Bài thuyết trình lý thuyết tương đối

SEMINAR
LÝ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI
GVHD: TS. VÕ TÌNH
HV : PHẠM TÙNG LÂM
Lớp VLLT_VLT K21
CHƯƠNG 3
ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH
3.5. Nguyên lý tác dụng tối thiểu của trường điện từ
3.5.1. Hàm tác dụng của trường điện từ
3.5.2. Phương trình chuyển động của một hạt
3.5.3. Các phương trình trường điện từ
3.6. Tenxơ năng xung lượng trường điện từ
2
Trong một hệ bao gồm cả trường điện từ và các
hạt chuyển động, hàm tác dụng S của hệ là:
3
3.5. Nguyên lý tác dụng tối thiểu của trường điện từ
3.5.1. Hàm tác dụng của trường điện từ
1 2 3
(3.65)S S S S
= + +
hàm tác dụng của hạt tự do
1
:S
2
:S
đặc trưng cho tương tác giữa trường và hạt
3
:S
hàm tác dụng của trường tự do
3.5.1. Hàm tác dụng của trường điện từ

Ta xét các số hạng trong biểu thức của S
1 0
S m∈
a. Số hạng thứ nhất khối lượng của hạt
2
1 0
(3.66)S m c d
τ
= −
∫

TH1: Hệ hạt sắp xếp liên tục trong không gian.
Mật độ khối lượng riêng
0
0
0
(3.67)
dm
dV
γ
=

TH2: Hệ hạt rời rạc
0 0
( ) (3.68)
i
i
m r r
γ δ
= −

∑
r r
Thế (3.67) vào (3.66):
2 4
1 0 0 0
(3.69)S dV c d c d x
γ τ γ
= − = −
∫ ∫
4
3.5.1. Hàm tác dụng của trường điện từ
b. Số hạng thứ hai phụ thuộc điện tích và trường
2
S
2
A x (3.70)
k
k
S e d= −
∫

TH1: Hệ hạt liên tục. Mật độ điện tích của hệ
/ (3.71)de dV
ρ
=

TH1: Hệ hạt rời rạc
( ) (3.72)
i
i

i
e r r
ρ δ
= −
∑
r r
Thay (3.71) vào (3.70) ta được
4
2
1
. (3.73)
k
k
S j A d x
c
= −
∫
c. Số hạng thứ ba
4
3
1
(3.74)
4
ik
ik
S D E d x
c
= −
∫
5

3.5.2. Phương trình chuyển động của một hạt
a. Thành lập hàm Hamilton của hạt trong trường điện từ
Hàm tác dụng của một điện tích chuyển động trong
trường điện từ
2
1 2 0
( A ) (3.75)
b
k
k
a
S S S m c d e dx
τ
= + = − +
∫
có thể viết dưới dạng sau:
2
1
2 2
0
( 1 ) (3.76)
t
t
S m c e eAv dt
β ϕ
= − − + −
∫
urr
với là vận tốc của hạt
d r

v
dt
≡
r
r
6
3.5.2. Phương trình chuyển động của một hạt
a. Thành lập hàm Hamilton của hạt trong trường điện từ
Hàm Lagrange của điện tích trong trường điện từ
2 2
0
1 (3.77)m c e eAv
β ϕ
= − − − +
urr
L
Xung lượng tổng quát
0
2
(3.78)
1
m v
eA p eA
v
β
∂
= = + = +
∂
−
r

ur ur ur ur
r
L
P
7
3.5.2. Phương trình chuyển động của một hạt
a. Thành lập hàm Hamilton của hạt trong trường điện từ
Hàm Hamilton của hạt
(3.79)v
v
∂
−
∂
=
r
r
L
H L
Thay (3.77) vào (3.79) kết hợp với (3.78) ta có
2 4 2 2
0
( ) (3.81)m c c eA e
ϕ
= + − +
ur ur
H P
8
3.5.2. Phương trình chuyển động của một hạt
b. Thành lập phương trình chuyển động 4 chiều của điện tích
Áp dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu với hàm tác dụng

