CHƯƠNG 6. CƠ HỌC LƯỢNG TỬ.pdf

Bi giảng Vật lý đại cơng
Tác giả: PGS. TS Đỗ Ngọc Uấn
Viện Vật lý kỹ thuật
Trờng ĐH Bách khoa H nội
Ch−¬ng 6
C¬ häc l−îng tö
1. Tính sóng hạt của vật
chất trong thế giới vi mô
1.1. Tính sóng hạt của ánh sáng
Tính sóng: Giao thoa, nhiễu xạ, phân cực; , .
Tính hạt: Quang điện, Compton; , p.
Liên hệ giữa hai tính sóng hạt:
Năng lợng:

=

h
Động lợng:

=
h
p
Hm sóng
Chiếuchùmánhsáng
song song, các mặt
sóng cũng l mặt
phẳng song song
O
d
M
r

r
n
r
T¹i O dao ®éng s¸ng: x
0
=Acos2πνt
T¹i ®iÓm c¾t mÆt chøa M ¸nh s¸ng ®i ®−îc d, vμ:
x
M
=Acos2πν(t-d/c)= Acos2π(νt-d/λ)
n.rcosrd
r
r
=
α=
)
n.r
t(2cosAx
λ
−νπ=
r
r
§©y lμ sãng ph¼ng ch¹y, d¹ng phøc:
)
nr
t(i2
0
e
λ
−νπ−

ψ=ψ
r
r
)rpt(
i
0
e
rr
h
−ε−
ψ=ψ
hay
λ
π
=
2
k
kp
r
h
r
=
Js10.05,1
2
h
34−
=
π
=h
)rkt(i

0
e
r
r
−ω−
ψ=ψ
1.2. Giả thiết Đơbrơi (de Broglie)
Một vi hạt tự do tuỳ ý có năng lợng xác định,
động lợng xác định tơng ứng với một sóng
phẳng đơn sắc;
a. Năng lợng của vi hạt liên hệ với tần số dao
động của sóng tơng ứng =h hay

=

h
b. Động lợng của vi hạt liên hệ với bớc
sóng theo:
p
r
kp
r
h
r
=

=
h
p
hay

Tính sóng hạt l hai mặt đối lập biểu hiện sự
mâu thuẫn bên trong của đối tợng vật chất
1.3. Thực nghiệm chứng minh lỡng
tính sóng hạt của vi hạt
a. Nhiễu xạ điện tử: Chiếu chùm tia điện tử qua
khe hẹp, ảnh nhiễu xạ giống nh đối với sóng
ánh sáng
Nhiễu xạ điện
tử, nơtron trên
tinh thể
tia e,n
Phim
NhiÔu x¹ ®iÖn tö
truyÒn qua trªn
tinh thÓ Si
NhiÔu x¹ truyÒn qua trªn Bromid Thalium
2. Hệ thức bất định Haidenbéc
(Heisenberg)
2.1. Hệ thức bất định
p
r
b

1
x
Toạ độ của điện tử trong khe:
0xb =>x=b
Hình chiếu của động lợng
lên trục x: 0 p
x

p sin
ứng với hạt rơi vo cực đại giữa
p
x
p sin
1
sin
1
=/b
x.p
x
p
x.p
x
h
y.p
y
h
z.p
z
h
ý nghĩa: Vị trí v động lợng
của vi hạt không xác định đồng
thời
Ví dụ: Trong phạm vi nguyên tử x~10
-10
m
Vận tốc điện tử có:
s/m10.7
1010.1,9

10.62,6
xm
h
m
p
v
6
1031
34
ee
x
x
=



=


m
e
~10
-31
vi hạt -> Vận tốc không xác định ->
không có quỹ đạo xác định
m ~10
-15
kg, x~10
-8
m hạt lớn (Vĩ hạt): Vận tốc

xácđịnh-> Quỹđạo xácđịnh:
s/m10.6,6
1010
10.62,6
xm
h
v
11
815
34
e
x



=


W.t h
Hệ thức bất định đối với năng lợng
W h/t
Trạng thái có năng lợng bất định l trạng thái
không bền, Trạng thái có năng lợng xác định l
trạng thái bền
2.2 ý nghĩa triết học của hệ thức
bất định Heisenberg:
Duy tâm: Hệ thức bất định phụ thuộc vochủ
quan của ngời quan sát: Xác định đợc quỹ đạo
thì không xác định đợc năng lợng. Nhận thức
của con ngời l giới hạn

