Lý thuyết về tính chất từ của các electron dẫn

1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN


LƯU ĐỨC BẰNG


LÝ THUYẾT VỀ TÍNH CHẤT TỪ CỦA CÁC ELECTRON DẪN

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT
Mã số: 10201

LUẬN VĂN THẠC SĨ: VẬT LÝ LÝ THUYẾT



HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS NGUYỄN NHẬT KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

2
Lời cảm ơn


Trước hết cho em được gởi lời tri ân chân thành và sâu sắc đến thầy PGS.TS
Nguyễn Nhật Khanh, người thầy tận tụy hết lòng hướng dẫn em thực hiện bản luận
văn này.
Nhân đây em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Bộ Môn Vật Lý Lý

Thuyết đã tận tình giúp đở, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian học tại trường.
Mặc dù đã cố gắng nhưng chắc chắ
n bản luận văn này khó tránh khỏi những
thiếu sót, kính mong quý thầy cô góp ý bổ sung.


Tp Hồ Chí Minh tháng 8 năm 2009
Lưu Đức Bằng









3
Mục lục

Mở đầu 4
Chương 1: Độ cảm thuận từ và độ cảm nghịch từ của electron dẫn 5
1.1 Trạng thái electron tự do 5
1.2 Các trạng thái electron dẫn trong tinh thể 7
1.3 Độ cảm thuận từ của electron dẫn 13
1.4 Độ cảm nghịch từ của electron dẫn 17
Chương 2: Tương tác Coulomb giữa các electron 24
2.1 Nhiễu loạn bậc nhất và tương tác trao đổi 24
2.2 Lý thuyết nhiễu loạn bậc hai và n
ăng lượng tương quan 29

2.3 Nhiễu loạn bậc cao – Lý thuyết Gell-Mann-Brueckner 32
Chương 3: Lý thuyết của Slater và Lý thuyết của Kanamori về tương tác
trao đổi của các electron 40
3.1 Tương tác trao đổi của electron trong gần đúng liên kết mạnh –
Lý thuyết Slater 40
3.2 Hamiltonian Slater – Hubbard và hệ hai electron 45
3.3 Lý thuyết Kanamori về tương quan electron 54
3.4 Phương pháp biến phân Gutzwiller 59
Chương 4: Lý thuyết RPA cho kim loại sắt từ 66
4.1 Lý thuyết Stoner 66
4.2 Kích thích Stoner 69
4.3 Kích thích sóng spin 74
4.4 Độ cảm động lực học thuận từ 75
Kết luận 89
Tài liệu tham khảo 92



4
MỞ ĐẦU


Ngày nay ngành khoa học chất rắn đóng vai trò hết sức quan trọng trong đời
sống cũng như sự phát triển của con người. Các vật liệu rắn đặc biệt là vật liệu từ đã
được nghiên cứu và ứng dụng rộng rải. Những thành tựu của ngành khoa học chất
rắn có tầm ảnh hưởng sâu sắc đến đời sống con người.
Nhu cầu nghiên cứ
u và ứng dụng các vật liệu rắn đặc biệt là vật liệu mới rất
thiết yếu trong thế kỷ 21. Vì nhu cầu đó, khoa học chất rắn đã phát triển rất nhanh
trong những năm gần đây.

Nghiên cứu chất rắn là tìm ra các mối liên hệ giữa cấu trúc bên trong các vật
liệu và các tính chất của chúng dựa trên các mô hình thích hợp. Trong bản luận văn
này tôi xin đề cập đến một tính chấ
t quan trọng của chất rắn là tính chất từ và một
số mô hình giải thích tính chất này.
Các đóng góp vào tính chất từ của chất rắn ta có thể chia làm hai loại: momen từ
định xứ (momen từ nguyên tử hay ion) và momen từ của các điện tử dẫn. Đến nay
đã có nhiều lý thuyết giải thích tính chất từ dựa trên tính toán momen từ định xứ: lý
thuyết nghịch từ Larmor, nghịch từ Landau, thuận từ Langevin, lý thuyết lượ
ng tử
về tính thuận từ, thuyết cổ điển của Weiss về tính sắt từ, phương pháp sóng spin cho
chất sắt từ…
Trong bản luận văn này tôi đi sâu vào đóng góp cho tính chất từ của các momen từ
của các điện tử dẫn. Cụ thể là xét tính chất từ của kim loại với tương quan mạnh của
các electron dẫn. Tôi bắt đầu với các hệ electron tự do không có tương quan.




5
Chương 1: ĐỘ CẢM THUẬN TỪ VÀ ĐỘ CẢM NGHỊCH TỪ
CỦA CÁC ELECTRON DẪN

1.1 Trạng thái electron tự do.
Chúng ta xem xét các electron hóa trị trong kim loại. Electron bị tác dụng bởi
thế tuần hoàn do mạng ion tinh thể và thế Coulomb của các electron khác. Thế do
các electron khác là một hàm phụ thuộc tọa độ của mỗi electron. Ta chia thế này
làm hai phần: một phần là thế trung bình của các electron và phần còn lại là độ lệch
khỏi thế trung bình. Nếu bỏ
qua sự đóng của độ lệch khỏi thế trung bình thì gần

đúng này được gọi là gần đúng Hartree và được xem là phép gần đúng khởi đầu cho
việc giải bài toán hệ nhiều hạt. Theo cách này, bài toán hệ nhiều hạt có thể qui về
thành bài toán một hạt. Thế trung bình được tính bằng cách giải bài toán một hạt.
Quá trình giải bài toán được lặp lại cho đến khi thế nhận được bằng với thế ban
đầu. Phươ
ng pháp này được gọi là phương pháp tự hợp. Thế năng xác định từ sự
phân bố trung bình các electron cũng tuân theo tính tuần hoàn của mạng. Phần đồng
nhất đẵng hướng của thế năng trung bình của các electron triệt tiêu với thế năng
trung bình của các ion nút mạng tích điện dương (ở đây ta đã bỏ qua đại lượng 1 so
với số nút mạng N ). Sự triệt tiêu là do sự trung hòa điện của toàn b
ộ tinh thể. Do đó
trong gần đúng này, thế tác dụng lên mỗi electron có tính tuần hoàn như mạng.
Nếu chúng ta bỏ qua thế tuần hoàn của mạng tinh thể, electron chuyển động
một cách tự do. Hàm sóng của electron tự do trong một khối lập phương cạnh L là
một sóng phẳng.

