chuyên đề phương trình và hệ phương trình dùng để luyện thi đại học cao đẳng - đặng văn cường
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.73 MB, 85 trang )
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
Chuyên đề
DÙNG LUYỆN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG.
TRÌNH BÀY THEO BỐ CỤC:
PHÂN CÁC DẠNG BÀI TẬP THEO CHỦ ĐỀ
TRÌNH BÀY PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
VÍ DỤ CHO TỪNG DẠNG BÀI TẬP.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ.
NĂM 2014
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
MỤC LỤC
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
1
MỤC LỤC
Trang
Chƣơng 1 : MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ . 2.
Dạng 1 : Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng 2.
Dạng 2 : Phƣơng pháp đƣa về dạng tích 6.
Dạng 3 : Phƣơng pháp đặt ẩn phụ 9.
Dạng 4 : Phƣơng pháp đổi biến khơng hồn tồn 15.
Dạng 5 : Đặt ẩn phụ dựa vào tính chất đƣờng thẳng 16.
Dạng 6 : Phƣơng pháp đánh giá 20.
Dạng 7 : Phƣơng pháp hàm số 22.
Dạng 8 : Phƣơng pháp lƣợng giác hóa 24.
Chƣơng 2 : HỆ PHƢƠNG TRÌNH 29.
Dạng 1 : Hệ phƣơng trình đối xứng loại I 29.
Dạng 2 : Hệ phƣơng trình đối xứng loại I ba ẩn 37.
Dạng 3 : Hệ phƣơng trình đối xứng loại II 40.
Dạng 4 : Hệ phƣơng trình đối xứng loại II ba ẩn 44.
Dạng 5 : Hệ phƣơng trình đẳng cấp 48.
Dạng 6 : Một số hệ phƣơng trình đặc biệt 49.
PHƢƠNG TRÌNH – HỆ PHƢƠNG TRÌNH QUA CÁC ĐỀ THI
ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG CÁC NĂM 54.
ĐÁP ÁN 55.
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
2
Chương 1
:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG:
Hai phƣơng trình đƣợc gọi là tƣơng đƣơng nếu chúng có cùng cặp nghiệm.
Một số phép biến đổi tƣơng đƣơng:
Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của phƣơng trình.
Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của phƣơng
trình cùng dƣơng.
Cộng, trừ hai vế của phƣơng trình với cùng biểu thức mà khơng làm thay
đổi tập nghiệm của phƣơng trình.
Nhân, chia hai vế của phƣơng trình với cùng biểu thức khác 0 mà khơng
làm thay đổi điều kiện phƣơng trình.
1) Lũy thừa hai vế của phƣơng trình:
1.1
)x(g)x(f)x(g)x(f
1k2
1k2
1.2
)x(g)x(f
0)x(g
)x(g)x(f
k2
k2
1.3
)x(g)x(f)x(g)x(f
1k21k2
1.4
)x(g)x(f
0)x(g
)x(g)x(f
k2k2
Thơng thƣờng nếu ta gặp phƣơng trình dạng:
DCBA
, ta thƣờng
bình phƣơng 2 vế.
Với phƣơng trình dạng:
3
33
CBA
, lập phƣơng hai vế phƣơng trình ta đƣa
về dạng:
CBAB.A3BA
33
3
, thay
3
33
CBA
ta đƣợc:
CC.B.A3BA
3
Dạng 1: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
3
Ví dụ 1: Giải phƣơng trình:
5x2x10x1x
(*)
Giải:
Điều kiện xác định:
1x
.
Bình phƣơng hai vế phƣơng trình, ta đƣợc:
(*)
10x7x27x210x11x211x2
22
10x7x10x11x2
22
10x7x10x11x414x11x
222
1x10x11x
2
1x
9x9
1x
1x2x10x11x
01x
22
(thỏa điều kiện)
Vậy phƣơng trình có 1 nghiệm x = - 1.
Nhận xét:
- Nâng lũy thừa bậc hai hay bậc ba là phương pháp hay dùng trong phép biến đổi
tương đương.
