LV bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với hệ phương trình PARABOLIC mạnh trong trụ với đáy là miền nhị diện có bờ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
− − − − − − − − −
ĐỖ VĂN LỢI
BÀI TOÁN BIÊN BAN ĐẦU THỨ NHẤT
ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC MẠNH
TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN NHỊ DIỆN CÓ BỜ
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 62 46 01 01
Người hướng dẫn khoa học: 1. GS. TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng
2. PGS. TS. Đinh Huy Hoàng
NGHỆ AN - 2011
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, được
hoàn thành bởi chính tác giả dưới sự hướng dẫn khoa học của
GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng và PGS.TS. Đinh Huy Hoàng. Các
kết quả trình bày trong luận án là trung thực, được các đồng tác
giả cho phép sử dụng và nội dung của luận án không trùng lặp và
chưa được công bố trong bất cứ công trình nào của ai trước đó.
Tác giả
Đỗ Văn Lợi
LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự
hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng và PGS.TS. Đinh
Huy Hoàng. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, các Thầy còn
là động lực lớn giúp tác giả tự tin và say mê nghiên cứu. Tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn và sự kính trọng đối với các Thầy. Tác giả
cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy cô giáo và các
thành viên của seminar phương trình đạo hàm riêng (ĐHSPHN),
đặc biệt là TS. Phạm Triều Dương. Tại đây tác giả đã nhận được

nhiều chỉ dẫn, góp ý cũng như môi trường nghiên cứu sôi nổi và
thân thiện. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu,
Khoa đào tạo sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán, các Thầy
cô và các bạn đồng nghiệp trong khoa Toán của Trường Đại học
Vinh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình
học tập, nghiên cứu khoa học và hoàn thành luận án này. Tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa
Khoa học Tự nhiên cùng tất cả các thành viên của seminar toán
giải tích của Trường Đại học Hồng Đức đã tạo mọi điều kiện tốt
nhất cho tác giả chuyên tâm học tập, nghiên cứu khoa học để hoàn
thành luận án này. Tác giả gửi lời cám ơn đến TS. Vũ Trọng Lưỡng
– Trường Đại học Tây bắc, người đồng nghiệp cùng hướng nghiên
cứu với mình. Trong quá trình viết và chỉnh sửa bản thảo luận án,
tác giả đã nhận được sự quan tâm và góp ý của PGS.TS. Trần
Văn Ân, PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, PGS.TS. Nguyễn Xuân
Thảo, PGS.TS. Phạm Ngọc Bội, TS. Nguyễn Văn Đức, TS. Trần
Đình Kế, cùng các nhà khoa học và bạn bè đồng nghiệp. Tác giả
xin chân thành cảm ơn về sự giúp đỡ quý báu này.
Tác giả
5
MỤC LỤC
Trang bìa phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chương 1. TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN 17
1.1 Thiết lập bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Tính giải được duy nhất của bài toán . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm suy rộng vào các dữ kiện đã

cho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Chương 2. TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM 41
2.1 Bài toán biên elliptic trong miền đa diện . . . . . . . . . . . 41
2.2 Tính trơn của nghiệm theo biến thời gian . . . . . . . . . . . 42
2.3 Tính chính qui toàn cục của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 54
Chương 3. TIỆM CẬN NGHIỆM TRONG LÂN CẬN CỦA BỜ 68
3.1 Bài toán biên elliptic trong miền có bờ . . . . . . . . . . . . 71
3.2 Tính chính qui của nghiệm suy rộng trong miền nhị diện có bờ 72
3.3 Tiệm cận nghiệm suy rộng trong lân cận của bờ . . . . . . . 80
KẾT LUẬN CHUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO . . . . . . . . . . . . 89
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 90
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
CHỈ MỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6
MỘT SỐ KÍ HIỆU TRONG LUẬN ÁN
N - tập các số tự nhiên, R - tập các số thực, C - tập các số phức.
Với số phức z ∈ C, kí hiệu Rez, Imz lần lượt là phần thực và phần
ảo của z, z là số phức liên hợp của z, x = (x
1
, . . . , x
n
) ∈ R
n
và đa
chỉ số p = (p
1
, . . . , p
n
) ∈ N

n
,
Giả sử Ω ⊂ R
n
là miền bị chặn, với biên ∂Ω, kí hiệu
Q
T
= Ω × (0, T ), S
T
= ∂Ω × (0, T) với T ∈ (0, ∞)
x
p
= x
p
1
1
. . . x
p
n
n
,
|p| = p
1
+ p
2
+ . . . + p
n
, p! = p
1
!p

