tính tự nhiên tôpô của định lý noguchi về dãy các ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức

Trần Thị Kim Liên: Tính tự nhiên tôpô của định lý Noguchi về dãy các ánh xạ chỉnh hình
giữa các không gian phức – Toán giải tích
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỤC LỤC

Mở đầu…………….……………………………………………………
1
Chương 1 : Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Ánh xạ chỉnh hình…………………………………… …………….
3
1.2 Đa tạp phức………………………………………………………….
3
1.3 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức…………………
6
1.4 Không gian phức hyperbolic ………… ……………………………
7
Chương 2 : Tính tự nhiên tôpô của định lí Noguchi về dãy các ánh
xạ chỉnh hình giữa các không gian phức

2.1 Mở đầu…………………….………………………………………
19
2.2 Tổng quát tôpô các kết quả của Kiernan, Kobayashi, Kwack và
Noguchi trong không gian phức………………………………………
20
2.3 Một số đặc trƣng của tính chất  và ứng dụng………………………
32
Kết luận……………………………………………………………….
46
Tài liệu tham khảo……………………………………………………

47





Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
MỞ ĐẦU
Vào đầu những năm 70, S.Kobayashi đã đƣa ra lý thuyết các không gian
phƣ́ c hyperbolic và trở thà nh mộ t trong nhƣ̃ ng hƣớ ng nghiên cƣ́ u quan trọ ng
của giải tích phức . Trong nhƣ̃ ng năm gầ n đây , lý thuyết này đã thu ht sự
quan tâm nghiên cƣ́ u củ a nhiề u nhà toá n họ c trên thế giớ i . Bài toán thác trin
các ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức vi các kết quả quan trng đã
gắ n liề n vớ i tên tuổ i cá c nhà toá n họ c nhƣ Kiernan , Kobayashi, Kwack và
Noguchi. Tƣ̀ việ c khá i quá t hó a đị nh lý Picard lớ n để đƣợ c k ết quả K
3
– đị nh
lý (định lý Kiernan , Kobayashi, Kwack), và tiếp sau là định lý thác trin hội
tụ Noguchi. Sau kế t quả củ a Noguchi , tƣ̀ năm 1994 đến năm 2000, J.Joseph
và M.Kwack đã chƣ́ ng tỏ đƣợ c tấ t cả cá c kế t quả trên đề u có thể chứng minh
và mở rộng đƣc bng phƣơng pháp thuần ty tôpô . Tƣ̀ đó đã đƣa ra mộ t số
đặ c trƣng củ a tính nhú ng hyperbolic củ a cá c không gian phƣ́ c . Các nghiên
cƣ́ u nà y đã gó p phầ n thú c đẩ y sƣ̣ phá t triể n củ a lý thuyế t cá c không gian phƣ́ c
hyperbolic và mở ra nhƣ̃ ng hƣớ ng nghiên cƣ́ u mớ i .
Trong luận văn này, chng tôi đặ t vấ n đề tìm hiể u cá c kế t quả củ a
J.Joseph và M.Kwack theo cá c hƣớ ng đã nêu . Luận văn gồm có hai chƣơng.
Chƣơng 1, chng tôi trình bày những vấn đề cơ bản về giải tích phức nhiều
biến và giải tích hyperbolic nhm chuẩn bị cho chƣơng sau. Bao gồ m đị nh

ngha một số khái nim về đa tạp phức , không gian phƣ́ c hyperbolic và tính
nhng hyperbolic của các không gian phức . Tiế p theo l à các kết quả của
Kiernan, Kobayashi, Kwack và Noguchi về thá c triể n á nh xạ chỉnh hì nh giƣ̃ a
các không gian phức . Chƣơng 2 là nội dung chính của luận văn. Trong
chƣơng này chng tôi trình bày một số đặ c trƣng củ a tí nh chấ t , các chứng
minh và tổ ng quá t cá c kế t quả củ a Kiernan , Kobayashi, Kwack và Noguchi.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
Các kết quả trình bày trong chƣơng 2 đã đƣợ c J .Joseph và M .Kwack
trình bày trong
 
4
. Tuy nhiên trong luậ n văn chú ng tôi đã cố gắ ng trì nh bày
mộ t cá ch tƣơng đố i chi tiế t cá c chứng minh củ a cá c định lý và trì nh bà y cá c
vấ n đề theo cách hiu của mình . Ngoài ra chng tôi cn chứng minh đƣc một
số ví dụ mà J .Joseph và M.Kwack đã đƣa ra nhằ m là m rõ hơn cá c vấ n đề đã
đƣợ c trì nh bà y trong luậ n văn .
Luận văn đƣc hoàn thành dƣi sự hƣng dẫn tận tình của PGS.TS
Phạm Vit Đức. Em xin bày tỏ lng biết ơn sâu sắc ti Thầy. Nhân dịp này
em cũng xin đƣc bày tỏ lng biết ơn sâu sắc ti các Thầy , Cô đã giảng dạy
cho em các kiến thức khoa hc trong suốt quá trình hc tập tại trƣờng. Xin
chân thà nh cảm ơn Trƣờng Đại hc Sƣ phạm - Đại hc Thái Nguyên đã tạo
điều kin thuận li cho vic hc tập của tôi. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia
đình, ngƣời thân và bạn bè đã động viên gip đỡ tôi trong suốt quá trình khoá
hc và hoà n thà nh luậ n văn nà y .

