BÁO CÁO MẬT MÃ VÀ AN TOÀN DỮ LIỆU Thuật toán SolowayStrassen

MẬT MÃ VÀ AN TOÀN DỮ LIỆU
Thuật toán Soloway-Strassen
Giảng viên: PGS.TS Trịnh Nhật Tiến
Trình bày: Nguyễn Thị Dung
1
Các nội dung chính

Thuật toán Soloway - Strassen

Ví dụ minh hoạ

Xác suất sai của thuật toán

Demo chương trình kiểm tra số nguyên tố lớn
2
Thuật toán Soloway-Strassen

Định nghĩa thặng dư bậc hai

Kí hiệu Legendre

Kí hiệu Jacobi

Tính chất của kí hiệu Jacobi

Thuật toán Soloway-Strassen
3
Thặng dư bậc hai

Thặng dư bậc hai mod n là a* thỏa mãn =a
mod n có nghiệm x *


Ngược lại thì không thặng dư

Ví dụ:

4 là thặng dư bậc hai mod 5 vì 4=

3 không là thặng dư bậc hai mod 5 vì không có số
nguyên nào trong tập hợp {0, 1, 2, 3, 4} bình phương
bằng 3 mod 5.


4
Ký hiệu Legendre

Ký hiệu Legendre với a p là số nguyên tố

=

KíhiệuLagrăngđượcsửdụngtrongtiêuchuẩnEuler
doEulerchứngminh:
 = a (p-1)/2 (mod p)


5
Ký hiệu Jacobi

Định nghĩa: với n 1 lẻ và mọi số nguyên a 0.
Giả sử n = p1e1 p2e2 p3e3 … pkek,
Với p1, p2, , pk là các số nguyên tố

Ký hiệu Jacobi được định nghĩa như sau:
=

Khi n = p là số nguyên tố thì giá trị của ký hiệu Legendre và
Jacobi là như nhau.


6
Tính chất của kí hiệuJacobi

(i)=0, 1, hoặc -1. Hơn nữa, =0 nếu và chỉ nếu gcd(a, n) != 1

(ii) =

(iii) = 

(iv) Nếu a=b mod n thì =

(v) =1

(vi) = =

(vii) = =

(viii)=


7
Thuật toán Soloway-Strassen


INPUT: n: là số tự nhiên lẻ

OUTPUT: FALSE nếu n là hợp số
TRUE nếu n không là hợp số

Các bước thực hiện:

Chọn a ngẫu nhiên trong khoảng[1,n-1]

Tính ký hiệu Jacobi J=(a/n)

Tính x =a (n-1)/2 mod n

Nếu J ≠ x thì trả về FALSE

Nếu khác trả về TRUE.
8
Thuật toán Soloway-Strassen
9
Thời gian thực hiện thuật toán

Thực hiện với hai phép tính chính: a(n-1)/2 mod n và
(a/n)

Phép tính a(n-1)/2 mod n thực hiện trong thời gian
O(logn).

Phép tính (a/n) thực hiện trong thời gian O(log2 n).

Solovay-Strassen thực hiện thuật toán k lần -> thời gian

thực hiện thuật toán là O(k. log2 n).
10
Ví dụ minh họa

Kiểm tra số 221 là số nguyên tố hay không

Chọn ngẫu nhiên một số a = 47. Tính toán:

a(n-1)/2 mod n = 47110 mod 221 = -1 mod 221

(a/n) mod n = (47/221) mod 221 = -1 mod 221
hoặc 221 là số nguyên tố, hoặc 47 là một số nguyên tố giả Euler đối với
221.

Chọn ngẫu nhiên một số a = 2. Tính toán:

a(n-1)/2modn=2110mod221=30mod221

(a/n)modn=(2/221)mod221=-1mod221
221 là hợp số
11
Xác suất sai

Gọi A là biến cố: "Số nguyên lẻ n là hợp số"; B là biến cố:
"Thuật toán Soloway-Strassen trả lời TRUE".

Xác suất điều kiện P(B|A)

Sau k lần lặp thì xác suất sai :



12
Giao diện phần mềm

Input loop: tùy
chọn số lần lặp

Number To
Check: nhập số tự
nhiên cần kiểm tra
13
Thanks for your listening!
14