- Trước khi nâng lũy thừa bậc chẵn (ví dụ bậc hai) ta phải điều kiện giá trị biểu thức
khơng âm, còn bậc lẻ (ví dụ bậc ba) khơng có điều kiện.
AB
điều kiện
0B
.
- Khi giải xong phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình
phải có thói qn đối chiếu tất cả điều kiện mới kết luận nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phƣơng trình:
3
33
2xx251x3
(*)
Giải:
Tập xác định
D
.
Lập phƣơng hai vế phƣơng trình, ta đƣợc:
(*) 3x – 1 + 5 – 2x + 3
3
33
3
2xx251x3.)x25)(1x3(
2x)2x)(5x17x6(34x
3
2
018x39x29x62)10x39x29x6(
23
3
23
12
11
x
3x
Vậy phƣơng trình có 2 nghiệm : x = 3 và
12
11
x
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
4
Ví dụ 3: Giải phƣơng trình:
2x2x21x33x
(1)
Giải:
Điều kiện:
0x
(*)
Bình phƣơng 2 vế của phƣơng trình ta đƣợc:
)1x2(x2x1x33x1)1(
Để giải phƣơng trình trên rõ ràng khơng khó nhƣng phức tạp!
Cách khác:
Phƣơng trình trên sẽ giải dễ dàng nếu ta chuyển vế:
3xx42x21x3
Bình phƣơng 2 vế, ta đƣợc:
1xx12x42x8x6
22
So với điều kiện (*),phƣơng trình có 1 nghiệm x = 1.
Nhận xét: Nếu phương trình có dạng:
)x(k)x(h)x(g)x(f
Nếu f(x) + h(x) = g(x) + k(x) thì chuyển vế biến đổi tương đương:
)x(g)x(k)x(h)x(f
Sau đó bình phương hai vế, so với điều kiện, kết luận.
Ví dụ 4: Giải phƣơng trình:
3x1xx1x
3x
1x
2
3
(1)
Giải:
Điều kiện :
1x
Nếu ta bình phƣơng hay chuyển vế sau đó bình phƣơng nhƣ các dạng trên sẽ phức tạp.
Ta có nhận thấy :
1x.1xx3x.
3x
1x
2
3
Do đó:
1x1xx3x
3x
1x
)1(
2
3
Bình phƣơng 2 vế, ta đƣợc:
31x
31x
02x2x
2
So với điều kiện, phƣơng trình có 2 nghiệm:
31x,31x
Nhận xét: Nếu phương trình có dạng:
)x(k)x(h)x(g)x(f
Nếu f(x).h(x) = g(x).k(x) thì chuyển vế biến đổi tương đương:
)x(g)x(k)x(h)x(f
Sau đó bình phương hai vế, so với điều kiện, kết luận.
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
5
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Giải các phƣơng trình sau:
1)
012315 xxx
(ĐH KT QUỐC DÂN – 2000). ĐS: x = 2
2)
411222 xxx
(ĐH khối D – 2005) ĐS: x = 3.
3)
3
33
3x22x1x
ĐS: x = 1; x = 2;
2
3
x
4)
03x2x1x
3
33
ĐS: x = - 2.
5)
x12x3
2x3
x
2
ĐS: x = 1.
6)
2
3x
1x2x1x2x
ĐS: x = 1, x = 5.
7)
411xx11xx
ĐS: x= 5.
8)
x25x6x1
ĐS: x = - 3
9)
4x
7x2
2x
ĐS: x = 8
10)
42
x7x41x1
ĐS: x = 0;
2
1
x
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
6
A. PHÂN TÍCH NHÂN TỬ CHUNG:
Ví dụ 5: Giải phƣơng trình:
3x4xx21xx23x
2
(1)
Giải:
Nhận xét:
- Ta nhận thấy
2
4 3 ( 1)( 3)x x x x
nên ta nhóm các hạng tử phù hợp và đặt
nhân tử chung đưa về dạng tích.
- Áp dụng tính chất:
0
.0
0
A
AB
B
.
Điều kiện:
1x
)1x)(3x(x21xx23x)1(
0x
1x
11x
03xx4
0x
11x
x23x
011xx23x
2
So với điều kiện phƣơng trinh có nghiệm x = 1; x = 0.
B. DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC:
Ví dụ 6: Giải phƣơng trình:
4xx93x2
2
(1)
Giải:
Nhận xét:
Ta thấy
22
2 3 9 4 4 2.1. 3 9x x x x x x
so với hằng đẳng thức:
2 2 2
( ) 2 .a b a ab b
thì
3, 1a x b
Điều kiện:
3x
(*)
Dạng 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH.
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
7
x313x
x313x
x93x1)1(
2
2
18
975
x
1x
02x5x9
3
1
x
02x7x9
3
1
x
2
2
So với điều kiện (*) phƣơng trình có 2 nghiệm: x = 1;
18
975
x
Ví dụ 7: Giải phƣơng trình:
3
2
3
2
)2x(x33x2)2x(x932
(1)
Giải:
Nhận xét:
Phương trình (1) có dạng của hằng đẳng thức:
3 3 2 2 3
( ) 3a 3aa b a b b b
Do đó ta tách theo
33
3 , 2a x b x
3 2 2 3
33
3 3 3 3
(1) ( 3 ) 3 (3 ) . 2 3 . ( 2) ( 2) 0x x x x x x
1xx32xx32x0x32x)1(
3
3
3
3
3
Vậy phƣơng trình có 1 nghiệm x = 1.
C. DÙNG ĐẲNG THỨC:
01v1uuv1vu
0avbuuvabbvau
Ví dụ 8: Giải phƣơng trình:
3
2
33
2x3x12x1x
(1)
Giải:
1x
0x
012x11x2x.1x12x1x)1(
333333
Vậy phƣơng trình có 2 nghiệm x = - 1; x = 0.
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
8
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Giải các phƣơng trình sau:
1)
221682
22
xxxx
(ĐH BÁCH KHOA HÀ NỘI – 2001). ĐS: x = 1.
2)
1210)3(
22
xxxx
(ĐH DƢỢC HÀ NỘI – 1999) ĐS: x = - 3.
3)
x12x3
2x3
x
2
ĐS: x = 1.
4)
4523423
222
xxxxxx
ĐS: x = 1
5)
1781272
2
xxxxx
(Dự bị ĐH khối D – 2006) ĐS: x=4; x=5.
6)
x3xx3
ĐS:
3
110
x
3
7)
3
2
3
3
2
3
xxxx1x
ĐS: x = 1.
8)
x4
3x
x4
3x
ĐS: x = 1.
9)
3
2
33
4x2x211x4x2
ĐS: x = 5/2; x = 0.
10)
33
3.12321 xxxx
ĐS: x = 3;x = 4.
11)
2
3 2 2 27 1 2x x x x x
Đ S:
154
25
x
12)
22
( 2) 4 6x x x x
Đ S:
1x
13)
2 2 1 2 1x x x x
Đ S: x = 0, x = 3.
14)
2
1 2 6 2 2 3x x x x
ĐS: x = 2, x = 3
15)
2
4 4 3 7x x x
ĐS:
9 65 7 33
;
88
xx
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
9
A. ĐỔI BIẾN ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN:
Ví dụ 9: Giải phƣơng trình:
253294123
2
xxxxx
(1)
Giải:
Điều kiện
1
1
3
2
01
023
x
x
x
x
x
(*)
Nhận xét: Ta thấy
2x5x31x.2x3
2
, nên:
Đặt
txx 123
( t 0) t
2
= 4x – 3 + 2
253
2
xx
Phƣơng trình đã cho trở thành : t
2
– t – 6 = 0 t = 3 ( vì t > 0)
(1)
3123 xx
03419
3
26253
2
2
xx
x
xxx
x = 2 (thỏa (*))
Vậy phƣơng trình có 1 nghiệm x = 2.
Ví dụ 10: Giải phƣơng trình:
21xx1xx
22
(1)
Giải:
Điều kiện:
1x
Nhận xét:
1xx
1
1xx11xx.1xx
2
222
, do đó:
Đặt
t
1
1xx1xxt
22
1x1t01t2t2
t
1
t)1(
2
Vậy phƣơng trình có 1 nghiệm x = 1.
Dạng 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ.
