Cơ học lượng tử 1.3

1
Outline
I.Solving the Simple Harmonic Oscillator with the ladder operators
II.Representing an operator as a matrix
III.Heisenberg Picture and Schroedinger Picture
IV.Equations of motion for x(t) and p(t) in the Heisenberg Picture
V.The Ehrenfest Theorem
Please read Goswami Chapter 8
2
I. Solving the simple harmonic oscillator with the ladder operators
Recall a u
0
= 0
Συπποσε ωε ωαντ το φινδ τηε ειγενφυνχτιονσ ιν ξ−σπαχε
Ω ριτε ουτ
α
=
φ
(
ξ
). Υσε −
ι
η
∂
∂
ξ
φορ
π
.
µω
2η

ξ
+
ι
2
µ
η
ω
−
ι
η
∂
∂
ξ
















υ

0
(
ξ
) = 0
Μυλτιπλψ βψ 2 ανδ δεφινε
ξ
=
µω
η
ξ
ξ
+
∂
∂
ξ






υ
0
= 0. Ιντεγρατε:
υ
0
=
Χε
−
ξ

2
/2
. Νορµ αλιζε:
1 ≡
δξ υ
0
(
ξ
)
2
=
Χ
2
δξ
εξπ
−
µωξ
2
η






−∞
+∞
∫
−∞
+∞

∫
=
Χ
2
η
π
µω
Σο
Χ
=
µω
π
η






1/4
Σο
υ
0
ξ
( )
=
µω
π
η







1/4
ε
−
ξ
2
/2

3
u
n
ξ
( )
∝
υ
ν
ξ
( )
=
ξ υ
ν
=
ξ
α
†
( )

ν
ν
!
υ
0
=
ξ
1
ν
!
µω
2η
ξ
−
ιπ
2
µ
η
ω










ν

υ
0
=
1
2
ν
1
ν
!
ξ
−
∂
∂
ξ






ν
ε
−
ξ
2
/2
↓
1 24 4 34 4

ε

−
ξ
2
/2
Η
ν
ξ
( )
Τηισ ισ τηε σαµ ε σολυτιον ασ ωασ φουνδ ωιτη τηε σεριεσ µ ετηοδ.
Νοτε, ιτ τυρνσ ουτ τηατ τηε
υ
ν
αρε ορτηονορµ αλ, σο
υ
ν
υ
µ
=
δ
νµ
Το φινδ τηε ειγενϖαλυεσ, ρεχαλλ Η
υ
= η
ω α
†
α
+
1
2







υ
=
Ε υ
Σο
α
†
α υ
=
Ε
η
ω
−
1
2






υ

4
Consider u
0

We know that a u
0
= 0
Σο
α
†
α υ
0
= 0
Ε
0
η
ω
−
1
2






↑
6 74 84
υ
0
= 0
Σο
Ε
0

η
ω
−
1
2
= 0
Ε
0
=
η
ω
2
.

5
II. Representing an operator as a matrix
Consider the mathematical operation u
m
a
†
u
n
.
What this means is:
(i) Begin with an initial state u
n
, the nth energy level of H or N.
(ii) Operate on it with a
†
, which raises it to state u

n+1
Τηατ ισ,
α
†
υ
ν
=
χ υ
ν
+1
ωηερε
χ
ισ α νορµ αλιζατιον χονσταντ.
(ιιι) Χαλχυλατε τηε ιννερ προδυχτ οφ τηατ ρεσυλτ ωιτη
υ
µ
:
υ
µ
χ υ
ν
+1
=
χ υ
µ
υ
ν
+1
↓
1 24 34

δ
µ
,
ν
+1
Νοω χονσιδερ
υ
µ
χ υ
ν
. Βψ α σιµ ιλαρ αναλψσισ τηισ γιϖεσ
χ
∋
υ
µ
υ
ν
−1
=
χ
∋
δ
µ
,
ν
−1
.
Νοω φινδ τηε
χ

ανδ
χ
∋.

