Ứng dụng lấy mẫu nén (compressive sensing) trong hệ thống thông tin di động

Mục lục
Mục lục 1
Danh sách hình vẽ 2
Lời nói đầu 3
A.Tóm tắt đề tài 4
B.Nội dung 5
1.Giới thiệu về Compressive sensing 5
2 Lý thuyết cơ bản về Compressive sensing 7
2.1.Tính thưa và biểu diễn ;n hiệu 7
2.2. Ma trận đo( Measurement matrix) 9
2.3.Điều kiện khôi phục lại ;n hiệu trong Compressive sensing 11
2.4.Phương pháp khôi phục ;n hiệu 12
2.5.ApplicaFons of Compressive sensing 17
3.Ứng dụng lấy mẫu nén cho ;n hiệu Fếng nói trong hệ thống thông Fn di động 19
3.1.Giới thiệu tổng quan hệ thống 19
3.2.Triển khai thực hiện 19
C.Kết quả đạt được và công việc Fếp theo 24
TLTK 24
1
Danh sách hình vẽ
Hình 2.1 : Sơ đồ khối cơ bản Compressive sensing.
Hình 2.2 :Lấy mẫu sử dụng Compressive sensing.
Hình 2.3 . Phương pháp đo Compressive sensing.
Hình 2.4 : Khôi phục lại tín hiệu thưa bằng phương pháp lặp lại l
1
trọng số hóa.
Hình 3.1 :Sơ đồ khối hệ thống sử dụng lấy mẫu nén trong hệ thống thông tin di động.
Hình 3.2 :Tín hiệu tiếng nói đầu vào.
Hình 3.3 : Phổ năng lượng của tín hiệu tiếng nói đầu vào.
Hình 3.4 :Phổ FFT sau khi qua cửa sổ ngưỡng.
Hình 3.5 :Khôi phục phổ FFT bằng l

1
-minimization.
Hình 3.6 :So sánh lỗi giữa phổ khôi phục và thực tế.
2
Lời nói đầu.
“Compressive sensing (lấy mẫu nén) là một công nghệ đang nổi lên và mang tính đột
phá dựa vào sự thưa thớt của tín hiệu. Trong Compressive sensing ,tín hiệu được lấy mẫu
nén thưa bằng cách lấy một lượng nhỏ phép chiếu ngẫu nhiên của tín hiệu mà chứa hầu
hết các thông tin quan trọng.Gần đây,Compressive sensing được ứng dụng trong nhiều
lĩnh vực như :thông tin di động,xử lý ảnh,hệ thống radar và hệ thống sonar.Lý thuyết về
lấy mẫu nén đã có những bước đi tuy chưa thể nói là hoàn toàn thành công và ứng dụng
thực tiễn được trong cuộc sống,nhưng cũng đã ghi nhận những cố gắng của những người
tham gia nghiên cứu.Thực tập tốt nghiệp là giai đoạn quan trọng cho sinh viên hiểu biết
thêm về thực tế, gắn kết thực tế với lý thuyết chuyên ngành, là tiền đề cho việc thực hiện
Đồ án tốt nghiệp.Trong đợt thực tập tốt nghiệp lần này , em sẽ tập trung nghiên cứu về
khả năng triển khai “Ứng dụng lấy mẫu nén (compressive sensing) trong hệ thống
thông tin di động”và ảnh hưởng của nó tới tốc độ dữ liệu.
Khi thực hiện đề tài này, em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong bộ môn Kỹ
thuật thông tin ,Viện Điện tử-Viễn thông, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội,đặc biệt là
thầy Nguyễn Hữu Trung đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quá trình xác định,tìm hiểu và
thực đề tài. Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới cô Nguyễn Minh Hiền đã cung cấp thêm cho
em kiến thức và giúp em giải đáp những thắc mắc,đưa ra lời khuyên góp ý cho đề tài của
em.
Sinh viên thực hiện:Nguyễn Đức Nam.
Lớp:Kỹ sư tài năng-Điện tử Viễn Thông –K54.
3
A.Tóm tắt đề tài
Trong một hệ thống thông tin di động thông thường, các tín hiệu quan tâm được lấy
mẫu theo tần số Nyquist. Định lý lấy mẫu của Shannon/Nyquist nói rằng để đảm bảo
không bị mất thông tin và có thể khôi phục lại hoàn toàn tín hiệu thì phải lấy mẫu tín hiệu

với tần số lấy mẫu cao hơn ít nhất 2 lần băng tần của tín hiệu.Tuy nhiên,đây không phải
là phương pháp hiệu quả nhất để nén tín hiệu, vì nó đặt nhiều gánh nặng lên tín hiệu gốc
trong khi chỉ một tỷ lệ nhỏ hệ số biến đổi là cần thiết để biểu diễn tín hiệu.Kết quả gần
đây trong lấy mẫu nén cung cấp một phương pháp mới để tái tạo tín hiệu ban đầu với một
lượng rất nhỏ các hệ số. Trong Compressive sensing ,các thông tin quan trọng về tín
hiệu/ảnh được thu nhận trực tiếp, hơn là thu nhận các thông tin quan trọng khác rồi cuối
cùng sẽ bỏ đi.
.Mục đích của đề tài lần này là đề xuất một hệ thống thông tin di động mới sử dụng
Compressive sensing để nén tín hiệu tiếng nói ở bên phát và giải nén ở bên thu. Kết quả
mong đợi từ hệ thống đề xuất sẽ làm tăng tốc độ truyền dữ liệu của các hệ thống này. Để
mô phỏng Compressive sensing được áp dụng thế nào,một tín hiệu tiếng nói có dung
lượng nhỏ sẽ được ghi trong Matlab. Trong trường hợp này,tín hiệu ở đầu ra sẽ được
nhân với ma trận đo gồm các thành phần là các số được tạo ra ngẫu nhiên. Ma trận đo
được chọn bằng một cách mà các tín hiệu thưa sẽ được khôi phục một cách chính xác ở
bên thu bằng cách sử dụng một thuật toán tối ưu có sẵn khác nhau.Một khi tín hiệu đã trải
qua quá trình lấy mẫu nén ,nó đã sẵn sàng để truyền đi thông qua hệ thống di động.Tín
hiệu được truyền đi sau đó được khôi phục bởi bộ thu từ một số lượng nhỏ các mẫu quan
trọng bằng cách sử dựng bất kỳ kĩ thuật nhân tối ưu hóa đã có sẵn.Thuật toán sẽ được mô
phỏng trong MATLAB.Kết quả chỉ ra rằng nếu một cửa sổ ngưỡng được áp dụng cho tín
hiệu tiếng nói được truyền và độ dài tín hiệu được giữ nguyên thì tốc độ nén của tín hiệu
tiếng nói sẽ được tăng lên.
4
B.Nội dung
1.Giới thiệu về Compressive sensing.
Thông tin di động là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng nhất trong
lĩnh vực truyền thông. Người ta dự đoán rằng trong một vài thập kỉ nữa,một số lượng dữ
liệu đáng kế các kết nối giọng nói và dữ liệu sẽ một phần hay hoàn toàn truyền bằng
không dây.Một trong những các thách thức đề ra cho hệ thống không dây là cung cấp tốc
độ dữ liệu cao hơn trong môi trường di động.Để đạt được mục tiêu này ,một kĩ thuật lấy
mẫu mới gọi là “Compressive Sampling” có thể được sử dụng để thay thế kĩ thuật lấy

