Mô đun fi - nội xạ và mô đun fi - dẹt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Dương Đức Thònh

MÔ ĐUN FI–NỘI XẠ
VÀ MÔ ĐUN FI–DẸT

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN VIẾT ĐÔNG



Thành phố Hồ Chí Minh – 2010
Lời cảm ơn
Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các thầy, cô trong khoa Toán−Tin học
trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP. HCM, nhất là những người thầy trong bộ môn
Đại số, những người đã tận tình giảng dạy cho tôi trong suốt quãng đường đại học cũng
như cao học. Chính những kiến thức này là nền tảng hết sức quan trọng để tôi có thể
thực hiện, hoàn thành luận văn này.
Hơn hết, tôi chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Viết Đông, người thầy luôn tận tình
hướng dẫn, động viên, khích lệ tôi trong quá trình hoàn chỉnh luận văn này. Tiếp đến,
tôi cũng cảm ơn các bạn trong chuyên ngành Đại số đã động viên tôi trong quá trình
học tập và sửa chữa những sai sót của luận văn này.
Lời cuối cùng, tôi cảm ơn những người thân, những người bạn đã ủng hộ tinh
thần cho tôi trong cuộc sống, đặc biệt là cha mẹ.

TP. Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2010.
Dương Đức Thònh
1
Lời nói đầu
Lónh vực mô đun được phát triển rất mạnh mẽ trong những năm gần đây. Trong
đó khái niệm mô đun FP−nội xạ được nhiều nhà toán học đưa ra với nhiều tên gọi
khác nhau như: "FP-injective" được Madox đưa ra vào 1967; vào 1970, Strenstr¨om khái
niệm là "absolutely pure"; còn Fieldhouse gọi là "copure injectivity". Cùng với đó là
những kết quả rất mới về chiều FP−nội xạ của vành và mô đun. Còn khái niệm mô đun
FI−nội xạ và FI−dẹt được hai nhà toán học người Trung Quốc Lixin Mao và Nanqing
Ding đưa ra là rất hiện đại. Theo đó, hai ông cũng công bố những kết quả hoàn toàn
mới này trong năm 2007 trên Tập chí toán học thế giới.
Luận văn này gồm hai chương.
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về hàm tử Tor, Ext, các
mô đun nội xạ, xạ ảnh, dẹt, nội xạ thuần khiết, FP− nội xạ, mô đun đặc trưng, và vành
coherent trái, nửa di truyền trái, hoàn chỉnh trái. Và trình bày khái niệm về tiền bao,
bao, tiền phủ, và một số loại chiều của mô đun và vành. Các kết quả trong chương này
là kiến thức cơ sở cho chứng minh các kết quả ở chương hai.
Chương 2: Mô đun FI−nội xạ và mô đun FI−dẹt
Chương hai là những kết quả chính trong bài báo "FI−injective and FI−flat modules".
Chương này gồm hai phần:
Phần 1: Trước hết nêu khái niệm về mô đun FI−nội xạ và mô đun FI−dẹt. Trình
bày một số kết quả liên quan giữa mô đun FI−nội xạ, mô đun FI−dẹt và chiều FP−chiều
nội xạ, tiền bao dẹt, tiền phủ FP−nội xạ. Đònh lý 2.5 là một ví dụ về phân tích của mô
đun FI−nội xạ. Trong đònh lý 2.9, trình bày các mối liên hệ giữa chiều FP−nội xạ của
vành và mô đun FI−nội xạ, FI−dẹt.
Phần 2: Trong chương này, chủ yếu các kết quả được xét trên vành coherent trái.
Trước hết chúng tôi nêu khái niệm hàm tử dẫn xuất trái của Hom là Ext. Sau đó trình
bày các kết quả liên quan giữa hàm tử dẫn xuất trái của Hom và chiều FP−nội xạ, chiều

FI của mô đun và vành. Đònh lý 2.16 nêu các mối liên hệ giữa vành nửa di truyền trái,
mô đun FI−nội xạ, FI−dẹt, tiền bao dẹt và tiền phủ FP−nội xạ. Trong đònh lý 2.25 và
đònh lý 2.26, trình bày mối liên hệ giữa chiều FP−nội xạ của vành, hàm tử dẫn xuất
của Hom và chiều FI của mô đun.
2
Mục lục
Lời cảm ơn 1
Lời nói đầu 2
Mục lục 3
Bảng ký hiệu 4
1 Kiến thức cơ sở 5
1.1 Mô đun tự do, mô đun xạ ảnh, mô đun nội xạ, mô đun dẹt . . . . . . . . 5
1.2 Mô đun FP−nội xạ và chiều của mô đun . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Tiền bao, bao, tiền phủ, phủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Một số loại vành và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Mô đun FI−nội xạ và FI −dẹt 19
2.1 Mô đun FI−nội xạ và mô đun FI−dẹt 19
2.2 Chiều FP−nội xạ và hàm tử dẫn xuất trái của Hom . . . . . . . . . . . . 28
Chỉ mục 48
Tài liệu tham khảo 48
3
Bảng ký hiệu
Ký hiệu Ý nghóa
A ⊕
R
B Tổng trực tiếp trên R của hai mô đun A và B
A ⊗
R
B Tích ten xơ trên R của hai mô đun A và B
Tor

R
n
(A, B) Tích xoắn n chiều trên R của hai mô đun A và B
Ext
n
R
(A, B) Tích mở rộng n chiều trên R của hai mô đun A và B
Hom(A, B) Tập hợp tất cả các đồng cấu từ A vào B
lim
−→
C
i
Giới hạn trực tiếp của hệ trực tiếp (C
i
)
i
M
R
M là R−mô đun phải
R
MMlà R−mô đun trái
M
+
Mô đun đặc trưng của M
R
n
Tích n của vành R
M
R
Tập các R−mô đun phải

