hiệu
⋅ để chỉ chuẩn trong
2
L và ký hiệu .
X
để chỉ chuẩn trong không gian Banach
.X
Ta ký hiệu
/
X là không gian đối ngẫu của
.X

Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 15
Học viên Trần Đình Giáp
Chúng ta thiết lập các giả thiết sau:

1
()A
2
00
uH∈ ,
2
1
,uL∈
2
()A
2
(),
T
FLQ∈
3
()A :[0,)B
+
=+∞→RR thỏa các điều kiện sau:
(i)

B liên tục,
(ii) tồn tại hai hằng số dương
0
γ và
0
D sao cho

0
0
() ,
z
Bs ds D≥−
∫
với mọi
0
,z γ≥
4
()A Với mỗi 0r > tồn tại hằng số 0
r
D > sao cho:

12 12
() ()
r
Bs Bs D s s−≤− với mọi
12
,[0,]ss r∈
.
Để tiện lợi trong việc trình bày, chúng tôi sẽ sử dụng các ký hiệu sau đây:
()ut ,

/
() ()
t
ut u t= ,
//
() ()
tt
ut u t= để lần lượt chỉ
2
2
(,), (,), (,)
uu
uxt xt xt
t
t
∂∂
∂
∂
và
2
2
(,) (,), (,) (,).
xxx
uu
u u xt xt u u xt xt
x
x
∂∂
∇= = ∆= =
∂

∂

Nghiệm yếu của bài toán (2.1) – (2.4) được thành lập từ bài toán biến phân sau:
Tìm
2
0
(0, ; )uL TH
∞
∈ sao cho
/2
(0, ; )uLTL
∞
∈ và thỏa

(
)
2
/
(), (), () (),
d
utv ut v B ut ut v
dt
µ〈 〉+〈∆∆〉+∇ 〈∇∇〉


2
//
() (),ut utv
β
λ

−
+〈 〉
2
0
(), , , (0, )Ft v v H ae t T=〈 〉 ∀ ∈ ∈ , (2.6)

/
01
(0 ) , (0)uuu u==
. (2.7)

Để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán
(2.1) (2.4)−
với các
giả thiết (0.5), (0.6). Chúng tôi sẽ sử dụng các công cụ sau:





Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 16
Học viên Trần Đình Giáp
9 Phương pháp xấp xỉ Galerkin,
9 Phương pháp compact yếu,
9 Toán tử đơn điệu.
2.3. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Định lý 2.1.
Giả sử
13
() ()AA−

là đúng. Cho 1β > và 0.T > Khi đó bài toán (2.1) – (2.4)

có ít nhất một nghiệm yếu
u
sao cho

2
0
(0, ; )uL TH
∞
∈
và
/2
(0, ; ).uLTL
∞
∈

Hơn nữa, nếu có thêm giả thiết
4
(),A
thì nghiệm yếu u duy nhất.
Chứng minh định lý 2.1
.
Để chứng minh định lý 2.1 chúng ta chia làm các bước sau:
Bước 1. Xấp xỉ Galerkin.
Xét một cơ sở trực chuẩn
j
w trong
2
0

H
.
Đặt
1
() () ,
m
mmjj
j
ut c tw
=
=
∑

trong đó
()
mj
ct thỏa hệ phương trình vi phân phi tuyến

()
2
//
(), (), () (),
mj m j m m j
utw utw B ut utwµ〈 〉+〈∆∆〉+∇ 〈∇∇〉


2
//
() (), (), , 1 ,
mmj j

ut utw Ftw j m
β
λ
−
+〈 〉=〈 〉 ≤ ≤
(2.8)
với điều kiện đầu:

/
01
(0) , (0)
mmmm
uuuu==, (2.9)


trong đó





Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 17
Học viên Trần Đình Giáp

00
1
m
mmjj
j
uwuα

=
=⎯⎯→
∑
mạnh trong
2
0
,H (2.10)

11
1
m
mmjj
j
uwuβ
=
=⎯⎯→
∑
mạnh trong
2
.L
(2.11)
Từ giả thiết của định lý, hệ (2.8) – (2.9) có nghiệm
()
m
ut trên khoảng
0
m
tT≤≤
với (0, )
m

TT∈ nào đó. Các đánh giá tiên nghiệm sau đây cho phép lấy
m
TT=
với mọi
.m

Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm
Nhân mỗi phương trình trong (2.8) với
/
()
mj
ct
, sau đó lấy tổng theo j , ta được

()
2
// / / /
2
/// /
(), () (), () () (), ()
() (), () (), (),
mm m m m m m
mmm m
u tut ut ut B ut ut ut
ut utut Ft ut
β
µ
λ
−
〈 〉+〈∆∆〉+∇ 〈∇∇〉

+=〈〉

hay

()
2
()
22
/
0
//
() () ()
2() 2(),().
m
ut
mm
mm
L
dd
ut ut Bsds
dt dt
ut Ft ut
β
β
µ
λ
∇
+∆ +
+=〈〉
∫

(2.12)
Lấy tích phân (2.12) theo biến thời gian từ
0 đến t và sử dụng (2.9) ta có

22
0
()
/
000
() (0) () () 2 (), () ,
mm
uut
t
mm m
S t S Bsds Bsds Fs u s ds
∇∇
=+ − +〈 〉
∫∫∫
(2.13)
trong đó

22
//
0
() () () 2 () .
t
mm m m
L
St ut ut us ds
β

β
µλ=+∆+
∫
(2.14)
Đánh giá vế phải của (2.13).
Từ (2.10) và (2.11) suy ra các dãy
22
10
,
mm
uu∆ bị chận.







Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 18
Học viên Trần Đình Giáp
Ta đặt

2
22
1100
max sup , sup ,sup .
mmm
mm m
Cuuu
⎧⎫

⎪⎪
⎪⎪
=∇∆
⎨⎬
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭
(2.15)
Khi đó

1
(0 ) (1 )
m
SCµ≤+ = hằng số độc lập với .m (2.16)
Từ (2.15) ta suy ra rằng

2
01
1
00
() ()
m
uC
Bs ds Bs ds D
∇
≤=
∫∫
. (2.17)
Ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 2.1. Với B thỏa giả thiết

3
()A
ta có:

0
0
00
() () , 0.
Z
Bs ds D Bs ds z
γ
−≤+ ∀≥
∫∫
(2.18)
Chứng minh bổ đề 2.1.
Ta có các trường hợp sau.
•Nếu
0
0 z γ≤≤ thì
00
() ()
ZZ
Bs ds Bs ds−≤
∫∫


00
0
00
() () .Bs ds Bs ds D

γγ
≤≤+
∫∫

•Nếu
0
z γ≥ thì
0
00
00
() () .
Z
Bs ds D D Bs ds
γ
−≤≤+
∫∫

Vậy bổ đề
2.1 được chứng minh.
Đặt
0
2
0
() .Bs ds D
γ
=
∫

Áp dụng bổ đề
2.1 và kết hợp với (2.17) ta được

22
0
()
012 0
00
() () ,
mm
uut
Bs ds Bs ds D D D D
∇∇
−≤++=
∫∫

(2.19)





Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 19
Học viên Trần Đình Giáp
trong đó hằng số
0
D

độc lập với
.m

Ở tích phân sau cùng ta có

/
0
2(),()
t
m
Fs u s ds
∫
2
2
/
00
() () .
Tt
m
Fs ds u s ds≤+
∫∫
(2.20)
Từ (2.13), (2.14),
(2.16) , (2.19) và (2.20), ta suy ra rằng

0
() ()
t
mTm
St C Ssds≤+
∫
, [0, ]
m

tT∀∈ , (2.21)
trong đó

2
10
0
(1 ) ( ) .
T
T
CCDFsdsµ=+ + +
∫

(2.22)
Áp dụng bổ đề Gronwall, ta thu được từ
(2.21) rằng

()
tT
mTT
S t Ce Ce≤≤, [0, ],
m
tT∀∈ (2.23)
trong đó
T
C chỉ phụ thuộc vào T và độc lập với .m
Vậy ta có thể lấy
m
TT= với mọi m và do đó ta suy từ (2.15), (2.16) rằng

{}

m
u
bị chận trong
2
0
(0, ; ),LTH
∞
(2.24)

/
{}
m
u
bị chận trong
2
(0, ; ),LTL
∞
(2.25)

/
{}
m
u bị chận trong ().
T
LQ
β
(2.26)
Từ (2.26) ta suy ra rằng

2

//
mm
uu
β−
bị chận trong
/
-1
() ().
TT
LQ LQ
β
β
β
= (2.27)
Từ (2.24) và do
B
liên tục ta suy ra rằng

2
mm
Bu u
⎛⎞
⎟
⎜
∇∇
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠

bị chận trong
2
(0, ; ).LTL
∞
(2.28)








Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 20
Học viên Trần Đình Giáp
Bước 3. Qua giới hạn
Từ (2.24), (2.25) và (2.27), ta suy ra rằng tồn tại một dãy con của {},
m
u mà
vẫn ký hiệu là
{},
m
u
sao cho

m
uu→
trong
2
0

(0, ; )LTH
∞
yếu *, (2.29)

//
m
uu→ trong );,0(
2
LTL
∞
yếu *, (2.30)

2
//
mm
uu
β
χ
−
→
trong
/
()
T
LQ
β
yếu. (2.31)
Từ
(2.30), với mọi
j

ta suy ra

//
,,
mj j
uw uw→
trong
(0, )LT
∞
yếu *,

//
,,
mj j
uw uw→ trong D
/
(0, ),T


//
,,
mj j
dd
uw uw
dt dt
→ trong D
/
(0, ).T (2.32)
Từ (2.29), với mọi
j

ta suy ra

m
uu∇→∇ trong );,0(
2
LTL
∞
yếu *,

,,
mj j
uw uw∇∇ →∇∇ trong (0, )LT
∞
yếu *,

,
mj
uw∇∇
bị chận trong (0, )LT
∞
. (2.33)
Tương tự lý luận trên ta có

m
uu∆→∆
trong
2
(0, ; )LTL
∞
yếu *,

,,
mj j
uw uw∆∆ →∆∆ trong
(0, )LT
∞
yếu *, (2.34)

,
mj
uw∆∆ bị chận trong (0, ).
∞
L
T
Dùng bổ đề
1.10 ta có thể suy từ (2.29) – (2.30) rằng tồn tại một dãy con của
{},
m
u mà ta vẫn ký hiệu là {},
m
u sao cho:

m
uu→ trong
21
0
(0, ; )LTH mạnh và a.e.(,)xt trong .
T
Q (2.35)