Giáo trình nhập môn Thuật toán

HỒ ANH MINH
GIÁO TRÌNH
NHẬP MÔN THUẬT TOÁN
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM QUY NHƠN – 2003
LỜI NÓI ĐẦU
Thuật toán là một khái niệm then chốt trong Tin học. Việc làm quen với các thuật
toán cơ bản và khám phá ra những thuật toán là công việc quan trọng của người lập
trình. Người lập trình không chỉ cần biết các thuật toán thông dụng mà còn phải biết tự
tìm ra các thuật toán giải quyết các vấn đề cụ thể nảy sinh khi viết chương trình.
Hiện nay có hai loại tài liệu liên quan tới thuật toán là các tài liệu về ngôn ngữ lập
trình và các tài liệu chuyên về thuật toán. Các tài liệu về ngôn ngữ lập trình thường đưa
ra các chương trình dựa trên các thuật toán có sẵn. Việc sử dụng các thuật toán có sẵn
trong việc viết chương trình dễ tạo thành một thói quen sử dụng thuật toán một cách cảm
tính, ít quan tâm tới tính đúng đắn cũng như hiệu quả của thuật toán đang sử dụng. Trong
khi đó các tài liệu chuyên môn về thuật toán thì đòi hỏi một mức độ nhất định về kiến
thức toán học và tư duy, không thích hợp cho những người mới làm quen với thuật toán.
Giáo trình Nhập môn thuật toán được biên soạn dựa trên bài giảng cho sinh viên
ngành Tin học. Giáo trình tập trung vào khái niệm thuật toán mà không nhắc nhiều tới
cấu trúc dữ liệu.
Nội dung giáo trình gồm hai phần:
Phần 1 trình bày các khái niệm cơ bản và giới thiệu một số thuật toán sơ cấp
thường dùng.
Phần 2 giới thiệu một số kỹ thuật thiết kế thuật toán và các bài toán điển hình được
giải quyết nhờ áp dụng các kỹ thuật này.
Mục đích của giáo trình nhằm giúp cho sinh viên làm quen với việc diễn đạt (mô tả)
thuật toán, đánh giá thuật toán và một số kỹ thuật thiết kế thuật toán. Sinh viên có thể
vận dụng các yếu tố này vào việc viết chương trình bằng một ngôn ngữ lập trình đã biết.
Vì là giáo trình nhập môn nên giáo trình không đi quá chi tiết vào việc sử dụng
công cụ Toán học để đánh giá độ phức tạp của thuật toán. Các kỹ thuật thiết kế thuật
toán được lựa chọn phù hợp với trình độ của sinh viên năm thứ Hai và cũng là những kỹ
2

thuật được sử dụng phổ biến. Việc áp dụng các kỹ thuật thiết kế thuật toán tổng quát
được minh họa thông qua nhiều bài toán cụ thể
Cuối mỗi phần đều có khá nhiều bài tập. Những bài tập có dấu * có thể sử dụng như
tài liệu tham khảo bồi dưỡng học sinh giỏi.
Việc biên soạn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong được sự
góp ý, bổ sung của bạn đọc để chỉnh lý nhằm phục vụ ngày càng tốt hơn bạn đọc.
3
PHẦN 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Phần này nhắc lại các khái niệm cơ bản liên quan tới thuật toán và một số thuật toán
sơ cấp quen thuộc thường dùng.
1. THUẬT TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN.
1.1. Thuật toán, đặc trưng, mô tả thuật toán
Khái niệm thuật toán
Tùy theo từng góc độ mà khái niệm thuật toán có thể được hiểu theo nhiều cách
khác nhau, chẳng hạn:
Thuật toán là phương pháp giải quyết vấn đề nào đó theo từng bước
Thuật toán là các qui tắc để tính toán
Thuật toán là phương pháp giải quyết vấn đề thích hợp cho cài đặt trên máy tính
Trong tài liệu này khái niệm thuật toán được định nghĩa như sau:
Thuật toán là một dãy hữu hạn các bước hành động xác định để giải quyết một vấn
đề, quá trình thực hiện các bước hành động này phải dừng và cho kết quả như mong
muốn.
Các đặc trưng của thuật toán
• Đầu vào và đầu ra: Một thuật toán phải nhận dữ liệu đầu vào để xử lý và cho kết
quả ở đầu ra.
• Tính hữu hạn (hay còn gọi là tính dừng): Một áp dụng của thuật toán sẽ phải cho
ra kết quả sau một số hữu hạn hành động.
• Tính đơn trị: Kết quả của mỗi hành động chỉ phụ thuộc vào kết quả của các hành
4