2
! . . . p
n
!,
∂
p
x
= ∂
p
1
x
1
. . . ∂
p
n
x
n
,

p
q

=
p!
q!(p − q)!
.
Nếu không có gì đặc biệt ta dùng kí hiệu u (thay cho u(x, t), với
(x, t) ∈ Q
T
hay u(x), với x ∈ Ω) là hàm véc tơ nhận giá trị

phức, u = (u
1
, . . . , u
s
), u
t
k
=

∂
k
u
1
∂t
k
, . . . ,
∂
k
u
s
∂t
k

, (k ∈ N) là đạo
hàm riêng cấp k của u(x, t) theo biến t, D
p
u = (∂
p
x
u

1
, . . . , ∂
p
x
u
s
)
là đạo hàm (suy rộng) của u(x, t) theo biến x cấp |p|, ∇ =
(
∂
∂x
1
,
∂
∂x
2
, ,
∂
∂x
n
). Trong luận án này chúng tôi dùng chữ cái C để
kí hiệu chung cho các hằng số (và ngay cả khi với các hằng số khác
nhau, thay vì phải dùng các kí hiệu C
1
, C
2
ta vẫn kí hiệu là C).
Luận án này sử dụng các không gian hàm sau
C
k

(Ω): không gian các hàm khả vi liên tục cấp k (k ∈ N) trên Ω.
C(Ω) = C
0
(Ω): không gian các hàm liên tục trên Ω.
C
∞
(Ω): không gian các hàm khả vi vô hạn trên Ω.
C
∞
0
(Ω): không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong
7
Ω,(giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tất cả các điểm mà
hàm đó khác không).
C
∞
s
(Q
T
): không gian các hàm thuộc C
∞
(Q
T
) và triệt tiêu trong
một lân cận của S
T
.
C
∞
0

(Q
T
): không gian các hàm thuộc C
∞
(Q
T
) có giá compact trong
Q
T
.
L
2
(Ω): không gian các hàm bình phương khả tích trên Ω.
H
m
(Ω): không gian Sobolev các hàm véc tơ phức s chiều u(x) có
các đạo hàm suy rộng D
p
u
i
, 1 ≤ i ≤ s, |p| ≤ m thuộc L
2
(Ω) với
chuẩn
u
H
m
(Ω)
=



|p|≤m

Ω
|D
p
u(x)|
2
dx

1/2
< +∞.
˚
H
m
(Ω): bao đóng của C
∞
0
(Ω) với chuẩn của H
m
(Ω).
H
m
(Q
T
): không gian các hàm véc tơ phức u(x, t) xác định trên Q
T
có các đạo hàm suy rộng D
p
u, |p| ≤ m thuộc L

2
(Q
T
) với chuẩn


u


H
m
(Q
T
)
=


Q
T
m

|p|=0
|D
p
u|
2
dx dt

1/2
< +∞.

H
m
(Q
T
, γ): không gian các hàm véc tơ phức u(x, t) xác định trên
Q
T
có các đạo hàm suy rộng D
p
u, |p| ≤ m thuộc L
2
(Q
T
) với chuẩn


u


H
m
(Q
T
,γ)
=


Q
T
m


|p|=0
|D
p
u|
2
e
−γt
dx dt

1/2
< +∞,
trong đó γ là số thực dương cho trước.
H
m,k
(Q
T
): không gian các hàm véc tơ phức u(x, t) xác định trên
8
Q
T
có các đạo hàm suy rộng D
p
u, u
t
j
, |p| ≤ m, 1 ≤ j ≤ k thuộc
L
2
(Q

T
) với chuẩn


u


2
H
m,k
(Q
T
)
=

Q
T

m

|p|=0
|D
p
u|
2
+
k

j=1
|u

t
j
|
2

dx dt < +∞.
˚
H
m,k
(Q
T
): bao đóng của tập C
∞
s
(Q
T
) với chuẩn của H
m,k
(Q
T
).
H
m,k
(Q
T
, γ): không gian bao gồm tất cả những hàm u(x, t) xác
định trên Q
T
, có các đạo hàm riêng suy rộng theo x đến cấp m và
theo t đến cấp k, sao cho

u
2
H
m,k
(Q
T
,γ)
=

Q
T

m

|p|=0
|D
p
u|
2
+
k

j=1
|u
t
j
|
2

e

−γt
dxdt < +∞,
trong đó γ là số thực dương cho trước.
H
m,0
(Q
T
): đôi khi được kí hiệu thay cho H
m
(Q
T
).
H
m,0
(Q
T
, γ) đôi khi được kí hiệu thay cho H
m
(Q
T
, γ).
L
2
(Q
T
, γ): không gian bao gồm các hàm u(x, t) xác định trên Q
T
với chuẩn
u
L