R
M Tập các R−mô đun trái
Flat Tập các R−mô đun dẹt
Proj Tập các R−mô đun xạ ảnh
Proj
fg
Tập các R−mô đun xạ ảnh hữu hạn sinh
pd(M) Chiều xạ ảnh của M
id(M) Chiều nội xạ của M
fd(M) Chiều dẹt của M
FP − id(M) Chiều FP−nội xạ của M
l.FP − dim(R) là sup{FP − id(M):M ∈
R
M}
wD(R) Chiều toàn thể yếu của vành R
rwD(R) Chiều toàn thể phải yếu của vành R
lwD(R) Chiều toàn thể trái yếu của vành R
r.IFD(R) là sup{fd(E):E là R−mô đun nội xạ phải}
right FI −dimM Chiều FI phải của M
left FI − dimM Chiều FI trái của M
gl right FI −dim
R
M Chiều FI phải toàn thể của
R
M
gl left FI − dim
R
M Chiều FI trái toàn thể của
R
M

gl right Proj
fg
− dimM
R
fg
là sup{right Proj
fg
− dimM : M ∈M
R
fg
}
4
Chỉ mục
chiều
xạ ảnh, 13
bao, 13
dẹt, 14
chiều
FP−nội xạ, 12
nội xạ, 12
dẹt, 12
FI, 17
toàn thể, 17
toàn thể yếu, 13
cogenerator, 17
cơ sở, 5
giới hạn trực tiếp, 16
hệ trực tiếp, 16
khớp
thuần khiết, 9 11

mô đun
FI−dẹt, 19
mạnh, 25
FI−nội xạ, 19
mạnh, 25
FP−nội xạ, 11
FP−nội xạ, 15
biểu diễn hữu hạn, 9
con thuần khiết, 9
dẹt, 8 10, 12, 15
nội xạ, 6, 9, 12
tuyệt đối thuần khiết, 11
tự do, 5
xạ ảnh, 5, 8, 13
đặc trưng, 9, 10
được rút gọn, 6
nội xạ
mô đun, 6
thuần khiết, 9, 10, 13
với dãy khớp, 6
phép giải
FI, 17
tối tiểu, 17
xạ ảnh, 7
phủ, 14
FP−nội xạ, 15
tenxơ, 8
tiền
bao, 13
FP−nội xạ, 14

dẹt, 15
phủ, 14
46
tích
mở rộng, 7
xoắn, 7
tính chất
ánh xạ duy nhất, 14
vành
coherent, 15, 16
hoàn chỉnh, 15
IF, 16
nửa di truyền, 15
47
Chương 1
Kiến thức cơ sở
Chương này chủ yếu trình bày một số kiến thức cơ bản cần thiết cho các chứng
minh ở các chương sau. Chứng minh của các kết quả trong chương này hầu như bỏ
qua và có thể tìm thấy trong tài liệu tham khảo.
1.1 Mô đun tự do, mô đun xạ ảnh, mô đun nội xạ, mô
đun dẹt
Đònh nghóa 1.1 Một tập con S của R−mô đun X được gọi là cơ sở của X nếu S là
tập sinh độc lập tuyến tính của X. Nghóa là mỗi phần tử x ∈ X đều biểu diễn một
cách duy nhất dưới dạng
x = r
1
s
1
+ r
2

s
2
+ + r
n
s
n
,
với các r
i
∈ R và s
i
∈ S.
Đònh nghóa 1.2 Mô đun X có cơ sở được gọi là mô đun tự do.
Đònh nghóa 1.3 R−mô đun P là mô đun xạ ảnh khi và chỉ khi với bất kì dãy khớp
ngắn các R−mô đun
0 −→ A
f
−→ B
g
−→ C −→ 0,
dãy các nhóm abel
0 −→ Hom(P, A)
f
∗
−→ Hom(P, B)
g
∗
−→ Hom(P,C) −→ 0
là dãy khớp.
5

Đònh lý 1.4 ([1], Đònh lý 1, trang 73) Mỗi mô đun tự do đều là mô đun xạ ảnh.
Đònh lý 1.5 ([[1], Đònh lý 6, trang 53) Mỗi mô đun X đẳng cấu với mô đun thương của
mô đun tự do nào đó.
Nhận xét. X là mô đun bất kì, ta luôn có dãy khớp 0 −→ L −→ P −→ X −→ 0, với
P là mô đun xạ ảnh.
Đònh nghóa 1.6 R−mô đun N là mô đun nội xạ khi và chỉ khi với bất kì dãy khớp
ngắn các R−mô đun
0 −→ A
f
−→ B
g
−→ C −→ 0,
dãy các nhóm abel
0 −→ Hom(C, N)
g
∗
−→ Hom(B,N )
f
∗
−→ Hom(A, N) −→ 0
là dãy khớp.
Đònh nghóa 1.7 Ta gọi R−mô đun M là nội xạ với dãy khớp
0 −→ X −→ Y −→ Z −→ 0
nếu dãy các nhóm abel
0 −→ Hom(Z,M ) −→ Hom(Y,M ) −→ Hom(X, M) −→ 0
là khớp.
Đònh lý 1.8 ([1], Đònh lý 9, trang 82) Mỗi mô đun X có nhúng vào một mô đun nội
xạ N(X) nào đó, xem như là mô đun con của N(X).
Nhận xét. X là mô đun bất kì, ta luôn có dãy khớp 0 −→ X −→ E −→ L −→ 0, với
E là mô đun nội xạ.

Đònh nghóa 1.9 R−mô đun trái M gọi là được rút gọn nếu M không có mô đun con
nội xạ khác 0 nào.
Đònh lý 1.10 ([1], Đònh lý 10, trang 82) Mỗi mô đun X bất kỳ, các phát biểu sau tương
đương:
(1) X là mô đun nội xạ.
(2) Mọi dãy khớp 0 −→ X −→ Y −→ Z −→ 0 là chẻ.
(3) X đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của mô đun nội xạ nào đó.
6
Đònh nghóa 1.11 Cho A là R−mô đun phải và
X : ···−→X
n+1
∂
n
+1
−→ X
n
∂
n
−→ · · ·
∂
2
−→ X
1
∂
1
−→ X
0
ε
−→ A −→ 0
là phép giải xạ ảnh bất kì của A. Với mỗi mô đun trái B, ta có phức sau

X ⊗ B : ···−→X
n+1
⊗ B
∂
∗
n+1
−→ X
n
⊗ B
∂
∗
n
−→ · · ·
∂
∗
2
−→ X
1
⊗ B
∂
∗
1
−→ X
0
⊗ B −→ 0.
Trong đó ∂
∗
n
= ∂
n

