Một Số Cấu Trúc Dữ Liệu Đặc Biệt

Cây quản lý phạm vi

 này gii thiu cây qun lý phm vi (range trees). t cu trúc d
liu quan trng, có nhiu ng dng trong các thut toán hình hc, truy v d
liu và x lý tín hiu. Cây qun lý ph    cp nhiu trong các k thi
olympic tin hc trong kho l
1. Giới thiệu
Gi s ta có m d liu cha h a các nhân viên trong mt
công ty, thông tin v mi nhân viên là mt bn ghi gm nhia
chp b  d liu này luôn bing bi các
lnh thêm/bt/cp nht b    i truy vn d  m s
i    tui t 40 ti 50 và có m tháng t 3 triu ti 5
triu  Tính ta nhi có thâm niên công tác t 10
 lên và có t 2 ti 4 con
Dng bài toán qung và tr li các dng truy vn k trên có th mô
i dng hình hc: Chng hn ta có th biu din mi nhân viên bi
mm trên mt phng t  vi trc t  là tui và trc t
 là mm s  tui t 40 ti
50 và có m 3 ti 5 tri din gii thành: m s m
có t












(Xem Hình 1)



Hình 1
Bài toán truy vn phm vi có th phát biu hình thn qun lý
mt tp  các ng biu din bi các m trong không gian  chiu, mi
m ngoài t ca nó còn có th cha thêm mt s thông tin khác
*
. Tp 
liên tc bing bi phép thêm/bi các truy vn. Mi truy
vn, cho bi phm vi là mt siêu hp  













 







,
yêu cu tr li v thông tin tng hp t tt c m nm trong siêu hp .
 này, ta quan tâm ti các dng thông tin tng hp có tính cht
 trc là nu  và  là hai tm ri nhau thì thông tin tng hp
t m    có th d c t thông tin tng hp trên  và
thông tin tng hp trên  v  d liu nhân s, ta có th d
c:
 S i trong tp    bng cách ly s i trong  cng s i
trong .
 a nt trong tp   , 

  

 có th
nh bng công thc 










S u tp  ch g lc tt c
nhm nm trong phm vi truy vn và tng hp thông tin t nhm

 m ln, mc dù phép thêm bm có th thc hin



*
Trong CSDL quan h, mt s ct s nh làm t và nhng ct còn li s c coi là thông tin cn
truy vn tùy theo tng ng dng c th.
Ο


40
50
3.000.000
5.000.000
nhanh (thi gian 



nu s dng cu trúc d ling),
thi gian truy vn tr nên rt chm (mt 



thi gian  tr li mi
truy vn vi  là s m trong  và  là s chiu ca không gian).
Cây qun lý phm vi là mt cu trúc d liu hiu qu  gii quyt bài toán
trên, nó cho phép thc hin mi phép thêm, bt, cp nht, truy vn trong thi
gian 






, thích hp vi x lý d liu lng 

t
chm so vi ng 



khi 
Trong các phn tip theo, phn 2 kho sát mt s cu trúc d liu và thut
toán gii quyt bài toán truy vn phm vi 1 chiu. Phn 3 m rng các cu
trúc d liu cho truy vn phm vi nhiu chiu. Phn 4 là mt s bài toán ng
dng, m rng ca cây qun lý phm vi, cui cùng là kt lun và danh mc tài
liu tham kho.
2. Truy vấn phạm vi một chiều
2.1. Cây nhị phân tìm kiếm
t nh biu din danh sách là s dng mng
hoc danh sách móc ni. S dng mng có t tt vi phép truy cp ngu
nhiên   b chm nu danh sách luôn b bi ng bi các phép
 dng danh sách móc ni có th thun ti
trong các phép chèn/xóa thì li g  m trong phép truy cp ngu
nhiên.
Trong mc này chúng ta s trình bày mu din danh sách
bng cây nh p ngu nhiên, chèn, xóa và truy
vn c thc hin trong thi gian 




. N
c trình bày qua mt bài toán c th:
Bài toán (Range Query):
Cho mt danh sách   cha các s nguyên. Ký hiu 



là s phn t
trong danh sách. Các phn t  liên tip bu
t 1.
Bu vi mt danh sách rng, xét các phép bii danh sách 