2
(Q
T
,γ)
=


Q
T
|u|
2
e
−γt
dxdt

1/2
< +∞,
trong đó γ là số thực dương cho trước.
9
MỞ ĐẦU
1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài
Các bài toán biên đối với phương trình hay hệ phương trình đạo
hàm riêng thường có nguồn gốc từ các ngành khoa học kĩ thuật,
đặc biệt nó là mô hình giải tích của nhiều hiện tượng vật lí. Bởi
tính thực tiễn đó, khi nghiên cứu các bài toán này người ta quan
tâm đến tính đặt đúng của bài toán (sự tồn tại duy nhất nghiệm
và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ liệu đã cho).
Những năm đầu thế kỉ XX, nghiệm của bài toán phương trình
đạo hàm riêng được hiểu là nghiệm cổ điển, nghiệm đòi hỏi khả
vi theo nghĩa thông thường đến cấp của phương trình. Trên thực

tế, những phương trình đạo hàm riêng có nghiệm cổ điển, đặc biệt
những nghiệm tồn tại trong toàn miền xác định (nghiệm toàn cục)
là rất ít. Nhưng rõ ràng là cần phải tìm "nghiệm" của các phương
trình không có nghiệm cổ điển để lí giải các hiện tượng thực tế mà
nó mô tả. Chính vì vậy, khái niệm nghiệm suy rộng được đưa ra,
nghiệm này thường được xây dựng bởi giới hạn của một quá trình
xấp xỉ. Các đánh giá trong quá trình xấp xỉ có thể không đủ mạnh
để đảm bảo rằng giới hạn đó là nghiệm cổ điển, nhưng ở một khía
cạnh khác vẫn có thể xảy ra khả năng giới hạn đó có chung một
số tính chất với nghiệm cổ điển, bởi mối liên hệ này xuất phát từ
việc nhân phương trình hay hệ phương trình đó với một hàm thử
đủ trơn, sau đó sử dụng tích phân từng phần.
10
Khái niệm nghiệm suy rộng là một bước ngoặt về mặt phương
pháp trong nghiên cứu phương trình, hệ phương trình đạo hàm
riêng, nó tách việc nghiên cứu các bài toán biên đối với phương
trình, hệ phương trình đạo hàm riêng làm ba bước: (i) Tính đặt
đúng của bài toán; (ii) Tính chính qui của nghiệm; (iii) Tiệm cận
nghiệm suy rộng.
Các bài toán biên tuyến tính đối với phương trình đạo hàm riêng
trong miền với biên trơn được nghiên cứu khá hoàn thiện vào nửa
đầu thế kỷ XX. Khi đó, người ta nghiên cứu các bài toán biên loại
dừng trong các miền biên trơn nhờ phép phân hoạch đơn vị đưa
về bài toán trong toàn không gian hoặc nửa không gian ([7], [12],
[15]). Trong trường hợp này, bài toán có duy nhất nghiệm ([12]).
Các bài toán biên không dừng trong các hình trụ với đáy là miền
có biên trơn được nghiên cứu nhờ phép biến đổi Laplace hoặc phép
biến đổi Fourier để đưa về bài toán dừng với tham biến trong miền
trơn ([12], [38], [39], [40], [41], [55]). Một trong những kết quả quan
trọng là: Nếu hệ số của phương trình hay hệ phương trình, hàm vế

phải và biên của miền đủ trơn, thì nghiệm là hàm trơn.
Bài toán biên tổng quát đối với phương trình elliptic trong miền
với biên không trơn đã được nghiên cứu từ giữa thế kỷ XX. Trong
công trình nổi tiếng, mang ý nghĩa đặt nền móng của nhà toán học
người Nga V. A. Kondratiev, tác giả đã công bố những kết quả
quan trọng về tính đặt đúng của bài toán cũng như tính trơn và
tiệm cận của nghiệm trong miền có các điểm nón trên biên ([19],
11
[20], [56]). Ông đã giải quyết được một số vấn đề mang tính nguyên
lý để khắc phục điểm kì dị "kiểu nón" của bài toán biên tổng quát
đối với phương trình elliptic. Tổng quan các kết quả về bài toán
biên elliptic đã được V. A. Kondratiev và O. A. Oleinic đưa vào
trong công trình [56]. Các nhà toán học khác đã dựa trên phương
pháp của V. A. Kondratiev để nghiên cứu các bài toán biên đối
với các hệ không dừng trong các miền với các điểm kỳ dị trên biên
([9], [11], [19], [13], [18], [23], [24], [25], [44], [45], [46], [47], [48], [50],
[52], [54]). Một trong những kết quả thu được là: nghiệm của các
bài toán này nói chung không trơn tại các điểm kì dị trên biên, do
đó chúng không thuộc vào các không gian Sobolev thông thường
([24]). Bởi vậy, điều quan trọng là mô tả các tính chất của nghiệm
này trong lân cận các điểm kì dị của biên và đưa chúng vào các
không gian Sobolev có trọng thích hợp để xét các bài toán đó.
Vào những năm chín mươi của thế kỉ XX, các bài toán biên
tổng quát đối với các phương trình và hệ phương trình không dừng
trong các miền không trơn được nghiên cứu trong không nhiều công
trình. Nguyên do là nếu sử dụng các phương pháp truyền thống
(biến đổi Fourier, biến đổi Laplace), thì chỉ dừng lại ở việc giải
quyết được các bài toán này trong các miền với biên trơn, hơn nữa
các hệ số của phương trình và hệ phương trình buộc phải không
phụ thuộc thời gian. Cũng có một số kết quả nghiên cứu về các bài

