Luận văn thạc sĩ toán học tích phân stratonocvich

1
LỜI CẢM ƠN


Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu cùng quý thầy cô, cán bộ
công nhân viên tại trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên nói chung, và các thầy cô thuộc bộ
môn Xác Suất Thống Kê nói riêng đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện tốt nhất
cho tôi trong suốt thời gian theo học tại trường cũng như trong thời gian thực hiện luận
văn này.
Đặc biệt, tôi hết lòng biết ơn Thầy hướng dẫn, TS. Dương Tôn Đảm, người đã tận
tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi về chuyên môn, kinh nghiệm để hoàn thành luận văn này một
cách tốt nhất.
Tôi cũng không quên gửi lời biết ơn đến bố mẹ, anh chị em cùng các đồng nghiệp
đã luôn sẵn sàng giúp đỡ động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn
này đúng thời hạn quy định.

Sau cùng vì kiến thức bản thân còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu xót,
tôi rất mong được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè
đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn.

Tp Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2011

Hà Mạnh Linh

2
LỜI NÓI ĐẦU

Tích phân ngẫu nhiên là một công cụ quan trọng trong giải tích ngẫu nhiên, trong
đó phương trình vi phân ngẫu nhiên có rất nhiều ứng dụng trong thực tế. Tích phân ngẫu
nhiên có nhiếu loại: Tích phân Wiener, tích phân Itô, tích phân Stratonovich…
Trong luận văn này, chúng ta nghiên cứu về tích phân Stratonovich; năm 1960 nhà
vật lý người nga R.L.Stratonovich đã đưa ra một lọai tích phân ngẫu nhiên mới được gọi là
tích phân ngẫu nhiên Stratonovich và sử dụng cách kí hiệu “
o
” để phân biệt với tích phân
Itô.
Một điều khá thú vị khi nghiên cứu về tích phân Stratonovich là sự liên hệ giữa tích
phân Stratonovich với tích phân Itô và tích phân cổ điển. Điều này thể hiện ở chỗ, tích
phân Stratonovich cũng được tính giống như công thức tích phân Leibniz-Newton. Không
những vậy, ta cũng có thể tính được tích phân Itô thông qua tích phân Stratonovich và
ngược lại.
Ngoài ra, trong chương IV chúng ta sẽ thấy được mối liên hệ rất đặc biệt giữa
phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô và phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich.

Luận văn gồm có 4 chương
 Chương I Kiến thức cơ sở
 Chương II Tích phân Stratonovich
 Chương III Tích phân theo lớp các quá trình ngẫu nhiên
 Chương IV Phương pháp số để giải phương trình vi phân ngẫu nhiên









3

MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn……………………………………………………………………………………………………………………………………….1
Lời nói đầu……………………………………………………………………………………………………………………………………….2
Mục lục………………………………………………………………………………………………………………………………………………3
Ch
ương I Kiến thức cơ sở……………………………………………………………………………………………….……4
1.1. Tích phân ngẫu nhiên……………………………………………………………………………….……………4
1.2. Tích phân Wienner……………………………………………………………………………………………….…7
1.3. Tích phân ngẫu nhiên Itô…………………………………………………………………………………….11
Chương II Tích phân Stratonovich
………………………………………………………………………………….14
2.1. Tích phân Stratonovich………………………………………………………………………………….……14
2.2. Biến phân bậc hai của quá trình ngẫu nhiên………………………………………….………15

2.3. So sánh tích phân Stratonovic với tích phân Itô và tích phân cổ điển……16
Chương III Tích phân theo lớp các quá trình ngẫu nhiên…………………………….……….20
3.1. Tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Levy
………………………………………….…………22
3.2. Tích phân Wiener-Itô………………………………………………………………………………………….…26
Chương IV Phương pháp số để giải phương trình vi phân ngẫu nhiên
……… ….41
4.1. Khai triển Itô-Taylor
………………………………………………………………………………………………41
4.2. Xấp xỉ tích phân ngẫu nhiên
……………………………………………………………………….………45
4.3. Phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich………………………….…………………49
Kết luận-hướng phát triển …………………………………………………………………………………… …………….54
Bảng các ký hiệu đặc biệt
……………………………………………………………………………………….………………55
Tài liệu tham khảo………………………………………………………………………………………………………….…………56








52

MỘT SỐ KÝ HIỆU ĐẶC BIỆT
Ký hiệu Định nghĩa Trang
2
d

( , [ , ])
a
L L a b


Tập các quá trình ngẫu nhiên thỏa điều kiện:
 f(t) là phù hợp

2
( )
b
a
f t dt
 

; h.c
16
1
d
( , [ , ])
a
L L a b


Tập các quá trình ngẫu nhiên thỏa điều kiện:
 f(t) là phù hợp

( )
b
a

f t dt
 

; h.c
16
2
[a,b]
L

Tập các hàm thực bình phương khả tích trên [a,b] 27
2 2
[a,b]
L
Tập các hàm thực bình phương khả tích trên
2
[ , ]
a b

30
2
[a,b]
n
L
Tập các hàm bình phương khả tích trên
[a,b]
n

36
(1)
I

(1,1)
I

(0,1)
I

(1,0)
I

(1,1,1)
I




(Xem các hệ thức trong (4.1.7) )
43

4
CHƯƠNG I
KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong phần này chúng ta nói về hai khái niệm cơ bản khi nghiên cứu về tích phân ngẫu
nhiên; đó là tích phân Wiener và tích phân Itô.