⊗ 1
B
. Ta đònh nghóa H
n
(X ⊗ B)(n =0, 1, ) là tích xoắn n
chiều trên R của hai mô đun A và B, kí hiệu là Tor
n
(A, B). Ta thường kí hiệu
Tor(A, B)=Tor
1
(A, B).
Đònh lý 1.12 ([1], Đònh lý 5, trang 160) Với mọi R−mô đun phải A và mọi dãy khớp
ngắn bất kì các R−mô đun trái
0 −→ B

−→ B −→ B” −→ 0,
ta có dãy khớp
··· −→Tor
n
(A, B

) −→ Tor
n
(A, B) −→ Tor
n
(A, B”)
−→ Tor
n−1
(A, B


) −→ · · · −→ Tor(A, B”)
−→ A ⊗ B

−→ A ⊗ B −→ A ⊗ B” −→ 0.
Đònh lý 1.13 ([1], Đònh lý 6, trang 161) Với mọi R−mô đun trái B và mọi dãy khớp
ngắn bất kì các R−mô đun phải
0 −→ A

−→ A −→ A” −→ 0,
ta có dãy khớp
··· −→Tor
n
(A

,B) −→ Tor
n
(A, B) −→ Tor
n
(A”,B)
−→ Tor
n−1
(A

,B) −→ · · · −→ Tor(A”,B)
−→ A

⊗ B −→ A ⊗ B −→ A” ⊗ B −→ 0.
Đònh nghóa 1.14 Cho A là R−mô đun phải và
X : ···−→X
n+1

∂
n+1
−→ X
n
∂
n
−→ · · ·
∂
2
−→ X
1
∂
1
−→ X
0
ε
−→ A −→ 0
là phép giải xạ ảnh bất kì của A. Với mỗi mô đun phải B, ta có phức sau
Hom(X,B): 0−→ Hom(X
0
,B)
∂
∗
0
−→ Hom(X
1
,B)
∂
∗
1

−→ · · ·
···
∂
∗
n−1
−→ Hom(X
n
,B)
∂
∗
n
−→ Hom(X
n+1
,B) −→ · · ·
Trong đó ∂
∗
n
= Hom(∂
n
, 1
B
). Ta đònh nghóa H
n
(Hom(X ⊗B))(n =0, 1, ) là tích mở
rộng n chiều trên R của hai mô đun A và B, kí hiệu là Ext
n
(A, B). Ta thường kí hiệu
Ext(A, B) = Ext
1
(A, B).

7
Đònh lý 1.15 ([1], Đònh lý 5, trang 168) Với mọi R−mô đun phải A và mọi dãy khớp
ngắn bất kì các R−mô đun phải
0 −→ B

−→ B −→ B” −→ 0,
ta có dãy khớp
0 −→ Hom(A, B

) −→ Hom(A, B) −→ Hom(A, B”)
−→ Ext(A, B

) −→ · · · −→ Ext
n−1
(A, B”)
−→ Ext
n
(A, B

) −→ Ext
n
(A, B) −→ Ext
n
(A, B”) −→ · · · .
Đònh lý 1.16 ([1], Đònh lý 6, trang 168) Với mọi R−mô đun trái B và mọi dãy khớp
ngắn bất kì các R−mô đun trái
0 −→ A

−→ A −→ A” −→ 0
ta có dãy khớp

0 −→ Hom(A”,B) −→ Hom(A, B) −→ Hom(A

,B)
−→ Ext(A”,B) −→ · · · −→ Ext
n−1
(A

,B)
−→ Ext
n
(A”,B) −→ Ext
n
(A, B) −→ Ext
n
(A

,B) −→ · · · .
Nhận xét. Nếu dãy khớp ngắn 0 −→ X −→ Y −→ Z −→ 0 là chẻ khi và chỉ khi
Ext(Z, X )=0.
Hệ quả 1.17 ([6], Hệ quả 7.25, trang 421)
(1) R−mô đun trái P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu Ext
1
(P, B )=0với mọi R−mô
đun B.
(2) R−mô đun trái E là nội xạ nếu và chỉ nếu Ext
1
(A, E)=0với mọi R−mô đun
trái A.
Đònh nghóa 1.18 R−mô đun F là mô đun dẹt trái khi và chỉ khi với bất kì dãy khớp
ngắn các R−mô đun

0 −→ A
f
−→ B
g
−→ C −→ 0,
dãy các nhóm tenxơ
0 −→ A ⊗ F
f ⊗1
F
−→ B ⊗ F
g⊗1
F
−→ C ⊗ F −→ 0
là khớp.
8
Đònh lý 1.19 ([6], Đònh lý 7.2, trang 405) Nếu R−mô đun phải F là mô đun dẹt
thì Tor
n
(F, N)=0với mọi n ≥ 1 và với mỗi R−mô đun trái N. Ngược lại, nếu
Tor
1
(F, N)=0với mỗi R−mô đun trái N thì F dẹt.
Đònh lý 1.20 ([6], Đònh lý 3.54, trang 136) R−mô đun phải B là dẹt nếu và chỉ nếu
mô đun đặc trưng của nó B
+
là R−mô đun trái nội xạ, trong đó B
+
= Hom
Z
(B,Q/Z).

Đònh nghóa 1.21 Một R−mô đun M gọi là biểu diễn hữu hạn nếu tồn tại một dãy
khớp
R
m
−→ R
n
−→ M −→ 0,
với m, n ∈ N nào đó.
Từ dãy khớp ta có M
∼
=
R
n
/Im[R
m
−→ R
n
]. Do đó M đẳng cấu với mô đun thương
của mô đun hữu hạn sinh.
Mệnh đề 1.22 ([6], Mệnh đề 3.11, trang 106) R−mô đun trái xạ ảnh hữu hạn sinh là
biểu diễn hữu hạn.
Nhận xét.
(1) Nếu M là mô đun biểu diễn hữu hạn thì tồn tại dãy khớp ngắn
0 −→ K −→ F −→ M −→ 0,
với F là mô đun tự do, K, F là mô đun hữu hạn sinh.
(2) Nếu M là mô đun biểu diễn hữu hạn thì tồn tại dãy khớp ngắn
F

