adaptive feedback linearizing control of nonholonomic wheeled mobilerobots in presence of parametric and nonparametric uncertainties

Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 1

Adaptive feedback linearizing control of nonholonomic wheeled mobilerobots in
presence of parametric and nonparametric uncertainties

Khoshnam Shojaei, Alireza Mohammad Shahrin, Ahmadreza Tarakameh

Tóm tắt: Trong bài báo này, giải quyết vấn đề về điều khiển tự hiệu chỉnh quỹ đạo động học và tích hợp tính động
của bánh xe robot di động (WMRs). Một bộ điều khiển thích nghi tinh vi tự hiểu chỉnh cho WMRs được đề xuất để xử
lí với cả trường hợp không rõ ràng của mô hình robot có thông số và không có thông số. Đầu tiên, luật điều khiển thích
nghi phi tuyến được thiết kế trên nền tảng kĩ thuật phản hồi tuyến tính để loại bỏ tính tiệm cận không chính xác của
các tham số trong thông số WMR. Thiết kế điều khiển thích nghi có hồi đáp được chỉnh sửa bởi 2 phương pháp để
tăng cường độ khả thi của bộ điều khiển: (1) sửa đổi rò rỉ được áp dụng để sửa đổi các hoạt động không thể thiếu của
luật thích nghi và (2) sửa đổi thứ 2 là một bộ điều khiển thích nghi tinh vi, được bao gồm luật điều khiển tuyến tính
trong vòng ngoài của bộ điều khiển thích nghi phản hồi tuyến tính. Bộ điều khiển thích nghitinh vi được thiết kế như
vậy mà nó ức tính hằng số chưa biết của một hàm ranh giới trên không xác định được bởi ma sát, nhiễu và phi mô hình
động học. Cuối cùng, bộ điều khiển được đề xuất đã phát triển cho một loại (2, 0) WMR và mô pỏng được thực hiện
để minh họa cho sự tinh vi và tự hiểu chính hiệu suất của bộ điều khiển.

1. Giới thiệu
Vấn đề của điều khiển chuyển động của bánh xe rôbôt di
động (WMRs) được nghiên cứu rộng rãi trong nhiều
thập kỉ qua [1,4,5,8,10]. Một vấn đề điều khiển chuyển
động quan trọng là theo dõi quỹ đạo có liên hệ với thiết
kế của một bộ điều khiển để bược WMR theo một quỹ
đạo hình học liên hệ với luật thời gian [7]. Một sự đa
dạng thuật toán điều khiển cho vấn đề quan sát được
phát triển trong các tài liệu [14,15,17,18,20,21]. Bởi vì
sự thách thức của mô hình phi tuyến, các kĩ thuật phản
hồi tuyến tính là một trong những phương pháp thiết kế
thành công để giải quyết các vấn đề trên. Có rất nhiều

công trình đưa ra các bộ điều khiển bám trên nền tảng
phản hồi tuyến tính cho WMRs [2,3,6,11,14,16,27].
Campion và các cộng sự [27] đã khám phá ra năng lực
kiểm soát và phản hồi tuyến tính của hệ thống
nonholonomic. Andrea – Novel và cộng sự [13] áp dụng
kĩ thuật tuyến tính để đạt được sự bám theo của rô bốt di
dộng. Trong [16], một bộ điều khiển theo dõi được đề
xuất dựa trên phản hồi đầu vào, ra tuyến tính cho một hệ
thống WMR không chính xác. Oriolo và cộng sự[14] đã
giới thiệu một thiết kế và thử nghiệm xác nhận thông tin
phản hồi tuyến tính năng động để giải quyết vấn đề bám
quỹ đạo. Tuy nhiên hầu hết trong số họ bỏ qua động học
WMR trong thiết kế các bộ điều khiển, thứ được cho là
không cần thiết cho tốc độ cao của WMRs. Ngoài ra các
công trình đề nghị bộ điềukhiển phản hồi tuyếntính cho
cả động học và các mô hình động của các WMRs chủ
yếu là áp dụng mô hình chính xác và bỏ qua các tham số
không chính xác của nó (ví dụ trong [2]). Vấn đề này có
thể là lí do gây ra việc không thể loại bỏ được các quá
trình phi tuyến trong mô hình WMR bởi phản hồi vào, ra

kĩ thuật tuyến tính. May thay, chiến lược điều khiển
thích nghi giới thiệu một giải pháp hợp lí để vượt qua
bất ổn tham số. Có rất nhiều công trình trọng điểm để
giải quyết các vấn đề điều khiển bám của hệ phản hồi
tuyến tính. [9]. Tuy nhiên các tác giả tin rằng phiên bản
thích nghi của điều khiển phản hồi vào ra tuyến tính, như
là 1 kĩ thuật mạnh chưa đủ để chú ý giải quyết các quỹ
đạo bám của WMRs. Lưu ý rằng nhược điểm chính của
phương án này là kiểm soát của ước lượng các ma trận

nghịch đảo có thể sẽ không tồn tại khi mà các thông số
ước lượng tiến về 0. Vì vậy đây có thể dẫn đến sự khác
nhau của các lỗi bám. Vấn đề này được giải quyết bằng
kĩ thuật, cái hạn chế các thông số ước lượng nằm trong
dải giới hạn trước [23,26]. Một vấn đề khác là các loại
luật đáp ứng có thể bị mất ổn định trong sự hiện diện
thiếu các thông số chính xác như nhiễu. Kế hoạch điều
khiển tinh vi có thể sửa đổi các luật điều khiển thích
nghi để xử lí được các tham số không chính xác. Khả
năng sửa đổi có thể mang lại trạng thái thiết kế của sự
thích nghi hoặc luật điều khiển.
Đóng góp chính và mới lạ của những công trình hiện
tại yên vị trong thiết kế một bộ điều khiển phản hồi vào
ra tuyến tính thích nghi để giải quyết các tích động học
và động lượng về vấn đề bám quỹ đạo của WMRs. Bộ
điều khiển được đề xuất: (1) sửa các lỗi hở trên các bản
cập nhật tham số luật để tránh các thông số trôi dạt do
tham số bất định, (2) một bộ điều khiển tinh vi với thích
nghi với hàm biên trên để bù đắp cho các tham số bất
định, cái mà được thúc đẩy từ các sách của Lewis và các
cộng sự [19] trên cánh tay robot. Do đó việc xây dựng
các luật thích nghi ngoài ra cũng phát triển cho loại
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 2

WMR(2,0). Hơn nữa trái ngược với các công trình
trước, các đề xuất của bộ điều khiển cung cấp một tín
hiệu điều khiển truyền động từ một quan điểm thực tế.
Phần còn lại của bài báo được cấu trúc như sau. Sau khi
tổng hợp được mô hình động học và động lượng của
WMRs trong Phần 2, bộ điều khiển bám được đề xuất

dựa trên thiết kế SPR – Lyapunov tiếp cận trong phần 3.
Bộ điều khiển bám được thiết kế để chống lại tham số
bất định trong phần 4. Kết quả mô phỏng được trình bày
cho loại (2,0) WMR để minh họa sự tinh vi và minh họa
bám được đề xuất điều khiển trong phần 5. Cuối cùng,
kết luận và các công trình tương lai phát triển được giới
thiệu trong phần 6.
2. Động lượng và mô hình động học của WMR
nonholonomic
Trong phần này, chúng tôi xem xét một công thức
toán học của robot di dộng có bánh xe với ràng buộc
nonholonomic là cái di chuyển trên bề mặt phẳng.
Người ta cho rằng cấu hình của các WMR được mô tả
bởitọa độ tổng quát hóa, q tùy thuộc vào ràng buộc m
(m<n) như sau:
 
,
1
(q)q 0, 1,
n
kji i
kj q q
i
C C j m

  



(1)