động được thực hiện trước đó và dữ liệu đầu vào. Nói một cách khác, với đầu vào như
nhau thuật toán sẽ cho đầu ra như nhau.
• Tính xác định: Mỗi bước hành động phải rõ ràng, không nhập nhằng và (người
hoặc máy) có thể thực hiện được.
• Tính tổng quát: Thuật toán phải áp dụng được cho một lớp các bài toán cùng loại
hoặc một bài toán với các đầu vào cụ thể khác nhau.
Ngoài ra đối với một thuật toán còn có các yêu cầu về tính đúng đắn và tính hiệu
quả.
Mô tả thuật toán
Mô tả thuật toán là việc nêu ra các bước hành động cũng như trình tự thực hiện
các bước. Mô tả thuật toán là công việc cực kỳ quan trọng. Một mô tả tốt sẽ giúp người
lập trình hình dung rõ ràng và đúng đắn các việc phải làm.
Để mô tả một thuật toán ta có thể áp dụng một trong các cách sau:
• Dùng lưu đồ: Sử dụng hình vẽ mô tả tiến trình hoạt động của thuật toán.
• Dùng ngôn ngữ tự nhiên: Liệt kê bằng lời trình tự các bước cần thực hiện. Thông
thường cách mô tả này giúp hình dung thuật toán ở mức bao quát.
• Dùng giả mã (hay tựa Ngôn ngữ lập trình): Sử dụng các từ khóa cũng như các cấu
trúc điều khiển của ngôn ngữ lập trình (Pascal chẳng hạn) để mô tả. Trong cách mô tả
này ta chỉ sử dụng các từ khóa và cấu trúc với ý nghĩa đã biết của ngôn ngữ lập trình
tương ứng chứ không hoàn toàn tuân thủ cú pháp của ngôn ngữ. Cách mô tả này cho
phép diễn đạt các hành động một cách chi tiết, cụ thể hơn. Khi dùng giả mã, để mô tả
gọn ta sẽ bỏ qua một số từ khóa không cần thiết và sẽ viết các hành động cùng mức với
lề thụt vào như nhau, các hành động ở mức sâu hơn sẽ được viết với lề lớn hơn.
Ví dụ để mô tả thuật toán tìm số lớn nhất trong một dãy số ta có thể có các mô tả
như sau:
- Mô tả 1:
5
Đầu vào: dãy a1, a2, , an
Đầu ra: x là giá trị lớn nhất trong dãy
Thuật toán: Xét lần lượt từng phần tử trong dãy kể từ đầu đến cuối dãy, với mỗi