mẫu truyền thống.Compressive sensing (CS) có thể được triển khai trong hệ thống di
động bởi hầu hết tín hiệu trên thế giới hiện nay có một sự biểu diễn dạng thưa dưới cách
biến đổi miền nhất định.Trong một hệ thống thông tin liên lạc điển hình,tín hiệu được lấy
mẫu ít nhất bằng hai lần tần số cao nhất chứa trong tín hiệu .Tuy nhiên,điều này giới hạn
các cách hiệu quả để nén tín hiệu ,vì nó đặt một gánh nặng lớn trong việc lấy mẫu tín
hiệu gốc trong khi chỉ có một lượng nhỏ các hệ số biến đổi là cần thiết cho biểu diễn tín
hiệu [1].
Mặt khác,lấy mẫu nén cung cấp một phương pháp mới để khôi phục lại tín hiệu gốc
từ một số lượng nhỏ các hệ số biến đổi. CS là một mô hình lấy mẫu cho phép chúng ta đi
xa hơn giới hạn Shannon bằng cách khai thác cấu trúc thưa của tín hiệu. Nó cho phép
chúng ta thu thập và biểu diễn các tín hiệu nén ở một tốc độ nhỏ hơn tốc độ Nyquist một
cách đáng kể.Với CS,bước lấy mẫu là khá nhanh vì nó sử dụng phép chiếu tuyến tính
không thích nghi để có thể giữ được cấu trúc của tín hiệu. Sau đó,tín hiệu được khôi phục
lại từ các phép chiếu này bằng cách sử dụng các kĩ thuật tối ưu khác nhau. Trong quá
trình lấy mẫu nén chỉ các thông tin quan trọng về tín hiệu mới được thu thập, thay vì thu
thập các thông tin khác của tín hiệu sẽ bị loại bỏ ở phía thu.Bằng cách triển khai nguyên
lý này,một hệ thống thông tin di động mới đã được đề xuất,trong đó lấy mẫu nén được sử
dụng để nén và giải nén tín hiệu tiếng nói ở bên phát và bên thu để làm tăng tốc độ dữ
liệu.
5
Trong những năm gần đây,nhiều kịch bản lấy tín hiệu khác nhau được phát triển trên
thế giới.Vetterli và các đồng nghiêp [2] trình bày một phương pháp để thống nhất lấy
mẫu tín hiệu liên tục một cách đồng đều, ví dụ như “non-uniform splines “ hay “ stream
of Dirac”. Tuy nhiên,phương pháp lấy mẫu như vậy rất khó để triển khai vì cần phải có
đầy đủ thông tin về bộ phận lõi khôi phục tín hiệu trước khi lấy mẫu nó.Trong khoảng
thời gian đó,lý thuyết về CS nổi lên [1,3] chỉ ra rằng một tín hiệu rời rạc lấy mẫu không
đều có thể khôi phục lại một cách hoàn toàn với tỉ lệ thành công cao bằng cách sử dụng
các kĩ thuật tối ưu khác nhau và bằng cách xem xét một cách ít hơn các phép chiếu ngẫu
nhiên và phép đo so với chuẩn Nyquist.Các yêu tố chính cần được giải quyết trước khi sử
dụng Compress sensing là : làm thế nào để tím miền biến đổi trong đó tín hiệu có dạng

biểu diễn thưa, và làm thế nào để lấy mẫu tín hiệu một cách thưa có hiệu quả trong miền
thời gian và cuối cùng,làm thế nào để khôi phục tín hiệu gốc từ các mẫu bằng cách sử
dụng cách kĩ thuật tối ưu.
Tóm lại,số lượng lớn dữ liệu cần được lấy mẫu ở tần số Nyquist,đặc biệt là tín hiệu
tiếng nói,ảnh và video thúc đẩy việc nghiên cứu Compressive sensing như một giải pháp
khả thi cho hệ thống thông tin di động tương lai.Tín hiệu thưa được định nghĩa là tín hiệu
có thể biểu diễn bằng một số các điểm dữ liệu giới hạn trong miền biến đổi.Nhiều tín hiệu
thực có thể được phân vào loại trường hợp này bằng cách sử dụng một miền chuyển đổi
thích hợp.Ví dụ như,nếu tín hiệu x là một hình sin ,rõ ràng nó không thưa,nhưng miến
biến đổi Fourier của nó vô cùng thưa. Việc thu thập một lượng lớn dữ liệu,cộng thêm chi
phí nén có thể cải thiện bằng cách sử dụng Compressive sensing. Kết quả là sẽ có rất
nhiều tiềm năng trong việc tiết kiệm năng lượng,bộ nhớ và quá trình xử lý.
Trong cách tiếp cận đã đề xuất, một tín hiệu tiếng nói được ghi lại và lấy mẫu nén sử
dụng ma trận đo. Đầu ra của thuật toán CS là một vector quan sát được truyền đến bên
thu. Ở bên thu, phần tín hiệu được khôi phục lại từ một lượng nhỏ các mẫu quan trọng
bằng cách sử dụng các kĩ thuật tối ưu khác nhau như l
1
-norm hoặc convex optimization.
Mô phỏng MATLAB được thực hiển để nén tín hiệu tiếng nói với tần số nhỏ hơn Nyquist
6
và khôi phục lại nó sử dụng một trong cách kĩ thuật tối ưu khác nhau có sẵn mà không
làm mất bất kỳ thông tin quan trong nào.
2 Lý thuyết cơ bản về Compressive sensing
Lý thuyết về compressive sensing được phát triển bởi Candes cùng các đồng nghiệp
[3] và Donoho [1] vào năm 2004. Nó bao gồm việc lấy các phép chiếu ngẫu nhiên tín
hiệu và khôi phục lại từ một số lượng nhỏ các phép đo sử dụng thuật toán tối ưu.Trong
định lý lấy mẫu truyền thống, tín hiệu được lấy mẫu sử dụng tần số Nyquist,trong khi đó
với sự hỗ trở của Compressive sensing tín hiệu được lấy mẫu ở tần số thấp hơn tần số
Nyquist. Điều này là có thể bởi tín hiệu được biến đổi sang miền mà nó có dạng biểu diễn
thưa.Sau đó tín hiệ được khôi phục lại từ các mẫu sử dụng một trong các kĩ thuật tối ưu