toán không dừng trong các miền không trơn, song chỉ với phương
trình cấp hai hoặc phương trình có hệ số không phụ thuộc vào thời
12
gian ([21], [22], [39], [43], [49], [51], [53], [57], [58]).
Từ năm 1995 các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương
trình không dừng có hệ số phụ thuộc thời gian trong các miền trụ
với đáy có biên không trơn đã được nghiên cứu một cách hệ thống.
GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng đã sử dụng phương pháp cắt thiết
diện để đưa bài toán không dừng về xét trên một thiết diện như
một bài toán dừng ([26] - [36], [59], [60]). Với phương pháp này GS.
và các cộng sự đã xét được các bài toán biên đối với các hệ không
dừng trong miền trụ với đáy có biên không trơn sau:
1. Hyperbolic
(−1)
m−1
L(x, t, D)u − u
tt
= f(x, t) , (x, t) ∈ Q
T
,
u|
t=0
= 0, u
t
|
t=0
= 0;
2. Parabolic
P u ≡ u
t

+ (−1)
m
L(x, t; D)u = f , (x, t) ∈ Q
T
, (1.2)
u(x, 0) = ϕ(x) , x ∈ Ω, (1.4)
3. Schr¨odinger
(−1)
m−1
iL(x, t, D)u − u
t
= f(x, t) , (x, t) ∈ Q
T
,
u|
t=0
=0
trong đó, Q
T
= Ω × (0, T ), 0 < T ≤ ∞, Ω là miền bị chặn với
biên chứa điểm kì dị, i là đơn vị ảo, còn
L(x, t, D) =
m

|p|,|q|=0
D
p

a
pq

(x, t)D
q

,
13
a
pq
là các hàm (đối với phương trình) hoặc ma trận hàm cấp s × s
(đối với hệ phương trình) xác định trong Q
T
(là bao đóng của Q
T
);
a
pq
= (−1)
|p|+|q|
a
qp
, a
qp
là ma trận chuyển vị liên hợp của a
qp
và
toán tử L(x, t, D) là elliptic đều theo t ∈ (0, T ) trong Ω, với hằng
số elliptic γ
0
không phụ thuộc vào t, nghĩa là

|p|=|q|=m

a
pq
(x, t)ξ
p
ξ
q
ηη ≥ γ
0
|ξ|
2m
|η|
2
với mọi ξ ∈ R
n
\ {0}, η ∈ C
s
\ {0} và (x, t) ∈ Q
T
.
Với kết quả quan trọng thu được là: Tính đặt đúng của các bài
toán trên trong các hình trụ cả hữu hạn và vô hạn; Tính trơn của
nghiệm theo thời gian chỉ phụ thuộc vào độ trơn theo thời gian của
hàm vế phải và các hệ số của hệ phương trình mà không phụ thuộc
vào dáng điệu của biên, còn độ trơn của nghiệm theo biến không
gian lại phụ thuộc vào độ mở của góc nón; Biểu diễn tiệm cận của
nghiệm gần điểm nón trên biên ([1], [2], [26], [27], [28], [29], [30],
[31], [32], [33], [34]).
Vấn đề đặt ra là khi đáy của hình trụ chứa các điểm kì dị không
phải "kiểu nón" thì các bài toán biên được giải quyết như thế nào?
Đa diện là một loại miền có biên không trơn, miền này có hai

loại điểm kì dị là điểm cạnh và điểm đỉnh. Khi nghiên cứu bài toán
trên miền đa diện, chúng ta gặp rất nhiều khó khăn do tính kì
dị của điểm cạnh, điểm đỉnh cao hơn điểm nón. Cho đến nay có
một số công trình về bài toán elliptic trên miền đa diện của V. A.
Kondratiev ([19], [20]), của B. Ammann, A. Ionescu và V. Nistor
([5]) năm 2006 hay của C. Bacuta, V. Nistor và L. Zikatanov ([6])
14
năm 2005. P.T.Dương và Đ.V.Lợi có nghiên cứu về hệ phương trình
parabolic trong miền nhị diện và thu được kết quả về sự tồn tại
duy nhất nghiệm ([10]). Bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với hệ
phương trình parabolic mạnh trong trụ vô hạn với đáy là miền nhị
diện chưa được nghiên cứu một cách có hệ thống.
Với những lí do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho
luận án của mình là: "Bài toán biên ban đầu thứ nhất đối
với hệ phương trình parabolic mạnh trong trụ với đáy
là miền nhị diện có bờ."
2. Đối tượng nghiên cứu
Chúng tôi nghiên cứu bài toán sau:
(−1)
m
L(x, t, D)u + u
t
= f(x, t) , (x, t) ∈ Q
T
, (1.2)
∂
j
u
∂ν
j