−→ F −→ M −→ 0,
với F


,F là mô đun tự do và hữu hạn sinh.
Đònh nghóa 1.23 Một dãy khớp các R−mô đun
0 −→ M −→ N −→ L −→ 0,
được gọi là khớp thuần khiết nếu với mọi R−mô đun A ta có dãy sau là khớp
0 −→ A ⊗ M −→ A ⊗ N −→ A ⊗ L −→ 0.
Khi đó N được gọi là mô đun con thuần khiết của M.
R−mô đun M được gọi là nội xạ thuần khiết nếu mỗi mô đun con thuần khiết
S ⊂ N thì dãy Hom( N, M ) −→ Hom(S, M) −→ 0 là khớp.
9
Ví dụ. Mô đun nội xạ là nội xạ thuần khiết.
Mệnh đề 1.24 ([4], Mệnh đề 5.3.7, trang 112) M là R−mô đun trái. Khi đó mô đun
đặc trưng M
+
là một R−mô đun phải nội xạ thuần khiết.
Mệnh đề 1.25 ([6], Mệnh đề 3.67, trang 147) Mô đun F là dẹt nếu và chỉ nếu mỗi
dãy khớp 0 −→ M −→ N −→ F −→ 0 là khớp thuần khiết.
Bổ đề 1.26 ([11], Bổ đề 3.2.10, trang 123) Nếu dãy 0 −→ N −→ E −→ L −→ 0 là
khớp với N là nội xạ thuần khiết, E là nội xạ thì L là nội xạ thuần khiết.
Bổ đề 1.27 ([4], Đònh lý 3.2.1, trang 75) Cho R, S là các vành, các mô đun
R
A,
R
B
S
,
S
C
là mô đun nội xạ. Khi đó ta có đẳng cấu
Hom

S
(Tor
n
(B,A),C)
∼
=
Ext
n
(A, Hom
S
(B,C)),
với mọi n ≥ 0.
Nhận xét. Các R−mô đun M và N. Khi đó, ta có
Tor
n
(M,N)
+
∼
=
Ext
n
(N,M
+
),
với mọi n ≥ 0.
Mệnh đề 1.28 ([6], Mệnh đề 7.2.1, trang 418) Nếu (M
i
)
i∈I
,X là các R−mô đun. Khi

đó, với n ≥ 0 ta có
Ext
n
( ⊕
i∈I
M
i
,X)
∼
=

i∈I
Ext
n
(M
i
,X).
Mệnh đề 1.29 ([6], Mệnh đề 7.2.2, trang 419) Nếu X,(M
i
)
i∈I
là các R−mô đun. Khi
đó, với n ≥ 0 ta có
Ext
n
(X,

i∈I
M
i

)
∼
=

i∈I
Ext
n
(X, M
i
).
Mệnh đề 1.30 ([1], Đònh lý 4, trang 26) Cho các đồng cấu f : X −→ Y và g : Y −→ Z
mà gf là đẳng cấu. Khi đó ta có
Y =imf ⊕ kerg.
10
Mệnh đề 1.31 ([6], Hệ quả 6.12, trang 335) Cho biểu đồ giao hoán các R−mô đun
0
//
A

f

//
A
g

//
A”
h

//

0
0
//
B
 //
B
//
B”
//
0,
các hàng là khớp. Khi đó ta có dãy khớp sau
0 −→ kerf −→ kerg −→ kerh −→ cokerf −→ cokerg −→ cokerh −→ 0.
Mệnh đề 1.32 ([6], Đònh lý 2.75, trang 92) Cho các mô đun A
R
,
R
B
S
,C
S
, với R và S
là vành. Khi đó ta có đẳng cấu tự nhiên sau
Hom
S
(A ⊗
R
B,C)
∼
=
Hom

R
(A, Hom
S
(B,C)) .
Nhận xét. R là vành, các mô đun A
R
,
R
B
Z
thì (A ⊗ B)
+
∼
=
Hom (A, B
+
).
Mệnh đề 1.33 ([6], Đònh lý 2.76, trang 93) Cho các mô đun
R
A,
S
B
R
,
S
C, với R và S
là vành. Khi đó ta có đẳng cấu tự nhiên sau
Hom
S
(B ⊗

R
A, C)
∼
=
Hom
R
(A, Hom
S
(B,C)) .
Nhận xét. R là vành, các mô đun
R
A,
Z
B
R
thì (B ⊗ A)
+
∼
=
Hom (A, B
+
).
Bổ đề 1.34 ([6], Bổ đề 3.55, trang 137) Cho các mô đun X
R
,
S
Y
R
,Z
S

, với R và S là
vành.
(1) Khi đó ta có đẳng cấu sau
X ⊗
R
Hom
S
(Y, Z )
∼
=
Hom
S
(Hom
R
(X, Y ) ,Z) .
(2) Nếu X biểu diễn hữu hạn thì X ⊗ Y
+
∼
=
Hom (X, Y )
+
.
1.2 Mô đun FP−nội xạ và chiều của mô đun
Đònh nghóa 1.35 R−mô đun trái M được gọi là FP−nội xạ (hay tuyệt đối thuần
khiết) nếu Ext
1
(N,M)=0với mọi R−mô đun biểu diễn hữu hạn N.
Mệnh đề 1.36 ([3], Đònh lý A.16, trang 376) M là R−mô đun. Khi đó các điều sau
tương đương:
(1) M là FP−nội xạ.

(2) Mỗi dãy khớp 0 −→ M −→ X −→ Y −→ 0 là khớp thuần khiết.
11
Đònh nghóa 1.37 Chiều FP−nội xạ của M, kí hiệu FP − id(M), là số nguyên n
không âm nhỏ nhất sao cho Ext
n+1
(F, M)=0, với mọi R−mô đun trái biểu diễn hữu
hạn F.
Ta đặt l.FP − dim(R)= sup{FP − id(M): M ∈
R
M}.
Nhận xét. Nếu M là FP−nội xạ thì FP − id(M)=0.
Đònh nghóa 1.38 M là R−mô đun phải. Chiều dẹt của M, kí hiệu là fd
R
(M) hay
fd(M), là số nguyên n không âm nhỏ nhất sao cho Tor
n+1
(M,N)=0với mọi R−mô
đun trái N. Nếu không tồn tại số nguyên nào như vậy thì ta quy ước fd(M)=∞.
Nhận xét. Mô đun F là dẹt nếu và chỉ nếu fd(F )=0.
Đònh lý 1.39 ([6], Đònh lý 8.17, trang 461) Cho số tự nhiên n và M là R−mô đun
phải. Khi đó những phát biểu sau tương đương:
(1) fd(M) ≤ n.
(2) Tor
k
(M,N)=0với mọi R−mô đun trái N và mọi số nguyên k ≥ n +1.
(3) Tor
n+1
(M,N)=0với mọi R−mô đun trái N.
(4) Đối với mọi dãy khớp
0 −→ M