khác nhau có sẵn. Sơ đồ khối cơ bản của hệ thống sử dụng CS được thể hiện trong hình 1
Hình 4.1 : Sơ đồ khối cơ bảnCompressive Sensing
2.1.Tính thưa và biểu diễn tín hiệu
Biểu diễn tín hiệu và tính thưa đóng một vai trò quan trọng trong Compressive
sensing. Cho x
∈
R
L
biểu diễn một tín hiệu thực ,giả sử rằng tín hiệu x là thưa trong cơ sở
trực giao
1 2 3
{ , , , }
N
ψ ψ ψ ψ ψ
=
với N là số chiều của tín hiệu ,thì x có thể được biểu diễn
bằng một tổ hợp tuyến tính của K ( K << N ) hàm cơ sở :
i i
K
n n
i=1
x = θ ψ
∑
(2.1)
7
Với
i
n
ψ
∈

ψ
,
{1,2,3, , }
i
n N
∈
. Cho
1 2 3
[ , , , , ]
T
N
θ θ θ θ θ
=
là vector hệ số của tín
hiệu x trong
ψ
.Phép đo ngẫu nhiên tín hiệu x có thể được biểu diễn như sau :
.y
φ θ
=
,
φ
: M x N , K < M << N (2.2)
Với
φ
là ma trận đo ngẫu nhiên đều , y là vector đo của tín hiệu x,
θ
là vector các hệ
số của tín hiệu x và
M cK

=
biểu thị số phép đo cần thiết cho việc khôi phục lại hoàn
hảo. Nếu tất cả các đầu vào của
φ
được từ một phân phối Gaussian , tín hiệu có thể được
khôi phục một cách chính xác với khả năng thành công cao khi hằng số “c” trong khoảng
3 và 5 [5].Các thủ tục sử dụng để đảm bảo tính thưa của tín hiệu được gọi là mã hóa biến
đổi,được thực hiện bởi 4 bước sau[6] :
i.Thu được đầy đủ N-điểm tín hiệu x sử dụng tần số Nyquist.
ii.Tính toán đầy đủ các bộ hệ số biến đổi ( ví dụ DFT).
iii. Xác định K hệ số lớn nhất và loại bỏ các hệ số nhỏ nhất.
iv.Nhân tín hiệu với ma trận đo để thu được vector quan sát có chiều dài M.
Hình 2 cho thấy một ví dụ về cách mà CS có thể được dùng để nén một tín hiệu thấp
hơn tần số Nyquist [7] . Trong ví dụ này,tín hiệu lấy mẫu gốc bao gồm 300 mẫu. Mục
tiêu là khôi phục lại tín hiệu sử dụng chỉ 30 mẫu. Hình 2.2(a) cho thấy biểu diễn miền
thời gian của tín hiệu lấy mẫu. Từ hình này,rõ ràng bằng cách lựa chọn 30 mẫu ( chấm
đỏ) từ 300 mẫu ,ta không thể khôi phục lại tín hiệu gốc một cách hoàn toàn.Mặt
khác,bằng cách áp dụng Compressive sensing tới biểu diễn tần số của tín hiệu,ta có thể
khôi phục hoàn toàn nó từ một số lượng nhỏ các mẫu quan trọng. Để đạt được mục tiêu
này,cần phải triển khai một kĩ thuật tối ưu. Tuy nhiên,không phải kĩ thuật tối ưu nào cũng
có thể dùng cho mục tiêu này. Ví dụ ,hình 2.2(c) biểu diễn phổ khôi phục sử dụng l
2

minimization. Rõ ràng, có những khác nhau đáng kể giữa tín hiệu trong hình 2.2(b) và tín
hiệu trong hình 2.2(c).
8
Hình 2.2 :Lấy mẫu sử dụng Compressive sensing
(a) Biểu diễn trong miền thời gian của tín hiệu gồm 300 mẫu
(b) Phổ Fourier của tín hiệu được mã hóa
(c) Khôi phục lại phổ Fourier dùng l

2
minimization
(d) Khôi phục lại phổ Fourier dùng l
1
minimization
Ngược lại,nếu khôi phục dùng l
1
minimization cho kết quả gần như là hoàn hảo. Ta
có thể thấy rõ bằng việc so sánh hình 2 (b) với hình 2(d) .Tóm lại, kĩ thuật tối ưu dựa trên
l
1
minimization sẽ được sử dụng để khôi phục lại tín hiệu trong Compressive sensing.
2.2. Ma trận đo( Measurement matrix)
Phần này sẽ đưa ra điểm nhấn quan trọng để biểu diễn tín hiệu với cơ sở rời rạc. Quá
trình đo tuyến tính được miêu tả trong hình 3 tính toán M < N tích trong giữa x và tập
hợp vec-tơ
1
{ }
M
j
φ
=
được
,
T
j j
y x
φ
=
với j = 1,…,M .

