BD HSG_Chuyên đề 12:Dãy số và các bài toán về dãy số

CHUYÊN ĐỂ 12:
DÃY SỐ
VÀ CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
1
TIẾT 1, 2
DÙNG QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH MỘT DÃY SỐ
Phương pháp chứng minh quy nạp toán học:
Để chứng minh mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n
≥
n
0
(n
0
∈

¥
), ta
có thể sử dụng phương pháp quy nạp. Phương pháp quy nạp được thực hiện theo các bước
sau:
• Bước 1: Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = 0.
• Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k, bằng suy luận ta suy ra được mệnh đề cũng đúng với
n = k + 1. Từ đó kết luận mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n
≥
n
0
.
Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi n
*
∈¥
ta có:
1/

2 2 2 2
n(n 1)(2n 1)
1 2 3 n
6
+ +
+ + + + =
2/
2
3 3 3 3
n(n 1)
1 2 3 n
2
+
 
+ + + + =
 
 
Giải
1/
* Khi n = 1 thì ta có đẳng thức đúng vì
2
1(1 1)(2 1)
1
6
+ +
=
* Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là:
2 2 2 2
k(k 1)(2k 1)
1 2 3 k

6
+ +
+ + + + =
Ta có:
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
k(k 1)(2k 1)
1 2 3 k k 1 k 1
6
+ +
+ + + + + + = + +

( )
( )
(k 1) k 2k 1 6(k 1)
6
(k 1) k 2 (2k 3)
6
+  + + + 
 
=
+ + +
=
Vậy đẳng thức đúng khi n = k + 1
Do đó đẳng thức đúng với mọi n
*
∈¥
.
2/

* Khi n = 1 thì đẳng thức đúng vì
2 2
3
1 .(1 1)
1
4
+
=
* Giả sử đẳng thức đúng với n = k
≥
1 tức là:

2 2
3 3 3 3
k (k 1)
1 2 3 k
4
+
+ + + + =
Vậy
2 2
3 3 3 3 3 3
k (k 1)
1 2 3 k (k 1) (k 1)
4
+
+ + + + + + = + +
2

( )

2 2
2 2
2
2 2
(k 1) k 4(k 1)
4
(k 1) k 4(k 1)
4
(k 1) k
4
 
+ + +
 
=
 
+ + +
 
=
+
=
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1
Do đó đẳng thức đúng với mọi n
*
∈¥
.
Bài tập 2:
Chứng minh rằng với mọi n
*
∈¥
ta có:

n(n 1)(n 2)
1.2 2.3 3.4 n(n 1)
3
+ +
+ + + + + =
Giải
* Khi n = 1, VT = 1.2 = 2
VP =
1(1 1)(1 2)
2
3
+ +
=
Vậy đẳng thức đúng với n = 1.
* Giả sử đẳng thức đúng với số tự nhiên n = k
≥
1, tức là:
n(n 1)(n 2)
1.2 2.3 3.4 n(n 1)
3
+ +
+ + + + + =
Khi đó n = k + 1, ta có:
k(k 1)(k 2)
1.2 2.3 3.4 k(k 1) (k 1)(k 2) (k 1)(k 2)
3
+ +
+ + + + + + + + = + + +

(k 1)(k 2)(k 3)

3
+ + +
=
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1
Suy ra đẳng thức đúng với mọi n
*
∈¥
Bài tập 3: Chứng minh rằng với mọi n
*
∈¥
ta có:
2 3 n n
1 2 3 n 3 2n 3
(1)
3 3 3 3 4 4.3
+
+ + + + = −
Giải
* Khi n = 1, VT =
1
3
VP =
3 2.1 3 1
4 4.3 3
+
− =
Vậy (1) đúng với n = 1
* Giả sử (1) đúng với n = k
≥
1, tức là:

2 3 k k
1 2 3 k 3 2k 3

3 3 3 3 4 4.3
+
+ + + + = −
3
Khi đó, với n = k + 1, ta có:
2 3 k k 1 k k 1
1 2 3 k k 1 3 2k 3 k 1