phần tử trong dãy xác định x là giá trị lớn nhất (tạm thời) cho tới thời điểm đó
- Mô tả 2:
Đầu vào: dãy a[1], a[2], , a[n]
Đầu ra: x là giá trị lớn nhất trong dãy
Procedure Max(a[1 n]);
x:=a[1];
For i:= 2 to n do
if x < a[i] then x := a[i].
Return x;
• Dùng ngôn ngữ lập trình: Một chương trình chính là một bản mô tả chi tiết một
thuật toán bằng một ngôn ngữ lập trình cụ thể.
• Kết hợp giả mã với ngôn ngữ tự nhiên.
Ví dụ: Phần lớn các chương trình có dạng tổng quát sau:
Nhập một số dữ liệu đầu vào.
Thực hiện những tính toán nào đó.
Tạo ra một số đầu ra thích hợp.
Khi mô tả thuật toán ta thường coi dữ liệu đầu vào là có sẵn.
Trong tài liệu này chúng ta sử dụng cách mô tả các thuật toán bằng giả mã kết hợp
với ngôn ngữ tự nhiên.
Một điểm cần lưu ý là với một thuật toán ta có thể mô tả nó ở nhiều mức độ khác
nhau tùy theo tình huống. Chẳng hạn ta có thể mô tả một thuật toán bằng một vài hành
động mà mỗi một hành động lại tương ứng với một thuật toán khác nào đó. Thông
6
thường ta sẽ mô tả một thuật toán qua nhiều mức, ngày càng chi tiết hơn hoặc mô tả chi
tiết hơn một số hành động nào đó nếu cần. Với một bản mô tả thuật toán đủ chi tiết thì
việc viết chương trình chỉ là việc chuyển đổi cách diễn đạt thuật toán hiện có sang một
ngôn ngữ lập trình thích hợp.
Cũng cần phân biệt thuật toán và chương trình: Một chương trình sẽ được viết bằng
một ngôn ngữ lập trình cụ thể nào đó, do vậy chương trình phụ thuộc vào ngôn ngữ lập
trình (chẳng hạn giới hạn phạm vi của các kiểu dữ liệu của ngôn ngữ) và phụ thuộc vào

các yêu cầu phần cứng cụ thể (chẳng hạn giới hạn của bộ nhớ có thể sử dụng được, v.v.).
Trong khi đó một thuật toán không quan tâm tới ngôn ngữ lập trình cụ thể nào và chỉ
quan tâm tới việc diễn đạt các hành động cần thực hiện. Chính vì vậy khi cài đặt một
thuật toán ta phải lưu ý tới những hạn chế của ngôn ngữ lập trình được sử dụng.
1.2. Độ phức tạp tính toán và phân tích thuật toán.
Có nhiều cách tiếp cận khác nhau để đánh giá hiệu quả của một thuật toán nhằm
chọn lựa thuật toán thích hợp áp dụng trong thực tế. Chẳng hạn có thể xem xét thuật toán
đòi hỏi những gì về tài nguyên hệ thống (bộ nhớ) hoặc thuật toán có thể thực hiện trong
một khoảng thời gian chấp nhận được hay không. Ở đây chúng ta chỉ quan tâm tới độ
phức tạp tính toán tức là đánh giá thời gian thực hiện của thuật toán. Việc đánh giá thời
gian thực hiện của thuật toán được gọi là phân tích thuật toán. Phân tích thuật toán là cần
thiết vì những lý do sau:
• Việc phân tích thuật toán đáng tin cậy hơn là thực nghiệm. Nếu ta thực nghiệm
(tức là chạy thử chương trình), ta chỉ biết hành vi của một chương trình đối với những
trường hợp riêng lẻ, trong khi đó phân tích thuật toán cho ta biết về hiệu quả cho mọi đầu
vào.
• Phân tích thuật toán giúp lựa chọn cách giải quyết trong số nhiều cách giải quyết
đối với bài toán. Một bài toán có thể có nhiều cách giải quyết khác nhau. Phân tích và so
sánh cẩn thận các thuật toán giúp quyết định thuật toán nào là thích hợp nhất với mục
đích của chúng ta mà không cần phải cài đặt và kiểm thử tất cả.
• Phân tích thuật toán giúp tiên đoán hiệu quả của một chương trình trước khi viết.
7
Điều này là rất quan trọng đối với những chương trình lớn và giúp chúng ta có thể phát
hiện và tập trung khắc phục những vấn đề làm chương trình kém hiệu quả.
Khi phân tích thuật toán ta sẽ quan tâm tới mối liên hệ giữa dữ liệu đầu vào (mà ta
gọi là kích thước đầu vào) với số lượng các thao tác cần thực hiệân của thuật toán.
Kích thước đầu vào thường là một số nguyên dương n. Tuỳ theo tình huống cụ thể
mà ta coi cái gì là kích thước đầu vào. Chẳng hạn n có thể là số lượng các đối tượng của
dữ liệu đầu vào hoặc n có thể là kích thước của miền xác định của một đối tượng, v.v.
Chẳng hạn nếu dữ liệu đầu vào là một dãy n số nguyên thì ta có thể coi n là kích thước

