Ứng dụng Nguyên lý Dirichle để giải Toán bất đẳng thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
TRƯƠNG TRÍ
ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Bình Định - Năm 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
TRƯƠNG TRÍ
ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60. 46. 01. 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. PHẠM VĂN CƯỜNG
Bình Định - Năm 2013
i
Mục lục
Mở đầu 1
Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5
1.1 Nguyên lý Dirichlet và các ứng dụng trong toán học . . . . . . 5
1.1.1 Nguyên lý Dirichlet cơ bản và mở rộng . . . . . . . . . 5
1.1.2 Một số ứng dụng của nguyên lý Dirichlet để giải một
số bài toán sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức được trang bị trong
chương trình Toán trung học phổ thông . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Định nghĩa, tính chất và một số bất đẳng thức cơ bản 9
1.2.2 Một số phương pháp thông dụng chứng minh bất đẳng
thức ở Trường phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 2 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỂ GIẢI
MỘT SỐ DẠNG TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG PHẠM
VI KIẾN THỨC CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG 15
2.1 Cơ sở ứng dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh bất đẳng
thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Mệnh đề 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
ii
2.1.2 Cách sử dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh bất
đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Chứng minh dạng bất đẳng thức mà có thể chứng minh
bằng phép biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Chứng minh dạng bất đẳng thức mà có thể chứng minh
bằng cách sử dụng bất đẳng thức cổ điển . . . . . . . . 20
2.2.3 Chứng minh dạng bất đẳng thức mà có thể chứng minh
bằng cách thông qua đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.4 Chứng minh dạng bất đẳng thức mà có thể chứng minh
bằng cách sử dụng bất đẳng thức phụ . . . . . . . . . . 25
2.2.5 Chứng minh bất đẳng thức dạng hình học . . . . . . . 26
2.2.6 Chứng minh dạng bất đẳng thức mà có thể chứng minh
bằng cách sử dụng lượng giác . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Chương 3 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỂ GIẢI
MỘT SỐ DẠNG TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG VIỆC
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 32
3.1 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet để giải một số bài toán bất đẳng
thức trong các kì thi học giỏi cấp quốc gia, quốc tế . . . . . . 32
3.2 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Quyết định giao đề tài luận văn 47
1
Mở Đầu
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Như chúng ta đã biết, trong nhiều thập kỷ qua, Nguyên lý Dirichlet được
ứng dụng để chứng minh nhiều lĩnh vực của Toán học. Nguyên lý Dirichlet
được ứng dụng để giải quyết các bài toán: hình học tổ hợp, bài toán về số
học, bài toán về tính chia hết, , ngoài ra nguyên lý Dirichlet còn có nhiều
ứng dụng trong việc chứng minh các bài toán về bất đẳng thức.
Chúng ta biết bất đẳng thức là một dạng toán hay và khó. Để chứng minh
được một bất đẳng thức đòi hỏi người học phải có sự hiểu biết và tư duy về
toán học rất cao. Trong mỗi bất đẳng thức đều có những vẻ đẹp riêng về cách
tư duy và hướng khai thác để giải.
Trong chương trình Toán ở phổ thông, kiến thức về bất đẳng thức được
trang bị chưa nhiều, việc chứng minh bất đẳng thức cũng chỉ giới thiệu bằng
những phương pháp cơ bản: sử dụng định nghĩa, tính chất; dùng các bất đẳng
thức cổ điển; phương pháp lượng giác; phương pháp dồn biến, Hiện nay,
chưa có một công trình nghiên cứu sâu, cụ thể nào về việc ứng dụng nguyên
lý Dirichlet để chứng minh bất đẳng thức trong chương trình Toán ở Trung
học phổ thông.
Qua nghiên cứu chúng tôi thấy nguyên lý Dirichlet có thể ứng dụng để
giải một số dạng toán bất đẳng thức, không những trong chương trình Toán
ở Trung học phổ thông mà còn có thể giải một số bài toán bất đẳng thức
trong các đề thi học sinh giỏi Toán quốc gia hằng năm. Qua đó, để giúp cho
học sinh trung học phổ thông nói chung và học sinh giỏi toán nói riêng có
một cách nhìn, một phương pháp mới trong việc chứng minh bất đẳng thức.
Với suy nghĩ đó, chúng tôi lựa chọn đề tài "Ứng dụng nguyên lý Dirich-
2
let để giải một số dạng toán bất đẳng thức" để nghiên cứu thực hiện