3 3 3 3 3 4 4.3 3
+ +
+ + +
+ + + + + = − +

k 1
k 1
k 1
3 (2k 3).3 4(k 1)
4 4.3
3 2k 5
4 4.3
3 2(k 1) 3
4 4.3
+
+
+
+ − +
= −

+
= −
+ +
= −
Vậy (1) cũng đúng với n = k + 1
Suy ra đẳng thức (1) đúng với mọi n
*
∈¥
Bài tập 4: Chứng minh rằng với mọi n
*
∈¥
, ta có:
( )
2
4 4 4 4 1 2n
1 1 1 1
1 9 25 1 2n
2n 1
 
+
   
− − − − =
 ÷
 ÷ ÷ ÷
 ÷
−
   
−
 
(1)

Giải
* Khi n = 1, VT = 1 -
4
3
1
= −
VP =
1 2
3
1 2
+
= −
−
Vậy (1) đúng với n = 1
* Giả sử (1) đúng với số tự nhiên n = k
≥
1, tức là:
( )
2
4 4 4 4 1 2k
1 1 1 1
1 9 25 1 2k
2k 1
 
+
   
− − − − =
 ÷
 ÷ ÷ ÷
 ÷

−
   
−
 
Khi đó, với n = k + 1, ta có:

( )
[ ]
( )
2
2 2 2
4 4 4 4 4 1 2k 4k 4k 3
1 1 1 1 1 .
1 9 25 1 2k
2k 1 2k 1
2(k 1) 1
 
 
+ + −
   
 ÷
− − − − − =
 ÷
 ÷ ÷ ÷
 ÷
 ÷
−
   
− +
+ −

 
 

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
4k 4k 3
2k 1 2k 1
2k 3 2k 1
2k 1 2k 1
2k 3
2k 1
1 2(k 1)
1 2(k 1)
+ −
=
− + −
+ −
=
− + −
+
=
− +
+ +
=
− +
Vậy (1) đúng với n = k + 1
4

Suy ra (1) đúng với mọi n
*
∈¥
Bài tập 5: Cho a
≥
0. Cmr:
*
n∀ ∈¥
, ta có:
( )
n
2
n(n 1)
1 a 1 na a
2
−
+ ≥ + +
(1)
Giải
* Khi n = 1, VT = 1 + a
VP = 1 + a
Vậy (1) đúng với n = 1.
* Giả sử (1) đúng với số tự nhiên n = k
≥
1, tức là:
( )
k
2
k(k 1)
1 a 1 ka a

2
−
+ ≥ + +
Khi n = k + 1, ta có:
( )
k 1
2
1 a (1 a) (1 a)
+
+ = + + +

2
k(k 1)
(1 a) 1 ka a
2
−
 
≥ + + +
 
 

[ ]
2 3
2
2
k(k 1) k(k 1)
1 (k 1)a a a
2 2
k(k 1)
1 (k 1)a a

2
(k 1) (k 1) 1
1 (k 1)a a
2
+ −
= + + + +
+
≥ + + +
+ + −
= + + +
Vậy (1) cũng đúng với n = k + 1
Suy ra (1) đúng với mọi n nguyên dương.
Bài tập 6: Chứng minh
*
n∀ ∈¥
, ta có:
1 1 1
n 1 n 2
1 2 n
+ + + ≤ + − −
(1)
Giải
* Khi n = 1 thì (1)
1
1 1 1 2 1
n
⇔ ≤ + + − =
(đúng)
* Giả sử (1) đúng với n = k, tức là:
k

1 1
S k k 1 k 2
1 2
= + + + ≤ + + −
Ta chứng minh đẳng thức (1) đúng với n = k + 1, tức là:
Thật vậy do giả thiết
quy nạp, nếu ta chứng minh được
1
k 1 k 2 k 2 k 1 2
k 1
+ − − + ≤ + + + −
+
là đúng
thì (2) sẽ đúng.
Xét
1
k 1 k 2 k 2 k 1 2
k 1
+ − − + ≤ + + + −
+
5
k 1
1 1 1 1
S k k 2 k 1 2 (2)
1 2 k k 1
+
= + + + + ≤ + − + −
+