T
j
φ
biểu thị cho ma trận chuyển vị
của
j
φ
và
.,.
biểu thị cho tích trong. Cho một vec-tơ y có kích cỡ Mx1,trong ký hiệu ma
trận vec-tơ y thu được từ biểu thức :
y x
φ φψα
= =
(2.3)
9
Với
φ
là ma trận đo MxN ,mỗi hàng là một vec-tơ đo
T
j
φ
và
α
là hệ số vec-tơ với K
thành phần khác 0.Một số ma trận đo có thể được dùng trong bất kỳ hoàn cảnh nào, chỉ
cần chúng độc lập với cơ sở cố định
ψ
như Gabor,sin hay wavelets.Quá trình đo
Compressive sensing với vec-tơ x thưa K (K-sparse) được miêu tả trong hình 3:

Hình 2.3 . Phương pháp đo Compressive sensing [4]
Ma trận đo đóng vai trò quan trọng trong quá trình khôi phục lại tín hiệu gốc. Điều
này đặt ra một vấn đề thú vị : Làm sao để thiết kế một ma trận đo về cơ bản là tập hợp
của N vec-tơ K chiều ?”. Trong Compressive sensing,chúng ta có hai loại ma trận đo có
thể sử dụng: ma trận đo Random và ma trận đo đã xác định trước .Nếu một tín hiệu x
gồm N mẫu là thưa thì tín hiệu đó có thể khôi phục lại bằng việc dùng
( )
log( / )M O K N K
=
phép chiếu tuyến tính của x lên một cơ sở khác. Hơn nữa, x có thể
khôi phục hoàn toàn sử dụng các kĩ thuật tối ưu khác nhau. Nếu
φ
là một ma trận cấu trúc
ngẫu nhiên, thì các hàng của ma trận ngẫu nhiên độc lập vì chúng được ngẫu nhiên tạo ra
từ cùng một vec-tơ con ngẫu nhiên. Ma trận ngẫu nhiên được chuyển vị và trực giao hóa.
Điều này sẽ có tác dụng tạo ra một ma trận biểu diễn một cơ sở trực giao.Nếu ma trận đo
là ma trận xác định trước, ma trận có thể được tạo ra bởi các hàm như hàm Dirac và hàm
Sin .Trong trường hợp này, tín hiệu được nhận với một vài hàm Dirac tại các điểm khác
nhau để thu được vec-tơ quan sát.Sau đó tín hiệu tiếng nói có thể được khôi phục bằng
phương pháp l
1
normalization sử dụng vec-tơ quan sát và ma trận đo xác định trước.
Lập trình tuyến tính là một thủ tục khác đóng vai trò quan trọng trong việc khôi phục
lại tín hiệu gốc.Đó là một cách tiếp cận toán học được thiết kế để có được kết quả tốt nhất
trong một mô hình toán học cho trước,là trường hợp đặc biệt của lập trình toán học. Lập
trình tuyến tính có thể được diễn giải theo một số nguyên tắc sau :
Cực đại c
T
x sao cho
.A x b

≤
(2.4)
Với x biểu thị giá trị sẽ được xác định, c và b là vec-tơ các hệ số và A là ma trận của
các hệ số.Biểu thức trên mà có thể cực đại hóa hay tối thiểu hóa được gọi là hàm mục
10
tiêu và phương trình
.A x b
≤
xác định những hạn chế mà hàm mục tiêu có thể tối ưu hóa
được.Cuối cùng,việc khôi phục lại tín hiệu tiếng nói phụ thuộc vào vec-tơ quan sát và ma
trận đo.
2.3.Điều kiện khôi phục lại tín hiệu trong Compressive sensing
2.3.1 .Restricted Isometric Property (RIP)
Phát triển gần đây trong lý thuyết tín hiệu đã chỉ ra rằng tín hiệu thưa là một mô hình
hữu ích trong một số lĩnh vực như : thông tin, radar và xử lý ảnh.Vì thế giả thiết rằng mỗi
tín hiệu có thể biểu diễn ở dạng thưa đã giúp cho việc nén tín hiệu được quan tâm.Sự
khôi phục lại hoàn toàn tín hiệu x phụ thuộc vào ma trận đo
φ
và vec-tơ đo y. Lý thuyết
Compressive sensing nói rằng khi ma trận
φ
thỏa mãn điều kiện gần trực giao Restricted
Isometric Property (RIP)[8] thì nó có thể khôi phục K hệ số quan trọng lớn nhất từ một
bộ
( )
log( / )M O K N K
=
phép đo y cùng kích cỡ. Điều kiện RIP nói rằng cho vec-tơ x
bất kỳ có K hệ số khác 0, với
0

δ
>
thì
φ
cần thỏa mãn điều kiện sau :
2 2 2
2 2 2
(1 ) (1 )x x x
δ φ δ
− ≤ ≤ +
(2.5)
Kết quả là ,tín hiệu thưa có thể khôi phục lại bởi một số kĩ thuật tối ưu khác nhau
như kĩ thuật tối ưu l
1
norm .Kĩ thuật tối thiểu hóa đầu tiên được dùng để khôi phục lại tín
hiệu là l
1
minimization
(P1) min
1
l
x
sao cho
x y
φ
=
(2.6)
Còn được gọi là thuật toán đuổi khớp cơ bản (P1).Mục đích của kĩ thuật này là tìm
những vec-tơ có l
1