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
10
B. ĐỔI BIẾN ĐƢA VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH:
1. Đặt ẩn phụ đƣa về hệ phƣơng trình đối xứng loại I:
Đặt
)x(v
)x(u
)x(v
)x(u
n
n
n
n
, thay u, v vừa đặt vào phƣơng trình ban đầu ta đƣợc
1 phƣơng trình và kết hợp với mối liên hệ giữa u và v hoặc
n
u
và
n
v
ta đƣợc phƣơng
trình thứ 2, giải hệ ta đƣợc u, v. Từ đó suy ra nghiệm x cần tìm.
Ví dụ 11: Giải phƣơng trình:
33
3
1
2
xx
Giải:
Đặt ẩn phụ để đƣa về hệ phƣơng trình đối xứng Loại I (hệ này sẽ trình bày ở chun
đề sau)
Đặt:
3
3
xu
1 x v
. Vậy ta có hệ:
33
3
uv
2
u v 1
2
3
uv
2
(u v) (u v) 3uv 1
3
u+v =
2
19
u.v =
36
u, v là hai nghiệm của phƣơng trình:
2
3 19
X - X + = 0
2 36
9+ 5
u =
12
9 - 5
u =
12
3
3
9 + 5
x =
12
9 - 5
x =
12
Vậy phƣơng trình có hai nghiệm: {x} =
33
9 5 9 5
;
12 12
.
Ví dụ 12: Giải phƣơng trình:
)x3)(x2(1x3x2
(1)
Giải:
Điều kiện :
3x2
(*)
Đặt
x2u
(u 0);
x3v
(v 0) (**). Nhận thấy
5vux3x2vu
2222
Ta đƣa (1) về hệ phƣơng trình:
5uv2vu
uv1vu
5vu
uv1vu
2
22
(I)
Đặt S = u + v; P = u.v; Điều kiện:
P4S
2
(***)
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
11
3S;2P
1S;2P
04P
P1S
5P2P1
P1S
5P2S
P1S
)I(
2
2
2
(thỏa điều kiện (***))
Với S = - 1; P = - 2 thì u, v là nghiệm phƣơng trình:
02XX
2
(2)
Phƣơng trình (2) có nghiệm:
1v
2u
2v
1u
2X
1X
(Loại vì khơng thỏa điều kiện (**))
Với S = 3; P = 3 thì u, v là nghiệm phƣơng trình:
02X3X
2
(3)
Phƣơng trình (3) có nghiệm:
2v
2u
2v
1u
2X
1X
(Thỏa điều kiện (**))
Với
1x
2x3
1x2
2v
1u
Với
2x
1x3
2x2
1v
2u
Kết luận: So với điều kiện (*) phƣơng trình (1) có 2 nghiệm là x = - 1; x = 2.
2. Đặt ẩn phụ đƣa về hệ phƣơng trình đối xứng loại II:
Dạng 1: Giải phƣơng trình:
n
n
baxabx
Cách giải:
Đặt
n
baxt
ta có hệ phƣơng trình đối xứng loại II:
axbt
atbx
n
n
Ví dụ 13: Giải phƣơng trình:
3
3
1x221x
(1)
Giải:
Đặt
3
1x2t
, ta có hệ phƣơng trình:
02txtxtx
t21x
)xt(2tx
t21x
x21t
t21x
22
3
33
3
3
3
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
12
)VN(
04txtx
t21x
01xx1x
tx
02txtx
t21x
01x2x
tx
22
3
3
2
22
3
3
2
51
x
1x
Vậy phƣơng trình có 3 nghiệm: x = 1;
2
51
x
Dạng 2: Giải phƣơng trình:
xaax
Cách giải:
Đặt
xat
, ta đƣa về hệ phƣơng trình đối xứng loại II:
xat
tax
Ví dụ 14: Giải phƣơng trình:
x20072007x
(1)
Giải:
Điều kiện: x 0.
