Giáo trình phương trình vi phân cơ bản

Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

MC LC

Chng 1 5
LÝ THUYT PHNG TRÌNH VI PHÂN CP 1 5
§1. M U 5
1.1. nh ngha 5
1.2. Ý ngha c hc và vt lý ca phng trình vi phân 5
1.3. Cp ca phng trình vi phân 6
1.4. Ý ngha hình hc ca phng trình vi phân cp 1 7
§2. NH LÝ TN TI VÀ DUY NHT NGHIM I VI PHNG TRÌNH
VI PHÂN CP I 8
2.1. nh ngha 8
2.2.nh lý 8
§3. CÁC LOI NGHIM CA PHNG TRÌNH VI PHÂN 9
3.1.Nghim tng quát 9
3.2.Tích phân tng quát 9
3.3.Nghim riêng 9
3.4.Nghim kì d 10
3.5. Phng pháp tìm nghim kì d 11
Chng 2 14
MT S PHNG PHÁP 14
GII PHNG TRÌNH VI PHÂN CP 1 14
§1. PHNG TRÌNH VI PHÂN VI BIN S PHÂN LY 14
1.1.Dng
() () 0M x dx N y dy+=
14
1.2.Phng trình đa v phng trình tách bin 15
§2. PHNG TRÌNH THUN NHT 15

2.1.nh ngha 15
2.2. Phng trình đa đc v phng trình thun nht 17
§3. PHNG TRÌNH TUYN TÍNH 18
3.1.nh ngha 18
3.2.Cách gii 18
3.3.H qu 19
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

3.4.Phng trình đa đc v phng trình tuyn tính 20
§4. PHNG TRÌNH VI PHÂN HOÀN CHNH - THA S TÍCH PHÂN 23
4.1.Cách đoán nhn phng trình là phng trình vi phân hoàn chnh 23
4.2.Tha s tích phân 26
Chng 3 30
PHNG TRÌNH VI PHÂN CP 1 30
CHA GII RA I VI O HÀM 30
§1. PHNG TRÌNH
(, ') 0Fxy
=
HAY
(, ') 0Fyy
=
30
1.1.Phng trình
(, ') 0Fxy
=
. 30
1.2.Phng trình
(, ') 0Fyy
=

31
§2. PHNG TRÌNH (, , ') 0Fxyy
=
- PHNG TRÌNH LAGRNG-KLERÔ
32

2.1.Phng trình
(, , ') 0Fxyy
=
32
2.2.Phng trình Lagrng 33
2.3.Phng trình Klerô: Khi
(') 'yy
φ
≡
34
Chng 4 35
PHNG TRÌNH VI PHÂN CP CAO 35
§1. NH LÝ TN TI VÀ DUY NHT NGHIM 36
1.1.Dng tng quát ca phng trình vi phân cp cao 36
1.2.nh lý tn ti và duy nht nghim 37
1.3. Phng trình cp n 38
§2. CÁC PHNG TRÌNH GII C BNG CU PHNG 39
2.1.Dng
()
(, ) 0
n
Fxy =
39
2.2.Dng

(1) ()
(,)0
nn
Fy y
−
=
42
2.3. Dng
(2) ()
(,)0
nn
Fy y
−
=
43
§3. TÍCH PHÂN TRUNG GIAN - PHNG TRÌNH H CP C 44
3.1. Tích phân trung gian 44
3.2. Các trng hp phng trình h cp đc nh tích phân trung gian 44
3.3. Phng trình thun nht đi vi hàm và đo hàm 46
3.4. Phng trình mà v trái là đo hàm đúng 47
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

Chng 5 48
LÝ THUYT TNG QUÁT 48
V PHNG TRÌNH VI PHÂN TUYN TÍNH 48
§1. NH NGHA VÀ TÍNH CHT TNG QUÁT 48
1.1. nh ngha 48
1.2. Tính cht 48
1.3. S tn ti và duy nht nghim 48

§2. PHNG TRÌNH VI PHÂN TUYN TÍNH THUN NHT 49
2.1. Tính cht ca toán t
n
L
49
2.2. Khái nim v s ph thuc tuyn tính 49
2.3. nh thc Wrônxki 50
2.4. H nghim c bn 52
§3. PHNG TRÌNH VI PHÂN TUYN TÍNH KHÔNG THUN NHT 54
3.1. Tính cht: 54
3.2. Phng pháp bin thiên hng s 55
§ 4. PHNG TRÌNH TUYN TÍNH CÓ H S HNG S. 57
4.1. Phng trình tuyn tính thun nht h s hng s. 57
4.2. Phng trình tuyn tính không thun nht h s hng s. 60
Chng 6 65
H PHNG TRÌNH VI PHÂN 65
§ 1. KHÁI NIM, NH LÝ TN TI VÀ DUY NHT NGHIM 65
1.1. nh ngha 65
1.2. nh lý tn ti và duy nht nghim 65
1.3. Các loi nghim ca h chun tc 66
§2. A H PHNG TRÌNH VI PHÂN V PTVP CP CAO. 66
2.1. Mt s ví d 66
§3. PHNG PHÁP LP T HP GII TÍCH 68
§ 4. H PHNG TRÌNH VI PHÂN TUYN TÍNH THUN NHT 70
4.1. nh ngha 70
4.2. Toán t vi phân tuyn tính 71
4.3. Khái nim v s ph thuc tuyn tính 72
4.4. H nghim c bn 74
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