()
ikr
k
1
re
V
ψ=
r
r
r
r
(1.1)
Trong đó V là thể tích của khối lập phương,
r

r
là tọa độ của electron và k
r
là vectơ
sóng. Điều kiện biên tuần hoàn Born-von Karman cho các vectơ sóng

6

()()
xyz xyz
2
k ,k ,k n ,n ,n
L
π
= (1.2)
Trong đó
x
n ,
y
n ,
z
n là các số nguyên âm hoặc dương. Năng lượng
k
ε
r
của mỗi
electron ứng với vectơ sóng
k
r
là

22
k
k
2m
ε=
r
h
(1.3)
Trong đó m là khối lượng electron và
h là hằng số Planck chia cho 2π.
Gọi
e
N là số electron toàn phần. Trạng thái cơ bản của hệ
e
N electron là
trạng thái mà trong đó các electron (có spin hướng lên hoặc hướng xuống) chiếm
các trạng thái sóng phẳng mô tả bởi biểu thức (1.1) theo các mức năng lượng và
tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli. Mức năng lượng cao nhất bị chiếm
22
k/2mh
được gọi là năng lượng Fermi. Vectơ sóng lớn nhất
F
k được gọi là vectơ sóng
Fermi. Số các trạng thái electron chứa trong quả cầu bán kính k trong không gian
k
r

được cho bởi

()
()
3/2
33
33/2
3
3222
k
4k/3 V4k V V 2m
nk k
836 6
2/L
ππ
⎛⎞
==== ε
⎜⎟
πππ
⎝⎠
π
r
r
h
(1.4)
Bằng cách lấy vi phân đại lượng này theo năng lượng
k
ε
r
, ta có thể tính số trạng thái
trong khoảng năng lượng giữa
ε

và d
ε
+ε, gọi là mật độ trạng thái

()
3/2
1/2
22
V2m 3 3n
622
⎛⎞
ρε = ε =
⎜⎟
π
ε
⎝⎠
h
(1.5)
Quả cầu bán kính
F
k trong không gian
k
r
mà bị chiếm bởi các electron được gọi là
quả cầu Fermi và bề mặt của nó gọi là mặt Fermi. Mật độ trạng thái ở mặt Fermi đối
với một spin được cho như sau:

()
3/2
1/2

e
FF
22
F
3N
V2m
44
⎛⎞
ρε = ε =
⎜⎟
π
ε
⎝⎠
h
, (1.6)

7
Biểu thức trên nhận được bằng cách thay
ε
, n trong (1.5) tương ứng bằng
F
ε
và
e
N/2.
1.2. Các trạng thái electron dẫn trong tinh thể.
Các electron dẫn trong kim loại bị tác dụng bởi thế tuần hoàn của mạng ion.
Giả sử rằng, mạng tinh thể được hình thành bằng cách lặp lại việc tịnh tiến của ba
vectơ nguyên tố độc lập
1

a
r
,
2
a
r
,
3
a
r
. Một khối nguyên tố tạo thành từ các vectơ
nguyên tố này được gọi là ô đơn vị, thể tích ô đơn vị
0
v bằng
(
)
12 3
×
rr r
aa a . Nếu mỗi
ô đơn vị chỉ chứa một nguyên tử thì mạng tinh thể được gọi là mạng Bravais. Thông
thường thì mỗi ô đơn vị có vài nguyên tử. Đối với thế tuần hoàn
()
Vr
r
, tính tuần
hoàn được diễn tả bởi hệ thức:

(
)

(
)
123
Vr Vr la ma na=+++
r
rr r r
(1.7)
Trong đó l, m, n là các số nguyên bất kỳ. Hàm thực
(
)
Vr
r
có tính chất trên có thể
được diễn tả dưới dạng chuổi Fourier

(
)
(
)
iKr
K
Vr e VK
−
=
∑
u
urr
r
r
ur

(1.8)

(
)
(
)
*
VK VK−=
u
rur

Với các điều kiện sau cho
K
ur


1
1
Ka 2 n=π
ur r
,
2
2
Ka 2 n
=
π
u
rr
,
3

3
Ka 2 n
=
π
u
rr
(1.9)
Trong đó
1
n
,
2
n
,
3
n là các số nguyên. Điều kiện (1.9) được thỏa mãn nếu:

123
12 3
Knb nb nb=+ +
u
rr r r
(1.10)
Ở đây
1
b
r
,
2
b

r
,
3
b
r
là vectơ nguyên tố của mạng đảo. Chúng liên hệ với các vectơ của
mạng thuận theo hệ thức

8

ij
ij
a.b 2=πδ
rr
,
()
23
1
12 3
aa
b2
a.a a
×
=π
×
r
r
r
r
rr

,…. (1.11)
Nếu thế tuần hoàn
()
Vr
r
yếu, nó có thể được xem là một sự nhiễu loạn. Các yếu tố
ma trận (1.8) ứng với các sóng phẳng
k
ψ
r
,
(
)
VK
u
r
, chỉ có giá trị khác không giữa hai
trạng thái
k
r
và
'
k
r
thỏa mãn
'
kk K
−
=
r

r
r
.
Vì vậy, hàm sóng nhiễu loạn được diễn tả như sự chồng chất của các sóng phẳng
ikr
e
rr
và
()
ik Kr
e
+
ruurr
:

() ()
ikr iKr ikr
kkKk
K0
1
re1aeeur
V
+
≠
⎛⎞
ψ= + =
⎜⎟
⎝⎠
∑
rr uurr rr

rruurr
rr
(1.12)
Hàm
()
k
ur
r
r
hiển nhiên là hàm tuần hoàn theo
r
r
vì K
r
là vectơ mạng đảo. Kết quả
trên chính là định lý Bloch, là một trong những định lý cơ sở trong lý thuyết các
electron trong chất rắn. Ở đây ta tính đến nhiễu loạn cấp hai. Phương trình
Schrodinger có dạng:

() () ()
2
2
Vr r r
2m
⎡⎤
−∇+ ψ=εψ
⎢⎥
⎣⎦
r
rr

h

+ Trường hợp
()
Vr 0=
r
:
() ()
2
20 0
kk
rr
2m
⎡⎤
−∇ψ =εψ
⎢⎥
⎣⎦
rr
r
r
h

Nghiệm phương trình trên là:
()
0ikr
k
22
0
k
1

re
V
k
2m
⎧
ψ=
⎪
⎪
⎨
⎪
ε=
⎪
⎩
r
r
r
r
r
h

+ Trường hợp
()
Vr
r
bé gần bằng không: Theo lý thuyết nhiễu loạn ta có

(
)
(
)

12
0
kk
ε
=ε +Δε +Δε
rr

Trong đó:

9

()
() () () () ()
1
0* 0 3
kk
VV
11
k V r k r V r r V r d r V const 0
VV
Δε = = ψ ψ = = = ≡
∫∫
rr
r
r
rrrrrr


()
()

'
2
'
2
00
k
k
k
kV r k
Δε =
ε−ε
∑
r
r
r
rr
r


() () () ()
'
'0* 03
k
k
V
1
kV r k r V r r dr
V
=ψ ψ
∫

r
r
rr
rrrrr


()
()
()
'
'
ikKkr
3
kk,K
K
V
11
VK e dr VK
VV
−− +
−
==δ
∑∑
∫
rr
r
r
rr
r
r

r
r
r


()
'
'
'
ikKkr
3
kk,K
'
V
0,k k K
1
edr
V
1, k k K
−− +
−
⎧
−=
⎪
==δ
⎨
−≠
⎪
⎩
∫

rr
r
r
rr
r
r
r
r
r
rr
r


()
()
'
'
kk,K
K
1
kV r k V K
V
−
=δ
∑
rr
r
r
rr
r

r


()
(
)
2
2
00
K
kkK
VK
+
Δε =
ε
−ε
∑
r
r
ruur
u
r


(
)
2
0
00
kk

K
kkK
VK
+
ε=ε+
ε
−ε
∑
rr
r
r
ruur
u
r
(1.13)
Trong số hạng thứ hai ở vế phải của biểu thức (1.13), nếu

00 0 0
kkK k kK
0
+
+
ε
−ε ≈ ⇒ε =ε
rr r r
r
r


(

)
2
2
22
kK
k
2m 2m
+
⇒=
r
r
r
h
h

2
2kK K 0⇒+=
r
ur ur
(1.14)

10


Hình 1.1: Hệ thức giữa
k
r
và
K
r

thỏa (1.14).
Vậy gần đúng cho bởi (1.13) không thể tính được khi
k
r
thỏa mãn (1.14). Điều kiện
(1.14) thì thỏa mản với tất cả các
k
r
trong mặt phẳng chia đôi đường nối điểm K
−
r

và gốc tọa độ. Đối với các vectơ sóng
k
r
trong mặt phẳng này và trong các lân cận,
đóng góp vào tổng theo
K
r
trong (1.13) được mong đợi là nhỏ ngoại trừ K
r
đặc biệt
xác định mặt phẳng. Ta bỏ qua các số hạng nhỏ này và chỉ tính đến đóng góp của
các yếu tố ma trận giữa 2 trạng thái
k
r
và kK
+
r
r

.
Ta có:

00
kkK
+
ε
≈ε
rr
r


(
)
(
)
00
kkK
rr
+
ψ≠ψ
rr
r
r
r

Vậy mức năng lượng bị suy biến bội hai. Phương pháp nhiễu loạn cho trường hợp
suy biến:

() () ()

2
2
Vr r r
2m
⎡⎤
−∇+ ψ=εψ
⎢⎥
⎣⎦
r
rr
h
(*)

() ()
2
20 00
kkk
rr
2m
⎡⎤
−∇ψ =εψ
⎢⎥
⎣⎦
rrr
r
r
h


() ()

2
20 0 0
kK kK kK
rr
2m
+++
⎡⎤
−∇ψ =εψ
⎢⎥
⎣⎦
rrr
rrr
r
r
h

K
−
r
K
r
K
2
−
r
k
r
0

11

(
)
(
)
(
)
00
k k kK kK
rr r
++
ψ=αψ +αψ
rr r r
rr
rr r
thay vào phương trình (*) ta có:

() () () () ()
2
200 00
k k kK kK k k k kK kK
Vr r r r r
2m
++ ++
⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
−∇+ αψ +αψ =εαψ +αψ
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
rr r r r rr r r

rr rr
rr r r r
h
(**)
Nhân hai vế phương trình (**) lần lượt với các hàm sóng
(
)
0*
k
rψ
r
r
và
(
)
0*
kK
r
+
ψ
r
r
r
và lấy
tích phân theo
3
dr
r
ta được hệ phương trình sau:

(
)
(
)
()
()
0
kkk kK
0
kkKkkK
VK 0
VK 0
+
++
⎧
ε−ε α+ α =
⎪
⎨
−
α+ε −ε α =
⎪
⎩
rrr r
r
rr rr
rr
r
r

Vậy năng lượng của electron dẫn tính được bằng cách giải phương trình định thức

cấp hai:

(
)
()
0
k
k
0
k
kK
VK
0
VK
+
ε−ε
=
−ε−ε
rr
ruurr
u
r
ur

Nghiệm là:

()()
()
2
000 00

kk kkK kkK
1
4V K
2
++
⎡⎤
ε=ε− ε−ε ± ε−ε +
⎢⎥
⎣⎦
rr rruurrruur
ur
(1.15)
Gần đúng này gọi là gần đúng sóng kép. Bây giờ ta đặt
kK/2kk
⊥
=
−++

r
rr
r
và dùng
22
0
k
2m
ε=
h
. Khi đó (1.15) sẻ trở thành:

()
2
2
2
22
2
22
k
K
kk Kk VK
2m 2 2m
⊥
⎡⎤
⎡
⎤
⎛⎞
⎛⎞
⎢⎥
ε= + + ± +
⎢
⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎢
⎥
⎝⎠
⎝⎠
⎣

⎦
⎣⎦
r
ur
ur r ur
hh
∥
∥
(1.16)
Trong đó
||
k
là hiệu giữa thành phần song song của
k
r
dọc theo vecto K
r
và
K/2−
ur
, trong khi k
⊥
là thành phần của k
r
vuông góc với K
r
. Phương trình (1.16)

12
cho thấy rằng năng lượng electron thay đổi một cách gián đoạn khoảng

(
)
2V K
u
r

khi
k
r
cắt ngang bề mặt
||
k0
=
. Bề mặt được xác định bởi
||
k0= được gọi là mặt
biên của vùng Brillouin. Giả sử ta xây dựng các mặt biên như thế cho tất cả các
vectơ mạng đảo. Ta gọi miền không gian
k
r
bao xung quanh bởi các mặt biên này là
vùng Brillouin. Đặc biệt vùng Brillouin chứa gốc tọa độ là vùng Brillouin thứ nhất.
Ta có thể đưa vùng Brillouin phía ngoài thành vùng thứ nhất bằng cách dịch chuyển
chúng bằng các vectơ mạng đảo được lựa chọn phù hợp. Trong cách này, năng
lượng electron được đặc trưng bởi số vùng Brillouin và giá trị của
k
r
trong vùng thứ
nhất. Cách biểu diễn năng lượng này được gọi là biểu diễn thu gọn vùng. Vì các
thành phần trực giao của

k
d/dkε
r
r
triệt tiêu ở mặt biên của các vùng Brillouin, ta có
thể mở rộng cấu trúc vùng năng lượng ra các vùng nằm ngoài vùng Brillouin thứ
nhất như là các hàm tuần hoàn
(
)
(
)
kK kε+ =ε
r
ur r
. Trong biểu diễn thu gọn vùng, năng
lượng electron là một hàm của
k
r
có cấu trúc vùng năng bị tách rời bởi các vùng
cấm. Ta gọi cấu trúc này là cấu trúc vùng năng lượng.
Các hàm sóng của các electron dẫn trong thế tuần hoàn được gọi là các quỹ
đạo Bloch (Bloch orbitals). Nhiều gần đúng đã được đưa ra nhưng phương pháp
đơn giản nhất là tính sự nhiễu loạn bắt đầu từ các sóng phẳng và được gọi là gần
đúng các electron gần tự do. Ngược lại có một phương pháp để tính gần
đúng một
quỹ đạo Bloch bằng một tổ hợp tuyến tính của các quỹ đạo nguyên tử ở mỗi nút
mạng:

(
)

n
ikR
n
mm
kl
mn
ae r Rψ= φ −
∑
r
ur
r
r
ur
(1.17)
Phương pháp này gọi là gần đúng liên kết mạnh. Chỉ số l trong (1.17) biểu diễn chỉ
số vùng. Trong trường hợp các quỹ đạo nguyên tử suy biến như quỹ đạo d,
(
)
m
rψ
r

biểu diễn một trong năm quỹ đạo suy biến. Trong phương pháp gần đúng này các
mức năng lượng được chia thành các vùng s, p, d tương ứng với các quỹ đạo s, p, d

13
của nguyên tử. Phương pháp gần đúng liên kết mạnh thường dùng thảo luận định
tính nhưng không đủ chính xác để tính toán định lượng cấu trúc của các vùng năng
lượng.
Như đã đề cập ở trên, các trạng thái của electron dẫn trong tinh thể được xác

định rõ bởi các quỹ đạo Bloch thuộc về mỗi vùng năng lượng (vùng-s, vùng-p, …).
Các electron chiếm các trạng thái này từ trạng thái có mức năng lượng thấp nhất
cho đến các trạng thái tại mức năng lượng Fermi. Nói chung, trong các trường hợp
này mặt Fermi bị biến dạng, thay vì là mặt cầu nó bị biến thành các bề mặt phức tạp
có hình dạng rất lạ lùng, và đôi khi mở rộng ra một vài vùng. Tuy nhiên, mật độ các
trạng thái
()ρε , là một hàm của năng lượng, nó vẫn được xác định như trong trường
hợp của các electron tự do. Trong trường hợp này bản chất của các electron dẫn là
các vùng bị chiếm bởi các electron này bị tách hẳn khỏi các vùng không bị chiếm,
và mặt Fermi là mặt giới hạn.
1.3. Độ cảm thuận từ của electron dẫn.
Năng lượng của electron ứng với hình chiếu spin (+) hoặc hoặc hình chiếu
spin (-) trong trường đều bằng:
22
B
k1
gH
2m 2
+
ε
=−μ
h

22
B
k1
gH
2m 2
−
ε

=+μ
h

Vậy trong từ trường đều, năng lượng của các electron dẫn có spin song song với từ
trường giảm một lượng
()
B
1/2 g H
μ
, trong khi năng lượng của các electron có spin
đối song tăng một lượng tương tự. Vì vậy như trình bày trong hình 1.2, một số
()
B
1/2 g H
ρμ
của các electron với spin đối song gần mặt Fermi chuyển thành các
trạng thái spin song song. Ở đây
ρ
là mật độ trạng thái spin ở mặt Fermi. Thay đổi
này phá vỡ sự cân bằng giữa các electron dẫn có spin song song và đối song với

14
trường ngoài.Vì thế hệ electron dẫn bị từ hóa . Độ cảm từ do một quá trình như thế
được gọi là độ cảm thuận từ Pauli.