đầu vào, nếu đầu vào là một ma trận 2 chiều m×n thì kích thước đầu vào có thể coi là hai
số nguyên dương m, n.
Một điều hiển nhiên là thuật toán phải thực hiện càng nhiều thao tác thì thời gian
thực hiện thuật toán càng lớn. Do vậy, ta sẽ coi số lượng các thao tác cơ bản cần thực
hiện là một hàm của kích thước đầu vào, ký hiệu là f(n), gọi là hàm thời gian chạy của
thuật toán (chương trình). Các thao tác cơ bản thường dùng là các phép toán số học và
so sánh, phép gán, thao tác đọc file và ghi file. Tuy nhiên với từng thuật toán, tùy theo
tình huống ta sẽ quan tâm tới một số thao tác cơ bản nhất định.
Việc tính chính xác hàm f(n) trong phần lớn trường hợp là rất khó và thực ra là
không cần thiết. Ta sẽ quan tâm tới tốc độ tăng của hàm f khi n tăng, hay nói khác đi ta
muốn biết mức độ tăng thời gian thực hiện thuật toán khi kích thước đầu vào tăng. Đặc
biệt ta quan tâm tới tình huống trường hợp tồi nhất (khi số lượng các thao tác cơ bản cần
thực hiện là nhiều nhất).
Ký pháp O: Giả sử f, g là hai hàm N  N, ta nói f có bậc cao nhất là g, ký hiệu f(n)
= O(g(n)) nếu tồn tại hai hằng số C và k sao cho f(n) < Cg(n) với mọi n > k. Khi đó ta
nói hàm f có bậc (hay tốc độ tăng) là g.
Ví dụ 1: Hàm T(n)=3n
3
+2n
2
là O(n
3
) với k=0 và C=5.
Ta cũng có thể nói rằng T(n) là O(n
4
) nhưng phát biểu này yếu hơn
Ví dụ 2: Ta chứng minh rằng hàm 3
n
không là O(2
n

).
Giả sử tồn tại C và k sao cho 3
n
< C.2
n
với mọi n > k. Khi đó C>(3/2)
n
với mọi n>k.
8
Nhưng ta biết rằng (3/2)
n
tiến ra vô cùng khi n ra vô cùng. Mâu thuẫn.
Khi sử dụng ký pháp O ta đã bỏ qua các hằng số của bậc, điều này ám chỉ rằng ta
quan tâm tới những trường hợp mà kích thước đầu vào đủ lớn.
Giả sử ta có 2 thuật toán với 2 hàm thời gian chạy là f1 và f2 tương ứng, và
f1(n)=100n, f2(n)=2
n
. Cả hai thuật toán của chúng ta giải quyết một trường hợp cụ thể
mất 10
4
giây. Giả sử nhờ cải thiện phần cứng ta có thể tăng tốc độ máy lên 10 lần. Khi đó
với thuật toán f2 ta có thể giải quyết bài toán với kích thước đầu vào tăng 30% với thời
gian như cũ, trong khi với thuật toán f1 ta có thể giải quyết bài toán với kích thước đầu
vào tăng 1000% với thời gian như cũ. Thực tế là máy tính ngày càng rẻ hơn và nhanh
hơn, nhưng nhu cầu thực tế giải quyết các bài toán với kích thước ngày càng lớn và càng
phức tạp cũng tăng lên. Vì vậy việc tìm ra và sử dụng các thuật toán có độ phức tạp tăng
chậm ngày càng trở nên quan trọng hơn.
Một số tính chất của ký pháp O:
Qui tắc cộng: Giả sử T1(n) và T2(n) là thời gian chạy của 2 thuật toán P1 và P2,
T1(n)=O(f(n)) và T2(n)=O(g(n)). Khi đó thời gian chạy tuần tự 2 thuật toán P1 và P2 là