-norm nhỏ nhất
1
1
n
i
l
i
x x
=
=
∑
(2.7)
L
1
-norm còn được biết đến với tên gọi Taxicab norm hay Manhattan norm. Kết quả
thu được trong [9,10] chỉ ra rằng, nếu một tín hiệu x đủ thưa ,tín hiệu có thể được khôi
phục lại dựa trên thuật toán đuổi khớp cơ bản (P1) . Các kĩ thuật tối ưu khác gọi là tối ưu
convex (cvx) sẽ giải quyết các vấn đề có quy mô nhỏ và vừa .Dùng cvx cực tiểu hóa tín
hiệu để khôi phục lại tín hiệu gốc [11].
11
2.3.2.Incoherence (Điều kiện độc lập)
Trong khi điều kiện RIP cung cấp sự đảm bảo cho việc khôi phục lại tín hiệu thưa K
(K-sparse), việc kiểm tra lại ma trận A có thỏa mãn hay không là một bài toán tổ hợp phứ
tạp,vì mỗi trường hợp cần xem xét
( )
n
k
ma trận con.Trong nhiều trường hợp,có thể tính
toán một cách dễ dàng hơn để đảm bảo khôi phục lại tín hiệu nhờ điều kiện độc lập.Giá
trị liên kết của ma trận A ,

( )A
µ
, là giá trị tuyệt đối tích trong lớn nhất giữa hai cột bất
kì a
i
, a
j
của A :
1 i < j n
2
2
,
( ) max
i j
i j
a a
A
a a
µ
≤ ≤
=
(2.8)
Có thể dễ dàng nhận thấy giá trị liên kết của ma trận
( )A
µ
nằm trong khoảng
,1
( 1)
n m
m n

 
−
 
−
 
. Chú ý rằng khi n >> m ,cận dưới có thể xấp xỉ rằng
( ) 1/A m
µ
≥
.
Điều kiện độc lập được phát biểu như sau[86].Nếu :
1 1
1
2 ( )
k
A
µ
 
< +
 ÷
 
(2.9)
Thì với mỗi vec-tơ đo
m
y R
∈
luôn tuồn tại nhiều nhất một tín hiệu x thưa K (K-
sparse) sao cho
y Ax
=

.
2.4.Phương pháp khôi phục tín hiệu
Khôi phục lại tín hiệu đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết Compressive sensing
khi tín hiệu được tái tạo hoặc phục hồi từ một số lượng tối thiểu các phép đo.Bằng cách
sử dụng những kĩ thuật tối ưu hóa ở bên thu,chúng ta có thể khôi phục lại tín hiệu mà
không làm mất thông tin.Với phương pháp lấy mẫu nén,sau khi thu được tín hiệu
y x
φ
=
thì bài toán đặt ra là tìm lại tín hiệu x từ các giá trị y.Tới nay,đã có một loạt bài báo liên
quan đến việc khôi phục lại tín hiệu từ thông tin không đầy đủ một cách gần chính xác
nhất.
2.4.1.Thuật toán khôi phục l
1
minimization
Chúng ta cần khôi phục lại x,tức là tìm lại chính xác các giá trị x[n] , n=1,2…N khi
mà chỉ có M phép đo y.Tuy nhiên do M < N tức là số phương trình thiết lập được là nhỏ
12
hơn số ẩn cần tìm, do đó sẽ có vô số các nghiệm thỏa mãn, và tất nhiên nếu không cho
thêm bất kỳ thông tin gì về nghiệm cần tìm thì ta sẽ không thể tìm được nghiệm chính
xác.
Tuy nhiên,trong trường hợp này,tín hiệu mà chúng ta cần khôi phục là đã biết về
mặt cấu trúc ,nó là tín hiệu thưa K hay tín hiệu có thể nén được.
Về mặt toán học, dưới giả thiết tín hiệu x là thưa, chúng ta có thể khôi phục lại tín
hiệu x bằng các phương pháp minimization.
•
Sử dụng l
0 :
$
0

min
l
x x=
(2.10)
sao cho
y x
φ
=
Ở đây
{ }
0
# : 0
i
l
x i x
= ≠
.Phương pháp này có thể cho phép khôi phục chính xác
dữ liệu bằng cách kiểm tra từng dữ liệu để thỏa mãn phương trình trên,tuy nhiên tốc độ
tính toán của phương pháp là chậm,do đó thuật toán này ít được sử dụng trong thực tế và
không sử dụng trong lấy mẫu nén.
•
Sử dụng l
2:
$
2
2
1
min min
N
i

l
x x
i
x x x
=
= =
∑
(2.11)
sao cho
y x
φ
=
Phương pháp này cho đáp án dạng gần đúng
$
T T -1
=θ (θ θ ) yx
. Tuy nhiên, l
2
minimization gần như không bao giờ tìm ra một nghiệm thưa K. Phương pháp này không
khôi phục đúng dữ liệu
•
Sử dụng l
1
:
$
1
1
min min
N
i

l
x x
i
x x x
=
= =
∑
(2.12)
sao cho
y x
φ
=
Thuật toán này có thể khôi phục chính xác tín hiệu thưa K sử dụng M phép đo
tuyến tính với
log( / )M cK N K
≥
.Phương pháp này sử dụng trong Compressive sensing
cho việc khôi phục dữ liệu.
13
Nghiên cứu gần đây ( tháng 10 năm 2007), Emmanuel J.candèc,Michael B.Walkin
và Stephen P.Boyd đã cải tiến phương pháp này cho phép khôi phục tín hiệu chính
xác hơn gọi là phương pháp L
1
minimization được trọng số hóa ( Reweighted L
1

minimization ). Phương pháp này khôi phục tín hiệu bằng phương trình sau :
1
1
min W min w

N
i i
l
x x
i
x x x
=
= =
∑
)
(2.13)
Với điều kiện :
0
(0)
0
(0)
0.4857.
256
l
l
x x
x m
∞
− =
= =
Ở đây ma trận W là ma trận chéo với w
1
,w
2
,…,w

n
là các trọng số dương nằm trên
đường chéo,các trọng số còn lại bằng 0.
Các trọng số dương của ma trận W này được tính toán bằng các bước thuật toán sau
đây:
1.Thiết lập l = 0 và w
i
(0)
= 1, i = 1,…,N.
2.Tính :
1
( ) ( )
argmin W
l l
l
x x
=
với điều kiện
y x
φ
=
.
3.Cập nhật các trọng số : với mỗi i = 1,2, ,N :
( 1)
( )
1
w
l
i
l