6
Start with u
n+1
=
1
ν
+1
( )
!
α
†
( )
ν
+1
υ
0
=
1
ν
+1
( )
1
ν
!
α
†

( )
ν
+1
υ
0
=
α
†
ν
+1
( )
1
ν
!
α
†
( )
ν
υ
0
↓
1 244 34 4

υ
ν
Σο
υ
ν
+1
=

α
†
ν
+1
( )
υ
ν
. Ρεωριτε τηισ ασ:
ν
+1
( )
υ
ν
+1
=
α
†
υ
ν
. Μυλτιπλψ ον τηε λεφτ ωιτη
υ
µ
:
υ
µ
ν
+1
( )
υ
ν

+1
↓
1 24 44 34 4 4
=
υ
µ
α
†
υ
ν
ν
+1
( )
υ
µ
υ
ν
+1
↓
1 24 34

δ
µ
,
ν
+1
Σο
υ
µ
α

†
υ
ν
=
ν
+1
( )
δ
µ
,
ν
+1

7
Now consider the case for operator a:
Start with a u
n
=
α
1
ν
!
α
†
( )
ν
υ
0
.
Ρεχαλλ ωε σηοωεδ τηατ

α α
†
( )
ν
=
ν α
†
( )
ν
−1
+
α
†
( )
ν
α
Σο
α υ
ν
=
ν
ν
!
α
†
( )
ν
−1
υ
0

+
1
ν
!
α
†
( )
ν
α υ
0
↓
{
0
Νοω µ υλτιπλψ ον τηε λεφτ ωιτη
υ
µ
:
υ
µ
α υ
ν
=
υ
µ
ν
ν
!
α
†
( )

ν
−1
υ
0
=
υ
µ
ν
1
ν
−1
( )
!
α
†
( )
ν
−1
υ
0
↓
1 24 4 4 34 4 4

υ
ν
−1
=
υ
µ
ν υ

ν
−1
=
ν υ
µ
υ
ν
−1
↓
1 24 34

δ
µ
,
ν
−1
Σο
υ
µ
α υ
ν
=
νδ
µ
,
ν
−1

8
Construct a table for operator a

†
:
INITIAL STATES
u ruuuuuuuuuuuuuuuuuu
n= 0 1 2 3 4
FINAL STATES
m= 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0
2 0 2 0 0 0
3 0 0 3 0
4

Construct a table for operator a :
INITIAL STATES
u ruuuuuuuuuuuuuuuuuu
n= 0 1 2 3 4
FINAL STATES
m= 0 0 1 0 0 0
1 0 0 2 0 0
2 0 0 0 3 0
3 0 0 0 0
4


9
These "tables" are the matrix representations of the operators a
†
and a.
Notice that because the simple harmonic oscillator has an infinite number
of eigenstates, the matrices are infinite-dimensional.

The matrices encode the
-amount of overlap between states u
n
and u
m
−
ορ
−
−τηε αµ πλιτυδε
↓
1 24 34
φορ τρανσιτιον
↓
1 24 34
βετωεεν
υ
ν
ανδ
υ
µ
προβαβιλιτψ (χαυσεδ βψ
α
ορ
α
†
)

10
Recall we showed that the operator that evolves Ψ ιν τιµ ε ισ
Υ

=
ε
−
ιΗ
(
τ
−
τ
0
)/η
.
Σο ιφ
τ
0
= 0,
Ψ(
τ
) =
ε
−
ιΗτ
/η
Ψ(0) .
Χονσιδερ σοµ ε οπερατορ Α ωηιχη ισ νοτ ιτσελφ α φυνχτιον οφ τιµ ε. Συπποσε ωε ωαντ το φινδ ιτσ
εξπεχτατιον ϖαλυε ατ τιµ ε τ:
Α
τ
= Ψ(
τ
)

Α
Ψ(
τ
)
= Ψ(0)
ε
ιΗτ
/η
Αε
−
ιΗτ
/η
Ψ(0)
Ω
ε ηαϖε α χηοιχε αβουτ ωηετηερ το γρουπ τηε εξπονεντιαλ φυνχτιονσ ωιτη τηε
Α
ορ ωιτη τηε Ψ(0).
2 γρουπινγσ:
Ψ(0)
ε
ιΗτ
/η
1 24 34
Αε
−
ιΗτ
/η
Ψ(0)
1 244 34 4
Ψ(0)