luận văn của mình.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Giúp học sinh và giáo viên trung học phổ thông có thêm một phương pháp
chứng minh một số dạng toán bất đẳng thức trong chương trình Trung học
phổ thông bằng cách ứng dụng nguyên lý Dirichlet.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Trong đề tài này chúng tôi tập trung nghiên cứu hai nhiệm vụ:
- Nghiên cứu ý nghĩa nguyên lý Dirichlet để ứng dụng chứng minh bất
đẳng thức.
- Nghiên cứu một số dạng toán bất đẳng thức trong chương trình Toán ở
Trung học phổ thông có thể ứng dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để thực hiện đề tài, trong quá trình nghiên cứu chúng tôi thực hiện các
phương pháp sau:
4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Tìm hiểu tình hình nghiên cứu những vấn đề liên quan về việc ứng dụng
nguyên lý Dirichlet trong Toán học.
- Nghiên cứu ý nghĩa và khả năng ứng dụng nguyên lý Dirichlet để chứng
minh bất đẳng thức.
- Nghiên cứu các dạng bất đẳng thức trong chương trình Toán ở Trung
học phổ thông có thể ứng dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh.
4.2. Phương pháp phân tích, tổng hợp và phân loại
Trên cơ sở nghiên cứu một số dạng toán bất đẳng thức trong pham vi kiến
thức của chương trình Toán ở Trung học phổ thông có thể ứng dụng nguyên
lý Dirichlet để chứng minh, tác giả phân tích, tổng hợp và phân loại theo
từng dạng bất đẳng thức để có thể ứng dụng nguyên lý Dirichlet để chứng
3
minh.
4.3. Phương pháp thực nghiệm, kiểm chứng
- Tổ chức giới thiệu, hướng dẫn cho học sinh biết sử dụng nguyên lý

Dirichlet để giải một số dạng bài toán bất đẳng thức.
- So sánh hiệu quả phương pháp giải nhằm giúp học sinh có kinh nghiệm
ứng dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh bất đẳng thức.
5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Đề tài nghiên cứu việc ứng dụng nguyên lý Dirichlet để giải một số dạng
toán bất đẳng thức trong phạm vi kiến thức về bất đẳng thức trong chương
trình Toán ở Trung học phổ thông; nghiên cứu chứng minh một số bài toán
bất đẳng thức trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế để bồi dưỡng
học sinh giỏi toán.
- Đề tài được nghiên cứu tại Trường THPT Nguyễn Trường Tộ, Thành
phố Tuy Hòa, Tỉnh Phú Yên.
- Thời gian nghiên cứu từ tháng 1/2013 đến tháng 8/2013.
6. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN
Luận văn có những đóng góp về lý luận và thực tiễn sau:
- Khái quát việc ứng dụng nguyên lý Dirichlet để giải một số bài toán sơ
cấp.
- Phân loại được một số dạng bất đẳng thức trong chương trình Toán ở
Trung học phổ thông có thể ứng dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh.
- Nêu được một số dạng bất đẳng thức có thể ứng dụng nguyên lý Dirichlet
để chứng minh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán.
7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Luận văn được nghiên cứu thực hiện theo cấu trúc sau:
Mở đầu.
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
4
Chương 2. Ứng dụng nguyên lý Dirichlet để giải một số dạng toán bất đẳng
thức trong phạm vi kiến thức chương trình Toán ở Trung học phổ thông.
Chương 3. Ứng dụng nguyên lý Dirichlet để giải một số dạng toán bất
đẳng thức trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông.
Kết luận.