=0, 0 ≤ j ≤ m − 1, (x, t) ∈ S
T
, (1.3)
u|
t=0
= ϕ(x) , x ∈ Ω. (1.4)
3. Mục đích nghiên cứu
Luận án nghiên cứu bài toán (1.2) - (1.4) về cả ba vấn đề:
Tính đặt đúng của bài toán; Tính chính qui của nghiệm; Tiệm
cận nghiệm.
15
4. Phạm vi nghiên cứu
Chúng tôi nghiên cứu bài toán trên trong trụ với đáy là miền
nhị diện có bờ.
5. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết bài toán chúng tôi sử dụng phương pháp xấp
xỉ Galerkin, phương pháp cắt thiết diện, các bất đẳng thức tiên
nghiệm và các kết quả của các bài toán elliptic trên miền đa diện.
6. Ý nghĩa của luận án
Các kết quả của luận án góp phần hoàn thiện lí thuyết định
tính các bài toán biên ban đầu đối với hệ phương trình không
dừng trong miền có biên không trơn.
7. Tổng quan và cấu trúc của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình liên quan
đến luận án và Tài liệu tham khảo, nội dung luận án gồm 3 chương:
Chương 1: Tính đặt đúng của bài toán: Thiết lập bài toán;
Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng; Chứng minh
nghiệm suy rộng phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện đã cho.
Chương 2: Tính chính qui của nghiệm: Nêu lại kết quả của
bài toán biên elliptic trong miền đa diện; Chứng minh tính trơn

16
của nghiệm theo biến thời gian; Chứng minh tính chính qui toàn
cục của nghiệm.
Chương 3: Tiệm cận nghiệm trong lân cận của bờ: Trình
bày một số kết quả của bài toán biên elliptic trong miền có bờ;
Chứng minh tính chính qui của nghiệm trong miền nhị diện; Tiệm
cận của nghiệm trong lân cận có bờ.
Các kết quả này đã được chúng tôi trình bày tại: seminar phương
trình vi phân và tích phân, Khoa Toán-Tin, ĐHSPHN; seminar
toán giải tích, Trường ĐHHĐ; hội thảo NCS Trường Đại học Vinh
năm 2010; hội thảo liên trường: Viện toán học VN - Trường ĐHSPHN
- Trường ĐHHĐ tháng 5 năm 2011; seminar khoa học của Khoa
Toán, ĐH Vinh;
Các kết quả chính được công bố và nhận công bố trong 04 công
trình khoa học: 03 công trình đã công bố, 01 công trình nhận công
bố trên các tạp chí chuyên ngành có uy tín trong và ngoài nước
(được liệt kê ở danh mục công trình liên quan đến Luận án).
17
Chương 1
TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN
Chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng; Sự
phụ thuộc liên tục của nghiệm suy rộng vào các dữ liệu đã cho (đây
chính là tính đặt đúng của bài toán), trong cả trụ hữu hạn và trụ
vô hạn của bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với hệ phương trình
parabolic mạnh trong trụ với đáy là miền có biên không trơn.
1.1 Thiết lập bài toán
Giả sử Ω ⊂ R
n
là tập bị chặn và 0 < T ≤ ∞. Đặt Q
T

=
Ω × (0, T). Xét toán tử vi phân đạo hàm riêng cấp 2m
L(x, t; D) =
m

|p|,|q|=0
D
p
(a
pq
(x, t)D
q
),
ở đây a
pq
là các ma trận cấp s×s gồm các phần tử thuộc C
∞
(Q
T
),
a
pq
,
∂a
pq
∂t
là ma trận của các hàm nhận giá trị phức bị chặn đều trên
Q
T
. Chúng ta giả sử a

pq
= (−1)
|p|+|q|
a
qp
với a
qp
là ma trận chuyển
vị liên hợp phức của a
qp
.
Ta cũng luôn giả thiết rằng toán tử L là elliptic mạnh đều theo
t ∈ (0, T ), nghĩa là tồn tại một hằng số C > 0 sao cho với mọi véc
tơ ξ ∈ R
n
và mọi véc tơ η ∈ C
s
ta có

|p|,|q|=m
a
pq
ξ
p
ξ
q
ηη ≥ C|ξ|
2m
|η|
2

∀(x, t) ∈ Q
T
. (1.1)
18
H
m
(Ω), H
m,k
(Q
T
) là các không gian Sobolev thông thường đã được
định nghĩa trong phần ký hiệu, trong đó m, k là ký hiệu cấp của
các đạo hàm tương ứng theo biến x và biến thời gian t. Thêm
vào đó
˚
H
m,k
(Q
T
) là bao đóng trong H
m,k
(Q
T
) của tập các hàm
thuộc C
∞
(Q
T
) và triệt tiêu trong một lân cận của mặt xung quanh
S

