Các bài toán về tọa độ phẳng

DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi - Hưng Yên
1



MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ PHẲNG


I.Toán về đường thẳng:

1/ Viết pt các cạnh của tg ABC biết trung điểm của các cạnh có tọa độ là: M(2;1),N(5;3),
P(3;-4).
2/ Viết pt trung trực của các cạnh tg ABC biết trung điểm của các cạnh có tọa độ là:
M(-1;-1),N(1;9),P(9;1).
3/ Lập pt các cạnh của tg ABC nếu biết B(-4;-5) và hai đường cao có pt là: 5x+3y-4=0; 3x+8y+13=0.
( 8x-3y+17=0; 3x-5y-13=0; 5x+2y-1=0 )
4/ Tg ABC có pt cạnh AB là 5x-3y+2=0, các đường cao qua đỉnh A,B lần lượt có pt là
4x-3y+1=0 và 7x+2y-22=0.Lập pt hai cạnh AB,AC và đường cao thứ ba của tg ( 2x-7y-5=0; 3x+4y-
22=0; 3x+5y-23=0 ).
5/ Lập pt các cạnh của tg ABC biết đỉnh C(4;-1), đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có
pt tương ứng là:
2x-3y+12=0 và 2x+3y=0 ( 9x+11y+5=0; 3x+2y-10=0; 3x+7y-5=0 ).
6/ Viết pt các cạnh của tg ABC biết đỉnh A(1;3) và hai trung tuyến có pt là x-2y+1=0 và
y-1=0.( x+2y-7=0; x-4y-1=0; x-y+2=0 )
7/ pt hai cạnh của một tg trong mptđ Oxy là: 5x-2y+6=0; 4x+7y-21=0. Viết pt cạnh thứ ba của tg đó
biết rằng trựctâm của tam giác trùng với gốc tọa độ ( y=7 ).
8/ Cho tg ABC biết đỉnh A(2;-1) và hai phân giác trong của góc B,C có pt: x-2y+1=0; x+y+3=0. Lập
pt cạnh BC.( 4x-y+3=0 )
9/ Cho hai đường thẳng
22
12

( ): 0;( ):(1 ) 2 1 0d kx y k d k x ky k       
. Với mỗi gt của k hãy tìm
gđ của hai đường thẳng. Tìm quĩ tích của gđ khi k thay đổi.
2
22
22
12
;1
11
kk
x y x y
kk


    



.
10/ Viết pt đt đi qua gđ của hai đt
12
( ):2 1 0&( ): 2 3 0d x y d x y     
đồng thời chắn trên hai
trục tọa độ những đoạn thẳng bằng nhau ( 3x-3y-2=0; x+y+4=0 ).
11/ Viết pt đt đi qua điểm M(5;1) và tạo một góc
0
45
với đt 2x+y-4=0 ( 3x-y-14=0; x+3y-8=0 ).
12/ Lập pt đt đi qua điểm P( 2;-1 ) sao cho đt đó cùng với hai đt
12

( ):2 5 0&( ):3 6 1 0d x y d x y     
tạo thành một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đt (
3x+y-5=0; x-3y-5=0 ).
13/ Viết pt các cạnh của tg ABC biết đỉnh B(2;-1); đường cao và phân giác trong qua đỉnh A,C là:
12
( ):3 4 27 0&( ): 2 5 0d x y d x y     
( BC: 4x+3y-5=0; C(-1;3); AC: y-3=0; A(-5;3);
AB: 4x+7y-1=0 ).
14/ Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD bi
12
, ( ): 3 0; ( ):3 4 0;A C d x B d x y      

3
( ): 6 0D d x y   
( B(2;2), D(4;2), A(3;3),C(3;1) ).
DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi - Hưng Yên
2

15/ Viết pt các cạnh của hình vuông MNPQ biết các cạnh lần lượt đi qua 4 đỉnh A(1;2),
B(-2;1), C(-3;-2), D(3;-1).
( Gọi pt các cạnh MN, PQ, NP, MQ là a(x-1)+b(y-2)=0; a(x+3)+b(y+2)=0; b(x+2)-a(y-1)=0; b(x-
3)-a(y+1)=0.
Từ d(MN;PQ)=d(NP;MQ) suy ra (a;b)=(3;-2) hoặc (1;2) )
16/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD biết: A( - 1; 3), C( 6; 2)
( ( 2; - 1) và ( 3; 6) )
17/ Cho hình vuông có một đỉnh là A( - 4; 5) và một đường chéo có pt là 7x – y + 8 = 0. Tìm tọa độ
các đỉnh còn lại.( ( 3; 4), ( 0; 8), ( - 1; 1) )
18/ Cho đt (d): x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A( 0; 1), B( 3; 4). Tìm điểm M thuộc (d) sao cho
22
2MA MB

có GTNN.
19/ Trong MPTĐ Oxy cho HCN ABCD có pt AB: x – 2y -1 = 0, pt BD: x – 7y + 14 = 0 và đc AC đi
qua điểm M(2;1). Tìm tọa độ các đỉnh HCN. ( Gọi
( ; ). ( ; ) ( ; ) (1; 1)
AC AC BD AC AC AC
n a b cos n n cos n n n     
     

AC: x – y – 1 = 0
(1;0), (7;3), :2 17 0 (6;5) (3,5;2,5) (0;2)A B BC x y C I D      
)
20/ Trong MPTĐ Oxy cho
ABC
có pt AB: y = 2x, pt AC: y = - 0,25x + 2,25. Trọng tâm
G(8/3;7/3).Tính dt
ABC
(
(1;2), (2;4), (5;1) 4,5
ABC
A B C S


)
21/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 điểm A( 1;0 ), B( 3; - 1) và đt (d): x – 2y – 1 = 0. Tìm điểm
()Cd
: dt
ABC
= 6.( ( - 5; - 3), ( 7; 3) )
22/ Trong MPTĐ Oxy cho
ABC

có
( ): 4 2 0, //( )A d x y BC d   
, pt đường cao BH là x + y + 3 =
0 và trung điểm của cạnh AC là M( 1; 1). Tìm tọa độ các đỉnh của
ABC
.
( pt AC:
1.( 1) 1.( 1) 0 0x y x y       

( 2/3; 2/3) (8/3;8/3) :1.( 8/3) 4.( 8/3) 0 4 8 0 ( 4;1)A C BC x y x y B             
)
23/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 điểm A( 2; -1 ), B( 1; - 2) và trọng tâm G của
ABC
nằm trên đt x + y –
2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C biết dt
ABC
= 1,5. ( ( 6; 0) và ( 3; 3) )
24/ / Trong MPTĐ Oxy cho
ABC
vuông tại C. Biết A( - 2; 0), B( 2; 0) và k/c từ trọng tâm G của
ABC
đến Ox
bằng 1/3. Tìm tọa độ đỉnh C. ( C(
3; 1
) )
25/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 đt (d): x + y + 1 = 0, (d’): 2x – y – 1 = 0. Lập pt đt đi qua điểm M( 1; 1)
và cắt (d), (d’) tại A,B sao cho:
20MA MB
  
.

(
( ; 1), ( ;2 1) 2 3 2 2 6 0 0, 3A a a B b b a b b a a b             

A( 0; -1), B( 3; 5), AB: 2x – y – 1 = 0 )
26/ Trong MPTĐ Oxy cho
ABC
có A( 1; 5), B( - 4; - 5), C( 4; - 1). Tìm tọa độ tâm đường tròn nội
tiếp
ABC
.( Gọi M(x;y) và N(x’;y’) là các điểm nằm trên các đường phân giác trong của góc
ˆ
ˆ
&AB
. Khi đó ta có:
5( 1) 10( 5) 3( 1) 6( 5)
( , ) ( , ) 1
.5 5 .3 5
x y x y
cos AB AM cos AC AM x
AM AM
      
    
   

5( ' 4) 10( ' 5) 8( ' 4) 4( ' 5)
( , ) ( , ) ' ' 1 0 ( 1;0)
.5 5 .4 5
x y x y
cos BA BN cos BC BN x y I
BN BN

     
        
   
)
27/ Trong hệ Oxy cho hbh ABCD có C(-4;-5), đcao (AH): x + 2y – 2 = 0, đ chéo (BD): 8x – y -3 = 0.
Tìm tđộ A,B,D. ( (CD): 2x – y + 3 = 0 suy ra D(1;5)
DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi - Hưng Yên
3








=

2  2  ;  + 3  8

= 






=

5; 10


 

4; 1

; (1; 11)
28/ Trong hệ Oxy cho hbh ABCD có B(1;5) ), đcao (AH): x + 2y – 2 = 0, phân giác góc 

là
x – y – 1 = 0. Tìm tọa độ A, C, D. ( (AB): 2x – y + 3 = 0 suy ra A(-4; -5)
 

= 




=

6; 0

   

:   2 + 14 = 0  

16; 15

 

11; 5


)


II.Toán về các đường cong:


27/ Cho đtr (C ):
22
1xy
và đt (d): x + y – 1 = 0. Lập pt đtr (C’ ) qua gđ của (C ) và (d) TMĐK:
a/ (C’ ) đi qua điểm A( 2; 1) ; b/ (C’ ) có tâm thuộc đt (d’): 2x – y – 2 = 0 ;
c/ (C’ ) tiếp xúc với đt (D): 2x + y – 3 = 0 ; d/ (C’ ) cắt (D’): x + y – 4 = 0 tại hai điểm A,B sao cho
AB = 2.
28/ Cho hai đtr (C ):
2 2 2 2
1 0&( '): 4 0x y C x y x     
. a/ Chứng minh (C ) và (C’ ) cắt nhau.
b/ Viết pt đtr qua gđ của (C ), (C’) và qua điểm M( 3; 0). c/ Viết pt đtr qua gđ của (C ), (C’) và t/x với
đt: x+y – 2 = 0.
29/ Cho đtr (C ):
22
2 8 8 0x y x y    
. Viết pttt của (C ) biết tiếp tuyến: a/ đi qua điểm
M( 4; 0).
b/ đi qua điểm A( - 4; - 6) . c/ // (d): x – y = 0 . d/
( '):3 4 0d x y  
.e/ Tạo với (d”) một góc
0
45

.
30/ Viết pttt chung của hai đtr
2 2 2 2
( ): 4 3 0&( '): 8 12 0C x y x C x y x       
.
31/ Cho đtr
22
( ): 2 4 4 0C x y x y    
và điểm A( 3; 5). Gọi M,N là hai tiếp điểm của 2 tt với (C )
được kẻ từ A. Tính độ dài MN. ( MN = 4,8 )
32/ Cho đtr
22
( ): 2 6 6 0C x y x y    
và điểm M( 2; 4). Viết pt đt đi qua M và cắt đtr (C ) tại hai
điểm A,B sao cho M là trung điểm của AB.
33/ Viết pt đtr đi qua 2 điểm A( 3; 1), B( - 1; 3) và có tâm thuộc đt: 3x – y – 2 = 0.
34/ Viết pt đtr có tâm nằm trên đt: x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với 2 đt (d): 3x + 4y + 5 = 0 và (d’): 4x
– 3y – 5 = 0.
35/ Viết ptđtr t/x với 3 đt:
3 4 35 0;3 4 35 0& 1 0x y x y x       
.
( Tâm của 3 đtr này là:( 17/2;0 ), ( 9; 0), ( 35/3; 19/6), ( 35/3; 8/3) )
36/ Viết ptđtr tiếp xúc với 2 đt: 7x – y – 5 = 0 ; x + y + 13 = 0 và với một trong hai đt ấy tại điểm M(
1; 2).
(
2 2 2 2
( 29) ( 2) 800&( 6) ( 3) 50x y x y       
)
37/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 đt (d): x - 2y + 3 = 0, (d’): 4x + 3y – 5 = 0. Lập ptđtr (C ) có tâm I trên
(d), tiếp xúc với (d’) và có bk R = 2. ( I có tọa độ ( 21/11; 27/11) và ( - 17/11; 7/11) )

38/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 điểm
(1;2), (1;6)AB
và đtr (C ):
22
( 2) ( 1) 2xy   
. Lập pt đtr (C’ ) qua
B và t/x với (C ) tại A ( I( 2; 1).Đt IA có ptts:
1 ; 2 '(1 ;2 )x t y t I t t      
.Do I’A = I’B nên t
=2
'( 1;4), ' 8IR  
)
39/Tìm tọa độ điểm M trên đt x – y + 1 = 0 sao cho qua M kẻ được 2 tiếp tuyến t/x với đtr (C ):
22
2 4 0x y x y   
tại 2 điểm A, B mà
0
60AMB 

(
2 2 2
( ; 1), ( 1;2), 5 2( 1) 4 20 3 (3;4), '( 3; 2)M x x I R IM x R x M M             
)
DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi - Hưng Yên
4

40/Trong MPTĐ Oxy cho đtr (C ):
22
12 4 36 0x y x y    
.Viết ptđtr tiếp xúc với 2 trục tđ và t/x

ngoài với (C )

( (C ) có tâm I( 6; 2), bk R = 2. Gọi (C’ ) là đtr có tâm I’(R’;R’) tiếp xúc với Ox, Oy và t/x ngoài
với (C )
2 2 2 2
' ( ' 6) ( ' 2) ( ' 2) ' 2;18II R R R R        
)
41/ Trong MPTĐ Oxy cho Parabol
2
( ): 64P y x
và đt
( ):4 3 46 0xy   
. Viết pt đtr có tâm
thuộc
()
, t/x với ( P ) và có bk nhỏ nhất.
( Gọi
22
0 0 0
( /64; ) ( ) ( ; ) ( 24) 160 /80 2M y y P d M y      
. Gọi M( 9; 24)
Ptđt qua M và
( ):3 4 123 0 (33/5;129/5)x y I     
. Vậy ptđtr là:
22
( 33/5) ( 129/5) 4xy   
)
42/ Trong MPTĐ Oxy cho đtr (C ):
22
6 91 0x y x   

và điểm A( 3; 0). Đường tròn (C’ ) thay đổi
nhưng luôn đi qua A và tiếp xúc với (C ). Tìm tập hợp tâm của đtr (C’ ).
( Gọi I( - 3; 0), M( x; y) là tâm của (C’). MI + MA =10
2 2 2 2 2 2 2
12 5 3 /5 (5 3 /5) ( 3) 16 25 400MI MA x MI x x x y x y            
)
43/ Lập pt Elip biết : a/ Hai tiêu điểm
12
( 1;0)& (5;0)FF
và tâm sai e = 3/5; b/ Tâm I( 1; 1); tiêu điểm
1
(1;3)F
và độ dài trục nhỏ bằng 6.
( a/
2 2 2 2
( 2) /25 /16 1; /( 1) /9 ( 1) /13 1x y b x y      
)
44/ Lập pt Elip biết hai tiêu điểm
12
( 1; 1)& (3;3)FF
và độ dài trục lớn bằng 12.
(
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
12; ( 1) ( 1) , ( 3) ( 3) 8 8 16MF MF MF x y MF x y MF MF x y               

22
1 2 1
(2 2 4)/3 ( 16)/3 8 8 2 14 14 238 0MF MF x y MF x y x y xy x y              
)

45/ Cho Elip
22
( ):4 9 36E x y
và điểm M( 1; 1). Lập ptđt qua M và cắt Elip trên tại hai điểm A, B
sao cho M là trung điểm của AB. ( đt qua M có pt:
22
1 4 9( 1) 36y kx k x kx k       
. Nghiệm
của pt này là các hoành độ của A và B. Ta có
2 4/9
A B M
MA MB x x x k       
ptđt là: 4x
+ 9y – 13 = 0 )

//