1.1 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
1.1.1. Khái niệm về độ đo ngẫu nhiên trực giao
Cho T là một khoảng hữu hạn hoặc vô hạn của trục thực và các nửa khoảng có
dạng
( , ]
s t T
  
.
Xét hàm tập
( )


nhận các giá trị trong khoảng không gian Hilbert
2
L
và thỏa các
tính chất sau:

1 2 1 2
( ) ( ) ( )
  
      
với mọi
1 2

,
 
không giao nhau (1.1)
( tính cộng tuyến )

1 2
( ( ), ( )) 0
  
  
với mọi
1 2
,
 
không giao nhau (Tính trực giao)(1.2)

( )

  

trong đó
t s
  
với
( , ]
s t
 
(1.3)
Ta thác triển hàm tập cộng tính trực giao nói trên lên các tâp

biểu diễn được dưới

dạng hợp một số đếm được các nửa khoảng không giao nhau
( , ]
k k k
s t
 
, khi đó ta đặt:
( ) ( )
k
K
 
  


Từ tính chất nêu trên ta sẽ có
2
2 2
( ) ( ) ( )
k k
k k
dt
  

       
 


hoặc viết dưới dạng:
2
( )
E dt dt



. Và ta gọi
( )


là độ đo ngẫu nhiên trực giao.



1.1.2. Tích phân theo độ đo ngẫu nhiên trực giao




5
Ta xác định tích phân ngẫu nhiên
( ) ( )
T
t dt
 

đối với hàm không ngẫu nhiên
( )
t


thỏa điều kiện
2
( )

T
t dt

 


Trước hết ta xét tích phân của các hàm hằng số từng đoạn, tức là các hàm
chỉ nhận giá trị là hằng số trên các khoảng không giao nhau

,
: ( )
k y k
T t y t

    

Ta xác định tích phân ngẫu nhiên tương ứng với nó là
( ) ( ) ( )
k k
k
T
t dt y
  
 



Đối với các hàm hằng từng đoạn ta sẽ có tính chất sau:
1 1 2 2 1 1 2 2
[ ( ) ( )] (dt)= c ( ) (dt)+c ( ) (dt)

T T T
c t c t t t
      

  

2
2
( ) ( ) ( )
T T
t dt t dt
  

 


1 2 1 2
( ) (dt), ( ) (dt) ( ). ( )
T T T
t t t t dt
     
 

 
 
  

Xét hàm
( )
t


bất kỳ thỏa điều kiện (1.4), tồn tại dãy các hàm hằng từng đoạn
( )
n
t

xấp xỉ
( )
t

theo nghĩa:
2
( ) ( ) 0
n
t t dt
 
  


Nếu ta xét dãy các tích phân tương ứng, theo các tính chất (1.6), (1.7) khi
,
n m
 
, ta sẽ có:
 
2 2
2
2 2
( ) (dt)- ( ) (dt) [ ( ) ( )] ( )
( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0
n m n m
T T T
n m
n m
t t t t dt
t t dt
t t t t dt
      
 
   
 
 
    
  



Nghĩa là dãy các tích phân đó là dãy cơ bản trong không gian Hilbert
2
L
.
Vậy tồn tại giới hạn
(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)





6

( ) ( ) lim ( ) (
n
n
T T
t dt t dt
   


 
)
(1.9)
Ta gọi đó là tích phân ngẫu nhiên của
( )
t

theo độ đo ngẫu nhiên
(
dt

)
Chú ý

 Theo định nghĩa trên tích phân ngẫu nhiên khơng phụ thuộc vào cách chọn dãy hàm
xấp xỉ
( )
n
t


 Thơng thường chúng ta thường xét độ đo ngẫu nhiên có các giá trị kỳ vọng bằng 0.
khi đó ta sẽ có:
( ) ( ( ),1) 0
( ) ( ) ( ) ( ),1 0
T T
E
E t dt t dt
 
   
   
 
  
 
 
 

Hệ thức đó sẽ được bảo tồn khi ta chuyển qua giới hạn (1.9) trong
2
L
.

1.2 TÍCH PHÂN WIENER
Trong mục này ta xây dựng tích phân Wiener dạng:

( ) ( )
b
a
f t dW t


Trong đó
2
( ) [ , ]
f t L a b

. Trước tiên ta đònh nghóa tích phân trên cho các hàm
đơn giản. Nếu
f
là hàm đơn giản tức là
f
có dạng


Trong đó
0 1 2

n
a t t t t b
     
là một phân hoạch hữu hạn của [a,b],
( )
k
c
là

các số thực
1
[ , ]
k k k
A t t


còn
A
I
ký hiệu hàm chỉ tiêu của tập hợp A. Trong trường hợp
f

có dạng (4.2) trên thì
1
1
0
( ) ( ) ( )
k k
b
n
k t t
k
a
f t dW t c W W



 



.
Gọi S là không gian các hàm đơn giản trên [a,b]. Ta đã biết rằng S là một không
gian tuyến tính con của
2
[ , ]
L a b
. Ký hiệu
1
0
k
n
k A
k
f c I




(1.2.1)





7
( ) ( ) ( )
b
a
I f f t dW t



.
Ta có định lý sau:
Đònh lý 1.2.1.
Với
f S

thì
2
( ) ( )
I f L
 
và là
đại lượng ngẫu nhiên
Gauss có trung
bình 0 và phương sai
2
L
f
. Hơn nữa ánh xạ
2
: ( )
I S L
 
là tuyến tính, đẳng cự và bảo
toàn tính vô hướng tức là
( ) ( ) ( )
( )
( ), ( ) ,