2
0
2
0
( A ) 0 (3.85)
( A A ) 0
b
i
i
a
b
i i
i i
a
S m c d e dx
m c d e dx e dx
δ δ τ
δ τ δ δ
= − + =
⇔ − + + =
∫
∫
lưu ý
2 2
i
i
i
i
dx d x
c d d dx d x c d

d
δ
τδ τ δ δ τ
τ
⇒= =
0
0
( A A ) 0
( A A ) 0
b
i i
i i
a
b
i
i
i
i
i
i
i
a
i
S m e dx e dx
m u e d
dx d x
d
d x x e dx
δ δ δ
δδ δ

δ
τ
= − + + =
⇔ − + + =
∫
∫
suy ra
9
3.5.2. Phương trình chuyển động của một hạt
b. Thành lập phương trình chuyển động 4 chiều của điện tích
0
( A A ) 0
b
i i
i i i
a
i
S m u e d x e dxd x
δδ δ δ
= − + + =
∫
lấy tích phân từng phần, ta có:
0 0
[ ( ) dA A ] [( A ) ]| 0
b
i i ii b
i i i i i a
a
xd m u e x e dx m u e x
δ δ δδ

+ − − + =
∫
(3.87)
Nếu biên không thay đổi trong quá trình lấy biến phân thì
SH2=0
10
3.5.2. Phương trình chuyển động của một hạt
b. Thành lập phương trình chuyển động 4 chiều của điện tích
Khi đó
0
1 [ ( ) dA A ] 0
b
i i
a
i
i i i
SH d m u e x e xx d
δ δ δ
= + − =
∫
Thế
,
k k
i i
i i
k k
A A
A x dA dx
x x
δ δ

∂ ∂
= =
∂ ∂
vào trên, ta có
( )
( )
( )
0
0
0
0
0
0
i
b
i i k
i
i
k
a
b
i i k
i
i
k
a
b
k i
i
i

k
i
k
k i
k
i
k
i k
a
A A
d m u x e x dx e dx x
x x
A A
d m u x e x dx e dx x
x x
A A
d
m u e u x d
d x x
δ δ δ
δ δ δ
δ τ
τ
∂ ∂
 
+ − =
 
∂ ∂
 
∂ ∂

 
⇔ + − =
 
∂ ∂
 
 
∂ ∂
 
⇔ − − =
 ÷
 
∂ ∂
 
 
∫
∫
∫
11
3.5.2. Phương trình chuyển động của một hạt
b. Thành lập phương trình chuyển động 4 chiều của điện tích
Vì là bất kỳ nên ta được phương trình chuyển
động 4 chiều
i
x
δ
( )
0
0 (3.88)
k
i

k
i
i
k
A A
d
m u e u
d x x
τ
∂ ∂
 
− − =
 ÷
∂ ∂
 
với
k
k
dx
u
d
τ
=
( )
0
0
k
b
k i
i

i
k
a
i
A A
d
m u e u x d
d x x
δ τ
τ
 
∂ ∂
 
− − =
 ÷
 
∂ ∂
 
 
∫
12
3.5.3. Các phương trình trường điện từ
Giả thiết chuyển động của điện tích là đã cho, chỉ lấy
biến phân các thế của trường và sử dụng
1
0
ik ik
D E
µ
−