5
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 Nguyên lý Dirichlet và các ứng dụng trong toán
học
Nguyên lý Dirichlet là nguyên lý những cái lồng nhốt các chú thỏ đã được
biết đến từ rất lâu. Nguyên lý này được phát biểu đầu tiên bởi nhà toán học
người Đức Perter Guster Lijeune Dirichlet (1805 - 1859).
1.1.1 Nguyên lý Dirichlet cơ bản và mở rộng
1.1.1.1. Nguyên lý Dirichlet cơ bản
Nếu nhốt n + 1 con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng
chứa ít nhất hai con thỏ, (với n là số nguyên dương).
1.1.1.2. Nguyên lý Dirichlet dạng mở rộng
Nếu nhốt n con thỏ vào m cái chuồng thì tồn tại một chuồng có ít nhất
n m 1
m
con thỏ, (kí hiệu α để chỉ phần nguyên của số α), với n, m là
số các nguyên dương, n > m, m 2 .
Nguyên lý Dirichlet mở rộng được chứng minh như sau:
Giả sử trái lại mọi chuồng thỏ không có đến
n m 1
m
n 1
m
1
n 1
m
1
con, thì số thỏ trong mỗi chuồng đều nhỏ hơn hoặc bằng
n 1

m
con.Từ đó
suy ra tổng số con thỏ không vượt quá m
n 1
m
n 1 con. Điều này vô
lý, vì có n con thỏ. Vậy giả thiết phản chứng là sai.
6
Nguyên lý Dirichlet được chứng minh.
Nguyên lý Dirichlet tưởng chừng đơn giản như vậy, nhưng nó là một công
cụ rất hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của Toán học.
Nguyên lý này trong nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh được
sự tồn tại mà không đưa ra phương pháp tìm được vật cụ thể, nhưng trong
thực tế nhiều bài toán ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ.
Nguyên lý Dirichlet thực chất là một định lý về tập hữu hạn. Do đó,
nguyên lý Dirichlet có thể phát biểu dưới các dạng tập hợp sau đây:
1.1.1.3. Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp
Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng
phần tử của A lớn hơn số lượng phần tử của B. Nếu với một quy tắc nào đó,
mỗi phần tử của A cho tương ứng với một phần tử của B, thì tồn tại ít nhất
hai phần tử khác nhau của A mà chúng tương ứng với một phần tử của B.
1.1.1.4. Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp mở rộng
Giả sử A và B là hai tập hợp hữu hạn, n(A) và n(B) tương ứng là số lượng
phần tử của A và B. Giả sử có một số tự nhiên k nào đó mà n A k.n B
và có quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử của A với một phần tử của B. Khi
đó tồn tại ít nhất k 1 phần tử của A mà chúng tương ứng với cùng một
phần tử của B.
1.1.2 Một số ứng dụng của nguyên lý Dirichlet để giải một số
bài toán sơ cấp
1.1.2.1. Ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào bài toán hình học tổ hợp

a) Cơ sở lý luận
Để ứng dụng nguyên lý Dirichlet để giải bài toán hình học tổ hợp, người
ta sử dụng mệnh đề sau đây:
Mệnh đề 1. (Nguyên lý Dirichlet cho diện tích)
7
Nếu K là một hình phẳng và K
1
, K
2
, , K
n
là các hình phẳng sao cho
K
i
K với i 1, 2, , n và
K K
1
K
2
K
n
Ở đây, K là diện tích hình phẳng K và K
i
là diện tích của hình phẳng
K
i
, i 1, 2, , n, thì tốn tại ít nhất hai hình phẳng K
a
, K
b