Hình 1.2: Phân bố năng lượng của electron trong từ trường.

Gọi N là số electron toàn phần,
N
+

là số electron có spin (+) và N
−
là số electron có
spin (-). Ta có

NN N
+
−
=
+

()
B
11
MNNg
V2
+−
=
−μ

()
B
1
Mgnn
2
+
−
=μ −
Với
()( )

0
nfd
∞
++
=
ρε ε ε
∫


()( )
0
nfd
∞
−−
=
ρε ε ε
∫

Trong đó
(
)
ρε là hàm mật độ trạng thái và
(
)
f
+
ε
,
(
)

f
−
ε
là hàm phân bố Fermi –
Dirac ứng với spin (+) và spin (-).

()
()
B
/k T
1
f
e1
+
+
ε−μ
ε=
+

ε
F
ε
(
)
↑
ρε
(
)
↓
ρ

ε
B
gH
μ
B
1
gH
2
ρ
μ
↓
↑

15

()
()
B
/k T
1
f
e1
−
−
ε−μ
ε=
+


()

BB
0
11
nn f gHf gH d
22
∞
+−
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
⇒−= ε−μ −ε+μ ρεε
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
∫


() ( )
BFB
0
f
gH d gH
∞
∂
⎛⎞
=μ − ρε ε=ρε μ
⎜⎟
∂ε
⎝⎠
∫

()
22
FB
1
MgH
2
=
ρε μ

()
22
p
auli B F
1
g
2
χ
=μρε. (1.18)
Ngoài độ cảm thuận từ Pauli mà có liên hệ với momen từ spin, hệ electron dẫn còn
có độ cảm nghịch từ có nguồn gốc từ sự thay đổi trạng thái quỹ đạo gây ra bởi từ
trường ngoài. Phần này thường được gọi là độ cảm nghịch từ Landau, giá trị của độ
cảm này được cho bởi (1.18) nhân thêm
(
)
1/3− , với g = 2. Đối với các electron
Bloch, biểu thức độ cảm nghịch từ phức tạp hơn, phản ánh hình dạng mặt Fermi và
cũng bởi vì sự đóng góp từ các chuyển dời bên trong dảy. Trong biểu thức (1.18), từ
trường ngoài được giả sử là đồng nhất đẳng hướng. Để nhận được biểu thức tương

ứng trong trường hợp trường ngoài biến đổi theo không gian, ta khai triển từ trườ
ng
theo các thành phần Fourier như sau:

(
)
iqr
q
q
re
−
Η=Η
∑
r
r
r
r
r
(1.19)

*
qq−
Η
=Η
r
r

Ta tính độ cảm từ
q
χ

r
ứng với một trong các thành phần
iqr
q
e
−
Η
rr
r
, hoặc phần thực của
nó. Để thu được mật độ spin từ hóa toàn phần tỉ lệ cấp một với từ trường ta lấy tổng
theo tất cả
q
r
của độ từ hóa gây ra bởi mỗi thành phần từ trường là:

16

()
iqr
qq
q
1
re
V
−
σ= χΗ
∑
r
r

rr
r
r
(1.20)
Trong việc tính
q
χ
r
, cần thiết biết được sự phụ thuộc vào k
r
của năng lượng electron
dẫn cũng như mật độ trạng thái
(
)
ρ
ε . Để đơn giản chúng ta thừa nhận mô hình
electron tự do. Chọn hướng trục z song song với hướng của từ trường, ta xem năng
lượng Zeeman

(
)
ii
iqr * iqr
zBiz
qq
i
1
gse e
2
−

Η=− μ Η +Η
∑
r
rrr
rr
(1.21)
như là một nhiễu loạn. Ở đây
iz
s là thành phần z của spin của electron thứ i. Ở gần
đúng bậc nhất, trạng thái electron được mô tả bởi sóng phẳng với vectơ sóng
k
r
và
spin + hay – bị nhiễu loạn biểu diễn bởi:

() ()
iqr * iqr
qq
ikr
B
22
2
k
22
ee
1m
e1 g
2
V
kq k kq k

−
±
⎡⎤
⎛⎞
ΗΗ
⎢⎥
⎜⎟
ψ= ± μ +
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
−− +−
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
rr rr
rr
rr
r
rr rr
h
(1.22)
Mật độ electron với vectơ sóng
k
r
và spin + hay – tìm được bằng cách lấy bình
phương giá trị tuyệt đối của (1.22).

() ()
()

iqr * iqr
B
22
2
k qq
22
1m 1 1
1g e e
V2
kq k kq k
−
±
⎡
⎤
⎛⎞
⎢
⎥
⎜⎟
ρ= ± μ + Η +Η
⎢
⎥
⎜⎟
⎜⎟
−− +−
⎢
⎥
⎝⎠
⎣
⎦
rr rr

r rr
rr rr
h
(1.23)
Mật độ momen từ spin nhận được bằng cách nhân (1.23) với
()
B
1/2 g±
μ
, cộng thêm
các biểu thức đối với spin + và spin – rồi lấy tổng theo
k
r
trong quả cầu Fermi.

()
()
iqr * iqr
qq
q
q
11
ree
V2
−
σ= χ Η +Η
∑
r
rrr
r

rr
r
r


22 2 2
e
BF F
q
FFF
N
3g 4kq 2kq
1log
16 V 4k q 2k q
⎛⎞
μ−+
=+
⎜⎟
⎜⎟
ε−
⎝⎠
∑
()
iqr * iqr
qq
1
ee
2
−
×Η +Η

rr rr
rr
(1.24)

17
Từ đó ta tìm được
q
χ
r
theo biểu thức:

22
B
qe Pauli
FF F
3g q 1q
Nf f
16 2k 2 2k
⎛⎞ ⎛⎞
μ
χ= =χ
⎜⎟ ⎜⎟
ε
⎝⎠ ⎝⎠
r
(1.25)
Trong đó hàm f(x) được định nghĩa như sau:

()
2

1x 1x
fx 1 log
2x 1 x
−
+
=+
−
(1.26)


Hình 1.3: Hàm
(
)
fx theo biến x .