 Phép chèn 



: Chèn mt s  vào v trí  ca danh sách. ng
hp 



thì  s c thêm vào cui danh sách.
 Phép xóa 



: Xóa phn t th  trong danh sách.
 Phép cp nht 




: t phn t th  bng .
 Phép truy vn 



: Tr v tng các phn t nm trong phm vi t 
ti 
Yêu cu: Cho dãy  phép bic thc hin tun t, hãy tr li tt c các
truy vn 
Input
 Dòng 1 cha s 


  dòng tip, mi dòng cho thông tin v mt phép bii. Mi dòng bt
u bi mt ký t 




 Nu ký t u dòng là thì tip theo là hai s nguyên  ng
vi phép chèn 



(

)
 Nu ký t u dòng là thì tip theo là s nguyên  ng vi

phép xóa 



.
 Nu ký t p theo là hai s nguyên  ng
vi phép cp nht 



(

)
 Nu ký t p theo là hai s nguyên  ng
vi phép truy vn 



()
Output
Tr li tt c các truy vn , vi mi truy vn in ra câu tr li trên 1 dòng
Sample Input
Sample Output
11
I 1 8 {8}
I 1 3 {3 8}
I 3 6 {3 8 6}
I 3 2 {3 8 2 6}
Q 1 3
U 3 4 {3 8 4 6}

I 2 5 {3 5 8 4 6}
D 1 {5 8 4 6}
Q 2 4
U 1 7 {7 8 4 6}
Q 1 4
13
18
25

2.1.1. Biểu diễn danh sách
Chúng ta s  các phn t ca danh sách  trong mt cu trúc cây nh
phân sao cho nu duyt cây theo thứ tự giữa thì các phn t ca  s c lit
 t trong danh sách. Cây nh t bi mt
cu trúc liên kng và con trng chính ca cách tip cn này
là đồng bộ thứ tự của danh sách trừu tượng  với thứ tự giữa của cây, quy việc
chèn xóa trên  về việc chèn xóa trên cây nhị phân.
Có mt s  ng gia cu trúc d liu này và cây nh phân tìm
kim (binary search trees – BST):
 Nu danh sách trng  gm các phn t p xn thì t
nhiên cây biu din danh sách tr thành cây nh phân tìm kim.
 Nu duyt cây nh phân tìm kim theo th t gin
các khóa tìm kim, còn nu duyt cây biu din danh sách theo th t
gia ta s c danh sách .
 Có th có nhiu cu trúc cây nh phân tìm kim ng vi mt tp khóa tìm
ki y có nhiu cu trúc cây biu din danh sách ng vi
danh sách .
 ng cây biu din danh sách có th k tha t cây
nh phân tìm kim bi các k thut cân bng cây nh phân tìm kim luôn
bo tn th t gia cng vi th t n ca các
khóa tìm king b th t danh sách vi th t

gia ca các nút trên cây ch không phi là th t c hay th t sau.
Chính vì có nhing gia cu trúc cây biu din danh sách và
cây nh phân tìm kim, tcây nh phân tìm kim  binary search
trees (BST) cho cu trúc d liu này.
2.1.2. Cấu trúc nút
Có th thy rng khi duyt cây theo th t gia thì các nút mt nhánh cây s
c lit kê trong mn liên tip, không có nút  nhánh khác xen vào. Nói
cách khác, bn cht mi nhánh cây là mn các phn t liên tip trong
danh sách trng . i ý cho vi thêm nhng thông tin
tng hp v n liên tip này ti nhng mng hp


c th này, mi nút  s cha thêm 2 thông tin: S nút trong nhánh gc 
  thc hin phép truy cp ngu nhiên) và tng các phn t trong
nhánh gc   tr li truy vn tng).
Tóm li, mi nút trên cây là mt bn ghi gng:
 ng : Cha phn t 
 ng  Cha liên kt (con tr) ti nút cha, nu là nút gc (không có nút
ng  t bng mt con tr c bit, ký hiu .
 ng : Cha liên kt (con tr) ti nút con trái, nu nút không có nhánh
con trái thì tng  t bng .
 ng : Cha liên kt (con tr) ti nút con phi, nu nút không có
nhánh con phng  t bng .
 Trng  cha s nút trong nhánh gc 
 ng  cha tng phn t cha trong nhánh gc 

Hình 2. Cây biu din danh sách gm 7 phn t (1, 7, 3, 6, 5, 4, 2)
 

 

1
 
 
7

 
3
 
 
6
 
 
5


4

 
2
type
PNode = ^TNode;
//Kiểu con trỏ tới một nút
TNode = record
key: TKey;
P, L, R: PNode;
len: Integer;
sum: Int64;
end;
var
sentinel: TNode;

nilT: PNode;
//Con trỏ tới nút đặt biệt
root: PNode;
//Con trỏ tới nút gốc
begin
nilT := @sentinel;
nilT^.size := 0;
nilT^.sum := 0;

end.