i
x
+
=
+∈
4.Kết thúc tính toán nếu l hội tụ hoặc l đạt tới một giá trị cực đại lặp đi lặp lại
l
max.
Nếu không, tăng l và quay trở lại bước 2.
Tham số
∈
được đưa ra ở bước 3 để đảm bảo sự ổn định và chắc chắn rằng nếu có
giá trị x
(l)
= 0 không ngăn cấm việc ước lượng khác 0 ở bước tiếp theo.Sử dụng thuật
toán lặp đi lặp lại để xây dựng trọng số (w
i
) có xu hướng cho phép ước lượng thành công
hơn vị trí các hệ số khác 0. Mặc dù các lần lặp lại đầu tiến có thể cho ước lượng tín hiệu
chưa chính xác,nhưng các hệ số tín hiệu lớn nhất có khả năng được nhận dạng khác 0 .
Một khi các vị trí này được tìm thấy ,chúng có ảnh hưởng làm giảm trọng số để tăng
cường độ nhạy tìm những hệ số khác 0 còn lại có giá trị nhỏ.
Hình 4 minh họa sự linh động này bằng một ví dụ phục hồi tín hiệu thưa. Hình
2.4(a) là tín hiệu gốc có chiều dài n =512 với 130 đỉnh khác 0. Chúng ta dùng m = 256
phép đo với ma trận
φ
là ma trận chuẩn thông thường độc lập. Thiết lập
∈
= 0.1 và l
max

=
2. Hình 2.4(b)-(d) vẽ biểu đồ phân tán hệ số theo hệ số, với hệ số tín hiệu gốc x
0
với giá
14
trị khôi phục lại x
(l)
. Nếu dùng lặp lại không trọng số hóa ( hình 2.4(b)), chúng ta thấy
rằng tất cả hệ số lớn của x
0
được xác định chính xác khác 0 và
(1)
0
0.240
l
x x c
x
φ
∞
− =
Ở lần
lặp lại đầu tiên,
0
(1)
256
l
x m
= =
, với 15 đỉnh khác không của x
0

được khôi phục lại
bằng 0 và 141 đỉnh bằng 0 của x
0
được khôi phục lại là khác 0.Sau bước lặp lại trọng số
tiếp theo ( hình 4(c),kết quả được cải thiện với
(1)
0
0.2407
l
x x
∞
− =
,
0
(1)
256
l
x m
= =
, 6
đỉnh khác không của x
0
được khôi phục lại bằng 0 và 132 điểm bằng 0 được khôi phục
lại khác 0 .Sự ước lượng tín hiệu đã được cải thiện đủ để khôi phục tín hiệu một các
hoàn toàn ở bước lặp lại trọng số thứ hai ( hình 2.4(d)).
Hình 2.4 : Khôi phục lại tín hiệu thưa bằng phương pháp lặp lại l
1
trọng số hóa.
(a) Tín hiệu gốc x
0

n = 512 với 130 đỉnh.
15
(b) Biểu đồ phân tán hệ số theo hệ số, của x
0
với tín hiệu khôi phục x
(0)
dùng l
1
minimization không trọng số.
(c) Tín hiệu khôi phục x
(1)
sau lần lặp lại trọng số đầu tiên.
(d) Tín hiệu khôi phục x
(2)
sau lần lặp lặp trọng số tiếp theo.
2.4.2.Thuật toán khôi phục Orthogonal Matching Pursuit
Orthogonal matching Pursuit (OMP- Thuật toán đuổi khớp trực giao) là một “giải
thuật tham lam”(Greedy Algorithm) kinh điển cho xấp xỉ tín hiệu thưa.Giải thuật tham
lam là một thuật toán giải quyết bài toàn theo kiểu khám phá, tìm kiếm lựa chọn tối ưu
địa phương ở mỗi bước đi với hi vọng tìm được tối ưu toàn cục. Chúng ta có thể lựa
chọn giải pháp nào được cho là tốt nhất ở thời điểm hiện tại và sau đó giải bài toán con
nảy sinh từ việc thực hiện lựa chọn vừa rồi. Lựa chọn của thuật toán tham lam có thể
phụ thuộc vào các lựa chọn trước đó. Nhưng nó không thể phụ thuộc vào một lựa chọn
nào trong tương lai hay phụ thuộc vào lời giải của các bài toán con. Thuật toán tiến triển
theo kiểu thực hiện các chọn lựa theo một vòng lặp, cùng lúc đó thu nhỏ bài toán đã cho
về một bài toán con nhỏ hơn. Giải thuật tham lam quyết định sớm và thay đổi đường đi
thuật toán theo quyết định đó, và không bao giờ xét lại các quyết định cũ.
Nhắc lại bài toán của chúng ta, với
φ
đại diện cho ma trận kích thước M x N ( mà

thường M<N) và y biểu thị cho 1 vec-tơ trong R
M
, mục đích của OMP là khôi phục lại 1
vec-tơ
$
x
với K < M hệ số khác 0 sao cho
x
φ
xấp chỉ hay chính xác bằng y. Do tín hiệu x
là thưa K, tức là chỉ có K thành phần khác 0,các thành phần còn lại bằng 0 . Như vậy,
mỗi thành phần y
i
là sự kết hợp tuyến tính của K thành phần từ K cột của ma trận
φ
.Do
đó để khôi phục tín hiệu x dài N từ M thành phần của vec-tơ y chúng ta cần tìm 1 tổ hợp
K cột trong ma trận
φ
( có số cột là N ) ( N > M > K ) để thỏa mãn :
y x
φ
=
Bài toán lại trở về giống như tìm các từ trong một quyển từ điển để ghép thành câu
có nghĩa nào đó. Và chúng ta sử thuật toán OMP ( Orthogonal matching pursuit) để thực
hiện điều này.
Đầu vào :
•
Ma trận
m x n

1
( )
n
i i
A a R
=
= ∈
và vec-tơ x
∈
R
n
.
•
Ngưỡng lỗi
∈
.
Thuật toán :
16
1.Khởi tạo k = 0.
2.Khởi tạo nghiệm ban đầu x
0
= 0.
3.Khởi tạo giá trị dư ban đầu r
0
= y – Ax
0
= y.
4.Khởi tạo giá (tập con mà tại đó giá trị hàm số khác 0) ban đầu S
0
=supp x