T
= ∂Ω × (0, T).
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu bài toán biên ban đầu
thứ nhất đối với hệ phương trình parbolic mạnh trong trụ Q
T
sau
(và từ đây được gọi là bài toán (1.2)-(1.4))
P u ≡ u
t
+ (−1)
m
L(x, t; D)u = f trong Q
T
, (1.2)
∂
j
u
∂ν
j
= 0, 0 ≤ j ≤ m − 1 trên S
T
, (1.3)
u(x, 0) = ϕ(x) trong Ω, (1.4)
trong đó, ν là véc tơ pháp tuyến đơn vị ngoài của mặt xung quanh
S
T
, f và ϕ là các hàm cho trước, lần lượt xác định trên Q
T
và Ω.
Ký hiệu

B(u, v; t) =

Ω
m

|p|,|q|=0
(−1)
|p|
a
pq
(x, t)D
q
uD
p
vdx,
trong đó u, v ∈
˚
H
m
(Ω). Khi đó, B(., .; t) là dạng song tuyến tính
phụ thuộc thời gian và gọi là liên kết với toán tử L(x, t; D). Theo
công thức Green ta có
(L(x, t; D)u, v)
L
2
(Ω)
= B(u, v; t),
với mọi u, v ∈ C
∞
0

(Ω) và với hầu khắp t ∈ [0, T).
19
Định nghĩa 1.1.1. Hàm u ∈
˚
H
m,1
(Q
T
, γ) được gọi là nghiệm
suy rộng của bài toán (1.2)-(1.4) nếu u(x, 0) = ϕ(x) và thỏa mãn
đồng nhất thức
(u
t
, v)
L
2
(Ω)
+ (−1)
m
B(u, v; t) = (f, v)
L
2
(Ω)
với hầu khắp t ∈ (0, T ) và với mọi hàm v ∈
˚
H
m
(Ω). (1.5)
Điều kiện biên (1.3) được suy ra từ u(., t) ∈
˚

H
m
(Ω) với hầu khắp
t ∈ [0, T ). Tính cưỡng (tính bị chặn dưới) của −L = (−1)
m
L liên
kết với (−1)
m
B(., .; t) nhận được từ bất đẳng thức G
˚arding.
Bổ đề 1.1.2. ([2]). (Bất đẳng thức G
˚
arding) Giả sử các hệ số
của toán tử L thỏa mãn điều kiện (1.1) trong Q
T
, và các hàm
a
pq
là liên tục theo biến x đều theo t ∈ [0, T ). Khi đó, tồn tại
các hằng số µ
0
> 0, λ ≥ 0 sao cho với mọi u(x, t) ∈
˚
H
m,1
(Q
T
),
ta có
(−Lu, u) = (−1)

m
B(u, u; t) ≥ µ
0
u
2
H
m
(Ω)
− λu
2
L
2
(Ω)
.
Nhận xét 1.1.3. Hệ số λ trong Bổ đề 1.1.2 có thể chọn là 0.
Thật vậy, giả sử λ = 0 (λ là số trong Bổ đề 1.1.2 ). Ta đặt
v = e
−λt
u khi đó, u = ve
λt
. Từ đó ta có
u
t
= v
t
e
λt
+ λve
λt
=


v
t
+ λv

e
λt
.
Thay vào (1.2) ta được

v
t
+ λv

e
λt
+ (−1)
m
L(x, t; D)ve
λt
= f(x, t).
20
Mặt khác
L(ve
λt
) =
m

|p|,|q|=0
D

p
(a
pq
D
q
)ve
λt
= e
λt
m

|p|,|q|=0
D
p
(a
pq
D
q
)v,
kết hợp với đẳng thức trên ta nhận được
v
t
+

λ + (−1)
m
L(x, t; D)

v = f(x, t)e
−λt

.
Hay ta có hệ v
t
+
˜
Lv =
˜
f,
trong đó
˜
L = λ + (−1)
m
L(x, t; D),
˜
f = f(x, t)e
−λt
.
Do đó
˜
L liên kết với dạng song tuyến tính
˜
B = λ + B thỏa mãn
bất đẳng thức
˜
B(u, u; t) ≥ µ
0
u
2
H
m

(Ω)
. (1.6)
Từ đó suy ra hằng số λ trong Bổ đề 1.1.2 có thể chọn bằng 0.
Bổ đề 1.1.4. ([2]).(Bất đẳng thức Gronwall - Bellman) Giả sử
u(t) là một hàm liên tục tuyệt đối, không âm trên [0, T] và thỏa
mãn hầu khắp t bất đẳng thức vi phân
u