2 2

2 2 2
2
2 2
1
k k 2
k 1
k k 1 k 3k 2
k k 1 2 k k k 3k 2
2 k k 2k 1
4(k k) 4k 4k 1
0 1
⇔ + ≤ +
+
⇔ + + ≤ + +
⇔ + + + + ≤ + +
⇔ + ≤ +
⇔ + ≤ + +
⇔ ≤
Vậy (1) đúng khi n = k + 1
Suy ra (1) đúng
*
n∀ ∈¥
.
TIẾT 3, 4, 5
II. XÁC ĐỊNH DÃY SỐ
Bài tập 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi:
1
n 1 n
u 3
u 2u , (n 1)

+
=


= ≥

Giải
Ta có: u
1
= 3
Cho n = 1: u
2


= 2u
1
= 2.3
Cho n = 2: u
3


= 2u
2
= 2.2.3 = 2
2
.3
Cho n = 3: u
4

= 2u
3
= 2.2.2.3 = 2
3
.3
Dự đoán: u
n


= 2
n-1
.3
Chứng minh bằng quy nạp.
Giả sử u
k


= 3.2
k-1
, ta chứng minh: u
k+1
= 3.2
k
Ta có: u
k+1


= 2u
k
= 2.( 3.2

k-1
) = 3.2
k
Vậy u
n


= 3.2
n-1

n 1∀ ≥
Bài tập 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số: 1.4; 4.7; 7.10; 10.13; …
Giải
u
1
= 1.4 = (3 - 2)(3 + 1)
u
2
= 4.7 = (3.2 - 2)(3.2 + 1)
u
3
= 7.10 = (3.3 - 2)(3.3 + 1)
…
Vậy u
n
= (3n - 2)(3n + 1)
Thật vậy với u
n
= (3n - 2)(3n + 1)
Ta có: u

1
= 1.4; u
2
= 4.7; u
3
= 7.10; u
4
= 10.13
Ta tìm được các số hạng của dãy số.
6
Bài tập 3: Cho dãy số (u
n
) với u
n
=
2
1
n 3n 2+ +
và dãy số (V
n
) xác định dãy số V
n
được cho bởi:
1 1
n 1 n n 1
v u
v v u
+ +
=



− =

Giải
Ta có: v
1
= u
1
v
2
= v
1
+ v
2
= u
1
+ u
2
v
3
= v
2
+ v
3
= u
1
+ u
2
+ u
3

…
v
n
= u
1
+ u
2
+ u
3
+ … + u
n
Xét u
n
=
2
1 1 1 1
n 3n 2 (n 1)(n 2) n 1 n 2
 
= = −
 ÷
+ + + + + +
 
Do đó v
n
= u
1
+ u
2
+ u
3

+ … + u
n

1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 3 4 4 5 n 1 n 2
1 1
2 n 2
n 1
2(n 2)
       
= − + − + − + + −
 ÷  ÷  ÷  ÷
+ +
       
= −
+
+
=
+
Vậy
n
n 1
v
2(n 2)
+
=
+
Bài tập 4: Xét dãy Fibonacci
1 2

n n 1 n 2
u u 1
u u u (n 3, n )
− −
= =


= + ≥ ∈

¥
Chứng minh rằng: u
n
=
n 1 n 1
1 1 5 1 5
(*)
2 2
5
+ +
 
   
+ −
 
−
 ÷  ÷
 
   
 
Giải
• Khi n = 1 thì u

1
=
2 2
1 1 5 1 5
1
2 2
5
 
   
+ −
 
− =
 ÷  ÷
 
   
 
Vậy (*) đúng khi n = 1.
• Giả sử (*) đúng với n = k, tức là: u
k
=
k 2 k 2
1 1 5 1 5
2 2
5
+ +
 
   
+ −
 
−

 ÷  ÷
 
   
 
Ta chứng minh (*) đúng khi n = k + 1 tức là chứng minh:
U
n+1
=
k 2 k 2
1 1 5 1 5
2 2
5
+ +
 
   
+ −
 
−
 ÷  ÷
 
   
 
