các dạng bài giải toán bằng máy tính cầm tay
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (326.1 KB, 21 trang )
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
Dạng 1: TÍNH TOÁN TRÊN MÁY KẾT HỢP TRÊN GIẤY
Bài 1: a) Nêu một phương pháp (kết hợp trên máy và trên giấy) tính chính xác kết quả của
phép tính sau: A = 12578963 x 14375
b) Tính chính xác A
c) Tính chính xác của số: B = 123456789
2
d) Tính chính xác của số: C = 1023456
3
Giải: a) Nếu tính trên máy sẽ tràn màn hình nên ta làm như sau:
A = 12578963.14375 = (12578.10
3
+ 963).14375 = 12578.10
3
.14375 + 963.14375
* Tính trên máy: 12578.14375 = 180808750 ⇒ 12578.103.14375 = 180808750000
* Tính trên máy: 963.14375 = 13843125
Từ đó ta có: A = 180808750000 + 13843125 = 180822593125
Hoặc viết: 180808750000 = 180000000000 + 808750000 và cộng trên máy:
808750000 + 13843125 = 822593125 ⇒ A = 180822593125
b) Giá trị chính xác của A là: 180822593125
c) B =123456789
2
= (123450000 + 6789)
2
= (1234.10
4
)
2
+ 2.12345.104.6789 + 6789
2
Tính trên máy: 12345
2
= 152399025; 2x12345x6789 = 167620410
6789
2
= 46090521
Vậy: B = 152399025.10
8
+ 167620410.10
4
+ 46090521
= 15239902500000000 + 1676204100000 + 46090521= 15241578750190521
d) C = 1023456
3
= (1023000 + 456)
3
= (1023.10
3
+ 456)
3
= 1023
3
.10
9
+ 3.1023
2
.10
6
.456 + 3.1023.10
3
.456
2
+ 456
3
Tính trên máy: 1023
3
= 1070599167; 3.1023
2
.456 = 1431651672
3.1023.456
2
= 638155584 456
3
= 94818816
Vậy C = 1070599167000000000 + 1431651672000000 + 638155584000 + 94818816 =
= 1072031456922402816
Bài 2: Tính kết quả đúng của các tích sau:
a) M = 2222255555 x 2222266666 b) N = 20032003 x 20042004
Đáp số: a) M = 4938444443209829630 b) N = 401481484254012
Bài 3: Tính kết quả đúng của các phép tính sau:
a) A = 1,123456789 - 5,02122003 b) B = 4,546879231 + 107,3564177895
Đáp số: a) A = b) B =
Bài 4: Tính kết quả đúng của phép tính sau:
A = 52906279178,48 : 565,432 Đáp số: A =
Bài 5: Tính chính xác của số A =
æ ö
ç
ç
ç
ç
è ø
2
12
10 2
3
Giải: - Dùng máy tính, tính một số kết quả:
2
10 2
34
3
+
=
và
2
2
10 2
1156
3
+
=
;
3
10 2
334
3
+
=
và
2
3
10 2
111556
3
+
=
4
10 2
3334
3
+
=
và
2
4
10 2
11115556
3
+
=
Nhận xét:
k
10 2
3
là số nguyên có (k - 1) chữ số 3, tận cùng là số 4
æ ö
ç
ç
ç
ç
è ø
2
k
10 2
3
là số nguyên gồm k chữ số 1, (k - 1) chữ số 5, chữ số cuối cùng là 6
* Ta dễ dàng chứng minh được nhận xét trên là đúng, do đó
A = 111111111111555555555556
Bài tập:
Trang 1
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
a/ Tính: A = 5555566666x6666677777 b/ Tính B = 20072007. 20082008
c/ 1038471
2
d/ 20022003
2
e/ 2222255555.2222266666
f/ 20032003.20042004 g/ 20062006 x 20072007 (ĐS 402684724866042)
Dạng 2: TÌM ƯỚC, BỘI CỦA MỘT SỐ
Cơ sở: Muốn tìm ước ta chia a cho các số không vượt quá a.
Quy trình: -1 → A
A + 1 → A: a
÷
A
Muốn tìm bội ta nhân số đó lần lượt với 0, 1, 2, …
Quy trình: (-2) A
A + 1 A: aA =
VD1: Tìm tất cả các ước của 60?
-1 → A
A + 1 → A:60
÷
A bấm = xuất hiện số 1 và kết quả 60 thì ta có 2 ước là 1 và 60
Bấm
=
đến khi đế lần thứ 30 thì dừng lại.
Vậy Ư(60) =
{ }
1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60
± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±
Ví dụ 2: Tìm các bội của 30
(-2) A
A + 1 A: 30A = ta được các số là 0, 30, 60, 120, …
Ví dụ 3: Tìm bội của 206 nhỏ hơn 2006
Ta thực hiện quy trình như trên và chỉ chọn các bội là 0; 206; 412; 618; 824, 1030; 1236;
1442; 1648; 1854
Ví dụ 4: Tìm các bội của 45 nhỏ hơn 2000 và chia hết cho 35
Vì số cần tìm bội của 45 nên có dạng 45A nên ta lập quy trình sau:
-2 A A + 1 A:45A ÷ 35:45A bấm =
màn hình xuất hiện 0 = 0 = 0 nghĩa là 45.0:35 = 0
Ta nhấn tiếp nếu màn hình xuất hiện 45A÷ 35 là số nguyên thì thì trong lần kế tiếp chính là
số thỏa mãn điều kiện. Vậy ta tìm được 315; 630; 945; 1260; 1575; 1890 khi kết quả lớn
hơn 2000 thì dừng lại.
Ví dụ 5: Tìm BCNN của 45 mà khi chia cho 41 thì dư 10
Vì số này chia cho 41 dư 10 nên lấy số đó trừ 10 thì chia hết, ta sẽ đưa về dạng bài toán
trên:
-2 A A + 1 A: (45A – 10) ÷ 41: 45A = (ta chỉ chọn 2 số nguyên liên
tiếp) với A = 23 và 25 và 1035. Vậy số đó là 1035
Dạng 3: XÁC ĐỊNH MỘT SỐ LÀ SỐ NGUYÊN TỐ
* Với nguyên tắc mọi số nguyên tố đều là số lẻ
Và một số không chia hết cho thừa số nguyên tố nào là số nguyên tố
Cách 1: (-1) A
A + 2 A:(Số cần xđ) ÷ A bấm = cho đến số cần dừng, nếu kết quả không là số
nguyên thì số đó không phải là nguyên tố.
Cách 2: Gán số đó vào B; Tính
B
= … (điểm dừng)
B ÷ 3 =
B ÷ (B ÷ Ans + 2) = … đến điểm dừng
Ví dụ: Số 647 là số nguyên tố không?
(-1) A
A + 2 A:647 ÷ A bấm = … đến A = 27 thì thương là 23,9… Vậy 647 không
chia hết cho A => 647 là số nguyên tố
Ví dụ 2: Xét xem 10007 nguyên tố hay hợp số?
Trang 2
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
10007 B
B
= 100, 034…
B ÷ 3 =
B ÷ (B ÷ Ans + 2) = … đến điểm dừng
Ví dụ: Xét xem 8191 là số nguyên tố hay hợp số?
Quan sát các kết quả ta thấy đều không nguyên, cho nên khẳng định 8191 là số nguyên tố.
Ví dụ: Xét xem 99 873 là số nguyên tố hay hợp số?
5. Quan sát màn hình thấy có kết quả nguyên là 441, cho nên khẳng định 99 873 là hợp số.
Bài tập: Số nào sau đây là số nguyên tố: 403; 569; 1361; 1363 (ĐS: 569 và 1361)
Dạng 4: Tìm ƯCLN, BCNN
A. Phương pháp giải toán
Bài toán 1: Tìm UCLN và BCNN của hai số nguyên dương A và B (A < B).
Thuật toán: Xét thương
A
B
. Nếu:
1. Thương
A
B
cho ra kết quả dưới dạng phân số tối giản hoặc cho ra kết quả dưới dạng số
thập phân mà có thể đưa về dạng phân số tối giản
a
b
(a. b là các số nguyên dương) thì:
ƯCLN(A, B) = A:a = B;b; BCNN(A, B) = A.b = B.a
2. Thương
A
B
cho ra kết quả là số thập phân mà không thể đổi về dạng phân số tối giản thì
ta làm như sau: Tìm số dư của phép chia
A
B
. Giả sử số dư đó là R (R là số nguyên dương
nhỏ hơn A ) thì:
ƯCLN (B, A) = ƯCLN(A, R) ( Chú ý: ƯCLN (B, A) = ƯCLN(A, B))
Đến đây ta quay về giải bài toán tìm ƯCLN của hai số A và R .
Tiếp tục xét thương
R
A
và làm theo từng bước như đã nêu trên.
Sau khi tìm được ƯCLN(A, B), ta tìm BCNN(A, B) bằng cách áp dụng đẳng thức:
ƯCLN(A.B).BCNN(A, B) = A.B => BCNN(A, B) =
A.B
UCLN(A, B)
Bài toán 2: Tìm ƯCLN và BCNN của ba số nguyên dương A, B và C.