T1(n)+T2(n) = O(max(f(n),g(n))).
Thật vậy. giả sử C1, k1, C2, k2 là các hằng số sao cho với mọi n>k1 ta có
T1(n)<C1.f(n) và với mọi n>k2 có T2(n)<C2.g(n). Gọi k0=max(k1,k2), khi đó với mọi
n>k0 ta có T1(n)<C1.f(n) và T2(n)<C2.g(n).
Suy ra T1(n) + T2(n) < (C1+C2) max(f(n),g(n)).
Vậy T1(n) + T2(n) = O(max(f(n),g(n))).
Hay O(f(n))+O(g(n)) = O(max(f(n),g(n))).
Áp dụng qui tắc này khi đánh giá thời gian chạy của một thuật toán gồm các đoạn
thực hiện tuần tự ta có thể coi thời gian chạy (hay độ phức tạp tính toán) của thuật toán
bằng thời gian chạy của đoạn chương trình có thời gian chạy lớn nhất.
Một nhận xét khác là nếu g(n) < f(n) với n đủ lớn thì O(f(n)+g(n))=O(f(n)), ví dụ
O(n
3
+n
2
)=O(n
3
). Vì vậy khi xem xét các hàm đánh giá thời gian chạy của thuật toán ta
9
chỉ quan tâm tới hạng tử bậc cao nhất.
Qui tắc nhân: Nếu T1(n)=O(f(n)) và T2(n)=O(g(n)) thì T1(n)T2(n)=O(f(n)g(n)). Từ qui
tắc này ta có O(c.f(n))=O(f(n)) với c là một hằng số.
Ví dụ: O(3n
2
)=O(n
2
).
Qui tắc này được sử dụng để đánh giá độ phức tạp của 2 đoạn chương trình lồng
nhau.
Ví dụ: Giả sử có đoạn chương trình sau:

While btL1 do
While btL2 do
Các lệnh2;
Các lệnh1;
và giả sử độ phức tạp của vòng lặp với btL2 là O(f(n)), độ phức tạp của vòng lặp với
btL2 là O(g(n)) với vòng lặp trong được coi như một câu lệnh. Khi đó độ phức tạp của
đoạn chương trình trên sẽ là O(f(n).g(n))
Khi xác định hàm thời gian chạy của thuật toán ta thường ước tính số các thao tác cơ
bản như phép gán, thao tác đọc ghi hoặc các tính toán số học, các phép so sánh. Mỗi thao
tác cơ bản này thường được coi là thực hiện mất một đơn vị thời gian (mặc dù trong thực
tế việc thực các thao tác này đòi hỏi thời gian khác nhau, chẳng hạn các thao tác đọc ghi
mất nhiều thời gian hơn cả, thực hiện phép nhân mất nhiều thời gian hơn thực hiện phép
cộng, ).
Ví dụ: Đánh giá thời gian chạy của thuật toán sau
Procedure Vidu(n:integer);
For i:=1 to n-1 do
For j:=i+1 to n do
For k:=1 to j do Writeln(i+j+k);
Ta tính số lần thực hiện Writeln. Với mỗi j chạy từ i+1 đến n, Writeln được thực
10
hiện j lần, do đó với mỗi i (chạy từ 1 đến n-1) số lần thực hiện Writeln là (i+1)+(i+2)+
+n = (n+i+1).(n-i)/2.
Vậy tổng số lần thực hiện Writeln là:
(n+2).(n-1)/2+(n+3)(n-2)/2+…+2n/2 = O(n
3
).
Trong một số tình huống khác, khi ta ước lượng được số tối đa các thao tác cơ bản
cần thực hiện trong mỗi bước lặp, thì để cho việc tính độ phức tạp đơn giản hơn, ta có
thể tính hàm thời gian chạy bằng cách đếm số lần lặp.
1.3. Vấn đề lựa chọn thuật toán để cài đặt.