, 1 a b n
sao cho K
a
và K
b
có điểm trong chung.
b) Các ví dụ
Ví dụ 1. Trong tam giác đều cạnh bằng 4 (đơn vị độ dài) lấy 17 điểm phân
biệt. Chứng minh rằng, trong 17 điểm đó có ít nhất 2 điểm mà khoảng cách
giữa chúng không vượt quá 1.
Lời giải. Chia tam giác đều có cạnh bằng 4 thành 16 tam giác đều có cạnh
bằng 1. Vì có 17 điểm phân biệt nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất
một tam giác đều có cạng bằng 1 chứa ít nhất 2 điểm trong số 17 điểm đã
cho. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm này không vượt quá 1. Ta được điều
phải chứng minh.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng cho 2009 điểm phân biệt, sao cho cứ 3 điểm bất
kì có ít nhất 2 điểm cách nhau một khoảng không vượt quá 1. Chứng minh
rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa ít nhất 1005 điểm.
Lời giải. Lấy một điểm A bất kì trong 2009 điểm đã cho, vẽ đường tròn C
1
tâm A bán kính bằng 1. Nếu tất cả các điểm đều nằm trong hình tròn C
1
thì bài toán hiển nhiên đúng. Nếu tất cả các điểm B mà khoảng cách giữa A
và B lớn hơn 1 thì ta vẽ đường tròn C
2
tâm B bán kính bằng 1. Khi đó, xét
một điểm C tùy ý trong 2007 điểm còn lại. Xét ba điểm A, B, C, vì AB 1
nên theo giả thiết thì có AC 1 hoặc BC 1. Nói cách khác, điểm C phải
thuộc hình tròn C
1

hoặc C
2
. Suy ra, 2007 điểm khác A và B phải nằm
trong hình tròn C
1
hoặc C
2
. Theo nguyên lý Dirichlet, có một hình tròn
8
C
1
hoặc C
2
chứa ít nhất 1004 điểm, tính thêm tâm của hình tròn này thì
hình tròn này chính là hình tròn bán kính bằng 1 chứa ít nhất 1005 điểm
trong 2009 điểm đã cho. Ta được điều phải chứng minh.
Ví dụ 3. Trong hình tròn có diện tích bằng 1 (đơn vị diện tích), ta lấy 17
điểm phân biệt bất kì, không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng
có ít nhất 3 điểm lập thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn
1
8
.
Lời giải. Chia hình tròn diện tích bằng 1 thành 8 hình quạt bằng nhau, mỗi
hình quạt có diện tích bằng
1
8
. Do có 17 điểm, mà 17 : 8 = 2 dư 1, nên theo
nguyên lý Dirichlet có một hình quạt chứa ít nhất 3 điểm. Theo giả thiết ba
điểm không thẳng hàng nên tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn
1

8
.
Vậy ta được điều phải chứng minh.
1.1.2.2. Ứng dụng nguyên lý Dirichlet để giải các bài toán số học
Ví dụ 4. Biết ba số a, a k, a 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng
minh rằng khi đó, k chia hết cho 6.
Lời giải.
Do a, a k, a 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, nên chúng đều là
các số lẻ và không chia hết cho 3. Do a và a k cùng lẻ, nên k a k a
sẽ chia hết cho 2. (1) Do a, a k, a 2k đều không chia hết cho 3, nên khi
chia cho 3 ít nhất hai số có cùng số dư (theo nguyên lý Dirichlet). Chỉ có các
khả năng sau xảy ra:
- Nếu a k a mod3 thìa k a 0 mod3 , suy ra k
.
.
.3.
- Nếu a 2k a k mo d3 thì a 2k a k 0 mod3 , suy ra
k
.
.
.3.
- Nếu a 2k a mod3 thì a 2k a 0 mod3 , suy ra 2k
.
.
.3. Do
2, 3 1, suy ra k
.
.
.3.
Tóm lại trong mọi trường hợp k

.
.
.3 và k
.
.
.2, suy ra k
.
.
.6. Vậy ta được điều
9
phải chứng minh.
1.2 Những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức được
trang bị trong chương trình Toán trung học phổ
thông
1.2.1 Định nghĩa, tính chất và một số bất đẳng thức cơ bản
1.2.1.1. Định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức
1) a b a b 0
2) a > b và b > c a c
3) a b a c b c
4) a > b và c > d a c b d
5) a > b và c > 0 ac bc
a > b và c < 0 ac bc
6) a > b > 0 và c > d > 0 ac bd
7) a > b > 0, n nguyên dương a
n
b
n
8) a > b > 0, n nguyên dương
n
a

n
b, n 2
9) a > b, ab > 0
1
a
1
b
1.1.1.4. Một số bất đẳng thức cơ bản
1)Bất đẳng thức Cauchy (Bất đẳng thức AM-GM)
Cho n số thực không âm a
1
, a
2
, , a
n
n 2 ,ta luôn có
a
1
a
2
a
n
n
n
a
1
a
2
a
n