ε
ιΗτ
/η
Αε
−
ιΗτ
/η
1 24 34
Ψ(0)
Ψ(
τ
)
Α
Ψ(
τ
) Ψ(0)
Α
∋Ψ(0)
Ηερε
Α
ισ νοτ α φυνχτιον οφ
τ
βυτ Ψ ισ. Ηερε
Α
∋ ισ α φυνχτιον οφ
τ
βυτ Ψ ισ νοτ.
Τηε ϖιεω τηατ ∀τηε εϖολυτιον οφ τιµ ε Τηε ϖιεω τηατ ∀τηε εϖολυτιον οφ τιµ ε
χηανγεσ τηε Ψ∋σ, νοτ τηε οπερατορσ∀ ισ τηε χηανγεσ τηε οπερατορσ, νοτ τηε Ψ∋σ∀ ισ τηε
Σχηροεδινγερ Πιχτυρε οφ θυαντυµ µ εχηανιχσ. Ηεισενβεργ Πιχτυρε οφ θυαντυµ µ εχηανιχσ.

11
Up to now we have viewed everything from the Schroedinger perspective (that is,
the Schroedinger Equation is a time-development equation for Ψ.
Now consider the Heisenberg Picture and find a time-development equation for
A’.
Start with the definition:
A'(t) =
ε
ιΗτ
/η
Αε
−
ιΗτ
/η
δΑ
∋(
τ
)
δτ
=
∂
ε
ιΗτ
/η
( )
∂
τ
Αε
−

ιΗτ
/η
+
ε
ιΗτ
/η
∂
Α
∂
τ
↓
{
ε
−
ιΗτ
/η
+
ε
ιΗτ
/η
Α
∂
ε
ιΗτ
/η
( )
∂
τ
0
=

ιΗ
η
ε
ιΗτ
/η
Αε
−
ιΗτ
/η
↓
1 24 34
+
ε
ιΗτ
/η
Αε
−
ιΗτ
/η
↓
1 24 34
−
ιΗ
η







Α
∋(
τ
)
Α
∋(
τ
)
Χονχλυδε:
δΑ
∋(
τ
)
δτ
=
ι
η
Η
,
Α
∋(
τ
)
[ ]
. Τηισ ισ τηε Ηεισενβεργ εθυιϖαλεντ το τηε Σχηροεδινγερ Εθυατιον.
Ω ηατ ιφ
Α
(νοτ
Α

∋) ισ εξπλιχιτλψ τιµ ε δεπενδεντ? Τηισ ισ χαλλεδ τηε Ιντεραχτιον Πιχτυρε ανδ ωιλλ
βε αδδρεσσεδ ιν Χηαπτερ 22.

12
IV. The equations of motion for x
op
(t) and p
op
(t) in the Heisenberg Picture
What we want:
x
op
(t) =
φ
1
(
τ
, χονσταντσ)
π
οπ
(
τ
) =
φ
2
(
τ
, χονσταντσ).
Τηε χονσταντσ αρε
ξ

(
τ
= 0),
π
(
τ
= 0),
µ
, η,
κ
, ανδ σο φορτη.
Τηεσε αρε χονσταντσ σπεχιφιεδ βψ τηε ενϖιρονµ εντ οφ τηε προβλεµ .
Νοτε τηεσε αρε τηε τιµ ε−ινδεπενδεντ οπερατορσ ιν τηε Σχηροεδινγερ Πιχτυρε.
Ω ηατ ωε κνοω:
Το φινδ ξ(τ) ωε µ υστ εϖεντυαλλψ σολϖε σοµ ε φορµ οφ τηε εθυατιον
δξ
(
τ
)
δτ
=
ι
η
Η
,
ξ
(
τ
)
[ ]

.
Τηισ ισ ηαρδ το σολϖε βεχαυσε ωε δο νοτ κνοω
Η
,
ξ
(
τ
)
[ ]
.
Α ∀τριχκ∀:

13
We know that x(t) is related to x(0) by x(t) =
ε
−
ιΗτ
/η
ξ
(0)
ε
ιΗτ
/η
Ω ε κνοω τηατ
ξ
(0) ισ ρελατεδ το
α
(0) ανδ
α
†

(0) βψ
ξ
(0) =
α
(0) +
α
†
(0)
2
µω
η
.
Ω ε κνοω τηατ
α
(0) ανδ
α
†
(0) αρε ρελατεδ το
α
(
τ
) ανδ
α
†
(
τ
) βψ
α
(
τ

) =
ε
−
ιΗτ
/η
α
(0)
ε
ιΗτ
/η
ανδ
α
†
(
τ
) =
ε
−
ιΗτ
/η
α
†
(0)
ε
ιΗτ
/η
.
Ιτ τυρνσ ουτ τηατ ωε χαν φινδ
Η
,