Thái Nguyên, tháng 08 năm 2010
Tác giả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3
CHƢƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Ánh xạ chỉnh hình
1.1.1 Định nghĩa
Cho X là tập mở trong
n

và
:fX 
là một hàm tùy ý.
(1) Hàm f đƣc gi là khả vi phức tại
0
xX
nếu tồn tại ánh xạ tuyến
tính
:
n


sao cho :

00
0
( ) ( ) ( )
lim 0
h
f x h f x h
h


  


trong đó
12
( , , , )
n
n
h h h h
và
2
22
12

n
h h h h   

(2) Hàm f gi là chỉnh hình tại
0
xX
nếu f là khả vi phức trong một

lân cận nào đó của
0
x
và đƣc gi là chỉnh hình trên X nếu f chỉnh hình tại
mi đim thuộc X.
(3) Cho X là tập mở trong
n

. Khi đó ánh xạ
:
m
fX
có th đƣc
biu diễn dƣi dạng
12
( , , , )
m
f f f f
trong đó
:
ii
f f X


; f đƣc gi
là chỉnh hình trên X nếu
i
f
chỉnh hình trên X vi mi
1,2, ,im

.
1.1.2 Định nghĩa
Cho X là tập mở trong
n

, hàm
: ( )
n
f X f X
là song chỉnh hình
nếu f là song ánh chỉnh hình và
1
f

cũng là ánh xạ chỉnh hình.
1.2 Đa tạp phức
1.2.1 Định nghĩa và ví dụ
1.2.1.1 Định nghĩa
Cho X là một không gian tôpô Hausdorff
(1) Cặp
 
,U

đƣc gi là một bản đồ địa phƣơng của X ở đó U
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
là một tập mở trong X,
:
n

U

 
nếu các điều kin sau đƣc thỏa mãn :
(i)
()U

là một tập mở trong
n

.
(ii)
: ( )UU


là một đồng phôi.
(2) H
 
 
,
ii
iI
U


A
các bản đồ địa phƣơng của X đƣc gi là
một tập bản đồ giải tích (atlas) của X nếu các điều kin sau đƣc thỏa mãn:
(i)
 

i
iI
U

là một phủ mở của X.
(ii) Vi mi
,
ij
UU
mà
ij
UU  
thì ánh xạ

   
1
:
j i i i j j i j
U U U U
   

  

là ánh xạ chỉnh hình.
Xét h các atlas trên X. Hai atlas
12
,AA
đƣc gi là tƣơng đƣơng
nếu hp
12

AA
là một atlas. Đây là một quan h tƣơng đƣơng trên tập các
atlas. Mỗi lp tƣơng đƣơng xác định một cấu trc khả vi phức trên X, và X
cùng vi cấu trc khả vi phức trên nó đƣc gi là một đa tạp phức n chiều.
1.2.1.2 Ví dụ
(1) Giả sử D là một miền trong
n

, khi đó D là một đa tạp phức
n chiều vi bản đồ địa phƣơng
 
 
,
D
D Id
.
(2) Đa tạp xạ ảnh
()
n
P 
.
Xét
 
 
01
: : : ( ) 0
n
i n i
U z z z P z  
vi

0,1,2, ,in
. Rõ
ràng
 
1
n
i
i
U

là một phủ mở của
()
n
P 
.
Xét các đồng phôi
:
n
ii
UC




 
0 1 1
01
: : : , , , , ,
i i n
n

i i i i
z z z z
z z z
z z z z






Ta có :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5
 
1
0 1 1
0,
: , , , ,
k
j i i i n
j
kn
kj
z
z z z z
z











,
ở đó
1
i
z 
là ánh xạ chỉnh hình.Vậy
()
n
P 
là một đa tạp phức n chiều.
1.2.2 Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức
(1) Cho M,N là hai đa tạp phức. Ánh xạ liên tục
:f M N
gi là
chỉnh hình trên M nếu vi mi bản đồ địa phƣơng
 
,U

của M và bản đồ địa
phƣơng
 
,V


của N sao cho
()f U V
thì ánh xạ
1
: ( ) ( )f U V
   



là chỉnh hình.
Ta ký hiu
( , )H M N
là tập các ánh xạ chỉnh hình từ đa tạp phức M đến
đa tạp phức N.
(2) Cho M,N là hai đa tạp phức và
:f M N
là một song ánh. Nếu
1
,ff

là các ánh xạ chỉnh hình thì f đƣc gi là ánh xạ song chỉnh hình giữa
M và N.
1.2.3 Định nghĩa
(1) Cho M là đa tạp phức, một không gian con phức đóng X là một tập
con đóng của M mà về mặt địa phƣơng nó có th xác định là không đim của
một số hữu hạn các hàm chỉnh hình, ngha là vi
0
xX
tồn tại một lân cận
mở V của

0
x
trong M và một số hữu hạn các hàm chỉnh hình
12
, , ,
n
  
trên
V sao cho
XV
là tập các đim
xX
thỏa mãn :
12
( ) ( ) ( ) 0
n
x x x
  
   
.
(2) Cho M là đa tạp phức, không gian con phức đóng A của M đƣc gi
là một divisor trên M nếu về mặt địa phƣơng thì nó là không đim của một
hàm chỉnh hình, ngha là vi mỗi
xA
có lân cận V của x trong M sao cho
AV
là tập các không đim của hàm f chỉnh hình trên V.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6

Khi
dimMm
thì divisor A đƣc gi là có giao chuẩn tắc nếu về mặt
địa phƣơng thì :
*
()
rs
M A D D  
, vi r + s = m,
trong đó D là đa đơn vị trong

.
1.3 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức
1.3.1 Khoảng cách Bergman – Poincaré trên đĩa đơn vị
Giả sử
 