I af bg aI f bI g
I f f
I f I g f g
  



Chứng minh. Ta chú ý rằng
1
( )
k k
t t
W W


, (k= 0,1,2,…,n-1) là dãy các đại lượng ngẫu
nhiên độc lập có kỳ vọng và phương sai (
1
k k
t t


). Do đó
I(f
) có kỳ vọng 0 và
1
2
2
1
0

2
2
( ) ( )
( )
n
k k k
k
b
a
I f c t t
f t dt f



 
 



Tính chất tuyến tính là hiển nhiên. Tính chất bảo toán tích vô hướng suy từ tính
chất đẳng cự và đẳng thức hình bình hành
2
2
,
4
u v u v
u v
  

.

Vì S là trù mật trong
2 2
[ , ] ( )
L a b L
 
tuyến tính, đẳng cự và bảo toàn tích vô
hướng. Ta đònh nghóa với mỗi
2
[ , ]
f L a b


( ) ( ) ( )
b
a
I f f t dW t



Từ tính chất của ánh xạ
I(f
) ta suy ra các tính chất cơ bản sau của tích phân
Wiener




8
2
2

( ) ( ) 0,
( ) W( ) ( ) W( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ( ) 0,( ),
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,( ).
b
a
b b
b
a
a a
b b
a a
c b
a d
c b
c
a
a a
E f t dW t
E f t d t g t d t f t g t dt
Var f t dW t f t dt
E f t dW t g t dW t a c b
E f t dW t g t dW t f t g t dt a c b

 

 
 
 


 
 
 

 
 
 
  
 
 
 
  
 
 

  
 
 
  

Ñònh lyù 1.2.2
1.

N
ếu hàm f(t) liên tục trên [a.b] thì

1
0
( ) W( ) : lim ( )[W( ) W( )],

b
n
i i i
t
a
f t d t f s t t


 



khi

=max
1
0
i i
t t

 
trong
đó

là phân hoạch tùy ý
1 2 1

o n
a t t t t b


     
,
i
s
là
các điểm tùy ý thuộc
1
[ , ]
i i
t t

. Sự hội tụ là trong
2
L
.

2. (Công thức tích phân từng phần ) Nếu hàm f(t) khả vi liên tục trên [a,b] thì
( ) W( ) ( )W( ) ( )W( ) ( )W( )
( )W( ) ( )W( )
b b
a a
b
b
a
a
f t d t f b b f a a f t t dt
f t t f t t dt

  


 
 




Chứng minh.
1. Vì f(t) liên tục trên [a,b] nên liên tục đều trên [a,b] do đó
0, 0
 
   
sao cho
nếu
t s

 
thì
( ) ( )f t f s

 
.
Đặt
1
( , ]
0
( ) ( )
i i
n
i t t
i

g t f s I





,trong đó

 
, ta suy ra




9
2
( ) ( ) ( ).
b
a
f t g t dt b a


  


Mặt khác
 
2
1
0

2
2
2
( )[W( ) W( )] ( ) W( )
( ) ( ) W( ) ( ) ( ) ( ).
b
n
i i i
i
a
b b
a a
E f s t t f t d t
E g t f t d t f t g t dt b a



 
  
     


 

Thành thử
1
0
0
lim ( )[W( ) W(t )] ( ) W( )
b

n
i i i
i
a
f s t f t d t



 



ở đây sự hội tụ là ở trong
2
L
.
2. Ta có
1
0
0
1 1
0
0
( ) W( ) lim ( )[W( ) W( )]
lim ( )W( ) ( )W( ) W( )[ ( ) ( )]
b
n
i i i
i
a

n
i i i
i
f t d t f s t t
f b b f a a t f t f t

 

 
 

  
 
   
 
 




Lại có
1
1 1 1
0 0
W( )[ ( ) ( )]= W( ) ( )
i
i
t
n n
i i i i

i i
t
t f t f t t f s ds

  
 


 


Do đó suy ra
1
1
1
0
1
0
W( ) ( ) W(t ) ( )
( ) . W( ) W( ) ( )
i
i
i
i
t
b
n
i
i
a t

t
n
i
i
t
s f s ds f s ds
f s s t ds K b a







 


   

 



Trong đó
[ , ]
sup ( )
s a b
K f s




còn
W( ) W( )u v

 
nếu
u v

 
do ánh xạ
2
W( ): [ , ] ( )
t a b L
 
là liên tục đều. Vậy
1 1
0
0
lim W( )[ (t ) ( )] W( ) ( )
b
n
i i i
i
a
t f f t t f t ds
 
 


 




Công thức tích phân từng phần đã được chứng minh.
W





10

1.3.TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITÔ

Ta muốn mở rộng tích phân Wiener cho phép hàm dưới dấu tích phân là một hàm
ngẫu nhiên. Chúng ta sẽ định nghĩa tích phân
0
( ) ( , )
T
t
I f f t w dW



