Bai tap Chuẩn kiến thức Toán 12

Chương I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

1/ Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b). Ta có:
a) Điều kiện đủ:
- f’(x) > 0 trên khoảng (a ; b)
⇒
f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b).
- f’(x) < 0 trên khoảng (a ; b)
⇒
f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b).
b) Điều kiện cần.
- f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b)
⇒
f’(x)
0
≥
trên khoảng (a ; b).
- f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b)
0)(' ≤⇒ xf
trên khoảng (a ; b).
2/ Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Tìm TXĐ của hàm số.
- Tính y’, giải phương trình y’ = 0.
- Lập bảng xét dấu y’.
- Sử dụng điều kiện đủ của tính đơn điệu để kết luận.
• Chú ý: Trong điều kiện đủ, nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng
• Cần nhớ: f(x) = ax
2
+ bx + c

. Nếu
0<∆
thì f(x) luôn cùng dấu a.
. Nếu
0=∆
thì f(x) luôn cùng dấu a
a
b
x
2
−≠∀
. Nếu
0
>∆
thì f(x) có hai nghiệm x
1
, x
2
. Ta có bảng xét dấu sau:
x -
∞
x
1
x
2
+
∞
f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a
• Đặc biệt: +




≤∆
>
⇔∈∀≥
0
0
0)(
a
Rxxf
+



≤∆
<
⇔∈∀≤
0
0
0)(
a
Rxxf

+
0)(0)( =⇔< xfaf
α
có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2

và x
1
<
α
< x
2
.
3, Áp dụng tính đơn điệu trong bài toán phương trình, bất phương trình
H1 - Tìm ĐKXĐ. Chuyển về dạng f(x) = k.
- Xét hsố y = f(x) , C/m hsố đơn điệu /D . Tìm x
0
D∈

sao cho f(x
0
) = k
- NX : với x = x
0
thì f(x) = f(x
0
) = k nên pt có nghiệm x = x
0
x > x
0
thì f(x) > f(x
0
) = k nên pt vô nghiệm
x < x
0
thì f(x) < f(x

0
) = k nên pt vô nghiệm
- Vậy pt có nghiệm duy nhất x = x
0
H2 - Tìm ĐKXĐ. Chuyển về dạng f(x) = g(x)
- Xét hsố y = f(x) và y = g(x) C/m hsố f(x) ĐB /D , g(x) NB/D.
- Hsố y = f(x) tăng /D, y = g(x) giảm /D nên 2 đồ thị cắt nhau không quá 1 điểm suy ra pt có
không quá 1 nghiệm
- Tìm x
0
D∈

sao cho f(x
0
) = g(x
0
) nên pt có nghiệm duy nhất x = x
0
Bài toán giải BPT :
- Tìm ĐKXĐ. Chuyển về dạng f(x) > k.
- Xét hsố y = f(x) , C/m hsố đơn điệu /D ) giả sử ĐB. Tìm x
0
D∈

sao cho f(x
0
) = k
- NX : với x
≤
x

0
thì f(x)
≤
f(x
0
) = k nên BPT vô nghiệm
x > x
0
thì f(x) > f(x
0
) = k nên BPT có nghiệm x > x
0
BÀI TẬP
Chuẩn kiến thức Toán 12
I, Các bài tập thường gặp
1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số.
a) y = 4 + 3x – x
2
b) y = 2x
3
– 6x + 2 c) y = -
173
3
1
23
++− xxx
d) y = x
3
+ 3x + 1
e) y =

32
3
4
23
−+− xxx
f) y = x
4
– 2x
2
+ 3 g) y = -x
4
+ 2x
2
– 1 h) y = x
4
+ x
2

k) y =
x
x
−
+
1
13
l) y =
1
1
−
+

x
x
m) y =
1
1
2
−
+−
x
xx
n) y = x +
x
4
p) y =
2
4 x−
q) y =
20
2
−− xx
r) y = x +
2
1 x−
s) y = x +
1
2
−x
2. Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên R.
a) y = x
3

– 3mx
2
+ (m + 2)x – 1 ĐS :
1
3
2
≤≤− m
b) y = mx
3
– (2m – 1)x
2
+ 4m – 1 ĐS : m =
2
1
3, Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên TXĐ
a) y =
1)8()2(
3
2
3
+−+−+− xmxm
x
ĐS :
41 ≤≤− m
b) y =
3)23(
3
)1(
2
3

+−++
−
xmmx
xm
ĐS :
2
1
≤m
4. Tìm m để các hàm số :
a) y =
mx
mx
+
+1
đồng biến trên từng khoảng xác định của hàm số. ĐS : m < -1 hoặc m > 1
b) y =
mx
mmx
+
+− 102
nghịch biến trên từng khoảng xác định của hàm số. ĐS :
2
2
5
<<− m
5. Chứng minh rằng :
a) Hàm số y = sin
2
x + cosx đồng biến trên







3
;0
π
và nghịch biến trên






π
π
;
3
.
b) Hàm số y = tanx – x đồng biến trên nửa khoảng






2
;0
π

II, Áp dụng vào bài toán chứng minh BĐT, phương trình, bất phương trình
BT1 : Giải phương trình
a,
11414
2
=−+− xx
HD : Đk : x
2
1
≥
. Đặt f(x) = VT, có f’(x) >0 mọi x
2
1
≥
nên f(x) đb/TXD
y = 1 là hàm ko đổi nên pt có nghiệm duy nhất x = 1/2
b,
2
31 xxx −+=−
c,
321 =++− xx
d,
xxx −=++− 4312
2
e,
3
451 xxx −−=−
BT2 : Giải bất phương trình :
a,
34211 >+++ xx

HD : Đk : x
2−≥
. Đặt f(x) = VT, có f’(x) >0 mọi x
2−≥
nên f(x) đb/TXD
Lại có x > -2 nên f(x) > f(-2) = 3 do vậy Bpt có nghiệm x > -2
b,
xx −>+ 712
c,
5321 >+++ xx
d,
11
2
≥−+ xx
e,
xxx −≥−+ 933
Việc học như bơi ngược dòng , cách duy nhất là phải cố gắng !
2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Chuẩn kiến thức Toán 12
* Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định và liên tục trên (a ; b) và x
0
);( ba∈
a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x
0
)
);;(
00
hxhxx +−∈∀
và x
0

x≠
thì ta nói hàm số f(x) đạt cực
đại tại x
0
.
b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x
0
)
);(
00
hxhxx +−∈∀
và x
0
x≠
thì ta nói hàm số f(x) đạt cực
tiểu tại x
0
.
* Định lí 1: Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x
0
– h ; x
0
+ h) và có đạo hàm trên K hoặc trên
K \{x
0
}, với h > 0. Khi đó:
a) Nếu




+∈∀<
=∈∀>
);(,0)('
);(,0)('
00
00
hxxxxf
xhxxxf
thì x
0
là điểm cực đại của f(x).
b) Nếu



+∈∀>
−∈∀<
);(,,0)('
);(,0)('
00
00
hxxxxf
xhxxxf
thì x
0
là điểm cực tiểu của f(x).
* Định lí 2: Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong (x
0
– h ; x
0

+ h) với h > 0. Khi đó:
a) Nếu



>
=
0)("
0)('
xf
xf
thì x
0
là điểm cực tiểu của f(x).
b) Nếu



<
=
0)("
0)('
xf
xf
thì x
0
là điểm cực đại của f(x).
* Quy tắc tìm cực trị của y = f(x).
Quy tắc 1:
1. Tìm TXĐ

2. Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
3. Lập bảng biến thiên
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2.
1.Tìm TXĐ
2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu x
i
( i = 1, 2, 3…n) là các nghiệm của nó.
3. Tính f”(x) và f”(x
i
).
4, Dựa vào dấu của f”(x
i
) suy ra tính chất cực trị của x
i
.
BÀI TẬP
1. Tìm các điểm cực trị của các hàm số.
a) y = x
2
– 3x – 4 b) y = 2x
3
– 3x
2
+ 1 c) y =
xx 4
3
1
3
+−

d) y = x
3
– 3x
2
+3x
e) y =
14
2
1
24
−− xx
f) y =
24
4
1
xx +−
g) y = x
3
(1 – x)
2
h) y =
1
2
+
−
x
x
k) y =
2
2

−x
x
l) y = x +
x
1
m) y =
1
22
2
−
+−
x
xx
n ) y =
1
3
2
+
−
x
xx
p) y = sinx + cosx q) y = 2sinx + cos2x trên [ 0 ;
π
]
2. Tìm m để hàm số :
a) y = x
3
– 2mx
2
+ 1 có cực đại và cực tiểu. ĐS : m

0
≠
b) y =
1)13(2
3
23
−++− xmxx
m
có cực đại và cực tiểu ( có cực trị) ĐS :
0;1
3
4
≠<<− mm
c) y =
1
2
2
−
+−
x
mxx
có cực đại và cực tiểu. ĐS : m < 3
d) y = x
4
– mx
2
+ 2 có 3 cực trị. ĐS : m > 0
e) y = x
3
– 3mx

2
+ (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2 ĐS : m = 1
f) y = x
3
– mx
2
– mx – 5

đạt cực tiểu tại x = 1 ĐS : m = 1
g) y = x
3
+ (m + 1)x
2
+ (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2
h) y =
mx
mxx
+
++ 1
2
đạt cực đại tại x = 2 ĐS : m = -3
Chuẩn kiến thức Toán 12
k) y =
1
1
2
+
−+−
x
mmxx

đạt cực tiểu tại x = 1
3. Cho hàm số y =
1
2
2
−
+
x
xx
(1)
a) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
* Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.
- Số M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu :
MxfDxvàDxMxf =∈∃∈∀≤ )(:,)(
00
Kí hiệu : M =
)(max xf
D
.
- Số m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu :
mxfDxvàDxmxf =∈∃∈∀≥ )(:,)(
00
Kí hiệu : m =
)(min xf
D
* Định lí : y = f(x) liên tục trên [a ; b] thì tồn tại
)(min,)(max
];[

];[
xfxf
ba
ba
.
* Cách tìm :
1. Tìm các điểm x
1
, x
2
, … , x
n
trên (a ; b) mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
2. Tính f(a), f(x
1
), ……., f(x
n
), f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có : M =
)(min),(max
];[
];[
xfmxf
ba
ba
=
.
BÀI TẬP
1. Tìm GTLN và GTNN ( nếu có) của các hàm số.
a) y = x

3
– 3x
2
+ 5 trên đoạn [-1 ; 1] b) y = x
3
– 3x
2
– 9x + 35 trên đoạn [-4 ; 4]
c) y = x
4
– 2x
2
+ 3 trên đoạn [-3 ; 2] d) y = x
4
– 2x
2
+ 1 trên đoạn [1 ; 4]
e) y = x +
x
1
trên khoảng (0 ; +
)∞
f) y = x -
x
1
trên nữa khoảng (0 ; 2]
g) y =
1
1
−

+
x
x
trên đoạn [2 ; 5] h) y =
2
452
2
+
++
x
xx
trên đoạn [-3 ; 3].
k) y =
x36 −
trên đoạn [-1 ; 1] l) y =
2
100 x−
trên doạn [-8 ; 6]
m) y = (x + 2).
2
1 x−
n) y =
1
1
2
+
+
x
x
trên doạn [1 ; 2]

p) y = x +
2
4 x−
q) y =
xx −++ 63
r) y =
xx sin42cos.2 +
trên






2
;0
π
s) y = 2sinx -
x
3
sin
3
4
trên
];0[
π
u) y = sin
2
x + 2sinx – 1 t) y = cos
2

2x - sinxcosx + 4
o) y = sin
4
x + cos
2
x + 2 w) y = x – sin2x trên






−
π
π
;
2
2. Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40 cm, hãy xác định hình chữ nhật có diên tích lớn nhất.
3. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong các hình chữ nhật có cùng diện tích là
48cm
2
.
4. ĐỒ THI CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ĐỘ.
a) Công thức chuyển hệ tọa độ:
Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vec tơ
);(
00
yxOI =
là :




+=
+=
0
0
yYy
xXx
b) Phương trình của đường cong đối với hệ tọa độ IXY:
Y = f(X + x
0
) – y
0

BÀI TẬP
Chuẩn kiến thức Toán 12
1. Xác định đỉnh I của (P) : y = x
2
– 4 x + 3. Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo
OI
và viết phương trình của (P) đối với hệ tọa độ IXY.
2. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 2
a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm I là nghiệm của phương
trình f’’(x) = 0.
b) Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo
OI

và viết phương trình của (C) đối với
hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của (C).
3. Cho đường cong (C) : y = 1 -
1
1
+x
và điểm I(-1 ; 1). Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh
tiến theo
OI
và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ trục IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của
(C).
5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
a) Tiệm cận đứng.
Nếu
+∞=+∞=
−+
→→
)(lim;)(lim
00
xfxf
xxxx
hoặc
−∞=−∞=
−+
→→
)(lim;)(lim
00
xfxf
xxxx
thì đường thẳng

x = x
0
là tiệm cận đứng của (C).
b) Tiệm cận ngang.
Nếu
0
)(lim yxf
x
=
+∞→
hoặc
0
)(lim yxf
x
=
−∞→
thì đường thẳng y = y
0
là tiệm cận ngang của (C).
c) Tiệm cận xiên.
Nếu
[ ]
0)()(lim =+−
+∞→
baxxf
x
hoặc
[ ]
0)()(lim =+−
−∞→

baxxf
x
thì đường thẳng y = ax + b ( a
)0≠
là
tiệm cận xiên của (C).
BÀI TẬP.
1.Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số.
a) y =
12
23
+
−
x
x
b) y =
4
3
2
−
+
x
x
c) y =
3
5
+−
−
x
x

d) y =
4
1
2
2
+−
+−
x
xx
e) y =
1
2
2
−
+
x
x
2. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số.
a) y = x – 2 +
1
1
−x
b) y =
1
2
+x
x
c) y =
12
423

2
+
+−
x
xx
d) y = x +
1
2
−x
x
6. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
1/ Các bước khả sát sự biến thiên và vẽ đồ thi hàm số.
1
o
Tìm TXĐ.
2
o
Xét sự biến thiên.
a) Giới han – Tiệm cận.
b) Lập bảng biến thiên.
3
o
Vẽ đồ thị.
- Vẽ các đường tiệm cận (nếu có)
- Xác định một số điểm dặc biệt của đồ thị ( Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ).
- Nhân xét đồ thị : Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng.
2/.Hàm số y = ax
3
+ bx
2

+ cx + d (a
)0≠
a > 0 a < 0
Chuẩn kiến thức Toán 12
Pt y’ = 0 có hai
nghiệm phân
biệt.
2
-2
O
2
-2
Pt y’ = 0 có
nghiệm kép
2
2
Pt y’ = 0 vô
nghiệm
2
4
2
BÀI TẬP
Khảo sát sự biến tiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
1. y = x
3
– 3x
2
+ 1 2. y = -x
3
+ 3x + 2 3. y = 2x

3
– 3x
2
+1 4. y =
xx 4
3
1
3
−
5, y = x
3
– 3x
2
+ 3x + 1 6. y = -x
3
– 3x + 2
3/. Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c (a
)0≠
a > 0 a < 0
Pt y’ = 0 có
ba nghiệm
phân biệt
-2
2
Chuẩn kiến thức Toán 12
Pt y’ = 0 có

một nghiệm
2
-2

BÀI TÂP
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau :
1. y = x
4
– 2x
2
– 3 2. y = -x
4
+ 2x
2
– 1 3. y =
14
2
1
24
−− xx
4. y =
24
4
1
xx +−
5. y = x
4
+ 2x
2
– 3

4/. Hàm số y =
)0,0( ≠−≠
+
+
bcadc
dcx
bax
D = ad – bc > 0 D = ad – bc < 0
4
2
4
2
-2
BÀI TẬP
Khào sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
1. y =
1
2
+
−
x
x
2. y =
1
12
+−
−
x
x
3. y =

2
2
−x
x
4. y =
x
x 2−
5. y =
2
2
−x
5/. Hàm số y =
)0,0'.(
''''
2
≠≠
+
++=
+
++
raa
bxa
r
qpx
bxa
cbxax
a.a’ > 0 a.a’ < 0
Pt y’ = 0 có hai
nghiệm phân biệt
2

-2
-4
O
2
-2
-4
O
Chuẩn kiến thức Toán 12
Pt y’ = 0 vô
nghiệm
2
-2
O
2
-2
O
BÀI TÂP
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau :
1. y =
1
22
2
−
+−
x
xx
2. y =
1
2
−x

x
3. y =
1
3
2
+
−
x
xx
4. y =
1
3
2
−
+
x
x
5. y = - x +
x
1
6. y =
2
32
2
−
−−
x
xx
Chuẩn kiến thức Toán 12
MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ

1/ Giao điểm của hai đồ thị.
Hoành độ giao điểm của hai đường cong y = f(x) và y = g(x) là nghiêm của phương trình f(x) = g(x) (1)
Do đó số nghiệm phân biệt của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
2/ Sự tiếp xúc của hai đương cong.
a) Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) gọi là tiếp xúc với nhau tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) nếu chúng có tiếp
tuyến chung tại M
0
. Khi đó M
0
gọi là tiếp điểm.
b) Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình



=
=
)(')('
)()(
xgxf
xgxf
có nghiệm
Nghiệm của hệ trên là hoành độ tiếp điểm.
3/ Tiếp tuyến.

a) Dạng 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) thuộc (C).
Phương trình là : y = y’(x
0
)(x – x
0
) + y
0
b) Dạng 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k.
Gọi M
0
(x
0
; y
0
) là tọa độ tiếp điểm.Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M
0
là :
y = y’(x
0
)(x – x
0
) + y
0

Giải phương trình y’(x
0
) = k để tìm x
0
và y
0
.
c) Dạng 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) , biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x
A
; y
A
).
Phương trình của (d) đi qua A có hệ số góc k là : y = k(x – x
A
) + y
A

(d) tiếp xúc (C)



=
+−=
⇔
kxf
yxxkxf
AA
)('
)()(

có nghiệm.Nghiêm của hệ là hoành độ tiếp điểm.
4, Tìm trên đồ thị điểm có toạ độ là số nguyên
Đưa hsố về dạng y = ax + b
nmx
c
+
+
với a,b,c,m,n, nguyên
Để y nguyên thì mx + n phải là ước số của c, suy ra các trường hợp.
BÀI TẬP
1.Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị :
a) y = x
3
+ 4x
2
+ 4x + 1 và y = x + 1 b) y = x
3
+ 3x
2
+ 1 và y = 2x + 5
c) y = x
3
– 3x và y = x
2
+ x – 4 d) y = x
4
+ 4x
2
– 3 và y = x
2

+ 1
2. Tìm m để đồ thị hàm số :
a) y = (x – 1)(x
2
+ mx + m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
b) y = x
4
– 2(m + 1)x
2
+ 2m + 1 không cắt trục hoành.
c) y = x
4
– 2x
2
– (m + 3) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
3. Tìm m để đường thẳng y = mx + 2m + 2 cắt đồ thị hàm số y =
1
12
+
−
x
x
.
a) Tại hai điểm phân biệt.
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.
c)Tìm trên đồ thị điểm có toạ độ là số nguyên
4. Tìm m để đường thẳng y = mx + m + 3 cắt đồ thị hàm số y =
1
332
2

+
++
x
xx
.
a) Tại hai điểm phân biệt.
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.
c)Tìm trên đồ thị điểm có toạ độ là số nguyên
5. Tìm m để đường thẳng đi qua A(- 1 ; - 1) và có hệ số góc là m cắt đồ thị hàm số y =
12
2
+
+
x
x
.
a) Tại hai điểm phân biệt.
b) Tại hai điểm thuộc cùng một nhánh.
c)Tìm trên đồ thị điểm có toạ độ là số nguyên
Chuẩn kiến thức Toán 12
6. CMR: (P): y = x
2
– 3x – 1 tiếp xúc với (C) : y =
1
32
2
−
−+−
x
xx

.
7. Tìm m để đồ thị hàm số :
a) y =
1
2
−
+
x
mx
tiếp xúc với đường thẳng y = - x + 7
b) y = x
3
– 3mx + m + 1 tiếp xúc với trục hoành.
c) y = x
4
– 2x
2
+ 1 tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx
2
– 3.

BÀI TẬP VỀ TIẾP TUYẾN
1. Cho (C) : y = x
3
– 6x
2
+ 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
a) Tại điểm uốn của (C) (Là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f”(x) = 0)
b) Tại điểm có tung độ bằng -1
c) Song song với đường thẳng d

1
: y = 9x – 5.
d) Vuông góc với đường thẳng d
2
: x + 24y = 0.
2. Cho (C) : y =
2
2
+
−
x
x
.Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại giao điểm của (C ) với trục Ox.
b) Song song với đường thẳng d
1
: y = 4x – 5.
c) Vuông góc với đường thẳng d
2
: y = -x.
d) Tại giao điểm của hai tiệm cận.
3.Cho (C ) : y =
1
1
2
−
−+
x
xx
.Viết phương trình tiếp tuyến của (C ):

a) Tại điểm có hòanh độ x = 2.
b) Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + 1 = 0.
c) Vuông góc với tiệm cận xiên.
4. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C).
a) y = x
3
– 3x + 2 đi qua điểm A(1 ; 0)
b) y =
2
3
3
2
1
24
+− xx
đi qua điểm A(0 ;
)
2
3
.
c) y =
2
2
−
+
x
x
đi qua điểm A(-6 ; 5)
d) y =
2

54
2
−
+−
x
xx
đi qua điểm A(2 ; 1).
TỔNG HỢP VỀ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
I. Hàm bậc 3
1) Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
– 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M
0
(-1; -2)
c) Chứng minh rằng điểm uốn của (C) là tâm đối xứng của nó.
2) Cho hàm số y = -x
3
+ 3x + 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x
3
– 3x + m = 0.
c)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hòanh độ x
0
= 1.

3) Cho hàm số y = x
3
– 6x
2
+ 9x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y =
2
24
1
+− x
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số
Chuẩn kiến thức Toán 12
4) Cho hm s y = - x
3
+ 3x
2
2.
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn song song vi ng thng y = - 9x + 1
c) Tỡm m ng thng y = m ct th (C) ti ba im phõn bit.
5) Cho hm s y =
1
3
1
23
+ xx
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn i qua im A(1 ; 0)
6) Cho hm s y =

1
3
1
23
++ xxx
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti giao im ca (C) vi trc hũanh.
7) Cho hm s y = x
3
+ x
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti giao im ca (C) vi trc tung.
8 (TNTHPT 2008) Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Biệm luận theo m số nghiệm của phơng trình
3 2
2 3 1x x m+ =
9 (TN THPT- lần 2 2008 ) Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b. Tìm các giá trị của m để phơng trình
3 2
3 0x x m =
có 3 nghiệm phân biệt.
10 (TNTHPT - 2007)Cho hm s y=
3

3 2x x +
cú th l (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im A(2 ;4) .
11 (TNTHPT - 2006) Cho hm s y=
3 2
3x x +
cú th (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Da vo th bin lun s nghim phng trỡnh :
3 2
3x x +
-m=0 .
12 (TNTHPT 2004- PB)Cho hm s y=
3 2
6 9x x x +
cú th l (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im có hoành độ là nghiệm của phơng trình y=0 .
13 (TNTHPT 2004 - KPB)Cho hm s y=
3 2 3
3 4x mx m +
.
a/ Kho sỏt v v th hm s khi m=1 .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x=1 .
II. Hm bc 4 trựng phng
1)Cho hm s y = x
4
2x
2

+ 1
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh: x
4
2x
2
+ 1 m = 0.
c) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im cú hũanh x =
2
2) Cho hm s y = - x
4
+ 2x
2
+ 2.
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Tỡm m phng trỡnh x
4
2x
2
+ m = 0 cú bn nghim phõn bit.
c) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im cc tiu ca th hm s.
3) Cho hm s y =
2
3
3
2
2
4
+ x
x

a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh: x
4
6x
2
+ 3 m = 0.
c) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn i qua im A(0 ;
)
2
3
4) Cho hm s y = -x
4
+ 6x
2
5
Chun kin thc Toỏn 12
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Tỡm m ng thng y = m ct th (C) ti ba im phõn bit.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im M
0
(1 ; 0).
5) Cho hm s y =
12
4
1
24
xx
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Tỡm m phng trỡnh : x
4

8x
2
4 + m = 0 cú 4 nghim phõn bit.
c) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti giao im ca (C) vi trc tung.
6) (ĐH Đà Lạt - 2002)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
4 2
2 1x x +
b. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
4 2
2 1 0x x m + =
7) (ĐH Thái Nguyên - 2002) Cho hàm số
4 2
m
2 (C )y x mx= +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b. Hãy xác định m để hàm số đồ thị hàm số có 3 cực trị
III. Hm phõn thc bc nht
1)Cho hm s y =
1
1

+
x
x
.
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (H) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (H) ti im M
0
(2 ; 3).

c) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (H) bit tip tuyn song song vi ng thng y = -2x + 1
2) Cho hm s y =
1
12
+
+
x
x
.
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (H) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (H) ti im cú hũanh x = -2
c) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (H) bit tip tuyn vuụng gúc vi ng thng y = -x + 2
d)Tỡm trờn th im cú to l s nguyờn
3) Cho hm s y =
x
x
1
2
.
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (H) ca hm s.
b) Tỡm trờn (H) nhng im cú ta l cỏc s nguyờn.
c) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (H) ti giao im ca (H) vi trc tung.
d)Tỡm trờn th im cú to l s nguyờn
4) Cho hm s y =
x
x 1
.
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (H) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (H) ti giao im ca (H) vi trc hũanh.
c) Tỡm m ng thng y = x + m ct (H) ti hai im phõn bit.

5) Cho hm s y =
4
4
x
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (H) ca hm s.
b) Mt ng thng (d) i qua A(-4 ; 0) cú h s gúc l m. Tỡm m (d) ct (H) ti hai im phõn bit.
c) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (H) bit tip tuyn i qua im A(4 ; 4).
Chun kin thc Toỏn 12
1.Cho hàm số y =
1
33
2
+
++
x
xx
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận theo m só nghiệm của phương trình: x
2
+ (3 – m)x + 3 – m = 0.
c) Tìm điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ.
2. Cho hàm số y =
x
xx
−
−+
1
1
2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M
0
(0, -1).
c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) song song với tiệm cận xiên của (C)
3. Cho hàm số y =
1
)2(
2
−
−
x
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Gọi (d) là đường thẳng điqua A(-1 ; 0) có hệ số góc là m .Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
c) Chứng minh rằng tích các khỏang cách từ một điểm M trên (C) đến hai tiệm cận của (C) là một số
không đổi.
4. Cho hàm số y = x -
1−x
m
có đồ thị là (C
m
).
a) Tìm m để (C
m
) tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 3
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.
5) Cho hàm số y = x +
x
1

.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng – 3.
c) Tìm hai điểm thuộc hai nhánh của (C) để khỏang cách giữa chúng là nhỏ nhất.
6. Cho hàm số y =
1
22
2
+
++
x
xx

a) Tìm những điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên.
b) Chứng minh rằng (C) nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
c) Tìm m để (C) tiếp xúc với (P): y = - x
2
+ m.
7. Cho hàm số y =
1
)2(
2
+
−++
x
mxmx
có đồ thị là (C
m
).
a) Xác định m sao cho tiệm cận xiên của (C

m
) định trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3
c) Xác định k để cho đường thẳng y = k cắt (C) tại hai điểm phân biệt E, F sao cho đọan EF là ngắn nhất.
8. Cho hàm số y =
1
3
2
+
+
x
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x
2
– mx + 3 – m = 0 và suy ra
các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương.
c) Định k để đường thẳng (d): y = k(x – 3) + 2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
9) Cho hàm số y =
1
3
2
−
+
x
xx
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Chuẩn kiến thức Toán 12
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua giao điểm của hai tiệm cận.

c) Tìm điểm trên (C) có tổng các khỏang cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất.
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN.
Số mũ
α
Cơ số a
Lũy thừa
α
a
*
Nn
∈=
α
Ra
∈
naaaaa
n
( ==
α
thừa số )
0
=
α
0
≠
a
1
0
==
aa

α
)(
*
Nnn ∈−=
α
0
≠
a
n
n
a
aa
1
==
−
α
),(
*
NnZm
n
m
∈∈=
α
0
>
a
)( abbaaaa
n
n
n

m
n
m
=⇔===
α
),(lim
*
NnQrr
nn
∈∈=
α
0
>
a
n
r
aa lim
=
α
* Một số tính chất của căn bậc n.
1)
nn
baab .
=
2)
)0( >= b
b
a
b
a

n
n
n
3)
( )
p
n
n
p
aa
=
(a > 0)
4)
nm
m
n
aa
.
=
5)
mn m
n
aa
.
=
2. TÍNH CHÁT CỦA LŨY THỪA.
* với a > 0, b > 0, ta có
α
α
α

αααβαβαβα
β
α
βαβα
b
a
b
a
baabaaa
a
a
aaa
=






====
−+
;.)(;)(;;.
.
a > 1 :
βα
βα
>⇔> aa
0 < a < 1 :
βα
βα

<⇔> aa
3. ĐỊNH NGHĨA LÔGARIT.
* Với số
0,10
>≠<
ba
.

bab
a
=⇔=
α
α
log

beb
bb
=⇔=
=⇔=
α
α
α
α
ln
10log
4. TÍNH CHẤT CỦA LÔGARIT.
*
baa
b
aa

a
===
log
;1log;01log
*
cbcb
aaa
loglog).(log +=


cb
c
b
aaa
logloglog
−=







bb
aa
log.log
α
α
=
Chuẩn kiến thức Toán 12

Đặc biệt:
b
n
bb
b
a
n
aaa
log
1
log;log
1
log
=−=
*
ccb
b
c
c
aba
a
a
b
loglog.log
log
log
log
=⇒=
Đặc biệt :
bb

a
b
a
a
b
a
log
1
log;
log
1
log
α
α
==

cbcba
cbcba
aa
aa
<<⇔><<
>>⇔>>
0loglog:10
0loglog:1
5. GIỚI HẠN.

1
)1ln(
lim;1
1

lim
00
=
+
=
−
→→
x
x
x
e
x
x
x
6. BẢNG ĐẠO HÀM.
xx
ee
=
)'(
aaa
xx
ln.)'( =
x
x
1
)'(ln =
aa
x
x
a

ln
1
)'(log
=
)0,0(.)'(
1
>≠=
−
xxx
αα
αα
n
n
n
xn
x
1
1
)'(
−
=
uu
eue '.)'( =
aaua
uu
ln.'.)'( =
u
u
u
'

)'(ln
=
au
u
u
a
ln.
'
)'(log =
'.)'(
1
uuu
−
=
αα
α
n
n
n
un
u
u
1
.
'
)'(
−
=
I. LŨY THỪA
* Đơn giản biểu thức.

1)
( )
5
5
2
3
126
yxyx
−
2)
33
3
4
3
4
ba
abba
+
+
3)
1.
1
.
1
4
1
4
2
1
4

3
+
+
+
+
−
a
a
aa
aa
a
4)






+−








+
+
−

+
m
m
m
m
m
1
2
1
2
.
22
4
2
1
3
2
* Tính giá trị của biểu thức.
1)
5
3
3
1
75,0
32
1
125
1
81
−−

−






−






+
2)
20
3
1
1
3
2
2
3
1
)9(864.)2(001,0 +−−−
−
−
−
3)

5,0
75,0
3
2
25
16
1
27
−






+
−
4)
3
2
1
1
25,04
)3(19
4
1
2625)5,0(
−
−
−

−+






−−−
* Biến đổi đưa về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
1)
7 35
.2
8
1
ax
2)
3
4
5
. aa
3)
4
8 3
. bb
4)
4
3
.27
3
1

a
* Tính .
1)
( )
3
3
3






2)
31321
16.4
+−
3)
23
2
3
27
4)
( )
5
5
4
8
2
* Đơn giản các biểu thức.

1)
1
)(
232
3222
+
−
−
ba
ba
2)
334
3333232
))(1(
aa
aaaa
−
++−
Chuẩn kiến thức Toán 12
3)
π
π
ππ









−+
abba .4)(
1
2
II. LÔGARIT.
* Biết log
5
2 = a và log
5
3 = b . Tính các lôgarit sau theo a và b.
1) log
5
27 2) log
5
15 3) log
5
12 4) log
5
30
* Lôgarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau , rồi viết dưới dạng tổng hoặc hiệu các lôgarit.
1)
( )
3
2
5
3
ba
2)
2,0

6
5
10
−








b
a
3)
5
4
9 ba
4)
7
2
27a
b

* Tính giá trị các biểu thức.
1) log
9
15 + log
9
18 – log

9
10 2)
3
3
1
3
1
3
1
45log3400log
2
1
6log2
+−
3)
3log
2
1
2log
6
136
−
4)
)3log.4(loglog
23
4
1
* Tính giá trị các biểu thức.
1)
2log8log

4log
2
1
4
1
7125
9
49.2581








+
−
2)
5log33log
2
1
5log1
52
4
4216
+
+
+
3)









+
−
−
4log
6log9log
2
1
5
77
54972
* Tìm x biết.
1) log
6
x = 3log
6
2 + 0,5 log
6
25 – 2 log
6
3. 2) log
4
x =

3log410log2216log
3
1
444
+−

* Tính.
1)
2020
)32log()32log(
−++
2)
)725log()12log(3
−++
3)
e
e
1
lnln
+
4)
).ln(4ln
21
eee
+
−
* Tìm x biết
1) log
x18
= 4 2)

5
3
2log
5
−=
x
3)
6)2.2(log
3
−=
x
* Biết log
12
6 = a , log
12
7 = b. Tính log
2
7 theo a và b.
* Biết log
2
14 = a. Tính log
49
32 theo a
HÀM SỐ MŨ – LÔGARIT – LŨY THỪA.
*BT1 Tìm tập xác định của các hàm số sau.
1) y =
1
−
x
x

e
e
2) y =
1
12
−
−
x
e
3) y = ln






−
−
x
x
1
12
Chuẩn kiến thức Toán 12
4) y = log(-x
2
2x ) 5) y = ln(x
2
-5x + 6) 6) y =

+
x
xx
31
132
log
2
2

BT2. Với giá trị nào của x thì biểu thức sau xác định
a. log
0,5
(2- 3x). b. log
0,25
(- x
2
).
2
1 5
2 2
5
1 2 2 3 1
. log ( ). .log

3 2 5 4 3 1
x x x
c d
x x x x
+
+
BT3. Tìm x biết a. log
3
(2 4x) = -3. b.
5
log 0x =
BT4 Tớnh o hm ca cỏc hm s sau.
1) y = (x
2
-2x + 2).e
x
2) y = (sinx cosx).e
2x
3) y =
xx
xx
ee
ee


+

4) y = 2
x
-

x
e
5) y = ln(x
2
+ 1) 6) y =
x
xln
7) y = (1 + lnx)lnx 8) y =
1ln.
22
+
xx
9) y = 3
x
.log
3
x
10) y = (2x + 3)
e
11) y =
x
x


.
12) y =
3
x
13) y =
3

2
2ln x
14) y =
3
2cos x
15) y = 5
cosx + sinx
*BT5Chng minh rng mi hm s sau õy tha món h thc tng ng ó cho.
1) y = e
sinx
; ycosx ysinx y = 0
2) y = ln(cosx) ; ytanx y 1 = 0
3) y = ln(sinx) ; y + ysinx + tan
2
x
= 0
4) y = e
x
.cosx ; 2y 2y y = 0
5) y = ln
2
x ; x
2
.y + x. y = 2
BT6 Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca cỏc hm s sau :
1) y = (x
2
2x).e
x
trờn on [0 ; 3] 2) y = x

2
e
x
trờn on [-3 ; 0]
3) y = xlnx trờn on [e
-2
; e] 4) y =
x
xln
trờn on






2
;
2
e
e
5) y =
x
x
2
ln
trờn on
[ ]
3
;1 e

6) y = x
2
ln(1 2x) trờn on [-2 ; 0]
7) y = 2ln(x 1) + 3lnx 2x trờn on [2 ; 4 ]
8) y = 2
x-1
+ 2
3 x

2 2
2
sin cos
1
. . 4 4
x
x x
x
c y e d y
+
= = +

9)
2
sin
3 . . (0,5)
x x x
y b y
+
= =
. y = 2

x
+ 2
-x

BT7. Tìm điều kiện xác định của mỗi biểu thức sau.
a.
2
7
( 3)x


. b.
1
3
x
. c.
2
3
( 3)x
.
BT8. Với giá trị nào của x thì mỗi đẳng thức sau đây đúng.
a.
1
6
6
( )x x=
. b.
1
4
4

( )x
. C.
1
8
8
1
( )x
x
=
. d.
3
1
0,7
7
( )x x=
.
* CC DNG C BN CA PHNG TRèNH , BT PHNG TRèNH M V LễGARIT.

a)
)()(10
)()(
xgxfaaa
xgxf
==<
Chun kin thc Toỏn 12




=

>>
⇔=
)()(
)0)((0)(
)(log)(log
xgxf
xghayxf
xgxf
aa
b)
)()(1
)()(
xgxfaaa
xgxf
>⇔>>

0)()()(log)(log >>⇔> xgxfxgxf
aa
c)
)()(10
)()(
xgxfaaa
xgxf
<⇔><<

)()(0)(log)(log xgxfxgxf
aa
<<⇔>
I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
* Giải các phương trình:

1). (0,2)
x-1
= 1 2).
3
3
1
13
=






−
x
3).
164
23
2
=
+− xx
4).
x
x
34
2
2
2
1

2
−
−
=






5).
( ) ( )
223223
2
+=−
x
6).
( ) ( )
1
1
1
2525
+
−
−
−=+
x
x
x
7).

1
5
93
2
+
−
=
x
x
8).
255
4
2
=
+−
xx
9) 3
x
.2
x+1
= 72 9)
2
2
1
.
2
1
217
=













−+ xx
10)
27
6020
5.3.4
131
=
+−+ xxx
11) 5
x+1
+ 6. 5
x
– 3. 5
x-1
= 52
12) 2. 3
x+1
– 6. 3
x-1

– 3
x
= 9 13) 4
x
+ 4
x-2
– 4
x+1
= 3
x
– 3
x-2
– 3
x+1
* Giải các phương trình.
1) 4
x
+ 2
x+1
– 8 = 0 2) 4
x+1
– 6. 2
x+1
+ 8 = 0
3) 3
4x+8
– 4. 3
2x+5
+ 27 4) 3
1+x

+ 3
1-x
= 10
5) 5
x-1
+ 5
3 – x
= 26 6) 9
x
+ 6
x
= 2. 4
x

7) 4
x
– 2. 5
2x
= 10
x
8) 27
x
+ 12
x
= 2. 8
x
9)
( ) ( )
23232
=−++

xx
10)
14487487
=






++






−
xx

11)
12356356
=






−+







+
xx
12)
( ) ( )
x
xx
2.14537537
=−++
13) 3
2x+4
+ 45. 6
x
– 9. 2
2x+2
= 0 14) 8
x+1
+ 8.(0,5)
3x
+ 3. 2
x+3
= 125 – 24.(0,5)
x
* Giải các phương trình.
1)

44
23
2
−−
=
xxx
2)
451
2
32
+−−
=
xxx
3)
x
x
x
−
+
=
2
2
3.368
4)
5008.5
1
=
−
x
x

x
5)
x
x
255
5
log3
=
−
6)
5
3log
6
33.
−
−
−
=
x
x
7)
2
log
9
.9 xx
x
=
8)
5log
34

55.
x
x
=
* Giải các phương trình.
1) 2
x
+ 3
x
= 5
x
2) 3
x
+ 4
x
= 5
x
3) 3
x
= 5 – 2x 4) 2
x
= 3 – x
5) log
2
x = 3 – x 6) 2
x
= 2 – log
2
x 7) 9
x

+ 2(x – 2)3
x
+ 2x – 5 = 0
II. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT.
* Giải các phương trình.
1) log
2
x(x + 1) = 1 2) log
2
x + log
2
(x + 1) = 1 3) log(x
2
– 6x + 7) = log(x – 3)
4) log
2
(3 – x) + log
2
(1 – x) = 3 5) log
4
(x + 3) – log
2
(2x – 7) + 2 = 0
6)
x
x
xx
2log
log
log.log

125
5
25
5
=
7) 7
logx
+ x
log7
= 98 8) log
2
(2
x+1
– 5) = x
* Giải các phương trình.
1) log
2
2
(x - 1)
2
+ log
2
(x – 1)
3
= 7 2) log
4x
8 – log
2x
2

+ log
9
243 = 0
3)
33loglog3
33
=− xx
4) 4log
9
x + log
x
3 = 3
5) log
x
2 – log
4
x +
0
6
7
=
6)
x
x
x
x
81
27
9
3

log1
log1
log1
log1
+
+
=
+
+
7) log
9
(log
3
x) + log
3
(log
9
x) = 3 + log
3
4 8) log
2
x.log
4
x.log
8
x.log
16
x =
3
2

9) log
5
x
4
– log
2
x
3
– 2 = -6log
2
x.log
5
x 10)
3log)52(log
2
52
2
2
=+−
xx
x
x
Chuẩn kiến thức Toán 12
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.
* Giải các hệ phương trình sau.
1)



+=+

=+
15log1loglog
11
222
yx
yx
2)



=−−+
+=+
3log)log()log(
8log1)log(
22
yxyx
yx
3)





=−
=
2)(log
9722.3
3
yx
yx

4)



=−
=+
2loglog
25
22
yx
yx
5)



=+
=+
1
433
yx
yx
6)





=+
=+
−−

3
9
4
33
yx
yx
7)





=
=+
+−
+
55.2
752
1 yxx
yxx
8)



=−−+
=−
1)(log)(log
3
53
22

yxyx
yx
9)





=+−
+=
0log.log)(log
)(logloglog
2
222
yxyx
xyyx
10)





=
=
3log4log
loglog
)3()4(
43
yx
yx

11)





=−−+
+=
1233
)(24
22
2loglog
33
yxyx
xy
xy
12)



=
+=
64
log1
2
y
x
xy

13)



=−−+
=−
1)23(log)23(log
549
35
22
yxyx
yx
14)





=
=
y
x
y
x
yxxy
3
3
3
272727
log4

log3
log
log.log3log

IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.
* Giải các bất phương trình.
1)
13
52
>
+
x
2) 27
x
<
3
1
3)
4
2
1
45
2
>







+−
xx
4)
13732
3.26
−++
<
xxx
5)
439
1
+<
+
xx
6) 3
x
– 3
-x+2
+ 8 > 0 7)
243
4log
3
<
+
x
x

9)
5)15(log
2

1
−<+
x
10)
1
31
log
4
−
+
x
x
11) log
0,8
(x
2
+ x + 1) < log
0,8
(2x + 5)
12)
0)
1
21
(loglog
2
3
1
>
+
+

x
x
13) log
2
2
x + log
2
4x – 4 > 0 14)
0log3log
3
<−
xx
15) log
2
(x + 4)(x + 2)
6−≤
16)
0
1
13
log
2
>
+
−
x
x
x
17)
13log

4
<−
x
18) log
2
x + log
3
x < 1 + log
2
x.log
3
x 19) 3log
x
4 + 2log
4x
4 + 3log
16x
4
0
≤
*Tìm tập xác định của các hàm số sau :
1) y =
2
5
12
log
8,0
−
+
+

x
x
2) y =
1)2(log
2
1
+−
x
3) y =
)22(log
2
2
+− xx
4) y =
2log
2
4
−x
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản:
Bảng 1 Bảng 2
Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( hằng số) ax + C
Chuẩn kiến thức Toán 12
x
α
1
1
x

C
α
α
+
+
+
( )ax b
α
+
a
1
1
( )
1
ax b
C
α
α
+
+
+
+
1
x
ln x C
+
1
ax b+
1
ln ax b C

a
+ +
x
a
ln
x
a
C
a
+
x
e
x
e C
+
ax b
e
+
1
ax b
e C
a
+
+
sinx -cosx + C sin(ax+b)
1
cos( )a x b C
a
− + +
cosx Sinx + C cos(ax+b)

1
sin( )ax b C
a
+ +
2
1
cos x
tgx + C
2
1
cos ( )ax b
+
1
( )tg ax b C
a
+ +
2
1
sin x
-cotgx + C
2
1
sin ( )ax b
+
1
cot ( )g ax b C
a
− + +
'
( )

( )
u x
u x
ln ( )u x C
+
2 2
1
x a
−
1
ln
2
x a
C
a x a
−
+
+
tgx
ln cos x C
− +
2 2
1
x a+
2 2
ln x x a C+ + +
cotgx
ln sin x C
+
II. BÀI TẬP:

1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x
2
– 3x +
x
1
ĐS. F(x) =
Cx
xx
++− ln
2
3
3
23

2. f(x) =
2
4
32
x
x
+
ĐS. F(x) =
C
x
x
+−
3
3
2

3

. f(x) =
2
1
x
x
−
ĐS. F(x) = lnx +
x
1
+ C
4. f(x) =
2
22
)1(
x
x
−
ĐS. F(x) =
C
x
x
x
++−
1
2
3
3
5. f(x) =

4
3
xxx ++
ĐS. F(x) =
C
xxx
+++
5
4
4
3
3
2
4
5
3
4
2
3
6. f(x) =
3
21
xx
−
ĐS. F(x) =
Cxx
+−
3
2
32

7. f(x) =
x
x
2
)1(
−
ĐS. F(x) =
Cxxx ++− ln4
8. f(x) =
3
1
x
x −
ĐS. F(x) =
Cxx
+−
3
2
3
5
2
3
5
3
9. f(x) =
2
sin2
2
x

ĐS. F(x) = x – sinx + C
10. f(x) = tan
2
x ĐS. F(x) = tanx – x + C
Chuẩn kiến thức Toán 12
11. f(x) = cos
2
x ĐS. F(x) =
Cxx
++
2sin
4
1
2
1

12. f(x) = (tanx – cotx)
2
ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13. f(x) =
xx
22
cos.sin
1
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
14. f(x) =
xx
x
22
cos.sin

2cos
ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) =
Cx +− 3cos
3
1

16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =
Cxx
+−−
cos5cos
5
1
17. f(x) = e
x
(e
x
– 1) ĐS. F(x) =
Cee
xx
+−
2
2
1

18. f(x) = e
x
(2 +
)
cos

2
x
e
x
−
ĐS. F(x) = 2e
x
+ tanx + C
19. f(x) = 2a
x
+ 3
x
ĐS. F(x) =
C
a
a
xx
++
3ln
3
ln
2

20. f(x) = e
3x+1
ĐS. F(x) =
Ce
x
+
+

13
3
1
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x
2
+ x + 3
2. f’(x) = 2 – x
2
và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) =
1
3
2
3
+−
x
x

3. f’(x) = 4
xx −
và f(4) = 0 ĐS. f(x) =
3
40
23
8
2
−−
xxx
4. f’(x) = x -
2

1
2
+
x
và f(1) = 2 ĐS. f(x) =
2
3
2
1
2
2
−++ x
x
x

5. f’(x) = 4x
3
– 3x
2
+ 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x
4
– x
3
+ 2x + 3
6. f’(x) = ax +
2)1(,4)1(,0)1(',
2
=−== fff
x
b

ĐS. f(x) =
2
51
2
2
++
x
x
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I =
∫
dxxuxuf )(')].([
bằng cách đặt t = u(x)
 Đặt t = u(x)
dxxudt )('
=⇒
 I =
∫ ∫
=
dttfdxxuxuf )()(')].([
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
∫
−
dxx
3
)15(
2.

∫
−
5
)23( x
dx
3.
dxx
∫
−
25
4.
∫
−12x
dx
5.
∫
+
xdxx
72
)12(
6.
∫
+
dxxx
243
)5(
7.
xdxx .1
2
∫

+
8.
∫
+
dx
x
x
5
2
9.
∫
+
dx
x
x
3
2
25
3
10.
∫
+
2
)1( xx
dx
11.
dx
x
x
∫

3
ln
12.
∫
+
dxex
x 1
2
.
13.
∫
xdxxcossin
4
14.
∫
dx
x
x
5
cos
sin
15.
∫
gxdxcot
16.
∫
x
tgxdx
2
cos

17.
∫
x
dx
sin
18.
∫
x
dx
cos
19.
∫
tgxdx
20.
∫
dx
x
e
x
Chuẩn kiến thức Toán 12
21.
∫
−
3
x
x
e
dxe
22.
∫

dx
x
e
tgx
2
cos

2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫ ∫
−=
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay
∫ ∫
−=
vduuvudv
( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
∫
xdxx sin.
2.
∫
xdxx cos
3.
∫
+
xdxx sin)5(
4
∫

++
xdxxx cos)32(
2
5.
∫
xdxx 2sin
6.
∫
xdxx 2cos
7.
∫
dxex
x
.
8.
∫
xdxln
9.
∫
xdxx ln
10.
dxx
∫
2
ln
11.
∫
x
xdxln
12.

∫
dxe
x
13.
∫
dx
x
x
2
cos
14.
∫
xdxxtg
2
15.
∫
dxxsin
16.
∫
+
dxx )1ln(
2
17.
∫
xdxe
x
cos.
18.
∫
dxex

x
2
3
19.
∫
+
dxxx )1ln(
2
20.
∫
xdx
x
2
21.
∫
xdxxlg
22.
∫
+
dxxx )1ln(2
23.
∫
+
dx
x
x
2
)1ln(
24.
∫

xdxx 2cos
2
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
Thì:
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
( Công thức NewTon - Leiptnitz)
Chuẩn kiến thức Toán 12
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1/
∫
−
++
1
1
2
)12( dxxx
2/
∫

−−
2
0
3
)
3
2
2( dxxx
3/
∫
−
−
2
2
)3( dxxx
4/
∫
−
−
4
3
2
)4( dxx
5/
dx
xx
∫







+
2
1
32
11
6/
∫
−
2
1
3
2
2
dx
x
xx
7/
∫
e
e
x
dx
1
1
8/
∫
16

1
.dxx
9/
dx
x
xx
e
∫
−+
2
1
752
10/
dx
x
x
∫








−
8
1
3 2
3

1
4
11/
∫
−
+
3
2
1
2
dx
x
x
12/
dx
x
x
∫






−
+
−
1
0
3

1
22
13/
∫
−






+−
−
−
0
1
12
12
2
dxx
x
x
14/
dx
x
xx
∫
+
++
1

0
2
3
32
15/
dxx
x
xx
∫
−








+−
−
++
0
1
2
12
1
1

16/
∫

−
2
2
3cos.5cos
π
π
xdxx
17/
∫
−
2
2
2sin.7sin
π
π
xdxx
18 /
∫
4
0
cos
2
sin
π
xdx
x

19/
∫
4

0
2
sin
π
xdx
20/
dxe
x
∫
−
+
0
1
32
21/
∫
−
1
0
dxe
x
Bài 2:
1)
3
2
3
x 1dx
−
−
∫

2)
4
2
1
x 3x 2dx
−
− +
∫
3)
5
3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −
∫
4)
2
2
2
1
2
1
x 2dx
x
+ −
∫

5)
3
x

0
2 4dx
−
∫
6)
0
1 cos2xdx
π
+
∫
7)
dxxx
∫
−
2
0
2

II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
1) DẠNG 1:Tính I =
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx
∫
bằng cách đặt t = u(x)
Công thức đổi biến số dạng 1:
[ ]
∫
=

∫
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxuf
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
dxxudtxut )()(
'
=⇒=
Bước 2: Đổi cận :
)(
)(
aut
but
ax
bx
=
=
⇒
=
=
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

[ ]
∫

=
∫
=
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxufI
(tiếp tục tính tích phân mới)
Chú ý.
Dấu hiệu Cách chọn
1.
∫
xdxxf cos)(sin
2.
∫
xdxxf sin).(cos
3.
∫
dxeef
xx
)(
t = sinx
t = cosx
t = e
x
t = lnx

Chuẩn kiến thức Toán 12
4.
∫
dx
x
xf
1
).(ln
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1)
∫
−
2
1
21
3
dx
x
2)
∫
+
1
0
13
dxe
x
3)
∫
−
1

0
2
xdxe
x
4)
∫
−
+
1
1
2
1
2
dx
x
x
5)
xdxx .1
1
0
2
∫
+
6)
∫
+
1
0
2
.

2
dx
x
x
7)
∫
2
0
3
cos.sin
π
xdxx
8)
∫
3
4
.
cos
tan
π
π
dx
x
x
9)
∫
+
2
0
sin1

cos
π
dx
x
x
10)
∫
+
2
0
sin.cos1
π
xdxx
11)
∫
e
dx
x
x
1
ln
12)
∫
2
ln
e
e
xx
dx
13)

∫
+
e
dx
x
x
1
ln3
14)
∫
+
e
xx
dx
1
ln1
15)
dx
x
x
∫
3
1
2
ln
16)
∫
2
1
3

ln xx
dx
17)
∫
4
1
dx
x
e
x
18)
∫
+
2ln
0
1
dx
e
e
x
x
19)
dxee
xx
.1
8ln
3ln
∫
+
20)

∫
−
5ln
2ln
1
x
x
e
dxe
21)
∫
2
0
2
cos
π
xdx
22)
∫
2
0
3
cos
π
xdx
23)
∫
2
0
22

cos.sin
π
xdxx
24)
∫
2
0
33
cossin
π
xdxx
2) DẠNG 2: Tính I =
b
a
f(x)dx
∫
bằng cách đặt x =
(t)
ϕ
Công thức đổi biến số dạng 2:
[ ]
∫
=
∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b

a
)(')()(
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
dttdxtx )()(
'
ϕϕ
=⇒=
Bước 2: Đổi cận :
α
β
=
=
⇒
=
=
t
t
ax
bx
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

[ ]
∫
=
∫
=
β
α
ϕϕ

dtttfdxxfI
b
a
)(')()(
(tiếp tục tính tích phân mới)
Tính các tích phân sau:
1)
1
2
0
1 x dx
−
∫
2)
1
2
0
1
dx
1 x
+
∫
3)
1
2
0
1
dx
4 x
−

∫
4)
1
2
0
1
dx
x x 1− +
∫
5)
1
4 2
0
x
dx
x x 1
+ +
∫
6)
2
2
2
2
0
x
dx
1 x−
∫
7)
2

2 2
1
x 4 x dx
−
∫
8)
( )
∫
++
1
0
22
11 xx
dx

II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần:

[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay:
[ ]

∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Chuẩn kiến thức Toán 12
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
)(
)('
)('
)(
xvv
dxxudu
dxxvdv
xuu
=
=
⇒
=
=
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :
[ ]
∫ ∫
−=
b

a
b
a
b
a
vduvuudv .
Bước 3: Tính
[ ]
b
a
vu.
và
∫
b
a
vdu
Chú ý:
Dấu hiệu Cách đặt
∫
b
a
xdxxP sin).(
hoặc
∫
b
a
xdxxP cos).(

∫
b

a
x
dxexP ).(
∫
b
a
xdxxP ln).(
∫
b
a
x
xdxe sin.
hoặc
∫
b
a
x
xdxe cos.
Đặt u = P(x)
Đặt u = lnx
Đặt u = sinx hoặc u = cosx
Tính các tích phân sau
1)
∫
1
0
3
. dxex
x
2)

∫
−
2
0
cos)1(
π
xdxx
3)
∫
−
6
0
3sin)2(
π
xdxx
4)
∫
2
0
2sin.
π
xdxx

5)
∫
e
xdxx
1
ln
6)

∫
−
e
dxxx
1
2
.ln).1(
7)
∫
3
1
.ln.4 dxxx
8)
∫
+
1
0
2
).3ln(. dxxx
9)
∫
+
2
1
2
.).1( dxex
x

10)
∫

π
0
.cos. dxxx
11)
∫
2
0
2
.cos.
π
dxxx
12)
∫
+
2
0
2
.sin).2(
π
dxxxx
13)
2
5
1
lnx
dx
x
∫
14)
2

2
0
xcos xdx
π
∫

15)
1
x
0
e sinxdx
∫
16)
2
0
sin xdx
π
∫
17)
e
2
1
xln xd x
∫
18)
3
2
0
x sinx
dx

cos x
π
+
∫
19)
2
0
xsinxcos xdx
π
∫

20)
4
2
0
x(2cos x 1)dx
π
−
∫
21)
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
+
∫
22)
1

2 2x
0
(x 1) e dx
+
∫
23)
e
2
1
(xlnx) dx
∫
24)
2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
π
+
∫

25)
2
1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x +
∫

26)
1
2
0
xtg xdx
∫
27)
∫
−
1
0
2
)2( dxex
x
28)
∫
+
1
0
2
)1ln( dxxx
29)
∫
e
dx
x
x
1
ln

30)
∫
+
2
0
3
sin)cos(
π
xdxxx
31)
∫
++
2
0
)1ln()72( dxxx
32)
∫
−
3
2
2
)ln( dxxx

III. DiÖn tÝch h×nh ph¼ng.
1. Tãm t¾t lý thuyÕt.
* Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn
[ ]
,a b
khi ®ã diÖn tÝch S cña h×nh thang cong giíi h¹n bëi y = f(x), trôc
Ox ,

x = a, x = b (a < b) lµ:
( )
b
a
S f x dx=
∫

* NÕu diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi y = f
1
(x), y = f
2
(x), x = a, x = b th× diÖn tÝch ®îc tÝnh bëi
Chuẩn kiến thức Toán 12