n
−→ F
n−1
−→ · · · −→ F
0
−→ A −→ 0.
những R−mô đun phải với F
0
,F
1
, ,F
n−1
là dẹt, thì M
n
là dẹt.
Đònh nghóa 1.40 N là R−mô đun phải. Chiều nội xạ của N, kí hiệu là id
R
(N) hay
id(N), là số nguyên n không âm nhỏ nhất sao cho Ext
n+1
(M,N)=0với mọi R−mô
đun phải M. Nếu không tồn tại số nguyên nào như vậy thì ta quy ước id(N)=∞.
Nhận xét. Mô đun E là nội xạ nếu và chỉ nếu id(E)=0.
Đònh lý 1.41 ([6], Đònh lý 8.11, trang 458) Cho số tự nhiên n và N là R−mô đun
phải. Khi đó những phát biểu sau tương đương:
(1) id(N) ≤ n.
(2) Ext
k
(M,N)=0với mọi R−mô đun phải M và mọi số nguyên k ≥ n +1.
(3) Ext

n+1
(M,N)=0với mọi R−mô đun phải M.
(4) Đối với mọi dãy khớp
0 −→ N −→ E
0
−→···−→E
n−1
−→ N
n
−→ 0.
những R−mô đun phải với E
0
,E
1
, ,E
n−1
là nội xạ, thì N
n
là nội xạ.
12
Đònh nghóa 1.42 M là R−mô đun phải. Chiều xạ ảnh của M, kí hiệu là pd
R
(M) hay
pd(M), là số nguyên n không âm nhỏ nhất sao cho Ext
n+1
(M,N)=0với mọi R−mô
đun phải N. Nếu không tồn tại số nguyên nào như vậy thì ta quy ước pd(M)=∞.
Nhận xét. Mô đun P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu pd(P )=0.
Bổ đề 1.43 ([9], Bổ đề 2.1, trang 167) M là R−mô đun. Khi đó ta có:
fd(M)=id(M

+
)=FP − id(M
+
).
Đònh nghóa 1.44 Chiều toàn thể phải yếu của vành R được đònh nghóa là:
rwD(R) = sup{fd(A): A ∈M
R
}.
Chiều toàn thể trái yếu của vành R được đònh nghóa là:
lwD(R) = sup{fd(A): A ∈
R
M}.
Đònh lý 1.45 ([6], Đònh lý 8.19, trang 462) R là vành bất kì. Ta có rwD(R) = lwD(R).
Khi đó, ta đònh nghóa chung cho rwD(R) = lwD(R) là wD(R), ta gọi là chiều toàn thể
yếu của vành R.
Mệnh đề 1.46 ([5], Đònh lý 3.3.2, trang 64) Cho R là vành, số nguyên n. Khi đó các
điều sau tương đương:
(1) wD(R) ≤ n.
(2) id(M) ≤ n, với mọi R−mô đun trái nội xạ thuần khiết M.
1.3 Tiền bao, bao, tiền phủ, phủ
Cho C là một lớp tập các R−mô đun, và M là một R−mô đun.
Đònh nghóa 1.47 Đồng cấu φ : M −→ X gọi là tiền bao C (hay C−tiền bao) của M
nếu X ∈Cvà đồng cấu nhóm abel Hom(X, X

) −→ Hom(M,X

) là toàn cấu, với mọi
X

∈C.

Một tiền bao C của Mφ: M −→ X gọi là bao C (hay C−bao) của M nếu mỗi tự
đồng cấu f : X −→ X sao cho fφ = φ thì f là đẳng cấu.
13
Đònh nghóa 1.48 Đồng cấu φ : X −→ M gọi là tiền phủ C (hay C−tiền phủ) của M
nếu X ∈Cvà đồng cấu nhóm abel Hom(X

,X) −→ Hom(X

,M) là toàn cấu, với mọi
X

∈C.
Một tiền phủ C của Mφ: X −→ M gọi là phủ C (hay C−phủ) của M nếu mỗi tự
đồng cấu f : X −→ X sao cho φf = φ thì f là đẳng cấu.
Đònh nghóa 1.49 Đồng cấu φ : M −→ X với X ∈Cđược gọi là C−tiền bao có tính
chất ánh xạ duy nhất nếu mỗi đồng cấu f : M −→ X

với X

∈Cthì tồn tại duy nhất
đồng cấu g : X −→ X

sao cho gφ = f.
Đồng cấu φ : X −→ M với X ∈Cđược gọi là C−tiền phủ có tính chất ánh xạ
duy nhất nếu mỗi đồng cấu f : X

−→ M với X

∈Cthì tồn tại duy nhất đồng cấu
g : X −→ X


sao cho φg = f.
Bổ đề 1.50 ([4], Bổ đề 6.3.3, trang 132) Nếu có C−tiền phủ M −→ X sao cho có
đồng cấu hợp nối M −→ G −→ F với M −→ F là C−tiền phủ thì G −→ F là toàn
cấu.
Khi đó ta có
Bổ đề 1.51 ([4], Bổ đề 6.3.4, trang 133) Nếu φ : M −→ X là một C−tiền phủ có tính
chất như trên thì φ : M −→ X là một C− phủ.
Bổ đề 1.52 ([4], Hệ quả 6.4.4, trang 135) Nếu với mỗi i ∈ I,M
i
−→ E
i
là C−phủ và
⊕M
i
có một C−phủ thì ⊕M
i
−→ ⊕ F
i
là một C−phủ.
Mệnh đề 1.53 ([4], Bổ đề 6.5.3, trang 137) Nếu M −→ F là bao dẹt và M là biểu
diễn hữu hạn thì F là hữu hạn sinh và xạ ảnh.
Mệnh đề 1.54 ([5], Hệ quả 1.2.8, trang 13) Mô đun M có một C−phủ. Khi đó, một
C−tiền phủ φ : X −→ M là C− phủ nếu và chỉ nếu không tồn tại một hạng tử trực
tiếp K khác 0 của X mà K ⊂ kerφ.
Mệnh đề 1.55 ([4], Mệnh đề 6.2.4, trang 131) Cho R là vành. Mỗi R−mô đun có một
tiền bao FP−nội xạ.
14
1.4 Một số loại vành và tính chất
Đònh nghóa 1.56 R được gọi là vành coherent trái nếu và chỉ nếu mỗi ideal trái hữu