Các ngôn ng lp trình bng cung cp hng con tr  (hay 
gán cho các liên kt không tn ti trong cu trúc d liu. Hng con tr  ch
c s dng  so sánh vi các con tr c phép truy cp bin
ng .
t cây nh phân, chúng ta s dng con tr  gán cho nhng liên
kt không có thc (công d  ). Ch có khác là con tr
 tr ti mt bin  có thực m   ng ca  là vô
nghĩa. Chúng ta hy sinh mt ô nh cho bin   n hóa
các thao tác trên cây
*
.
Th tc 



ng hp các thông tin trong  t nhng thông tin
ph tr trong hai nút con:

procedure Update(x: PNode);

begin
x^.len := x^.L^.len + x^.R^.len + 1;
//Tính số nút trong nhánh x
x^.sum := x^.L^.sum + x^.R^.sum + x^.value;
//Tính tổng các phần tử trong nhánh x
end;

 c  và .
 d trình bày các thao tác, ta vit sn các th tc móc ni các nút: Th tc




cho  làm con trái , th tc 



cho  làm con phi 



*
Ma bi bm tra con tr  c khi truy cp nút .



procedure SetL(x, y: PNode);
begin
y^.P := x; x^.L := y;
end;

procedure SetR(x, y: PNode);
begin
y^.P := x; x^.R := y;
end;

2.1.3. Truy cập ngẫu nhiên
C các phép biu có mt tham s v trí, vy viu tiên là
phng vi v trí  trong danh sách trng là nút nào
trong cây. Theo nguyên lý ca phép duyt cây theo th t gia (duyt nhánh
t nhánh phi), thu
ng vi v trí  có th din t 
 tìm nút th  trong nhánh cây gc c hnh  là s th t
ca nút gc  (theo th t gia):  
 Nu  thì nút cn tìm chính là nút .
 Nu  thì quy v tìm nút th  trong nhánh con trái ca .
 Nu  thì quy v tìm nút th  trong nhánh con phi ca .
S c l ng vi v trí  có th tính b sâu ca nút
kt qu cng thêm 1. Phép truy cp ng    t bng hàm




: Nhn vào nút  và mt s nguyên , tr v ng vi v
c .

function NodeAt(x: PNode; i: Integer): PNode;
var
ord: Integer;
begin

repeat
ord := x^.L^.len + 1;
//Xác định số thứ tự nút x
if ord = i then Break;
//Nút cần tìm chính là x
if i < ord then
//Quy về tìm nút thứ i trong nhánh con trái
x := x^.L
else
//Quy về tìm nút thứ i – ord trong nhánh con phải
begin
i := i - ord;
x := x^.R;
end;
until False;
Result := x;
end;

2.1.4. Vấn đề cân bằng cây
Thao tác truy cp ngu nhiên thc hin mt phép di chuyn t gc xung mt
nút mang s th t nh, nu cây nh phân suy bin, phép truy cp ngu
nhiên không khác gì phép truy cp tun t trên danh sách móc ni  và tr
nên kém hiu qu. Rt may mn là ta có nhbng cây.
Nhc gi cho chiu cao cây là mng 




vi  là s nút trên cây, hom bo cho dãy  thao tác truy cp ngu nhiên
c thc hin trong thi gian 




. Nh   
bc k tha t các cu trúc d liu cây nh phân tìm kim t cân
bng (self-balancing binary search trees 
Treaps, cây nh phân tìm kim ng
Hu ht các k thut cân bc thc hin bi phép quay cây, có hai
loi: quay phi (right rotation) và quay trái (left rotation).
 Nu  là con trái ca , phép quay phi theo liên kt  ct nhánh con
phi ca  làm con trái ca   làm con phi ca . Nút  c
y lên làm gc nhánh thay cho nút     Hình 3, có th thy
rng phép quay phi bo tn th t gia .


 c li, nu  là con phi ca , phép quay trái theo liên kt  vi 
ct nhánh con trái ca  làm con phi ca   làm con trái ca
 y  lên làm nút nhánh
thay cho nút   Hình 3 thy rng phép quay trái
bo tn th t gia      .

Hình 3. Phép quay cây
Ta vit mt thao tác 



t   i , và ,
phép 




s quay theo liên kt   y nút  lên phía gc cây
 sâu ca  gim 1) và kéo nút  xut mc làm con nút . Chú
ý là sau phép 



, ta ch cn cp nht thông tin ph tr ca nút  và
  p nht thông tin ph tr ca nút  ng   ng ),
thông tin ph tr trong các núi.