Tại đó nó bao gồm k ràng buộc holonomic và m-k
ràng buộc nonholonomic, cái mà được viết bởi công
thức
( ) 0
k
A q q


(2)
Tại
( )
m n
k
A q


là ma trận toàn phương. Cho rằng
1
( ) [ (q), (q)]
T
n m
S q s s


là ma trận toàn phương được
tạo nên từ trường vector trơn và tuyến tính độc lập,
( ) , 1, ,n m,
n
i
s q i

  
trong không gian rỗng của
A
k
(q). (xem ở [2] chi tiết),
( )S( ) 0
k
A q q

(3)
Theo (2) và (3), nó có thể được viết phương trình động
học của chuyển động của WMR trong giới hạn của
vector phương trình thời gian phụ
( )
n m
v t


được

( ) ( )
q S q v t


(4)
Tại
1
( ) [ ( ), ( )]
T
n m

v t v t v t



. Mô hình động học WMR
nhận được từ máy Lagrangian. Đầu tiên, Lagrangian L là
cái khác giữa động lực và năng lượng tiềm năng của hệ
thống phải được tính toán. Vì sự chuyển động phẳng,
năng lượng tiềm năng của WMR là 0. Do đó Lagrangian
chỉ bằng động năng:

1
1
2
i
n
T T
i i i i i i
i
L v mv I
 

 
 
 


(5)
Sau đó một phương trình Euler Lagrange kết hợp chặt
trẽ các điều kiện ràng buộc vận tốc trong các mẫu sau:

G
i i
d L L
F
dt q q
 
 
 
 
 
 

(6)
Tại F
G
biểu thị lực phổ biến. Sau khi tính (6) mô hình
động học của WMR có thể được viết lại như sau:


1 1 1 1 1
( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
T
d k
M q q C q q q B q F q B q B q A q
  
    
   

(7)

Với
1
( )
n n
M q


là ma trận quán tính,
1
( , )
n n
M q q




là ma trận với lực coriolit và lực hướng tâm.
( ) 1
( )
n m
F q
 


là vector ma sát.
( )
1
( )
n n m
B q

 

là ma
trận chuyển đầu vào,
( ) 1
n m

 
 là vector lực do cơ cấu
bánh xe gây ra,
( ) 1
n m
d

 

chỉ rõ biên không biết
nhiễu, và
1
m



vector lực ràng buộc.
Thuộc tính 1. M
1
(q) là 1 ma trận cân bằng xác định rõ ở
cận trên và dưới,
1 1 2
( )

m M q m
 
, với m
1
, m
2
là hằng
số xác định vô hướng.
Chú ý 1. Ma sát trong (7),


( ) 1
n m
F q
 


bao gồm
nhớt và ma sát động trong liên đới với bánh xe robot như


1 2
F q f q f
 
 
với f
1
và f
2
là hằng số chính xác.

Vecto nhiễu
( ) 1
n m
d

 

có thể bao gồm mô hình không
động, ví dụ, động học của bánh xe hải li, biên độ năng
lượng cho cơ cấu và động học của cảm biến như
1
d
 

với
1


là cận trên của
d

.
Với cơ cấu truyền động trong (7), nó được giả định
rằng bánh xe robot được điều khiển bởi n-m động cơ DC
chổi than với cực từ. Hình 1 cho thấy hệ thống đơn giản
hóa.
Phương trình điện áp phần ứng được viết như sau:
a
a a a a b M
di

u L R i K
dt

  

(8)
Khi K
b
là hằng số EMF. Các thông số La, Ra biểu thị
cảm và trở kháng của mạch phần ứng, tương ứng Bằng
cách bỏ qua các điện cảm phần ứng, và xem xét mối
quan hệ giữa mô men xoắn và dòng điện phần ứng (tức
M a
K i



) và mối quan hệ giữa mô men và vận tốc
trước và sau chu kì (
( )
M M
n n
   
 
 
, mô men
truyền với bánh xe WMR bởi cơ cấu được đưa ra bởi
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 3

1 2

a
K u K
 
 

(9)

Hình 1: Hệ thống lái của mỗi bánh xe
Tại K
1
= (nK/Ra), K
2
= mK
b
K
1
, n = n
w
/n
M
là tỉ lệ
truyền và K hằng số mô men động cơ. Công thức (9) có
thể viết lại như sau:
= 



−

(10)

Khi mà
( ) ( )
n m n m
X
  

là ma trận truyền với vận tốc
bánh xe là vector vận tốc. Cộng (10) với (7) được



1 1 1 1
1 1 2
( ) ( , ) ( ) ( )
( )(K ) A ( )
d
T
a k
M q q C q q q B q F q B q
B q u K Xv q


  
  
   
(11)
Từ thiết kế bộ điều khiển đề xuất, không gian trạng thái
đưa ra có thể được bắt nguồn bằng cách lấy thời gian
phát sinh của mo hình động học (4)
( ) ( )

q S q v S q v
 

 
(12)
Tiếp theo thay (4) và (12) vào (11) và tăng kết quả S
T

xem lại (3) ta đưa ra
1 1 1 1
( ) ( )v(t) F(q)
d a
M v t C q K B u

   

 
(13)
Với
1 1 1 1 2 1
1 1 1 1
, ( )
, ,
T T T
T
d d
M S M S C q S M S S CS K B X
B S B F B F B
 
   

  



(14)
Mô hình động học (4) và phương trình động lực học đưa
bởi (13) có thể tích phân được bằng sự diện tả không
gian trạng thái trong dạng sau đây:
̇= 
̇
̇
=

−




̅


+ 
0










+ 
0
−



(


(

)
+ ̅

)

Với ∈

là vector trạng thái. Việc diễn tả này cho
phép chúng ta áp dụng lý thuyết điều khiển hình học
khác nhau để giải quyết vấn đề bám quỹ đạo.
Thuộc tính 2: 


() là một ma trận đối xứng và xác
định dương, bị chặn trên và dưới, tức là 

≤


|



(

)|
≤

, với 

à

là các hằng số dương.
Chú ý 2 : Trong mô hình động lực học, nó được giả thiết
rằng động lực học của bánh xe nhỏ không tính đến để
giảm bớt độ phức tạp của mô hình. Tuy nhiên, giả thiết
này áp đặt một vài các tham số bất đinh của hệ thống
WMR.
Chú ý 3: Trong bài báo này, nó được giả thiết rẳng các
thông số bất định là do đo không chính xác của thông số
WMR như là khối lượng, momen quán tính và thông số
các thiết bị chấp hành. Hơn nữa, một vài tham số có thể
có thời gian khác nhau. Ví dụ, khối lượng và momen
quán tính có thể thay đổi phụ thuộc vào tải hoặc không
tải của một số đối tượng trên khung gầm của WMR. Các
phi tham số bd có thể do việc mô hình hóa động lực học
của hệ thống gây ra như là bánh xe nhỏ của WMR, hệ
thống máy không lí tưởng như là khe hở và độ nhớt và

các lực ma sát giữa các bánh xe robot và sự trượt của
bánh xe,…Tuy nhiên, các nhiễu động học [30] vì sự
trượt của bánh xe không được xét đến như các phi tham
số bất định trong thiết kế bộ điều khiển.
3. Thiết kế bộ điều khiển.
Một luật điều khiển bám quỹ đạo có thể được thiết kế
trên cơ sở một kĩ thuật tuyến tính hóa thích nghi phản
hồi cho hệ thống WMR như đưa trong [15]. Hệ thống
được trình bày trong (15) có thể được tóm tắt như mô
hình phi tuyến affline MIMO sau đây:
̈= 
(

)
+ 
(
,
)
+



(
,
)




+ 

(
,
)
(16)
Với ∈

và 
(

)
,
(
,
)
,

(
,
)
à(,) là các
trường vector trơn trên 

ớ(0,) ≠0.
Chú ý 4: Cơ sở nghiên cứu của động lực học WMR thể
hiện trong (15), kết quả dưới đây có thể thể được tóm
tắt:
1. Hệ thống có thể điều khiển được và nó ổn đinh
tại điểm 