hạn sinh của R là biểu diễn hữu hạn.
R được gọi là vành nửa di truyền trái nếu và chỉ nếu mỗi ideal trái hữu hạn sinh
là xạ ảnh.
Ví dụ.
(1) Vành noetherian trái là vành coherent trái.
(2) Vành nửa di truyền trái là vành coherent trái.
Nhận xét. R là vành nửa di truyền trái nếu và chỉ nếu l.FP − dim(R)≤ 1.
Bổ đề 1.57 ([12], Bổ đề 2, trang 176) Cho R là vành coherent trái. R−mô đun con
hữu hạn sinh của R−mô đun hữu hạn sinh tự do là biểu diễn hữu hạn.
Bổ đề 1.58 ([9], Bổ đề 2.3, trang 167) Cho R là vành coherent trái. M là R−mô đun
trái. Ta có: FP − id(M) = fd(M
+
) .
Mệnh đề 1.59 ([7]) R là vành coherent trái. Khi đó mỗi R−mô đun trái có một phủ
FP−nội xạ.
Bổ đề 1.60 ([4], Mệnh đề 6.5.1, trang 136) R là vành coherent trái nếu và chỉ nếu
mỗi R−mô đun có một tiền bao dẹt.
Mệnh đề 1.61 ([6], Hệ quả 8.4.33, trang 190) R là vành coherent trái. Khi đó các
điều sau tương đương:
(1)
R
R là FP−nội xạ.
(2) Mỗi R−mô đun là mô đun con của mô đun dẹt nào đó.
(3) Mỗi R−mô đun trái dẹt là FP−nội xạ.
(4) Mỗi R−mô đun phải FP−nội xạ là dẹt.
Đònh nghóa 1.62 ([6], Đònh lý (Bass), trang 186) R là vành. Khi đó các điều kiện sau
tương đương:
(1) R là vành hoàn chỉnh trái.
(2) Mỗi R−mô đun trái dẹt là xạ ảnh.
Mệnh đề 1.63 ([6], Đònh lý 4.32 (Chase), trang 171)

(1) R là vành nửa di truyền trái.
(2) R là vành coherent trái và mỗi mô đun con của mô đun dẹt là dẹt.
15
Đònh nghóa 1.64 R được gọi là vành IF trái nếu mỗi R−mô đun trái nội xạ là dẹt.
Ta đặt r.IFD(R)=sup{fd(E):E là R−mô đun nội xạ phải}.
Nhận xét. Vành nửa di truyền trái là vành IF trái và wD(R) ≤ 1.
r.IFD(R)=0khi và chỉ khi R là vành IF.
Mệnh đề 1.65 ([9], Đònh lý 3.8, trang 170) R là vành coherent trái. Khi đó ta có
r.IFD(R)=FP − id(
R
R).
Đònh nghóa 1.66 Cho tập I có thứ tự toàn phần và C là một phạm trù. Hệ trực tiếp
(direct system) trong C là cặp

(M
i
)
i∈I
, (φ
i
j
)
ij

, với (M
i
)
i∈I
là họ các vật trong C, và
họ các cấu xạ


φ
i
j
: M
j
−→ M
i

ij
mà φ
i
i
=1
M
i
với mọi i sao cho biểu đồ sau giao
hoán với mọi i  j  k
M
i
φ
i
j
!!
C
C
C
C
C
C

C
C
φ
i
k
//
M
k
M
j
.
φ
j
k
==
z
z
z
z
z
z
z
z
Đònh nghóa 1.67 Cho I là tập có thứ tự toàn phần, C là phạm trù và

(M
i
)
i∈I
, (φ

i
j
)
ij

là hệ trực tiếp trong C trên I. Giới hạn trực tiếp (direct limit) là lim
−→
M
i
và họ cấu xạ
lắp (insertion morphisms)

α
i
: M
i
−→ lim
−→
M
i

sao cho thỏa:
(1) α
j
φ
i
j
= α
i
với mọi i  j.

(2) Với X là vật trong C , và các cấu xạ f
i
: M
i
−→ X thỏa f
j
φ
i
j
= f
i
với i  j. Khi
đó tồn tại cấu xạ duy nhất θ : lim
−→
M
i
−→ X sao cho biểu đồ sau giao hoán
lim
−→
M
i
θ
//________
X
C
i
α
i
bbF
F

F
F
F
F
F
F
F
f
i
??
~
~
~
~
~
~
~
~
φ
i
j

C
j
.
α
j
YY4
4
4

4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
f
j
GG

















Mệnh đề 1.68 ([11], Bổ đề 1.2.3, trang 22) M là một R−mô đun. Khi đó M là giới
hạn trực tiếp của một hệ trực tiếp của những mô đun biểu diễn hữu hạn.
Mệnh đề 1.69 ([13], Đònh lý 1, trang 1) Các điều sau tương đương với vành R:
(1) R là vành coherent trái.
(2) M là R−mô đun FP−nội xạ trái khi và chỉ khi M
+
là dẹt.
(3) M là R−mô đun dẹt khi và chỉ khi M
++
là dẹt.
16
Mệnh đề 1.70 ([10], Đònh lý 4.5, trang 24) Các điều sau tương đương:
(1) R là vành coherent trái.
(2) Giới hạn trực tiếp của những R−mô đun FP−nội xạ là FP−nội xạ.
Đònh nghóa 1.71 Một R−mô đun trái C được gọi là cogenerator của
R
M nếu mỗi
R−mô đun trái M, mỗi m =0,m ∈ M, thì tồn tại ánh xạ g : M −→ C sao cho
g(m) =0.
Nhận xét. R
R
+
là một cogenerator của
R
M.
Đònh nghóa 1.72 Đặt FI là tập các R−mô đun FP−nội xạ. Cho R là vành coherent
trái, theo mệnh đề 1.59, mọi R−mô đun trái có một tiền phủ FP−nội xạ. Vì thế với
mỗi R−mô đun M ta có phức