Quay phi




















Quay trái
procedure UpTree(x: PNode);
var
y, z: PNode;
begin
y := x^.P;
//y^ là nút cha của x^
z := y^.P;
//z^ là nút cha của y^
if x = y^.L then
//Quay phải
begin
SetL(y, x^.R);
//Chuyển nhánh con phải của x^ sang làm con trái y^
SetR(x, y);
//Cho y^ làm con phải x^
end
else
//Quay trái
begin
SetR(y, x^.L);
//Chuyển nhánh con trái của x^ sang làm con phải y^
SetL(x, y);
//Cho y^ làm con trái x^

end;

//Móc nối x^ vào làm con z^ thay cho y^
if z^.L = y then SetL(z, x) else SetR(z, x);
Update(y); Update(x)
end;

2.1.5. Cây Splay
Trong ví d c th này, cây Splay c s dng làm cu trúc d liu cây biu
din danh sácht trong nhng thú v nht v cây nh phân
tìm kim t cân bng [8]c thc hin ngay
khi có lnh truy cp nút, làm gi  sâu ca nhng nút truy c ng
ng hp tn sut thc hin phép tìm kim trên mt khóa hay
mt c n so vi nhng khóa khác, cây Splay s phát huy
 v mt t.
 Thao tác Splay
Thao tác quan trng nht ca cây splay là thao tác 



: nhn vào mt
nút  y  lên làm gc cây: Nu  i gc cây, gi  là nút cha ca 
() và  là nút cha ca  (),  s y dn lên gc cây
theo quy trình sau:
 Nu  là con ca nút gc (), mt phép 



s c thc
hin và  s tr thành gc cây. Thao tác này gi là phép zig.

 Nu  và  cùng là con trái hoc cùng là con phi, mt phép 



s
c thc hi  y  lên làm nút cha ca , tip theo là mt phép




 y  lên làm nút cha ca . Thao tác này gi là phép zig-
zig.


 Nu  và  có mt nút là con trái và mt nút là con phi, hai phép




s c thc hi y  lên làm nút cha ca c  và . Thao
tác này gi là phép zig-zag.
Thao tác 



cn s dng tt phép zig.

Hình 4. Phép zig-zig và zig-zag.

procedure Splay(x: PNode);

var
y, z: PNode;
begin
repeat
y := x^.P;
if y = nilT then Break;
//x là gốc thì dừng ngay
z := y^.P;
if z ≠ nilT then
//zig-zig hoặc zig-zag, cần 1 phép UpTree trước phép UpTree(x)
if (y = z^.L) = (x = y^.L) then UpTree(y)
//x và y cùng là con trái hoặc cùng là con phải
else UpTree(x);
//x và y có một nút con trái và một nút con phải
UpTree(x);
until False;
end;

Ti sao li làm phc tp hóa v khi mà ta có th thc hin liên tip mt
lot các thao tác 



 y  lên gc cây?. Câu tr li là phép




ngoài viy  lên thành gng làm gi
sâu ca các nút nt  lên gcm ni bt ca



A
B
C

D


D
C
B

A
zig-zig

Bo toàn th t gia
zig-zag

Bo toàn th t gia


A
B
C

D

C
A


B
D

cây Splay: Nhng nút truy c ng xuyên s c làm gi  sâu và
phân b gn phía gc.
Hình 5 là ví d v c và sau khi thc hin thao tác 




. Thao tác





bao gm mt phép zig-zig, mt phép zig-zag và mt phép zig.
c khi 




, 

  sâu 0, 

   sâu ca các nút



là:
          
Sau khi 




, 

  sâu 0, 

và 

  sâu 1, 

và 

  sâu 2, 


 sâu 3. T sâu ca các nút 

là:
          

Hình 5. Ví d v thao tác Splay
 Tách
Phép tách (Split) nhn vào mt danh sách trng  (biu din bi cây )
và mt ch s    thành hai danh sách: Danh sách 


(biu din bi cây 

) gm  phn t u ca  và danh sách 

(biu din bi
cây 

) gm các phn t còn li trong . Thut toán tách có th din gi
sau:
 Nu , ta gán 

 và 

 b  ng hp này danh
sách 

 và 

.



