§5. H PHNG TRÌNH VI PHÂN TUYN TÍNH KHÔNG THUN NHT 75
5.1. Mt s đnh lý v nghim ca h phng trình. 75
5.2. Phng pháp bin thiên hng s 77
§6. H PHNG TRÌNH VI PHÂN TUYN TÍNH THUN NHT 79
CÓ H S HNG S 79
Phn 1: Phng trình vi phân cp 1 85
Phn 2: Phng trình vi phân cp cao 91
Phn 3: H phng trình vi phân 95
TÀI LIU THAM KHO 97



Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

Chng 1
LÝ THUYT PHNG TRÌNH VI PHÂN CP 1
§1. M U
Khi dùng toán hc đ nghiên cu các bài toán t nhiên, k thut không phi
bao gi cng tìm hàm cn xác đnh thông qua các phng trình đi s hay phng
trình siêu vit mà nhiu khi ta phi tìm hàm thông qua các mi liên h gia bin s
đc lp, hàm phi tìm và các đo hàm hay vi phân ca nó.
T đó đòi hi toán hc phi nghiên cu mt lp phng trình mi đc gi
là phng trình vi phân.
1.1. nh ngha: Phng trình mà trong đó cha các bin s đc lp, hàm phi
tìm và các đo hàm ( hay vi phân ) ca nó đc gi là mt phng trình vi phân.
Ví d
:
5sin 0

dy
xx
dx
+
=

''' 5 '' 0yyy
+
=
Ta phân bit phng trình vi phân thng là phng trình mà trong đó hàm
phi tìm ch ph thuc mt bin s đc lp.
Phng trình đo hàm riêng là phng trình mà hàm phi tìm ph thuc ít
nht hai bin s:
Ví d
:
2
2
sin .sin ( , )
uu
x
tuuxt
xt
∂∂
+= =
∂∂

1.2. Ý ngha c hc và vt lý ca phng trình vi phân
Bài toán: Xét chuyn đng ri t do trong chân không ca mt vt có khi
lng m. Hãy tìm quy lut chuyn đng.
Chn hng oy nh hình v.

Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

Theo c hc nu gi quãng đng là
y
thì gia tc ca vt là
2
2
dy
w
dt
=
. Mt
khác ta bit rng vt ri t do trong chân không có gia tc không đi là
2
9,8( / )
g
ms=
. Do cách chn trc oy ta có:
2
2
dy
g
dt
=
−
.
Gii phng trình ta có:
2

12
2
gt
yCtC=− + +
. Trong đó:
10
0t
dy
Cv
dt
=
⎛⎞
=
=
⎜⎟
⎝⎠
(vn tc
ban đu),
200
()
t
Cy y
=
==
(đ cao ban đu).
Qua ví d trên ta thy:
- Nghim ca phng trình vi phân cha các hng s tu ý (s lng tu theo
cp ca phng trình).
- Mun xác đnh các hng s thì ta phi bit đc các điu kin ban đu ca
phng trình.

1.3. Cp ca phng trình vi phân
Phng trình
(, , ) 0
dy
Fxy
dx
=
có cha đo hàm cp 1 là phng trình vi phân cp 1
(phng trình nht thit phi cha đo hàm cp 1).
Phng trình
2
2
(, , , )
dy d y
Fxy
dx dx
có cha đo hàm cp 2 là phng trình vi
phân cp 2 ( Nht thit phi cha đo hàm cp 2).
Mt cách tng quát: Cp ca phng trình vi phân là cp cao nht ca đo hàm
có mt trong phng trình.
Chng hn
( , , , , ) 0
n
n
dy d y
Fxy
dx dx
=
là phng trình vi phân cp n,  đây nht
thit phi có mt

n
n
dy
dx
.
i vi phng trình vi phân cp n thông thng ta tìm nghim di dng
12
( , , , , )
n
yxCCC
φ
=
cha n hng s tu ý đc gi là nghim tng quát ca
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

phng trình. Nu cho
12
, , ,
n
CC C
nhng giá tr c th ta s đc nghim riêng ca
phng trình.
1.4. Ý ngha hình hc ca phng trình vi phân cp 1
Xét phng trình:
( , ) (1.4)
dy
fxy
dx
=

Vi gi thit hàm (, )
f
xy xác đnh và liên tc trong min
2
GR⊂
. Nu
()yx
φ
= là nghim ca (1.4) thì đng cong có phng trình ()yx
φ
= gi là
đng cong tích phân ca phng trình vi phân (1.4) . Ta xét xem đng cong tích
phân đó có tính cht gì ?.
Trên mt phng
2
R qua mi đim (, )
M
xy G
∈
v mt đon thng làm vi
trc ox mt góc
α
sao cho (, )tg f x y
α
=
.
Khi đó tp hp mi đim ca G mà ti mi đim có xác đnh đon thng nh
trên đc gi là mt HNG TRNG. Khi đó trong G đng cong tích phân có
tính cht là nó phi tip xúc vi HNG TRNG ti mi đim ca nó.