Cho một lớp nào đó các hàm ngẫu nhiên.
Ký hiệu
t
F
là


-trường bé nhất sinh bởi các đại lượng ngẫu nhiên
{W , }.
s
s t

Chúng ta quan niệm rằng
t
F
là các thông tin về lịch sử của
W
s
cho tới thời
điểm t. Ta có
s t
F F

nếu s<t tức là họ (
t
F
) là một bộ lọc. Ta gọi đó là lọc tự nhiên sinh
từ quá trình (
t
W
).
Định nghĩa 1.3.1
Giả sử f(t,w) là một hàm ngẫu nhiên xác định trên
[0, )
  
. Ta nói rằng f(t,w) là
phù hợp ( đối với lọc (

t
F
) ) nếu đối với mỗi t ánh xạ
w ( ,w)
f t


Là
t
F
-đo được .
Định nghĩa 1.3.2
Ký hiệu N=N(0,T) là lớp các hàm ngẫu nhiên
( ,w) :[0, )
f t R
 

Thỏa mãn điều kiện
1.
( ,w) f(t,w)
t a
là đo được đồng thời theo cả hai biến nghĩa là
F
 
đo được, ở
đó B là

-trường Borel của
[0, )


.
2.
( ,w)
f t
là phù hợp.
3.
2
0
[ ( , w) ] .
T
E f t dt
 


4. Tư tưởng của việc xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô cũng tương tự như tư tưởng
xây dựng tích phân Wiener. Trước hết ta định nghĩa I(f) cho các hàm sơ cấp .
5. Một hàm
f N

được gọi là sơ cấp nếu có dạng

( ,w) (w) ( )
i
i A
i
f t c I t


(1.3.1)

11

trong đó
1
( , ]
i i i
A t t


và
( )
i
A
lập thành một phân hoạch hữu hạn của [0,T]. Chú ý rằng vì
f(t,w) là phù hợp nên ta có
i
c
là
i
t
F
-đo được .
Bây giờ đối với hàm sơ cấp f(t,w) có dạng (3.1) ta định nghĩa
1
( ) (w)[W W ].
i i

i t t
i
I f c

 


Ta có các nhận xét quan trọng sau.
Bổ đề 1.3.3.
Ta có đẳng thức sau (gọi là đẳng cấu Ito)


2
2
0 0
( , w) W ( ,w) .
T T
t
E f t d E f t dt
 

 
 
 

Chứng minh. Ký hiệu
1
W W .
i
i t t

Z

 
Khi đó với i<j
( ) [ ( ]
[ ] 0.
j
i j i j i j i j t
i j i j
E c c Z Z E E c c Z Z F
E c c Z EZ

 

Nếu i=j thì
2 2 2 2 2
1
( ) ( )( ).
i i i i i i i
E c Z Ec EZ E c t t

  

Vậy

Bổ đề 1.3.4
Giả sử
f N

bị chặn và

(., w)
f
liên tục với mỗi w. Khi đó tồn tại dãy hàm sơ cấp
( )
n
g N

sao cho
2
0
( ) 0
T
n
E f g dt
 
 
 
 

khi
.
n
 

Chứng minh. Định nghĩa
1
( , ]
( ,w) ( , w)I
i i
n i t t

f
g t t



.
Khi đó
n
g
là hàm sơ cấp ,
g N

và vì
(.w)
f
liên tục nên
2
0
( ) 0
T
n
f g dt
 

khi
n
 
với mỗi w.
Theo định lý hội tụ bị chặn
2

,
2 2
1
0
( ) ( )
( )( ) [ ( ,w) ].
i j i j
i j
T
i i i
i
EI f E c c Z Z
E c t t E f t dt


  



W




12


2
0
( ) 0

T
n
E f g dt
 
 
 
 

khi
n
 
.
W

Từ đó ta định nghĩa tích phân Itô cho hàm ngẫu nhiên f thuộc lớp N theo hệ thức
sau :
0 0
( ) ( , w) W : lim ( , w) W
T T
t n t
n
I f f t d g t d

 
 

Vậy tích phân Itô là một ánh xạ I từ không gian
2 2
( ) ([0, ] , , es )
L BF L T BF m P

  
vào không gian
2
( , , )
L F P

thỏa mãn các tính chất
sau.
Tính chất 1:Ánh xạ I là tuyến tính
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( )
I f f I f I f
   
  

với
1

,
2

là những hằng số và
2
1 2
, ( )
f f L BF

.
Tính chất 2:Ánh xạ I là đẳng cự từ
2

( )
L BF
vào
2
( , , )
L F P


2 2
2
2
0
( , , ) ( )
( ) ( ,w)
( )
T
L F P L BF
E I f E f t dt
I f f





Tính chất 3:
1, 2 2 1
[ ]
0
W (W W )
T

t t t t t
I d
 
 


Trong đó

là biến ngẫu nhiên đo được đối với
1
1 2
( )
t
F t t

và bình phương khả tích
Tính chất 4(Bảo toàn tính vô hướng): Với
( ,w), ( ,w)
f t g t N

ta sẽ có:




0 0 0
( ,w) W . ( , w) W ( , w) ( , w)
T T T
t t
E f t d g t d E f t g t dt


  

Bằng cách xác định tương tự như trên ta định nghĩa tích phân
0
( , w) W
t
s
f s d