α
(
τ
)
[ ]
ανδ
Η
,
α
†
(
τ
)




ανδ ωορκ βαχκωαρδ το γετ
ξ
(
τ
).
Πλαν:
(ι) Φινδ
Η
,
α
(
τ
)

[ ]
ανδ
Η
,
α
†
(
τ
)




.
(ιι) Συβστιτυτε τηεσε ιντο
δα
(†)
(
τ
)
δτ
=
ι
η
Η
,
α
(†)
(
τ

)




το γετ α
(†)
(
τ
) =
φ
(
τ
,
α
(†)
(0)).
(ιιι) Ω ορκ βαχκωαρδ φροµ
α
(†)
(
τ
) ⇒
α
(†)
(0) ⇒
ξ
(0) ⇒
ξ
(

τ
).
Χαρρψ ουτ τηε πλαν:

14
(i) Find H,a(t)
[ ]
Ρεχαλλ ηοω ωε φουνδ
Η
,
α
(0)
[ ]
= −η
ωα
(0) : ωε υσεδ
α
(0),
α
†
(0)




= 1.
Σο ωε νεεδ το φινδ
α
(
τ

),
α
†
(
τ
)




. Το φινδ τηισ, βεγιν ωιτη
α
(0),
α
†
(0)




= 1. Εξπανδ ιτ:
α
0
α
0
†
−
α
0
†

α
0
= 1. Μυλτιπλψ εαχη τερµ βψ 1:
α
0
⋅1⋅
α
0
†
−
α
0
†
⋅1⋅
α
0
= 1. Ρεπλαχε 1 =
ε
−
ιΗτ
/η
ε
+
ιΗτ
/η

α
0
ε
−

ιΗτ
/η
ε
+
ιΗτ
/η
α
0
†
−
α
0
†
ε
−
ιΗτ
/η
ε
+
ιΗτ
/η
α
0
= 1.
Οπερατε ον εϖερψτηινγ ωιτη
ε
+
ιΗτ
/η
φροµ τηε λεφτ ανδ ωιτη

ε
−
ιΗτ
/η
φροµ τηε ριγητ.
ε
+
ιΗτ
/η
α
0
ε
−
ιΗτ
/η
↓
1 244 34 4
ε
+
ιΗτ
/η
α
0
†
ε
−
ιΗτ
/η
↓
1 244 34 4

−
ε
+
ιΗτ
/η
α
0
†
ε
−
ιΗτ
/η
↓
1 244 34 4
ε
+
ιΗτ
/η
α
0
ε
−
ιΗτ
/η
↓
1 244 34 4
=
ε
+
ιΗτ

/η
⋅1⋅
ε
−
ιΗτ
/η
↓
1 24 4 34 4

α
(
τ
)
α
†
(
τ
) −
α
†
(
τ
)
α
(
τ
) = 1
Χονδενσε τηισ το:
α
(

τ
),
α
†
(
τ
)




= 1. ∀Εθ 1∀
Το φινδ
Η
,
α
(
τ
)
[ ]
ωε αλσο νεεδ Η(τ):
Ρεχαλλ
Η
= η
ω α
0
†
α
0
+

1
2






.
Ασ αβοϖε, ινσερτ 1 =
ε
−
ιΗτ
/η
ε
+
ιΗτ
/η
βετωεεν
α
0
†
ανδ
α
0
τηεν
οπερατε ωιτη
ε
+
ιΗτ

/η
φροµ τηε λεφτ ανδ ωιτη
ε
−
ιΗτ
/η
φροµ τηε ριγητ.

15
We get:
e
+
ιΗτ
/η
Ηε
−
ιΗτ
/η
↓
1 244 34 4
= η
ω ε
+
ιΗτ
/η
α
0
†
ε
−

ιΗτ
/η
↓
1 244 34 4
ε
+
ιΗτ
/η
α
0
ε
−
ιΗτ
/η
↓
1 244 34 4
+
ε
+
ιΗτ
/η
1
2
ε
−
ιΗτ
/η
↓
1 244 34 4











Η
χοµ µ υτεσ ωιτη
α
†
(
τ
)
α
(
τ
)
1
2
φυνχτιονσ οφ
Η
, σο
ρεορδερ τηισ ασ
ε
+
ιΗτ
/η