E
D
C
B
A
F
G









B
C
D
A



E
F



G











 Nu  x nh nút 

cha phn t ng th  bng hàm




y 

lên gc cây bng lnh 





nh 

là nút
con phi ca 

. Vì th t gic bo tn, nút 

vng th 
theo th t gia. Vic cui cùng ch là ct b liên kt gia 

và nhánh con
phi 

c to thành hai cây.
Chú ý rng sau phép tách cây  thành hai cây 

và 

, ta ph 
b hc s dng na.

procedure Split(T: PNode; i: Integer; var T1, T2: PNode);
begin
if i = 0 then
begin
T1 := nilT; T2 := T;
end
else

begin
T1 := NodeAt(T, i);
//T1: nút đứng thứ i theo thứ tự giữa
Splay(T1);
//Đẩy T1 lên làm gốc cây
T2 := T1^.R;
//T2 = con phải T1
T1^.R := nilT; T2^.P := nilT;
//Cắt liên kết T1 – T2
Update(T1);
//Tính lại thông tin phụ trợ trong T1 sau khi cắt liên kết
end;
end;

 Ghép
Vic ghép ni tip danh sách 

(biu din bi cây 

) vi danh sách 

(biu
din bi cây 

c thc hi
 Nu 

, danh sách 

rn ta tr v 


.
 Nu 

   nh nút cc phi ca 

(nút cha phn t ng
cui danh sách 

), tm gi là nút y  lên gc cây bng phép 




 chc chn không có nhánh con phi. Vic cui cùng ch là cho 


làm con phi ca  và tr v cây gc .

function Join(T1, T2: PNode): PNode;
begin
if T1 = nilT then Result := T2
//T1 rỗng thì trả về T2
else
begin
while T1^.R <> nilT do T1 := T1^.R;
//Đi xuống nút cực phải T1
Splay(T1);
//Đẩy lên gốc cây
SetR(T1, T2);

//Cho T2 làm con phải T1
Update(T1);
//Cập nhật lại thông tin phụ trợ trong T1
Result := T1;
//Trả về cây biểu diễn danh sách đã ghép
end;
end;

Chú ý rng sau phép ghép cây 

và 

thành mt cây , cây 

và 

phi coi
 hc s dng na.
 Chèn, xóa, cập nhật và truy vấn
 d t các phép bia
 tách và ghép.
 chèn phn t  vào v trí , ta tách cây biu din danh sách thành hai cây




. Cây 

biu din danh sách gm  phn t u tiên và cây 


biu
din danh sách gm các phn t còn li. To nút  cha phn t  và cho 




lt là con trái và con phi nút . Vic cui cùng là cp nht li thông tin
ph tr trong nút  và tr v cây gc  biu din danh sách m 
chèn phn t .
 xóa phn t ti v trí nh nút  cha phn t ng th , thc hin




 y  lên gc cây, ct ri nhánh con trái 

và nhánh con phi 


ca  c hin ghép 

vi 

c cây biu din danh sách mi sau
n t th . Vic cui cùng là gii phóng b nh cp cho nút .
 cp nht giá tr phn t ti v trí nh nút  cha phn t ng th
y  lên gc cây bng lnh 




p nht giá tr phn t 
trong  ng thi cp nht li các thông tin ph tr ca nút .
 tính tng các phn t t v trí  ti v trí , ta tách cây biu din danh sách
thành ba cây: Cây 

biu din danh sách gm  phn t u dãy, cây 


biu din danh sách gm các phn t nm trong phm vi truy vn t  ti  và
cây 

biu din danh sách t phn t th    n cui. Cui cùng ta tr v
giá tr  và tin hành ghép 3 cây lc ra phép truy vn này


có th tr li mà không cn dng các
 n hóa vit.
2.1.6. Cài đặt
 LISTQUERY.PAS  
{$MODE OBJFPC}
program SumQueries;
type
PNode = ^TNode;
TNode = record
//Cấu trúc nút
value: Integer;
P, L, R: PNode;
len: Integer;
sum: Int64;
end;

var
sentinel: TNode;
root, nilT: PNode;

procedure Init;
begin
nilT := @sentinel;
nilT^.len := 0;
nilT^.sum := 0;
root := nilT;
end;

procedure Update(x: PNode);
//Cập nhật thông tin phụ trợ trong nút x từ hai nút con
begin
x^.len := x^.L^.len + x^.R^.len + 1;
x^.sum := x^.L^.sum + x^.R^.sum + x^.value;
end;

procedure SetL(x, y: PNode);
//Đặt y làm cont trái x
begin
y^.P := x; x^.L := y;
end;

procedure SetR(x, y: PNode);
//Đặt y làm con phải x
begin
y^.P := x; x^.R := y;
end;