Với một bài toán có thể áp dụng nhiều thuật toán khác nhau để giải quyết. Khi đó
nảy sinh vấn đề nên lựa chọn sử dụng thuật toán nào.
Có 2 tiêu chuẩn quan trọng để lựa chọn một thuật toán: tính đơn giản và tính
hiệu quả. Thuật toán đơn giản là thuật toán dễ hiểu, dễ cài đặt và dễ bảo trì, tuy vậy các
thuật toán đơn giản thường kém hiệu quả. Ngược lại một thuật toán hiệu quả thường là
phức tạp, vì vậy khó cài đặt cũng như khó bảo trì.
Khi viết một chương trình không đòi hỏi tính hiệu quả hoặc số lần sử dụng ít người
ta thường ưu tiên chọn những thuật toán đơn giản. Trong những tình huống như thế này
lợi ích thực tế do tính hiệu quả mang lại có thể không đáng kể so với chi phí cài đặt hoặc
do số lần sử dụng quá ít.
Một khi chương trình được sử dụng nhiều cũng như yêu cầu thực tế về hiệu quả
(chẳng hạn đòi hỏi về thời gian thực hiện chương trình càng nhỏ càng tốt như thường gặp
với các ứng dụng thời gian thực) thì lúc này các thuật toán hiệu quả được ưu tiên lựa
chọn. Khi đó những chi phí cài đặt sẽ được bù lại bởi lợi ích thu được mỗi lần chạy
chương trình nhân với số lần chạy chương trình (có thể rất lớn).
Ví dụ: Giả sử cần viết một chương trình dùng trong một thời gian ngắn (10 lần
trong 10 ngày chẳng hạn). Có hai thuật toán, thuật toán đơn giản có thể cài đặt trong 2
giờ, mỗi lần thực hiện chương trình tương ứng chạy trong 1 giờ. Thuật toán hiệu quả, do
phức tạp (khó thể hiện thuật toán, mất nhiều thời gian sửa các lỗi phát sinh) nên thời gian
11
cài đặt là 2 ngày (có thể lâu hơn), tuy nhiên mỗi lần chạy chương trình tương ứng mất 1
giây. Xét về thời gian dành cho viết và sử dụng chương trình, đối với thuật toán đơn giản
là 12 giờ còn đối với thuật toán hiệu quả là 2 ngày. Nhìn ở góc độ này thì nên ưu tiên
chọn thuật toán đơn giản. Tuy nhiên nếu như chương trình được sử dụng nhiều hơn,
chẳng hạn khoảng 2400 lần thì lúc này đối với thuật toán đơn giản thời gian dành cho
viết và sử dụng chương trình là khoảng 100 ngày, trong khi đó đối với chương trình hiệu
quả chỉ là hơn 2 ngày. Trong tình huống này nên ưu tiên chọn thuật toán hiệu quả.
12
1.4. BÀI TẬP
1. Thuật toán sau tính giá trị của một đa thức bậc n với các hệ số a[0], a[1],…, a[n]

ứng với giá trị x cho trước.
Procedure Tinhdt;
P:=0;
For k:=0 to n do
T:=a[k];
For j:=1 to k do T:=T*x;
P:=P+T;
Return P;
Thuật toán phải thực hiện bao nhiêu phép cộng? Bao nhiêu phép nhân?
2. Dùng ký pháp O, tính thời gian chạy tồi nhất của các thuật toán sau:
a/ Procedure Dg1(n:integer);
For i:=1 to n do
For j:=1 to n do
c[i,j]:=0;
For k:=1 to n do
c[i,j]:=c[i,j]+a[i,k]*b[k,j];
Có thể nói gì về thuật toán này?
b/ Procedure Dg2(n:integer);
x:=0; y:=0;
For i:=1 to n do
If i mod 2 =1 then
For j:=i to n do x:=x+1;
For j:=1 to i do y:=y+1;
13
Có thể nói gì về giá trị của các biến x và y khi kết thúc thuật toán? Có cách nào làm
giảm độ phức tạp của thuật toán trên hay không?
14
2. MỘT SỐ THUẬT TOÁN CƠ BẢN.
2.1. Các thuật toán sắp xếp sơ cấp.
Sắp xếp là một bài toán thường gặp, ngoài ý nghĩa tổ chức lại dữ liệu theo một yêu