,1D z z  
là đa đơn vị mở trong

.
Xét ánh xạ
:
D
DD



xác định bởi
1
1

( , ) ln ; ,
1
1
D
ab
ba
a b a b D
ab
ba



  




.
Ta có
D

là một khoảng cách trên D và gi nó là khoảng cách
Bergman – Poincaré trên đa đơn vị.
1.3.2 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức
1.3.2.1 Định nghĩa
Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai đim tùy ý của X.
( , )H D X
là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ đa đơn vị D vào không gian
phức X đƣc trang bị tôpô compact mở.
Xét dãy các đim

01
, , ,
k
p x p p y
của X, dãy các đim
12
, , ,
k
a a a
của D và dãy các ánh xạ
12
, , ,
k
f f f
trong
( , )H D X
thỏa mãn
1
(0) , ( ) , 1,2, ,
i i i i i
f p f a p i k

   
.
Ta gi một dây chuyền chỉnh hình  nối x vi y là tập hp :

 
0 1 1
, , , , , , , ,
k k k

p p a a f f



thỏa mãn các điều kin trên.
Ta đặt :
1
(0; )
n
Di
i
La





và định ngha
( , ) inf
X
d x y L



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7
trong đó infimum lấy theo tất cả các dây chuyền chỉnh hình  nối x vi y . Dễ
thấy
X

d
thỏa mãn các tiên đề về giả khoảng cách, tức là :
) ( , ) 0, , .
) ( , ) ( , ), , .
) ( , ) ( , ) ( , ), , , .
X
XX
X X X
i d x y x y X
ii d x y d y x x y X
iii d x z d x y d y z x y z X
  
  
   

Nói cách khác
X
d
là một giả khoảng cách trên X. Giả khoảng cách
X
d
đƣc
gi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X.
1.3.2.2 Tính chất
Ta có th dễ dàng chứng minh các tính chất sau của
X
d
:
i)
DD

d


và
1,
(( ),( )) max ( , )
n
i j i j
D
jn
d z w z w



vi mi
( ),( )
n
ij
z w D
.
ii) Nếu
: f X Y
là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức X,Y
thì

( , ) ( ( ), ( )), ,
XY
d p q d f p f q p q X  
.
Từ đó suy ra rng nếu

: f X Y
là song chỉnh hình thì

( , ) ( ( ), ( )), ,
XY
d p q d f p f q p q X  
.
iii) Đối vi một không gian phức X tùy ý, hàm khoảng cách
X
d
là liên
tục trên
XX
.
iv) Nếu X,Y là các không gian phức thì vi mi
1 2 1 2
, ; ,x x X y y Y
ta
có
 
1 2 1 2 1 1 2 2
max ( , ), ( , ) (( , ),( , ))
X Y X Y
d x x d y y d x y x y


.
1.4 Không gian phức hyperbolic
1.4.1 Không gian phức hyperbolic
1.4.1.1 Định nghĩa

Không gian phức X đƣc gi là không gian hyperbolic nếu giả
khoảng cách Kobayashi
X
d
là khoảng cách trên X, ngha là:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
( , ) 0
X
d p q p q  
,
,p q X

1.4.1.2 Ví dụ
(a) D là hyperbolic vì
DD
d


mà
D

là khoảng cách trên D nên
D
d
cũng là khoảng cách trên D.
(b)

n

không là hyperbolic. Thật vậy, giả sử
n
d

là giả khoảng
cách Kobayashi trên

n
, ta sẽ chỉ ra rng
0
n
d 

và do đó
n
d

không là
khoảng cách trên

n
.
Vi
, 
n
xy
và
( 0)p D p  
, xét ánh xạ :
:

n
fD
yx
z x z
p






Khi đó f là ánh xạ chỉnh hình,
(0) fx
và
()f p y
. Do f làm
giảm khoảng cách đối vi
D
d
và
n
d

nên ta có:

(0; ) ( (0); ( ))
n
D
d p d f f p



( , ) (0; )
n
D
d x y p



.
Cho p dần ti 0 ta có
( , ) 0
n
d x y 

. Vậy

n
không là đa tạp hyperbolic.
1.4.1.3 Tính chất
i) Nếu X,Y là không gian phức, thì
XY
là không gian hyperbolic khi
và chỉ khi cả X và Y đều là các không gian hyperbolic.
ii) Giả sử X là không gian phức, Y là không gian hyperbolic và
: f X Y
là ánh xạ chỉnh hình và là đơn ánh thì X cũng là không gian
hyperbolic. Đặc bit, nếu X là không gian con phức của không gian
hyperbolic Y thì X cũng là hyperbolic.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9
Chứng minh
Vi mi
, ' , 'x x X x x
ta có :
 
( , ') ( ), ( ') .
XY
d x x d f x f x

Mặt khác do f đơn ánh nên
( ) ( ')f x f x
và do Y là không gian
hyperbolic nên ta có :
 