Nh vy: Ý ngha hình hc ca vic ly tích phân phng trình
(1.4)
là hãy
v đng cong
()yx
φ
=
sao cho hng ca tip tuyn ti mi đim ca nó trùng vi
hng ca hng trng ti đim y.
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

§2. NH LÝ TN TI VÀ DUY NHT NGHIM I VI PHNG
TRÌNH VI PHÂN CP I

Xét phng trình
(, ) (2.1)
dy
fxy
dx
=

Khi đó bài toán tìm nghim ()yyx
=
ca (2.1) sao cho khi
0
x
x=
thì
0

yy=
đc
gi là bài toán Côsi,  đây
00
(, )
x
y
là các giá tr tu ý cho trc đc gi là giá tr
ban đu (điu kin đu).
Mt vn đ đt ra là ta hãy xét xem vi điu kin nào thì:
1. Bài toán Côsi ca phng trình có nghim.
2. Nghim ca bài toán là duy nht.
Gii quyt các vn đ nêu trên là ni dung ca đnh lý tn ti và duy nht nghim.
2.1. nh ngha: Ta nói hàm (, )
f
xy tho mãn trong min
2
GR⊂ điu kin
Lipsit đi vi
y
nu
0N∃>
sao cho vi bt k
,,
x
yy
mà
(, ) ,(, )
x
yGxyG∈∈

thì
(, ) (,) (2.2)fxy fxy Ny y−≤− .
Chú ý: Bt đng thc (2.2) s tho mãn nu
'
(, ), (, )
y
f
xy f xy∃
gii ni trong G tc
là
'
(, ) (, )
y
f
xy N xy G≤∀ ∈
. Vì theo Lagrng
'
(, ) (,) (, ( )
y
f
xy f xy f xy ty y y y Ny y−=+−−≤−

Nhng điu ngc li không đúng vì có th (2.2) tho mãn nhng
'
(, )
y
f
xy

không tn ti.

Ví d
: (, )
f
xy y y y y y=−≤− nhng
'
y
f
không tn ti ti 0y =
2.2.nh lý: Xét phng trình
(2.1)
vi giá tr ban đu
00
(, )
x
y
. Gi s
1. (, )
f
xy là hàm liên tc hai bin trong min kín gii ni G
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

00
00
,0
xaxxa
ab
ybyyb
−
≤≤ +

⎧
>
⎨
−≤ ≤ +
⎩

(vì
f
liên tc trong G kín, gii ni nên
M
∃
đ
(, ) (, )
f
x
y
Mx
y
G
≤
∀∈
)
2. (, )
f
xy tho mãn trong G điu kin lipsit đi vi
y
.
Khi đó tn ti duy nht mt nghim ()yx
φ
=

ca phng trình (2.1) xác
đnh và liên tc đi vi các giá tr ca
x
thuc đon
00
x
hxx h
−
≤≤ +
trong đó
min( , )
b
ha
M
=
sao cho khi
0
x
x=
thì
00
()
x
y
φ
=
.
§3. CÁC LOI NGHIM CA PHNG TRÌNH VI PHÂN
Xét phng trình
(, ) (3.1)

dy
fxy
dx
=

3.1.Nghim tng quát
Gi s
2
GR⊂ là min mà ti mi đim ca nó có mt và ch mt đng
cong tích phân ca phng trình (3.1)đi qua. Khi đó hàm
( , ) (3.2)yxc
φ
=
xác
đnh và có đo hàm liên tc theo
x
đc gi là nghim tng quát ca phng trình
(3.1)
trong G nu:
a) (, )
M
xy G∀∈ t (,)yxc
φ
= có th gii ra đc (, )cxy
ψ
=
.
b)
(,)yxc
φ

=
là nghim ca phng trình
(3.1)
vi c
∀
thuc min đang xét
khi (, )
M
xy chy khp G .
3.2.Tích phân tng quát
H thc: (, ,) 0xyc
ϕ
= hay (, )
x
yc
ψ
=
gi là tích phân tng quát ca
(3.1)
trong G nu nó xác đnh nghim tng quát
(,)yxc
φ
=
ca phng trình trong
min đó.
3.3.Nghim riêng
Nghim ()yyx= đc gi là nghim riêng ca phng trình (3.1) nu ti
mi đim ca nó điu kin duy nht nghim ca bài toán Côsi đc tho mãn.
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

Nghim nhn đc t nghim tng quát vi hng s
c
xác đnh luôn luôn là nghim
riêng.
3.4.Nghim kì d
Nghim ()yyx
=
đc gi là nghim kì d ca phng trình (3.1)nu ti mi
đim ca nó tính cht duy nht nghim ca bài toán Côsi b phá v.
Ví d
: Xét phng trình
'2yy=
(0)y ≥
2
(0)
2
()
()( )
dy
dx y
y
yxc x c
yxc x c
⇒= ≠
⇒=+ >−
⇒= + >−

Ta xét các loi nghim ca phng trình trên.
a) Ta chng minh rng

2
()
y
xc=+
vi
x
c>−
là nghim tng quát ca
phng trình đã cho trong min G :
0
x
y
−
∞< <+∞ < <+∞
. Vy ta cn chng
minh.
+) Trong G điu kin tn ti và duy nht nghim ca bài toán Côsi đc
tho mãn cho
00
(, )
M
xy
bt kì thuc G . Ta có th lp đc lân cn kín