Duy vật: Không thể áp đặt quy luật vận động vật
chất trong cơ học cổ điển cho vi hạt. Cơ học cổ
điển có giới hạn, nhận thức của con ngời không
giới hạn, không thể nhận thức thế giơí vi mô
Không thể xác định chính xác vị trí của vi hạt m
chỉ đoán nhận đợc khả năng tồn tại vi hạt ở một
trạng thái nođó.
Quy luật vận động của vi hạt tuân theo nguyên lý
thống kê
3. Hmsóngv ý nghĩa thống kê
của nó
3.1. Hm sóng: Chuyển động của vi hạt tự do
(không chịu tác dụng lực bên ngoi) đợc mô tả
bởi hm sóng Đơ Brơi
)rkt(i
0
e
r
r

=

0
2
=||
2
=
*

*

Liên hợp phức của
bằng các khái niệm cổ điển.
3.2. ý nghĩa thống kê của hm sóng
M
V
sóng ánh sáng chiếu lên M
cờngđộsángI ~
0
2
||
2
cng lớn M cng sáng
-> số photon cng nhiều
||
2
tỷ lệ với khả năng có mặt của vi hạt trong V
||
2
đặc trng cho khả năng tìm thấy vi hạt trong
đơn vị thể tích quanh M gọi l mật độ xác suất
Xác suất tìm thấy hạt trong dV l ||
2
dV
Xác suất tìm thấy hạt
trong thể tích V l


V
2
dV||

Trong ton không gian
1dV||
Tkg
2
=

Đây l điều kiện chuẩn hoá của hm sóng
Hm sóng không mô tả một sóng cụ thể no đó
nh sóng cơ hay sóng điện từ m nó chỉ cho
phép tính mật độ xác suất tìm thấy vi hạt ở một
trạng thaí nođó
-> Hm sóng mang tính thống kê
Trong vật lý phân tử: Hệ nhiều hạt mới có tính
thống kê (theo qui luật thống kê)
Trong cơ học lợng tử qui luật thống kê có quan
hệ với ngay cả một vi hạt riêng biệt
3.3. Điều kiện của hmsóng
a. Hm sóng giới nội = Điều kiện chuẩn hoá
b. Hm sóng phải đơn trị: mỗi trạng thái chỉ có
1 xác suất tìm hạt (theo lí thuyết xác suất)
c. Hm sóng phải liên tục vì mật độ xác suất
không thể nhảy vọt.
d. Đạo hm bậc nhất của hm sóng phải liên
tục: rút ra điều kiện của phơng trình hm sóng
4. Phơng trình cơ bản của cơ học
lợng tử
Trong cơ học cổ điển có f/t cơ bản: ma=F
Trong cơ học LT phải
tìm đợc hm sóng
của vi hạt

)rpt(
i
0
e)t,r(
rr
h
r

=
)r(.e)t,r(
t
i
rr
h
=

l năng lợng của vi hạt.
)r(
r

l phần phụ thuộc vo không gian đáp ứng
phơng trình :
0)r()]r(U[
m2
)r(
2
=+
rr
h
r

dingeroSchr
&&
)x()x()]x(U
xm2
[
2
22
=+



h
Vai trò phơng trình Schrodinger trong CHLT
giống nh f/t cơ bản trong cơ học cổ điển
Trong
không gian
một chiều:
Toán tử Laplatz, trong toạ độ Đêcác:
)r()
zyx
()r(
2
2
2
2
2
2
rr

+


+


=
thế năng
)r(U
r
2
22
xm2


h
Toán tử
động năng
x
ip

x


= h
Toán tử động lợng
=
m2m2
p

22
h
Toán tử
Haminton
U

m2
p

H

2
+=
Phơng trình Schrodinger: Tác động toán tử
Haminton lên hm sóng cho giá trị riêng của
năng lợng vi hạt
=H

Trong cơ học lợng tử các đại lợng vật lý
đều l các toán tử, khi toán tử tác động lên hm
sóng cho giá trị riêng của đại lợng vật lý đó:
==

.kep

p

)rkt(i
0

r
h
r
r
kp
r
h
r
=
giá trị riêng của động lợng
Toán tử động năng:
5. ứng dụng
5.1. Vi hạt trong giếng thế
U
x0a
U=
U=0
U=
0 khi 0<x<a
khi x0 v xa
Trong giếng thế U(x)=0
Phơng trình
Schrodinger:
)x()x(
xm2
2
22
=

h
Toán tử động năng tác động lên hm sóng của vi
hạt cho giá trị riêng của động năng vi hạt
Dạng hm sóng: (x)=Asinkx+Bcoskx
Điều kiện biên cố định (0)= (a)=0
ψ(x)=Asinkx
0a
2
na
λ
=
λ
π
=
2
k
a
n
k
π
=
n = 0, 1, 2
)x
a
n
sin(A)x(
n
π
=ψ