//Tìm nút thứ i trong cây gốc x
function NodeAt(x: PNode; i: Integer): PNode;
var
ord: Integer;
begin
repeat
ord := x^.L^.len + 1;
if ord = i then Break;
if i < ord then
x := x^.L
else
begin
i := i - ord;
x := x^.R;
end;
until False;
Result := x;
end;

procedure UpTree(x: PNode);
//Đẩy x lên cao hơn 1 mức bằng phép quay
var
y, z: PNode;
begin
y := x^.P;
z := y^.P;
if x = y^.L then
//Quay phải
begin

SetL(y, x^.R);
SetR(x, y);
end
else
//Quay trái
begin
SetR(y, x^.L);
SetL(x, y);
end;
if z^.L = y then SetL(z, x) else SetR(z, x);
Update(y); Update(x)
//Cập nhật thông tin phụ trợ trong x và y
end;

procedure Splay(x: PNode);
//Đẩy x lên thành gốc cây
var
y, z: PNode;
begin
repeat
y := x^.P;
if y = nilT then Break;
z := y^.P;
if z <> nilT then
if (y = z^.L) = (x = y^.L) then UpTree(y)
else UpTree(x);
UpTree(x);
until False;
end;

//Tách cây T thành 2 cây T1, T2, cây T1 gồm i phần tử đầu, cây T2 gồm các phần tử còn lại
procedure Split(T: PNode; i: Integer; var T1, T2: PNode);
begin
if i = 0 then
//i = 0, cây T1 rỗng
begin
T1 := nilT; T2 := T;
end
else
begin
T1 := NodeAt(T, i);
//Nhảy đến nút thứ i
Splay(T1);
//Đẩy lên gốc
T2 := T1^.R;
//Cắt nhánh con phải ra làm T2
T1^.R := nilT; T2^.P := nilT;


Update(T1);
//Cập nhật thông tin phụ trợ trong T1
end;
end;

function Join(T1, T2: PNode): PNode;
//Ghép nối tiếp hai danh sách T1, T2
begin
if T1 = nilT then Result := T2
else
begin

while T1^.R <> nilT do T1 := T1^.R;
//Nhảy đến nút cực phải của T1
Splay(T1);
//Đẩy lên gốc
SetR(T1, T2);
//Cho T2 làm con phải
Update(T1);
//Cập nhật thông tin phụ trợ
Result := T1;
end;
end;

//Các thao tác chính trên danh sách
procedure Insert(i: Integer; v: Integer);
//Chèn v vào vị trí i
var
T1, T2: PNode;
begin
if i > root^.len then i := root^.len + 1;
Split(root, i - 1, T1, T2);
//Tách thành hai danh sách con tại vị trí chèn
New(root);
//Tạo gốc mới chứa phần tử chèn vào
root^.value := v;
root^.P := nilT;
SetL(root, T1); SetR(root, T2);
//Cho hai danh sách con vào hai bên
Update(root);
//Cập nhật thông tin phụ trợ
end;

procedure Delete(i: Integer);
//Xóa phần tử thứ i
var
x, T1, T2: PNode;
begin
x := NodeAt(root, i);
//Nhảy tới nút chứa phần tử cần xóa
Splay(x);
//Đẩy lên gốc
T1 := x^.L; T1^.P := nilT;
T2 := x^.R; T2^.P := nilT;
Dispose(x);
//Giải phóng bộ nhớ
root := Join(T1, T2);
//Ghép nối tiếp hai danh sách hai bên vị trí xóa
end;

procedure Update(i: Integer; v: Integer);
//Cập nhật giá trị phần tử thứ i
begin
root := NodeAt(root, i);
//Nhảy tới nút chứa phần tử thứ i
Splay(root);
//Đẩy lên gốc
root^.value := v;
//Đặt giá trị mới
Update(root);
//Cập nhật lại thông tin phụ trợ (sum)
end;

function Query(i, j: Integer): Int64;
//Tính tổng các phần tử từ i tới j
var
T1, T2, T3: PNode;
begin
Split(root, j, T2, T3); Split(T2, i - 1, T1, T2);
//Tách thành 3 danh sách nối tiếp T1, T2,T3
Result := T2^.sum;
//Trả về tổng các phần tử trong T2
Root := Join(Join(T1, T2), T3);
//Ghép lại
end;

procedure Solve;
var
c: Char;
k, p: Integer;
i, j: Integer;
v: Integer;
begin
ReadLn(k);
for p := 1 to k do
begin
Read(c);
case c of
'I':
begin
ReadLn(i, v);
Insert(i, v);

end;
'D':
begin
ReadLn(i);
Delete(i);
end;
'U':
begin
ReadLn(i, v);
Update(i, v);
end;
'Q':
begin
ReadLn(i, j);
WriteLn(Query(i, j));
end;
end;
end;
end;

procedure FreeMemory(x: PNode);
begin
if x = nilT then Exit;
FreeMemory(x^.L);
FreeMemory(x^.R);
Dispose(x);
end;

begin
Init;