( ), ( ') 0
Y
d f x f x 


( , ') 0
X
d x x 

 X là không gian hyperbolic.
iii) Định lý Barth (xem
 
8

)
Giả sử X là không gian phức liên thông. Nếu X là hyperbolic thì
X
d

sinh ra tô pô tự nhiên của X.
1.4.1.4 Mệnh đề (Bổ đề Eastwood)
Giả sử
: XY

là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức. Giả
sử Y là hyperbolic và với mỗi điểm
yY
có lân cận U của y sao cho
1
()U



là hyperbolic thì X là hyperbolic .
1.4.2. Không gian phức hyperbolic đầy
1.4.2.1 Định nghĩa
Không gian phức X đƣc gi là hyperbolic đầy nếu X là hyperbolic và
mi dãy Cauchy vi khoảng cách
X
d
đều hội tụ.
1.4.2.2 Mệnh đề
Giả sử X là không gian hyperbolic liên thông. Khi đó X là
hyperbolic đầy nếu và chỉ nếu với mọi

xX
và
0r 
mọi hình cầu đóng
( , )B x r
là compact.
1.4.2.3 Mệnh đề
(a) Các đĩa và đa đĩa là hyperbolic đầy.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
(b) Tích hữu hạn các không gian hyperbolic đầy là hyperbolic đầy.
(c) Một không gian con đóng của không gian hyperbolic đầy là
hyperbolic đầy.
(d) Giả sử
: XY


là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức.
Giả sử Y là hyperbolic đầy và với mỗi
yY
, tồn tại một lân cận U sao cho
1
()U


là hyperbolic. Khi đó X là hyperbolic đầy.
(e) Giả sử
:'XX



là ánh xạ phủ chỉnh hình. Khi đó X là
hyperbolic đầy nếu và chỉ nếu X’ là hyperbolic đầy.
1.4.3 Không gian phức nhúng hyperbolic
1.4.3.1 Định nghĩa
Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. Khi đó
ta nói X là nhúng hyperbolic trong Y nếu vi mi
,x y X Y
, tồn tại các lân
cận mở U của x và V của y trong Y sao cho
( , ) 0,
X
d X U X V  

trong đó d
X
là khoảng cách Kobayashi trên X.
1.4.3.2 Nhận xét
i) Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi X là nhúng
hyperbolic trong chính nó.
ii) Nếu X
1
là nhúng hyperbolic trong Y
1
và X
2
là nhúng hyperbolic trong
Y
2
thì

12
XX
là nhúng hyperbolic trong
12
YY
.
iii) Nếu có hàm khoảng cách

trên
X
thỏa mãn
( , ) ( , ), ,
X
d x y x y x y X

  

thì X là nhúng hyperbolic trong Y.
1.4.3.3 Định lý
Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. Khi đó các
điều kiện sau là tương đương:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11
HI1. X là nhúng hyperbolic trong Y.
HI2. X là hyperbolic và nếu
   
,
nn
xy

là các dãy trong X thỏa mãn
, , ( , ) 0
n n X n n
x x X y y X d x y    

thì x = y.
HI3. Giả sử
   
,
nn
xy
là các dãy trong X thỏa mãn
,
nn
x x X y y X   

Khi đó nếu
( , ) 0
X n n
d x y 
khi
n 
thì x = y.
HI4. Giả sử H là hàm độ dài trên Y.Khi đó tồn tại các hàm liên tục
dương

trên Y sao cho:

*
( ) , ( , )

D
f H H f H D X  


trong đó
H

là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị D.
HI5. Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi
( , )f H D X
ta có
*
D
f H H
.
1.4.3.4 Định lý Kiernan
Giả sử X là không gian con phức, compact tương đối trong không gian
phức Y.
Khi đó X là nhúng hyperbolic trong Y nếu và chỉ nếu
( , )H D X
là compact
tương đối trong
( , )H D Y
.
1.4.4 Các định lý về thác triển chỉnh hình giữa các không gian phức
1.4.4.1 Định lý
Nếu X là không gian con phức, compact tương đối và nhúng
hyperbolic trong không gian phức Y thì mọi
*
( , )f H D X

có thác triển
( , )f H D Y

.
1.4.4.2 Định lý Noguchi trên D
Cho X là không gian con phức, compact tương đối và nhúng hyperbolic
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
trong không gian phức Y. Cho
*
( , )f H D X
và
 
n
f
là dãy trong
*
( , ).H D X

Khi đó nếu
n
ff
thì
n
ff

.
1.4.4.3 Định lý K
3

Cho X là không gian con phức, compact tương đối và nhúng
hyperbolic trong không gian phức Y. Cho M là đa tạp phức và A là divisor
trên M có giao chuẩn tắc, thế thì mỗi
( , )f H M A X
đều có thác triển
( , )f H M Y

.
Chứng minh
Trƣc hết ta nhận thấy rng nếu
 
n
f
là dãy trong
*
( , )H D X
,
 
k
z
và
 
'
k
z
là các dãy trong
*
D
hội tụ đến 0 và

()
kk
f z y Y
thì
'
()
kk
f z y
và
hơn nữa ta có
(0)
k
fy

.
Theo giả thiết ta có th giả sử rng :
m
MD
và
*
()
rs
M A D D  
, vi r + s = m.
ta chứng minh định lý theo 3 bƣc :
1) Nếu
*
M A D
thì từ định lý 1.4.4.1 ta có điều phải chứng minh.
2) Giả sử có thác trin f khi