00
,
x
xa
yy
bG−≤ −≤ ∈

. Và trong lân cn đó
1f
y
y
∂
=
∂
gii ni
⇒
điu kin Lipsit đc tho mãn.
+) T
2
()yxc c yx
=
+⇒=−

+) H thc
2
()
y
xc=+
vi
x
c>−
tho mãn phng trình.
Do đó
2
()
y
xc=+

vi
x
c>−
là nghim tng quát ca phng trình đã cho trong
min G .
b) D thy
yxc−=
là tích phân tng quát ca phng trình.
c) Nghin riêng: T
2
()
y
xc=+
vi 0c
=

2
y
x⇒=
vi 0
x
> là nghim riêng.
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

d) Nghim kì d: Xét 0y = d thy 0y
=
là nghim ca phng trình nhng ti mi
đim ca nó còn có mt nghim riêng dn đn đc xác đnh t nghim tng quát
nên

0y = là nghim kì d.
Chú ý: +) Nghim kì d không th nm trong min tn ti G ca nghim tng quát
đc.
+) on '
x
MN cng là nghim nhn đc bng cách dán nghim riêng và
nghim kì d, đây không phi là nghim riêng và không phi là nghim kì d.
3.5. Phng pháp tìm nghim kì d
a) Phng trình: '(,)yfxy=
Nghim kì d ch có th xut hin ti nhng ni mà điu kin Lipsit không
đc tho mãn. Do đó nghim kì d có th xut hin ti nhng ni mà
f
y
∂
∂
không
gii ni. T đó ta có th rút ra quy tc tìm nghim kì d:
+) Tìm nhng đng cong mà dc theo nó
f
y
∂
∂
không gii ni. Gi s gi đng
cong đó là
*
()
y
x
φ
=

.
+) Th xem đng cong đó có phi là nghim ca phng trình vi phân không.
+) Nu có phi thì th xem ti mi đim ca đng cong tính cht duy nht nghim
có b phá v hay không. Nu tính duy nht b phá v thì
*
()
y
x
φ
=
là nghim kì d.
Ví d
:
2
3
'yy=
. Ta có
1
2
2
3
f
y
y
−
∂
=
∂

f

y
∂
=
∞
∂
khi 0y
=
.
Ta thy: +) 0y = là nghim.
+) Nghim tng quát ca phng trình vi phân trên là
3
27 ( )
y
xc=+
đây
là h đng Parabol bc 3, ta thy ti mi đim ca 0y
=
tính cht duy nht
nghim b phá v do đó 0y = là nghim kì d.
b) Phng trình

(, , ') 0 (3.2)Fxyy =
.
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

Gi s phng trình (3.2) xác đnh mt s các giá tr thc 'y (hay vô hn)

'(,)(1,2, ) (3.3)
i

yfxy i==

gi s
(, )
i
f
xy
liên tc và có đo hàm riêng theo
y
khi đó lý lun nh trên ta có th
tìm đc nghim kì d ca phng trình
(3.2) .
Tuy nhiên trong thc hành đ tìm nghim kì d ca phng trình
(3.2)
ta có
th tính trc tip
i
f
y
∂
∂
nh sau:
Ta có:
'
i
f
y
yy
∂
∂

=
∂∂
vi phân phng trình (3.2) theo
y
ta đc
'
0
'
FFy
yyy
∂∂∂
+=
∂∂∂

'
(0)
'
'
F
yF
y
gt
F
yy
y
∂
−
∂∂
∂
⇒= ≠

∂
∂∂
∂
. Ta thy rng
'
0
'
F
y
yy
∂
∂
=⇔
∂
∂
không gii ni.
T đó ta đi đn quy tc tìm nghim kì d ca phng trình
(3.2)
nh sau:
* T h
(, , ') 0
0
'
Fxyy
F
y
=
⎧
⎪
∂

⎨
=
⎪
∂
⎩
kh 'y ta đc h thc
( , ) 0 (3.4)Rxy
=

H thc
(3.4) gi là 'y − bit tuyn (hay p bit tuyn) ca phng trình (3.2).
* Th xem p bit tuyn có phi là nghim ca phng trình (3.2) hay không.
* Nu phi thì xem tính cht duy nht có b phá v hay không. Nu có thì
p-bit tuyn là nghim kì d.
Ví d
: Tìm nghim kì d ca phng trình
22
(, , ') ' 1 0Fxyy y y
=
+−=
.
Ta có
2' 0
'
F
y
y
∂
=
=

∂
kh 'y t h
22
'10
2' 0
yy
y
⎧
+
−=
⎨
=
⎩

1y⇒=±
.
Thay 1y =± vào phng trình ta thy nó là nghim.
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

T
2
'1yy=± −
ta có nghim arcsin yxc
=
±+ sin( )yxc⇒= ±+ hay
sin( )yxc=+
(vì
sin( ) sin( )
x

cxc
π
−+ = + −
).
Ta thy trên 1y =± tính cht duy nht nghim b phá v
1y⇒=±
là nghim kì d.
c) Tìm nghim kì d t nghim tng quát
:
Gi s tích phân tng quát có dng (, ,) 0xyc
Φ
= ta tìm bao hình ca h
nghim tng quát. Mun vy trc ht ta tìm
c
-bit tuyn t h
(, ,) 0
(, ,)
0
xyc
xyc
c
Φ=
⎧
⎪
⎨
∂Φ
=
⎪
∂
⎩

Ta chng minh rng nu
c
-bit tuyn là bao hình ca h nghim tng quát
thì nó là nghim kì d ca phng trình.
Tht vy

Bao hình là nghim: Ti mi đim ca bao hình luôn có mt đng cong tích
phân tip xúc suy ra bao hình là nghim.