ε
−
ιΗτ
/η
↓
1 24 34
Η
1
Χονχλυδε:
Η
= η
ω α
†
(
τ
)
α
(
τ
)+
1
2






Εθ. 2
Νοω υσε Εθ 1 ανδ Εθ 2 το γετ

Η
,
α
(
τ
)
[ ]
:
Η
,
α
(
τ
)
[ ]
= η
ω α
†
(
τ
)
α
(
τ
)+
1
2













,
α
(
τ
)






Εξπανδ, δο αλλ τηε σαµ ε στεπσ ασ φορ τηε τιµ ε−ινδεπ χασε:
= −η
ωα
(
τ
)
Σιµ ιλαρλψ,
Η
,
α

†
(
τ
)




= +η
ωα
†
(
τ
)

16
Continue with the plan.
(ii) Substitute these into
da
(†)
(t)
dt
=
ι
η
Η
,
α
(†)
(

τ
)




.
Η
,
α
(†)
(
τ
)




= η
ωα
†
(
τ
)
Σο
δα
(†)
(
τ
)

δτ
=
ιωα
†
(
τ
). Ιντεγρατε:
α
†
(
τ
) =
ε
ιωτ
α
†
(0) Εθ. 3
Σιµ ιλαρλψ,
δα
(
τ
)
δτ
=
ι
η
Η
,
α
(

τ
)
[ ]
=
ι
η
−η
ωα
(
τ
)
( )
. Ιντεγρατε:
α
(
τ
) =
ε
−
ιωτ
α
(0) Εθ. 4
Χοντινυε ωιτη τηε πλαν.
(ιιι) Ω ορκ βαχκωαρδ το οβταιν
ξ
(
τ
).
Ρεχαλλ
α

(0) =
µω
2η
ξ
(0) +
ι
2
µ
η
ω
π
(0) Εθ. 5
Οπερατε ον εϖερψτηινγ φροµ τηε λεφτ ωιτη
ε
ιΗτ
/η
ανδ ον τηε ριγητ ωιτη
ε
−
ιΗτ
/η
ε
ιΗτ
/η
α
(0)
ε
−
ιΗτ
/η

1 24 4 34 4
=
ε
ιΗτ
/η
µω
2η
ξ
(0)
ε
−
ιΗτ
/η
+
ε
ιΗτ
/η
ι
2
µ
η
ω
π
(0)
ε
−
ιΗτ
/η

=

µω
2η
ε
ιΗτ
/η
ξ
(0)
ε
−
ιΗτ
/η
1 24 4 34 4
+
ι
2
µ
η
ω
ε
ιΗτ
/η
π
(0)
ε
−
ιΗτ
/η
1 24 4 34 4

α
(
τ
) =
µω
2η

ξ
(
τ
) +
ι
2
µ
η
ω

π
(
τ
) Εθ. 6

17
Similarly recall that a
†
(0) =
µω
2η
ξ
(0) −

ι
2
µ
η
ω
π
(0) Εθ. 7
Τηισ λεαδσ το
α
†
(
τ
) =
µω
2η
ξ
(
τ
) −
ι
2
µ
η
ω
π
(
τ
) Εθ. 8
Νοω συβστιτυτε Εθ. 7 ανδ Εθ. 8 ιντο Εθ. 3:
µω

2η
ξ
(
τ
) −
ι
2
µ
η
ω
π
(
τ
) =
ε
ιωτ
µω
2η
ξ
(0) −
ι
2
µ
η
ω
π
(0)











Εθ. 9
ανδ συβστιτυτε Εθ. 5 ανδ Εθ. 6 ιντο Εθ. 4:
µω
2η
ξ
(
τ
) +
ι
2
µ
η
ω
π
(
τ
) =
ε
−
ιωτ
µω
2η
ξ

(0) +
ι
2
µ
η
ω
π
(0)










Εθ. 10
Ελιµ ινατε
π
(
τ
) φροµ Εθ. 9 ανδ Εθ. 10 βψ αδδινγ τηεµ , το γετ:
2
µω
2η
ξ
(
τ

) =
µω
2η
ξ
(0)
ε
ιωτ
+
ε
−
ιωτ
( )
−
ι
2
µ
η
ω
π
(0)
ε
ιωτ
−
ε
−
ιωτ
( )
Σο
ξ
(

τ
) =
ξ
(0)χοσ
ωτ
+
π
(0)
µω
σιν
ωτ
Σιµ ιλαρλψ, ελιµ ινατε ξ(τ) φροµ Εθ. 9 ανδ Εθ. 10 το γετ
π
(
τ
) =
π
(0)χοσ
ωτ
+
µωξ
(0)σιν
ωτ