*n
M A D
vi n nào đó ta sẽ chỉ ra rng
f có thác trin nếu
*ns
M A D D  
vi mi s.
Giả sử
11
( , ) ( , , , , , )
ns
ns
t t t D D
  
  
và
*
:
ns
f D D X
là ánh
xạ chỉnh hình. Vi mỗi t ta đặt
( ) ( , )
t
f f t


, theo giả thiết
t
f

có thác trin
thành ánh xạ chỉnh hình trên
n
D
. Ta cn phải chứng minh ánh xạ
:( , ) ( , )f t f t


là ánh xạ liên tục.
Giả sử f không liên tục tại
( ,0)


dãy
 
( , )
kk
t

trong
*rs
DD

hội tụ đến
( ,0)

nhƣng
( , ) ( ,0)
kk
f t y f



.
Xác định
*
:
k
f D X
bởi
( ) ( , )
k
k
f z z


.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13
Từ
0
k
t 
và
( ) ( , )
k k k
k
f t f t y



nên theo (*) ta có
(0) ( ,0)
k
k
f f y


.
Mặt khác
t
f
liên tục vi mỗi t do đó
( ,0) ( ,0)
t
ff


. Điều này mâu thuẫn
vì
( ,0)fy


. Vậy 2) đƣc chứng minh.
3) Giả sử f có thác trin nếu
*ns
M A D D  
vi mi s. Ta sẽ chứng
minh f có thác trin nếu
*1n
M A D



.
Xét ánh xạ chỉnh hình
*1
:
n
f D X


và đặt
*
:g D X
xác định bởi
( ) ( , , , )g z f z z z
. Vậy g chỉnh hình trên D
*
và theo định lý 1.4.4.1 thì g có
thác trin
( , )g H D Y

. Đặt
(0,0, ,0) (0)fg
, nhƣ vậy ta cn phải chứng
minh f là liên tục.
Giả sử f không liên tục, tồn tại dãy
12
( , ) ( , , , , )
k k k k k k
n

tt
   

trong
*1n
D

sao cho :
( , ) 0
( , ) (0,0, ,0)
kk
kk
t
f t y f










Theo (*) thì vi
( ) ,
k
k
k
k

z
f z f t







và
 
 
k
k
z


ta có :
(0, ) (0)
k
k
f t f y
.
Vi
( ) , , , ,
k k k
k
k
k k k
zt zt zt

f z f t
t t t





và
 
 
' k
k
zt
ta có :
(0, ) (0) (0,0, ,0)
k
k
f t f f

Điều này mâu thuẫn vì
(0,0, ,0)fy
. Vậy 3) đƣc chứng minh và từ đó
định lý đƣc chứng minh.
Dƣ̣ a và o kế t quả củ a K
3
– đị nh lý , các định lý của Lelong và Wirtinger
trong lý thuyế t độ đo , năm 1985, Noguchi đã chứng minh đị nh lý thá c triể n
hộ i tụ sau :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
1.4.4.4 Định lý Noguchi
Cho X là không gian con phức compact tương đối và nhúng hyperbolic
trong không gian phức Y. Cho M là đa tạp phức và A là divisor trên M có
giao chuẩn tắc. Giả sử
:
n
f M A X

là dãy các ánh xạ chỉnh hình, hộ i tụ đề u trên cá c tậ p con compact củ a
MA

tớ i á nh xạ chỉnh hình
:f M A X

Giả sử
,
n
ff

là các thác triển chỉnh hình của
,
n
ff
tương ứ ng từ M
vào Y.
Khi đó
n
ff


trong
( , )H M Y
.
Đ chứng minh định lí 1.4.4.4 ta cần một số khái nim và kết quả sau
1.4.4.5 Định nghĩa
Giả sử X,Y là các không gian phức. Ký hiu
( , )C X Y
là h các ánh xạ
liên tục từ X vào Y. H
 
,H X Yf
đƣc gi là h chuẩn tắc đều nếu
 
,H M Xf
là compact tƣơng đối trong
( , )C M Y

, vi mỗi đa tạp phức M,
trong đó
 
YY

  
là compact hóa 1 đim của Y.
Nếu
00
,XY
là các không gian con của không gian tôpô X,Y tƣơng ứng
và
 

00
,C X Yf
. Ta ký hiu
 
,,C X Y f
là tập các ánh xạ
( , )g C X Y
mà
là các thác trin của các phần tử của
f
.
1.4.4.6 Định lý
Nếu X, Y là các không gian phức thì họ
 
,H X Yf
là chuẩn tắc đều
nếu và chỉ nếu
 
,H M Xf
là compact tương đối trong
( , )C D Y

.
1.4.4.7 Định lý
Giả sử X là không gian con phức compact tương đối trong không gian
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
phức Y. Khi đó các điều kiện sau là tương đương :
i) X là nhúng hyperbolic trong Y;

ii)
( , )H D X
là compact tương đối trong
( , )C D Y

;
iii)
( , )H D X
là họ con chuẩn tắc đều của
( , )H D Y
.
1.4.4.8 Bổ đề
Giả sử
*
( , )
m
H D Yf
là họ chuẩn tắc đều. Nếu
   
*
,
m
nn
w D ff

sao cho
0
m
n
w w D

và
()
nn
f w p Y
thì với mỗi lân cận U của p, tồn
tại lân cận W của
0
w
trong
m
D
sao cho
 
*m
n
f W D U
.
Sử dụng các kết quả trên ta có th mở rộng K
3
– định lí và định lí thác
trin hội tụ của Noguchi nhƣ sau
1.4.4.9 Định lí
Giả sử M là đa tạp phức và A là divisor có giao chuẩn tắc trong M. Giả
sử
( , )H M A Yf
là họ chuẩn tắc đều và
f
là bao đóng của
f
trong