Bao hình là nghim kì d: Hin nhiên.
Quy tc tìm nghim kì d:
+ Tìm
c
-bit tuyn ca h đng cong
(, ,) 0xyc
Φ
=

(, ,) 0
(, ) 0
(, ,)
0
xyc
Rxy
xyc
c
Φ=
⎧
⎪

⇒=
⎨
∂Φ
=
⎪
∂
⎩

+ Th xem
c -bit tuyn có phi là bao hình không. Nu phi thì (, ) 0Rxy = là
nghim kì d.
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

Chng 2
MT S PHNG PHÁP
GII PHNG TRÌNH VI PHÂN CP 1

§1. PHNG TRÌNH VI PHÂN VI BIN S PHÂN LY
1.1.Dng
() () 0M x dx N y dy+=

(1.1)

(1.1) gi là phng trình vi phân vi bin s phân ly (phng trình tách bin)
gi s
(), ()
M
xNy liên tc trong min nào đó ca
2

R , khi đó tích phân tng quát
ca (1.1) có dng
() ()
M
xdx N ydy C+=
∫∫
.
Tng quát hn ta xét phng trình
() () () () 0 (1.2)M x N y dx P x Q y dy
+
=

Trong đó ,,,
M
NPQ là các hàm liên tc theo đi s ca chúng trong min đang xét.
Gi s ()() 0NyPx≠ khi đó t (1.2) ⇒
() ()
0
() ()
Mx Qy
dx dy
Px Ny
+
=
do đó tích phân
tng quát có dng
() ()
() ()
Mx Qy
dx dy C

Px Ny
+
=
∫∫
. Ngoài ra ta phi xét trng hp
()() 0NyPx=
.
Nhng trng hp
0
yy=
làm cho () 0Ny
=
cng là nghim ca phng
trình (1.2) . Nu mun tìm c nghim di dng ()
x
xy
=
thì nhng giá tr
0
x
x
=

làm cho
() 0Px =
cng là nghim ca phng trình.
Ví d
: Xét phng trình
22
(1) (1) 0x y dx y x dy

−
+−=
.
Gi s
22
22
(1)(1)0 0
11
xy
y x dx dy
xy
−−≠⇒ + =
−−

Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang


22
11
22
1
ln 1 ln 1 ln ( 0)
(1)(1)
xyCC
xy C
⇔−+−= ≠
⇔− −=

hay

22
(1)(1)
xy
C
−
−=

Ngoài ra còn có các nghim
1, 1yx
=
±=±
.
1.2.Phng trình đa v phng trình tách bin
Xét phng trình dng
()
dy
f
ax by c
dx
=
++
.
t
dz
a
dy
dx
zaxbyc
dx b
−

=++⇒ =
hay
()
dz
abfz
dx
−=
đây là phng trình tách
bin.
Ví d
:
5
dy
x
y
dx
=−+
t 5zxy
=
−+

1
ln 1
1
dz
dx z x C
z
⇒=⇒−=−+
−
do đó

1
11
C
x
x
zee zCe
−
−
−= ⇒−=
.
Vy 1
x
zCe
−
=− hay
4
x
yCe x
−
=++
là nghim ca phng trình.

§2. PHNG TRÌNH THUN NHT
2.1.nh ngha: Hàm s (, )
f
xy gi là hàm thun nht bc n nu
(,) (,)
n
f
tx t

y
t
f
x
y
=
.
Xét phng trình :
(, )
dy
f
xy
dx
=

(2.1)

vi
(, )
f
xy
liên tc và là hàm thun nht bc không.
t
1
t
x
=

(, ) (1, ) ( )
yy

fxy f
x
x
φ
⇒==
ta có:
()
dy y
dx x
φ
=
(2.2)
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

t
ydy dz
zzx
x
dx dx
=⇒ =+
th vào phng trình (2.2) ta có
()
dz
zx z
dx
φ
+=
hay
()

dz
zzx
dx
φ
−=
.
ây là phng trình tách bin
()
dz dx
zz x
φ
=
−
vi gi thit () 0zz
φ
−≠
()
()
111
1
ln ln ln
()
dz
z
zz
dz x x
x
ee
zz C C C
ϕ

φ
φ
−
∫
=+ = ⇔= =
−
∫
hay
()z
x
Ce
ϕ
= thay
y
z
x
=

vào ta đc
()
y
x
x
Ce
ϕ
=
(2.3)

ây là nghim tng quát ca
(2.1) .