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a
1
a
2
a
n
Một vài hệ quả quan trọng:
a
1
a
2
a
n
1
a
1
1
a
2

1
a
n
n
2
, a
i
0, i 1, n
10
1

a
1
1
a
2

1
a
n
n
2
a
1
a
2
a
n
, a
i
0, i 1, n
2) Bất đẳng thức Bunhiacopxki (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)
Cho 2n số thực n 2, n Z : a
1
, a
2
, , a
n
; b
1
, b

2
, , b
n
, ta có:
a
1
b
1
a
2
b
1
a
n
b
n
2
a
1
2
a
2
2
a
n
2
b
1
2
b

2
2
b
n
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
1
, a
2
, , a
n
, b
1
, b
2
, , b
n
là 2 bộ tỉ lệ,
tức là tồn tại số thực k để a
i
kb
i
, i 1, n
* Hệ quả: Với 2 bộ số a
1
, a
2
, , a
n
, b

1
, b
2
, , b
n
, b
i
0, i 1, n, ta có:
a
1
2
b
1
a
2
2
b
2

a
n
2
b
n
a
1
a
2
a
n

2
b
1
b
2
b
n
1.2.2 Một số phương pháp thông dụng chứng minh bất đẳng
thức ở Trường phổ thông
1) Dạng 1. Sử dụng định nghĩa, tính chất và phép biến đổi tương đương.
Ví dụ 5. Chứng tỏ rằng a, b 0 thì ax by bx ay a b
2
xy 1
Lời giải. Ta có
1 abx
2
a
2
xy b
2
yx bay
2
a
2
xy 2abxy b
2
xy
ab x
2
y

2
2xy 0
ab x y
2
0
Bất đẳng thức luôn đúng, vì a, b 0. Vậy ta được điều phải chứng minh.
Ví dụ 6. Cho 0 a b c. Chứng minh rằng:
a
b
b
c
c
a
b
a
c
b
a
c
Lời giải. Ta có
11
a
b
b
c
c
a
b
a
c

b
a
c
1
abc
a
2
c b
2
a c
2
b b
2
c c
2
a a
2
b
1
abc
a
2
c b
2
c b
2
a a
2
b c
2

b c
2
a
1
abc
c a
2
b
2
ab b a c
2
b a
1
abc
b a ca cb ab c
2
1
abc
b a c b c a 0
Vì, 0 a b c Vậy,
a
b
b
c
c
a
b
a
c
b

a
c
Ta được điều phải chứng minh.
2) Dạng 2. Sử dụng bất đẳng thức cơ bản đã biết
Ví dụ 7. Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn
x x 1 y y 1 z z 1
4
3
Chứng minh rằng x y z 4
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 6 số 1, 1, 1, x, y, z ta
được,
x y z
2
1 1 1 x
2
y
2
z
2
3 x
2
y
2
z
2
1 .
Ta có,
x x 1 y y 1 z z 1
4
3

x
2
y
2
z
2
x y z
4
3
2
Từ (1) và (2) ta được:
1
3
x y z
2
x y z
4
3
Đặt S = x + y +z , ta có được
1
3
S
2
S
4
3
12
1 S 4
Vậy x y z 4
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x y z

4
3
Ví dụ 8. cho a, b là hai số thực sao cho a + b = 2. Chứng minh rằng
a
4
b
4
2
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số 1, 1, a, b ta được
1.a 1.b
2
1
2
1
2
a
2
b
2
a b
2
2 a
2
b
2
4 2 a
2
b
2
2 a