Thuật toán:
1. Để tìm ƯCLN(A,B,C) ta tìm ƯCLN(A, B) rồi tìm ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] Điều này
suy ra từ đẳng thức: ƯCLN(A,B,C) = ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] = ƯCLN[ƯCLN(B, C), A] =
= ƯCLN[ƯCLN(A, C), B]
2. Để tìm BCNN(A, B, C) ta làm tương tự. Ta cũng có:
ƯCLN(A,B,C) = ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] = ƯCLN[ƯCLN(B, C), A] = ƯCLN[ƯCLN(A,
C), B]
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm ƯCLN và BCNN của 220887 và 1697507
Giải: Ta có:
220877 2187
1697507 16807
Suy ra:
ƯCLN(220887, 1697507) = 220887:2187 = 101;
BCNN(220887, 1697507) = 220887.16807 = 3712447809
Ví dụ 2: Tìm ƯCLN và BCNN của 3995649 và 15859395
Giải: Ta có:
3995649
0,2519424
15859375
Trang 3
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
Ta không thể đưa số thập phân này về dạng phân số tối giản được. Vậy ta phải dùng
phương pháp 2.
Số dư của phép chia
15859375
3995649
là 3872428. Suy ra:
ƯCLN(15859375, 3995649) = ƯCLN(3995649, 3872428)
Ta có:
3872428
3995649
= 0,9691612051
Ta cũng không thể đưa số thập phân này về dạng phân số tối giản được. Ta tiếp tục tìm số
dư của phép chia:
3995649
3872428
. Số dư tìm được là 123221. Suy ra:
ƯCLN(3995649, 3872428) = ƯCLN(3872428, 123221)
Ta có:
123221 607
3872428 19076
. Suy ra:
ƯCLN(3872428, 123221) = 123221:607 = 203,
BCNN =
15859375.3995649
203
= 312160078125
Ví dụ 3: Tìm ƯCLN của ba số 51712, 73629 và 134431
Giải: Ta tìm ƯCLN(51712, 73629) = 101, và ƯCLN(101, 134431) = 101
=> ƯCLN(51712, 73629, 134431) = 101
C. Bài tập vận dụng
1. Tìm ƯCLN và BCNN của: a. 43848 và 8879220
b. 1340022 và 622890625 c. 1527625 và 4860625 d. 1536885 và 24801105
2. Tìm ƯCLN và BCNN của 416745, 1389150 và 864360.
3. Tìm ƯSCLN của 40096920, 9474372 và 51135438. ĐS: 678
Dạng 5: TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA - ỨNG DỤNG CỦA QUAN HỆ ĐỒNG DƯ
A. Phương pháp giải toán
Bài toán 1: Tìm số dư của phép chia số nguyên dương A cho số nguyên dương B ( B có tối
đa 10 chữ số).
Thuật toán: 1. Nếu số các chữ số của A không vượt quá 10. Ta làm như sau:
Tìm phần nguyên của thương A : B. Gọi phần nguyên đó là N. Thì số dư của phép chia A:
B ( Kí hiệu là R) là: R = A – N.B
2. Nếu số các chữ số của A lớn hơn 10. Ta làm như sau:
Giả sử A có dạng:
1 2 3 10 11 n
A A A A A A A
Đầu tiên ta tìm số dư của phép chia
1 2 3 10
A A A A
cho B bằng cách 1. Giả sử số dư này là
R
1
( R
1
ít hơn 10 chữ số).
Tiếp theo ta tìm số dư cảu phép chia
1 11 12
R A A
cho B (
1 11 12
R A A
có 10 chữ số). Giả sử
số dư này là R
2
. Cứ làm như thế cho đến khi ta tìm được số dư của phép chia
m n 1 n
R A A
cho B (
m n 1 n
R A A
không quá 10 chữ số). Giả sử số dư đó là R. Thì R cũng là số dư của
phép chia A cho B.
Bài toán 2: Tìm số dư của phép chia A
N
cho số nguyên dương B. ( Trong đó A và N cũng là
số nguyên dương).
Thuật toán: Để tìm số dư của phép chia A
N
cho B ta tìm số R < 0 sao cho: A
N
º
R(modB)
Thì R chính là số dư của phép chia trên.
Để giải dạng toán này ta cần có một số kiến thức về quan hệ đồng dư.
1. Định nghĩa quan hệ đồng dư
Trang 4
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
Cho 2 số nguyên A và B. Ta nói A có quan hệ đồng dư theo modulo M với B, kí hiệu là
ºA B(modM)
khi và chỉ khi M là ước số của (A – B), trong đó M là số
nguyên dương
Ví dụ:
º7 2(mod5)
;
º
5
2 4(mod7)
2. Một số tính chất
i.
º MA 0(modM) A M
ii.
º º ºA B(modM); B C(modM) => A C(modM)
iii.
º º ºA B(modM) => A C B C(modM); A.C B.C(modM)
iv.
º º º ºA B(modM); C D(modM) => A + C B D(modM); A.C B.D(modM)
v.
º º
N N
A B(modM); => A B (modM)
vi. M là số nguyên tố và ƯCLN(A,M) = 1 thì:
º
M 1
A 1(modM)
vii. M là số nguyên tố thì:
º
M M M
(A + B) A B (modM)
B. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 123456789 cho 9876
Giải: Ta có: 123456789:9876 = 125082,8663 => R = 123456789 – 125082.9876 = 855
Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 135792468013579 cho 24680
Giải: Ta tìm số dư của phép chia 1357924680 cho 24680 Kết quả là 6400.
Tiếp tục tìm số dư của phép chia 640013579 cho 24680 Kết quả là 11819.
Ví dụ 3: Tìm số dư của phép chia 5
2008
cho 2003
Giải: Vì 2003 là số nguyên tố và ƯCLN (5; 2003) = 1. Nên ta có:
º
2002
5 1(mod2003)
.
Suy ra:
º º
2002 6 6
5 .5 5 (mod2003) 1064(mod2003)
Vậy số dư của phép 5
2008
cho 2003chia là 1064
Ví dụ 4: Tìm số dư của phép chia 1991
40
cho .
Giải: Cách 1: Ta có:
º
2
1991 289(mod2008)
;
º
3
1991 1111(mod2008)
=>
º º
5
1991 289.1111(mod2008) 1807(mod2008)
=>
º º
10 2
1991 1807 (mod2008) 241(mod2008)
=>
º º
40 2
1991 241 (mod2008) 713(mod2008)
Vậy số dư của phép chia 1991
40
cho 2008 là 713
Cách 2: Ta có:
º
2
1991 289(mod2008)
=>
º
8
1991 1585(mod2008)
=>
º
40 5
1991 1585 (mod2008)
Ta tính:
º º
3 2
1585 577(mod2008); 1585 217(mod2008)
=>
º º
40
1991 577.217(mod2008) 713(mod2008)
C. Bài tập vận dụng
1. Tìm số dư của các phép chia sau: a. 199119921993 cho 2008
b. 537624161 cho 12547 c. 9876543210123456789 cho 2468013579
d. 132462574134 cho 29
2. Tìm số dư của các phép chia sau:
a. 5
20
cho 12345 b. (2
2000
– 1) cho 12345 c. 1991
1999
cho 191
d. 5
1991
+ 5
1999
+ 5
2007
cho 467 e. 7
40
+ 11
40
+ 19
40
cho 2000
f. 5.1991
7
+ 253
11
+ 2002 cho 1993.
3. Tìm thương và dư của phép chia (3
20
+1) cho (2
15
+1)? (thương là 106 404. số dư là
31 726)
4. Tìm số dư trong các phép chia sau: a/ 9124565217 cho 123456 (55713)
b/ 987896854 cho 698521 (188160)
5. Tìm số dư của phép chia a/ 2345678901234 cho 4567. (2203)
b/ 983637955 cho 9604325 (4005985)
Trang 5
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
c/ 903566896235 cho 37869. (21596)
d/ 1234567890987654321 cho 123456 (8817)
6/ Tìm số dư của phép chia a/ 12
6
cho 19 b/ 2004
376
cho 1975 (246)
c/ 13
8
cho 27 d/ 25
14
cho 65 e/ 1978
38
cho 3878.
f/ 2005
9
cho 2007 g/ 7
15
cho 2001
Dạng 6: TÌM CHỮ SỐ HÀNG CHỤC, TRĂM, ĐƠN VỊ … CỦA MỘT LŨY THỪA
Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị của số 17
2002
Giải: (Ta tìm đồng dư mod10)
( )
1000
2 2 2000 1000
2 1000 2000
17 9(mod10) 17 17 9 (mod10)
9 1(mod10) 9 1(mod10) 17 1(mod10)
≡ => = ≡
≡ => ≡ => ≡
Vậy
2000 2
17 .17 1.9(mod10)≡
. Chữ số tận cùng của 17
2002
là 9
Cách 2: Dùng chức năng TABLE
Ví dụ: Tìm chữ số cuối cùng của 7
2005
+ Khởi động chế độ TABLE: MODE 4
+ Trên mày sẽ hiệ f(X) ta nhập hàm: 7 x
ANPHA ) (x) (do đây là lũy thừa của 7)
+ Ấn tiếp : = (Syrat) 1 = (End) 9 = (Step) 1 =
Theo trên các số cuối cùng lần lượt là 7, 9, 3, 1 chu kỳ là 4
Mặt khác 2005 = 4x501 + 1 => 7
2005
có số cuối cùng 7
Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của 4
2008
Ấn MODE 4 Nhập hàm 4 x
ANPHA ) (x)
Ấn tiếp: = (Syrat) 1 = (End) 9 = (Step) 1 =
Ta được bảng các giá trị và thấy các số cuối lần lượt là 4, 6 chu kỳ là 2
Mà 2008 = 2.1004 => số cuối cúng là 6
Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 23
2005
.