=
4
1 1
0 (3.93)
2
k ik
k ik
S j A D E d x
c
δ δ δ
 
= − + =
 ÷
 
∫
Thay vào (3.93), ta được
ik i k k i
E A A= ∂ −∂
( )
4
4
1 1 1
0
2 2
1
0,
ik
k i
k ik
k i k

k ki
k i k
S j A D A D A d x
c
S j A D A d x
c
δ δ δ δ
δ δ δ
 
= − ∂ ∂ =
 ÷
 
⇒ = − ∂
−
−
+
=
∫
∫
13
2 3
S S S
= +
3.5.3. Các phương trình trường điện từ
Lấy tích phân từng phần và sử dụng định lý Gauss, ta có
( )
4
0
k ki ki
i k k i

j D A d x D A dS
δ δ
+ ∂ − =
∫ ∫Ñ
( )
4
0
k ki
i k
j D A d x
δ
⇒ + ∂ =
∫
Do bất kỳ nên:
k
A
δ
0
k ki ki k
i i
j D D j= ⇔ ∂− =+ ∂
Vì tính phản xứng nên
ik k
i
D j
∂ =
đây là phương trình tenxơ nhóm I của hệ phương trình
Maxwell.
14
3.6. Tenxơ năng xung lượng trường điện từ

a. Thành lập biểu thức tenxơ năng xung lượng trường điện từ
Xuất phát từ biểu thức của mật độ lực 4 chiều và
nk k
n
D j∂ =
Ta có:
( )
( )
0
( ) 3.97
nk nk
n ik n
k
ik ii ki
d
f u j DE
d
E
t
E D
γ
= ∂ − ∂= =
* Ta đi khai triển biểu thức của SH2’
Từ hệ phương trình Maxwell nhóm II viết dưới dạng tenxơ
( )
0
0 (3.98)
k mn m nk n km
nk
i kn n ik k ni

E E E
D E E E
∂ + ∂ + ∂ =
⇒ ∂ ∂ + ∂ =+
15
3.6. Tenxơ năng xung lượng trường điện từ
a. Thành lập biểu thức tenxơ năng xung lượng trường điện từ
Do tính phản đối xứng của tenxơ và ta có
ik
D
ik
E
( ) ( )
nk kn kn nk
k ni k in k in n ik
D E D E D E D E∂ = − ∂ − = ∂ = ∂
Thế vào (3.98), ta có
( )
( ) ( )
( )
0
1 1
0 0
2
0
2
2
1
4
2

2
nk nk nk
n ik i nk ik n i k i nk
nk nk nk mk
n ik i
n
nk n ik i mk
nk mk
n ik i mk
D E E E D E D E
D E D E D E D E
D E D E
∂ − ∂ +∂ = ⇔ ∂ − =
⇔ − = ⇔
∂
∂ ∂ ∂ ∂ =
= ∂
−
⇔ ∂
16
* Thay vào biểu thức của ban đầu, ta
được
nk
n ik
D E∂
i
f
3.6. Tenxơ năng xung lượng trường điện từ
( ) ( )
(3

1
4
1
4
.101)
nk mk
i n ik i mk
nk mk n
n ik mk n i
n
i
f D E D E
D E D E T
δ
= ∂ ∂
 
∂ − = ∂

−


−

= − +
Trong đó
1
4
n nk mk
i ik
n

i mk
T D E D E
δ
+=−
a. Thành lập biểu thức tenxơ năng xung lượng trường điện từ
là tenxơ năng xung lượng trường điện từ.
17
3.6. Tenxơ năng xung lượng trường điện từ
a. Thành lập biểu thức tenxơ năng xung lượng trường điện từ
* Các thành phần của tenxơ theo (3.29) và (3.32)
n
i
T
( )
0 0
0 0
1 1
4 2
k mk
k mk
T D E D E ED BH w= − + = + =
r r r r
0 0 0 0
0 0
1
1 3; 0 3
4
1
k mk k
k mk k

T D E D E D E do k
cD B E H
c c
α α
δ α
= − + = − = ÷ = ÷
Π
=− × = − × = −
uur
r r r r
0 0
1
k
k
T D E E H
c c
α α
Π
= − = × =
uur
r r
với là mật độ năng lượng. là vectơ Umov-Poynting.
w
Π
uur
18
3.6. Tenxơ năng xung lượng trường điện từ
a. Thành lập biểu thức tenxơ năng xung lượng trường điện từ
* Các thành phần không gian của tenxơ
n

i
T
1 1 2
1 2 1
1 3 2
3 1 2
2 3 3
3 2 3
;
;
;
1
( );
2
1
( );
2
1
( )
2
x x x x x y x y
x z x z y y y y
y z y z z z z z
T D E H B DE BH T T D E H B
T T D E H B T D E H B DE BH
T T D E H B T D E H B DE BH
= + − + = = +
= = + = + − +
= = + = + − +
r r r r

r r r r
r r r r
hay
1
( ),
2
T D E H B DE BH
α α
β α β α β β
δ
= + − +
r r r r
với
; 1 3
α β
= ÷
19
3.6. Tenxơ năng xung lượng trường điện từ
b. Thành lập biểu thức tenxơ vật chất
Ta có nên mật độ
lực
/
n
n
d d u
τ
= ∂
0 0
( ) ( ),
n

i i n i
d
f u u u
d
γ γ
τ
= = ∂
Sử dụng phương trình liên tục (3.19)
0
n
n
u∂ =
0 0 0 0
( ) ( ) ( )
n n n n
n i n i i n n i
u u u u u u u u
γ γ γ γ
∂ = ∂ + ∂ = ∂
Ta suy ra
0
( ) (3.110)
n
i n i
f u u
γ
= ∂
Ta có
20
3.6. Tenxơ năng xung lượng trường điện từ

b. Thành lập biểu thức tenxơ vật chất
Mặt khác, từ (3.101) ta có
0 0
( ) ( ) 0
0 (3.111)
n n
n n i n i
n
i
i
n
n
n
i
T Tu u u u
γ γ
−∂ ∂= +⇔ ∂ =
⇔ ∂ =T
trong đó là tenxơ vật chất
0
n n
i
n
i i
u u T
γ
= +T
Tenxơ vật chất là tenxơ năng xung lượng của cả hệ
gồm có tenxơ năng xung lượng của hạt và tenxơ năng
xung lượng của trường điện từ.

21
3.6. Tenxơ năng xung lượng trường điện từ
b. Thành lập biểu thức tenxơ vật chất
* Ý nghĩa vật lý của phương trình (3.111), ta có:
0
0
0
0
1
0, (3.113)
1
0. (3.114)
c t
c t
α
α
β
α
α β
∂
+ ∂ =
∂
∂
+ ∂ =
∂
T
T
T
T
Lấy tích phân (3.113) theo thể tích V, ta được

0
0 0
0
0 0
1
0.
, (3.116)
dV dV
c t
dV c dS
t
α
α
α
α
∂
+ ∂ =
∂
∂
⇒ = −
∂
∫ ∫
∫ ∫Ñ
T T
T T
22
3.6. Tenxơ năng xung lượng trường điện từ
b. Thành lập biểu thức tenxơ vật chất
* Ý nghĩa vật lý của phương trình (3.111), ta có:
0

0 0
, (3.116)dV c dS
t
α
α
∂
= −
∂
∫ ∫Ñ
T T
SH1: là tốc độ biến thiên năng lượng trong thể tích V;
SH2: dòng năng lượng chảy qua mặt S bao bọc bởi V.
Suy ra biểu thức (3.116) là biểu thức toán học của định
luật bảo toàn năng lượng của cả hệ hạt và trường điện từ.
23
3.6. Tenxơ năng xung lượng trường điện từ
b. Thành lập biểu thức tenxơ vật chất
Tương tự, từ biểu thức (3.114) ta suy ra
0
1
. (3.117)dV dS
t c
α
β β α
∂
= −
∂
∫ ∫Ñ
T T
SH1’: là tốc độ biến thiên xung lượng của hệ trong V;

SH2’: là dòng xung lượng chảy qua mặt S bao bọc bởi V
Suy ra, biểu thức (3.117) là biểu thức toán học của định
luật bảo toàn xung lượng cho cả hệ hạt và trường điện từ.
Thành phần thời gian của tenxơ năng xung lượng gọi là
tenxơ ứng suất Maxwell./.
24