( , )C M A Y


. Khi đó
i) Mỗi
f f
đều thác triển được thành
( , )f C M Y



.
ii)
,,C M Y



f
là compact trong
( , )C M Y


iii) Nếu
 
n
f  f
và
n
ff
thì

n
ff

.
Chứng minh
Đ chứng minh i) và ii) trƣc hết ta chứng minh vi mỗi
f f
đều
thác trin đƣc thành
( , )f C M Y



và
,,C M Y



f
là compact tƣơng đối
trong
( , )C M Y

.
Vì bài toán là địa phƣơng nên ta có th giả thiết rng
m
MD
và
*
( , )

m
H D Yf
. Do đó ta chỉ cần chứng minh vi mỗi
f f
có thác trin
( , )
m
f C D Y



và
,,
m
C D Y



f
là compact tƣơng đối trong
( , )
m
C D Y

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
Theo định lí Ascoli, ta chỉ cần chứng minh
,,

m
C D Y



f
là liên tục
đồng đều trong
( , )
m
C D Y

.
Giả sử ngƣc lại, khi đó tồn tại
0
m
wD
, các dãy
   
,'
nn
ww
trong
*m
D
cùng hội tụ ti
0
w
và có dãy
 

n
f  f
mà
()
nn
f w p

và
( ' )
nn
f w q p

. Điều này mâu thuẫn vi bổ đề 1.4.4.8. Vậy ta có
, , ( , ).
mm
C D Y C D Y



f Ð

Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại thác trin của ánh xạ f.
Giả sử
0
,w M p Y


và
 
0

;
nn
w M A w w  
và
()
n
f w p
. Khi
đó p xác định duy nhất, do đó vi
0
w
và p ở trên ta định ngha
0
( ) .f w p


Rõ ràng
ff

trên
MA
,
vì nếu ta chn dãy
n
w w M A  
vi mi n, thì
( ) ( )f w f w

vi mi
w M A

.
Vậy theo định lí thác trin Riemann, đ chứng minh
f

là thác trin
chỉnh hình của f ta chỉ cần chứng minh
f

là liên tục.
Nếu
0
()f w p Y

và U là lân cận mở của p thì gi V là lân cận
compact tƣơng đối của p sao cho
VU
. Theo bổ đề 1.4.4.8, tồn tại lân cận
mở W của
0
w
trong M sao cho
()f W A V
. Khi đó
( ) .f W V U


Nếu
0
()fw 


, theo bổ đề 1.4.4.7, tồn tại lân cận mở W của
0
w
trong
M sao cho
()f M A U
, tức là tồn tại lân cận mở W của
0
w
trong M sao
cho
()f W V

. Từ đó ta có
f

liên tục.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17
Đ kết thc chứng minh i) ta lấy
f f
Khi đó tồn tại dãy
 
n
f
trong
f
sao cho
n

ff
khi
n 
. Do
,,C M Y



f
là compact tƣơng đối trong
( , )C M Y

nên tồn tại dãy con
 
 
k
nn
ff
sao cho
( , )
k
n
f g C M Y



. Rõ
ràng
gf


(vì chng bng nhau trên
MA
). Vậy i) đƣc chứng minh.
Đ chứng minh ii) ta chứng minh
, , , ,C M Y C M Y

   

   
ff
.
Vi
g f
ta chn dãy
 
n
f  f
sao cho
n
fg
.
Do tính compact tƣơng đối của
,,C M Y



f
trong
( , )C M Y


và sự tồn
tại thác trin trong i), suy ra có dãy con
   
k
nn
ff

sao cho
k
n
fg


, vì vậy
,,g C M Y





f
.
Do đó
, , , ,C M Y C M Y

   

   
ff
.

Ngƣc lại, vi
,,g C M Y





f
, tồn tại dãy
 
,,
n
f C M Y





f
mà
n
fg


.
Suy ra
n
fg
trên
MA

vi
 
n
f  f
.
Từ đó,
g f
. Vậy
,,g C M Y





f
.
Hay ta có
, , , ,C M Y C M Y

   

   
ff
.
Vậy ii) đƣc chứng minh.
iii) Giả sử
 
n
f  f
và

n
ff
. Ta chứng minh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18
n
ff

khi
n 
.
Theo i) thì các
n
f

và
f

luôn tồn tại.
Theo ii), vì
 
,,
n
f C M Y






f
compact trong
( , )C M Y

, nên mi
dãy con
 
k
n
f

của
 
n
f

đều có dãy con hội tụ ti
f

. Do đó
n
ff

khi
n 
.
Vậy iii) đƣc chứng minh.
1.4.4.10 Nhận xét
Theo h quả 3 và h quả 7 (xem
 

3
) khẳng định rng :
Nếu X là không gian con phức, nhúng hyperbolic trong không
gian phức Y và A là divisor có giao chuẩn tắc trong đa tạp phức M thì mỗi
( , )f H M A X
đều thác triển được thành
( , )f C M Y



và nếu X là
compact tương đối trong Y thì
( , )f H M Y

.
Từ đó theo định lí 1.4.4.7 và định lí 1.4.4.9 ta suy ra kết quả của định lí
Noguchi 1.4.4.4.
1.4.4.11 Định lý
Các phát biu dƣi đây là tƣơng đƣơng, vi X là không gian con phức
trong không gian phức Y.
i) X là nhúng hyperbolic trong Y.
ii) Nếu
   
,
nn
fz
là các dãy theo thứ tự trong
*
( , )H D X
và D

*
thỏa
mãn
0, ( )
n n n
z f z p
thì
,
()
nn
f z p
, với mọi dãy
 
,
n
z
trong D
*
và
,
0
n
z 
.
iii) Với M là đa tạp phức và A là divisor có giao chuẩn tắc trong M,
nếu
 
n
f
và

 
n
z
tương ứng là các dãy trong
( , )H M A X
và
MA
thỏa
mãn
n
z z M
, thì
,
()
nn
f z p
, với mọi dãy
 