2
b
2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số 1, 1, a
2
, b
2
ta được:
1.a
2
1.b
2
1
2
1
2
a
4
b
4
2 a
2
b
2
2 a
4
b
4
4 2 a
4

b
4
a
4
b
4
2
Ta được điều phải chứng minh.
Ví dụ 9. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
a
3
b
3
b
3
c
3
c
3
a
3
a
b
b
c
c
a
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta có:
a

3
b
3
a
3
b
3
1 3
a
b
1
b
3
c
3
b
3
c
3
1 3
b
c
2
c
3
a
3
c
3
a

3
1 3
c
a
3
Cộng theo vế (1), (2), (3), ta được:
13
2
a
3
b
3
b
3
c
3
c
3
a
3
3 2
a
b
b
c
c
a
a
b
b

c
c
a
2
a
b
b
c
c
a
3
a
3
b
3
b
3
c
3
c
3
a
3
a
b
b
c
c
a
Vậy ta được điều phải chứng minh.

Ví dụ 10. Cho x > 0, y > 0, z > 0 và
x y z
3
4
Chứng minh rằng:
3
x 3y
3
y 3z
3
z 3x 3
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
3
x 3y .1.1
Cauchy
x 3y 1 1
3
3
y 3z .1.1
Cauchy
y 3z 1 1
3
3
z 3x .1.1
Cauchy
z 3x 1 1
3
3
x 3y

3
y 3z
3
z 3x
4x 4y 4z 6
3
3
Vậy ta được điều phải chứng minh.
1.3 Kết luận chương 1
Trên cơ sở nghiên cứu tìm hiểu về nguyên lý Dirichlet, kiến thức cơ bản
về bất đẳng thức trong chương trình Toán ở Trung học phổ thông, tác giả
đã khái quát những ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong việc giải toán
sơ cấp; khái quát được kiến thức về bất đẳng thức và một số phương pháp
14
thông dụng để chứng minh bất đẳng thức trong chương trình Toán ở Trung
học phổ thông. Từ đó đặt vấn đề cho việc thực hiện nghiên cứu ứng dụng
nguyên lý Dirichlet để giải một số dạng toán bất đẳng thức ở trường Trung
học phổ thông hiện nay.
15
Chương 2
ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ
DIRICHLET ĐỂ GIẢI MỘT SỐ
DẠNG TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG PHẠM VI KIẾN THỨC
CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ
THÔNG
2.1 Cơ sở ứng dụng nguyên lý Dirichlet để chứng
minh bất đẳng thức
Ứng dụng nguyên lý Dirichlet để giải một số dạng toán bất đẳng thức
trong chương Toán ở Trung học phổ thông ngoài việc sử dụng nguyên lý

Dirichlet chúng ta còn căn cứ mệnh đề sau:
2.1.1 Mệnh đề 2
. Trong ba số thực bất kì x, y, z thì phải có ít nhất hai số cùng dấu.
16
2.1.2 Cách sử dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh bất
đẳng thức
Khi chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng nguyên lý Dirichlet ta
thực hiện như sau:
- Chọn "điểm rơi": Bằng cách biến đổi bất đẳng thức đã cho để có thể dẫn
đến giả thiết:
+ Có hai trong ba số a k , b k , c k cùng dấu, trong đó đẳng thức
xảy ra khi a b c k.
+ Có ít nhất hai trong ba số nằm trong một đoạn nào đó.
- Sau đó, tiếp tục phân tích biến đổi để chứng minh bất đẳng thức đã cho.
2.2 Các ví dụ
Sau đây là một số ví dụ tiêu biểu ứng dụng nguyên lý Dirichlet để chứng
minh một số dạng bất đẳng thức trong chương Toán ở Trung học phổ thông
2.2.1 Chứng minh dạng bất đẳng thức mà có thể chứng minh
bằng phép biến đổi tương đương
Bài toán 1. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
a
2
b
2
c
2
2abc 1 2 ab bc ca .
Lời giải. Dự đoán điểm rơi a b c 1.
Theo nguyên lý Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 , c 1 cùng dấu.
Không mất tính tổng quát, giả sử a 1 b 1 0, suy ra

2c a 1 b 1 0
hay
2abc 2bc 2ca 2c.
17
Do đó ta chỉ cần chứng minh a
2
b
2
c
2
1 2c 2ab. Thật vậy, ta có
a
2
b
2
c
2
1 2c 2ab
a
2
2ab b
2
c
2
2c 1 0
a b
2
c 1
2
0.