Như được minh họa trong hình 1.3, f(x) có một kỳ dị tại x = 1, trong đó đạo hàm
của nó phân kỳ đến
∞− . Hàm giảm đơn điệu bắt đầu từ 2 tại x = 0 và dần đến 0
theo quy luật hàm mũ (
2
x
−
) với
x1>>
. Theo đó
q
χ
r
đồng nhất với độ cảm thuận từ
Pauli tại q = 0 và giảm đơn điệu khi q tăng. Sự kỳ dị của

(
)
q
fq/2k ở
F
q2k= phản
ánh sự tồn tại của mặt Fermi (vì
F
2k là đường kính của mặt Fermi).
Nếu từ trường ngoài không chỉ biến đổi theo không gian mà còn biến đổi theo thời
gian, chúng ta cũng phải khai triển Fourier theo thời gian. Trong các số hạng của độ
cảm
()
q,χω
r
, chúng ta có thể nhận được sự biến đổi của momen từ spin theo thời
gian và không gian.

()
fx
2.0
1.0
0.5 1.0 1.5 2.0
x

18
1.4 Độ cảm nghịch từ của electron dẫn.
Các hệ electron dẫn có cả độ cảm thuận từ Pauli và độ cảm nghịch từ. Tính
nghịch từ đưa ra theo định luật Lenz. Các electron dẫn phản ứng chống lại tác dụng
của từ trường ngoài. Đôi khi nó được gọi là nghịch từ Landau do Landau là người

đầu tiên tính độ nghịch từ của các electron tự do. Việc tính toán độ nghịch từ của
các electron dẫn thì không phải là một việc dể dàng và nhiều ngườ
i đã đưa ra các
phương pháp khác nhau. Kết quả, độ từ hóa chứa một hàm dao động của nghịch đảo
từ trường ngoài:

12e
cS
π
⎛⎞
Δ=
⎜⎟
Η
⎝⎠
h
(1.27)
Trong đó S là cực trị của tiết diện mặt Fermi cắt vuông góc với hướng của từ
trường. Ở đây, điện tích electron được chọn là –e. Dao động được biết như là hiệu
ứng Haas-van Alphen và có một phương pháp thực nghiệm rất tốt để xác định cấu
trúc của mặt Fermi. Nó được quan sát trong từ trường mạnh. Chúng ta có thể tìm
thấy độ từ hóa nghịch từ gây ra bởi từ trườ
ng yếu bằng phương pháp nhiễu loạn mà
không bận tâm về bề mặt kim loại.
Dùng phương pháp lượng tử hóa lần thứ 2 chúng ta có thể diễn tả
Hamiltonial mô tả tương tác giữa các electron dẫn và từ trường ngoài như sau:

()
()
() ()
2

†2
I
2
ie e
dr A A Ar r
2mc 2mc
⎡⎤
Η= τψ − ∇+∇ + ψ
⎢⎥
⎣⎦
∫
rr
rrr
h
(1.28)
Ở đây
(
)
†
rψ
r
và
()
rψ
r
là toán tử Fermi mô tả các trường electron dẫn và biểu diễn
sự sinh và hủy một electron ở tọa độ không gian
r
r
.

(
)
Ar
r
r
là thế vectơ và tích phân
theo
dτ là tích phân thể tích cùng với việc lấy tổng theo các trạng thái spin. Chúng
ta cũng có thể khai triển
(
)
†
rψ
r
và
(
)
rψ
r
theo các sóng phẳng như sau

()
ikr
1/2
k
k
1
rcue
σ
σ

σ
ψ=
Ω
∑
r
r
r
r
r
(1.29)

19

()
††ikr
1/2
k
k
1
rcue
−
σ
σ
σ
ψ=
Ω
∑
r
r
r

r
r
(1.30)
Trong đó
†
k
c
σ
r
và
k
c
σ
r
tương ứng là các toán tử sinh và hủy một electron với vectơ
sóng
k
r
và spin σ, trong khi u
σ
là hàm spin riêng.
Ω
là thể tích toàn phần. Theo
cách tương tự ta khai triển thế vectơ thành chuổi Fourier.

()
(
)
()
3/2

iqr
q
2
Ar aqe
π
=
Ω
∑
r
r
r
r
rrr
(1.31)

() ()
3/2
iqr
1
aq dAre
2
−
⎛⎞
=τ
⎜⎟
π
⎝⎠
∫
r
r

r
rr r
(1.32)
Thế vectơ được xác định bởi:

(
)
divA r 0
=
r
r
,
(
)
q.a q 0
=
r
rr
(1.33)
Sử dụng (1.29 - 1.31) ta có viết lại (1.28) như sau:

(
)
()
3/2
†
I
kq k
kq
2

e
ccaq.k
mc
+σ
σ
π
Η=
Ω
∑
rr
r
r
r
r
r
r
h
(1.34)
Ở đây ta giữ lại các số hạng bậc nhất theo
a(q)
r
r
. Đầu tiên ta hãy tính mật độ dòng
điện gây ra bởi thế vectơ. Toán tử mật độ dòng được diễn tả như sau

()
2
††
ie e
J(r) hc A(r)

2m mc
=ψ∇ψ−−ψψ
r
r
rr
h


PD
J (r) J (r)=+
r
r
(1.35)
Trong đó h.c có nghĩa là liên hợp Hermit. Số hạng đầu biểu diễn dòng thuận từ và
số hạng thứ hai là dòng nghịch từ. Các dòng trong (1.35) cũng được trình bày như
sau

20

()
iqr
P
kq, k
kq
e
J(r) c c e 2k q
2m
+−
+σ σ
σ

=− +
Ω
∑
rr
rr
r
r
r
r
r
rr
h
(1.36)