(**)
7
Xét u
k+1
= u
k
+ u
k-1

k 1 k 1 k k
k k
k k
k 2
1 1 5 1 5 1 1 5 1 5
2 2 2 2
5 5
1 1 5 1 5 1 5 1 5
1 1
2 2 2 2
5
1 1 5 3 5 1 5 3 5
2 2 2 2
5
1 1 5 1 5 1
2 2
5
+ +
   
       
+ − + −
   
= − + −
 ÷  ÷  ÷  ÷
   
       
   
 
       

+ − − −
 
= + − +
 ÷  ÷  ÷  ÷
 
       
 
 
   
+ + − −
 
= −
 ÷  ÷
 
   
 
   
+ + −
= −
 ÷  ÷
   
k 2
k 2 k 2
5 1 5
2 2
1 1 5 1 5
2 2
5
+ +
 

   
−
 
 ÷  ÷
 
   
 
 
   
+ −
 
= −
 ÷  ÷
 
   
 
Vậy (**) đúng.
Kết luận: u
n
=
n 1 n 1
1 1 5 1 5
2 2
5
+ +
 
   
+ −
 
−

 ÷  ÷
 
   
 
Bài tập 5: Cho dãy số (u
n
) xác định như sau:
a/ u
1
= 2, u
n
= u
n – 1
,
n ,n 2∀ ∈ ≥¥
. Tìm u
n
theo n.
b/ u
1
= 2, u
n+1
=
1
3
u
n,
n *∀ ∈¥
. Tìm u
n

theo n.
Giải
a/ u
1
= 2
Ta có u
n
= u
n-1
+3
⇔
u
n
- u
n-1
= 3,
n ,n 2∀ ∈ ≥¥
Do đó: u
n
= (u
n
- u
n-1
) + (u
n-1
- u
n-2
) + … + (u
2
- u

1
) + u
1
= 3 + 3 + … + 3 + u
1
= (n – 1)3 + u
1
= 3n – 3 + 2
= 3n – 1
Vậy u
n
= 3n - 1
b/ u
1
= 2
Ta có: u
n+1
=
1
3
u
n

⇔
u
n+
n 1
n
u 1
u 3

+
=
,
n *∀ ∈¥
8
Do đó:
n n 1 2
n 1
n 1 1
u u u
u . .u
u u2 u
−
−
=

1
n 1
1
n 1
1 1 1
. .u
3 3 3
1
.u
3
2
3
−
−

=
 
=
 ÷
 
=
Vậy
n
n 1
2
u
3
−
=
Bài tập 6: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi:
1
n 1 n
u 3
1
u 2 u n 2, 3,
2
+
=



= + =



Tìm u
n
theo n.
Giải
• Ta có: u
1
= 3
• u
2
=
1
1 3 1
2 u 2 4
2 2 2
+ = + = −
• u
3
=
2
2
1 7 15 1
2 u 2 4
2 2 4 2
+ = + = = −
• u
4
=
3
3

1 15 31 1
2 u 2 4
2 8 8 2
+ = + = = −
• …
Dự đoán:
n
n 1
1
u 4
2
−
= −
(*),
n *∀ ∈¥
.
Ta chứng minh bằng quy nạp.
• n = 1:
1
0
1
u 4 3
2
= − =
: đúng.
• Giả sử (*) đúng với n = k tức là
k
k 1
1
u 4

2
−
= −
Ta chứng minh (*) đúng khi n = k + 1, tức là:
k 1
k
1
u 4
2
+
= −
Thật vậy:
k 1
k k 1
1 1 1
u 4 2 4
2 2 2
+
−
 
= − = + −
 ÷
 
k k
1 1
2 2 4
2 2
= + − = −
Vậy (*) đúng khi n = k + 1
9

Vậy
n
n 1
1
u 4
2
−
= −
n *∀ ∈¥
Bài tập 7: Cho dãy số (u
n
) xác định như sau:
−
−
= =


+

= =


1 2
2
n 1
n
n 2
u u 1
u 2
u , n 3,4, (1)

u
Chứng minh: u
n
= 4u
n-1
- u
n-2
, suy ra tất cả mọi số hạng của (u
n
) là số nguyên.
Giải
Chứng minh: u
n
= 4u
n-1
- u
n-2
,
∀ =n 3,4, (*)
• n = 3: u
3
= 4u
2
– u
1
= 4 – 1= 3
Và từ (1):
+ +
= = =
2