Đặt
x2007t
, ta đƣa phƣơng trình (1) về hệ phƣơng trình:
01xtxt
t2007x
xttx
t2007x
x2007t
t2007x
4
8029432117
x
4
8029432117
x
tx
02007xx
xt
)VN(
t2007x
01xt
t2007x
xt
Kết luận: so với điều kiện phƣơng trình (1) có 1 nghiệm:
4
8029432117
x
;
4
8029432117
x
Dạng 3: Giải phƣơng trình:
xedxcbax
n
n
với các hệ số thỏa mãn:
bce
acd
(*)
Cách giải:
Đặt
n
baxedy
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
13
Ví dụ 15: Giải phƣơng trình:
x7x7
28
9x4
2
(1)
Giải:
Điều kiện:
4
9
x
4
7
2
1
x7
28
9x4
1
2
Kiểm tra
4
7
;0;
2
1
e;1d;7c;
28
9
b;
7
1
a
thỏa điều kiện (*).
Đặt
)
2
1
y(
28
9x4
2
1
y
, ta có hệ phƣơng trình:
08y7x7yx
4
9
y
2
1
x7
0yx1yxyx7
4
9
y
2
1
x7
4
9
x
2
1
y7
4
9
y
2
1
x7
22
2
2
)II(
7
8
xy
09x112x98
)I(
xy
01x12x14
2
2
14
256
yxI
(nhận) hoặc
14
256
yx
(loại)
14
468
y
14
468
x
II
(nhận) hoặc
14
468
y
14
468
x
(loại vì
2
1
y
)
Kết luận: phƣơng trình có nghiệm:
14
468
x;
14
256
x
Để hiểu hơn về cách giải hệ phương trình đối xứng bậc I, bậc II mời các bạn đón đọc
trong phần tiếp theo của tài liệu - các loại Hệ Phương Trình và cách giải !
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
14
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Giải các phƣơng trình sau:
1)
3111
22
xx
(ĐH CẢNH SÁT NHÂN DÂN – 1999) ĐS:
5x
2)
2
3 2 6 2 4 4 10 3x x x x
(x R). (ĐH – KB – 2011) ĐS: x =
6
5
3)
11x15x25x2x15
22
ĐS:
1
;7
2
xx
4)
22
3 5 3 7x x x x
ĐS: x = -1; x = 4
5)
16212244
2
xxxx
(ĐH – A – 2002) ĐS: x = 5.
6)
15)2(2
32
xx
ĐS:
2
375
x
7)
54057
44
xx
ĐS: x=-24; x=41
8)
3
3
1 2 2 1xx
ĐS
1;x
15
2
x
9)
3x17x
4
4
ĐS: x= 1; x = 16
10)
1x2x5x2x5
3
3
3
ĐS: x= - 6; x = 3
11)
2
55xx
. ĐS:
2
171
x;
2
211
x
12)
3
3
3 3 2 2xx
. ĐS: x = -1; x = 2.
13)
x20142014x
ĐS:
4
8057432229
x
;
4
8057432229
x
14)
361x12xx
2
ĐS: x = 3
15)
22
17 17 9x x x x
ĐS: x = 1; x = 4.
16)
2 2 2
7 2 3 3 19x x x x x x
ĐS: x = -2, x = 1.
17)
8 2 7 2 1 7x x x x
ĐS: x = 2.
18)
2
( 4)( 1) 3 5 2 6x x x x
ĐS: x = -7, x = 2.
19)
2014 2014xx
20)
3
11
1
22
xx
ĐS:
1 17
,
22
xx
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
15
Ví dụ 16: Giải phƣơng trình:
2x21x2x3x
222
(1)
Giải:
Đặt
2xt
2
(đk: t 0),khi đó:
0x33tx2t1
2
(2)
Ta có:
22
4x)x33(4x2
Phƣơng trình (2) có 2 nghiệm
1xt
3t
Với t = 3 ,ta có phƣơng trình:
7x32x
2
Với t = x – 1, ta có phƣơng trình:
2
1
x
1x
1x2x
01x
1x2x
2
2
2
(VN)
Kết luận: phƣơng trình (1) có 2 nghiệm
7x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Giải các phƣơng trình sau:
1)
1x3x2x1x
22
ĐS:
21x
2)
2
x1x12x311x4
ĐS:
0x;
5
3
x
3)
16x9x244x22
2
ĐS:
3
24
x
4)
1x2x21x1x4
22
ĐS:
3
4
x
5)
22
3 1 3 1x x x x
ĐS:
3
35,
3
xx
6)
22
2 10 4 2( 5) 2x x x x
ĐS:
23x
Dạng 4: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN KHÔNG HOÀN TOÀN.