,
(0, ]
t T
 











13

CHƯƠNG II
TÍCH PHÂN STRATONOVICH
2.1. TÍCH PHÂN STRATONOVICH

Khái niệm về tích phân Wiener và tích phân Itô ta đã nói trong chương I, trong
phần này ta sẽ xét khái niệm về tích phân Stratonovich.
Cho
[0, ]
T R

và
0 1
{ 0 }
m
t t t T
      
là một phân hoạch của
[0, ]
T
, với
1
{0,1, , 1}
ax ( )
k k
k m
m t t

 
  
và
1,
(1 ) {0,1, , 1}, [0,1]
k k k
r t t k m

  

      
khi đó ta định
nghĩa
0
1
1
0
0
( ( ), ) W(s) lim ( ( ), )(W(t ) W( )).
t
m
k k k k
k
t
B X s s d B X r r t


 

 



Trong tích phân ngẫu nhiên Itô ta có
0


dẫn đến

k k
r t

, đó là để đánh giá một
tích phân ngẫu nhiên tại đầu mút bên trái
k
t
của mỗi đoạn nhỏ
1
[ , ]
k k
t t

. Bây giờ ,thay vì
cho đầu mút trái. Ta chọn điểm chính giữa
1/ 2


khi đó
1
( ) / 2
k k k
r t t

 
của mỗi đoạn
nhỏ đó, thì ta đi tới định nghĩa một loại tích phân ngẫu nhiên mới là tích phân
Stratonovich.
Định nghĩa
Tích phân Stratonovich được định nghĩa bởi giới hạn theo nghĩa bình phương

trung bình của tổng
n
S
:
1
1
1
0
[W W ]
2
k k
m
k k
n t t
k
t t
S f





 
 
 
 


Với f(t,w) là hàm ngẫu nhiên và f(t,w) phù hợp
Khi

1
0 1
ax 0,
k k
k m
m t t

  
 
và kí hiệu bởi
0
( ,w) W
t
s
f s d

o









14

2.2. BIẾN PHÂN BẬC HAI CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Định nghĩa

Cho
( )
t
X
và
( )
t
Y
là hai quá trình liên tục, xác định với
0
t

. Ta gọi biến phân bậc
hai của hai quá trình ấy và kí hiệu là [X,Y] là một quá trình ngẫu nhiên xác định bởi một
giới hạn hầu chắc chắn sau đây, nếu nó tồn tại:
1 1
1
1
. .
0
ax
0
[X,Y] lim ( )( )
k k k k
k k
m
h c c
t t t t t
t t
m

k
X X Y Y
 


 

  


với mọi phân hoạch
0 1
0
n
t t t t
    

Nếu X=Y thì ta dùng kí hiệu [X,X]=[X].
Tính chất
1.
0
[X,Y] 0


2.
[ , ] [ , ]
X Y Y X


3.

1 1 2 2 1 2 2
[a , ]=a [ , ] [ , ]
X a X Y X Y a X Y
 

Biến phân bậc hai của một số quá trình
1. Nếu W là một chuyển động Brown tiêu chuẩn thì
[W ]
t
t


2. Nếu X là một quá trình Poisson tiêu chuẩn thì mac-tin-gan Poisson
t t
Y X t
 
có
biến phân bậc hai là
[Y]
t
t


3. Nếu X và Y là hai quá trình Itô cho bới:
0 1 1
0 0
( , w) s ( , w) W ,
t t
s
X X h s d f s d 

 

0 2 2
0 0
( , w) s ( , w) W ,
t t
s
Y Y h s d f s d 
 

Thì
1 2
0
[X,Y] ( , w) ( , w) s
t
t
f s f s d



2.3.SO SÁNH GIỮA TÍCH PHÂN STRATONOVICH VỚI TÍCH PHÂN ITO VÀ
TÍCH PHÂN CỔ ĐIỂN
Xem xét một tích phân đơn giản trong Leibniz-Newton:

x
b
x b a
a
e d e e
 


(2.3.1)

Tương tự trong tính toán Itô, với t=b ta có phương trình




15

( ) ( ) ( ) ( )
1
( )
2
b b
B t B b B a B t
a a
e dB t e e e dt
  
 
(2.3.2)

Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng ý tưởng của Itô để xác định tích phân Stratonovich bên
trong lớp của quá trình Itô.
Định nghĩa 2.3.1.
Cho
t
X
và
t

Y
là một quá trình Itô. Tích phân Stratonovich của
t
X
đối với
t
Y
được
xác định bởi
1
( )( )
2
b b b
t t t t t t
a a a
X dY X dY dX dY
 
  
o
(2.3.3)

hoặc
1
( )( )
2
t t t t t t
X dY X dY dX dY
 o
(2.3.4)
Với

t
X
,
t
Y
được xác định bởi
( ) ( ) ( ) s
t t
t a
a a
X X f s dB s s d

  
 
,
a t b
 

( ) ( ) ( ) s
t t
t a
a a
Y Y g s dB s s d

  
 
,
a t b
 

Với
,
a a
X Y
là
a
F
-đo được ,
2
, ( , [ , ])
ad
f g L L a b
 
;
1
, ( , [ , ])
ad
L L a b
 
 

và
( )( ) ( ) ( )
t t
dX dY f t g t dt

. Khi đó phương trình (2.3.3) trở thành
1
( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ))
2

b b b
t t t t
a a a
X dY X g t dB t X t f t g t dt

  
  
o

(2.3.5)
Vì
t
X
là một quá trình ngẫu nhiên liên tục do đó hầu hết tất cả các thành phần của
nó là hàm liên tục. Khi đó ta có:
2
2
2
( ) sup ( )
b b
t s
a a
a s b
X g t dt X g t dt
 
  
 
, hầu chắc chắn.
Do
2

d
( ) ( , [ , ]).
t a
X g t L L a b
 
Tương tự như vậy,
( ) sup ( )
b b
t s
a a
a s b
X t dt X t dt
 
 
  
 
, hầu chắc chắn.
Do
1
d
( , [ , ]).
a
X L L a b

 
Và theo bất đẳng thức Schwarz
1/2
1/2
2
2

( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f t g t dt f t dt g t dt
 
 
  
 
 
 
 
  
, hầu chắc chắn.