18
V. Ehrenfest Theorem
The message of this section is:
We found the following fact about expectation values of operators. (Consider an arbitrary operator Q):
d
dt

Q =
ι
η
Η
,
Θ
[ ]
+
∂
Θ
∂
τ
Τηισ αλλοωσ υσ το φινδ ρελατιονσηιπσ βετωεεν
Θ
ανδ
δ
δτ
Θ
φορ ϖαριουσ οπερατορσ ινχλυδινγ
ξ
ανδ
π
.
Ιτ τυρνσ ουτ τηατ τηε ρελατιονσηιπσ ωε γετ ωηεν
Θ
=
ξ
ορ
Θ
=

π
ηαϖε τηε σαµ ε φορµ ασ Νεωτον∋σ Λαωσ.
Σο Νεωτον∋σ Λαωσ ρελατεδ θυαντιτιεσ (
ξ
,
π
,
Φ
, ετχ.) τηατ αρε αχχυρατελψ γιϖεν βψ θυαντυµ µ εχηανιχαλ
εξπεχτατιον ϖαλυεσ
ξ
,
π
, ετχ.
Τηατ ισ ωηψ χλασσιχαλ µ εχηανιχσ ωορκσ ιν α ωορλδ τηατ ισ ιν ρεαλιτψ θυαντυµ µ εχηανιχαλ.
Σο φορ εξαµ πλε, ωηεν ωε µ εασυρε Νεωτονιαν ποσιτιον, ωηατ ωε αρε ρεαλλψ µ εασυρινγ ισ
ξ
.
Το σηοω τηισ:
βεγιν ωιτη
δ
δτ
Θ
=
ι
η
Η
,
Θ
[ ]

+
∂
Θ
∂
τ
. Λετ
Θ
=
ξ
. Τηεν
∂
Θ
∂
τ
=
∂
ξ
∂
τ
= 0. Τηεν ωε ηαϖε
δ
δτ
ξ
=
ι
η
Η
,
ξ
[ ]

=
ι
η
π
2
2
µ
+
ς
(
ξ
),
ξ






Εξπανδ:

19
d
dt
x =
i
h
1
2m
p

2
,x




1 2 3
+
ς
(
ξ
),
ξ
[ ]
↓
1 24 34
0 βεχαυσε α φυνχτιον οφ
ξ
χοµ µ υτεσ ωιτη
ξ
.
Το φινδ τηισ χοµ µ υτατορ, νοτε
π
2
,
ξ





=
π
2
ξ
−
ξπ
2
=
π
2
ξ
−
ξπ
( )
π
.
Βυτ
ξ
,
π
[ ]
=
ξπ
−
πξ
=
ι
η, σο
ξπ
=

ι
η+
πξ
.
Τηεν
π
2
,
ξ




=
π
2
ξ
−
ι
η+
πξ
( )
π
=
π
2
ξ
−
ι
η

π
−
π ξπ
( )
=
π
2
ξ
−
ι
η
π
−
π ι
η+
πξ
( )
=
π
2
ξ
−
ι
η
π
−
πι
η−
π
2

ξ
= −2
ι
η
π
.
δ
δτ
ξ
=
ι
η
1
2
µ
−2
ι
η
π
( )
δ
δτ
ξ
=
π
µ
Εηρενφεστ Εθυατιον #1
Νοτε:
(1) Τηισ ισ τηε θυαντυµ µ εχηανιχαλ ϖερσιον οφ
ϖ

=
π
µ
(2) Τηισ φορµ υλα χαννοτ βε τρυε φορ ινδιϖιδυαλ ειγενϖαλυεσ οφ ξ
οπ
ανδ π
οπ
σινχε τηατ ωουλδ ιµ πλψ
σιµ υλτανεουσ µ εασυρεµ εντ οφ
ξ
ανδ
π
.