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
16
NHẮC LẠI KIẾN THỨC VỀ PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG:
Trong mặt phẳng Oxy, để viết phƣơng trình đƣờng thẳng có 3 dạng:
1) Phƣơng trình dạng tổng qt:
(PTTQ): Qua M(x
0
;y
0
) và có vecto pháp tuyến
);( BAn
:
00)()(
00
CByAxyyBxxA
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua M(1;2) có vecto
pháp tuyến
)3;2(n
Giải:
-2(x – 1) + 3(y – 2) = 0 - 2x + 3y – 4 = 0
2) Phƣơng trình dạng tham số:
(PTCP): Qua M(x0;y0) và có vecto chỉ phƣơng
);( bau
t
btyy
atxx
,
0
0
Z.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua N(3; 0) có vectơ
chỉ phƣơng
)5;2( a
Giải:
ty
tx
5
23
, t Z.
3) Chuyển đổi từ phƣơng trình tổng qt sang phƣơng trình tham số:
Khi biết phƣơng trình tổng qt có vecto pháp tuyến
);( BAn
ta chuyển sang vecto chỉ
phƣơng là
);( ABa
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy,cho đƣờng thẳng (d) có phƣơng trình: -2x + y + 2 = 0.
Hãy viết phƣơng trình (d) dạng tham số.
Giải:
Phƣơng trình đƣờng thẳng (d) qua M(1; 0) và có vecto pháp tuyến
)1;2(n
Từ vecto pháp tuyến ta suy ra vecto chỉ phƣơng:
)2;1(a
Phƣơng trình đƣờng thẳng (d) viết dạng tham số:
ty
tx
2
1
Dạng 5: ĐẶT ẨN PHỤ DỰA VÀO TÍNH CHẤT ĐƯỜNG THẲNG.
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
17
Ví dụ 19: Giải phƣơng trình:
101238
33
xx
(1)
Giải:
Nhận xét:
101238
33
YX
xx
Ta đƣa phƣơng trình (1) về trình tổng qt có dạng : X + 3Y = 10 (d)
Phƣơng trình (d) có vecto pháp tuyến:
)3;1(n
, suy ra vecto chỉ phƣơng:
)1;3( a
.
Cho X = 1 Y = 3 nên điểm M(1;3) (d). Bây giờ ta đƣa phƣơng trình (d) về dạng
tham số:
tY
tX
3
31
Do đó:
Đặt
233
)31(8318 txtx
(a)
và
233
)3(12312 txtx
(b) (điều kiện: -1/3 t 1/3)
Lấy (a) + (b), vế theo vế ta đƣợc:
11010)3()31(20
2222
tttt
t = 1 (nhận), t = - 1 (loại)
Với t = 1 => x = 2
Kết luận phƣơng trình có nghiệm : x = 2.
Ví dụ 20: Giải phƣơng trình:
123
3
xx
(2)
Giải:
Điều kiện: x - 3 (*)
Cách 1:
Đặt:
1
2
3
2
3
32
3
2
3
vu
xv
xu
xv
xu
(a); điều kiện: u 0 (**)
Thay u, v vừa đặt vào phƣơng trình (2), ta đƣợc: u + v = 1 (b)
Ta đƣa phƣơng trình (2) về hệ phƣơng trình:
02
1
1)1(
1
1
1
233232
vvv
vu
vv
vu
vu
vu
2
1
2
1
10
uv
uv
(thỏa (**))
Khi u = 0 1 = x + 3 = 0 => x = - 2. (thỏa (*))
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
18
Khi u =
4
11
3
2
1
2
1
xx
(thỏa (*) nhƣng thay vào (2) khơng thỏa)
Kết luận: Phƣơng trình (2) có 2 nghiệm: x = -2.