16

Bởi vậy
1
d
( , [ , ]).
a
fg L L a b
 
Từ phương trình (2.3.5) với b=t ta có quá trình ngẫu
nhiên
t
t s s

a
L X dY


o
cũng là một quá trình Itô.
Ta có định lý tiếp theo sau:
Định lý 2.3.2. Nếu
t
X
,
t
Y
là những quá trình Itô, khi đó quá trình ngẫu nhiên
b
t s s
a
L X dY


o
,
a t b
 

cũng là một quá trình Itô.
Ví dụ 2.3.3.
Để tính tích phân
( )
( )

b
B t
a
e dB t

o
, ta sử dụng công thức Itô:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1
( ) ( )( ( ))
2
1 1
( ) ( ( ) ) ( )
2 2
1
( )
2
B t
B t B t
B t B t B t
B t B t
e dB t
e dB t de dB t
e dB t e dB t e dt dB t
e dB t e dt
 

  
 
o

Do đó, chúng ta có
( ) ( ) ( )
1
( ) ( )
2
b b b
B t B t B t
a a a
e dB t e dB t e dt
 
  
o

Sử dụng công thức (2.3.2) cho ta
( ) ( ) ( )
( )
b
B t B b B a
a
e dB t e e
 

o

Thông thường, để xem xét một hàm F(t,x). Ta có thể sử dụng phương trình (2.3.4)
và công thức Itô để tính

2 2 3
2 3
2
2
( , ( )) ( )
1
( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ( ))
2
1 1
( ) ( ) ( )
2 2
1
( , ( )) ( ) ( , ( )) .
2
F
t B t dB t
x
F F
t B t dB t d t B t dB t
x x
F F F F
dB t dt dB t dt dB t
x x t x x
F F
t B t dB t t B t dt
x x


 
 

 
 
 
 
 
   
   
 
    
 
 
 
 
o

Mặt khác bằng công thức Itô, ta có




17

2
2
1
( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( )) .
2
F F F
dF t B t t B t dt t B t dB t t B t dt
t x x

  
  
  

Vì vậy ta có phương trình
( , ( )) ( ) ( , ( )) ( , ( )) .
F F
t B t dB t dF t B t t B t dt
x t
 
 
 
o

Từ phương trình này ta có định lý tiếp theo sau:
Định lý 2.3.4.Cho F(t,x) là một nguyên hàm của f(t,x).Giả sử
, ,
F f f
t t x
  
  
là liên tục. Khi
đó
( , ( )) ( ) ( , ( )) ( , ( ))
b b
a
b
a a
F
f t B t dB t F t B t t B t dt

t

 

 
o

Thông thường hàm f không phụ thuộc vào t, ta có
( , ( )) ( ) ( ( )) .
b
b
a
a
f t B t dB t F B t

o
(2.3.6)
Công thức này cho thấy tích phân Stratonovich cũng được tính giống như công
thức tích phân Leibniz-Newton. Ngoài ra ta cũng có thể tính được tích phân Itô thông qua
tích phân Stratonovich
1
( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) ( ( ))
2
b b b
a a a
f t B t dB t f t B t dB t f B t dt

 
  
o

(2.3.7)

Ví dụ 2.3.5
Tính giá trị của tích phân Itô
sin ( ) ( )
b
a
B t dB t

và tích phân Stratonovich
sin ( ) ( )
b
a
B t dB t

o

Áp dụng (2.3.6) ta có:
sin ( ) ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( )
b
b
a
a
B t dB t B t B b B a
    

o

Áp dụng (2.3.7) ta có:
1

sin ( ) ( ) sin ( ) ( ) cos ( )
2
1
cos ( ) cos ( ) cos ( )
2
b b b
a a a
b
a
B t dB t B t dB t B t dt
B b B a B t dt
 
   
  

o

Ví dụ 2.3.6




18

Tính tích phân
( )
0
( )
t
B s

e dB s

o

Ta có
( ) ( ) ( )
0
( ) 1
t
B s B s t B t
o
e dB s e e
  

o

Phương trình này còn có thể viết dướng dạng khác là
( ) ( )
( ).
B t B t
de e dB t
 o

Do đó
( )
B t
t
X e

là một nghiệm của phương trình

0
( ), 1.
t t
dX X dB t X
 
o

Mặt khác ta có
1
( )
2
B t t
t
Y e


là một nghiệm của phương trình
0
( ), 1.
t t
dY Y dB t Y
 
(2.3.8)
Để ý rằng
1
( )
2
t
B t
Ee e

 . Vì vậy
/ EX
t t t
Y X
.
Ví dụ 2.3.7
Để tính tích phân Ito
0
W W
t
s s
d

ta có thể chuyển sang tích phân Stratonovich để
tính:
2
0 0
1
W W W W [W, W] W
2
t t
s s s s t
d d t
   
 
o

19

CHƯƠNG III
TÍCH PHÂN THEO LỚP CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
3.1 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN THEO QUÁ TRÌNH LEVY
Trước hết ta sẽ tìm hiểu về quá trình Levy.
Định nghĩa 3.1.1 (Quá trình cộng tính)
Quá trình ngẫu nhiên
{ : 0}
t
X t

với không gian pha
n

R
được gọi là một quá trình cộng
tính nếu nó thỏa các tính chất sau:
(1) Với mọi cách chọn
0 1
0
m
t t t
   