Ví d
:
22
2dy xy
dx x y
=
−

t
3
22
2
11
dz z z z
yzx x z
dx z z
+
=⇒ = −=
−−
hay
2
2
(1 )
(1)
dx z
dz
xzz
−
=
+

2
1
22
(1 ) 2
ln
(1 ) 1
dx z dx dz zdz
dz C
xzz x z z
−
⇒− =−+ =
++
∫∫ ∫∫∫

hay
2
2
11
(1 )
ln ln ln 1 ln
xz
x
zzC C
z
+
−++= ⇔ =
hay
2
(1 )xz

C
z
+
=
thay
y
z
x
=

vào
22
0yxCy⇒+−=
hay
22
2
22
CC
xy
⎛⎞⎛⎞
+− =
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
.
Chú ý: - Khi gii phng trình vi phân thun nht ta không nht thit phi đa v
dng
()
y
x
φ

mà đt luôn
yzx=
sau đó bin đi.
-
Nu () 0zz
φ
−
= vi
0
zz
=
thì ngoài nghim tng quát còn nghim
0
zz
=

hay
0
yzx=
cng là nghim.
Trong ví d trên đng thng 0y
=
cng là nghim ca phng trình.
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

2.2. Phng trình đa đc v phng trình thun nht
Xét phng trình dng
111
222

dy a x b y c
f
dx a x b y c
⎛⎞
++
=
⎜⎟
++
⎝⎠
.
* Gi s
11
22
0
ab
ab
∆= ≠
dùng phép đi bin
(, )
xh
hk const
yk
ξ
η
=+
⎧
=
⎨
=+
⎩

, khi đó
phng trình có dng
11111
22222
dabahbkc
f
dabahbkc
ηξη
ξξη
⎛⎞
++++
=
⎜⎟
++++
⎝⎠
. Nu chn ,hktho mãn
111
222
0
0
ah bk c
ah bk c
++=
⎧
⎨
++=
⎩
thì ta đc phng trình thun nht
11
22

dab
f
dab
η
ξη
ξ
ξη
⎛⎞
+
=
⎜⎟
+
⎝⎠

* Nu
11
22
0
ab
ab
∆= =

11
22
ab
ab
λ
⇔==

do đó

111 2 2 1
222 222
()dy ax by c ax by c
ff
dx a x b y c a x b y c
λ
⎛⎞⎛ ⎞
++ + +
==
⎜⎟⎜ ⎟
++ ++
⎝⎠⎝ ⎠

t
22
zaxby=+
và lp phng trình theo
z
ta có
()
dz
z
dx
φ
=
đây là phng
trình tách bin.
Ví d
:
3

1
dy x y
dx x y
+−
=
−−
ta có
11
20
11
∆= =− ≠
−
đi bin
x
h
yk
ξ
η
=
+
⎧
⎨
=
+
⎩
chn ,hk tho
mãn
30 2
10 1
hk h

hk k
+−= =
⎧⎧
⇔
⎨⎨
−−= =
⎩⎩
Ta đc phng trình thun nht
d
d
η
ξη
ξ
ξη
+
=
−
t
2
1
1
du u
u
du
ηξξ
ξ
+
=⇒ =
−
phng trình tách bin.

()
22
1
1
ln 1 ln ln 1
2
arctgu
arctgu u C C u e
ξξ
−+=+⇔+=

tr v bin c ta đc
1
22
2
(2)(1)
y
arctg
x
Cx y e
−
−
−+−= .

Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

§3. PHNG TRÌNH TUYN TÍNH

3.1.nh ngha

Phng trình vi phân tuyn tính là phng trình vi phân tuyn tính đi vi hàm và
đo hàm ca nó.
Dng tng quát:
() () ()
dy
A
xBxyCx
dx
+=
(3.1)
Trong đó (), (), ()
A
xBxCx là các hàm liên tc trong khong nào đó. Nu trong
khong đang xét
() 0
A
xx≠∀
thì phng trình đc đa v dng.
() ()
dy
P
xy Qx
dx
+=
(3.2)
Xét phng trình
() 0
dy
Pxy
dx

+=
phng trình này đc gi là phng trình
tuyn tính thun nht ng vi phng trình đã cho.
3.2.Cách gii: Phng pháp bin thiên hng s.
a) Bc 1: Xét phng trình
() 0
dy
Pxy
dx
+
=
(3.3)
Gi s 0y ≠ khi đó phng trình (3.3) đa v dng
()
dy
Pxdx
y
=−

do đó
11
ln ( ) ln ( 0)yPxdxC C=− + ≠
∫


()
1
P
xdx
yCe

−
∫
⇒=
hay
()
P
xdx
yCe
−
∫
=

(3.4)