Cách 2:
Nhận xét:
123
3
YX
xx
(2)
Ta đƣa phƣơng trình (1) về phƣơng trình tham số:
tY
tX 1
, Do đó:
Đặt:
tx
tx
3
2
13
3
2
2
213
tx
ttx
, (điều kiện t 1)
Lấy (2) – (1), vế theo vế ta đƣợc:
2
1
002121
2323
tttttttt
t = 0 x = - 2
t = 1/2 x = -11/4.
Kết luận: Thay vào phƣơng trình (2) với x = -2 thỏa.
Ví dụ 21: Định m để phƣơng trình sau có nghiệm:
10332 xmmx
(3)
Giải:
Đặt:
txm
tmx
33
312
, (-1/3 t 3)
2
2
693
9612
ttxm
ttmx
Cộng (1) và (2), vế theo vế, ta đƣợc:
mtfmttm )(2210105
22
Với :
22)(
2
ttf
, miền xác định D = [-1/3; 3]
Ta có: f’(t) = 4t => f’(t) = 0 t = 0
(1)
(2)
(1)
(2)
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
19
Kết luận: Để phƣơng trình (3) có nghiệm 2 m 20.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
1) Giải phƣơng trình:
321 xx
ĐS: x = 2
2) Giải phƣơng trình :
12414
3
xx
3) Giải hệ phƣơng trình:
4) Giải hệ phƣơng trình:
43
2
2222
yxyx
yxyx
5) Giải phƣơng trình:
1cos1sin1 xx
(Đề thi dự bị ĐH KA – 2004)
t
f’(t
)
f(t)
-
-1/3
0
3
+
0
+
-
2
20
20/9
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
20
Phương pháp:
1. Dùng hằng đẳng thức:
0)x(g
0)x(f
0)x(g)x(f
22
2. Dùng bất đẳng thức:
m)x(g
m)x(f
, x D.
Khi đó, phƣơng trình f(x) = g(x) với mọi x D
m)x(g
m)x(f
, x D.
Ví dụ 22: Giải phƣơng trình:
020x6x216x2xx2x
2224
(1)
Giải:
04x4x16x2x16x2xx2x1
22224
02x16x2xx
2
2
22
2x
02x
016x2xx
22
Kết luận: phƣơng trình (1) có 1 nghiệm x = 1.
Ví dụ 23: Giải phƣơng trình:
1x
1
1xx20131x20131
(1)
Giải:
Điều kiện:
2013
1
x
2013
1
Áp dụng bất đẳng thức BCS cho 2 dãy số (
)x20131;x20131
và (1; 1), ta có:
2x20131x201312x20131x20131
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2 số khơng âm:
1x
và
1x
1
, ta có:
Dạng 6: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ.
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
21
2
1x
1
.1x2
1x
1
1x
Do đó:
0x
1x
1
1x
x20131x20131
1
Kết luận: phƣơng trình (1) có 1 nghiệm x = 0.
Nhắc lại:
1. Bất đẳng thức Cauchy:
0b,a
thì:
2
ba
ab
, Dấu “ = “ xảy ra khi và
chỉ khi a = b.
2. Bất đẳng thức BCS (Bunhiacopki – Cauchy – Soat ):
d,c,b,a
thì:
2222
dcbabdac
hay
2222
2
dcbabdac
Dấu “ = “ xảy ra
kdb,kca:k
.
Để hiểu rõ hơn về bất đẳng thức, tơi sẽ trình bày vào một chun đề khác, mời các
bạn tìm đọc !
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Giải các phƣơng trình sau:
1)
16xx9xx13
4242
ĐS:
5
2
x
2)
11x6xx42x
2
ĐS: x = 3
3)
9xx
1x
22
ĐS:
7
1
x
4)
4x4x448x2
444
5)
x21
x21
x21
x21
x21x21
6)
x
1
x4
x
1
2x2
2
2
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
22
Phương Pháp:
Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu (tăng hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phƣơng trình
f(x) =k (k = const) có khơng q một nghiệm thuộc (a;b).
Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu (tăng hoặc giảm) trên D thì u,v D ta có
f(u) = f(v) u = v.
Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu tăng và g(x) là hàm hằng hoặc đơn điệu giảm trên
(a;b) thì phƣơng trình f(x) = g(x) có khơng q một nghiệm thuộc (a;b).