Bất đẳng thức trên luôn đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Bài toán 2. Cho ba số thực bất kì a,b,c. Chứng minh rằng
a
2
b
2
c
2
a
2
b
2
c
2
2 2 ab bc ca .
Lời giải. Dự đoán điểm rơi a b c 1.
Theo nguyên lý Dirichlet thì hai trong ba số a
2
1 , b
2
1 , c
2
1 cùng
dấu.
Giả sử a
2
1 b
2
1 0, suy ra c

2
a
2
1 b
2
1 0, hay
a
2
b
2
c
2
c
2
b
2
c
2
c
2
a
2
Nên ta chỉ cần chứng minh a
2
b
2
2 b
2
c
2

c
2
a
2
2 ab bc ca
a b
2
bc 1
2
ca 1
2
0.
Bất đẳng thức này đúng.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Bài toán 3. Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng
a
2
b
2
c
2
2abc 3 a 1 b 1 c 1
Lời giải. Dự đoán điểm rơi a b c 1.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2 a
2
b
2
c
2

2abc 4 2 ab bc ca 2 a b c .
Theo bài toán 1 ta có, a
2
b
2
c
2
2abc 1 2 ab bc ca .
Do đó ta chỉ cần chứng minh a
2
b
2
c
2
3 2 a b c
a 1
2
b 1
2
c 1
2
0.
18
Bất đẳng thức trên luôn đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1
Bài toán 4. Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng
a
2
2 b
2

2 c
2
2 3 a b c
2
Lời giải. Bất đẳng thức đã cho tương đương với
2 a
2
b
2
b
2
c
2
c
2
a
2
a
2
b
2
c
2
a
2
b
2
c
2
8 6 ab bc ca .

Dự đoán điểm rơi a b c 1. Theo Bài toán 2 ,ta có
a
2
b
2
c
2
a
2
b
2
c
2
2 2 ab bc ca .
Như vậy ta chỉ cần chứng minh 2 a
2
b
2
b
2
c
2
c
2
a
2
6 4 ab bc ca
ab 1
2
bc 1

2
ca 1
2
0.
Bất đẳng thức trên luôn đúng. Ta được điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Bài toán 5. Cho các số thực dương a,b,c sao cho a + b + c = 3. Chứng
minh rằng
a
2
a 1 b
2
b 1 c
2
c 1 1.
Lời giải. Theo nguyên lý Dirichlet thì ta giả sử b 1 c 1 0. Khi đó
b
2
b 1 c
2
c 1 b
2
c
2
b
2
c bc
2
b
2

c
2
b c bc 1
bc b 1 c 1 b
2
c
2
b c 1
b
2
c
2
b c 1
1
2
b c
2
b c 1.
Do đó
a
2
a 1 b
2
b 1 c
2
c 1 a
2
a 1
1
2

b c
2
b c 1
1
2
a
2
a 1 3 a
2
3 a 1
1
2
a
2
a 1 a
2
4a 5 .
19
Nên ta chỉ cần chứng minh a
2
a 1 a
2
4a 5 2
a 1
2
a
2
3a 3 0.
Bất đẳng trên luôn đúng. Ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.

