TAI LIEU ON THI DAI HOC MON LY THUYET TRUONG GALOA

I/ Chứng minh đa thức bất khả qui:
Bài 11: Chứng minh đa thức
4 2
2 9x x− +
bkq trên
¤
Giải
Ta có: f(x) =
4 2
2 9x x− +

[ ]
x∈¤
Vì f(x) vô nghiệm vô nghiệm trên
¤
, do đó nếu f(x) khả quy trên
¤
thì f(x) phải có dạng
( )
( ) ( )
2 2
ax+b cx+df x x x= + +
(*)
( ) ( ) ( )
4 3 2
x a c x b d ac x ad bc x bd= + + + + + + + +
(với
, , ,a b c d ∈¤
)
0 (1)
2 (2)

0 (3)
9 (4)
a c
b d ac
ad bc
bd
+ =


+ + = −

⇒

+ =


=

Từ (1) ⇒ a = -c; thay a=-c vào (3) ⇒ a(b – d)=0
0a
b d
=

⇔

=

+ Với a =0 ⇒ c =0
(2), (4) ⇒
2

9
b d
bd
+ = −


=

⇒ b, d là nghiệm phương trình:
2
2 9 0X X+ + =
Phương trình vô nghiệm trên
¤
nên b, d không tồn tại
+ b = d
Từ (4)
3
3
b d
b d
= =

⇒

= = −

• b = d = 3
Từ (1), (2)
0
8

a c
ac
+ =

⇔

= −

⇒ a, c là nghiệm phương trình:
2
8 0X − =
Phương trình vô nghiệm trên
¤
nên a, c không tồn tại
• b = d = -3
Từ (1), (2)
0
4
a c
ac
+ =

⇔

=

⇒ a, c là nghiệm phương trình:
2
4 0X + =
Phương trình vô nghiệm trên

¤
nên a, c không tồn tại
Vậy f(x) không thể phân tích thành dạng (*)
Do đó f(x) bất khả quy trên
¤
Câu 3:
a/ CMR:
( ) ( )
5, 7 5 7= +¤ ¤
b/ Tìm đa thức tối thiểu của
5 7+
trên
¤
Giải
a/ vì
( ) ( )
5, 7 5, 7 5 7 5, 7∈ ⇒ + ∈¤ ¤

( ) ( )
5 7 5, 7 (a)⇒ + ⊂¤ ¤
Đặt
5 7
α
= +
(1)
2
5 7
2 5 5 7
α
α α

⇒ − =
⇒ − + =
( )
2
2
5 5 7
2
α
α
−
⇒ = ∈ +¤
(2)
Mặt khác: từ (1) suy ra:
7 5
α
= −
vì
( ) ( )
5 7 ; 5 5 7
α
∈ + ∈ +¤ ¤
nên
( )
7 5 5 7
α
= − ∈ +¤
(3)
từ (2), (3)
( ) ( )
5, 7 5 7 (b)⇒ ⊂ +¤ ¤

từ (a) và (b)
( ) ( )
5 7 5, 7 ⇒ + =¤ ¤
b/ Tìm đa thức tối thiểu
5 7+
trên
¤
Đặt
5 7
α
= +
(1)
2
2
4 2
4 2
7 5 2 35
12 2 35
24 144 140
24 4 0
α
α
α α
α α
⇒ = + +
⇔ − =
⇔ − + =
⇔ − + =
α
⇒

là nghiệm của
( )
[ ]
4 2
24 4f x x x x= − + ∈¤
Vì f(x) vô nghiệm trên nghiệm trên
¤
, do đó nếu f(x) khả quy trên
¤
thì f(x) phải có dạng
( )
( ) ( )
2 2
ax+b cx+df x x x= + +
(*)
( ) ( ) ( )
4 3 2
x a c x b d ac x ad bc x bd= + + + + + + + +
(với
, , ,a b c d ∈¤
)
0 (1)
24 (2)
0 (3)
4 (4)
a c
b d ac
ad bc
bd
+ =



+ + = −

⇒

+ =


=

Từ (1) ⇒ a = -c; thay a=-c vào (3) ⇒ a(b – d)=0
0a
b d
=

⇔

=

+ Với a =0 ⇒ c =0
(2), (4) ⇒
24
4
b d
bd
+ = −


=


⇒ b, d là nghiệm phương trình:
2
24 4 0X X+ + =
Phương trình vô nghiệm trên
¤
nên b, d không tồn tại
+ b = d
Từ (4)
2
2
b d
b d
= =

⇒

= = −

• b = d = 2
Từ (1), (2)
0
28
a c
ac
+ =

⇔

= −


⇒ a, c là nghiệm phương trình:
2
28 0X − =
Phương trình vô nghiệm trên
¤
nên a, c không tồn tại
• b = d = -2
Từ (1), (2)
0
20
a c
ac
+ =

⇔

= −

⇒ a, c là nghiệm phương trình:
2
20 0X − =
Phương trình vô nghiệm trên
¤
nên a, c không tồn tại
Vậy f(x) không thể phân tích thành dạng (*)
Do đó f(x) bất khả quy trên
¤
Vậy f(x) đa thức tối thiểu của
5 7+

trên
¤
Câu 1: a/ Tìm các đa thức bậc hai và bậc ba bkq trên trường
2
¢
các số nguyên mod 2
Giải
G/s đa thức
( )
3 2
axf x bx cx d= + + +
với
2 2
0a b+ ≠
Ta có:
( )
( )
0
1
f d
f a b c d
=


= + + +


Vì f(x) bkq nên
( )
( )

0 1
1
0
1 1
f
d
a b c
f
=
=


⇔
 
+ + =
=



Vậy ta có các đa thức sau:
3 2
3
2
1
1
1
x x
x x
x x
+ +

+ +
+ +
Bai 4: Cho
( )
[ ]
2
3
2p x x x x= + + ∈¢
. CMR p(x) là bkq trên
3
¢
và dựng một mở rộng
( )
3
α
¢
, với
α
là một nghiệm của p(x).
Giải
+ CM p(x) bkq trên
3
¢
Ta có:
( )
( )
( )
0 2
1 1
2 2

p
p
p
=

= ⇒


=


( )
p x
VN trên
3
¢
⇒ p(x) bkq trên
3
¢
+ dựng một cơ sở
( )
3
α
¢
, với
α
là một nghiệm của p(x).
( ) { }
3 3
/ ,a b a b

α α
= + ∈¢ ¢
(vì p(x) bkq trên
3
¢
nên đa thức xác định trên
3
¢
là
( )
2
2p x x x= + +
)
( ) { }
3
0, ,2 ,1,1 ,1 2 ,2,2 ,2 2
α α α α α α α
⇒ = + + + +¢
Bài 7: CMR trường các số phức
£
không có mở rộng thật sự nào:
Giải
Giả sử F là một mở rộng hữu hạn trên
£
ta cần chứng minh F =
£
Vì F là mở rộng hữu hạn trên
£
⇒ F mở rộng đại số trên
£

a F
∀ ∈ ⇒
a là phần tử đại số trên
£
. Do
£
là trường đóng đại số nên đa thức bkq nhận a
làm nghiệm trên
£
là bậc nhất, tức là
( )
[ ]
p x x x
α β
∃ = + ∈£
Sao cho p(x) =0
0x x F
β
α β
α
−
⇒ + = ⇒ = ∈ ⇒ ⊆£ £
Mà F là mở rộng hữu hạn trên
£

Vậy
F ≡ £
Suy ra
£
không có mở rộng thật sự nào

Bài 5: Hãy xét xem mỗi số sau là siêu việt hay đại số trên
¤
:
2
3
7; 5; 3; ; 3e i
π
+ +
Giải
a/
3i +
Đặt
3i
α
= +
2
2
3
6 9 1
6 10 0
i
α
α α
α α
⇒ − =
⇒ − + = −
⇒ − + =
⇒
α
là nghiệm của đa thức

( ) ( )
2
6 10f x x x x= − + ∈¤
⇒ i +3 là phần tử đại số trên
¤
b/
2
π
Giả sử
2
π
là phần tử đại số trên
¤
( )
[ ]
( )
2
0
0
f x x
f
π
⇒ ∃ ≠ ∈
⇒ =
¤
Đặt
( )
( )
( )
[ ]

2
0g x f x g x x= ⇒ ∃ ≠ ∈¤
( )
( )
2
0g f
π π
⇒ = =
π
⇒
là phần tử đại số trên
¤
(vô lý)
2
π
⇒
là phần tử siêu việt trên
¤
c/
7
Đặt
7
α
=
2
2
7
7 0
α
α

⇒ =
⇒ − =
⇒
α
là nghiệm của đa thức
( ) ( )
2
7f x x x= − ∈¤
⇒
7
là phần tử đại số trên
¤
d/ e + 3
Giả sử e + 3 là phần tử đại số trên
¤
( )
[ ]
( )
0
3 0
f x x
f e
⇒ ∃ ≠ ∈
⇒ + =
¤
Đặt
( ) ( ) ( )
[ ]
3 0g x f x g x x= + ⇒ ∃ ≠ ∈¤
( ) ( )

3 0g e f e⇒ = + =
e⇒
là phần tử đại số trên
¤
(vô lý)
3e
⇒ +
là phần tử siêu việt trên
¤
f/
3
5
Đặt
3
5
α
=
3
3
5
5 0
α
α
⇒ =
⇒ − =
⇒
α
là nghiệm của đa thức
( ) ( )
3

5f x x x= − ∈¤
⇒
3
5
là phần tử đại số trên
¤
Bài 18: Xét xem các đa thức sau có bkq trên trường tương ứng sau
a/
2
3x +
trên
( )
7¤
b/
2
1x +
trên
( )
2−¤
c/
3
8 2x x+ −
trên
( )
2¤
Giải
a/
2
3x +
trên

( )
7¤
ta có
( ) { }
7 7 / ,a b a b= + ∈¤ ¤
đặt
( )
( )
[ ]
2
3 7f x x x= + ∈¤
( )
2
0 3 0 3f x x x i= ⇔ + = ⇔ = ±
Vì
3x i= ±
là nghiệm phức nên không thuộc vào
( )
7¤
.
Vậy đa thức
( )
2
3f x x= +
bkq trên
( )
7¤
b/
2
1x +

trên
( )
2−¤
( ) ( )
2 2i− =¤ ¤
ta có
( ) { }
2 2 / ,i a bi a b= + ∈¤ ¤
đặt
( )
( )
[ ]
2
1 2f x x i x= + ∈¤
( )
2
0 1 0f x x x i= ⇔ + = ⇔ = ±
G/s
( )
2i i∈¤
2 2
2 2
2
1 2 2 2
2 1
2
2
i a bi
a b abi
a b

i
ab
⇒ = +
⇒ − = − +
− + −
⇒ = ∈¤
2i⇒ ∈¤
(vô lý)
⇒ f(x) vô nghiện trên
( )
2i¤
Vậy đa thức
( )
f x
bkq trên
( )
2i¤

c/
3
8 2x x+ −
trên
( )
2¤
ta có
( ) { }
2 2 / ,a b a b= + ∈¤ ¤
đặt
( )
( )

[ ]
3
8 2 2f x x x x= + − ∈¤
Giả sử f(x) có nghiệm
( )
2
α
∈¤
2a b
α
= +
Vì
α
là nghiệm f(x) nên:
( )
0f
α
=
( ) ( )
( )
3
3 2 2 3
2 3 3 2
2 8 2 2 0
3 2 6 2 2 8 8 2 2 0
3 2 8 2 6 8 2 0 0 2
a b a b
a a b ab b a b
a b b b a ab a
⇔ + + + − =

⇔ + + + + + − =
⇔ + + + + + − = +
( )
2 2
2 3
3 2
3 2
3
3 2 8 0
3 2 8 0
6 8 2 0
6 8 2 0
0
8 2 0 VN trê
a b b
a b b b
a ab a
a ab a
b
a a n

+ + =

+ + =
 
⇔ ⇔
 
+ + − =

+ + − =




=

⇔

+ − =

¤
⇒

không tồn tại
( )
2
α
∈¤
⇒ f(x) vô nghiện trên
( )
2¤
Vậy đa thức
( )
f x
bkq trên
( )
2¤

Bài 8: Tìm mở rộng đơn
( )
α

¤
sinh ra bởi một nghiệm của pt
3 2
6 9 3 0x x x− + + =
. Hãy biểu
thị mỗi phần tử sau
4 5 5 4
1
; ;3 2;
1
α α α α
α
− +
+
qua các phần tử
2
1, ,
α α
Giải
+ Đạt
( )
[ ]
3 2
6 9 3f x x x x x= − + + ∈¤
Và
( )
0f
α
=
Mà f(x) bất khả qui trên

¤
(theo tiêu chuẩn Aidentainơ)
⇒ f(x) là đa thức xác định trên
¤
( )
{ }
2
/ , ,a b c a b c
α α α
⇒ = + + ∈¤ ¤
+ Biểu thị
•
4
α
qua các phần tử
2
1, ,
α α
Ta có
α
là nghiệm phương trình nên
3 2
6 9 3 0
α α α
− + + =
3 2
6 9 3
α α α
⇒ = − −
4 3 2

6 9 3
α α α α
⇒ = − −
(nhân
α
vào hai vế)
( )
4 2 2
6 6 9 3 9 3
α α α α α
⇒ = − − − −
(thay
3
α
)
4 2
27 57 18
α α α
⇒ = − −
•
5
α
qua các phần tử
2
1, ,
α α
Ta có
α
là nghiệm phương trình nên
3 2

6 9 3 0
α α α
− + + =
3 2
6 9 3
α α α
⇒ = − −
4 3 2
6 9 3
α α α α
⇒ = − −
(nhân
α
vào hai vế)
5 4 3 2
6 9 3
α α α α
⇒ = − −
(nhân
α
vào hai vế)
( )
( )
5 3 2 3 2
3 2
2 2
2
6 6 9 3 9 3
27 57 18
27 6 9 3 57 18

105 261 81
α α α α α α
α α α
α α α α
α α
⇒ = − − − −
= − −
= − − − −
= − −
5 2
105 261 81
α α α
⇒ = − −
Các câu còn lại làm tương tự đối với
Bài 17: Các mở rộng của trường K đối với trường F dưới đây mở rộng nào là mở rộng
chuẩn tắc?
a/
( )
5−¤
có chuẩn tắc trên
¤
hay không?
b/
( )
5
7¤
có chuẩn tắc trên
¤
hay không?
Giải

a/
( )
5−¤
có chuẩn tắc trên
¤
hay không?
Ta có
( ) ( )
5 5i− =¤ ¤
( )
( )
2
5 : deg 5 2i x
 
⇒ = + =
 
¤ ¤
( )
5i⇒ ¤
mở rộng hữu hạn trên
¤
Xét
( )
[ ]
2
5f x x x= + ∈¤
bkq trên
¤
(vì f(x) vô nghiệm trên
¤

)
f(x) = 0
5x i⇔ = ±
⇒
Trường phân rã của f(x) trên
¤
là:
( ) ( )
5 5i i± =¤ ¤
( )
5i⇒ ¤
mở rộng chuẩn tắc trên
¤
b/
( )
5
7¤
có chuẩn tắc trên
¤
hay không?
Ta có
( )
( )
7
7
5 : deg 5 7x
 
= − =
 
¤ ¤

( )
7
5⇒ ¤
mở rộng hữu hạn trên
¤

( )
7
5⇒ ¤
mở rộng đại số trên
¤
Xét
( )
[ ]
7
5f x x x= − ∈¤
bkq trên
¤
(Áp dụng tiêu chuẩn Aidentainơ)
f(x) = 0, f(x) có 7 nghiệm là:
2 3 4 5 6
7 7 7 7 7 7 7
5, 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5
ξ ξ ξ ξ ξ ξ
Với
2 2
os sin
7 7
c i
π π

ξ
= +
⇒
Trường phân rã của f(x) trên
¤
là:
( )
7
5
ξ
¤
ta có:
( )
7 7
5 5∈¤
nhưng
( ) ( )
7 7
5 5
ξ
∉¤ ¤
( )
7
5⇒ ¤
không mở rộng chuẩn tắc trên
¤
Bài 19: Tìm bậc của trường phân rã các đa thức sau trên
¤
a/
3 2

2x x x− − −
đặt f(x) =
( )
( )
3 2 2
2 2 1x x x x x x− − − = − + +
f(x) có 3 nghiệm x=2;
1 3
2 2
x i= − ±
⇒ Trường phân rã của đa thức f(x) trên
¤
là:
( )
1 3
2; 3
2 2
i i
 
− ± =
 ÷
 ÷
 
¤ ¤

Tính
( )
3 :i
 
 

¤ ¤
Đa thức xác định của
3i
trên
¤
là:
2
3x +

[ ]
x∈¤
( )
3 :i
 
 
¤ ¤
= deg (
2
3x +
) = 2
b/
3
5x −
đặt f(x) =
3
5x −
f(x) có 3 nghiệm là:
3
2 2
5 os isin ; 0,2

3 3
k k
c k
π π
 
+ =
 ÷
 
k = 0
⇒
3
0
5x =
k = 1
⇒
3
1
5x
ξ
=
k = 2
⇒
2
3
2
5x
ξ
=
với
1 3

2 2
i
ξ
= − +
⇒ Trường phân rã của đa thức f(x) trên
¤
là:
( ) ( )
3 3 3
5; 5 5;
ξ ξ
=¤ ¤
Tính
( )
3
5; :
ξ
 
 
¤ ¤
Xét
( ) ( )
3 3
5 5;
ξ
⊂ ⊂¤ ¤ ¤
+
( )
3
5 :

 
 
¤ ¤
Đa thức xác định của
3
5
trên
¤
là:
3
5x −

[ ]
x∈¤
( )
3
5 :
 
 
¤ ¤
= deg (
3
5x −
) = 3
+
( ) ( )
3 3
5, : 5
ξ
 

 
¤ ¤
Đa thức xác định của
ξ
trên
( )
3
5¤
là:
2
1x x+ +

[ ]
x∈¤
( ) ( )
3 3
5, : 5
ξ
 
 
¤ ¤
= deg (
2
1x x+ +
) = 2
⇒
( )
3
5; :
ξ

 
 
¤ ¤
=
( )
3
5 :
 
 
¤ ¤
.
( ) ( )
3 3
5, : 5
ξ
 
 
¤ ¤
= 3 . 2 = 6
c/
4
3x −
đặt f(x) =
4
3x −
f(x) có 4 nghiệm là:
4
2 2
3 os isin ; 0,3
4 4

k k
c k
π π
 
+ =
 ÷
 
k = 0
⇒
4
0
3x =
k = 1
⇒
4
1
3x i=
k = 2
⇒
4
2
3x = −
k = 3
⇒
4
2
3x i= −
⇒ Trường phân rã của đa thức f(x) trên
¤
là:

( ) ( )
4 4 4 4 4
3; 3; 3; 3 3,i i i− − =¤ ¤
Tính
( )
4
3; :i
 
 
¤ ¤
Xét
( ) ( )
4 4
3 3;i⊂ ⊂¤ ¤ ¤
+
( )
4
3 :
 
 
¤ ¤
Đa thức xác định của
4
3
trên
¤
là:
4
3x −

[ ]
x∈¤
( )
4
3 :
 
 
¤ ¤
= deg (
4
3x −
) = 4
+
( ) ( )
4 4
3, : 3i
 
 
¤ ¤
Đa thức xác định của i trên
( )
4
3¤
là:
2
1x +

[ ]
x∈¤
( ) ( )

4 4
3, : 3i
 
 
¤ ¤
= deg (
2
1x +
) = 2
⇒
( )
4
3; :i
 
 
¤ ¤
=
( )
4
3 :
 
 
¤ ¤
.
( ) ( )
4 4
3, : 3i
 
 
¤ ¤

= 4 . 2 = 8
d/
( ) ( )
2 2
6 7x x− −
đặt f(x) =
( ) ( )
2 2
6 7x x− −
f(x) có 4 nghiệm là:
6; 7± ±
⇒ Trường phân rã của đa thức f(x) trên
¤
là:
( ) ( )
6, 6, 7, 7 6, 7− − =¤ ¤
Tính
( )
6, 7 :
 
 
¤ ¤
Xét
( ) ( )
6 6; 7⊂ ⊂¤ ¤ ¤
+
( )
6 :
 
 

¤ ¤
Đa thức xác định của
6
trên
¤
là:
2
6x −

[ ]
x∈¤
( )
6 :
 
 
¤ ¤
= deg (
2
6x −
) = 2
+
( ) ( )
6, 7 : 6
 
 
¤ ¤
Đa thức xác định của
7
trên
( )

6¤
là:
2
7x −

[ ]
x∈¤
( ) ( )
6, 7 : 6
 
 
¤ ¤
= deg (
2
7x −
) = 2
⇒
( )
6, 7 :
 
 
¤ ¤
=
( )
6 :
 
 
¤ ¤
.
( ) ( )

6, 7 : 6
 
 
¤ ¤
= 2 . 2 = 4
e/
4 2
5 6x x+ +
đặt f(x) =
4 2
5 6x x+ +
=
( ) ( )
2 2
2 3x x+ +
f(x) có 4 nghiệm là:
2; 3i i± ±
⇒ Trường phân rã của đa thức f(x) trên
¤
là:
( ) ( )
2, 2, 3, 3 2, 3i i i i i i− − =¤ ¤
Tính
( )
2, 3 :i i
 
 
¤ ¤
Xét
( ) ( )

2 2; 3i i i⊂ ⊂¤ ¤ ¤
+
( )
2 :i
 
 
¤ ¤
Đa thức xác định của
2i
trên
¤
là:
2
2x +

[ ]
x∈¤
( )
2 :i
 
 
¤ ¤
= deg (
2
2x +
) = 2
+
( ) ( )
2, 3 : 2i i i
 

 
¤ ¤
Đa thức xác định của
3i
trên
( )
2i¤
là:
2
3x +

[ ]
x∈¤
( ) ( )
2, 3 : 2i i i
 
 
¤ ¤
= deg (
2
3x +
) = 2
⇒
( )
2, 3 :i i
 
 
¤ ¤
=
( )

2 :i
 
 
¤ ¤
.
( ) ( )
2, 3 : 2i i i
 
 
¤ ¤
= 2 . 2 = 4
f/
6
8x −
đặt f(x) =
6
8x −

f(x) có 6 nghiệm là:
6
2 2
8 os isin ; 0,5
6 6
k k
c k
π π
 
+ =
 ÷
 

k = 0
⇒
6
0
8 2x = =
k = 1
⇒
1
2x
ξ
=
k = 2
⇒
2
2
2x
ξ
=
k = 3
⇒
3
3
2x
ξ
=
k = 4
⇒
4
2
2x

ξ
=
k = 5
⇒
5
5
2x
ξ
=
với
1 3
2 2
i
ξ
= +
⇒ Trường phân rã của đa thức f(x) trên
¤
là:
( ) ( )
2 3 4 5
2, 2 , 2 , 2 , 2 , 2 2,
ξ ξ ξ ξ ξ ξ
=¤ ¤
Tính
( )
2, :
ξ
 
 
¤ ¤

Xét
( ) ( )
2 2,
ξ
⊂ ⊂¤ ¤ ¤
+
( )
2 :
 
 
¤ ¤
Đa thức xác định của
2
trên
¤
là:
2
2x −

[ ]
x∈¤
( )
2 :
 
 
¤ ¤
= deg (
2
2x −
) = 2

+
( ) ( )
2, : 2
ξ
 
 
¤ ¤
Đa thức xác định của
ξ
trên
( )
2i¤
là:
2
1x x− +

[ ]
x∈¤
( ) ( )
2, : 2
ξ
 
 
¤ ¤
= deg (
2
1x x− +
) = 2
⇒
( )

2, :
ξ
 
 
¤ ¤
=
( ) ( )
2, : 2
ξ
 
 
¤ ¤
.
( )
2 :
 
 
¤ ¤
= 2 . 2 = 4
Bài 21: Với p là số nguyên tố
a/ Xác định đa thức chia đường tròn bậc
( )
p
F x
trên
¤
b/ Chứng minh
( )
( )
1r

r
p
p
p
F x F x
−
=

giải
a/
( )
( )
|
1
p
d
d
p
d p
F x x
µ
 
 ÷
 
= −
∏
vì p là số nguyên tố nên các ước của p là: 1, p
( ) ( )
( )
( )

( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1
1
1
1
1 2
1 2
1 . 1
= 1 . 1
= 1 . 1 1
= 1
p
p
p
p
p p
p p
F x x x
x x
x x x x x
x x x
µ
µ
−
−

− −
− −
⇒ = − −
− −
− − + + + +
+ + + +
b/ Chứng minh
( )
( )
1r
r
p
p
p
F x F x
−
=

từ câu (a) ta có
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 2
1
r r r r
p p
p p p p
p
F x x x x
− − − −
− −

⇒ = + + + +
(1)
Ta có:
( )
( )
|
1
r
r
r
p
d
d
p
d p
F x x
µ
 
 ÷
 ÷
 
= −
∏
Vì p là số nguyên tố nên
r
p
có các ước:
2 1
1, , , , ,
r r

p p p p
−
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1
1
1
2
1
1
1 . 1 1
1
1.1 1 1
r
r
r
r
r
r r
p
p
p
p

p
p
p p
F x x x x
x
x x
µ
µ
µ
µ
−
−
−
−
⇒ = − − −
−
= − −
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1 1 1 1
1
1 1 2 1
1 1
1 1 . 1
r r
r r r r r
p
p p
p p

p p p p p
x x
x x x x x
− −
− − − − −
−
− − −
 
= − −
 
 
 
= − − + + + +
 
 
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 2 1
1
r r r
p p
p p p
x x x
− − −
− −
= + + + +
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
( )
( )

1r
r
p
p
p
F x F x
−
=
Bài 22: Cho
( )
[ ]
4
3f x x x= − ∈¤
a/ Xđ trường phân rã F của đa thức f(x) trên
¤
b/ Chứng minh F là một mở rộng Galois trên
¤
c/ Tính bậc mở rộng của F trên
¤
. Tìm một cơ sở của F trên
¤
, mô tả các phần tử của
trường F
d/ Xác định nhóm Galois của F trên
¤
. Nhóm các hoán vị đẳng cấu với nhóm Galois đó
giải
a/
( )
[ ]

4
3f x x x= − ∈¤
( )
4 4
0 3 0 3f x x x= ⇒ − = ⇒ =
F(x) có 4 nghiệm là:
4
2 2
3 os isin ; 0,3
4 4
k k
c k
π π
 
+ =
 ÷
 
k = 0
⇒
4
0
3x =
k = 1
⇒
4
1
3x i=
k = 2
⇒
4

2
3x = −
k = 3
⇒
3
2x i= −
⇒ Trường phân rã của đa thức f(x) trên
¤
là:
( ) ( ) ( )
4 4 4 4 4 4 4
3, 3, 3, 3 3, 3 3,i i i
− − = =
¤ ¤ ¤
b/ Vì F =
( )
4
3,i¤
là trường phân rã của đa thức
( )
[ ]
4
3f x x x= − ∈¤
vì
( )
4
3f x x= −
tách được trên
¤
( ) ( )

5 1
dl
⇒
→
F là mở rộng Galois trên
¤
c/
[ ]
( ) ( )
4 4
: : 3 3 :F F
   
=
   
¤ ¤ ¤ ¤
+
( )
4
: 3F
 
 
¤
=
( ) ( )
4 4
3, : 3i
 
 
¤ ¤
Đa thức xác định của i trên

( )
4
3¤
là:
( )
[ ]
2
4
1 3x x+ ∈¤
( )
4
: 3F
 
⇒
 
¤
= deg (
2
1x +
) = 2
+
( )
4
3 :
 
 
¤ ¤

Đa thức xác định của
4

3
trên
¤
là:
[ ]
4
3x x− ∈¤
( )
4
3 :
 
⇒
 
¤ ¤
= deg (
4
3x −
) = 4
Vậy
[ ]
( ) ( )
4 4
: : 3 3 :F F
   
=
   
¤ ¤ ¤ ¤
= 2. 4 = 8
* Tìm cơ sở của F trên
¤

Một cơ sở của F trên
( )
4
3¤
là
{ }
1,i
Một cơ sở của
( )
4
3¤
trên
¤
là
{ }
4 4 4
1, 3, 9, 27
⇒
Một cơ sở của F trên
¤
là:
{ }
4 4 4 4 4 4
1, 3, 9, 27, , 3, 9, 27i i i i
* Mô tả phần tử F trên
¤
( )
5
4 4 4 4
0 1 2 3 4

4
4 4
6 7
3 9 27 3
3,
9 27
a a a a a i a i
F i
a i a i
 
+ + + + +
 
= ==
 
+ +
 
 
¤
d/ Vì F Galois trên
¤

( )
( )
4
4
(1) (2)
3,
3, : 8
dly
i

G i
⇒
 
 
 ÷
→ = =
 
 ÷
 
¤
¤ ¤
¤
Xét
( ) ( )
4 4
3 3,i⊂ ⊂¤ ¤ ¤
( )
( )
{ }
4
4
3,
: , :
3
F
i
G id i i i i
σ
 
 ÷

⇒ = → → −
 ÷
 
¤
¤
Xét
( )
( )
4
3,i i⊂ ⊂¤ ¤ ¤
( )
( )
{ }
4
4 4 4 4
3,
: 3 3, : 3 3
F
i
G id
i
τ
 
 ÷
⇒ = → → −
 ÷
 
¤
¤
Mà

( )
( )
4
4
3,
3
i
G
 
 ÷
 ÷
 
¤
¤
và
( )
( )
4
3,i
G
i
 
 ÷
 ÷
 
¤
¤
là các nhóm con của nhóm
( )
4

3,i
G
 
 ÷
 ÷
 
¤
¤
( )
4 4 4 4
4 4 4 4
4 4 4 4
4 4 4 4
3 3 3 3
2
4
3 3 3 3
3
3 3 3 3
2 3
3 3 3 3
: , : ,
: , : ,
3,
: , :
: , :
i i i i
F
i i i i
i

i i i i
i i
i i i i
i
id
i
G
σ
τ τ
τ στ
στ στ
→ →−
→ →
→ →
→ →−
→ →−
→− →−
→− →−
→− →
 
 
 
 
 
 ÷
⇒ =
 
 ÷
 
 

 
 
 
¤
¤
id
F
σ
τ
2
τ
3
τ
σ
τ
σ
2
τ
σ
3
τ
1
4
3
θ
=
1
θ
1
θ

2
θ
3
θ
4
θ
4
θ
3
θ
2
θ
2
4
3i
θ
=
2
θ
4
θ
3
θ
4
θ
1
θ
3
θ
2

θ
1
θ
3
4
3
θ
=
−
3
θ
3
θ
4
θ
1
θ
2
θ
2
θ
1
θ
4
θ
4
4
3i
θ
=

−
4
θ
2
θ
1
θ
2
θ
3
θ
1
θ
4
θ
3
θ
Các phépthế
( )
1234
1234
( )
1234
1432
( )
1234
2341
( )
1234
3412

( )
1234
4123
( )
1234
4321
( )
1234
3214
( )
1234
2143
=(1) =(24) =1234 =(13)(24) =1423 =(14)(23) =(13) =(12)(34)
Vậy
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
4
3,
1 , 13 , 24 , 12 34 , 13 24 , 14 23 , 1234 , 1423
i
G
 
 ÷
⇒ ≅
 ÷
 
¤
¤