···−→F
2
−→ F
1
−→ F
0
−→ M −→ 0
với F
i
là các mô đun FP−nội xạ, với mọi i ∈ N. Ta gọi dãy này là phép giải FI trái
của M.
Theo mệnh đề 1.55, mỗi R−mô đun có một tiền bao FP−nội xạ nên ta cũng có
đònh nghóa tương tự cho phép giải FI phải của M.
Phép giải FI phải
0 −→ M −→ F
0
−→ F
1
−→ F
2
−→ · · · ,
của M được gọi là tối tiểu nếu mỗi đồng cấu F
n
−→ K
n
là một phủ FP−nội xạ, trong
đó K
0
= M,K
1

= ker[F
0
−→ M],K
n
= ker[F
n−1
−→ F
n−2
], với n ≥ 2.
Chiều FI phải của R−mô đun trái M, kí hiệu right FI −dimM, là inf{n : có
phép giải FI phải dạng 0 −→ M −→ F
0
−→ F
1
−→ · · · −→ F
n
−→ 0 của M }. Nếu
không tồn tại số nguyên dương n nào, ta kí hiệu right FI −dimM= ∞.
Chiều FI phải toàn thể của
R
M, kí hiệu gl right FI −dim
R
M, là sup{right FI
−dimM: M ∈
R
M}.
Các khái niệm về chiều FI trái của M, chiều FI trái toàn thể của
R
M cũng được
đònh nghóa tương tự như trên.

Mệnh đề 1.73 ([4], Mệnh đề 8.4.8, trang 183) R là vành coherent trái, số nguyên
n ≥ 0. N là R−mô đun trái, khi đó các điều sau tương đương:
(1) right FI −dimN ≤ n .
17
(2) Ext
n+k
(M,N)=0, với mọi M là R−mô đun trái biểu diễn hữu hạn, và mọi
k ≥ 1.
(3) Ext
n+1
(M,N)=0, với mọi M là R−mô đun trái biểu diễn hữu hạn.
(4) Đối với mọi dãy khớp 0 −→ N −→ F
0
−→ · · · −→ F
n−1
−→ L
n
−→ 0, với F
i
là FP−nội xạ, khi đó ta có L
n
là FP−nội xạ.
Ta đặt Flat là lớp các mô đun dẹt. Proj
fg
là lớp các mô đun xạ ảnh hữu hạn sinh.
Mệnh đề 1.74 ([4], Đònh lý 8.4.31, trang 189) Cho R là vành coherent trái, số nguyên
n ≥ 0. Khi đó ta có
(1) Nếu dãy 0 −→ M −→ F
0
−→ F

1
−→ ··· là phép giải Flat phải của R−mô
đun phải M, thì dãy này khớp tại F
k
với mọi k ≥ n − 1, trong đó F
−1
= M.
(2) Nếu dãy 0 −→ M −→ P
0
−→ P
1
−→ · · · là phép giải Proj
fg
phải của R−mô
đun phải biểu diễn hữu hạn M, thì dãy này khớp tại P
k
với mọi k ≥ n − 1, trong đó
P
−1
= M.
(3) Mỗi R−mô đun phải FP−nội xạ M, tồn tại dãy khớp 0 −→ F
n
−→ · · · −→
F
0
−→ M −→ 0, với F
i
∈Flat.
(4) Tồn tại dãy khớp 0 −→ R −→ G
0

−→ · · · −→ G
n
−→ 0, với G
i
∈FI.
Hệ quả 1.75 ([4], Hệ quả 8.4.28, trang 189) Ta có
gl right Proj
fg
− dimM
R
fg
= gl right FI −dim
R
M−2.
18
Chương 2
Mô đun FI−nội xạ và FI−dẹt
2.1 Mô đun FI−nội xạ và mô đun FI−dẹt
Đònh nghóa 2.1
R−mô đun trái M được gọi là FI−nội xạ nếu Ext
1
(G, M)=0với mọi R−mô đun
trái FP−nội xạ G.
R−mô đun phải N được gọi là FI−dẹt nếu Tor
1
(N,G)=0với mọi R−mô đun
trái FP−nội xạ G.
Ví dụ.
(1) R−mô đun E nội xạ là FI−nội xạ.
(2) R−mô đun F dẹt là FI−dẹt.

Nhận xét. R−mô đun phải M là FI−dẹt nếu và chỉ nếu M
+
là FI−nội xạ.
Chứng minh.
Với mọi R−mô đun FP−nội xạ N, ta có
M
+
là FI−nội xạ⇔ Ext
1
(N,M
+
)=0
⇔ Tor
1
(M,N)
+
= Ext
1
(N,M
+
)=0
⇔ Tor
1
(M,N)=0⇔ M là FI−dẹt.
Mệnh đề 2.2 Với R là vành coherent trái, ta có
(1) R−mô đun trái M là nội xạ nếu và chỉ nếu M là FI−nội xạ và FP−id(M) ≤ 1.
(2) R−mô đun phải N là dẹt nếu và chỉ nếu N là FI−dẹt và fd(N) ≤ 1.
Chứng minh.
Phần (1): Chiều thuận là hiển nhiên.
19

Chiều nghòch: Cho M là FI−nội xạvà FP − id(M) ≤ 1. Do đó tồn tại dãy khớp
0 −→ M −→ E −→ L −→ 0 với E là nội xạ. Với mọi F là biểu diễn hữu hạn, ta
có Ext(F, M) −→ Ext(F, E ) −→ Ext(F, L) −→ Ext
2
(F, M) khớp. Vì E nội xạ nên
Ext(F, E )=0và FP− id(M) ≤ 1 nên Ext
2
(F, M)=0. Suy ra Ext( F, L)=0. Vì thế
dãy khớp trên chẻ. Vậy M là nội xạ.
Phần (2): Chiều thuận là hiển nhiên.
Chiều nghòch: Cho N là FI−dẹt và fp(N) ≤ 1. Khi đó N
+
là FP−nội xạ. Và
Ext
2
(A, N
+
)=Tor
2
(A, N)
+
=0với mọi A (do fp(N) ≤ 1). Nên Ext
2
(G, N
+
)=0
với mọi G là biểu diễn hữu hạn. Suy ra FP − id(N
+
) ≤ 1. Theo (1), N
+