,các đại lượng ngẫu nhiên
0 1 0 1
, , ,
m m
t t t t t
X X X X X

 
là các số gia độc lập .
(2)
0
0
X

h.c
(3)
t
X
là liên tục ngẫu nhiên
(4)
(w)

t
X
có giới hạn trái khi
0
t

và liên tuc phải khi
0
t


 Nếu điều kiện (4) không được thỏa thì ta nói rằng
{ : 0}
t
X t

là quá trình cộng tính
theo luật ( an additive process in law )
Định nghĩa 3.1.2 (Quá trình Levy)
Quá trình ngẫu nhiên
{ : 0}
t
X t

với không gian pha
n
R
, được gọi là quá trình Levy nếu
nó thỏa các điều kiện (1),(2),(3),(4) trong định nghĩa 2.4.1 nêu trên và kèm theo điều kiện:
(5) Phân phối của

1
s s
X X


không phụ thuộc vào s ( hay còn gọi là có số gia dừng
hoặc thuần nhất theo thời gian )
 Nếu quá trình
{ : 0}
t
X t

chỉ thỏa điều kiện (1),(2),(3),và (5) thì ta gọi nó là quá trình
Levy theo luật (a Levy process in law)
 Tóm lại ta có thể nói gọi rằng quá trình Levy là quá trình liên tục ngẫu nhiên có số gia
dừng và độc lập.

Tính chất 3.1.3.Cho
{ : 0}
t
X t

là quá trình Levy trên
n
R
với phân phối
1 0
( )L X



ta sẽ
có:



0 0
ˆ
exp , ( ) exp{ ( )}
t
t
E i x X x t x
 
 





20

Chứng minh


   
0
0 0
ˆ
( ) exp ,
ˆ ˆ
exp , . exp , ( ) ( )

s t
t s
t s
t s
s t
x E x X X X
E i x X E i x X x x

 


   
 

Lấy logarit hai vế hệ thức trên ta có
0 0 0
ˆ ˆ ˆ
log ( ) log ( ) log ( )
t s
s t
x x x
  

 

Đặt
0
ˆ
( ) log ( )
x

t
t x
 

ta có :
( ) ( ) ( ) (0)
x x x x
t s t t s
s s
   
   

khi
0
s

ta có :
0
( ) (0): ( )
x x
t x
  
 
 
(
0
( )
t

được gọi là đặc trưng mũ của

t
X
)
0
( ) ( )
x
t t x
 
 
vậy suy ra
0
ˆ
log ( )
t
x

=
0
( )
t x


Suy ra
0
ˆ
( )
t
x

=

0
exp{ ( )}
t x

.
W

 Phép phân tích Lêvy-Itô:
Cho
( )
t

là quá trình Lêvy,khi đó nó có phân tích sau :
0 0
( ) W ( , ) ( , )
T T
t
z L z L
t t zN t dz zN t dz
  
 
   
   
% %
(3.1.1)
với
; ; [0, ); ( , )
R R L N dt dz
 
   

%
là độ đo bước nhảy bù của
( )
t

được xác định
bởi:
( , ) : ( , ) ( )
N dt dz N dt dz v dz dt
 
%
, và
W
t
là quá trình Wiener tiêu chuẩn.
1. Với mỗi
0
( )
R
 

quá trình
: ( , )
t
M N t B

%
là martingale.
2. Nếu
0; L


  
ta gọi
( )
t

là martingale Lêvy.
3. Nếu


( ) ; 0
E t t

   
khi đó nếu chọn
L
 
ta sẽ có phân tích:
( ) W ( , )
R
t
t t zN t dz
  
  

%

4.Ta thấy rằng nếu quá trình Lêvy
( )
t


có các quy đạo liên tục thì nó có thể biểu
diễn dưới dạng:
( ) W
t
t t
  
 

5.Nếu ta giả định rằng,


( ) ; 0
E t t

   

ta sẽ có




21

2
( )z v dz
 


Với độ đo Lêvy của

( )
t

được xác định bởi hệ thức:


0
( ) : (1, ) ; ( )
v U E N U U R

 

Khi đó từ phân tích (3.1.1) sẽ suy ra:
0
1
0
( ) W ( s, )
t
t
R
t t zN d d z
  
  
 
%

Trong đó
1
( )
z L

zv dz
 

 


 Quá trình Lêvy thuần bước nhảy:
Nếu trong phân tích (3.1.2) có
0


, thì quá trình
( )
t

được gọi là quá trình Lêvy
thuần bước nhảy. Hay nói một cách khác quá trình Lêvy thuần bước nhảy là quá trình
có dạng:
0
0
( ) ( s, )
t
R
t t z N d d z
 
 
 
%

Trong đó


là một số thực nào đó.
Định nghĩa 3.1.4
Cho
0 1
0 t t
   
và hàm f(s) trên
0 1
[ , ]
t t
được gọi là hàm bậc thang nếu
0 0 1 1

n
t s s s t
    
ta có:

1,
1
( ) ( )
j j
n
j
s s
j
f s a I s

 