Solve;
FreeMemory(root);
end.
Thi gian thc hin gii thut có th  ln thc hin thao tác
 và s li gi hàm . Nhn xét rng mi khi phép truy cp phn t


  gc xung mt lnh  chuyn nút
c. Chính vì vy thi gian thc hin gii thut có th 
các thao tác , s thao tác  cn thc hin là mng 



.
Các nghiên cu lý thuy ra rng mt phép  thc hin riêng r có
th mt thi gian 



vi  là s nút trên cây. Tuy vy, thi gian thc hin c
dãy gm  thao tác  tính tng li ch là 



. Tc là ta có
th coi mi phép cp nht/truy vc thc hin trong thi gian 




 - amortized analysis) khi .
c rng cây Splay có thi gian thc hin gii
thut trên mt dãy thao tác chèn/xóa/tìm kim   i cây nh
phân tìm kim tng ký pháp O ln (sai khác
mt hng s n trong ký pháp O).
2.2. Cây quản lý đoạn
Segment trees [2] là mt cu trúc d liu c thit k cho các ng
dng hình hc. Cu trúc này khá phc tc s d tr li nhiu
loi truy vn khó. c so sánh vi interval trees là mt
dng cu trúc d lip các ch
Trong mn hóa cu trúc segment trees  gii quyt bài toán
truy vn phu này làm cho cây qun ch ging vi segment
trees  hình nh biu din còn các thu c tr 
giu so vi cu trúc nguyên th li
c nhng truy vu trúc nguyên thy.
Trên các dio lun v thuc và th gii, 
gi interval trees hoc segment trees v gi tên cu trúc này,
tuy nhiên tôi không tìm th nó trong các cun sách thut toán
ph bin [3] [1] [4]. Các bài ging thu dùng tên gi interval
trees và segment trees   cp ti hai cu trúc d liu trong hình hc tính
toán. Cu trúc mà mn, tôi tm gi là cây qun lý n, ch là mt
hn ch cng hp c th.
Mi bài toán gii quyc bng cây qun u có th gic bng
cu trúc d li mc 2.1c l
Mc dù vy, cây qun cung cp mt cách qun lý mi thông qua các
p, ngoài ra vit d m ca cu trúc d
liu này. Ta gii hn li bà     ng h c bit:
không có phép chèn và xóa phn t  kho sát cu trúc d liu cây qun lý
n.
Bài toán: (Range Query 2).

Cho mt dãy gm  s nguyên 








. Xét hai phép bii:
 Phép cp nht 



t 


 Phép truy vn 



: Tr v tng các phn t t 

ti 


Yêu cu: Cho dãy  thao tác thc hin tun t, hãy tr li tt c các truy vn

Input
 Dòng 1 cha 2 s  



 Dòng 2 cha  s nguyên 






  dòng tip, mi dòng cho thông tin v mt phép bii. Mi dòng bt
u bi mt ký t 




 Nu ký t p theo là hai s nguyên  ng
vi phép cp nht 



(

)
 Nu ký t p theo là hai s nguyên  ng
vi phép truy vn 



()
Output

Tr li tt c các truy vn , vi mi truy vn in ra câu tr li trên 1 dòng
Sample Input
Sample Output
9 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9
U 1 5 //5 2 3 4 5 6 7 8 9
U 3 6 //5 2 6 4 5 6 7 8 9
Q 1 4
U 8 1 //5 2 6 4 5 6 7 1 9
Q 1 9
17
45



2.2.1. Cấu trúc
Cây qu n là mt cây nh phân  (full binary trees) có cu trúc

 Mi nút qun lý mng liên tip, trong nút cha thông tin
tng hp t ng mà nó qun lý ng hp c th này,
mi nút cha tng ca các phn t trong phm vi mà nó qun lý).
 Nút gc qung t 1 ti .
 Nu mt nút qung t  ti  () thì nút con trái
ca nó qung t  ti  và nút con phi ca nó qun lý các
ng t    ti .  