2
3
1
u 2 1 2
u 3
u 1
Vậy (*) đúng khi n = 3
• Giả sử (*) đúng khi n = k
≥
3, tức là: u
k
= 4u
k-1
– u
k-2
Ta chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức là chứng minh: u
k+1
= 4u
k
– u
k-1
Ta có: u
k+1
= 4u
k
– u
k-1

−
−

+
⇔ = −
2
k
k k 1
k 1
u 2
4u u
u

− −
⇔ + = −
2 2
k k k 1 k 1
u 2 4u .u u (1)
Thay u
k
= 4u
k-1
– u
k-2
vào (1) ta được: (4u
k-1
– u
k-2
)
2
+ 2 = 4u
k-1
(4u

k-1
– u
k-2
) - u
k-1
2
⇔
16u
k-1
2
- 8u
k-1
u
k-2
+ 2 = 16u
k-1
2
- 4u
k-1
u
k-2
- u
k-1
2
⇔
…
⇔
u
k
= 4u

k-1
– u
k-2

đúng theo giả thiết quy nạp.
Vậy u
k+1
= 4u
k
– u
k-1
tức (*) đúng khi n = k + 1
Kết luận: u
n
= 4u
n-1
- u
n-2
,
∀ =n 3,4,
Do
= = ∈¢
1 2
u u 1
Và do u
n
= 4u
n-1
- u
n-2

∈¢

Nên tất cả các số hạng của (u
n
) là các số nguyên.
TIẾT 6, 7
III CÁC DẠNG TOÁN KHÁC VỀ DÃY SỐ
1. Dạng toán phần nguyên của dãy số:
Bài tập 1: Tìm phần nguyên của dãy số:
3
3 3 3
1 1 1 1
M
4 5 6 1000000
= + + + +
Giải
Ta có:
3
2 3
2 1 1 4 1 8 1
1 . 1 2. . .
3 n n 3 n 27 n
 
+ = + + +
 ÷
 
10

2

2
1 1 1
1 2. 1 , n *
n n n
 
> + + = + ∈
 ÷
 
¥
2
3
2 1
1 1
3n n
 
⇒ + > +
 ÷
 

( )
2 1 2
3 3 3
2
3 2
3
3
2
n n (n 1)
3
1 3

n 1 n
2
n
−
+ > +
 
> + −
 
 
Tương tự
Ta có:
3
2 3
2 1 1 4 1 8 1
1 . 1 2. . .
3 n n 3 n 27 n
 
− = − + −
 ÷
 

2
2
1 1 1
1 2. 1 , n *
n n n
 
> − + = − ∈
 ÷
 

¥
(vì
2 3 2 3
4 8 1 1 1
. 0
3n 27 n 3n 3n
− > − ≥
)
Ta có:
2
3
2 1
1 1
3n n
 
− > −
 ÷
 
2
2 1
3
3 3
3
2 2
3
3
3 3
2 2 2 2
3 3
3

2 1
n n 1
3 n
1 3
n (n 1)
2
n
3 1 3
(n 1) n n (n 1)
2 2
n
−
 
⇔ − > −
 ÷
 
 
⇔ < − −
 
   
⇒ + − < < − −
   
Do đó: M >
(
)
(
)
(
)
3

2 2 2 2 2 23 3 3 3 3
3
5 4 6 5 1000001 1000001
2
 
− + − + + −
 
 
(
)
2 23 3
3 3
1000000000000 9 .10000 3 14997
2 2
14996 M 14997
= − < − =
⇒ < <
Do đó [M] = 14996.
Bài tập 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số
( )
n
2 3
 