Giải + Tìm chữ số hàng chục của số 23
2005
(Ta tìm đồng dư mod100)
1 2 3 4
23 23(mod100) 23 29(mod100) 23 67(mod100) 23 41(mod100)≡ => ≡ => ≡ => ≡
Do đó:
( )
5
20 4 5 2000 100
23 23 41 01(mod100) 23 01 01(mod100)= ≡ ≡ => ≡ ≡
2005 1 4 2000
23 23 .23 .23 23.41.01 43(mod100)⇒ = ≡ ≡
Vậy chữ số hàng chục của số 23
2005
là 4 (hai chữ số tận cùng của số 23
2005
là 43)
+ Tìm chữ số hàng trăm của số 23
2005
(Ta tìm đồng dư mod1000)
1 4 5
20 4 2000 100
23 023(mod1000) 23 841(mod1000) 23 343(mod1000)
23 343 201(mod1000) 23 201 (mod1000)
≡ => ≡ => ≡
=> ≡ ≡ => ≡
5 100 2000
2005 1 4 2000
201 001(mod1000) 201 001(mod1000) 23 001(mod1000)
23 23 .23 .23 023.841.001 343(mod1000)
≡ => ≡ => ≡
= ≡ ≡
Vậy chữ số hàng trăm của số 23
2005
là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 23
2005
là số 343)
Tìm số mũ của một lũy thừa:
Ví dụ: Tìm số mũ tự nhiên n sao cho: 2
n
= 64
Ấn MODE 4 Nhập hàm 2 x
ANPHA ) (x)
Ấn tiếp: = (Syrat) 1 = (End) 9 = (Step) 1 =
Máy xuất hiện một bảng, tra bảng thấy x = 6 là giá trị cần tìm
Bài tập: 1/ Tìm a/ Chữ số tận cùng của số 2
9999
b) Chữ số hàng chục của số 2
9999
c/
3411
7
. d/
236
8
.
Kq: a/ 8 b/ 8 c/ 743. d/ 2256
Tính số lẻ thập phân thứ n sau dấu phẩy.
Ví dụ 1: Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13
Giải:
Trang 6
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
+ Thực hiện phép chia 17 : 13 = 1.(307692)
Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm 6 chữ số.
Ta có 105 = 6.17 + 3 (
105 3(mod6)≡
)
Vậy chữ số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba của chu kỳ. Đó chính là số 7
Ví dụ 2: Tìm chữ số thập phân thứ 13
2007
sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho 19
Giải: Ta có
250000 17
13157
19 19
= +
. Vậy chỉ cần tìm chữ số thập phân thứ 13
2007
sau dấu
phẩy trong phép chia 17 : 19
Ấn 17 : 19 = 0,(894736842105263157) . Chu kỳ gồm 18 chữ số.
Ta có
( )
669
3 2007 3 669
13 1(mod18) 13 13 1 (mod18)≡ ⇒ = ≡
Kết quả số dư là 1, suy ra số cần tìm là sồ đứng ở vị trí đầu tiên trong chu kỳ gồm 18 chữ số
thập phân. Kết quả : số 8
Ví dụ 3: Cho
47 4127
A 129
57 171
. Tìm chữ số thứ
( )
2310
2. 3 4+
sau dấu phảy của A.
Tính được
( )
321637426900584795,105=A
Ta có số
2310
2. 3 4
chia 18 dư 8 nên chữ số thứ
( )
2310
2. 3 4+
sau dấu phảy của A là chữ
số 7.
Bài tập: Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy khi chia:
a) 1 chia cho 49 b/ 10 chia cho 23
Dạng 7: TÍNH TOÁN CƠ BẢN TRÊN DÃY CÁC PHÉP TÍNH CỒNG KỀNH
Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:
Kiến thức bổ sung cần nhớ: Cách chuyển đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số.
Nhận xét: Cách đổi chung: Đổi số tuần hoàn sang số thập phân: mỗi chữ số tuần hoàn là 1
số 9 dưới mẫu (nếu sau dấu phảy có một con số thì thêm 1 chữ số 0 bên phải số 9), trên tử
lấy nguyên số trừ phần trước tuần hoàn
Ví dụ: 4,(37) =
437 4
99
=
433
99
; 3,5(26) =
3526 35 3491
990 990
Bài tập: Đổi ra phân số: a/ 3,08(078) b/ 0,(123) c/ 4,(35) d/ 2,45(736)
e/ 0,8(945) f/ 0,82(345) g/ 0,13(456) h/ 3,15(321)
Tính giá trị biểu thức cồng kềnh:
Cách 1: Ta ghi vào màn hình biểu thức, hoặc có thể tính từng thành phần sau đó thực hiện
tính
Cách 2: Sử dụng gán vào các chữ:
VD1: Tính giá trị của biểu thức. (Tính chính xác đến 0,000001)
a. A =
4 2 4
0, 8 :( .1,25) (1,08 ) :
4
5 25 7
(1,2.0,5):
1 5 1 2
5
0,64 (6 3 ).2
25 9 4 17
(ĐS:
1
2
3
)
b. B =
1 1
7 90
2 3
0,3(4) 1,(62) : 14 :
11 0,8(5) 11
+
+ −
(ĐS:
106
315
)
Bài 1. Thực hiện phép tính A =
1 1
1 .
1 9 3,5 1
4 0,25
2 : :
7 100 69
9 10 2
.0,5. 7
1
2 1 2,2.10
1 :
5
+
− + +
−
+
Kq: A =
10
Trang 7
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức A =23% của
3
2
2
15 9 8
47,13 : 11 4
7 22 21
14 13
12,49 2
25 24
− +
÷
− +
÷
Kq: A =-109,3409047
Bài 3: Tính a)
3 3
3 3 3
A 5 4 2 20 25= − − − +
b)
3 3
3 3
3 3
54 8
B 200 126 2 6 2
1 2 1 2
= + + + −
+ +
c)
2 2
3
2 3
5
1,263
C
3,124 .15.2,36
π
=
Kq: a) A =-0,700213952 B = 1,224443667 C = 0,323640831
Bài 4: a/ 5% của A =
( )
3 3 5
6 3 5
5 14 6
21 1,25 : 2,5
−
÷
−
b/ 5% của
7 5 2
85 83 : 2
30 18 3
B
0,004
−
÷
=
c/
5%A 2,5%B+
a) KQ = 0,125 b) KQ =
55
6
=
9,1666666667 c) KQ =
113
24
=
4,70833333
Bài 5: Tính
( )
3 3 3
A 26 15 3. 2 3 9 80 8 80= + − + + + −
Kq: A
≈
2,636966185
Bài 6: Tính A =
5 5
2,4 1 .4,375 2,75 1 .21
67
7 6
:
2 1 3
200
8 0, 45
3 6 20
+ −
÷ ÷
−
− −
B = 12% của
3 b
a
4 3
+
÷
. Biết:
( )
( ) ( )
2 1
3 : 0,09 : 0,15 : 2
2,1 1,965 : 1,2.0,045
1 : 0,25
5 2
a ;b
0,3206 0,03 5,3 3,88 0,67 0,00325 0,013 1,6.0,625
−
÷
−
= = −
+ − − + +
Kq: A = 100
36151872
B 4,641818112
7788300
= ≈
Bài 7: Tính
N 5 7 5 7 5 7 5 7 5= + + + +
chính xác đến 0,0001 KQ: N
=53,2293
8/
1994x1993 2 1993x19941994 212121
1992 1992x1994 19931993x1994 434343
−
− +
+
9/ Tính và làm tròn đến 6 chữ số thập phân:
3 : 0,4 0,09 :(0,15 : 2,5 (2,1 1,965) : (1,2.0,045)
0,32.6 0,33 (5,3 3,38) 0,67 0,00325 : 0,013
− −
+
+ − − +
Dạng 8: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
1/ Phương trình bậc nhất:
VD 1: Tìm x. (Tính chính xác đến 0,0001)
a.
4 6 (2,3 5 : 6,25).7 1
5 : x :1,3 8, 4. . 6 1
7 7 8.0, 0125 6,9 14
+
+ − =
+
(x = -20,384)
Ta gán:
4
5
7
cho A;
6 (2,3 5 : 6,25).7
8,4. . 6
7 8.0,0125 6, 9
+
−
+
cho B;
1
1
4
cho C
Ta có A: (x:1,3 + B) = C => x = (A:C – B).1,3 = -20,384
Trang 8
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
Bài tập: 1/
1 3 1
x 4 : 0,003 0,3 .1
1
2 20 2
: 62 17,81 : 0,0137 1301
1 1 3 1
20
3 2,65 .4 : 1,88 2 .