Ví dụ 24: Giải phƣơng trình:
0x1x225x
3
3
Giải:
Điều kiện:
3
5x
Xét hàm số:
x1x225x)x(f
3
3
;5D
3
3
3
23
2
5x,01
1x23
2
5x2
x3
)x('f
Suy ra f(x) đồng biến trên D.
Do đó, phƣơng trình f(x) = 0 có nghiệm thì có nghiệm duy nhất.
Dễ thấy f(-1) = 0.
Kết luận: phƣơng trình có nghiệm duy nhất x = - 1.
Ví dụ 25: Giải phƣơng trình :
3
3
5 1 2 1 4x x x
(1)
Nhận xét
Quan sát vế trái của phƣơng trình (1), ta thấy khi x tăng thì giá trị của biểu thức
trong căn cũng tăng .Từ đó ta thấy vế trái là hàm đồng biến ,vế phải bằng 4 là hàm
hằng ,đây là điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu.
Đk:
3
1
5
x
,Đặt f(x)=
3
3
5 1 2 1x x x
f
’
(x)=
2
32
3
15 2
1
2 5 1 3 (2 1)
x
xx
>0
x
3
1
( ; )
5
nên hàm số đồng biến trên
3
1
[ ; )
5
.
Dạng 7: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ.
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
23
Mà f(1)=4 nên x=1 là nghiệm .
Kết luận : phƣơng trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Ví dụ 26: Giải phƣơng trình:
53
1 3 4 0x x x
( ĐH Ngoại thƣơng 2000)
Giải:
Đặt f(x) =
53
1 3 4x x x
,
1
3
x
ta có
' 4 2
31
( ) 5 3 0
3
2 1 3
f x x x x
x
Vậy f(x) đồng biến với
1
3
x
,f(-1) =0 nên x=-1 là nghiệm.
Kết luận : phƣơng trình có nghiệm duy nhất x = - 1.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Giải các phƣơng trình sau:
1)
32
2 3 6 16 4 2 3x x x x
ĐS: x = 1.
2)
2 2 1 3 6 4 6 2 1 3 2x x x x x x
ĐS: x = 7.
3)
22
3 (2 9 3) (4 2)(1 1 ) 0x x x x x
(1) Đ S: x=
1
5
.
4)
3 2 3 2
33
2 2 3 1 3 1 2x x x x x x
ĐS:
1 1 5
;
22
xx
5)
22
33
33
2 2 1 2 1x x x x
ĐS: x = 1;
1
2
x
6)
44
x 2 4 x 2
ĐS: x = 3.
7)
22
15 3 2 8x x x
ĐS: x = 1.
8)
2
3
2 2 2
3
( 1) 2 1 1 2 1x x x x
ĐS: x = -1;x = 0; x = 3
9)
2
1 2 17x x x
ĐS: x = 5
10)
3
1 4 5x x x
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
Chuyên đề: Phương trình – Hệ phương trình LTĐH Trang
24
Ví dụ 1: Giải phƣơng trình:
22
12111 xxx
Giải:
Điều kiện:
1x
(*)
Đặt
2
;
2
;sin
ttx
(**), phƣơng trình trở thành:
tt
t
ttt 2sinsin
2
cos2)cos21(sincos1
01
2
3
sin2
2
cos
2
cos
2
3
sin2
2
cos2
ttttt
k
kt
kt
t
t
(,
3
4
6
)12(
2
1
2
3
sin
0
2
cos
Z)
So với điều kiện (**), suy ra
6
t
Vậy phƣơng trình có nghiệm: x = 1/2.
Ví dụ 2: Giải phƣơng trình:
3
1
3
2
)1()1(11
2
332
x
xxx
(1)
Giải:
Điều kiện:
1x
Khi đó VP > 0.
- Nếu x [- 1; 0] thì
0)1()1(
33
xx
nên phƣơng trình (1) vơ nghiệm.
- Nếu x [0; 1] thì
0)1()1(
33
xx
.
Dạng 8: PHƯƠNG PHÁP LƯNG GIÁC HÓA.
tusachvang.net