0
=
∅
.
5.Lặp lại các bước
6. thiết lập k = k + 1.
7. chọn i
0
sao cho
1 1
2
min min
o
k k
c i c i
ca r ca r
− −
− ≤ −
với mọi i.
8. thiết lập
1
0
{ }
k k
S S i
−
= ∪
.
9. tính
2

x arg min Ax
k
x
y
= −
với điều kiện supp x = S
k
.
10. tính r
k
= y – Ax
k
.
11. tới khi
2
k
r
ε
<
.
Đầu ra :
Nghiệm gần đúng x
k
.
Một trong những đặc điểm đáng chú ý của OMP là tính đơn giản. OMP là thuật
toán có tính cạnh tranh cao về hiệu suất xấp xỉ.
2.5.Applications of Compressive sensing.
2.5.1.Compressive imaging
Phương pháp phổ biến nhất trong hệ thống ảnh kĩ thuật số là có thể thu được càng
nhiều pixels càng tốt và sau đó nén ảnh đã chụp bằng phương tiện kỹ thuật số [12]. Nén

được mong muốn làm tăng dung lượng lưu trữ và tăng cường quá trình thông tin liên lạc.
Kĩ thuật nến khai thác sự dư thừa về mặt thị giác thông thường của con người tới việc
cảm nhận hình ảnh. Sau khi chụp ảnh quang học và áp dụng nén dữ liệu,ảnh được biểu
diễn bằng một số lượng nhỏ hơn các pixel so với ảnh gốc.Việc giải nén hình ảnh phải
thỏa mãn chất lượng hình ảnh mà ta muốn.Điều này gợi lên cho ta một câu hỏi : có cần
thiết phải thu toàn bộ mẫu ảnh và rồi nén nó? .Câu trả lời chính là sự phát triển gần đây
trong lý thuyết lấy mẫu nén.Ý tưởng cơ bản cho việc thực hiện Compressive sensing là
khôi phục lại một ảnh khi có thể thậm chí với ít hơn số lượng phép đo hơn số lượng
pixel trên danh nghĩa.
2.5.2.Medical imaging.
Một trong những ứng dụng hứa hẹn nhất dùng lấy mẫu nén là ứng dụng hình ảnh
trong y tế. Máy scan MRI lấy mẫu các dòng với “k-space”. Lấy mẫu mỗi dòng mất thời
17
gian và năng lượng đưa vào bệnh nhân [13] . Với công nghệ MRI đã được cải tiến,
người ta mong muốn hơn là sử dụng cường độ trường cao hơn để phân tích các bộ dữ
liệu lớn hơn,như ảnh 3D hay ảnh động. Một số kĩ thuật làm giảm số lượng mẫu đã được
sử dụng như K-t BLAST , K-t SENSE và K-t vDUST khai thác mối tương quan tuyến
tính trong các chuỗi hình ảnh. Ngược lại ,Lusting và đồng nghiệp [13] đã có những kết
quả sơ bộ cho thấy có thể khai thác tính thưa thớt theo thời gian của dữ liệu.
2.5.3.Chuyển đổi tương tự sang số.
Analog-to-digital converters (ADC) đã được sử dụng trong cảm biến và thông tin
do sự tiến bộ trong sử lý tín hiệu số.Quá trình ADC dựa trên định lý lấy mẫu Nyquist
,lấy mẫu đều tín hiệu với tốc độ tối thiểu bằng 2 lần băng thông để có thể khôi phục tín
hiệu hoàn toàn.Ứng dụng nổi lên như phát hiện radar hay truyền thông băng siêu rộng
đang đẩy mạnh các giới hạn của ADC. Những phát triển gần đây trong lĩnh vực lấy mẫu
nén đã giúp cho việc thiết kế các bộ ADC có thể thu được các mẫu ở tần số lấy mẫu thấp
hơn.
2.5.4.Radar nén.
Lý thuyết mới của compressive sensing có thể dùng trong hệ thống hình ảnh radar
được thiết kế để xác định khoảng cách ,độ cao, hướng và tốc độ di chuyển cũng như các

đối tượng cố định [6]. Tín hiệu radar thu được có thể được khôi phục lại với số lượng
phép đo ít hơn bằng cách giải một bài toán ngược thông qua một chương trình tuyến tính
hay “thuật toán tham lam”. Với việc triển khai compressive sensing trong hệ thống
radar,sự cần thiết cho việc nén xung kết hợp với bộ lọc ở phía người nhận và bộ chuyển
đổi ADC hoạt động ở tần số Nyquist cao có thể xóa bỏ. Kết quả là, sự phức tạp cũng
như chi phí phần cứng bên có thể giảm được một cách đáng kể.
2.5.5. Lấy mẫu nén trong hệ thống truyền thông di động.
Mục đích của nỗ lực nghiên cứu này là thực hiện lấy mẫu nén trong hệ thống di
động.Bằng cách sử dụng kĩ thuật lấy mẫu nén, tín hiệu tiếng nói được mã hóa trước ở
phía phát có thể gửi đến được bên thu thông qua kênh truyền không dây.Kết quả là, một
lượng nhỏ các mẫu được truyền ,và điều này làm tăng tốc truyền dữ liệu khi so sánh với
hệ thống truyền thông hiện tại .Trong hệ thống truyền thông đề xuất,tín hiệu tiếng nói
18
được lấy mẫu với tần số thấp hơn tần số Nyquist bằng cách dùng Compressive sensing.
Phổ nén sau đó đưuọc truyền thông qua hệ thống không dây và khôi phục thành công ở
bên thu mà không làm mất đi bất kỳ thông tin quan trọng nào
3.Ứng dụng lấy mẫu nén cho tín hiệu tiếng nói trong hệ thống thông
tin di động
3.1.Giới thiệu tổng quan hệ thống
Lấy mẫu nén trong hệ thống thông tin động ra đời với mục đích tăng tốc độ dữ liệu
truyền đối với mạng di động hiện nay và có thể áp dụng cho các thế hệ mạng di động
tiếp theo. Bằng cách sử dụng kĩ thuật lấy mẫu nén, tín hiệu tiếng nói được mã hóa trước
ở phía phát có thể gửi đến được bên thu thông qua kênh truyền không dây.Kết quả là,
một lượng nhỏ các mẫu được truyền ,và điều này làm tăng tốc truyền dữ liệu khi so sánh
với hệ thống truyền thông hiện tại.
Ở bên thu,tín hiệu được khôi phục hoàn toàn từ một số lượng nhỏ các phép đo
bằng các kĩ thuật tối ưu khác nhau như l-norm hay tối ưu convex.
Sơ đồ khối cơ bản của hệ thống đề xuất :
Hình 3.1 :Sơ đồ khối hệ thống sử dụng lấy mẫu nén trong hệ thống thông tin di động.
3.2.Triển khai thực hiện

