Báo cáo tiểu luận môn MẬT MÃ VÀ AN TOÀN DỮ LIỆU Hệ mã hoá trên đường cong Elliptic

MẬT MÃ VÀ AN TOÀN DỮ LIỆU
Giảng viên: PGS.TS Trịnh Nhật Tiến
Học viên : Bùi Thị Phương
Mã sinh viên:12025278
ĐẠI

HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
Hệ mã hoá trên đường cong Elliptic
Nội dung
1. Đường cong Elliptic
2. Mã hóa trên đường cong Elliptic
3. Độ an toàn của mã hóa trên đường cong Elliptic
1. Đường cong Elliptic
Trên trường số thực:
•
Đường cong Elliptic là đường cong có dạng:
y
2
=
x
3
+ ax + b
1. Đường cong Elliptic
Trên trường số thực:
•
Gọi E(a, b) là tập các điểm thuộc đường cong y
2
=
x
3

+
ax + b cùng với điểm O. Ta định nghĩa phép cộng trên
tập các điểm thuộc E(a, b) như sau:
•
Điểm O là phần tử đơn vị của phép cộng. Như vậy với
P E(a,b), P ≠ 0 thì P + 0 = 0+P=P . Trong phần tiếp theo
ta giả định P ≠ 0 và Q ≠ 0.
•
Phần tử nghịch đảo của điểm P trong phép cộng, ký hiệu
– P, là điểm đối xứng với P qua trục hoành, như vậy.
•
Với 2 điểm P, Q bất kỳ, kẻ một đường thẳng đi qua P
và Q thì sẽ cắt đường cong Elliptic tại một điểm thứ 3
là điểm S. Phép cộng P và Q sẽ là :
1. Đường cong Elliptic
1. Đường cong Elliptic
Tính giá trị của phép cộng:
•
Gọi tọa độ của điểm P là (x
p,
y
p
) , của điểm Q là (x
Q,
y
Q
)
•
Ta tính tọa độ của điểm R = P + Q = -S như sau:
Đặt hệ số góc đường thẳng là ∆

•
Ta tính được:
1. Đường cong Elliptic
Đường cong Elliptic trên trường Zp
y
2
mod p
=
(x
3
+ ax + b) mod p
•
Ví dụ trong trường Z
23
, chọn a =1,b=1,x=9,y=7 ta có:
7
2
mod 23=(9
3
+ 9 +1)mod 23
49

mod 23= 739 mod 23 =3
1. Đường cong Elliptic
Đường cong Elliptic trên trường Zp
Với 2 điểm P, Q bất kỳ, phép cộng R= P + Q được xác
định bằng công thức:
Trong đó:
2. Mã hóa trên Elliptic
•

Trong nhóm Abel E
p
(a,b) xây dựng từ đường cong
Elliptic Zp, xét phương trình:
Q = P + P + …+ P=kP (điểm Q là tổng của k điểm P,
k < p)
•
Cho trước k và P, việc tính Q thực hiện dễ dàng. Tuy
nhiên nếu cho trước P và Q, việc tìm ra k là công
việc khó khăn. Đây chính là hàm logarit rời rạc
của đường cong Elliptic
•
Dựa vào hàm một chiều trên chúng ta có 2 cách sử
dụng đường cong Elliptic trong lĩnh vực mã hóa là trao
đổi khóa EC Diffie-Hellman và mã hóa EC.
2. Mã hóa trên Elliptic
Trao đổi khóa EC Diffie-Hellman:
•
Chọn một số nguyên q lớn, với q là số nguyên tố, và
chọn 2 tham số a, b tương ứng để tạo thành nhóm
E
q
(a,b).
•
Ta gọi G là điểm cơ sở của nhóm nếu tồn tại một số
nguyên n sao cho nG=0. Số nguyên n nhỏ nhất như vậy
được gọi là hạng của G.
•
Trong trao đổi khóa EC Diffie-Hellman, ta chọn một điểm
G có hạng n lớn, và giao thức trao đổi khóa giữa Alice

và Bob tiến hành như sau:
2. Mã hóa trên Elliptic
Trao đổi khóa EC Diffie-Hellman:
1) Alice chọn một số n
A
< n và giữ bí mật số n
A
này.
Sau đó trong E
q
(a,b) Alice Tính P
A=
n
A
G và gửi cho Bob.
2) Tương tự Bob chọn một số bí mật n
B
, tính P
B
và gửi
P
B
cho Alice.
3) Alice tạo khóa phiên bí mật là K= n
A
P
B=
n
A
n

B
G
4) Bob tạo khóa phiên bí mật là K= n
B
P
A=
n
A
n
B
G
(nhóm Abel có tính giao hoán) giống với khóa của
Alice.
2. Mã hóa trên Elliptic
Mã hóa và giải mã:
•
Chọn các tham số để tạo một nhóm Abel E
q
(a,b) và
chọn một điểm cơ sở G có hạng n lớn.
•
Các thành phần khóa khóa riêng và công khai trong mã
hóa EC được định nghĩa như sau:
Trong đó: d<n và E=dG với d là một số bí mật do người
sinh khóa chọn.
•
Do tính chất của hàm một chiều từ E và G không thể suy
ra được d.
2. Mã hóa trên Elliptic
Mã hóa và giải mã – Phương pháp Elgamal:

•
Giả sử Alice muốn gửi một thông điệp M cho Bob,
trước tiên Alice chuyển M từ dạng dãy bít sang dạng
điểm P
M
=(x, y). Bản mã C
M
(dùng khóa công khai của
Bob) được tính là một cặp điểm như sau:
C
M =
{kG, P
M
+ kE}với k là một số ngẫu nhiên do Alice
chọn
•
Để giải mã dùng khóa riêng, Bob sẽ nhân điểm thứ
nhất trong C
M
với d, sau đó lấy điểm thứ hai trừ cho
kết quả:
2. Mã hóa trên Elliptic
Mã hóa và giải mã – Phương pháp Elgamal:
Ví dụ:
•
Chọn p = 751, a = 1, b = 188 ta có đường cong Elliptic
trên Z
751
như sau:
y

2
mod 751
=
(x
3
+ x + 188) mod 751 trong đó a,b,x,y Z
751
•
Chọn điểm cơ sở là G=(0,376)
•
Giả sử Alice cần mã hóa bản rõ là điểm P
M=
(562,201)
dùng khóa công khai E=(201,5). Alice chọn k=386. Ta có
386(0,36)=(676,58)
(562,201)+368(201,5)=(385,328)
•
Vậy bản mã là cặp điểm {(676,58), (385,328)}
Độ an toàn của mã hóa trên đường
cong Elliptic
Như vậy với cùng một độ an toàn thì mã hóa ECC
chỉ dùng các phép tính có số bít nhỏ hơn nhiều
lần so với mã hóa RSA.
16