20 5 25 8
− −
÷ ÷
− + =
− +
÷ ÷
(x=
6)
2/
5 7 7 11 7 5
x 1 x 3
3 2 5 9 8 11
− + − = −
÷ ÷ ÷
Kq:
125 20321
9
2244 2244
=
3/
2 3 1 6 3 7 15 11
x x
3 5 3 2 4 3 2 3 5
+ − − −
− − =
÷
÷
− + − −
Kq: x = -1,449181224
4/
1 11 5 21
2 x 3 x x
7 5 6 5
− + =
÷
Kq: x =
462
1237
5/
2
2x 13 5 8 11 3 6
x
7
8 6 25
1
5
− −
+ + =
÷
÷
+
Kq: -0,1630
6/
7
3
5 8 3 2 3 11 2 10
9
x . x
1 3 2 7 6 5 13 7
− − +
− + =
÷
÷
− − − −
Kq: -9,7925
7/ Tìm x và làm tròn đến 4 chữ số thập phân:
1 1 1 1 1
.140 1,08 :[0,3.(x 1)] 11
21.22 22.23 23.24 28.29 29.30
+ + + + + + − =
÷
8/ Tìm y bieát:
13 2 5 1 1
: 2 1
15,2.0,25 48,51 : 14,7
44 11 66 2 5
1
y
3,2 0,8 5 3,25
2
− −
÷
−
=
+ −
÷
2/ Dạng phương trình bậc hai:
Ta sử dụng chức năng giải phương trình bậc hai: Bấm MODE chọn đến EQN chọn giải
phương trinh bậc hai và nhập các hệ số a, b, c bấm =, =
Chú ý: Khi giải bằng chương trình cài sẵn trên máy nếu ở góc trái màn hình máy hiện
R I⇔
thì nghiệm đó là nghiệm phức
Bài tập: Giải các phương trình:
a/
2
2x 2 3x 2 0+ − =
(x =
10 6
2
±
); b/ (x - 4)
2
+ (2x + 1)
2
= 25- 5x (x =
1 161
10
− ±
)
c/ 1,85432x
2
– 3,21458x – 2,45971 = 0 (2308233881; 0,574671173)
d/ 2,354x
2
– 1,542x – 3,141 = 0 (x
1
= - 0,873138407, x
2
= 1,528193632)
e/ 1,9815x
2
+ 6,8321x + 1,0581 = 0 f/ 1,23785x
2
+ 4,35816x – 6,98753 = 0
3/ Phương trình bậc ba:
Ấn
MODE MODE 1 3
nhập các hệ số a, b, c, d vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn
phím
=
giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính.
Ví dụ: Tìm tất cả các nghiệm gần đúng với 5 chữ số thập phân của phương trình x
3
-
5x + 1=0.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím
MODE MODE 1 3
1 0 ( )5 1 (x1 = 2, 1284190 64) (x2 = -2, 33005874) (x 3 = 0, 201639675)
Bi tập: a/ x
3
+ x
2
– 2x – 1 = 0 b/ 1.4. 4x
3
– 3x + 6 = 0
Dạng 9: TÍNH TOÁN VỚI ĐA THỨC
1/ Tính giá trị của biểu thức đại số:
Trang 9
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
Ta có 2 cách tính: Sử dụng cách gán giá trị (phím STO) Hoặc tính trực tiếp bằng nút Ans
VD1: Tính giá trị của biểu thức: 20x
2
-11x - 2006 tại
a) x = 1; b) x = -2; c) x =
2
1−
; d) x =
0,12345
1,23456
;
Cách làm: Gán 1 vào ô nhớ X:
Nhập biểu thức đã cho vào máy: (Ghi kết quả là -1997)
Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X:
Rồi dùng phím
để tìm lại biểu thức, ấn
=
để nhận kết quả. (Ghi kết quả là -1 904)
Làm tương tự với các trường hợp khác (ĐS c)
1
1995
2
−
; d) -2006,899966).
Ta có thể sử dụng phím Ans: 1 = 20Ans
2
– 11Ans – 2006 =
VD2: Tính giá trị của biểu thức: x
3
- 3xy
2
– 2x
2
y -
3
2
y
3
tại:
a/ x = 2; y = -3. b/ x =
4
3−
; y = -2
7
3
c/ x =
2 7
5
y =
2,35
2,69
Cách làm: Gán 2 vào ô nhớ X: Gán -3 vào ô nhớ Y: Nhập biểu thức đã cho vào máy
(Ghi kết quả là - 4 )
Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X:
Dùng phím
để tìm lại biểu thức, ấn
=
để nhận kết quả. (Ghi kết quả là
25,12975279)
Làm tương tự với trường hợp c) (Ghi kết quả là -2,736023521)
Bài tập: 1/ Tính
5 4 2
3 2
3x 2x 3x x
A
4x x 3x 5
− + −
=
− + +
khi x = 1,8165 (Kq: 1.498465582)
2/ Tính
5 4 2
3 2
3x 2x 3x x
A
4x x 3x 5
− + −
=
− + +
khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321
3/ a. Tính
4 3 2
x 5x 3x x 1+ − + −
khi x = 1,35627
b. Tính
5 4 3 2
P(x) 17x 5x 8x 13x 11x 357= − + + − −
khi x = 2,18567
4/
x x 9 3 x 1 1
T(x) :
9 x
3 x x 3 x x
æ ö æ ö
ç ç
ç ç
ç ç
ç ç
è ø è ø
. Tính
3
T( 231007)
;
2007
T( 2008)
.
Kq:
3
T( 231007) 1,194910171= −
2007
T( 2008) 0,50063173
2/ Tìm dư của 2 đa thức f(x) và g(x) và điều kiện chia hết:
a/ f(x) : g(x) thì tồn tại q(x) và r(x) sao cho f(x) = g(x).q(x) + r(x). Nếu r(x) = 0 thì f(x) chia
hết cho g(x).
b/Định lí Bezoul: Giả sử đa thức f(x) là đa thức của biến x và a
∈
R trong biểu thức của f(x).
Khi thay x = a thì được một số ký hiệu là f(a). gọi là giá trị của f(x) tại a.
Nếu f(a) = 0 thì f(x) có nghiệm là x = a.
Định lí Bezoul: Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x – a là hằng số bằng
f(a).
VD1: Chia f(x) = x
3
+ 4x
2
- 5 cho g(x) = x – 1. Ta có số dư là f(1) = 1
3
+ 4.1
2
– 5 = 0
VD2: Chia f(x) = x
5
+2x
3
– x + 4 cho g(x) = x + 1. Ta có dư f(-1) = (-1)
5
+2.(-1)
3
- (-1)+4=2
- Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = ax + b là hằng số bằng f
b
a
−
÷
.
VD3: Chia f(x) = 3x
3
+ 2x
2
+ 5x – 7 cho g(x) = 2x + 1.
Ta có số dư là: f
3 2
1 1 1 1 75
3. 2. 5. 7
2 2 2 2 8
− − − − −
= + + − =
÷ ÷ ÷ ÷
Trang 10
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
VD4: Chia f(x) = 3x
4
+ 5x
3
– 4x
2
+ 2x – 7 cho g(x) = 4x – 5.
Ta có số dư là f
4 3 2
5 5 5 5 5 87
3. 5. 4. 2. 7 6
4 4 4 4 4 256
= + − + − =
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
* Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax+b ta luôn được P(x) = Q(x)(ax + b)+ m + r.
Muốn P(x) chia hết cho x – a thì m + r = 0 hay m = -r = - P(
b
a
−
)
Ví dụ 5: Tìm a để
4 3 2
x 7x 2x 13x a+ + + +
chia hết cho x + 6.
Ta có: a = -f(-6) = 222
Ta có thể thực hiện: Ta nhập biểu thức : X
4
+ 7X
3
+ 2X
2
+ 13X +A = 0
Ấn: SHIFT SOLVE = X ? nhập -6
Ấn tiếp: SHIFT SOLVE máy hiện: A = 222. Vậy : a = 222.
Ví dụ 6: Xác định giá trị k để đa thức f(x) = x
4
– 9x
3
+21x
2
+ x + k chia hết cho đa thức
g(x) = x
2
– x – 2.
C
1
: Lấy f(x) chia cho g(x) để tìm số dư và đặt số dư bằng 0 để tìm k.
Ta có: f(x) = (x
2
– x – 2)(x
2
– 8x + 15) +k +30 = 0
Vậy để f(x)
g(x) thì k + 30 = 0. Suy ra k = -30
C
2
: Ta có g(x) = x
2
– x – 2 = x
2
– 2x + x – 2 = x(x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1)
Vậy f(x) chia hết cho g(x) = x
2
– x – 2 thì cũng chia hết cho (x – 2)(x + 1)
Áp dụng định lí Bezoul và định nghĩa của phép chia hết ta thay x = -1 hoặc x = 2 vào f(x),
ta được f(-1) = 0
⇔
k = - 30.
Ví dụ 7: Cho đa thức P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e. Biết P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9,
P(4) = 16, P(5) = 25. a/ Tính các giá trị P(6), P(7), P(8), P(9)
b/ Viết lại đa thức P(x) với các hệ số là số nguyên.