Bài toán 6. Cho các số thực a, b, c bất kì. Chứng minh rằng
a
2
3 b
2
3 c
2
3 4 a b c 1
2
Lời giải. Khai triển bất đẳng thức đã cho ta được bất đẳng thức tương đương
là
5 a
2
b
2
c
2
3 a
2
b
2
b
2
c
2
c
2
a
2
a

2
b
2
c
2
23 8 a b c 8 ab bc ca .
Theo nguyên lý Dirichlet thì hai trong ba số a
2
1 , b
2
1 , c
2
1 cùng
dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử a
2
1 b
2
1 0, suy ra
c
2
a
2
1 b
2
1 0,
hay
a
2
b
2

c
2
b
2
c
2
c
2
a
2
c
2
.
Do đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức sau
5a
2
5b
2
4c
2
4b
2
c
2
4c
2
a
2
3a
2

b
2
23 8 a b c 8 ab bc ca .
Bất đẳng thức này tương đương với bất đẳng thức sau:
4 a 1
2
4 b 1
2
4 c 1
2
a b
2
3 ab 1
2
4 bc 1
2
4 ca 1
2
0.
Dĩ nhiên bất đẳng thức này luôn đúng. Vậy, ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
20
2.2.2 Chứng minh dạng bất đẳng thức mà có thể chứng minh
bằng cách sử dụng bất đẳng thức cổ điển
Bài toán 7. Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng
a
2
2 b
2
2 c

2
2 3 a b c
2
abc 1
2
.
Lời giải. Bất đẳng thức đã cho tương đương với
2 a
2
b
2
b
2
c
2
c
2
a
2
a
2
b
2
c
2
2abc 7 6 ab bc ca .
Theo bất đẳng thức Cauchy thì ta có
2a
2
b

2
2 2b
2
c
2
2 2c
2
a
2
2 4ab 4bc 4ca.
Theo bài toán 1, ta có a
2
b
2
c
2
2abc 1 2 ab bc ca .
Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức kề trên ta được:
2 a
2
b
2
b
2
c
2
c
2
a
2

a
2
b
2
c
2
2abc 7 6 ab bc ca
hay
a
2
2 b
2
2 c
2
2 3 a b c
2
abc 1
2
.
Bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Bài toán 8. Cho các số thực bất kì a, b, c thỏa mãn
1
a
2
8
1
b
2
8

1
c
2
8
1
3
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P a b c.
Lời giải. Ta có
1
a
2
8
1
b
2
8
1
c
2
8
1
3
.
1
c
2
8
1
6
1

a
2
8
1
6
1
b
2
8
1
6
a
2
2
a
2
8
b
2
2
b
2
8
1
3
a
2
2
a
2

8
.
b
2
2
b
2
8
1 .
21
Tương tự ta cũng có
1
b
2
8
1
3
c
2
2
c
2
8
.
a
2
2
a
2
8

2
1
a
2
8
1
3
b
2
2
b
2
8
.
c
2
2
c
2
8
3 .
Nhân ba bất đẳng thức (1),(2),(3) vế theo vế ta thu được
1
a
2
8
.
1
b
2

8
.
1
c
2
8
1
27
.
a
2
2
a
2
8
.
b
2
2
b
2
8
.
c
2
2
c
2
8
.

Suy ra, a
2
2 a
2
2 a
2
2 27 (4) Theo Bài toán 2.4, ta có a
2
2 b
2
2 c
2
2 3 a b c
2
(5)
Từ (4) và (5) ta thu được 3 a b c
2
27.
Suy ra 3 a b c 3
Vậy, giá trị nhỏ nhất của P a b c là -3, đạt được tại a b c 1;
giá trị lớn nhất của P a b c là 3, đạt được tại a b c 1.
Bài toán 9. Cho các số thực dương a, b, c sao cho a
2
b
2
c
2
abc 4.
Chứng minh rằng
a b c

1
4
min a b
2
, b c
2
, c a
2
3.
Lời giải. Theo nguyên lý Dirichlet thì hai trong ba số a 1 , b 1 , c 1
cùng dấu.
Không mất tính tổng quát, giả sử a 1 b 1 0.
Từ giả thiết, suy ra
c
4 a
2
4 b
2
ab
2
8 a
2
b
2
2
ab
2
8 a
2
b

2
2ab
4
.
Do đó
a b c
1
4
min a b
2
, b c
2
, c a
2
a b c
1
4
a b
2