= 0 có thể làm od Lyapunov, nhưng

không thể làm ổng định tiệm cận bởi một thông
tin phản hồi trạng thái trơn [24].
2. Động lực học quán tính của WMR là ổn định,
khi robot di động di chuyển thẳng nhưng nó
không ổn định khi nó di chuyển ngược lại [25].
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 4

3. Nếu ít nhất một ràng buộc là nonholonomic , nó
được chứng minh rằng hệ thống WMR không có
trạng thái vào tuyến tính. Nhưng nếu chúng ta
chọn một tập các phương trình đầu ra, nó có thể
được đầu vào- đầu ra tuyến tính [2,12].
4. Các hệ thống phụ phản hồi con tuyến tính của hệ
thống (15) có kích thước 2(n-m) và mức độ quan
hệ của hệ thống với mỗi đầu ra là 2 [27].
Các phương trình đầu ra là hàm của các biến trạng thái
vị trí q. Vì số bậc tự do của hệ thống WMR là n-m,
chúng ta có n-m phương trình vị trí đầu ra độc lập.
= ℎ
(

)
=
[
ℎ

(

)
,…ℎ


(

)]


(
17
)

Định nghĩa 1: Đưa một quỹ đạo mẫu trơn bị chặn


(

)
= ℎ
(


()
)
, được sinh ra bởi một robot di động
mẫu, và giả thiết là 

đáp ứng các ràng buộc về tốc độ

(



)


= 0, khi đó động học khả tích và vấn đề điều
khiển bám động lực học là để thiết kế một bộ điều khiển
phản hồi cho hệ thống 915) và (17) như là nó được thỏa
mãn
lim
→∞
(

(

)
−

()
)
= 0(18)
Phương pháp tiếp cận cơ bản để có được mối quan hệ
vào-ra tuyến tính là liên tục phân biệt các kết quả đầu ra
để chúng có quan hệ bới đầu vào một cách rõ ràng. Sau
khi đạo hàm, người ta thu được:
̇

= 

ℎ

+


ℎ

+ 

ℎ

+




ℎ






= 


,
= 1,2,…−
(
19
)

mà nó không có liên quan đến đầu vào thiết bị truyền
động. Bằng cách đạo hàm một lần nữa, được

̈

= 


ℎ

+ 



ℎ

+ 



ℎ

+ 



ℎ

+ 


ℎ


+ 



ℎ

+



ℎ

+ 



ℎ

+ 


ℎ

+ 








ℎ






+







ℎ






+








ℎ







(
20
)

Rõ ràng rằng 





ℎ


≠0. Sau một số đơn giản hóa,
chúng ta có thể viết lại (20) cho toàn hệ thống như sau:
̈= 


ℎ
(


)
+ 



ℎ
(

)
+



ℎ
(

)
+



ℎ
(

)


(21)
Với 




ℎ
(

)
≔() được định nghĩa là ma trận tách.

(

)
=






ℎ

………
:
:








…






ℎ

:
:





ℎ



Giả thiết điều kiện 


(

)

≠0 được thỏa mãn, hệ
thống (16) là tuyến tính vào-ra. Các thông tin phản hồi
phi tuyến sau:



= 

(

)
−


ℎ
(

)
−



ℎ
(

)

(
23
)

Tuyến tính và tách được hệ thống WMR vào n-m đôi
một tích hợp như sau:
⎣

⎢
⎢
⎢
⎡
̈

̈

:
:
̈

⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
=
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡




:
:



⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
+
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡




ℎ





ℎ

:
:





ℎ

⎦
⎥
⎥
⎥
⎤

(
24
)

Với 

,= 1,2, ,− là đầu vào mới. Bây giờ, giả
thiết rằng có p tham số bất định trong mô hình WMR và
không có phi tham số bất định nào, tức là 



ℎ
(

)
= 0.
Định lí 1 được trình bày để giải quyết các động học khả
tích và vấn đề điều khiển bám động lực học của WMRs
trong sự có mặt của các tham số bất định trên bổ đề và
giả thiết sau đây :
Giả thiết 1 : đo được tất cả các trạng thái, tức là

=
[


,

]

là các biến thời gian thực.
Giả thiết 2 : Các vận tốc ảo, tức là

(

)
=
[


(

)
,…

(

)]

bị chặn với mọi > 0
Bổ đề 1 : Cho một hàm khả vi 
(


)
:

→,
ế
(

)
∈

và
̇
(

)
∈
∞
, khi đó () có xu hướng
tiến về 0 khi →∞, khi 
∞
biểu thị một tập hợp các hàm
bị chặn và 

biểu thị các tập hợp các hàm khả tích
vuông. [28].
Định lí 1 : Với điều kiện các quỹ đạo mẫu 

() được
lựa chọn bị chặn với mọi t>0, và theo giải thiết 1 và 2,

bộ điều khiển thích nghi bám dưới đây đảm bảo rằng tất
cả các tín hiệu trọng hệ thống vòng kín là bị chặn và sai
lệch bám 
(

)
= 
(

)
−

() hội tụ về 0 khi →∞.


= 


(

)

−


ℎ−





ℎ


= ̈

+ 

(
̇

−̇
)
+ 

(


−
)



̇
= Γ




(
25

)

Trong đó, ∈
()
là ma trận hồi quy, 

∈


là một vector của bộ lọc tín hiệu sai lệch và
Γ ∈

là một ma trận đối xứng xác định dương như
đạt được thích nghi. 

∈
(

)

(

)
và 

∈

(

)


(

)
là ma trận đường chéo, biểu thị đạo hàm
và tỉ lệ đạt được của luật điều khiển tuyến tính cho toàn
hệ thống, tương ứng.
Chứng minh : Theo như nguyên lí chắc chắn tương
đương, chúng ta cần phải thay thế 
(

)
à



ℎ
(

)

bằng những ước lượng của chúng trong luật điều khiển
tách [23].


= 


(


)

−


ℎ−




ℎ

(26)
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 5

Với


(

)
= 



ℎ
(

)
,





ℎ= 



ℎ(27)
Bằng cách thế (26) và (21), chúng ta được :
̈= 


ℎ
(

)
+ 



ℎ
(

)
+ 
(

)




(

)

−


ℎ−





ℎ

(28)
Sau một vài bước biến đổi, công thức (28) có thể dễ
dàng được viết dưới dạng sau :
̈= +




ℎ
(

)
+


(

)



(

)

−


ℎ−




ℎ


(29)
Khi





ℎ

(

)
= 



ℎ
(

)
−




ℎ
(

)
,


(

)
= 
(

)

−

(

)
(30)
Khi đó, một cách dễ dàng có thể lấy được các tham số
mô hình sau đây từ (29) »
̈=+ 

(31)
Với 

=




,…,




là một vector của sai lệch ước
lượng tham số và ma trận ∈
(

)

là ma trận hồi

quy, mà được tạo thành tử hàm thời gian đã biết với giả
thiết là đều bị chặn. Bây giờ, luật điều khiển thích nghi
có thể được xây dựng bằng phương pháp thiết kế SPR-
Lyapunov cái mà được thúc đẩy từ Sastry và Bodson
[22] và Loannou [23] và công việc của Craig [26]. Giả
sử rằng đầu vào điều khiển bên ngoài 

cho hệ thống
con thứ  của (31) được chọn để đầu ra thứ j, 

(), bám
theo đầu ra mong muốn, 

() trong vòng ngoài.