2
iqr
D
kq, k
kq
e
J(r) c ce A(r)
mc
+−
+σ σ
σ
=−
Ω
∑
rr
rr

r
r
r
r
r
rr
(1.37)
theo các thành phần
k,
c
+
σ
r
và
k,
c
σ
r
như trong (1.34).
Hàm sóng
0
ψ của trạng thái cơ bản, nghĩa là, quả cầu Fermi bị nhiễu loạn
bởi tương tác (1.34). Bổ chính cấp một,
1
φ
nhận được như sau

iI0
1i
i0

0i
H
EE
≠
ψψ
φ
=ψ
−
∑
(1.38)
Với
1
φ này, giá trị mong đợi của mật độ dòng
j(r)
r
r
được cho bởi

1P 0 0P 1 0D 0
j(r) J (r) J (r) J (r)=φ ψ +ψ φ +ψ ψ
r
rrr
rr r r
(1.39)
lấy đến bậc nhất của thế vectơ. Dùng (1.34),(1.36-1.38), ta có thể biểu diễn giá trị
mong đợi dòng thuận từ như sau

()
()
()

()
3/2
'''
22
2
''iqr
P
22
i0
kq
kq
e
jr 2kqk.aqe
2m c
π
≠
σ
σ
⎡
=− +
⎣
Ω
∑∑∑
r
r
r
r
r
r
rrr

rrr
h


]
'''
††
0ii 0
kq k
k' q, k
0i
1
c c c c c.c.
EE
+σ
+σ
×ψ ψ ψ ψ +
−
rr
rr
r
r
(1.40)
và dòng nghịch từ
(
)
D
jr
r
r

như sau

() ()
2
D
ne
jr Ar
mc
=−
r
r
r
r
(1.41)
Trong đó n là số electron trên một đơn vị thể tích. Vì trạng thái kích thích thứ i
trong (1.40) là trạng thái mà trong đó một electron bị kích thích từ trạng thái
(
)
''
k,
σ
r


21
đến trạng thái
(
)
'''
kq,+σ

r
r
, hiệu năng lượng
0i
EE
−
chính là hiệu của các năng
lượng một electron
'' ' ''
k, k q,σ+σ
ε−ε
rr
r
. Để trở lại trạng thái đầu từ trạng thái kích thích
bởi các toán tử
kq,
c
+
+σ
r
r
,
k
c
σ
r
, các hệ thức
'
kqk
+

=
r
r
r
,
''
kkq
=
+
r
r
r
,
'
σ
=σ vẫn đúng.Vì vậy
thành phần
q
r
của dòng thuận từ (1.40) tìm được là

()
()
(
)
()
q
3/2
2
iqr

P
2
2
k
2
k
2k q k.a(q)
4e 2
jr e f()
mc
kq k
+
π
=ε
Ω
+−
∑
r
rr
r
r
r
r
r
rr
r
r
rr
r
(1.42)

Ở đây
()
k
f ε
r
là hàm phân bố Fermi và tổng theo k
r
được lấy bên trong quả cầu
Fermi đối với T = 0. Nếu ta chọn trục z cùng hướng với vectơ
q
r
và trục x là hướng
của
()
aq
rr
, khi đó chỉ thành phần x cho đóng góp trong
q
P
j(r)
r
r
; các thành phần y, z,
triệt tiêu bởi tính đối xứng. Nói cách khác,
q
P
j(r)
r
r
r

tỉ lệ với
()
aq
r
r
. Sau khi lấy tổng
theo
k
r
trong (1.42), ta được

(
)
q
3/2
2
iqr
P
2
e2
1
j(r) a(q)e
mc 24
π
=
Ωπ
r
r
r
rr

2
22
3
FF
F
FF F
q 3 2k q 1 q / 2k
k53 1log
2k 2 q 2k 1 2k
⎧⎫
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞
+
⎪⎪
⎢⎥
×− + −
⎨⎬
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
−
⎢⎥
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
⎪⎪
⎣⎦
⎩⎭
(1.43)

Mặt khác dòng nghịch từ (1.41) được diễn tả theo thành phần
q
r
như sau:

(
)
()
q
3/2
2
3iqr
DF
2
e2
1
j(r) kaqe
mc 3
π
=−
Ωπ
r
r
r
r
rrr
(1.44)
Kết quả thành phần
q
r

của mật độ dòng toàn phần được cho bởi tổng của (1.43) và
(1.44):

(
)
()
3/2
2
3
iqr
F
qj
2
F
e2
kq
j(r) L( )a q e
mc 8 2k
π
=−
Ωπ
r
r
r
r
rrr
(1.45)

22

()
()
2
22
j
11x
Lx 1x 1x log
2x 1 x
+
=+ − −
−
(1.46)
Vì L(j) triệt tiêu khi
x0→ , dòng thuận từ và dòng nghịch từ triệt tiêu hoàn toàn ở
giới hạn
q0→ nên dòng toàn phần bằng không
Tiếp theo ta tính độ từ hóa bằng cách dùng hệ thức giữa dòng và độ từ hóa m:

(
)
jr c.rot(m)=
r
r
(1.47)
Vì từ trường được cho bởi
(
)
rotA r
r
r

, thành phần q
r
của từ trường là

(
)
()
3/2
iqr
q
2
Hi q.aqe
π
=
Ω
r
r
r
r
rr r
(1.48)
Đưa ra độ cảm
q
χ
r
bằng:

qqq
mH=χ
r

rr
r
(1.49)
Ta có:

()
()
(
)
()
3/2
iqr
qq q
2
1
rot m j r q q a q e
c
π
=
=− × ×⎡ × ⎤ χ
⎣⎦
Ω
rr
rr r
rrrr


(
)
()

3/2
2iqr
q
2
qa qe
π
=
χ
Ω
rr
r
rr
(1.50)
Dùng biểu thức (1.45) của
q
j(r)
r
r
r
cho (1.50), ta nhận được độ cảm nghịch từ tương
ứng với thành phần
q
r
của trường như sau