(t)  Φ(t)u(t) + ψ(t), (1.7)
trong đó, Φ(t), ψ(t) là các hàm khả tích không âm trên [0, T ].
Khi đó,
u(t)  e
t

0
Φ(s)ds
[u(0) +
t

0
ψ(s)ds] với mọi t ∈ [0, T ]. (1.8)
Đặc biệt, nếu u

(t)  Φ(t)u(t) với mọi t ∈ [0, T] và u(0) = 0 thì
u ≡ 0 trên [0, T].
21
1.2 Tính giải được duy nhất của bài toán
Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu bài toán (1.2)-(1.4) trên
trụ không trơn Q
T

. Tuy nhiên, các kết quả vẫn còn đúng trên trụ
với đáy là miền bất kỳ.
Ở đây, chúng tôi trình bày kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm
suy rộng, cũng như sự phụ thuộc liên tục của nghiệm suy rộng vào
hàm ở vế phải của (1.2), trong cả trụ hữu hạn và trụ vô hạn.
Kí hiệu a
pq
t
k
=
∂
k
a
pq
∂t
k
và B
t
k
(u, v; t) =

|p|,|q|m
(−1)
|p|

Ω
a
pq
t
k

(., t)D
q
uD
p
vdx, k  0.
Cùng với các kí hiệu này ta qui ước
B(u, v; t) = B
t
0
(u, v; t).
Do H
m,1
(Q
T
) ⊂ H
m,1
(Q
T
, γ), ∀γ > 0 nên từ Bổ đề 1.1.2 và Nhận
xét 1.1.3 ta có
(−1)
m
B(u, u; t)  µ
0
u
2
H
m
(Ω)
.

Sử dụng tích phân từng phần, giả thiết a
pq
= (−1)
|p|+|q|
a
qp
ta được
2 Re
τ

0
B
t
k
(v, v
t
; t)dt = B
t
k
(v, v; τ) − B
t
k
(v, v; 0)
−
τ

0
B
t
k+1

(v, v; t)dt, ∀τ ∈ (0, T).
Định lí 1.2.1. Giả sử hệ số của toán tử L(x, t; D) thỏa mãn
sup{|a
pq
|, |a
pqt
k
| : 0 ≤ |p|, |q| ≤ m; (x, t) ∈ Q
T
, k ≤ h + 1} ≤ µ,
22
µ = const, f ∈ L
2
(Q
T
, γ
0
) và ϕ(.) ∈
˚
H
m
(Ω). Khi đó với mọi
γ > γ
0
bài toán (1.2)-(1.4) có duy nhất nghiệm suy rộng u(x, t) ∈
˚
H
m,1
(Q
T

, γ). Hơn nữa, nghiệm này thỏa mãn đánh giá
u
2
H
m,1
(Q
T
,γ)
 C

f
2
L
2
(Q
T
,γ
0
)
+ ϕ
2
H
m
(Ω)

,
trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào u và f.
Chứng minh. i) Trước tiên ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của
bài toán (1.2)-(1.4) bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin.
Bằng phương pháp trực giao hóa Gramm-Schmith, giả sử {ω

k
(x)}
∞
k=1
là một cơ sở của
˚
H
m
(Ω), trực chuẩn trong L
2
(Ω). Ta tìm dãy
nghiệm xấp xỉ {u
N
(x, t)} dưới dạng
u
N
(x, t) =
N

k=1
C
N
k
(t)ω
k
(x),
trong đó các hệ số C
N
k
(t), t ∈ [0, T ), k = 1, , N thỏa mãn

(u
N
t
, ω
k
) + (−1)
m
B(u
N
, ω
k
; t) = (f, ω
k
), t ∈ [0, T ), k = 1, N (1.9)
và C
N
k
(0) = (ϕ, ω
k
), k = 1, , N (1.10)
ở đây (., .) là tích vô hướng trong L
2
(Ω); ϕ(x) là hàm đã cho trong
điều kiện ban đầu.
Từ u
N
(x, t) =
N

k=1

C
N
k
(t)ω
k
(x),
ta có u
N
(x, 0) =
N

k=1
C
N
k
(0)ω
k
(x),
do đó u
N
(x, 0)
2
L
2
(Ω)
= (u
N
(x, 0), u
N
(x, 0)) =

N

k=1
(C
N
k
(0))
2
=
N

k=1
(ϕ, ω
k
)
2

∞

k=1
(ϕ, ω
k
)
2
= ϕ
2
L
2
(Ω)
.