,
n
z
của
MA
thỏa mãn
,
n
zz
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19
CHƢƠNG 2
TÍNH TỰ NHIÊN TÔPÔ CỦA ĐỊNH LÝ NOGUCHI VỀ DÃY CÁC
ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH GIỮA CÁC KHÔNG GIAN PHỨC
2.1 Mở đầu
Nếu X, Y là các không gian tôpô , ta ký hiu
( , )F X Y
là tập hp các
hàm từ X ti Y . Dựa vào các tính chất (i) và (ii) của định lý 1.4.4.11 J.Joseph
và M.Kwack đã đƣa ra khái nim sau:
Tính chất  : Giả sử X và Y là các không gian tôpô và
0
XX
là trù mật. Ta
nói
0
( , )F X Y
thỏa mãn tính chất  đố i vi
 
0
,,X X Y
nếu mỗi
,x X y Y
và lƣi
 
 
,,f x v
  
trong
00

XX 
thỏa mãn
,x x v x


và
 
f x y


, ta có
 
f v y


.
Mục đích chính của chng tôi là sử dụng tính chất  đ mở rộng và chứng
minh lại các định lý của Kwack, Kobayashi, Kiernan và Noguchi (Định lý
1.4.4.1, 1.4.4.2, 1.4.4.3, 1.4.4.4) bng phƣơng pháp tôpô thuần ty. Đồng thời
đƣa ra một số đặc trƣng của tính chất  và ứng dụng cho nghiên cứu tính
nhng hyperbolic của các không gian phức. Trƣc hết, ta nhắc lại một số khái
nim sau :
+ Một không gian đƣc gi là k - không gian nếu một tập con C của
không gian là đóng khi
CK
là đóng trong K cho mỗi tập con compact K
của không gian.
+ Mi không gian tôpô đều đƣc giả thiết là không gian Hausdorff và Y
sẽ luôn là không gian compact địa phƣơng, X là k - không gian.

2.2 Tổng quát tôpô các kết quả của Kiernan, Kobayashi, Kwack và
Noguchi trong không gian phức
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20
2.2.1 Định nghĩa
Nếu X và Y là các không gian tôpô tùy ý, ta nói rng
( , )F X Y
là
liên tục đồng đều (evenly continuous) từ
AX
ti
BY
nếu vi mỗi
aA
,
bB
và
()Ub

trong B có
()Wb

trong B và
()Va

trong A
sao cho:
f 

và
()f a W

()f V U
.
Nếu
( , )F X Y
là liên tục đồng đều từ X ti Y, ta nói gn rng

là liên
tục đồng đều.
2.2.2 Mệnh đề (xem
 
4
)
Cho X là không gian chính quy, compact địa phương và Y là không
gian chính quy. Khi đó
( , )C X Y
là compact tương đối trong
( , )C X Y
nếu
và chỉ nếu :
a)

là một tập con liên tục đồng đều của
( , )C X Y
.
b)
 
( ) ( )x f x Y f   

là compact tương đối trong Y với mỗi
xX
.
Sau đây ta chứng minh mnh đề thiết lập đặc trƣng của h liên tục đồng
đều
( , )C X Y
.
2.2.3 Mệnh đề
Cho X là một không gian và
0
XX
là trù mật trong X. Khi đó
( , )C X Y
là liên tục đồng đều nếu và chỉ nếu

là liên tục đồng đều từ
 
0
Xv
tới Y với mỗi
vX
.
Chứng minh :
 ) Giả sử
( , )C X Y
là liên tục đồng đều.
Lấy
 
0
,,v X a X v b Y   

và
()Ub

trong Y. Do
( , )C X Y

là liên tục đồng đều nên có
( ), ( )W b O a

sao cho :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

21
   
: ( ) : ( )f f a W f f O U    

Đặt
 
 
0
V O X v  
thế thì
aV
và V là tập con mở của
 
0
Xv
và
( ) ( )f V f O U
, vậy

     
: ( ) : ( ) : ( )f f a W f f O U f f V U       
.
Vậy

là liên tục đồng đều từ
 
0
Xv
đến Y.
)
Giả sử
,x X y Y
và
()Uy

. Theo giả thiết thì

liên tục
đồng đều từ
 
0
Xv
ti Y nên ta có th chn
( ); , ( )A x B W y

sao cho:
WU
và
 f

mà
()f x B

 
 
 
0
f A X x W  
.
Ta cần chứng minh
 f
mà
()f x B

()f A W
.
Lấy
,f z A 
và
( ( ))H f z

, ta chứng minh
  HW
(vì khi
đó
()f z W
). Do
 
 
0

,f C X z Y
, ta chn
()Qz

, sao cho :
 
 
 
0
f Q X z H  
(vì tính liên tục của f tại z).
Ta có
()Q A z

nên
0
Q A X   
(do
0
X
trù mật trong X).
Suy ra
 
 
 
 
 
 
 
0 0 0

f Q A X f Q X z f A X x H W           
.