= ̈

+ 


̇

−̇


+ 





−


,
= 1,2, ,−(32)
Điều này đưa ra phương trình sai lệch sau :
̈

+ 

̇

+ 



= 



(33)
Với 

=



,…,



là ma trận hồi quy hàng thứ j.
Với mục đích thích nghi, người ta có thể sử dụng bộ lọc
tín hiệu sai lệch cho đầu ra thứ j sau đây :


= ̇

+ 




(
34
)

Vì ̇

= ̇

−̇

được biết như một hàm của các trạng
thái được đo bằng cách xem xét (19), nó rõ ràng rằng 


là có sẵn. Tham số 

được chọn sao cho hàm truyền

dưới đây là thực sự thực.


(

)
=
+



+ 

+ 

(35)
Điều này có nghĩa là 

() được phân tích trong mặt
phẳng phải đóng một nửa và 



()

> 0. Theo đó,
bằng bổ đề thực dương [23], tồn tại các ma trận xác định
dương 

à


như sau :





+ 



= −

, 



= 



(
36
)

Với các ma trận 

,

à


được xác định bởi sự thực
hiện tối thiểu không gian trạng thái của (33) và (34)
trong dạng sau :

̇

= 



+ 





,

= 



(37)
Với 

=




, ̇



là biến trạng thái và


= 
0
−


1
−

;

= 
0
1
;

=



1


(

38
)

Như một kết quả, phương trình sai lệch toàn hệ thống có
thể được viết như sau :

̇
= + 

, 

= (39)
Trong đó
∈

(

)

(

)
,∈

(

)

(


)
à∈

(

)

(

)
là khối ma trận đường chéo.
=
(


,

,…,

)
,
= 
(


,

,…,

)

,
= 
(


,

,…,

)
(40)
Và =
[



,


,…,


]

. Các phương trình
Lyapunov (36) cũng được viết cho toàn hệ thống dưới
đây :


+ =−, = 


(41)
Trong đó,
= 
(


,

,…,

)
,
= 
(


,

,… ,

)
(42)
Bây giờ, ta có thể xác định hàm Lyapunov sau để thu
được luật điều khiển thích nghi :


,



= 

+


Γ




(
43
)

Đạo hàm theo thời gian phương trình trên và áp dụng
(39) và (41), chúng ta có thể viết :

̇

,


= −

+ 2







+ Γ



̇
(44)
Ta có thể chọn


̇
= −Γ



(45)
đảm bảo rằng đạo hàm của hàm Lyapunov là xác định
âm. Vì  là mooth tham số hằng, khi đó 

̇
=−

̇
và luật
điều khiển trong (25) là dễ dàng có được. Như một kết
quả, chúng ta có :

̇

,



= −

≤

(

)

|

|


(46)
Điều này có nghĩa là ∈

và nhờ vào lí thuyết
Lyapunov, chúng ta có ,

∈
∞
. Do đó, 

= ∈


à


∈
∞
. Bằng cách xét luật thích nghi, chúng ta
có 

̇
≤

|
Γ
|

|


|

|


|

 mà cùng với 

∈


và∈
∞
nghĩa là 


̇
∈

. Vì ,

∈
∞
, khi đó

̇
= + 

∈
∞
và 
̇

= 
̇
∈
∞
. Cuối cùng, vì


,
̇

∈
∞

à

∈

, bằng bổ đề 1, chúng ta kết luận
rằng 

→0ℎ→∞ , suy ra 

̇
→0khi→∞. Kết
quả này cho thấy các sau lệch bám 

và̇

là ổn định
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 6

tiệm cận. Tuy nhiên, từ phân tích này, chúng ta chỉ kết
luận rằng tham số sai lệch ước lượng còn lại bị chặn.
Chú ý 5 : Chú ý rằng nếu ∉
∞
, một đề án thích nghi
tương tự có thể được lấy bằng cách sử dụng cá kĩ thuật
thông thường để áp dụng với các ma trận hồi quy không
bị chặn.
Chú ý 6 : Vì nó là tiêu chuẩn trong các tài liệu, để các
tham số sai lệch hội tụ về 0 theo hàm mũ, điều kiện (PE)
sau đó phải được thỏa mãn với bất cứ khoảng thời gian
của độ dài 



≤


(

)


(

)




≤(47)
Trong đó,  là mức kích thích và > 0 là một tham số
hằng.
Chú ý 7 : Yếu tố quyết định của ma trận tách trong luật
điều khiển trong (25) có thể bao gồm một vài các tham
số nhận dạng . Do đó, chặn trước trên các tham số là đủ
để đảm bảo không có các điểm kì dị trong ma trận tách.
Đó là công việc của Sastry [9], một vài kĩ thuật có trong
tài liệu cho mục đích này [23]. Chú ý này và các giả
thiết 1 và 2 ám chỉ ∈
∞
.
4. Hiệu chỉnh tính bền vững.

Trong thực tế, mô hình WMR cũng chịu những phi tham
số bất định được mô tả trong chú ý 3. Do đó, chúng ta
giả sử rằng 



ℎ
(

)
≠0 trong (21). Từ (26) đến (31),
ta có thể viết lại (31) như sau:
̈= +

+ (48)
Với 



ℎ
(

)
biểu diễn ánh xạ vào-ra của bất định
(,) trong hệ thống. Khi đó, bằng cách xét (32)-(39),
phương trình sai lệch của toàn hệ thống có thể được viết
lại như sau:

̇
= + 




+ 

, 

= (49)
Bằng cách lấy vi phân (43) và thay thế (49) trong kết
quả, chúng ta có

̇

,


=−

+2






+ Γ



̇


+ 2



(50)
Để đạt được tính bền vững với bất đinh , sự hiệu chỉnh
sau đây có thể được áp dụng cho bộ điều khiển được đề
xuất.
4.1 Sự hiệu chỉnh luật thích nghi
Sự điều chỉnh này dường như là cần thiết để tránh các
tham số trôi dạt vì bất định . Định lí sau đây được trình
bày để tăng tính bền vững của luật thích nghi trong (25).
Định lí 2. Luật thích nghi sau trong bộ điều khiển được
đề xuất của định lí 1 bảo đảm rằng sai lệch bám và các
tham số sai lệch ước lượng cuối cùng đều bị chặn.


̇
= −

̇
= Γ



−Γ∑

(51)
Chứng minh: Sau khi thế 


từ (51) và (50) và sử dụng


= −

, ta được

̇
,

= −

+2


∑−2


∑

+ 2



(52)
Xết những giá trị đơn nhỏ nhất của ma trận à∑, tức
là 

= 


(



)
à
∑
= 

(∑
∑

)
, và sử
dụng

|

|

≤
̅
, chúng ta có:

̇

,



≤−


|

|


+ 2
∑







|

|

−2
∑








+ 2
̅


|


|

(53)
Xết rằng







|

|

=
1
2









+
1
2



|

|


−
1
2

1






−

|

|




(54)
Ta có thể viết







|

|

≤
1
2








+
1
2




|

|


(55)
Với ∈

. Chúng ta cũng có thể viết
−


|

|


+ 2
̅


|


|

≤−



|

|


+2
̅


|

|

|

|

≤−
1
2



|

|



−
1
2





|

|

−
1




|

|


̅


+
2




|

|



̅

≤−
1
2



|

|


+
2



|

|




̅

(56)
Dựa vào bất đẳng thức (55) và (56) có thể giúp viết (53)
như sau :

̇

,


≤−
1
2



|

|


−2
∑








+ 2
∑

1
2








+
1
2



|

|



+
2




|

|



̅

≤−
1
2



|

|


−2
∑
1 −
1
2









+ 
∑



|

|


+
2



|

|



̅

(57)
Ta xác định các thông số sau :



=
1
2


> 0,

= 2
∑
1 −
1
2

> 0à
= 
∑



|

|


+
2




|

|



̅

(58)
Bất phương trình (57) có thể được viết lại như sau :

̇

,


≤−


|

|


−









+ (59)
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 7

Mặt khác, hàm Lyapunov trong (43) có thể được được
quy đinh như :