Mt khác 0y = cng là nghim nhng có th gp vào (3.4) ng vi trng hp
0C = .
Vy nghim tng quát ca phng trình
(3.3)
là
()
P
xdx
yCe
−
∫
=
trong đó C là hng
s tu ý.
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

b) Bc 2: Ta th tìm nghim ca (3.2) di dng (3.4) trong đó coi ()CCx= khi
đó
() ()
()
P x dx P x dx
dy dC
epxCe
dx dx
−−
∫∫
=−
thay h thc này vào phng trình (3.2) ta có
() () ()
() () ()
Pxdx Pxdx Pxdx
dC
e PxCe PxCe Qx
dx
−−−
∫∫∫
−+=

do đó
()
()
Pxdx
dC
Qxe
dx

∫
=
hay
()
1
() ()
Pxdx
CCx Qxe C
∫
=
=+
∫
. Trong đó
1
C
là hng s
tu ý.
Vy
() () ()
()
P
xdx Pxdx Pxdx
yCe e Qxe
−−
∫∫ ∫
=+
∫
(3.5)
Chú ý: 1. V phi ca (3.5) ta thy s hng đu là nghim tng quát ca phng
trình vi phân tuyn tính thun nht, s hng th hai là nghim riêng ca phng

trình vi phân tuyn tính không thun nht nhn đc khi 0C
=
. Vy nghim tng
quát ca phng trình vi phân tuyn tính không thun nht đc lp nên bi tng
ca nghim tng quát ca phng tình vi phân tuyn tính thun nht vi mt
nghim riêng ca phng trình vi phân tuyn tính không thun nht.
2. Nghim tng quát ca phng trình vi phân tuyn tính không thun nht
tìm đc bng hai ln ly tích phân (mà ta thng nói là bng hai ln cu phng).
3. Nghim ca phng trình
(3.2) có dng tuyn tính đi vi hng s C
() ()yCx x
φ
ψ
=+
Ví d
:
2
dy y
x
dx x
−=
xét trong khong
(,0)(0,)
−
∞∪+∞

Phng trình thun nht có nghim tng quát yCx
=
vi C là hng s tu ý. Xem
()

dC
CCx x
dx
=⇒=
hay
2
1
1
2
CxC=+
. Vy
3
2
x
yCx
=
+
.
3.3.H qu
a) Nu bit đc mt nghim riêng ca phng trình vi phân tuyn tính không thun
nht thì vic gii phng trình s quy v vic gii phng trình thun nht.
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

Tht vy: đt ()yYx z=+ trong đó ()Yx là mt nghim riêng ca phng
trình không thun nht. Còn
z
là hàm phi tìm, lp phng trình vi phân đi vi
z

ta có
() 0
dz
Pxz
dx
+=
.
Nh vy nu bit đc mt nghim riêng ca phng trình vi phân tuyn tính
không thun nht thì nghim tng quát tìm đc bng mt phép cu phng.
b) Nu bit đc mt nghim riêng không tm thng (khác không) ca phng
trình thun nht thì nghim tng quát ca phng trình đó có th tìm mà không cn
cu phng bng cách nhân nghim riêng đã bit vi mt hng s tu ý.
Tht vy xét phng trình sau:
() 0
dy
Pxy
dx
+
=
. Gi s () 0yx
φ
=≠ là
nghim riêng đã bit.
Nghim tng quát ca phng trình đang xét có dng
()
P
xdx
yCe
−
∫

=

Nghim này cha mi nghim riêng, gi s ng vi
0
C
ta có
()
0
()
P
xdx
xCe
φ
−
∫
=
do đó
0
()
yC
x
C
φ
=
ký hiu
1
0
C
C
C

=
ta đc
1
()yC x
φ
=
.
c) Nu bit đc hai nghim riêng khác nhau ca phng trình không thun nht thì
có th tìm đc nghim tng quát ca nó mà không cn cu phng.
Tht vy: Gi s
12
(), ()yxyx
là hai nghim khác nhau ca phng trình không
thun nht thì ta có th d dàng chng minh đc
12
() ()yx yx
−
là nghim không
tm thng ca phng trình thun nht.
Suy ra nghim tng quát
12 1
(() ()) ()yCyx yx yx
=
−+
.
3.4.Phng trình đa đc v phng trình tuyn tính
a) Xét phng trình
'( ) ( ) ( ) ( )
dy
f

yPxfyQx
dx
+=

Bng phép th ()zfy
=
đa v
() ()
dz
P
xz Qx
dx
+=
.
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

Ví d
:
22 2 2
1
()
2
dy dz
yxyx xzxzy
dx dx
+=→ += =
.
b) Phng trình Becnuli
Dng phng trình

() ()
dy
P
xy Qxy R
dx
α
α
+= ∈
(3.6)
Nu 0
α
= ta đc phng trình tuyn tính.
Nu 1
α
= ta đc phng trình tuyn tính thun nht.
Gi thit
0, 1
α
α
≠≠

Chia hai v ca phng trình cho
y
α
(0)y
≠
ta đc
1
11
() ()

dy
Px Qx
ydx y
αα
−
+=

(3.7)

i bin
1
z
y
α
−
=
ta có
(1 )
dy dz
y
dx dx
α
α
−
−=
và do đó
1
() ()
1
dz

P
xz Qx
dx
α
+=
−

hay
(1 ) ( ) (1 ) ( )
dz
P
xz Qx
dx
αα
+− =−
đây là phng trình tuyn tính không thun
nht.
Chú ý: Trng hp 0
α
> thì 0y
=
cng là nghim. Ta có th chng minh rng vi
1
α
> thì 0y = là nghim riêng
0 1
α
<< thì 0y = là nghim kì d ca phng trình.
Ví d
:

44(0)
y
dy y dy
xy x y
dx x x
ydx
−= ⇒ − = ≠
. t
zy=
do đó
2
y
z
=
và
2
dy dz
z
dx dx
=
Thay vào ta có
2
2
dz z x
dx x
−
=
gii phng trình ta đc nghim
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