.
 Nu mt nút ch qun lý mng thì nó s là nút lá và không có nút
con. Trong mt s ng hp cc thut toán, mng  s
c gn vi mt con tr 



tr ti nút lá qun lý trc ting
.
 thun tin cho trình bày, vi mi nút   s 

và 

cho
bit  qun lý các phn t t trong mng  t ch s 

ti ch s 

.
Hình 6 là ví d v cây qun gm ng

Hình 6. Cây qun
Bổ đề 1
Vi mi s  sâu ca các nút lá trên cây qun gm 
t quá 

  


Chứng minh

Gi 



 sâu ln nht ca mt nút lá trên cây qun gm 
 xây dng cây: nút con trái ca nút gc qun lý




[1]
[2]

[3]
3]
[4]
[5]
[45]
6]
[46]
6]
ng và nút con phi ca nút gc qun lý



ng. Tc là nu xét
v  sâu:






 




  

(1)
Rõ ràng khi , ta có 



, b  
Khi , ta chng minh bng thc m





  

.
Khi  ta có 






  

, bng th
ng hp , bng thc s c chng minh bng quy np theo :








 






 

 


  

 





 





(2)
Bổ đề 2
Vi mi s  sâu ca các nút lá trên cây qun gm 
ng không nh 

  

 
Chứng minh
Gi 



 sâu nh nht ca mt nút lá trên cây qun gm 
 xây dng cây, ta có:





 





  

(3)
Rõ ràng khi , ta có 



, b  
Khi , b  c chng minh bng quy np theo :








 




 

   





 




  

  


  




  

 
(4)


B  1 và B  2 ch ra r sâu c cao ca cây là
mng 



 cho phép biu di
i gian thc hin gii thut.
2.2.2. Biểu diễn

Ta s s dng m biu din cây qun  quen thuc:
Nút g 1, nút  có nút con trái là nút , nút con phi là nút
 và nút cha nút cha



. Mun vy ta cc mng
cn khai báo.
Xét mt cây qun  cao , ta thêm cho nút cc trái ca cây mt nút lá
bên trái, gi là nút . Do phép xây dng cây, nút lá  này chc ch sâu
lt c   ln nht.
Theo   s, nút lá s có ch s 

(do nó là lá cc trái và nm
  sâu   
B  1   ra rng cây qun lý danh sách  phn t có chiu cao


  

    s ca nút lá  không bao gi t quá






  y ch s các nút còn li không t quá
  .
 d nh ng khai báo mng vi các phn t  t 1

ti .
Th tc 



i to nhánh cây gc  qui
ng 

ti 

:

procedure Build(x: Integer; low, high: Integer);
var
middle: Integer;
begin
l[x] := low; h[x] := high;
if low = high then
//Nút x là một lá quản lý duy nhất một đối tượng a[low]
begin
sum[x] := a[low]
leaf[low] := x;
end
else
//Nút x là nút nhánh và sẽ có đúng 2 nút con
begin
middle := (low + high) div 2;
Build(x * 2, low, middle);
//Khởi tạo nhánh con trái quản lý các đối tượng low…middle
Build(x * 2 + 1, middle + 1, high);

//Khởi tạo nhánh con phải quản lý các đối tượng middle + 1…high
sum[x] := sum[2 * x] + sum[2 * x + 1]);
//Tổng hợp thông tin tổng từ 2 nút con lên nút x
end;
end;

Th tc khi to cây qu  n s c thc hin bng li gi




. Vic khi tc thc hin trong thi gian 



.
2.2.3. Cập nhật
Thao tu tiên trên cây qun là phi cp nht li cây mi khi có s
 i giá tr phn t. Khi mt phn t 

b  i, ta nhy ti nút




là nút lá trc tip qun lý 

 nút  lên gc, c 
nào thì cp nht li thông tin tng 




. Sau quá trình này, tt c các nút
cha phn t 

trong phm vi qun lý s c cp nht li thông tin tng




.
Th tc 



u chnh li cây qun khi có s thay
i 



procedure Update(i: Integer; v: Integer);
var
x: Integer;
begin
x := leaf[i];
//Nhảy tới nút lá quản lý trực tiếp đối tượng i
sum[x] := v;
//Cập nhật thông tin tại lá x
while x > 1 do
//Chừng nào x chưa phải là gốc

begin
x := x div 2;
//Nhảy lên nút cha của x rồi cập nhật thông tin tổng
sum[x] := sum[2 * x] + sum[2 * x + 1];
end;
end;