Giải: Ta có P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25.
Xét đa thức Q(x) = P(x) – x
2
. Dễ thấy Q(1) = 1, Q(2) = 4, Q(3) = 9, Q(4) = 16, Q(5) = 25.
Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x).
Vì hệ số của x
5
= 1 nên suy ra Q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x - 5)
Nên Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 - 5) = P(6) – 6
2
.
Suy ra P(6) = 6
2
+ 5! = 156. Tương tự P(7) = 7
2
+ 6! = 769.
P(8) = 8
2
+
7!
2!
= 2584. P(9) = 9
2
+
8!
3!
= 6801.
b)P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x - 5) + x
2
.
P(x) = x
5
– 15x
4
+ 85x
3
– 284x
2
+ 274x – 120.
Bài tập:
1/ Tìm số dư trong phép chia: P=
14 9 5 4 2
x x x x x x 723
x 1,624
− − + + + −
−
(Kq: r = 85,92136979)
2/ Tìm số dư trong phép chia
5 3 2
x 6,723x 1,857x 6,458x 4,319
x 2,318
− + − +
+
3/ Cho
( )
4 4 2
x
P x 5x 4x 3x 50= + − + −
. Tìm phần dư r
1
, r
2
khi chia P(x) cho x – 2 và x – 3.
Tìm BCNN(r
1
,r
2
)?
4/ Tìm số dư của phép chia : a)
( )
( )
4 3 2
3x 5x 4x 2x 7 : x 5+ − + − −
( )
( )
( )
( )
5 3 2 4 3 2
b) x 7x 3x 5x 4 : x 3 c) 3x 5x 4x 2x 7 : 4x 5− + + − + + − + − −
(Kq: a) r = 2403 ; b) r = -46 ; c) r =
687
256
)
5/ Cho P(x) = 3x
3
+ 17x – 625. Tính a để P(x) + a
2
chia hết cho x + 3?
Số dư a
2
= -
( ) ( )
3
3 3 17 3 625
− + − −
=> a =
±
( ) ( )
3
3 3 17 3 625
− − + − −
(Kq: a =
±
27,51363298)
Trang 11
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
6/ Tìm m để f(x) = 2x
4
+ 3x
2
– 5x + 2005 – m chia hết cho x – 12. (KQ: m =
43849)
7/ Cho đa thức f(x) = 3x
4
– x
3
+ 2x
2
– x + m.
a/ Xác dịnh m để f(x) chia hết cho x – 2
b/ Với m tìm được ở câu a. Xác định đa thức thương và số dư của f(x) chia cho x + 3.
KQ: a) m = - 46. b)Q(x) = 3x
3
– 10x
2
+ 32x – 97 và r = 245.
8) Cho đa thức P(x) = x
5
+ 2x
4
– 3x
3
+ 4x
2
– 5x + m.
a) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003.
b) Tính giá trị của m để đa thức P(x) chia hết cho x – 2,5
c) Muốn đa thức P(x) có nghiệm x = 2 thì m có giá trị là bao nhiêu?
(Kq: r =2144,406250; b/ m = -141,40625 c/ m = - 46)
9)Cho hai đa thức: P(x) = x
4
+ 5x
3
– 4x
2
+ 3x + m. Q(x) = x
4
+ 4x
3
– 3x
2
+ 2x + n.
a) Tìm giá trị của m và n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2.
b)Xét đa thức R(x) = P(x) – Q(x), với giá trị m, n vừa tìm được. Hãy chứng tỏ rằng
đa thức R(x) chỉ có một nghiệm duy nhất.
KQ: a/ m = -46, n = -40
b) Ta có R(x) = P(x) – Q(x) = x
3
– x
2
+ x – 6.
Vì P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2 nên R(x) = P(x) – Q(x) cũng chia hết
cho x – 2.
Do đó ta có R(x) = P(x) – Q(x) = x
3
– x
2
+ x – 6 = (x – 2)(x
2
+ x + 3)
Mà x
2
+ x + 3 = x
2
+ 2.
1
2
x +
1
4
+
3
4
= (x +
1
2
)
2
+
3
4
> 0
∀
x
( hay tam thức bậc hai x
2
+ x + 3 có
1 4 3
∆ = − = −
nên vô nghiệm )
Suy ra R(x) chỉ có duy nhất một nghiệm x = 2.
10/ Cho đa thức P(x) = 6x
3
– 7x
2
– 16x + m.
a)Với điều kiện nào của m thì đa thức P(x) chia hết cho 2x + 3.
b)Với m tìm được ở câu a. Hãy tìm số dư r khi chia đa thức P(x) cho 3x – 2.
c)Với m tìm được ở câu a. Hãy p.tích đa thức P(x) ra tích của các thừa số bậc 1.
d)Tìm m và n để hai đa thức P(x) = 6x
3
– 7x
2
– 16x + m và Q(x) = 2x
3
– 5x
2
– 13x + n cùng
chia hết cho x - 2
e)Với n tìm được ở câu trên, hãy phân tích của các thừa số bậc nhất.
11/ Cho đa thức Q(x) = x
4
+ mx
3
+ nx
2
+ px + q và cho biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9;
Q(4) = 11. Tính các giá trị Q(10); Q(11); Q(12); Q(13).
Giải như ví dụ 7: Xét đa thức P(x) = Q(x) – (2x + 3).
Ta tính được Q(10) = 3047. Q(11) = 5065. Q(12) = 7947. Q(13) = 11909.
12/ Cho đa thức P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+dx + e. Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4)
= 33, P(5) = 51.Tính các giá trị P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11).
Giải: Đặt Q(x) = 2x
2
+ 1 . Khi đó Q(1) = 3, Q(2) = 9, Q(3) = 19, Q(4) = 33, Q(5) = 51.
Kq : P(7) = 819; P(8) = 2649; P(9) = 6883; P(10) = 15321; P(11) = 30483
13/ Cho đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thỏa mãn P(1) = 3; P(3) = 11;
P(5) = 27; P(5) = 27; P(7) = 51. Tính giá trị của P(-2) + 7 P(6).
Ta tính : P(-2) = 951 và P(6) = 23. Vậy: P(-2) + 7P(6) = 951 + 7.23 = 1112.
14/ Cho ®a thøc
3
Q(x) x 3x= −
,
5 4 3 2
P(x) x 4x 5x 2x 40x
vµ
r(x)
lµ phÇn
d cña phÐp chia P(x) cho Q(x). T×m
r(x)
vµ
r(23)
.
3/ Tìm thương của phép chia đa thức: Trong trường hợp chia một đa thức P
n
(x) cho một
nhị thức x – m ta có thể sử dụng thuật toán Hoocne như sau:
Giả sử khi chia đa thức P
n
(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ a
n-2
x
n-2
+ … + a
1
x + a
0
cho nhị thức x – m ta
được đa thức Q
n
(x) = b
n-1
x
n-1
+ b
n-2
x
n-2
+ … + b
1
x + b
0
thì giữa các hệ số a
n
, a
n-1
, a
n-2
, …, a
1
,
a
0
và b
n-1
, b
n-2
, b
1
, b
0
có mối quan hệ sau đây:
b
n-1
= a
n
Trang 12
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
b
n-2
= m. b
n-1
+ a
n-1
. . . . . .
b
0
= m.b
1
+ a
1
và số dư r = m.b
0
+ a
0
a
n
a
n-1
a
n-2
… a
1
a
0
m b
n-1
= a
n
b
n-2
= m.b
n-1
+ a
n-1
b
n-3
= m.b
n-2
+ a
n-2
b
0
= m.b
1
+ a
1
r = m.b
0
+ a
0
Ví dụ 1: Tìm thương và số dư của đa thức f(
4 2
x) 2x 3x 4x 5= − + −
chia cho
g(x) x 2= +
Ta ghi:
2 0 -3 4 -5
-2 2 -4 5 -6 7
Vậy đa thức thương Q
3 2
(x) 2x 4x 5x 6= − + −
và số dư r = 7
Ví dụ 2: Tìm thương và số dư của đa thức
4 3 2
f(x) 3x 5x 4x 2x 7= + − + −
chia cho
g(x) 4x 5= −
3 5 -4 2 -7
5
4
3
35
4
111
16
683
64
6
87
256
Vậy đa thức Q
3 2
35 111 683
(x) 3x x x
4 16 64
= + + +
và số dư r = 6
87
256
.
Bài tập:
1/ Tìm số dư và đa thức thương của các phép chia f(x) cho g(x) sau:
a/ f(x) = (x
4
+ x
3
+ 2x
2
– x + 1) và g(x) =(x – 3)
b/ f(x) = (x
3
– 9x
2
– 35x + 7) và g(x) = (x – 12)
c/ f(x) = (2x
3
+ x
2
– 3x + 5) và g(x) = (x + 11)
d/ f(x) = (4x
5
+ 3x
3
– 4x + 5) và g(x) = (2x + 11)
f/ f(x) = (3x
4
+ 5x
3
– 4x
2
+2x – 7) và g(x) = ( -3x + 2)
g/ (x) = (5x
4
– 4x
3
+ 2x
2
+ 7x + 8) và g(x) = (3x – 1)
4/ Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử:
Cơ sở: “Nếu tam thức bậc hai ax
2
+ bx + c có 2 nghiệm là x
1
, x
2
thì nó viết được dưới dạng
ax
2
+ bx + c = a(x – x
1
)(x – x
2
)”.
“Nếu đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x + a
0
có nghiệm hữu tỷ
p
q
thì p là ước của a
0
, q là
ước của a
0
”.
Đặc biệt: “Nếu đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x + a
0
có a
1
= 1 thì nghiệm hữu tỷ là ước
của a
0
”.
Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì đa thức f(x) chia hết cho (x – a).
Ví dụ 1: Phân tích đa thức f(x) = x
2
+ x - 6 thành nhân tử?
Dùng chức năng giải phương trình bậc hai cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x)
ta thấy có 2 nghiệm là x
1
= 2; x
2
= -3.
Khi đó ta viết được: x
2
+ x – 6 = (x – 2)(x + 3)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức f(x) = x
3
+ 3x
2
- 13 x - 15 thành nhân tử?
Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta
thấy có 3 nghiệm là x
1
= 3; x
2
= -5; x
3
= -1.
Khi đó ta viết được: x
3
+ 3x
2
- 13 x - 15 = 1.(x - 3)(x + 5)(x + 1).
Ví dụ 3: Phân tích đa thức f(x) = x
3
- 5x
2
+ 11 x - 10 thành nhân tử?
Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta
thấy có 1 nghiệm thực là x
1
= 2.
Nên ta biết được đa thức x
3
- 5x
2
+ 11 x - 10 chia hết cho (x - 2).
Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia x
3
- 5x
2
+ 11 x - 10 cho (x - 2) ta có:
Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x – 2).
Khi đó ta có f(x) = (x - 2)(x
2
- 3x + 5)
Trang 13
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
Tam thức bậc hai x
2
- 3x + 5 vô nghiệm nên không phân tích thành nhân tử được
nữa.
Vậy x
3
- 5x
2
+ 11 x - 10 = ( x - 2)(x
2
- 3x + 5)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức f(x) = x
5
+ 5x
4
– 3x
3
– x
2
+58x - 60 thành nhân tử?
Nhận xét: Nghiệm nguyên của đa thức đã cho là Ư(60).
Ta có Ư(60) = {
±
1;
±
2;
±
3;
±
4;
±
5;
±
6;
±
10;
±
12;
±
15;
±
20;
±
30;
±
60}
Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức:
Do vậy ta biết x = -3 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x + 3). Khi
đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x - 3).
Khi đó ta có f(x) = (x + 3)(x
4
+ 2x
3
- 9x
2
+ 26x - 20)
* Ta lại xét đa thức g(x) = x
4
+ 2x
3
- 9x
2
+ 26x - 20
Nghiệm nguyên là ước của 20.
Dùng máy ta tìm được Ư(20) = {
±
1;
±
2;
±
4;
±
5;
±
10;
±
20}
Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức g(x):
Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x + 5). Khi
đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x+5).
Khi đó ta có g(x) = (x + 5)(x
3
- 3x
2
+ 6x - 4)
Tiếp tục dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để tìm nghiệm nguyên của h(x) = x
3
- 3x
2
+
6x - 4
Kết quả, là đa thức h(x) có nghiệm là x = 1 nên chia h(x) cho (x-1) ta được: h(x) = (x - 1)
(x
2
- 2x + 4). Ta thấy đa thức (x
2
- 2x + 4) vô nghiệm nên không thể phân tích thành nhân tử.
Vậy f(x) = (x + 3)(x + 5)(x - 1)(x
2
- 2x + 4)
Một số dạng bài tập:
Bài tập 1: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x
3
+ 2x
2
- 3x + 1 cho (2x - 1)
(Kq: P(x) = (2x - 1).
2
1 5 7 1
x x
2 4 8 8
+ − +
÷
)
Bài 2: Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x
3
+ 3x
2
- 4x + 5 + m chia hết cho Q(x)
= 3x +2
Bài 3: Cho hai đa thức P(x) = 3x
2
- 4x + 5 + m; Q(x) = x
3
+ 3x
2
- 5x + 7 + n. Tìm m, n để
hai đa thức trên có nghiệm chung
0
1
x
2
=
Bài 4: Chia x
8
cho x + 0,5 được thương q
1
(x) dư r
1
. Chia q
1
(x) cho x + 0,5 được thương
q
2
(x) dư r
2
. Tìm r
2
? (
2
1
r
16
= −
)
Bài 5: Cho P(x) =
4 3
2
x 2x 5x 7
3
− + +
.
a) Tìm biểu thức thương Q(x) khi chia P(x) cho x – 5.
b) Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân.
Bài 6: Xác định các hệ số a, b, c của đa thức:
P(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx – 2007 để sao cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư là 1, chia cho (x –
3) có số dư là là 2, và chia cho (x – 14) có số dư là 3
(Kết quả lấy với hai chữ số ở hàng thập phân)
Dạng 10: TOÁN LIÊN PHÂN SỐ
Ví dụ 1: Biểu diễn A ra dạng phân số thường và số thập phân:
Trang 14
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
233
4
382
-1
-1
-1
Ên 3 = Ên x .5 + 2 =
Ên tiÕp x .4 + 2 =
Ên tiÕp x .5 + 3 =
M¸y hiÖn ; Ên S <=> D KÕt qu¶ 4,609947644
Ví dụ 2: Tính a, b biết (a, b nguyên dương)
-1
-1
329 64
b
= a 3
1051 329
9
- 3 = x =
64
1
9
7; b = 9
c
=Ên Sau ®ã Ên M¸y hiÖn
Ên Ên M¸y hiÖn 5
Cø bÊm tiÕp tôc ®Õn khi m¸y hiÖn 7
th × cho ta kÕt qu¶ a =
Bài tập:
1/ Biểu diễn B ra phân số
= +
+
+
+
1
B 7
1
3
1
3
1
3
4
= =
÷
43 1037
B 7
142 142
2/ Tính a, b biết (a, b nguyên dương)
=
+
+
15 1
1
17
1
1
a
b
(a = 7; b = 2)
3/ Biểu diễn M ra phân số:
= +
+ +
+ +
+ +
1 1
M
1 1
5 2
1 1
4 3
1 1
3 4
2 5
÷
98
Kq :
157
4/ Tính C =
1
5
1
1
1
3
1
1
4
− +
+
+
+
Kq:
101
4,208(3)
24
− ≈ −
5/ Tìm các số tự nhiên a ; bsao cho
12246 1
5
1
2107
1
1
4
1
3
1
8
1
a
b
= +
+
+
+
+
+
(a = 2 ; b
= 7)
6/ Giải phương trình
x x
4
1 1
1 4
1 1
2 3
1 1
3 2
4 2
+ =
+ +
+ +
+ +
(
12556
x
1459
−
=
)
Trang 15
5
A 3
4
2
5
2
4
2
5
2
3
= +
+
+
+
+
329 1
1
1051
3
1
5
1
a
b
=
+
+
+
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
7/ Tìm a ,b ,c biết
3 12585 20052006 1
a) 9 b) a
2 1
1354 2007
10 b
1 1
a c
b d
+ = = +
+ +
+ +
Kq: a) a = 11 ;b = 12; b) a = 9991 ; b = 29 ; c = 11 ; d = 2
8/ Tìm x biết
4 1 2
4
1 8
2 1
1
9
3
2 4
4
2 x 1
4 1
1 2
7
5
1
8
+ = +
+ +
÷
+
÷
÷
÷
+ − +
÷
÷
÷
+ +
÷
÷
+
÷
(x=
1389159
1,106910186
1254988
≈
)
9/ Tính A= 5%(a +
b
)
2
với
1 1
7 90 1
2 3
a 0,3(4) 1,(62):14 : ; b 5
1
11 0,8(5) 11
1
1
1
1
1
2
+
= + − = +
+
+
+
(Kq: A =
79355
504000
= 0,1574540396)
Dạng 11: LÃI KÉP, BÀI TOÁN DÂN SỐ
Gọi a là số tiền ban đầu, r là lãi suất; n là thời gian; A là số tổng số tiền rút về
Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có:
Tháng 1 (n = 1): A = a + ar = a(1 + r) Tháng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r =
a(1 + r)
2
………………… Tháng n (n = n): A = a(1 + r)
n – 1
+ a(1 + r)
n – 1
.r = a(1 + r)
n
Vậy A = a(1 + r)
n
(*)
Từ công thức (*) A = a(1 + a)
n
ta tính được các đại lượng khác như sau:
Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có:
Tháng 1 (n = 1): A = a + ar = a(1 + r) Tháng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r =
a(1 + r)
2
………………… Tháng n (n = n): A = a(1 + r)
n – 1
+ a(1 + r)
n – 1
.r = a(1 + r)
n
Vậy A = a(1 + r)
n
(*)
Từ công thức (*) A = a(1 + a)
n
ta tính được các đại lượng khác như sau:
Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có:
Tháng 1 (n = 1): A = a + ar = a(1 + r) Tháng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r =
a(1 + r)
2
………………… Tháng n (n = n): A = a(1 + r)
n – 1
+ a(1 + r)
n – 1
.r = a(1 + r)
n
Vậy A = a(1 + r)
n
(*)
Từ công thức (*) A = a(1 + a)
n
ta tính được các đại lượng khác như sau:
1)
A
ln
a
n
ln(1 r)
=
+
; 2)
n
A
r 1
a
= −
; 3)
n
a(1 r) (1 r) 1
A
r
+ + −
=
; 4)
n
Ar
a
(1 r) (1 r) 1
=
+ + −
(ln trong công thức 1 là Lôgarit Nêpe, trên máy fx-500 MS và fx-570 MS phím
ln
ấn trực
tiếp)
Trang 16
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
Ví dụ 1: Một số tiền là 1 000 000đ được gởi ngân hàng theo lãi kép với lãi suất 0,7% tháng.