23
Từ đó ta có u
N
(x, 0)
2
L
2
(Ω)
 ϕ
2
L
2
(Ω)
. (1.11)
Bài toán (1.9)-(1.10) còn được viết dưới dạng chính tắc sau
dC
N
k
(t)
dt
+
N

l=1
(−1)
m
e
k+l
(t)C
N

k
(t) = f
k
(t), k = 1, , N
C
N
k
(0) = (ϕ, ω
k
), k = 1, , N
với e
k+l
(t) := B(ω
l
, ω
k
; t), k, l = 1, , N
f
k
(t) := (f(x, t), ω
k
(x)).
Đây là hệ N phương trình vi phân tuyến tính đối với các hàm ẩn
C
N
k
(t). Từ giả thiết và kết quả đã biết về phương trình vi phân, bài
toán (1.9)-(1.10) có duy nhất nghiệm C
N
k

(t), k = 1, , N. Nhân
hai vế của (1.9) với C
N
k
(t) sau đó lấy tổng theo k từ 1 đến N ta
được, với hầu khắp t ∈ [0, T ) đẳng thức
(u
N
t
, u
N
) + (−1)
m
B(u
N
, u
N
; t) = (f, u
N
). (1.12)
Ta có
d
dt

u
N

2
L
2

(Ω)

=
d
dt

Ω
u
N
u
N
dx.
=

Ω
u
N
t
u
N
dx +

Ω
u
N
u
N
t
dx =


Ω
u
N
t
u
N
dx +

Ω
u
N
t
u
N
dx
hay
d
dt

Ω
u
N
u
N
dx = (u
N
t
, u
N
) + (u

N
t
, u
N
). (1.13)
Cộng (1.12) với liên hợp phức của nó và sử dụng (1.13) ta được
d
dt

u
N

2
L
2
(Ω)

+ 2(−1)
m
B(u
N
, u
N
; t) = 2Re(f, u
N
). (1.14)
24
Sử dụng bất đẳng thức G
˚
arding và Nhận xét 1.1.3 ta có

(−1)
m
B(u
N
, u
N
; t)  µ
0
u
N

2
H
m
(Ω)
. (1.15)
Mặt khác từ bất đẳng thức Cauchy, với ε > 0 ta có đánh giá
2|(f, u
N
)|  2f
L
2
(Ω)
u
N

L
2
(Ω)
 Cf

2
L
2
(Ω)
+ εu
N

2
L
2
(Ω)
.
Do đó từ (1.14) và (1.15) suy ra bất đẳng thức
d
dt

u
N

2
L
2
(Ω)

+2µ
0
u
N

2

H
m
(Ω)
 Cf
2
L
2
(Ω)
+εu
N

2
L
2
(Ω)
. (1.16)
Ta đặt η(t) := u
N

2
L
2
(Ω)
,
ξ(t) := f
2
L
2
(Ω)
với hầu khắp t ∈ [0, T ).

Khi đó, từ (1.16) kéo theo
η

(t)  εη(t) + Cξ(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ).
Theo Bổ đề 1.1.4 ta có
η(t)  e
εt
(η(0) + C
t

0
ξ(s)ds), t ∈ [0, T). (1.17)
Từ điều kiện ban đầu và (1.11) ta có
η(0) = u
N
(0)
2
L
2
(Ω)
 ϕ
2
L
2
(Ω)
.
Bởi vậy từ (1.17), với hầu khắp t ∈ [0, T) ta được
25
u
N


2
L
2
(Ω)
 e
εt

ϕ
2
L
2
(Ω)
+ C
t

0
f
2
L
2
(Ω)
ds

 e
εt

ϕ
2
L

2
(Ω)
+ Ce
γ
0
t
t

0
e
−γ
0
t
f
2
L
2
(Ω)
ds

 e
εt

ϕ
2
L
2
(Ω)
+ Ce
γ

0
t
t

0
e
−γ
0
s
f
2
L
2
(Ω)
ds

 e
εt

ϕ
2
L
2
(Ω)
+ Ce
γ
0
t
T


0
e
−γ
0
s
f
2
L
2
(Ω)
ds

 e
εt
ϕ
2
L
2
(Ω)
+ Ce
(γ
0
+ε)t
f
2
L
2
(Q
T
,γ

0
)
.
Nhân hai vế của bất đẳng thức trên với e
−γt
, sau đó lấy tích phân
theo t từ 0 đến T ta được
u
N

2
L
2
(Q
T
,γ)
=
T

0
e
−γt
u
N

2
L
2
(Ω)
dt

 ϕ
2
L
2
(Ω)
T

0
e
(ε−γ)t
dt + Cf
2
L
2
(Q
T
,γ
0
)
T

0
e
(γ
0
+ε−γ)t
dt

1
γ − ε

ϕ
2
L
2
(Ω)
+
C
γ − γ
0
− ε
f
2
L
2
(Q
T
,γ
0
)
với mọi γ > γ
0
, ta chọn ε > 0 sao cho γ > γ
0
+ ε. Ở đây C kí hiệu
chung cho các hằng số không phụ thuộc vào u, f và N.
Từ đó ta có
u
N

2

L
2
(Q
T
,γ)
 C

ϕ
2
L
2
(Ω)
+ f
2
L
2
(Q
T
,γ
0
)

. (1.18)