 



với
1, 2
, ,
n
a a a R

(3.1.3)
Khi f(s) là hàm bậc thang, ta định nghĩa tích phân:
1
1
0
1
( ) ( )
j j
n
t
s j s s
t
j
f s dX a X X


 


(3.1.4)

 Chú ý rằng phân phối của đại lượng trên là khả phân vô hạn với hàm đặc trưng
cho bởi biểu thức sau:



 
1 1
0 0
0
exp , ( ) exp ( ) s
t t
t t
E i x f s dXs f s x d


 
(3.1.5)
(3.1.2)





22

Chứng minh
 
1
1
00

1
0
1
1 0
1
1 0
1
0
exp , ( ) exp ,
exp( ) ( )
exp ( ) ( )
exp ( ) s.
j j
n
t
s j s s
t
j
n
j j j
j
n
j j j
j
t
t
E z f s dZ E i a z Z Z
s s a z
s s a z
f s z d










  
 
 
 
 
 






W

 Nếu
0 0 0
( , , )
A v

là bộ ba cơ sở (generating triplet) của
0


khi đó


,
0 0 0 0
{ 1}
1
( ) , , 1 , 1 ( )
2
n
i x i
y
R
x x A x i x e i x y y v dy
 

     

(3.1.6)
Tính chất 3.1.5
Cho f(s) là hàm đo được bị chặn , xác định trên


0 1
,
t t
và nhận giá trị thực sao cho
tồn tại những hàm bậc thang bị chặn đều
( )

n
f s

1,
n n

trên


0 1
,
t t
và
n
f f


hầu chắc chắn khi đó
1
0
( )
t
n s
t
f s dX

hội tụ đều đến một đại lượng ngẫu nhiên X theo
xác suất. Giới hạn X đó không phụ thuộc vào cách chọn dãy
n
f f


. Phân phối
của X là khả phân vô hạn và ta có biểu diễn
1
0
0
exp , exp ( ( ) ) s
t
t
E i z X f s z d





(3.1.7)
Chứng minh
Dựa vào tính liên tục của hàm
0


0
(( ( ) ( )) ) s 0
n m
f s f s z d

 
hầu chắc chắn theo s,khi
,
n m

 
, ta có:
1
0
0
(( ( ) ( )) ) s 0
t
n m
t
f s f s z d

 


,
n m
 

Từ đó ta suy ra:

1 1
0 0
( ) ( ) 0
t t
n s m s
t t
f s dZ f s dZ
 
 
theo xác suất bởi vậy nó sẽ tiến về 0 theo metric. Do

đó tồn tại một đại lượng ngẫu nhiên X là giới hạn theo xác suất của các đại lượng ngẫu
nhiên
1
0
( )
t
n s
t
f s dZ

.Bởi vì
1
0
( )
t
n s
t
f s dZ

là khả phân vô hạn nên phân
phối của X cũng là khả phân vô hạn. Hơn thế nữa:




23

1 1
0 0
0 0 1 0

1
( ( ) ) s ( )( ) ( ( ) ) s
n
t t
n j j j
t t
j
f s z d a z s s f s z d
  


  

 

Theo định lý Lebesgue về sự hội tụ bị chặn. Khi đó ta sẽ có:


1 1
0 0
0
exp , ( ) exp ( ( ) ) s
t t
n s
t t
E i z f s dZ f s z d


 

Từ đó theo (3.1.3) ta sẽ suy ra (3.1.5)
Để chứng minh giới hạn X không phụ thuộc vào cách chọn dãy
( )
n
f s f


Ta giả sử
( )
n
g s f

(s) hầu chắc chắn ( cả
( )
n
f s
và
( )
n
g s
đều bị chặn ). Khi đó
Eexp
1 1
0 0
0
, ( ) exp (( ) ) s 1
t t
n n s n n
t t
i z f g dZ f g z d


   
 

Khi
n
 
thì ta sẽ có
1
0
t
n s
t
f dZ

-
1
0
0
t
n s
t
g dZ


theo xác suất.
W

Định nghĩa (3.1.6)
Biến ngẫu nhiên X trong tính chất (3.1.3) gọi là tích phân ngẫu nhiên của hàm f(s)

đo được bị chặn trên
0 1
[ , ]
t t
theo quá trình Levy
{ : 0}
t
X t

và ta ký hiệu:
1
0
( )
t
s
t
X f s dX


(3.1.8)
 Các tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Levy có một số tính chất đặc biệt sau:
Tính chất 3.1.7
Nếu f(s) là một hàm đo được bị chăn địa phương trên
[0, )

; khi đó tồn tại một
quá trình cộng tính
{ , 0}
t
Y t


sao cho
0
t
 
ta có:
0
( ) 1
t
t
P Y f s dXs
 
 
 
 


 Để chứng minh tính chất này ta chỉ sử dụng tính chất dừng và độc lập của các số
gia của các quá trình Levy và hệ thức (3.1.3).
Tính chất 3.1.8
Cho f(s) và g(s) là các hàm đo được bị chặn trên


0 1
,
t t
,khi đó:
1 1
0 0 0
1

( ) s ( ) ( ) ( ) s
t t
u u
t u
s
t
t t
g s d f u dX f u dX g s d

   
h.c (3.1.9)
Hệ quả 3.1.9 (Công thức tích phân từng phần )
 Từ tính chất 3.1.8 ta có thể thu được công thức tích phân từng phần của tích phân
ngẫu nhiên theo quá trình Levy như sau: