điều khiển số đại học bách khoa hà nội

8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
1
Điềukhiểnsố
(Digital Control Systems)
Các ví dụ: Đánh số thứ tự theo
chương của giáo trình cùng tên
(Version 4, 11/2008)
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
2
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z
Ví dụ 1.2.1
Mộttínhiệugiánđoạnvề
thờigianđượcmôtả bởi:
()
1
1
1
1
z
Uz
z
z
−
==
−
−
Lờigiải:
Dễ dàng tìm ảnh z của tín hiệukể trên bằng cách tính tổng

Laurent:
()
()
00
k
kk
kk
a
Uz az
z
∞∞
−
==
⎛⎞
⎟
⎜
==
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
∑∑
Chuỗitrênchỉ hộitụ khi , tứclàở vùng phía ngoài đường tròn có bán kính a.
1az<
Hãy đitìmảnh U(z) và miềnhộitụ của tín hiệu!
Ví dụ 1.2.2
Hãy đitìmảnh z của hàm bướcnhẩy đơnvị 1(t) !
() () ( )

()
1
00
1 khi 0 1 khi 0,1, 2,
11 1
0khi 0 0khi 0
k
k
k
kk
tk
ut u U z z z
tk
∞∞
−−
==
⎧⎧
≥=
⎪⎪
⎪⎪
== ⇒ = ⇒ = ⋅=
⎨⎨
⎪⎪
<<
⎪⎪
⎩⎩
∑∑
…
()
0

1
s
s
r
rq
q
∞
=
=
−
∑
()
1
1
1
1
z
Uz
z
z
−
==
−
−
Kếtquả trên đúng vớimọi giá trị trên toàn miền z, trừđiểm z = 1.
Khi thay vào chuỗi: các giá trị q = z
-1
và r = 1 ta thu được:
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội

3
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z
Ví dụ 1.2.3
Ví dụ 1.2.4
Hãy tìm ảnh z của hàm e mũ (hàm exponent) !
() ( ) ( )
()
1
00
;0 ; 0,1,2,
k
at akT akT k aT
k
kk
ft e t fkT f e k Fz e z e z
∞∞
−−
==
=≥⇒ == = ⇒ = =
∑∑
…
Kếtquả tính tổng củachuỗilà:
()
1
1
11
aT
aT aT
ez

Fz
ez e z
−
−−
==
−−
Hãy tìm ảnh z của hàm dốctuyến tính !
(
)
;0; constft att a=≥=
Dễ dàng viết được ảnh F(z) dướidạng chuỗinhư sau:
()
0
k
k
F
zakTz
∞
−
=
=
∑
Để tính tổng trên ta phảiáp
dụng nguyên lý tịnh tiếnvà
sử dụng ảnh z củahàmbước
nhẩy1(t) và viếtlạicông
thứctrên:
()
()
123

23
3
12 12
1
2
11 1
11
1
Tz Tz Tz
Tz Tz
Fz a
Tz
zz z
aT z z aT z z
zz z
zz aTz
aT z
zz
z
−−−
−−
−
−− −−
−
⎡
⎤
+++
⎢⎥
⎢⎥
++

⎢⎥
=
⎢⎥
+
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
⎡
⎤
⎢⎥
=++=++
⎢
⎥
⎣
⎦
⎢⎥
−− −
⎣⎦
==
−−
−





8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội

4
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z
Ví dụ 1.2.5
Bổ xung lý thuyết:
Tìm hàm gốccủa ảnh z cho trướcbằng phương pháp tách phân thứchữutỷ thành
các phân thứctốigiản. Sau đólầnlượt tìm hàm gốccủa các phân thứctốigiản.
k
z
a
za
⇔
−
()
()
1
;1,2,
1
1
1
km
m
m
km
k
z
am
m
za
k

za a
m
−+
−
−
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⇔=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎝⎠
−
⎛⎞
−
⎟
⎜
⎟
−⇔
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜

⎟
−
⎝⎠

•Điểmcực đơn:
•Điểmcựclặplại m lần:
Cho trước ảnh z có dạng phân thức:
()
2
0,9
0,5 0, 4
0,1 0, 2
zzz
Fz
zz
zz
==−
−+
−−
Áp dụng công thức để tìm hàm gốc:
()
0,5 0,4
k
k
k
f =−−
Ví dụ:
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
5

1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z
()
(
)
(
)
0,9
0,5 0, 4
z
Fz
zz
=
−+
Xét hàm ảnh cho ở ví dụ 1.2.5:
()
()
()()
()
()
()()
()
1
2
1
1
1
0,5
z
1

1
2
0,4
z
0,9 0,5
0,5 Res lim 0,5
0,5 0, 4
0,9 0,4
0,4 Res lim 0,4
0,5 0, 4
k
kk
z
k
k
k
z
zz z
zFzz
zz
zz z
zFzz
zz
−
−
→
−
−
→−
⎧

⎡
⎤
⎪
−
⎪
⎢⎥
⎡⎤
⎪
=⇒ = =
⎪
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎪
−+
⎢⎥
⎪
⎣⎦
⎪
⎪
⎨
⎪
⎡⎤
+
⎪
⎢⎥
⎪
⎡⎤
=− ⇒ = =− −
⎪

⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎪
−+
⎪
⎢⎥
⎣
⎦
⎪
⎩
⎪
Có hai điểmcực z
1
, z
2
, vậy khi:
Hàm gốccódạng sau:
()
0,5 0,4
k
k
k
f =−−
Ví dụ 1.2.6
Bổ xung lý thuyết:
Tìm hàm gốccủa ảnh z cho trướcbằng phương pháp tính
Residuum. Khi z = z
ν
là điểmcực

-lặplại m lần:
- đơn:
Hàm gốccódạng:
()
1
1
Res
n
k
k
f
Fzz
ν
−
=
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
∑
()
()
()( )
() ()( )
1
11
1
z
11
z

1
Res lim
1!
Res lim
m
m
kk
m
zz
kk
zz
d
Fzz Fz z z z
m
dz
Fzz Fz z z z
ν
ν
ν
ν
ν
ν
−
−−
−
→
−−
→
⎡
⎤

⎡⎤
=−
⎢
⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣
⎦
−
⎡⎤⎡ ⎤
=−
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
6
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.1 Mô tả khâu có bảnchấtgiánđoạnbằng phương trình sai phân
Hãy tìm giá trị trung bình [x
k
], tính từ 4 giá trị mớinhấtcủadãy[u
k
] !
Chú ý
: Còn gọi là phép tính trung bình trượt.
()
123
1
4

kkkkk
xuuuu
−− −
=+++
Có thể giảmnhucầu tính toán bằng cách sử dụng giá trị vừa tính trước đó:
()
1 1234
1
4
kkkkk
xuuuu
−−−−−
=+++
Vậy:
()
14
1
4
kk kk
xx uu
−−
=+ −
Ví dụ 1.3.2 Mô tả khâu có bảnchấtgiánđoạnbằng hàm truyền đạt
( ) () () () () ()
4
14
14
1
1111
444

1
kk kk
z
x
xuu XzzXzUzzUz Uz
z
−
−−
−−
−
−
⎡⎤
=+ − ⇒ = + − =
⎢⎥
⎣⎦
−
Tiếpvídụ 1.3.1:
Thuật toán tính giá trung bình trượtcóthểđượcmôtả bởihàmtruyền đạtsau:
()
(
)
(
)
4
1
11
4
1
Xz
z

Gz
Uz
z
−
−
−
==
−
Phép tính trên đượcgọilàthuật toán tính giá trị trung bình trượt, đặctrưng cho một khâu có
bảnchấtgiánđoạn.
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
7
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.3 Mô tả khâu có bảnchấtliêntụcvớitínhiệu vào bậc thang bằng hàm
truyền đạt
Hãy tìm hàm truyền đạtcủakhâutỷ lệ có quán tính bậcnhất (khâu PT1):
()
1
1
1
Gs
s
T
=
+
Cách 1:
() ()
(

)
() ()
1
11
11
11
11
⎛⎞
⎟
⎜
=⇒= ⇒=−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
++
⎝⎠
t
T
Gs Hs ht e t
sT s sT
•Từảnh G(s) ta tìm ảnh H(s) để sau đó tìm hàm gốc h(t)
•Sau khi gián đoạnhóahàmgốc h(t),
ta tìm ảnh z củatínhiệugiánđoạn h
k
:
()
1
1

1
1
kT
T
kT
k
TT
zz
he Hz
z
ze
−
−
=− ⇒ = −
−
−
•Vậyhàmtruyền đạtcódạng:
()
()
()
1
11
1
11
11
TT
TT TT
ze
Gz z Hz
ze ze

−
−
−−
−−
=− =− =
−−
Cách 2:
•Có thể tách ảnh H(s) thành 2
phân thứctốigiản:
()
(
)
1
1
1
1
11
1
1
T
Hs
s
s
ss
T
T
==−
+
+
•Dễ dàng tìm ảnh z của H(s) bằng

cách tìm ảnh củatừng phân thức
tốigiản:
()
{}
()
()
()
()
1
1
1
1
1
1
1
TT
TT
TT
zz
Hs Hz
z
ze
e
Gz z Hz
ze
−
−
−
−
Ζ==−

−
−
−
⇒=− =
−
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
8
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.4 Mô tả khâu có bảnchấtliêntụcvớitínhiệu vào bậc thang bằng hàm
truyền đạt
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
12
12
11 1
S m
m
xs
K

Gs T T T
u s sT sT sT
== ≠≠
++ +
…
…
Hãy tìm hàm truyền đạttrênmiền ảnh z cho đốitượng sau:
•Tách H
S
(s) thành các phân thứctốigiản:
()
()
12 0
12
12
12
0
1; 1;
11 1
11 1
11 1
111
;1,2,,
S
mm
S
m
m
mm
i

jji jji
jij
K
Gs
TT T A A
AA
Hs
ss
ss s
ss s s
TT T
TT T
AKA K i m
TTT
=≠ =≠
== =++++
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
⎟
⎟⎟
⎜
⎜⎜
++ +
⎟
⎟⎟
++ +
⎜
⎜⎜
⎟
⎟⎟

⎜
⎜⎜
⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎜
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞ ⎛ ⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
==− −+ =
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠ ⎝ ⎠
∏∏


…
…
•Chuyển H
S
(s) sang miền ảnh z:
() ()

{}
00
1
11
1
1
1
1
i
mm
ii
SS
T
ii
T
i
AA A A
Hs Hs
s
z
s
ze
T
−
−
==
−
⎛⎞
⎟
⎜

⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎟⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
=+ ⇒Ζ = +
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟⎜
−
⎜
⎟
⎟
⎜
+

⎟
⎜
⎟
⎝⎠
⎜
−
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
∑∑
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
9
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.4 Mô tả khâu có bảnchấtliêntụcvớitínhiệu vào bậc thang bằng hàm
truyền đạt
()
()
()
{}
()
111
0
11;
1
1
1
1

111
1
1
j
i
i
T
T
m
mm
T
T
i
ijji
i
SS
T
m
T
i
Aze zA ze
Gz z Hs
ze
−
−
−−−
==≠
=
−
−

−
=
⎛⎞
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
−+− −
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎝⎠
⎝⎠
=− Ζ =

⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
∑
∏∏
∏
•Quy đồng mẫusố:
•Ví dụ bằng số cụ thể: m = 3; K = 1; T
1
= 10s; T
2
= 7,5s; T
3
= 5s
Bảng: Hệ số của G
S
(z) với các chu kỳ trích mẫu T khác nhau
0,22608
0,26433

0,01672
-0,59381
0,10645
-0,00552
0,50712
0,15867
0,22570
0,01813
-0,76681
0,18243
-0,01312
0,40250
0,09896
0,17182
0,01746
-0,99538
0,31484
-0,03122
0,28824
0,05108
0,1086
0,01391
-1,2993
0,54723
-0,07427
0,17362
0,0186
0,0486
0,0078
-1,7063

0,958
-0,1767
0,0750
0,00269
0,00926
0,00186
-2,25498
1,68932
-0,42035
0,01399
b
1
b
2
b
3
a
1
a
2
a
3
∑b
i
=1+∑a
i
12108642T [s]
Nhậnxét:Khi tăng dần T
•Giá trị các tham số a
i

nhỏ
dần.
•Giá trị các tham số b
i
tăng
dần.
•Tổng ∑b
i
=1+∑a
i
tăng dần.
•Khi T lớn, ta có:
và vì vậycóthể bỏ qua a
3
,
b
3
. Mô hình ban đầuthực
tế chỉ cònlàmôhìnhbậc2.
33
1;
ii
aabb+
∑∑

8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
10
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z

Ví dụ 1.3.5 Mô tả khâu có bảnchấtliêntụcvớitínhiệu vào bậc thang bằng hàm
truyền đạt
Ví dụ xét khâu tỷ lệ có quán tính bậc2(khâu PT2), được điềukhiểnbởitínhiệuvàocódạng
bậc thang. Đây là khâu liên tục mang tính điểnhình. Để dễ so sánh, ta chọn đốitượng là động
cơ mộtchiều (ĐCMC), được điềukhiểnbởi điện áp nuôi ở phầ
n ứng.
Gọi u
A
(t) là điệnápnuôivàn(t) là tốc độ quay, ĐCMC có mô hình trên miền ảnh Laplace sau:
()
(
)
(
)
2
1
A
mech mech el
Ns
K
Gs
Us
s
TsTT
==
++
()
1
2
0

0
6111
sec; sec; sec
568
AA
mech el
A
JR L
TTKV
Rc
ck
ψ
ψ
−
== == ==
Với:
J Mômen quán tính củacác
khốigắnvàotrục ĐCMC
ψ
0
Từ thông (coi là const)
R
A
Điệntrở mạch phần ứng
L
A
Điệncảmmạch phần ứng
c, k Các hằng số của ĐCMC
•Sau khi thay số cụ thể, ta biếtrằng khâu PT2
trên có thểđượcthaythế bởi 2 khâu PT1, với

T
1
= 1sec và T
2
= 0,2sec:
()
()()
2
12
1
8
61
11
1
55
==
++
++
K
Gs
sT sT
s
s
•Ta đãbiếtcôngthức:
() () ()
{
}
()
()
()

{
}
1
1
SH S
Gz G sGs Gz z Hs
−
=Ζ ⇔ = − Ζ
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
11
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.5 (tiếp)
()
()
()()
1
12
11
1;
11 8
−
⎧⎫
⎪⎪
⎪⎪
=−Ζ =
⎨⎬
⎪⎪
++

⎪⎪
⎩⎭
S
Gz K z K
ssT sT
•Thay H(s) vào ta có:
•Sau khi tách phân thứctrongngoặc {…} thành các phân thứctốigiảnvàápdụng công
thức(trang17, mục 1.3.2b của giáo trình) ta có:
()
()
51 5 62
51 62
51 15
1
1
44 44
;
8
1
TT TTT
S
TT T
eez eeez
Gz K K
eezez
−−− −−−−
−−−−−
⎛⎞⎛ ⎞
⎟⎟
⎜⎜

−+ + − +
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠⎝ ⎠
==
−+ +
•Nếuchọn chu kỳ trích mẫulàT = 0,2 sec ta có hàm truyền đạtcủa ĐCMC trên miền
ảnh z sau đây:
()
12
12
0,00857 0,00575
1 1,18661 0,30119
S
zz
Gz
zz
−−
−−
+
=
−+
Dễ dàng kiểmtrakếtquả trên bằng cách chọntínhiệuvàoU(z) = z/(z-1) để tìm đáp ứng
ra X(z) = G
S
(z) U(z). Sau đó, chuyển X(z) sang chuỗisố tại các thời điểm t = 0,2k (với
k = 0, 1, 2, …). Bằng cách đócóthể so sánh vớitínhiệu x(t) trên miềngốc.

8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
12
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.6 Mô tả khâu có bảnchấtliêntụcvớitínhiệu vào bậc thang bằng mô
hình trạng thái gián đoạn
Ví dụ này sử dụng ĐCMC ở ví dụ 1.3.5 để
minh họaphương thứcmôtả bằng mô hình
trạng thái gián đoạn. Vì ĐCMC là đốitượng
SISO, mô hình có cấutrúcnhư hình bên.
•ĐCMC có thểđượcmôtả bởiphương trình vi phân bậc2 (xuấtphátđiểmcủakhâuPT2 ở
ví dụ 1.3.5) sau đây:
210
A
an an an u
•• •
++=
32
21 00
00
848
sec ; sec ; 8 sec
55
AA
LJ RJ
aVa VacV
kk
ψ
ψψ

== == ==
Với:
•Các biến điều khiểnvàbiến
trạng thái đượcchọnnhư sau:
1
2
;
A
qnx
uu
qn
•
⎧
==
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
=
⎪
⎪
⎩
•Mô hình trạng thái
có dạng bên:
12
0
1
212

22 2
1
1
qq
a
a
qqqu
aa a
xq
•
•
⎧
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
=− − +
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
=
⎪
⎪

⎪
⎩
⎪
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
13
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.6 (tiếp)
•Có thể viếtlạimôhìnhtrạng thái dướidạng ma trận:
() () ()
() ()
ttut
xt t
•
⎧
⎪
⎪
=+
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎩
T
qAqb

cq
[]
0
1
2
22
01
0
0
01
;;10;0
1
5
56
8
d
a
a
a
aa
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎡⎤
⎢⎥

⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
======
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−−
−−
⎣⎦
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
T
Abc
với:
•Để tìm đượcphương trình chuyểntrạng thái:
ta cầnphảitìmđược Φ(t) và h(t):

()
()()
()
()
()
;0,1,2,νν
−
=− + − =
∫
ΦΦ 

k
k
t
kk k
t
tt
tttt tdutk
h
qq b
•Có thể tìm ma trận chuyểntrạng thái
bằng biến đổi Laplace ngược:
(
)
(
)
{
}
1
1t

te Ls
−
−
== −
A
IAΦ
() ()
1
2
161
1
56 5
56
ss
ss
s
s
ss
−
⎡
⎤⎡⎤
−+
⎢
⎥⎢⎥
−= ⇒ − =
⎢
⎥⎢⎥
+−
++
⎣

⎦⎣⎦
IA IA
•Từ:
ta thu được:
()
55
55
5
1
55 5
4
tt tt
tttt
ee ee
t
ee ee
−− −−
−− −−
⎡
⎤
−−
⎢
⎥
=
⎢
⎥
−+ −+
⎢
⎥
⎣

⎦
Φ
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
14
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.6 (tiếp)
•Có thể tính tích phân
theo từng bướcnhư sau:
() ( )
0
ν
ν
νν
=
=
=−
∫
Φ
t
ttdhb
() ( )
55
0
55
0
141
15 5
thay

555
48 32
ϑϑ
ϑϑ
ϑν ϑϑ
−− −−
−− −−
⎡
⎤⎡ ⎤
⎢
⎥⎢ ⎥
−+ −+
⎢
⎥⎢ ⎥
=− ⇒ =− = =
⎢
⎥⎢ ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
−−
⎣
⎦⎣ ⎦
∫
Φ
t
tt
t
tt
ee ee
tt d

ee ee
hb
•Với T = t
k+1
- t
k
ta có:
()
()
()
()
()
55
5
11
55
5
22
41
5
1
15
55
55 5
1
432
TT TT
TT
TTTT
TT

ee ee
qk qk
ee
uk
ee ee
qk qk
ee
−− −−
−−
−− −−
−−
⎡
⎤
⎡⎤
⎡⎤ ⎡⎤
−−
⎢⎥
+
−+
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
=+
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
−+ −+
+
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎣⎦ ⎣⎦

⎣⎦
⎢⎥
−
⎣
⎦
Ví dụ 1.3.7 Tìm hàm truyền đạttừ mô hình trạng thái gián đoạnchotrước
()
()
()
det
−
=
−
Φ
Φ
T
adj z
Gz
z
I
ch
I
•Với mô hình: Theo giáo trình (mục 1.3.2d) ta có:
() ()
1kkk
T
kk
TTu
x
+

⎧
⎪
=+
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎪
⎩
qqh
cq
Φ
Giả sử, ĐCMC có mô hình trạng thái gián đoạnchotrướcnhư kếtquả củavídụ 1.3.5. Hãy
tìm hàm truyền đạtgiánđoạncủa động cơ !
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
15
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.7 (tiếp)
Bổ sung công thức: Ký hiệu adj(A) đượcgọilàma trậnbùcủama trận A. Ma trậnbùadj(A)
có kích cỡ giống A, với các phầntửđượctínhtheocôngthứcdet(A
ik
) nhân với (-1)
i+k
. Trong
đó, A
ik

là ma trậnthuđượctừ A sau khi bỏ hàng thứ i và cộtthứ k của A.
()
()
()
11 12 1 11 21 1
21 22 2 12 22 2
12 12
11 12 1
21 22 2
12
1det
+
⎡⎤⎡ ⎤
⎢⎥⎢ ⎥
⎢⎥⎢ ⎥
⎢⎥⎢ ⎥
=⇒=
⎢⎥⎢ ⎥
⎢⎥⎢ ⎥
⎢⎥⎢ ⎥
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥

=− =
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦


 





nn
nn
n n nn n n nn
n
ik
n
ik ik ik
nn nn
aa a AA A
aa a AA A
adj

aa a AA A
aa a
aa a
A
aa a
AA
AA
với:
A bỏ hàng thứ i
A bỏ
cộtthứ k
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
16
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.7 (tiếp)
55
55
51 11
44 44
55 15
44 44
TT TT
TT TT
ze e e e
z
ee zee
−− −−
−− −−

⎡
⎤
⎢
⎥
−+ −+
⎢
⎥
⎢
⎥
−=
⎢
⎥
−+−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
I Φ
(
)
(
)
(
)
(
)
()
256 5

55
55
det
15 11
44 44
55 51
44 44
−− − − −
−− −−
−− −−
⎧
⎪
−=− + + =− −
⎪
⎪
⎪
⎪
⎡⎤
⎪
⎪
⎢⎥
⎪
+− −
⇒
⎨
⎢⎥
⎪
⎢⎥
−=
⎪

⎪
⎢⎥
⎪
−+ −+
⎪
⎢⎥
⎪
⎢⎥
⎪
⎣
⎦
⎪
⎩
Φ
Φ
TT T T T
TT TT
TT TT
zzeeezeze
ze e e e
adj z
eezee
I
I
•Với:
ta tính được:
•Với:
ta tính đathứctử số củahàmtruyền đạt:
[]()
5

5
41
5
10;
55
32
TT
TT
ee
T
ee
−−
−−
⎡
⎤
⎢
⎥
−+
⎢
⎥
==
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎣
⎦
T
ch

()
556
15 1 1 5
1
84 4 4 4
−− −−−
⎡⎤
−=
⎣⎦
⎡
⎤
⎛⎞
⎟
⎜
⎢
⎥
−+ +− +
⎟
⎜
⎟
⎜
⎢
⎥
⎝⎠
⎣
⎦
Φ
T
TT TTT
adj z

eezeee
cIh
()
()
det
⎡
⎤
−
⎣
⎦
−
Φ
Φ
T
adj z
z
cIh
I
Dễ dàng kiểm tra sau khi thay vào:
Ta sẽ thu đượchàmtruyền đạt G
S
(z)
đúng như ví dụ 1.3.5.
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
17
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.8 Mô tả hệ trong khoảng giữa2 thời điểmtríchmẫubằng
phép biến đổiz mở rộng

•ĐCMC ở ví dụ 1.3.5 được nuôi bởi điệnápdạng bậc thang với ảnh Laplace:
() () ()
(
)
(
)
(
)
58
1
15
sT
SH
Gs G sGs e
ss s
−
==−
++
•Tra bảng biến đổi z mở rộng ta có công thức:
(
)
(
)
11
1
aT bT
aT bT
zbze aze
ssasb abz ab ab
ze ze

εε−−
−−
⎡
⎤
⎢
⎥
⇔+ −
⎢
⎥
++ − − −
−−
⎣
⎦
•Áp dụng vào trường hợp ĐCMC ta thu đượckếtquả:
()
(
)
(
)
()
(
)
(
)
20,2 0,2
0,2
1 1,25 0,25 1,18661 1,70985 0,45468
0,30119 0,45985 0,20468
1
,

8 0,81873 0,36788
S
ze ez e e
ee
Gz
zz
εε ε ε
εε
ε
−− − −
−−
⎡⎤
−+−− +
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
+− +
⎢⎥
⎣⎦
=
−−
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
18
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.8 (tiếp)
()
()()
0,00857 0,00575

0,81873 0,36788
S
z
Gz
zz
+
=
−−
•Để kiểm tra ta thay giá trị biên ε = 0 vào và thu đượchàmtruyền đạt ở ví dụ 1.3.5
•Với ảnh z mở rộng củahàmtruyền đạttổng quát:
ta có một công cụđểkhảo sát các giá trị nằm trong khoảng giữahaithời điểmtríchmẫu
(
)
(
)
(
)
,,
S
X
zGzUzεε=
•Ví dụ: Khi tín hiệu vào có dạng bướcnhẩyvàε = 0,5 (chính giữa k và k+1)
ta có:
() ( )
1Uz z z=−
()
(
)
(
)

2
1
2
0,002573 0,010595 0,001156
,
1 0,81873 0,36788
zz
z
Xz
zz z
⎡
⎤
−+
⎢
⎥
⎣
⎦
=
−− −
•Khi áp dụng phép biến đổi z ngượctathuđược tín hiệusố, cho phép tính giá trị của
chuỗi[x
k+½
], trùng với các giá trị của x(t) ở chính giữahaithời điểmtríchmẫu.
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
19
1. Mô hình tín hiệuvàhệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.9 Mô tả hệ gián đoạncótrễ khi tín hiệu vào có dạng bậc thang
•Hãy tìm hàm truyền đạt G

d
(z) củahệ có trễởhình dưới đây khi K
S
= 1, T
S
= 1sec:
•Công thứctổng quát tính G
d
(z):
()
()
()
1
1
1
d
sT
sT
d
Gz e e
s
s
−
−
⎧⎫
⎪⎪
⎪⎪
=Ζ −
⎨⎬
⎪⎪

+
⎪⎪
⎩⎭
a) Khi d = T
d
/T là số nguyên lần:
()
()
(
)
()
()
(
)
13
1
12 12 2
11 1
1
1 0,6321
11
1
1 1 0,3679
−−
−
−− −− −
−− −
⎧⎫
−
⎪⎪

⎪⎪
=− Ζ =− = =
⎨⎬
⎪⎪
+
−−
⎪⎪
⎩⎭
d
ez
z
Gz zz zzHz z
ss
ez z
b) Khi d = T
d
/T không phảilàsố nguyên lần: Phảisử dụng phép biến đổi z mở rộng. Giả sử ta
có T = 1sec và T
d
= 1,6 sec → Vậy: T
d
= (dT - εT) với d = 2 và ε = 0,4
()
()
()
()( )
0,4 2 0,4 1 3
1
12 2
11 1

1
0,3297 0,3024
1;0,4
1 1 0,3679
d
ez e ez
z
Gz z zHz z
ez z
−− − −−
−
−− −
−− −
−+−
+
=− = =
−−
Chú ý: Việc tìm ảnh z (có hay không có mở rộng) đượctiếnhànhvớisự trợ giúp củabảng
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
20
2. ĐK có phảnhồi đầura
2.1 Xét ổn định củahệ thống ĐK số
Ví dụ 2.1.1 Sử dụng phép biến đổitương đương
11
11
z
w
wz
z

w
−+
=→=
+−
Ví dụ a):
()
()
()() ()()()
()()()
2
12
2
112
22
212
2
12 2 12
12 2 12
11
11
1111
1211
10;1;10
Nz z az a
ww
Nw a a
ww
Nw w a w w a w
aaw aw aa
aa a aa

=+ +
⎛⎞⎛⎞
++
⎟⎟
⎜⎜
=+ +
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠⎝⎠
−−
=+ + + − + −
=− + + − ++ +
−+ > < ++>
•Cho trước đathức đặc tính bên:
•Thay vào N(z) thu được N
1
(w):
1
1
w
z
w
+
=
−
•Nhân N
1
(w) với(1-w)

2
thu được N
2
(w):
Tiêu chuẩn HURWITZ -Điềukiện1:
-Điềukiện 2: Các định thức HURWITZ phảidương
Ví dụ b)
: Dùng phép biến đổi ở trên
để xét ổn định cho vòng ĐC với:
()
()
()
()
()
() ()
()( )
()
()()
(
)
(
)
1
12
12
12
1
12
11 2
11 2 2

22
12 21
1221
;
1
00
1
1
1
SR
Bz
bz b z
Gz Gz K
az a z
Az
Nz Az KBz z a bKz a bK
Kab
Kaa bb
Kaabb
−
−−
−−
−
−−
+
===
++
=+ =⇒++++=
⎧
⎪

<−
⎪
⎪
⎪
⎪
>−− −
⎨
⎪
⎪
⎪
>− + + +
⎪
⎪
⎩
•Phương trình đặc tính:
•Sau khi tìm được N
2
(w) và
áp dụng cả 2 điềukiện:
Giả sử: b
1
=0,1087; b
2
=0,0729;
a
1
= -1,1197; a
2
=0,3012
Vậy: K<9,58; K<67,62; K>-1

8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
21
2. ĐK có phảnhồi đầura
2.1 Xét ổn định củahệ thống ĐK số
Ví dụ 2.1.2 Sử dụng quỹđạo điểmcực
Tiếptụcxét ĐCMC vớithamsố cho ở ví dụ 1.3.5.
Hàm truyền đạt G
S
(z) đã tìm được ở trang 9.
•Có thể G
S
(z) viếtlạinhư sau:
()
()( )
56
5
5
5
54
51
45
1
44
TT T
TT
TT
S
TT
ee e

z
ee
Gz K e e
ze ze
−− −
−−
−−
−−
−+
+
⎛⎞
−+
⎟
⎜
=− +
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
−−
•Với T = 0,2sec và G
R
(z) = r
0
ta có hàm
truyền đạtvònghở như sau:
()
()()

00
0,6714
0,06856
0,8187 0,3679
z
Gz rK
zz
+
=
−−
•Môhìnhtrêncó1 điểm không
z
D
= -0,6714 và 2 điểmcực
z
1
= 0,8187; z
2
= 0,3679
Theo mục 2.1.3, cấutrúctrênsẽ có quỹđạo điểm
cựcdạng hình tròn với bán kính r = 1,244 như bên.
Tâm của đường tròn quỹđạo trùng vớivị trí điểm
không z
D
. Điểmgiớihạncủa ổn định là giao điểm
củaquỹđạovới đường tròn K
0
= r
0
K = 15,18.

8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
22
2. ĐK có phảnhồi đầura
2.1 Xét ổn định củahệ thống ĐK số
Ví dụ 2.1.3 Dự báo quá trình quá độ trên cơ sở vị trí điểmcực(mục 2.1.4a)
•Giả sử, ĐCMC ở ví dụ 1.3.5 được ĐC tốc độ quay như mạch vòng chuẩn(mục 2.3.1). Trong
đó G
R
(z) chỉ là khâu tỷ lệ vớihệ số KĐ là r
0
. Phương trình đặctính(khiT = 0,2 sec) là:
(
)
(
)
(
)
2
00
0,00857 1,18661 0,00575 0,30119 0Nz z z r r=+ − + + =
•Chọn: r
0
= 40; K
0
= 5
•Chọn: r
0
= 80; K
0

= 10
(
)
(
)
(
)
2
0,84381 0,53119
0,422 0,594 0,422 0,594 0
Nz z z
zjzj
=− +
=− − − + =
(
)
(
)
(
)
2
0,50101 0,76119
0, 251 0,836 0,251 0,836 0
Nz z z
zjzj
=− +
=− − − + =
Nhậnxét:Theo biểu đồ ở mục 2.1.4, trường hợp đathức đặctínhlàbậc2 vàcặp điểm
cựcphứcliênhợpcóphầnthựcdương sẽ tạonênđáp ứng đầuraổn định và không chứa
thành phần điều hòa (không chứa thành phầnhìnhsin).