2
4
1
ln
2
yx xC
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
ngoài ra 0y
=
là nghim kì d.
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

§4. PHNG TRÌNH VI PHÂN HOÀN CHNH - THA S TÍCH PHÂN
Xét phng trình (, ) (, ) 0Mxydx Nxydy
+
= (4.1)
Nu v trái ca
(4.1)
là vi phân toàn phn ca mt hàm
(, )uxy
nào đó.
tc là
(, ) (, ) (, )
M
xydx Nxydy duxy+= (4.2)

thì ta nói
(4.1)
là phng trình vi phân hoàn chnh, khi đó tích phân tng quát ca
phng trình là (, )uxy C= .
Ví d
: 0xdx ydy+=
Ta có
()
22
1
2
x
dx ydy d x y
⎡⎤
+= +
⎢⎥
⎣⎦
vì vy tích phân tng quát là
22
xy
C+=
.
4.1.Cách đoán nhn phng trình là phng trình vi phân hoàn chnh
nh lý: iu kin cn và đ đ biu thc vi phân
(, ) (,)
M
xydx Nxydy
+
(4.3)
Trong đó

,
M
N xác đnh, liên tc và không đng thi trit tiêu ti bt c đim nào
trong mt min đn liên
2
GR∈ và có trong min y các đo hàm liên tc
M
y
∂
∂
và
N
x
∂
∂
, là mt vi phân toàn phn ca hàm (, )uxy là đng thc
M
N
yx
∂∂
=
∂∂
phi tho
mãn
(, )
x
yG∀∈ (4.4)
iu kin cn
: Gi s (4.3) là vi phân toàn phn tc là
(, )uxy

∃
sao cho
(, )
uu
du Mdx Ndy dx dy x y G
xy
∂
∂
=+= + ∀∈
∂∂

22
(, ) ; (, ) ;
uuMuNu
Mxy Nxy
x
yyxyxyx
∂∂∂∂∂∂
⇒= =⇒= =
∂∂∂∂∂∂∂∂

do gi thit
22
;
uu
x
yyx
∂∂
∂∂ ∂∂
tn ti và liên tc nên chúng bng nhau

M
N
yx
∂∂
⇒=
∂∂

Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

iu kin đ
: Gi s
(, )
MN
x
yG
yx
∂∂
=∀∈
∂∂
ta cn chng minh phng trình
là phng trình vi phân hoàn chnh tc là
(, )uxy
∃
đ
(, ) ; (, )
uu
Mxy Nxy
x
y

∂∂
==
∂∂
(4.5)
điu này tng đng chng minh (4.5) có nghim.
Xét phng trình
(, )
u
M
xy
x
∂
=
∂
nghim ca nó vit di dng
0
(, ) (, ) ()
x
x
uxy Mxydx y
φ
=+
∫
(4.6)
Trong đó ()y
φ
là mt hàm tu ý theo
y
(tích phân này có ngha vì G đn liên). Ta
s chn hàm ()y

φ
đ đng thc
u
N
y
∂
=
∂
cng đc tho mãn.
Gi s ()y
φ
là hàm kh vi. Ly đo hàm (4.6) theo
y
ta có:
00
(, ) '() (,)
xx
xx
uM
M
xydx dx y Nxy
yy y y
φ
φ
∂∂ ∂ ∂
=+=+=
∂∂ ∂ ∂
∫∫

0

'( ) ( , )
x
x
M
yNxy dx
y
φ
∂
⇒= −
∂
∫
(4.7)
Vì
0
'( ) ( , )
x
x
MN N
yNxy dx
yx x
φ
∂∂ ∂
=⇒ = −
∂∂ ∂
∫


00
(,) (,) ( ,) ( ,)Nxy Nxy Nx y Nx y=−+ =

Vy
0
01
() ( ,)
y
y
yNxydyC
φ
=+
∫
(4.8)
Phng trình vi phân
B môn Khoa hc c bn Trang

Trong đó
00
(, )
x
yG
∈

00
01
(, ) (, ) ( , )
y
x
xy
uxy Mxydx Nx ydy C⇒= + +
∫∫
(4.9)

Tc là tn ti hàm (, )uxy tho mãn (4.5) .
Chú ý: 1, T (4.9) ta có tích phân tng quát ca phng trình (4.2) là:

00
0
(, ) ( , )
y
x
xy
M
xydx Nx ydy C+=
∫∫
(4.10)
2, Nu khi tìm hàm
(, )uxy
mà không xut phát t phng trình
(4.5)
thì ta
s đc tích phân tng quát dng:
00
0
(, ) (, )
y
x
xy
M
xy dx Nxydy C
+
=
∫∫

(4.11)
Ví d
: (7 3 ) (3 5 ) 0x y dx x y dy++−=
Ta có
73 3
35 3
M
Mxy
y
N
Nxy
x
∂
=
+⇒ =
∂
∂
=
−⇒ =
∂

⇒
ây là phng trình vi phân hoàn chnh.
Ta xác đnh hàm
u

Ta có
73 (*)
35 (**)
u

xy
x
u
xy
y
∂
=+
∂
∂
=−
∂

t
(*) ( , ) (7 3 ) ( )uxy x ydx y
φ
⇒=++
∫