Thay ψ
n
(x) vμoph−¬ng tr×nh Schrodinger
)x()x()
a
n
(
m2
nn
2
2
εψ=ψ
πh
1dx)x
a
n
(sinA
2
a
0
2
=
π
∫
a
2
A =
Mçi tr¹ng th¸i vi h¹t
øng víi mét hμm sãng
ψ

n
(x)
)x
a
n
sin(
a
2
)x(
n
π
=ψ
λ lμ b−íc sãng §¬ br¬i cña vi h¹t
2
2
)
a
n
(
m2
π
=ε
h
ε ~ n
2
N¨ng l−îng vi h¹t biÕn
thiªn gi¸n ®o¹n: N¨ng l−îng bÞ
l−îng tö ho¸
MËt ®é x¸c suÊt tån t¹i vi h¹t
)x

a
n
(sin
a
2
2*
π
=ψψ=ρ
39
24
1
1
3
2
1
a/2a/43a/4
0
2
2
)
a
(
m2
πh
n
0
ε ®v( )
0
ρ
n

5.2. Hiệu ứng đờng hầm
U
U
max
W
x
Đối với cơ cổ điển nếu năng
lợng hạt W<U thì hạt
không vợt qua đợc hng
rothế
Đối với cơ học LT vi hạt có khả năng xuyên qua
hng ro thế cao hơn năng lợng của nó: Hiệu
ứng xuyên hầm
U
x
a0
U
0
I
II III

1
(x)
2
(x)

3
(x)
U=
0 x0 miền I

U
0
0<x<a miền II
0 xa miền III
Ph−¬ng tr×nh Schrodinger cho ba vïng
2
1
2
1
2
1
2
mW2
0k
dx
d
h
==ψ+
ψ
2
1
kvíi
)WU(
m2
0k
dx
d
0
2
2

2
2
2
2
2
−==ψ+
ψ
h
2
2
kvíi
2
3
2
1
2
3
2
mW2
0k
dx
d
h
==ψ+
ψ
2
1
kvíi
miÒn I
miÒn II

miÒn III
NghiÖm cña c¸c ph−¬ng tr×nh:
xik
1
xik
11
11
eBeA)x(
−
+=ψ
xk
2
xk
22
22
eBeA)x(
−
+=ψ
)ax(ik
3
)ax(ik
33
11
eBeA)x(
−−−
+=ψ
Hệ số truyền qua
/xuyên hầm
2
1

2
3
*
11
*
33
|A|
|A|
D =


=
Theo tính chất liên tục của hm sóng v đạo hm
bậc nhất của hm sóng.
Tại các bờ:

1
(0)=
2
(0)

1
(0)=
2
(0)

2
(a)=
3
(a)

2
(a)=
3
(a)
Các hệ thức:
A
1
+B
1
= A
2
+B
2
ik
1
(A
1
-B
1
)= -k
2
(A
2
+B
2
)
A
2
e

-k
2
a
+B
2
e
k
2
a
= A
3
-k
2
(A
2
e
-k
2
a
+B
2
e
k
2
a
)=ik
1
A
3
B

3
=0, không có sóng phản xạ từ vô cùng
Từ 2 phơng trình cuối xác định A
2
, B
2
qua A
3
ak
32
2
eA
2
in1
A
−
=
ak
32
2
eA
2
in1
B
−
+
=
WU
W
k

k
n
02
1
−
==
Coi W<<U
0
hoÆc
bÒ réng cña hμng
rμolínk
2
a>>1
ak
31
2
eA
4
)
n
i
1)(in1(
A
+−
=
ak2
2
2
2
e

)n1(
n16
D
−
+
=
1~
)n1(
n16
2
2
+
(U
0
~10W)
)WU(m2
a2
ak2
0
2
eeD
−−
−
==
h
Mặc dù W<U
0
vẫn có hạt xuyên qua hng roth
ế
Với điện tử m=9,1.10

-31
kg, U
0
-W=1,28.10
-31
J
a(m) 10
-10
1,5.10
-10
2.10
-10
5.10
-10
D 0,1 0,03 0,008 5.10
-7
D đáng kể khi a nhỏ: Hiệu ứng xuyên hầm chỉ
xảy ra ở kích thớc vi mô
=> Tính sóng của vi hạt
Phát xạ điện tử lạnh
Phân rã hạt