,


≤

(

)

|

|


+ 


Γ










(60)
Từ đó suy ra :
= min





(

)
,





Γ




(61)

Phương trình (59) trở thành




, ,V X kV X
  
  
 

(62)
Sau khi giải bất đẳng thức (62), ta có
   
 
0 1
kt kt
V t V e e
k

 
   ,
[0, )
t
  
(63)
Sử dụng (43) viết lại:
   
2
min
V t P X


 ,
 


2
1
min
V t
 

 

(64)
Lưu ý (63), V bị chặn trên, cùng với (64) thu được:
 
2
min
V
X
P

 ,
 
2
1
min
|| ||
V







(65)
Từ

bị chặn, phương trình (62) X và


đều bị chặn và
bền vững của luật thích nghi là đạt được so với sự bất
định

. Kết quả này cũng cho thấy rằng các sai lệch
bám
j
e
và
j
e

, j = 1,2,…,n-m, cuối cùng đều bị chặn.
Nhận xét 8. Việc sửa đổi trình bày trên luật thích nghi
(51) được gọi là điều chỉnh sigma, được giới thiệu bởi
Ioannou và Sun [23]. Hạn chế chính của điều chỉnh này
là kích thước của cuối cùng các ràng buộcsai lệch bám
phụ thuộc vào nhiễu bên ngoài và nó không thể được tự
do điều chỉnh các thông số điều chỉnh.

4.2 Sự thay đổi của luật điều khiển
Luật điều khiển tuyến tính trong vòng lặp bên ngoài của
thông tin phản hồi điều khiển tuyến tính, i.e,

, có thể
được tính bền vững bù cho bất định

như sau. Có thể
viết (48):
W
R
y
  
  


(66)
Với
R R
v
 
 
và
R
v
là giới hạn điều khiển vững chắc
được đề xuất ở đây. Một lần nữa, bằng cách xem xét
(32) – (39) và phương trình (66). Toàn bộ hệ phương
trình sai lệch được viết lại như sau:



,
R
X AX B W v
 
   


1
E CX

(67)
Để thiết lập
R
v
ta giả định


,
q v
 
 và


,
q v

là
hàm bị chặn trên. Từ (15) và (19) ta có:











1
1
f h d
L L h x J q S q M F q



  

(68)
Với
       
1 2
, , ,
T
T T T
h h h hn m
J q J q J q J q

 


 
là ma trận
Jacobian được tạo thành từ các ma trận Jacobian liên
quan đến kết quả đầu ra. Bằng cách xem xét các thuộc
tín WMR đã được đề cập và Ghi chú 1, ta có thể kết luận
rằng:
     


1
1 1 2
h d
J q S q M F q v
   

   

(69)
Do đó, hàm bao quanh được viết như sau:
1 2
( , )q v v
  
 
được định nghĩa trong tham số hình
thức,
Y
 

với
1

Y v
 

 
,


1 2

T
  
 (70)
Và

được định nghĩa trong tham số hình thức là vectơ
của các hằng số chưa biết của hàm bao quanh
Sau đó, điều khiển vững chắc
R
v
được đề xuất như sau:
2
1
1
ˆ
2
ˆ
2 ( )
R
E
v

E t

 
 

, (71)
Với




0 f
t t
  

là hàm thời gian thực dương, thỏa
mãn điều kiện
0
0
( ) ,
f
t
s ds C t



   

, với mọi
0

t t

[29]. Có một lựa chọn là:
( ) ( ), (0) 0,
t k t

  
  

(72)
Với
k

là một hằng số vô hướng điều khiển dương và
ˆ ˆ
Y
 

ước lượng hàm bao quanh. Để đạt được
ˆ

, luật
thích nghi được định nghĩa là:
1
ˆ
T
Y E
 



(73)
Định lý sau đây được trình bày nhằm tăng sự bền vững
của các quỹ đạo điều khiển thích nghi bám được đề xuất
trong định lý 1 đối với phi tham số bất định.
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 8

Định lý 3. Theo giả định 1 và 3, các luật điều khiển sau
đây đảm bảo sự ổn định tiệm cận các sai lệch bám (
e
và
e

) trong vòng lặp bên ngoài của bộ điều khiển phản hồi
tuyến tính được nói đến trong định lý 1




1 2
R r r r R
y y y y y v
  
     
  
(74)
Với
R
v
là luật điều khiển thích nghi bền vững được xác

định bởi (71) – (73)
Chứng minh: chúng ta hãy xem xét các hàm Lyapunov
sau:




1 1
1
, , , ,
T
V X V X k

       
 
  
 
  
(75)
Với
ˆ
  
 

và


,
V X



được định nghĩa trong (43).
Do sự khác biệt (75) và áp dụng (67) và (45), ta có


1 1 1
1 1
, , , X 2 2
2
T T T
R
T
V X X Q v E E
k

   
   
 
   
 




 
(76)
Sử dụng (72), giới hạn trên của

và xét đến
Y

 

và
1
T
Y E
 
 


,


1 1 1 1
, , , X 2 2 2
T T
R
V X X Q v E Y E Y E
     
     


 

(77)
Thế vào (71), ta có
 
 
2
1 1

1
1
ˆ
4
, , , X
ˆ
2
T
T
Y E E
V X X Q
Y E

  
 
  





1
1
1
ˆ
2
ˆ
2
X+
ˆ

2
T
Y E
Y E
X Q
Y E
 
 

 
 
  


(78)
Và do đó
 
1
1
1
ˆ
2
, , , X+ 1
ˆ
2
T
Y E
V X X Q
Y E


   
 
 
  
 
 

 


(79)
Kể từ số hạng cuối cùng luôn nhỏ hơn 0, ta có


1
, , , X
T
V X X Q
  
 



(80)
Điều này có nghĩa rằng ,
X L





và một lập luận tương
tự như Định lý 1 chứng minh rằng sai lệch bám ổn định
tiệm cận.
Nhận xét 9. Khi


t

được chọn như vậy mà nó không
có xu hướng không bị giới hạn, một luật thích nghi điều
chỉnh sigma cho các tham số ược lượng
ˆ

trong (73) co
thể cần thiết để nâng cao robustness. Kết quả là, các
boundedness cuối cùng đồng nhất các sai lệch bám có
thể đạt được. Người đọc quan tâm xem [29] để biết thêm
chi tiết.
5. Một ví dụ thiết kế
5.1 Áp dụng loại (2, 0) WMR
Cơ cấu của loại (2, 0) WMR được thể hiện ở trong hình
2. Các WMR có hai bánh xe cố định thường gắn đồng
trục và một bánh xe nhỏ để duy trì trạng thái cân bằng
của robot. Trọng tâm của robot có tọa độ


,
C C C
P x y
 .

Điểm


0 0 0
,
P x y
 là gốc của khung tọa độ địa phương
được gắn vào WMR và cách
C
P
một khoảng d. Điểm


,
L L L
P x y
 là một điểm tham chiếu ảo trên trục x của
khung tọa độ địa phương ở khoảng cách L (về phía
trước) của
C
P
. Tham số 2b là khoảng cách giữa 2 bánh
xe cố định. Bán kính mỗi bánh xe được ký hiệu là r.