20
Now consider the case where Q =
π
. Τηεν αγαιν
∂
π
∂
τ
= 0, σο ωε ηαϖε
δ
δτ
π
=
ι
η
π

2
2
µ
+
ς
(
ξ
),
π






=
ι
η
1
2
µ
π
2
,
π




↓

1 2 3
+
ς
(
ξ
),
π
[ ]
=
−
ι
η
π
,
ς
(
ξ
)
[ ]
0
Το φινδ
π
,
ς
(
ξ
)
[ ]
, αχτ ωιτη ιτ ον σοµ ε τεστ
ψ

:

π
,
ς
(
ξ
)
[ ]
ψ
=
πς ψ
−
ς πψ
. Συβστιτυτε
π
= −
ι
η
δ
δξ
= −
ι
η
δ
δξ
ς ψ
( )
−
ς

−
ι
η
δψ
δξ






= −
ι
η
δ ς ψ
( )
δξ
−
ς
δψ
δξ






= −
ι
η

ς
δψ
δξ
+
δς
δξ
ψ
−
ς
δψ
δξ






= −
ι
η
δς
δξ
ψ
Σο
π
,
ς
(
ξ
)

[ ]
= −
ι
η
δς
δξ
. Πλυγ τηισ ιν το γετ:

21
d
dt
p =
−
ι
η
−
ι
η
δς
δξ
Σο
δ
δτ
π
= −
δς
δξ
=
Φ
ξ

βεχαυσε
ρ
Φ
= −
ρ
∇
ς
.
Τηισ ισ τηε ξ−χοµ πονεντ οφ τηε ϖεχτορ φορµ υλα
δ
δτ
ρ
π
=
ρ
Φ
Εηρενφεστ Εθυατιον #2
Τηισ ισ τηε θυαντυµ µ εχηανιχαλ φορµ οφ
δ
ρ
π
δτ
=
ρ
Φ

22
Outline
I. The WKB Approximation: Introduction
II. WKB Connection Formulas

23
I. The WKB Approximation: Introduction
The issue: Most potentials in real applications are not simple square wells and so forth,
so generally they lead to differential equations that are hard to solve.
Generally solving these requires making approximations.
There is an approximation that works well if V varies only slowly as a function of x, so
if we look in a small region, we can say that V~ constant. This is the WKB
Approximation.
The method:
(1) Consider a confining potential that is generally arbitrarily shaped but that does not
vary rapidly:
Consider a particle trapped in the well at E.
Definition: The values of x for which V=E are called the “turning points.”
V(x)
E
24
(2) Write down the Schroedinger Equation, assume that because V is ~ constant in
a local region, ψ is ~ a free particle in that region: that is, a plane wave. Thus
assume that ψ ~ Ae
ikx
.
Plane waves do not change their amplitudes, so assume that δ
2
A/dx
2
=0.
Solve the Schroedinger Equation with this approximation.
The approximate solution is close to the exact solution everywhere except at the
turning points.
(3) To repair the problem at the turning points:

in those regions only, assume V is a linear function for which the Schroedinger
Equation is easily solved.
Find ψ for that V at those x’s.
(4) Connect the ψ’s at the turning points to the ψ’s that are everywhere else.
This is the boundary condition application. This develops equations called the
Connection Formulas.
(5) The formulas for ψ’s that are produced by this method are general enough to
be used in all problems where V is slowly varying.
25
Carry out the method:
(1) Consider an arbitrary smooth "slowly varying" potential which is binding a particle that
has energy E. What is meant by "slowly varying"?
A potential is slowly varying if its change in value
1 24 44 34 4 4
across a deBroglie wavelength
1 24 4 44 34 4 4 4

∂
ς
∂
ξ

λ
ισ µ υχη λεσσ τηαν τηε κινετιχ ενεργψ οφ τηε παρτιχλε
1 24 4 4 4 44 34 4 4 4 4 4
.

Ε
−
ς

Ορ:
∂
ς
∂
ξ
⋅
λ
<<
Ε
−
ς
( )
Ρεωριτε τηισ ασ:
1
Ε
−
ς
∂
ς
∂
ξ
⋅
λ
<<1.
Ω ηερε τηισ αππροξιµ ατιον ωορκσ: Ω ηερε τηισ αππροξιµ ατιον δοεσ νοτ ωορκ:
Λετ
ψ
(
ξ
) =

Α
(
ξ
)
ε
ιϕ
(
ξ
)
Ω ηερε
Ε
=
ς
(τηατ ισ, ατ τηε τυρνινγ ποιντσ)
Τηε γενεραλ φορµ ωηιχη χαν αχχοµ µ οδατε
ανψτηινγ.