GIẢI NHANH bài TOÁN TÍCH PHÂN TRONG đề THI đại học

Năm 2013

Trần Tuấn Anh Page 1

GIẢI NHANH BÀI TOÁN TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
KHỐI A, A
1
, B, D

Câu 1: Tính tích phân
2
2
2
1
1
ln
x
I xdx
x



. (ĐH khối A, A
1
- 2013)
Cách giải thông thường
Cách 1:
2 2 2
2
22
1 1 1

11
.ln ln ln
x
I xdx xdx xdx
xx


  


  
. Ta xét :
+
2
1
1
lnI xdx

.
Đặt
1
lnu x du dx
x
  
;
dv dx v x  
.
22
1
11

2
ln ln 2ln2 1.
1
x
I xdx x x dx
x
    


+
2
2
2
1
1
lnI xdx
x







Đặt
1
lnu x du dx
x
  
;

2
11
dv dx v
xx


  


.
2 2 2
2
22
1 1 1
2
1 1 1 1
ln ln ln
1
I xdx xd x dx
x x x x

   
   
   
   
  
22
1 1 1 1
ln ln 2 .
11

22
x
xx
   

Vậy
 
12
1 1 1
2ln 2 1 ln 2 5ln 2 3
2 2 2
I I I       
.
Cách 2:
22
2
22
11
11
.ln 1 ln
x
I xdx xdx
xx


  




www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Năm 2013

Trần Tuấn Anh Page 2

Đặt
ln
t
t x x e  
và
t
dx e dt
.
Đổi cận:
10xt  
;
2 ln2xt  
.
   
ln2 ln2 ln2
2
0 0 0
1
1
t t t t t
t
I te dt e e tdt td e e
e



     


  
   
ln2
0
ln 2
0
t t t t
t e e e e dt

   


       
ln2 ln2 ln2 ln2
ln2 ln 2
ln2.
00
t t t t
t e e e e e e e e
   
       
11
ln 2. 2 2
22
   
   

   
   
 
1
5ln 2 3
2

.
Vậy
 
1
5ln 2 3
2
I 
.
Cách giải nhanh
Cách 3: các bạn để ý quan hệ giữa
1
x
và
2
1
x
là :
2
11
dx d
xx






; quan hệ giữa
x
và
1 là :
1dx dx
. Do đó, ta có :

2
22
1 1 1
1
x
dx dx d x
x x x


   
   

   
   

. Vậy ta có thể giải
nhanh bài toán trên như sau :
2 2 2
2
22

1 1 1
1 1 1
.ln 1 ln ln
x
I xdx xdx xd x
x x x

   
    
   
   
  
2
1
2
1 1 1
ln .
1
x x x dx
x x x
   
   
   
   



2
2
1

2 2 2
1 1 1 1
ln . 1 ln .
1 1 1
x x dx x x x
x x x x
       
       
       
       

 
1
5ln 2 3 .
2


Lời giải thật nhanh gọn so với hai cách trên !

Câu 2: Tính tích phân
1
2
0
2I x x dx

(ĐH khối B - 2013)
Cách giải thông thường
Cách 1: Do dấu hiệu “
2
2 x

” nên ta chọn ẩn phụ
2 sinxt
.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Năm 2013

Trần Tuấn Anh Page 3

Đặt
2sin 2 cosx t dx tdt  
,
;
22
t





.
Đổi cận :
0 0; 1
4
x t x t

     
.
Ta có:
44

22
00
2 sin 2 2sin . 2 cos 2 2 sin .cos . 1 sinI t t tdt t t tdt

   



4 4 4
22
0 0 0
2 2 sin .cos . cos 2 2 sin .cos 2 2 sin cost t tdt t tdt t tdt
  
  
  
.
Xét tích phân
4
2
0
2 2 sin cosJ t tdt



.
Đặt
cos sinu t du tdt   
.
Đổi cận :
2

0 1;
42
t u t u

     
.
Ta có :
2
1
3
2
22
1
2
2
1
2 2 1
2 2 2 2 2 2.
2
33
2
u
J u du u du

    

.
Vậy
2 2 1
3

I


.
Cách 2: Theo kinh nghiệm thì thấy căn thức ta đặt căn thức là ẩn phụ !
Đặt
2 2 2
22t x t x tdt xdx       
.
Đổi cận:
0 2; 1 1x t x t     
.
Ta có:
12
3
22
1
2
2 2 1
2
33
1
t
I t dt t dt

    

.
Cách giải nhanh

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Năm 2013

Trần Tuấn Anh Page 4

Cách 3: Các bạn để ý quan hệ giữa
x

và
2
x
là:
   
22
11
2
22
xdx d x d x   
. Nên
việc ta chọn ẩn phụ
2
2tx
(ở cách 2) là hoàn toàn tự nhiên ! không mang tính
áp đặt của kinh nghiệm trong suy nghĩ là : “thấy có căn thức thì đặt căn thức là
ẩn phụ” . Chúng ta có thể giải nhanh như sau :
   
 
3
2

11
2
1
2 2 2
2
00
2
1
11
2 2 2 .
3
0
22
2
x
I x x dx x d x


      

2 2 1
3

.
Lời giải thật nhanh gọn !
Câu 3: Tính tích phân
 
2
1
2

0
1
1
x
I dx
x




(ĐH khối D - 2013)
Cách giải thông thường
Cách 1: Ta có :
 
2
1 1 1 1 1
2
2 2 2 2
0 0 0 0 0
1
2 1 2 2
1
1 1 1 1
x
x x x x
I dx dx dx dx dx
x x x x


     

   
    

Xét tích phân
1
2
0
2
1
x
J dx
x



.
Đặt
2
12t x dt xdx   
.
Đổi cận :
0 1; 1 2x t x t     
.
Ta được
2
1
2
ln ln 2
1
dt

Jt
t
  

.
Vậy
1 ln2I 
.
Cách 2: Ta có :
 
2
1 1 1 1 1
2
2 2 2 2
0 0 0 0 0
1
2 1 2 2
1
1 1 1 1
x
x x x x
I dx dx dx dx dx
x x x x


     
   
    

Xét tích phân

1
2
0
2
1
x
J dx
x



.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Năm 2013

Trần Tuấn Anh Page 5

Đặt
 
2
2
1
tan 1 tan
cos
x t dx dt t dt
t
    
.
Đổi cận :

0 0; 1
4
x t x t

     
.
Ta được
 
 
4 4 4
2
2
0 0 0
2tan sin 1
1 tan 2 2 cos 2ln cos
4
tan 1 cos cos
0
tt
I t dt dt d t t
t t t
  

      

  


1
2ln

2

.
Vậy
1
1 2ln 1 ln 2
2
I    
.
Cách giải nhanh
Cách 3: Các bạn để ý quan hệ giữa
x

và
2
x
là:
   
22
21xdx d x d x  
. Nên việc
ta chọn ẩn phụ
2
1tx
(ở cách 1) là hoàn toàn tự nhiên ! Chúng ta có thể giải
nhanh như sau :
 
2
1 1 1 1
2

2 2 2
0 0 0 0
1
2 1 2
1 1 1
x
x x x
I dx dx dx dx
x x x


   
  
   
 
1
2
2
0
1
1
1
0
1
x d x
x
  



2
11
ln 1 1 ln 2
00
xx    
.
Lời giải thật nhanh gọn !

Tác giả bài viết: Trần Tuấn Anh
Mail:
(trích từ cuốn GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN, nhà
xuất bản ĐHQG TP.Hồ Chí Minh)

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com