+
 
 
là một số lẻ.
Giải
11
Ta có số

( )
n
2 3+
có thể biếu diễn dưới dạng
n n
a b 3+
, trong đó a
n
, b
n
là các số nguyên.
Mặt khác ta có
2 2
n n
a 3b 1 (1)− =
Thật vậy (chứng minh quy nạp)
• Khi n = 1 thì (1) đúng.
• Giả sử (1) đúng với n = k , tức là
( )
n
n n
2 3 a b 3+ = +
với
2 2
n n
a 3b 1
→
+ =
Khi đó
( ) ( ) ( )

n 1
n n
2 3 a b 3 2 3
+
+ = + +
( ) ( )
n n n n
2a 3b a 2b 3= + + +
Đặt a
n+1
= 2a
n
+ 3b
n
và b
n+1
= a
n
+ 2b
n
a
n+1
2
– 3b
n+1
2
= (2a
n
+ 3b
n

)
2
– 3(a
n
+ 2b
n
)
2
= a
n
2
- 3b
n
2

= 1
Vậy a
n
2
- 3b
n
2
= 1 với mọi số tự nhiên n.
Khi đó:
( )
n
n n n n
2 3 a b 3 a b 3
 
   

+ = + = +
   
 
 

2 2
n 1 n
2
n n
a 3b
a a 1
+
 
= +
 
 
= + −
 

n n
n
a (a 1)
2a 1
= + −
= −
Vậy
( )
n
n n
2 3 a b 3

 
 
+ = +
 
 
 
là một số nguyên.
Bài tập 3: Tìm phần nguyên của số A =
1 1 1

n 1 n 1 3n 1
+ + +
+ + +
trong đó n là một số nguyên dương,
n > 1.
Giải
Ta có:
1 1 1 1 1
3n 3n 1 2n 2n n
+ < + =
+
Nên A =
1 1 1 1 1 1 1 1
2
n 1 n 1 3n 1 3n 3n 1 n n n
 
+ + + + + < + + + =
 ÷
+ + + +
 

Do đó A < 2, mặt khác ta có:
A =
12

= 1

⇒
A > 1
Từ đó ta thu được 1 < A < 2
Vậy [A] = 1.
Bài tập 4: Chứng minh rằng với mọi số thực x, ta có:
[ ] [ ]
1
x 2x x
2
 
+ = −
 
 
Giải
Đặt n = [x],
{ }
xα =
, ta có: x = n +
α
Nếu
1
0
2
≤ α <

thì
[ ]
1
x x
2
 
+ =
 
 
bởi vì
1
1
2
α + <
Ta có: 2x = 2n + 2
α
và
0 2 1
≤ α <
nên [2x] = 2n
Do đó: [2x] – [x] = 2n – n = n = [x] =
1
x
2
 
+
 
 
Nếu
1

1
2
≤ α <
thì
[ ]
1
x x 1 n 1
2
 
+ = + = +
 
 
Vì
1 2 2
≤ α <
nên
[ ] [ ]
2x 2n 2 2n 1= + α = +
Do đó: [2x] – [x] = 2n + 1 – n = n + 1 =
1
x
2
 
+
 
 
Vậy với mọi số thực x, ta có:
[ ] [ ]
1
x 2x x

2
 
− = −
 
 
2. Dạng toán về tìm công thức truy hồi:
Bài tập 1: Cho dãy số:
( ) ( )
n n
n
2 3 2 3
u , n 0,1,2,
2 3
+ − −
= =
Hãy lập một công thức truy hồi để
tính u
n+2
theo u
n+1
và u
n
.
Giải
Đặt a
n =
( )
n
2 3
2 3

+
, b
n
=
( )
n
2 3
2 3
−
13
Khi đó: u
n
= a
n
- b
n
( ) ( )
( ) ( )
n 1 n n
2 2
n 2 n n
u 2 3 a 2 3 b
u 2 3 a 2 3 b
+
+
= + − −
= + − −

( ) ( )
( ) ( )

2
n n
2
n n n n
n 1 n
7 4 3 a 7 4 3 b
8 4 3 a 8 4 3 b (a b )
4u u
+
= + − −
= + − − − −
= −
Bài tập tương tự: Cho dãy số
( ) ( )
n n
n
10 3 10 3
u , n 0,1,2,
2 3
+ − −
= =
Xác lập công thức truy
hồi tính u
n+2
theo u
n+1
và u
n.
14