Hình 2: Cấu hình của bánh xe robot di động kiểu (2,0)

Nếu tọa độ vector tổng quát được lựa chọn là


0 0

, ,
T
q x y

 , một vận tốc ràng buộc thu được dưới
dạng
0 0
os sin 0
y c x
 
 
 
. Do đó, ta định nghĩa giả vận
tốc như sau:


( ) ( ), ( )
T
v t v t t

 đó là vận tốc dài và vận
tốc góc của WMR.
Theo các ký hiệu được giới thiệu trước đây, các ma trận
động học và động lực học được thu được dưới đây:
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 9

 
os 0
sin 0
0 1

c
S q


 
 

 
 
 
,
1
0
0 1
m
M
 

 
 
,

2
2
1
2
2
2
2
2

C
C
K
m d
r
C
b K
m d
r


 
 
 

 

 
 


và
1
1
b
r r
X
b
r r
 

 

 
 

 
 

Với
w
2
C
m m m
 
,
2 2
w
2 2
C m C
I I I m d m b
   
và
1
T
B X

. Tham số
C
m
là khối lượng nền này mà không

có bánh xe và các roto của động cơ DC.
w
m
biểu thi
khối lượng của mỗi bánh xe với rôt của động cơ.
C
I
biểu
thị momen quán tính ko có bánh xe và các roto của động
cơ về một trục thẳng thông qua
C
P
và
m
I
biểu thị momen
quán tính của mỗi bánh xe và roto động cơ về đường
kính bánh xe.
Tham số khối lượng (m), momen quán tính (I), bán kính
bánh xe (r), khoảng cách giữa 2 bánh xe (2b) và các
thông số thiết bị truyền động (
1
K
và
2
K
) được cho là
bất ổn. sau đó, bằng cách thay thế (81) vào (14) và (15),
và xác định các thông số bất ổn mới:
2

1
2
2
r
K
m


,
2
C
m d
m


,
3
C
m d
I


,
2
2
4
2
2
b K
Ir



,
1
5
K
mr

 ,
1
6
K b
Ir


Ta có
 
0
v
S
f x
 

 
 
,
 
 
0
,

,
q x
Q x


 

 
 
và
 
 
0
,g x
G


 

 
 
(83)
 
2
1 2
3 4
,
r r
r r r
v

Q x
v
  

   
 
 

 

 
,
 
5 5
6 6
G
 

 
 

 

 
(84)
Các biến đầu ra sau đây đượ chọn để bám theo một quỹ
đạo mong muốn dựa trên phương pháp điều khiển look-
head.



2
n m
 

     
 
1 2
0 0
,
os , sin
T
T
y h x h q h q
x Lc y L
 
   
 
  
(85)
Sau khi tính toán
2
( )
f
L h x
,
( )
q f
L L h x

và

1
ˆ
( )
D x D


trong
(29) nhận được
   
 
 
   
 
 
1
2
2
( )
h
f
h
J q S q v S q v
q
L h x
J q S q v S q v
q

 
 


 


 
 

 
(86)


 
1 2 1 2 1 1
5 5 6 6 5 5 6 6
1
1 1 1 2 1 2
5 5 6 6 5 5 6 6
ˆ ˆ ˆ ˆ
os sin os sin
ˆ
( )
ˆ ˆ ˆ ˆ
os sin sin cos
c c
D x D
c
           
           
   

   

 
 
 

 
 
 
 
   

   
(87)
2
1 2 3 4
2
1 2 3 4
os os sin sin
( )
sin sin os s
r r r r r
q f
r r r r r
v c c v L L
L L h x
v v Lc Lco
          
          
 
   


 
   
 
   

   
(88)
Ma trận hồi quy trong (31) thu được dưới dạng:
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
w w w w w w
W
w w w w w w
 

 
 
(89)
Với
 
 
11
2
12
13
14
1 2
15 5 1 2
1 2
16 6 1 2

21
2
22
23
24
cos
cos
sin
sin
ˆ
cos sin cos
ˆ
sin sin cos
sin ,
sin
os
os
r
r
r r
r
r
r
r r
r
w v
w
w v L
w L
w

w
w v
w
w v Lc
w Lc

 
 
 
   
   

 
 
 


 
 
 

   
   
 
 

 




1 2
25 5 1 2
ˆ
sin cos sinw
   

   



1 2
26 6 1 2
ˆ
sin cos cosw
   

   

(90)
Với
 
1 1 1 11 1 12 2 13 3 14 4
ˆ ˆ ˆ ˆ
h v v
J S S w w w w
q
    

      


 
2 2 2 21 1 22 2 23 3 44 4
ˆ ˆ ˆ ˆ
h v v
J S S w w w w
q
    

      

(91)
Sơ đồ khối của bộ điều khiển phản hồi tuyến tính thích
nghi được thể hiện ở hình 3.

5.2 Kết quả mô phỏng

Trong phần này, một số mô phỏng trên máy tính đã được
thực hiện để cho thấy việc thực hiện bám và bền vững
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 10

của các bộ điều khiển tham số bất định và phi tham số.
Các thông số WMR được chọn để phù hợp với thế giới
thực của robot di chuyển, và nhiễu ồn trắng Gauss cũng
được thêm vào chế độ để mô phỏng hệ định vị. Tất cả
các mô phỏng được thực hiện dựa trên xấp xỉ Euler với
bước nhảy thời gian là 20 ms. Thông số vật lý của WMR
và thông số điều khiển được liệt kê như sau: r = 0.15 m,
b = 0.75 m, d = 0.3 m, L = 0.1 m, ckg,
1

w
m

kg,
0.0025
m
I 
kgm
2
,
15.625
C
I 
kgm
2
, thời gian trích mẫu
0.02 s
dt

.
1
K 7.2

và
2
2.59
K 
. Như vậy, giá trị
thực của tham số mới trong (82) được tính



6.06, 0.284, 0.54, 6.48, 1.26, 1.8
T

 . Để cấp cho một
chuyển hướng mịn, một hệ thống tới hạn tắt dần được

Hình 3: Sơ đồ khối của bộ điều khiển đề xuất

Hình 4: Quỹ đạo WMRs của bộ điều khiển thích nghi (đường liền nét đậm) và bộ điều khiển không thích nghi (đường
nét chấm đứt) có sự có mặt của các tham số bất định
chọn bằng đạt:
1 2
2
j j
 

với
2
1
j


trong bộ điều
khiển vi phân tỷ lệ (PD) (32). Cùng với
2 1
/
j j j
  


cấp cho SPR cho hàm truyền (35). Hơn nữa, khoảng
cách look-head L phải được chọn thích hợp. Từ tham số
L trong định thức của ma trận tách, giá trị nhỏ của L có
thể dẫn đến tín hiệu điều khiển lớn, Giá trị lớn của L
cũng có thể dẫ đến hiệu suất bám kém.
Trong mô phỏng đầu tiên, bộ điều khiển bám thích nghi
được thử chỉ cho các thông số bất định. Giả định rằng
không biết các thông số WMR. Đối với mục đích mô
phỏng, một quỹ đạo mịn mong muốn được chọn như
sau:
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 11





os ,
r g r
x t x Rc t

 




sin
r g r
y t y R t

  (92)

Với




, 10 m, 25 m
g g
x y  và R = 7.5 m. Tâm và bán
kính của quỹ đạo tròn, tương ứng, và
0.05
r


. Chú ý
rằng
r

phải chọn nhỏ vì làm giảm việc điều khiển khi
r

xa 0. Vị trí ban đầu và hướng WMR, giá trị ban đầu
của các tham số ước lượng cảu WMR và đạt được sự
thích nghi được lựa chọn:
 


0 15,25,0,0,0 ,
T
x 
 



ˆ
0 1,1,1,1,1,1
T






10,5,10,10,1,10
diag  (93)
Hình 4 cho thấy quỹ đạo mong muốn và WMR cho điều
khiển thích nghi và bộ điểu khiển phản hồi không thích
nghi. Như ta có thể thấy, tham số bất định có tác động
không mong muốn trên thực hiện điều khiển bám của
các thông tin phản hồi tuyến tính hóa không thích nghi
vì sự hủy bỏ chính xác các động lực học phi tuyến.
Nhưng sai lệch vị trí tiệm cận hội tụ về 0 cho bộ điều
khiển thích nghi. Các thông số ước lượng cũng được thể
hiện hết trên hình 5.
Trong mô phỏng thứ hai. Các bộ điều khiển bám thích
nghi được kiểm tra cho cả hai tham số bất định và phi
tham số. Thồn số vật lý thực sự của WMR đưuọc liệt kê
như sau: r = 0.05 m, b = 0.3 m, d = 0.15 m, L = 0.2 m,
C
m
= 10 kg,
0.2

w
m 
kg,
0.006
m
I 
kgm
2
,
3
C
I

kgm
2
, thời gian trích mẫu
0.02 s
dt

.
1
K 0.261

và
2
0.267
K 
. Như vậy, giá trị thực của tham số mới trong
(82) được tính



20.52, 0.144, 0.46, 5.87, 0.5, 0.48
T


.Mong muốn quỹ đạo hình số 8 trơn được chọn như sau:





1d
sin 2
g r
y t x R t

 





2d
sin
g r
y t y R t

 
(94)
Với





, 2.5 m, 2.5 m
g g
x y  và R = 2 m là những
tham số trong quỹ đạo và
r

= 0.05. Để minh họa sự bền
vững của bộ điều khiển được đề xuất, các giá trị tham số
bất định được thiết lập
 


ˆ
0 1, 1, 1, 1, 1, 1
T

 và các
mô hình sau được chọn để mô phỏng sự bất định phi
tham số như ma sát


F q


Và nhiễu
d


:




sgn
v d
F q F q K q
 
  

   
sin , sin
T
d d d d d
A t A t
  

 
 
(95)
Với
0.9
v
F  ,
0.75
d
K  ,
10

d
A

,
3
d


rad/s.
Số hạng đầu tiên của vế bên phải phương trình đầu tiên
trong (95) biểu diễn ma sát nhớt. Số hạng sgn(.) biểu
diễn các hàm signum, đó là mô hình đơn giản ma sát
động. Ngoài ra, tín hiệu điều khiển cho các thiết bị được
bão hòa nằm trong
24
a
u

V để mô phỏng hệ thống
WMR thực. Lưu ý rằng những kết quả điều khiển phải
được lựa chọn sao cho tín hiệu điều khiển không vượt ra
ngoài ràng buộc này. Nếu không, bão hòa phi tuyến của
thiết bị truyền động phải được đưa vào tính trong quá
trình thiết kế bộ điều khiển. Robot truyền động bắt đầu
từ




0 2.5,6, / 6,0,0

T
x

  quỹ đạo bám đưuọc tạo
ra bởi (94). Hình 6 cho thấy sự bền vững và hiệu năng

Hình 5: Các thông số ước lượng của WMR
của bộ điều khiển bám thích nghi bền vững mà không
thay đổi. Bộ điều khiển bám thích nghi với

- điều
chỉnh luật thích nghi chỉ rõ sự bền vững nhiều hơn sự
xáo trộn và lực ma sát. Hình 8 minh họa việc thực hiện
điều khiển bám bền vững của thông tin điều khiển phản
hồi thích nghi bền vững với diều khiển thích nghi không
thay đổi. Tham số của luật điều khiển thích nghi bên
vững được chọn là


0 1


,
1
k


. Được minh họa
bằng hình vẽ, sai lệch bám vị trí tiệm cận cho bộ điều
khiển bám.

Trong hầu hết các kết quả mô phỏng, điều khiển bám
thích nghi mà không thay đổi mất sự ổn định của nó
trong sự có mặt của phi tham số bền vững lớn. Tuy
nhiên, thay đổi các bộ điều khiển thích nghi duy trì sự
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 12

ổn định của chúng và cho thấy hiệu suất bám vượt trội
sao cho bình phương sai lệch gốc giảm ít hơn 0.1 m theo
phương x và y.
Hình 7 và 9 biểu diễn tín hiệu điều khiển được tạo ra cho
tất cả các bộ điều khiển. Các dao động tần số cao trong
các tín hiệu điều khiển của các hình 7 và 9 là do nhiễu
hình sin tần số cao trong (95). Hơn nữa, loại điều khiển
bão hòa (71) là một xấp xỉ liên tiếp của chế độ điều
khiển trượt mà cũng tạo ra hiện tượng chatting trong tín
hiệu điều khiển của hình 9a. Hiện tượng chattering
không mong muốn trong thực tế vì nó có thể kích thích
các động lực học không được mô hình hóa tần số cao.
Người ta có thể thỏa hiệp giữa độ bám chính xác và tín
hiệu điều khiển trơn bằng cách điều chỉnh tốt các hàm


t

trong (71). Trong các ứng dụng robot thực tế, thiết
bị truyền động băng thông cao được yêu cầu để chống
lại với giao động đó. Nếu không, việc thực hiện điều
khiển có thể bị suy giảm trong các thí nghiệm thực tế.
Có thể suy ra từ (71) và (72), điều khiển bền vững là
không liên tục trong giới hạn và chatting của tín hiệu

điều khiển trong hình 9a tăng đến vô tận theo thời gian.
Để giảm bớt ảnh hưởng của chatting cho mọi
0
t

, có
thể chọn


0
t
 

với
0

là hằng số. Tuy nhiên, như
đã nói trong Nhận xét 9, lựa chọn này của


t

có thể
dẫn đến tính bị chặn đều có thể làm mất các sai bám và
sự ổn định tiệm cận. Như đã nói từ Nhận xét 3, đề xuất
bộ điều khiển của chúng ta không thể khắc phục những
nhiễu động học do bánh xe trượt. các trượt gây ra những
hạn chế động học (2) và phương trình độc học (4) không
còn đúng nữa. Mô phỏng khác được thực hiện của bộ
điều khiển thích nghi bền vững đề xuất trong trường hợp

có nhiễu động học do bánh xe trượt. Theo báo cáo của
[30], ta có thể sử dụng mô hình động học bị nhiễu sau
đây thay vì (4):






sin , os ,0
T
U
q S q v t c
  
  

(96)
Với


U
t R


biểu thị sự xáo trộn giới hạn. Trong mô
phỏng này, nó được cho bởi







0.1 50 70
U
t H t H t

   
 
 
, với H(.) là hàm
bước nhảy chuẩn Heaviside.

Hình 6: Quỹ đạo WMR cho các bộ điều khiển có mặt của các tham số và phi tham sô bất định: bộ điều khiển thích
nghi bền vững với sự hiệu chỉnh σ (đường liền đậm) và bộ điều khiển tuyến tính hóa thông tin phản hồi thích nghi
không có sự hiệu chỉnh (đường chấm gạch) a. Sai lệch bám WMR cho cả hai bộ điều khiển: bộ điều khiển thích nghi
bền vững (đường liền đậm) và bộ điều khiển tuyến tính hóa thông tin phản hồi thích nghi không có sự hiệu chỉnh
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 13

(đường chấm gạch) b.

Hình 7: Những tín hiệu điều khiển của bộ điều khiển tuyến tính hóa thông tin phản hồi thích nghi với việc hiệu
chỉnh σ (a) và bộ điều khiển không hiệu chỉnh (b)


Hình 8: Quỹ đạo WMR cho các bộ điều khiển có mặt của các tham số và phi tham sô bất định: bộ điều khiển thích
nghi bền vững (đường liền đậm) và bộ điều khiển tuyến tính hóa thông tin phản hồi thích nghi không có sự hiệu chỉnh
(đường chấm gạch) a. Sai lệch bám WMR cho cả hai bộ điều khiển: bộ điều khiển thích nghi bền vững (đường liền
đậm) và bộ điều khiển tuyến tính hóa thông tin phản hồi thích nghi không có sự hiệu chỉnh (đường chấm gạch) b.

Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 14

Hình 9: Tín hiệu điều khiển cho bộ điều khiển tuyến tính hóa thông tin phản hồi thích nghi với bộ điều khiển thích
nghi bền vững (a) và bộ điều khiển thích nghi không có hiệu chỉnh (b).
Hình 10 cho thấy quy trình bám và tính bền vững của bộ
điều khiển được đề xuất bị suy giảm nhanh có sự có mặt
của nhiễu động học. Sự cải thiện của bộ điều khiển bền
vững đòi hỏi đầu tư nhiều hơn để xác định hướng của
công trình trong tương lại.
6.Kết luận và công việc cho tương lai
Một bộ điều khiển bám quỹ đạo vừa được thiết kế dựa
trên kĩ thuật tuyến tính hóa thông tin phản hồi cho bánh
xe robot nonholonomic. Bộ điều khiển được đề xuất có
thể giải quyết động học khả tích và vấn đề động lực học
bám có sự có mặt của cả các tham số và phi tham số bất
định. Những điểu sau đây được xem xết trong quá trình
thiết kế luật điều khiển: (1) một luật điều khiển thích
nghi được thiết kế dựa trên tiếp cận SPR-Lyapunov đề
đạt được tính bền vững với các tham số bất định. (2) Nó
cho thấy rằng bộ điều khiển thích nghi bám có thể được
sửa đổi đề bù cho nhưng phi tham số bất định vì lực ma
sát, nhiễu và các động lực học không được mô hình hóa.
(3) Từ một quan điểm thực tế, luật điều khiển được thiết
kế như thế có thể cung cấp một tín hiệu điều khiển cho
các thiết bị chấp hành. Những chứng minh lí thuyết cho
thấy hệ thống vòng kín là ổn định dưới các tham số và
phi tham số bất định. Kết quả mô phỏng cho WMR kiểu

Hình 10: Quỹ đạo tạo bằng bộ điều khiển thích nghi và bộ điều khiển tuyến tính hóa thông rin phản hồi thích nghi bền
vững được đề xuất có sự có mặt của sự trượt ngang của bánh xe (a) và những sai lệch bám cho cả hai bộ điều khiển (b)

Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 15

(2, 0) cũng thể hiện tính bền vững và quy trình bám của
bộ điều khiển được đề xuất. Bởi vì đo tất cả các biến
trạng thái không có thông tin phản hồi, việc thiết kế luật
điều khiển thích-bền vững dựa trên quan sát cho vấn đề
bám của WMRs nonholonomic là chủ đề cho công việc
trong tương lai không được trình bày đầy đủ trong tài
liệu này. Dựa trên kết quả mô phỏng, một chủ đề khác
của công việc trong tương lại là mô hình hóa và bù các
nhiễu động học vì các bánh xe bị trượt.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Campion G, Bastin G, Andrea-Novel BD. Structural
properties and classifica-tion of kinematic and dynamic
models of wheeled mobile robots. IEEE Trans Robotics
Autom 1996;12(1):47–62.
[2] Sarkar N, Yun X, Kumar V. Control of mechanical
systems with rolling constraint: application to dynamic control
of mobile robots. Int J Robotics Res 1994; 13(1):55–69.
[3] Coelho P, Nunes U. Path-following control of mobile
robots in presence of uncertainties. IEEE Trans Robotics
2005;21(2).
[4] Samson C. Control of chained systems application to path
following and time-varying point-stabilization of mobile
robots. IEEE Trans Autom Control 1997;1:64–77.
[5] McCloskey R, Murray R. Exponential stabilization of
driftless nonlinear control systems using homogeneous
feedback. IEEE Trans Autom Control 1997.
[6] Coelho P, Nunes U. Lie algebra application to mobile
robot control: a tutorial. Robotica 2003; 21(5) : 483–93.

[7] Aguiar JPPedro. Trajectory-tracking and path-following of
underactuated autonomous vehicles with parametric modeling
uncertainty. IEEE Trans Autom Control 2007;52(8):1362–79.
[8] Kolmanovsky I, McClamroch H. Developments in
nonholonomic control problems. IEEE Control Syst Mag
1995:20–36.
[9] Sastry SS, Isidori A. Adaptive control of linearizable
systems. IEEE Trans Autom Control 1989;AC-34:1123–31.
[10] de Wit CC, Khennouf H, Quasi-continuous stabilizing
controllers for nonholonomic systems: design and robustness
considerations. In: Proceed-ings of the third European Control
Conference, 1995, p. 2630–5.
[11] Yamamoto Y, Yun X. Coordinating locomotion and
manipulation of a mobile manipulator recent trends in mobile
robots. World Sci Ser Robotics Autom Syst 1993;11:157–81.
[12] Yun X et al., Control of multiple arms with rolling
constraints. In: Proceed-ings of the international conference on
robotics and automation, Proceed-ings of the international
conference on robotics and automation, 1992, p. 2193–8.
[13] Andrea-Novel BD, Bastin G, Campion G, Dynamic
feedback linearization of nonholonomic wheeled mobile
robots. In: Proceedings of the international conference on
robotics and automation, 1992, p. 2527–32.
[14] Oriolo G, De Luca A, Vendittelli M. WMR control via
dynamic feedback linearization: design, implementation, and
experimental validation. IEEE Trans Control Syst Technol
2002;10(6):835–52.
[15] Dixon WE, Dawson DM. Tracking and regulation control
of a mobile robot system with kinematic disturbances: a
variable structure-like approach. Trans ASME, J Dyn Syst,

Meas, Control 2000;122:616–23.
[16] Kim D-H, Oh J-H. Tracking control of a two-wheeled
mobile robot using input–output linearization. J Control Eng
Pract 1999;7:369–73.
[17] Fukao T, Nakagawa H, Adachi N. Trajectory tracking
control of a nonholo-nomic mobile robot. IEEE Trans
Robotics Autom 2000;16(5):609–15.
[18] Masahiro Oya C-YS. Robust adaptive motion/force
tracking control of uncertain nonholonomic mechanical
systems. IEEE Trans Robotics Autom 2003;19(1):175–81.
[19] Lewis FL, Abdallah CT, Dawson DM. Contol of robot
manipulators. New York: MacMillan; 1993.
[20] Wenjie Dong K-DKuhnert. Robust adaptive control of
nonholonomic mobile robot with parameter and nonparameter
uncertainties. IEEE Tans Robotics 2005;21(2):261–6.
[21] Zhaoxian Xie, AM Adaptive robust trajectory and force
tracking control of constrained mobile manipulators. In:
Proceedings of the international conference on mechatronics
and automation, IEEE, Harbin, China, 2007, p. 1351–5.
[22] Sastry SS, Bodson M. Adaptive control: stability,
convergence and robustness. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-
Hall; 1989.
[23] Ioannou PA, Sun J. Robust adaptive control. Englewood
Cliffs, NJ: Prentice-Hall; 1996.
[24] Campion G, et al. Controllability and state feedback
stabilization of nonholonomic mechanical systems. In: de Wit
CC, editor. Lecture notes in control and information science,
162. New York: Springer-Verlag; 1991. p. 106–24.
[25] Yun X, Yamamoto Y. Stability analysis of the internal
dynamics of a wheeled mobile robot. J Robotic Syst

1997;14(10):697–709.
[26] Craig J, Hsu P, Sastry S. Adaptive control of mechanical
manipulators. Int J Robotics Res 1987;6.
[27] Campion G d’Andrea-Novel B, Bastin G, Modelling and
state feedback control of nonholonomic mechanical system.
In: Proceedings of the 30th conference on decision and
control, IEEE, England, 1991, p. 1184–9.
[28] Popov VM. Hyperstability of control systems. Berlin:
Springer; 1973.
[29] Qu Z, Dawson DM. Robust tracking control of robot
manipulators. Piscat-away, NJ: IEEE Press; 1996.
[30] Dixon WE, Dawson DM, Zergeroglu E. Tracking and
regulation control of a
mobile robot system with kinematic disturbances: a variable
structure-like appraoch. J Dyn Syst, Meas Control
2000;122:616–23