Hỏi sau 15 tháng thì rút về cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
Giải: Gọi a là số tiền ban đầu, r là lãi suất; n là thời gian; A là số tổng số tiền rút về thì:
A = a(1 + r)
n
(1)
=> Số tiền sau 15 tháng là: 1000000(1 + 0,007)
15
= 1110304 đồng.
Ví dụ 2: Muốn có 1000000đ sau 15 tháng thì phải gởi ngân hàng mỗi tháng một số tiền bao
nhiêu nếu lãi suất 0,6%/tháng?
Giải: Cách 1: Ta có công thức: Ar = a(1 + r)[(1 + r)
n
– 1] (2)
Thay số vào cho ta a = 63530 đồng
C 2: Dùng phép lặp: A = a(1 + r)
15
+ a(1 + r)
14
+ + a(1 + r)
2
+ a(1 + r)
Gán A = 0 (thời gian) B = 0
Ghi vào màn hình: A = A + 1:B = B + 1,006^A Ấn = = … = và khi thấy A = 15 , ấn tiếp
=
Ghi 1000000 chia cho B và ấn = Kết quả a = 63530đ
Từ ví dụ 2 ta có các bài toán sau:
1/ Muốn có 1000000đ sau 15 tháng thì phải gửi ngân hàng mỗi tháng một số tiền bằng
nhau là 63530đ. Tính lãi suất r hàng tháng
C1: Tính công thức (2)
C2: A = a(1 + r)
15
+ a(1 + r)
14
+ + a(1 + r)
2
+ a(1 + r). Đặt 1 + r = x
Ta có phương trình: x
15
+ x
14
+ + x = 1000000/63530 Ấn SHIFT SOLVE máy hỏi X?, ấn
1,1 =
Máy hỏi X? ấn SHIFT SOLVE máy hiện 1,006 thì r = 0,006 tức là 0,6%/tháng
2/ Muốn có 1000000đ thì phải gửi ngân hàng mỗi tháng một số tiền bằng nhau là 63530đ
với lãi suất 0,6%/tháng trong bao lâu?
C1: Tính công thức (2)
Cách 2: A = a(1 + r)
n
+ a(1 + r)
n-1
+ + a(1 + r)
2
+ a(1 + r)
Gán A = 0 (biến đếm tháng) B = 0 (tổng số tiền)
Ghi vào màn hình: A = A + 1:B = B + 63530(1 + 0,006)^A Ấn = = … = và khi thấy B =
1000000 (hay gần 1000000) thì giá trị của A liền trước nó là n. Kết quả n = 15
3/ Mỗi tháng gởi ngân hàng số tiền bằng nhau là 63530đ với lãi suất 0,6%/tháng. Hỏi sau
15 tháng thì nhận về cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? (Rút tiền ra sau lần gởi cuối cùng 1 tháng)
Cách 1: Dùng công thức (2)
C 2: A = a(1 + r)
15
+ a(1 + r)
14
+ + a(1 + r)
2
+ a(1 + r)
Gán A = 0 (số tháng) B = 0 (tổng số tiền)
Ghi vào màn hình: A = A + 1:B = B + 63530x1,006^A Ấn = = … = và khi thấy A=
15, ấn = và đọc B
Kết quả a = 999 998đ
Bài tập:
Bài 1: Một số tiền 58.000.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7% tháng. Tính cả vốn lẫn lãi
sau 8 tháng?
Ta có: A = 58000000(1 + 0,7%)
8
Kết quả: 61 328 699, 87
Bài 2: Một người có 58 000 000đ muốn gởi vào ngân hàng để được 70 021 000đ. Hỏi phải
gởi tiết kiệm bao lâu với lãi suất là 0,7% tháng?
Số tháng tối thiểu phải gửi là:
( )
70021000
ln
58000000
n
ln 1 0,7%
=
+
Kết quả: 27 tháng
(Chú ý: Nếu không cho phép làm tròn, thì ứng với kết quả trên số tháng tối thiểu là 28
tháng)
Trang 17
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
Bài 3: Số tiền 58 000 000đ gởi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được 61 329 000đ. Tìm
lãi suất hàng tháng?
Lãi suất hàng tháng:
8
61329000
r 1
58000000
= −
Kết quả: 0,7%
Bài 4: Mỗi tháng gửi tiết kiệm 580 000đ với lãi suất 0,7% tháng. Hỏi sau 10 tháng thì lãnh
về cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
Số tiền lãnh cả gốc lẫn lãi:
( )
10
10
580000.1,007. 1,007 1
580000(1 0,007) (1 0,007) 1
A
0,007 0,007
−
+ + −
= =
Kết quả: 6028055,598
Bài 5: Muốn có 100 000 000đ sau 10 tháng thì phải gửi quỹ tiết kiệm là bao nhiêu mỗi
tháng. Với lãi suất gửi là 0,6%?
Số tiền gửi hàng tháng:
( ) ( )
( )
10
10
100000000.0,006 100000000.0,006
a
1,006 1,006 1
1 0,006 1 0,006 1
= =
−
+ + −
Kết quả:
9674911,478
Dạng 12: DÃY SỐ
Ví dụ 1: Cho dãy số:
3 4 5 6
; ; ; ;
4 9 16 25
a/ Viết công thức tổng quát
b/ Tính số hạng thứ 35 c/ Tính tổng 35 số hạng đầu tiên
Giải: a/ Công thức tổng quát:
2
n
(n 1)−
với
n N;n 3∈ ≥
b/ Số hạng thứ 35 là:
2 2
37 37 37
1296
(37 1) 36
= =
−
c/ Gán A = 2 (biến đếm) B = 0 (số hạng thứ B) C = 0 (tổng của B số hạng)
Ghi vào màn hình: A = A + 1:B =
2
A
(A 1)−
:C = C + B
Bấm = Ta có A đếm 1 Bấm = đọc B (số hạng 1) Bấm = đọc tổng C
Đến khi A = 37 ta bấm = số hạng thứ 35; ấn = đọc tổng 35 số hạng đầu tiên là 3,7291
Ví dụ 2: Cho dãy số:
2 1 6 4 10
; ; ; ; ;
5 2 11 7 17
a/ Viết số hạng thứ 15 b/ Tính tổng 20 số hạng đầu tiên
a/ Ta viết lại:
2 4 6 8 10
; ; ; ; ;
5 8 11 14 17
có dạng tổng quát:
2n
3n 2+
với
n N *∈
thì u
15
=
30
37
b/ Gán A = 0; B = 0; C = 0
Ghi vào màn hình: A = A + 1: B =
2A
3A 2+
: C = C + B
Ấn nhiều lần = dừng lại ở A = 20 thì được C
20
= 12,0574
Ví dụ 3: Viết 10 số hạng đầu tiên rồi tính tổng S và tích P của 10 số hạng của dãy số có số
hạng tổng quát
n
n
3
3
u
n
=
Gán A = 0 (biến đếm) B = 0 (giá trị số hạng) C = 0 (tổng) D = 1 (tích)
Ghi A = A + 1: B = 3^A A
3
: C = B + C: D = DB
Trang 18
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
Ấn = đến khi máy hiện A = 10; ấn = hiện giá trị B là u
10
= 59049/1000, ấn = hiện giá trị C là
tổng S
10
= 116,9492; ấn = là giá trị của D là tích P = 3650731.65
Ví dụ 4: Cho dãy số 3; 10/3; 11/3; 4; , tính
a/ Số hạng thứ 12 b/ Tổng 12 số hạng và tích 12 số hạng đầu tiên
Gán A = 0 (biến đếm) B = 8/3 (giá trị số hạng trước u
1
) C = 0 (tổng) D = 1
(tích)
Ghi A = A + 1: B = B + 1/3: C = C + B: D = DxB
Kết quả: u
12
= 20/3 S
12
= 58 P
12
= 113540038,4
Dãy Fibocani
Ví dụ 5: Tìm số hạng thứ 29 và tổng 29 số hạng đầu tiên của dãy số Fibonaci
Ta có công thưc tổng quát của dãy:
n n
n
1 1 5 1 5
u
2 2
5
+ −
= −
÷ ÷
÷ ÷
.