là nội xạ. Do
vậy N là dẹt.
Mệnh đề 2.3 M là R−mô đun trái. Khi đó các điều sau tương đương:
(1) M là FI−nội xạ.
(2) Với mỗi dãy khớp 0 −→ M −→ E −→ L −→ 0, với E là FP−nội xạ thì đồng
cấu E −→ L là tiền phủ FP−nội xạ của L.
(3) M là hạt nhân của tiền phủ FP−nội xạ f : A −→ B, với A là nội xạ.
(4) M nội xạ với dãy khớp 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0, với C là FP−nội xạ.
Chứng minh.
(1)⇒(2):
Xét dãy khớp ngắn 0 −→ M −→ E −→ L −→ 0, với E là FP−nội xạ. Với mọi N
là FP−nội xạ ta có dãy khớp
0 −→ Hom(N,M) −→ Hom(N,E ) −→ Hom(N,L) −→ 0
vì Ext(N,M)=0do (M là FI−nội xạ). Vậy đồng cấu E → L là tiền phủ FP−nội xạ.
(2)⇒(3):
Xét dãy khớp ngắn 0 −→ M
i
−→ E (M)
p
−→ E(M)/M −→ 0, với E(M) là bao nội
xạ của M. Theo (2), p là tiền phủ FP−nội xạ của E(M)/M . Hơn nữa từ dãy khớp, ta
có M =imi =kerp.
(3)⇒(1):
M là hạt nhân của tiền phủ FP−nội xạ f : A −→ B, với A là nội xạ nên ta có dãy
khớp 0 −→ M −→ A −→ imf −→ 0. Do đó mọi N là FP−nội xạ, ta có dãy khớp
0 −→ Hom(N,M) −→ Hom(N,A) −→ Hom(N,imf) −→ Ext(N,M).
Vì f : A −→ B là tiền phủ FP−nội xạ của A nên f : A −→ imf cũng là tiền
phủ FP−nội xạ của A. Do đó Hom(N,A) −→ Hom(N,imf) là toàn cấu. Suy ra
20
Ext(N,M)=0. Vậy M là FI−nội xạ.

(1)⇒(4):
Xét dãy khớp 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0, với C là FP−nội xạ. Ta có dãy khớp
0 −→ Hom(C,M) −→ Hom(B,M) −→ Hom(A, M) −→ Ext(C,M).
Do M là FI−nội xạ nên Ext(C, M)=0. Nên dãy
0 −→ Hom(C,M) −→ Hom(B,M ) −→ Hom(A, M) −→ 0
là khớp.
(4)⇒(1):
Với mỗi mô đun FP−nội xạ N, tồn tại dãy khớp 0 −→ K −→ P −→ N −→ 0, với
P là xạ ảnh. Do đó Ext(P, M)=0. Ta có dãy khớp sau
0 −→ Hom(N,M) −→ Hom(P,M) −→ Hom(K, M) −→ Ext(N,M) −→ Ext(P, M)
Theo (4), ta có dãy
0 −→ Hom(N,M) −→ Hom(P,M) −→ Hom(K, M) −→ 0
là khớp và Ext(P, M)=0nên Ext(N,M)=0. Vậy M là FI−nội xạ.
Mệnh đề 2.4 Cho R là vành coherent trái. M là R−mô đun trái, khi đó các điều sau
tương đương:
(1) M là một R−mô đun trái FI−nội xạ được rút gọn.
(2) M là hạt nhân của một phủ FP−nội xạ f : A −→ B , với A nội xạ.
Chứng minh.
(1)⇒(2):
Theo mệnh đề 2.3, đồng cấu tự nhiên π : E(M) −→ E(M)/M là một tiền phủ
FP−nội xạ. Hơn nữa E(M)/M có một phủ FP−nội xạ. E(M) không có hạng tử trực
tiếp khác 0 con của M =kerπ do M là được rút gọn. Vậy theo mệnh đề 1.54 trang 14
thì đồng cấu π : E(M) −→ E(M)/M là một phủ FP−nội xạ.
(2)⇒(1):
Cho M là hạt nhân của phủ FP−nội xạ f : A −→ B, với A là nội xạ. Nên
M =kerf ≤ A. Theo mệnh đề 2.3, ta có M là FP−nội xạ.
Giả sử K là mô đun con nội xạ của M, thì K ≤ A. Nên tồn tại mô đun L sao cho
A = K ⊕ L.
21
Xét các đồng cấu p : A −→ L là phép chiếu, i : L −→ A là phép nhúng.

Với
x ∈ K ≤ kerf thì f(x)=0, p(x)=0suy ra f[ip](x)=0. Nên f(ip)(x)=f( x)=0.
x ∈ L thì ip(x)=x nên f(ip)(x)=f(x).
Do vậy f(ip)=f, nên ta có biểu đồ sao giao hoán
A
p

f

/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
L
i

A
f
//
B

Vì f là phủ nên ip là đẳng cấu. Do đó i là toàn cấu. Suy ra L = A. Vậy K =0. Nên
M là được rút gọn.
Đònh lý 2.5 Cho R là vành coherent trái. Khi đó, R−mô đun trái M là FI−nội xạ
nếu và chỉ nếu M là tổng trực tiếp của một R−mô đun trái nội xạ và một R−mô đun
trái FI−nội xạ được rút gọn.
Chứng minh.
Phần nghòch:
M la tổng trực tiếp của R−mô đun nội xạ N và một R−mô đun FI−nội xạ được
rút gọn X, M = N ⊕ X. Với mọi G là FP−nội xạ, ta có
Ext
1
(G, M) = Ext
1
(G, N ⊕ X)=Ext
1
(G, N) × Ext
1
(G, X)=0.
Phần thuận:
Cho M là FI−nội xạ. Ta có dãy khớp 0 −→ M −→ E(M) −→ E(M)/M −→ 0.
Theo mệnh đề 2.3, p : E(M) −→ E(M)/M là tiền phủ FP−nội xạ của E(M)/M . Mà
E(M)/M có một phủ FP−nội xạ h : L −→ E(M)/M . Do đó tồn tại các đồng cấu
γ : L −→ E ( M) và β : E(M) −→ L sao cho biểu đồ sau giao hoán
L
γ

h
&&
M
M

M
M
M
M
M
M
M
M
M
E(M)
β

p
//
E(M)/M
//
0
L.
h
88
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q

q
22