Trong giai đoạn đầu tiên của dự án, một tín hiệu tiếng nói được tạo ra sử dụng bộ
tạo tín hiệu ngẫu nhiên Laplace ( hình 3.2).Việc quyết định sử dụng bộ tạo tín hiệu
Laplace để mô hình hóa tín hiệu, bởi vì các loại tín hiệu tiếng nói thông thường có phân
19
bố Laplacian [14].Tín hiệu tiếng nói đã được mô hình hóa được ánh xạ vào miền tần số
rời rạc sử dụng FFT. Kết quả thu được từ phép biến đổi này được biểu diễn trong hình
3.3.
Trong giai đoạn thứ hai ,trước khi áp dụng Compressive sensing cho tín hiệu. một
của sổ ngưỡng được sử dụng để loại ra đâu là hệ số quan trọng với tín hiệu. Nói cách
khác, tất cả các hệ số với biên độ nhỏ được nhân với 0.
Hình 3.2 :Tín hiệu tiếng nói đầu vào
20
Hình 3.3 : Phổ năng lượng của tín hiệu tiếng nói đầu vào.
Trong hình 3.4,chúng ta có thể thấy biểu diễn của phổ FFT sau khi cửa sổ ngưỡng
được áp dụng. Mục đích của cửa sổ ngưỡng là đảm bảo rằng phổ FFT là thưa.
21
Hình 3.4 :Phổ FFT sau khi qua cửa sổ ngưỡng.
Trong giai đoạn thứ ba, phổ ngưỡng được nhân với ma trận đo là ma trận được tạo
ngẫu nhiên.Đầu ra của thuật toán lấy mẫu nén được chuyển đổi sang tín hiệu số bằng
cách sử dụng bộ chuyển đổi ADC để có thể truyền qua hệ thống di động. Ở bên thu,một
tín hiệu dự đoán ban đầu được tạo ra bằng cách sử dụng ma trận đo và vec-tơ quan sát
(vec-tơ tín hiệu) ,có dạng gần với tín hiệu tiếng nói đầu vào. Cuối cùng, tín hiệu tiếng
nói được khôi phục lại bằng các sử dụng kĩ thuật tối ưu có sẵn.Tín hiệu đã được khôi
phục ở đầu ra của module tối ưu được biểu diễn trong hình 3.5. Sự khác nhau giữ tín
hiệu thực tế và tín hiệu khôi phục được tính toán để quan sát lỗi giữa hai tín hiệu . Lỗi
này được thể hiện trong hình 3.6.
22
Hình 3.5 :Khôi phục phổ FFT bằng l
1
-minimization

Hình 3.6 :So sánh lỗi giữa phổ khôi phục và thực tế
23
C.Kết quả đạt được và công việc tiếp theo
Trong giai đoạn thực tập tốt nghiệp, em đã hoàn thành được công việc lựa chọn đề
tài để làm đồ án tốt nghiệp là “ Ứng dụng lấy mẫu nén (Compressive sensing) vào hệ
thống thông tin di động”.Với việc nắm chắc được lý thuyết về Compressive sensing,em
đã đề ra được kế hoạch và xây dựng được mô hình thực hiện bài toán dành cho hệ thống
theo ba bước :
1.Tạo tín hiệu ngẫu nhiên Laplace cho bên phát.
2.Dùng cửa sổ ngưỡng để làm thưa hóa tín hiệu và áp dụng lấy mẫu nén cho tín
hiệu.
3.Khôi phục tín hiệu ở bên thu dùng l
1
-minimization.
Công việc trong giai đoạn tiếp theo là mô phỏng hệ thống trên Matlab một cách
đơn giản và chính xác nhất có thể, sau đó sẽ so sánh với các phương pháp nén khác
như :Wavelet,
TLTK
[1] D.L. Donoho, "Compressed Sensing," IEEE Transactions on Information
Theory, vol. 52, pp.1289-1306, 2006.
[2] M. Vetterli, P. Marziliano, and T. Blu, “Sampling Signals with Finite Rate
of Innovation,” IEEE Transaction on Signal Process, vol. 50, no. 6,
pp.1417-1428, 2002.
24
[3] E. Candes, J. Romberg, and T. Tao, “Robust Uncertainty Principles: Exact
Signal Reconstruction from Highly Incomplete Frequency Information,”
IEEE Transaction on Information Theory, vol. 52, pp. 489–509, 2006.
[4] “Compressive Sensing, a New Frame for Imaging”,
Reading Seminar/Papers/Baraniuk06.pdf.
[5] E. Candes and J. Romberg , “Practical Signal Recovery from Random

Projections,” Processing SPIE International Symposium Electronic
Imaging, pp. 76–86, vol. 5674, 2005.
[6] R. Baraniuk and P. Steeghs, "Compressive Radar Imaging," Radar
Conference, 2007 IEEE, doi:10.1109/RADAR.2007, pp.128-133, 2007.
[7] Compressive Sensing,
/CSFornasier Rauhut.pdf.
[8] E. J. Candès, “Compressive sampling,” in Int. Congress of
Mathematicians, Madrid, Spain, 2006, vol. 3, pp. 1433–1452.
[9] E. Candes and T. Tao. “Near-optimal Signal Recovery from Random
Projections and universal encoding strategies,” IEEE, vol. 52, pp. 5406 –
5425, 2004.
[10] Disciplined convex programming,
2010.
[11] S.M. Kay. Fundamentals of statistical signal processing. Prentice Hall,
1998.
[12] Compressive Sensing, />[13] MATLAB CENTRAL,
fileexchange/7309.
[14] FFT Tutorial, />25