Gán A = 0 (biến đếm) B = 0 (số hạng trước u
1
C = 0 (tổng)
Ghi vào màn hình A = A + 1:B =
A A
1 1 5 1 5
2 2
5
+ −
−
÷ ÷
÷ ÷
: C = C + B
Ấn = đến khi A hiện 29 thì B; C là kết quả cần tìm: u
29
= 514229; S
29
= 1346268
Cách 2: Trong công thức tổng quát số hạng u
n
phụ thuộc n, vì n thay đổi nên ta dùng biến
nhớ Ans để thay giá trị n trong phép tính.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím:
1 =
b/ c
1 a 5 ( ( ( 1 5 ) 2 ) ) ^ Ans ( ( 1 5 ) 2 ) ) ^ Ans )+ ÷ − − ÷ =
Muốn tính n = 10 ta ấn
10 =
, rồi dùng phím
∆
một lần để chọn lại biểu thức vừa nhập ấn
=
Ví dụ 6: Cho dãy số u
1
= 3; u
2
= 5; ; u
n+1
= 3u
n
– 2u
n-1
– 2 với mọi n
≥
2
a/ Tính u
9
; u
33
b/ Tình tổng 33 số hạng đầu tiên và tích 9 số hạng đầu tiên
Gán A = 3 (số hạng)B = 5 (số hạng) C = 8 (tổng 2 số hạng đầu) D = 2 (biến đếm)
E = 15 (tích 2 số hạng đầu)
Ghi: D = D + 1:A = 3B – 2A – 2:C = C + A:E = ExA:D = D+ 1:B = 3A – 2B – 2:C = C +
B:E = ExB
Ấn = khi thấy D = 9 thì đọc u
9
= 19; S
9
= 99; P
9
= 654729075
Ấn tiếp = khi D = 33 thì đọc u
33
= 67 và S
33
= 1155
Dãy Lucas Tổng quát: Cho u
1
= a, u
2
= b, u
n+1
= u
n
+ u
n-1
(với n
≥
2. a, b là hai số tùy ý
nào đó)
Nhận xét: Dãy Lucas là dãy tổng quát của dãy Fibonacci, với a = b = 1 thì dãy Lucas trở
thành dãy Fibonacci.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Gán u
2
= b vào biến nhớ A ; lấy u
2
+ u
1
= u
3
(u
3
= b + a) gán vào B
Lặp lại các phím: lấy u
3
+ u
2
= u
4
gán vào A lấy u
4
+ u
3
= u
5
gán vào B
Bây giờ muốn tính u
n
ta
∆
một lần và
=
, cứ liên tục như vậy n – 5 lần.
Ví dụ 7: Cho dãy u
1
= 8, u
2
= 13, u
n+1
= u
n
+ u
n-1
(n
≥
2).
a. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính u
n+1
? b. Sử dụng qui trình trên tính u
13
,
u
17
?
a. Lập qui trình bấm phím Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím:
13 SHIFT STO A
8 SHIFT STO B+
Trang 19
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
Lặp lại các phím:
ALPHA A SHIFT STO A+
ALPHA B SHIFT STO B+
b. Sử dụng qui trình trên để tính u
13
, u
17
Ấn các phím:
∆
=
∆
=
∆
=
∆
=
∆
=
∆
=
∆
=
∆
=
(u
13
= 2584)
∆
=
∆
=
∆
=
∆
=
(u
17
= 17711)
Kết qủa: u
13
= 2584; u
17
= 17711
Bài tập:
1/ Cho
n
1 1 1 1
A
1.2 2.3 3.4 n n 1
a/ Tính số hạng thứ 60 b/ Tính
A
60
(Kq:
60 60
1 60
u ;A
3660 61
; Thực hiện như ví dụ 1 và 2)
Dạng 13: CỰC TRỊ
Ta có đỉnh của đồ thị hàm số y = ax
2
+ bx + c tại
2
b b
;c
2a 4a
æ ö
ç
ç
ç
ç
è ø
hay
b
;
2a 4a
æ ö
D
ç
ç
ç
è ø
Nếu a > 0 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng
2
b
c
4a
<=> x =
b
2a
Nếu a < 0 thì hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng
2
b
c
4a
<=> x =
b
2a
Ta gán các giá trị a; b; c; sau đó lập các công thức trên tìm được GTLN hay GTNN của hàm
số
Bài tập:
1/ Tìm GTNN của y =
2
5 7 8 1
( 3 1)x x
2
3
(GTNN: -4,147969215;
x = 1,626913041)
2/ Cho P =
2
3,1 2 5
1,32x x 7,8 3 2
6,4 7,2
æ ö
ç
ç
ç
ç
è ø
a/ Tính P khi x =
2 3 5
b/ Tìm GTLN của P (Ghi chính xác kết quả đến 5 chữ số thập phân)
(Kq: a/ P = -101,0981 b/ -3,54101 tại 0,11129)
BÀI TẬP
1/ Tính các tích sau: B=26031931×26032010; C=2632655555×2632699999
(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THCS) Giải bằng máy tính Casio fx-
500VN PLUS
Tính B = 26031931×26032010 Tính trên máy ta được: 26031931×26032010 =
6,776634881×10
14
Suy ra B có 15 chữ số và 9 chữ số đầu tiên của B là 677663488
Ta tìm 6 chữ số tận cùng của B như sau: B ≡ 31931×32010 ≡ 1022111310 ≡
111310 (mod 10
6
)
=> 6 chữ số tận cùng của B là 111310. Vậy B = 677663488111310.
Tính C = 2632655555×2632699999
Đặt x = 26326; y = 55555; z = 99999 ta có:
C = (x.10
5
+ y)(x.10
5
+ z) = x
2
.10
10
+ x(y + z).10
5
+ yz
Thực hiện gán x
2
vào A, (xy + xz) vào B, yz vào C.
Ta có: C ≡ yz (mod 10
5
) C ≡ (xy+xz).10
5
+ yz (mod 10
10
)
Trang 20
Các dạng toán giải bằng máy tính Casio
Tính: 55555×99999 = 555444445 => C ≡ 44445 (mod 104)
Tính: 26326(55555 + 99999)×10
5
+ Ans = 4,095170158×10
14
=> C ≡
7015844445 (mod 10
10
)
Tính: 26326
2
× 10
10
+ Ans = 6,930992277×10
18
=> C =
6930992277015844445.
2/ Một người được lĩnh lương khởi điểm là 700.000 đ/tháng (bảy trăm nghìn đồng). Cứ
ba năm anh ta lại được tăng thêm 7%. Hỏi sau 36 năm làm việc anh ta được lĩnh tất
cả bao nhiêu tiền.
(Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2005, THCS, đề dự bị) Giải bằng máy tính Casio fx-
500VN PLUS
Gọi số tiền lương khởi điểm của anh ta là a
0
đồng.
Số tiền anh ta được lĩnh trong ba năm đầu là: A
0
= 36a
0
(3 năm tương đương 36 tháng).
Gọi số tiền anh ta được lĩnh trong ba năm kể từ lần tăng lương thứ n là: A
n
Ta có: A
1
= A0(1 + 0,07) A
2
= A
1
(1 + 0,07) = A
0
(1 + 0,07)
2
A
n
= A
0
(1 + 0,07)
n
Trong 36 năm anh ta được tăng lương 36:3 – 1 = 11 lần.
Vậy tổng số tiền anh ta nhận được sau 36 năm là: S = A
0
+ A
1
+ + A
11
= A
0
(1 + (1 + 0,07) + (1 + 0,07)
2
+ + (1 + 0,07)
11
) = A
0
((1 + 0,07)
12
– 10,07) = 36a
0
((1 +
0,07)
12
– 10,07)
Gán 700 000 vào biến Ans: ấn 700000
Ghi vào màn hình: 36 Ans× (1+0.07)
12
– 10.07 Ấn kết quả: 450788972
Vậy tổng số tiền anh ta được lĩnh là 450.788.972 đồng
3/ 1) Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,363636 được viết dưới dạng một phân số tối
giản. Thế thì tổng của tử và mẫu bằng (chọn một trong năm đáp số) là:
(A) 15; (B) 45; (C) 114; (D) 135;
(E) 150
2) Mệnh đề sau đây có đúng không: (0,33333 )(0,66666 ) = (0,22222 )
3) Nếu F = 0,4818181 là số thập phân vô hạn tuần hoàn với các chữ số 8 và 1 lặp lại
(tức là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kỳ là 81). Khi F được viết lại dưới dạng
phân số tối giản, thì mẫu lớn hơn tử là bao nhiêu?
(Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2001, lớp 6-7, đề dự bị) Giải bằng máy tính Casio fx-
500VN PLUS
1) Viết 0,363636 dưới dạng phân số tối giản.
Ghi vào màn hình: 0.(36)
Ấn . Kết quả: 4/11 Tổng của tử và mẫu số là: 4 + 11 = 15 Chọn (A).
2) Ghi vào màn hình: 0.(3) × 0.(6) Ấn . Kết quả: 2/9
Ấn . Kết quả: 0,(2) Ấn . Kết quả: 0,2222222222
Vậy mệnh đề (0,33333 )(0,66666 ) = (0,22222 ) là đúng.
3) Viết 0,4818181 dưới dạng phân số tối giản
Ghi vào màn hình: 0.4(81) Ấn Kết quả: 55/110
Mẫu số lớn hơn tử số là: 110 – 55 = 55
Trang 21