()f z W
mà
()z A f A W  
.
Mnh đề đƣc chứng minh.
Định lý sau thiết lập một đặc trƣng nữa của tính chất .
2.2.4 Định lý
Cho
0
X
là tập con trù mật của không gian X và
0
( , )F X Y
. Các
phát biểu sau đây là tương đương
(1)

thỏa mãn tính chất

ứng với
 
0
,,X X Y
.
(2)

thỏa mãn hai tính chất sau :

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

22
a) Mỗi
f 
thác triển thành
( , )f C X Y




b)
,;C X Y




là compact tương đối trong
( , )C X Y

.
Chứng minh
(2)  (1) : Nếu (1) không xảy ra, ta có th giả thiết
; , ,x X p q Y p q

  
và một lƣi
 
( , , )f x v
  

trong
00
XX 
sao cho :
()
( ) .
xx
vx
f x p
f v q















(*)
Vi mỗi , theo (a) 
f

thác trin đƣc thành

f


. Theo (b) có lƣi
con
 
f


của
 
f

và
( , )g C X Y


sao cho




fg
. Do đó
( ) ( )




f x g x

.
Mặt khác theo (b) và mnh đề 2.2.2 
,;C X Y




là liên tục đồng
đều trong
( , )C X Y

, theo định ngha liên tục đồng đều vi
0
,x X x x



và
0
,v X v x


ta có:
   
()f x f x g x
   
   



và
   
()f v f v g x
   
   


.
Mâu thuẫn vi
pq
 (1) đƣc chứng minh.
(1)  (2) : Hin nhiên
0
( , )C X Y


.
Thật vậy : Vi
0
, f x X
, lấy
 
0

n
xX
mà
0

n

x x X
; do

Y
là
compact 
 


n
f x p Y
.
Hơn nữa do

thỏa mãn tính chất  nên vi dãy

n
vx
thì
 
()
n
f v f x p
, do đó
()fx
liên tục tại x 
0
( , )C X Y



.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

23
Đ chứng minh
f 
thác trin thành
( , )f C X Y



ta chỉ cần chứng
minh rng f thác trin thành
 
 
0
,f C X v Y



vi mỗi
0
v X X
.
Theo (1), vi mỗi v có đim
pY


sao cho nếu
 


x
là một lƣi trong
0
X
và
xv


thì
()f x p


(vì

Y
compact 
p
và
 

f x p
khi

xv
do định ngha

thỏa mãn tính chất ).
Do đó ta có th định ngha
()f v p




f
liên tục tại v. Ta có
ff


trên X
0
do vậy
 
 
0
,f C X v Y



. Nhƣ vậy (2a) đƣc chứng minh.
Đ chứng minh (2b) ta giả sử ngƣc lại
vX
và
,;C X Y




không
liên tục đồng đều từ
 

0
Xv
ti
Y

. Khi đó, tồn tại
 
0
, , ( )x X v p Y U p

   

sao cho vi mỗi cặp
( , ) ( ) ( )V W x p


thỏa mãn
WU
, vi
( , )VW
f 
và
 
( , ) 0VW
x X v
thỏa mãn
( , ) ( , )
, ( )
V W V W
x V f x W


,
( , ) ( , )
()
V W V W
f x Y U Y W

   

.
Thứ tự của các cặp
 
,VW
đƣc định ngha nhƣ sau :
1 1 2 2 2 1
( , ) ( , )V W V W V V  
và
21
WW

Vi mỗi cặp
( , )VW
, ánh xạ
( , )VW
f

là liên tục và
( , )
()
VW

f x W

nên tồn tại

()Hx

sao cho
HV
và
( , )
()
VW
f H W

. Chn H nhƣ trên và
( , ) 0VW
y H X
, khi đó
 
( , )VW
y
là một lƣi trong
0
X
.
Nếu
()Bp

vi
BU

và
()Ax

ta có
( , ) ( , )
,
V W V W
x y A
và
( , ) ( , )
()
V W V W
f y B
vi mỗi
( , ) ( , )V W A B
.
Do đó
( , ) ( , )
,
V W V W
y x x x
và
( , ) ( , )
()
V W V W
f y p
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

24

Ta có vi mỗi cặp (V,W) thì
( , )VW
xx
. Từ đó
( , )VW
xv
(vì
( , )
()

VW
f x W
nhƣng
( , )
()

VW
f x W
nhƣng
( , ) ( , )
()
V W V W
f x Y W



do đó
W
).
Nhƣng do

Y

compact nên ta luôn có th giả thiết rng
( , ) ( , )
( ) ,
V W V W
f y q Y q p

  
 mâu thuẫn vi giả thiết

thỏa mãn tính chất
 đối vi
 
0
,,X X Y
. Từ đó
,;C X Y




là liên tục đồng đều và (2) đƣc
chứng minh.
Từ định lý trên ta nhận đƣc một h quả và h quả này đã tổng quát hóa
các kết quả của Kiernan, Kobayashi, Kwack và Noguchi. Nếu
0
( , )F X Y
,
ta ký hiu


là bao đóng của

trong
0
( , )C X Y

.
2.2.5 Hệ quả
Cho
0
X
là tập con trù mật của không gian X và
0
( , )F X Y
thỏa
mãn tính chất

đối với
 
0
,,X X Y
. Khi đó :
(1) Mỗi
f 
thác triển thành
( , )f C X Y




(2) Nếu
 
f

là một lưới trong

và
ff


thì
ff



.
Chứng minh
Vi
f 
 có lƣi
 
f


mà
ff


. Theo định lý 2.4 có thác

trin
( , )f C X Y




vi mỗi , và tồn tại lƣi con
 
f


của
 
f

sao cho
( , )f g C X Y





. Ta thấy
gf

(vì trên
0
X
thì
f f f





do đó f = g
trên
0
X
). Vậy (1) đƣc chứng minh.
Nếu
 
f


là một lƣi con của
 
f

và
( , )f g C X Y





thì
gf


(tƣơng tự trên). Vì

,;C X Y




là compact tƣơng đối trong
,C X Y



do đó
mi dãy con của
 
f


đều có một dãy con
 
f



hội tụ đến
f

nên từ định lý