8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
23
2. ĐK có phảnhồi đầura
2.1 Xét ổn định củahệ thống ĐK số
Ví dụ 2.1.4 Dự báo đặctínhcủahệ thống ĐK số (mục 2.1.4b)
Hệ thống ĐK số với ĐCMC ở ví dụ 2.1.2, khi áp dụng kiếnthứcthiếtkế ta sẽ thu được
phạmvi chấtlượng như hình dưới(bêntrái). Đáp ứng quá độ ổn định (bên phải) là của
trường hợp T = 0,2sec và r
0
= 40 (K
0
= 5), ứng với điểmcực z
1,2
= 0,422 ± j0,594.
(
)
01
1
22 1
5%
0
0
2%
0
0,96 55 4,8sec
0,363
0,73 1,55sec
0,65sec
31,94sec

5, 04sec
42,58sec
0,308 arccos 72
ee
e
ee
T
e
me
e
ee
e
e
T
he
e
T
T
T
DD
δω
δ
ωω
δ
πω
δ
ωδω
δ
δω ϕ
−

−
−
−
−
⎧
⎪
=⇒=
⎪
⎧
⎪
Δ= =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
=⇒=
==
⎪
⎪⎪
⎪
⇒
⎨⎨
⎪⎪
≈=
⎪⎪
=+=
⎪⎪

⎪⎪
⎪⎪
≈=
⎪
⎩
⎪
==⇒= =
⎪
⎪
⎩

8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
24
2. ĐK có phảnhồi đầura
2.2 Thiếtkế trên miềnthờigianxấpxỉ liên tục
Ví dụ 2.2.1 Khâu ĐC theo luậtPI đãbiếttrước
()
(
)
(
)
(
)
(
)
12
18
11 110,2
S

K
Gs
s
TsT s s
==
++ ++
Lấy ĐCMC vớithamsố cho trước ở ví dụ 1.3.5, có ảnh Laplace sau làm xuấtphátđiểm:
Vòng ĐC đã đượcthiếtkế trên miềntầnsố với khâu ĐC (theo Reinisch) theo luậtPI,
tạoquá ĐC
Δh = 20%. Điểm không của khâu ĐC bù điểmcựclớnnhất, hằng số thời
gian lớnnhất T
1
.
()
12%
1
1sec; 48,19; 0,645sec; 1,6sec
C
RR C R m
C
sT
Gs K T T K T T
sT
+
=⇒==== =
Khi áp dụng xấpxỉ thành phần I theo phương pháp hình chữ nhật và thành phần D theo
khai triểnchuỗigần đúng bậcnhất ta có khâu ĐC (gián đoạn) thiếtkế xấpxỉ liên tụcsau.
()
1
1

48,19 38,55
1
R
z
Gz
z
−
−
−
=
−
8 November 2008 Assoc. Prof. Hon Prof. Dr Ing. habil. Ng. Ph. Quang
ĐHBK Hà Nội
25
2. ĐK có phảnhồi đầura
2.3 Thiếtkế trên miềnthời gian gián đoạn
Ví dụ 2.3.1 Thiếtkế trên cơ sở các tiêu chuẩntíchphân(mục 2.3.1c)
Bổ xung lý thuyết:
•Vì việctínhbộ tham số tối ưu chính xác theo TC tích phân thường khó khăn, ta có thểđơngiản
hóa vấn đề bằng cách đưaramộtsố hạnchế trước. Từđótasẽ dễ dàng thu được bộ tham số cận
tối ưu (suboptimal).
•Cố gắng chọn khâu ĐC có phương trình sai phân bậccàngthấp càng tốt.
Minh họa:
Ta chọn khâu ĐC có đặc tính PI và chọn p
1
= -1. Vậyta
chỉ phảitìmr
0
và r
1

.
()
()
()
1
01
1
1
1
R
Uz
rrz
Gz
Ez
p
z
−
−
+
==
+
10 11kk k k
uu rere
−
−
=
++
()
00
1010 01

01 1 0 1
2
1 ; 0,1, 2,
kk
ur
urru rr
urru k rkrk
−
=
=++ = +
=++ = + + =


•Hệ có trễ: Sai lệch ĐC có dạng e
k
= 1
k
, các giá trịđầuralà vàtacó:
Vì biên độ đầu tiên u
0
do chính r
0
quyết định, ta có thể cho trướcbiênđộ đó để xác định r
0
.
Vậy:
10 1 0
uu r r
≤
⇒≤−