2
F
q
22
F

ek q
L
mc 12 2k
⎛⎞
χ=−
⎜⎟
π
⎝⎠
r
(1.51)
Trong phương trình trên

() ()
j
2
3
Lx L x
8x
=


23

2
1
1x
5
=− +
x 1
<

< (1.52)
Vậy ở giới hạn q
→0, ta nhận được độ cảm nghịch từ
d
χ


2
F
dPauli
22
ek 1
mc 12 3
χ=− =− χ
π
(1.53)
Đúng bằng -1/3 lần giá trị của độ cảm thuận từ Pauli. Giá trị tuyệt đối của độ cảm
nghịch từ
d
(q)χ
r
giảm tỉ lệ với q
2
khi q tăng từ 0, giá trị của nó tại q = 2k
F
bằng 3/4
giá trị ở q = 0, do đó
dpara
/1/2χχ= . Chúng ta lưu ý rằng L(x) có một kỳ dị tại x =
1 phản ánh sự tồn tại của mặt Fermi; nó giảm theo qui luật của 1/x

2
khi x 1>> .
Hình 1.4 biểu diễn sự phụ thuộc vào x của L(x).

Hình 1.4: Dáng điệu của hàm L(x).
()
Lx
1.0
0.5
1
2
3
4

24
Chương 2: TƯƠNG TÁC COULOMB GIỮA CÁC ELECTRON

Các electron dẫn trong kim loại chuyển động không hoàn toàn tự do. Chúng
chuyển động dưới tác dụng của tương tác Coulomb lẫn nhau và thế tuần hoàn của
các ion tại các nút mạng. Ở đây ta bỏ qua thế tuần hoàn và chỉ xem xét ảnh hưởng
của tương tác Coulomb.
2.1. Nhiễu loạn bậc nhất và tương tác trao đổi.
Tương tác đẩy Coulomb giữa các electron bằng
2
ij
e/r
r
, trong đó
ij
r

r

là khoảng
cách giữa các electron. Tương tác này có thể biểu diễn bằng khai triển chuổi
Fourier.

()
ij
22
iq r r
2
q0
ij
e14e
e
rV q
−
≠
=
∑
r
rr
r
π
(2.1)
với
i
r
r
và

j
r
r
là tọa độ của các electron. Số hạng tương ứng với q = 0 được bỏ trong
tổng theo
q
r
. Tại q = 0 thế Coulomb triệt tiêu với phần điện tích dương trung bình
của mạng ion bởi tính trung hòa điện của toàn tinh thể. Trong hình thức luận lượng
tử hóa lần thứ hai với cơ sở là các sóng phẳng, tương tác Coulomb (2.1) có thể được
viết như sau:

112 22211
1212
2
††
Coulomb
2
kq, kq, k k
q0
kk
12e
aa aa
Vq
+
σ−σσσ
≠
σσ
π
Η=

∑∑
rr rr
rr
rr
(2.2)
Trong đó ta đưa ra
k
a
+
σ
r
và
k
a
σ
r
là các toán tử sinh và hủy Fermi đối với các electron
có vectơ sóng
k
r
và spin σ. Tổng theo
1
σ
và
2
σ
được lấy theo hai thành phần spin
electron. Phương trình (2.2) cũng có thể nhận được trực tiếp từ tích phân Coulomb.

() () ()()

2
12 2112
12
1e
rr rrdd
2r
∗∗
ϕϕ ϕϕττ
∫


25
nếu ta sử dụng khai triển hàm sóng electron (r)
ϕ
r
theo các thành phần của sóng
phẳng.

kk
k
(r) a (r)
σσ
σ
ϕ= ψ
∑
rr
r
r
r

Bây giờ ta xem tương tác Comlomb như là một nhiễu loạn động năng của các
electron tự do.

†
kk k
k
aa
σ
σ
σ
ε
∑
r
rr
r
(2.3)
Số hạng bậc nhất của nhiễu loạn có giá trị mong đợi ứng với trạng thái cơ bản của
electron tự do. Nếu ta lấy hai cặp như
22
†
kq,
a
−
σ
r
r
,
22
k,
a

σ
r
và
11
†
kq,
a
+σ
r
r
,
11
k,
a
σ
r
thì yếu tố
chéo ứng với trạng thái cơ bản chỉ khác không tại q = 0. Tuy nhiên phần này bị loại
khỏi (2.2) và vì vậy ta không cần xem xét chúng. Do đó đối với các yếu tố chéo
(2.2) ta chỉ xem xét các trường hợp thỏa mãn
21
kkq
=
+
r
r
r
và
12
=

σ
σ
để tạo các cặp
11
†
kq,
a
+σ
r
r
,
22
k,
a
σ
r
và
22
†
kq,
a
−σ
r
r
,
11
k,
a
σ
r

. Năng lượng trong gần đúng nhiễu loạn bậc nhất
được tính như sau

12
12
2
exch
2
kk
kk
12
12e
Vnn
V
kk
σ
σ
σ
π
=−
−
∑
r
r
rr
rr
(2.4)
Vì đóng góp cho (2.4) là do sự trao đổi tương hổ của
22
k,

a
σ
r
,
11
k,
a
σ
r
trong (2.2) nên
(2.4) được gọi là tương tác trao đổi. Thế này phải có dấu âm. Trong (2.4),
k
n
σ
r
là số
electron chiếm trạng thái có vectơ sóng
k
r
và spin
σ
. Ở trạng thái cơ bản
k
n1
σ
=
r

đối với
F

kk<
r
và 0=
r
σ
k
n đối với
F
kk>
r

Chỉ giữ lại các phần thỏa
21
kkq
=
+
rr
r
trong (2.2) ta được:

21 22 12 11
12
12
2
††
exch
2
kkkk
kk
12

12e
aaaa
V
kk
σ
σσσ
σσ
π
Η=−
−
∑∑
rr rr
rr
rr