cầu nào đó, việc sắp xếp còn tạo thuận lợi cho việc tìm kiếm.
Ta sẽ quan tâm tới việc sắp xếp các bản ghi trong một file có kích thước nhỏ, mỗi
bản ghi chứa một trường khóa key dùng làm tiêu chuẩn để sắp xếp. Các bản ghi sẽ được
sắp xếp sao cho trường khóa của chúng được sắp xếp theo một thứ tự nào đó xác định
trước.
Nếu kích thước file nhỏ ta có thể sao nó ra một mảng và thực hiện việc sắp xếp trên
mảng. là sắp Sắp xếp mảng còn được gọi là sắp xếp trong. Việc sắp xếp file trên đĩa
được gọi xếp ngoài. Khi sắp xếp mảng các bản ghi được truy nhập trực tiếp, còn với sắp
xếp ngoài các bản ghi được truy nhập tuần tự nên việc sắp xếp gặp nhiều khó khăn hơn.
Ở đây ta sẽ xem xét các thuật toán sắp xếp mảng. Các phương pháp sắp xếp ngoài sẽ
được xem xét trong giáo trình Cấu trúc dữ liệu.
Kích thước dữ liệu đầu vào cho các phương pháp sắp xếp mảng là kích thước n của
mảng (tức là số phần tử mảng).
Để thuận tiện cho việc trình bày cũng như tập trung vào thuật toán ta sẽ làm việc với
mảng đơn giản gồm các số nguyên.
Các phương pháp sắp xếp mảng cơ bản: Có thể phân loại các phương pháp sơ cấp
sắp xếp mảng thành 3 phương pháp cơ bản là sắp xếp chèn, sắp xếp chọn và sắp xếp
đổi chỗ. Một đặc trưng cần lưu ý của các phương pháp sắp xếp là tính ổn định. Một
phương pháp sắp xếp được gọi là ổn định nếu như nó giữ nguyên thứ tự ban đầu của các
phần tử giống nhau.
Đối với các thuật toán được xét ở đây chúng ta sẽ quan tâm tới việc sắp xếp mảng
A[1 n] các số nguyên theo thứ tự tăng dần của trường khóa.
15
a/ Sắp xếp chèn
Có thể mô tả ngắn gọn như sau
For i:=2 to n do
chèn A[i] vào vị trí thích hợp trong các phần tử A[1],…, A[i-1]
Trong phương pháp này, ở bước thứ i ta có các phần tử từ A[1] đến A[i-1] đã được
sắp thứ tự. Để chèn A[i] vào vị trí thích hợp trong các phần tử A[1],…, A[i-1] ta sẽ tìm
vị trí j nhỏ nhất thỏa mãn A[i] < A[j] và chèn A[i] vào vị trí j. Khi đó các phần tử từ vị trí

j đến i-1 sẽ dịch sang phải 1 vị trí. Trong quá trình tìm vị trí j ta đồng thời dịch các phần
tử lớn hơn A[i] sang phải một vị trí. Mô tả chi tiết như sau:
Procedure SXChen;
For i:=2 to n do
x:=A[i]; j:=i-1;
While (j>0) and (x<A[j]) do
A[j]:= A[j-1]
j:=j-1;
A[j+1] :=x;
Với mỗi i vòng lặp While dừng lại khi j=0 hoặc khi j>0 và x >= A[j]. Nếu j=0 có
nghĩa là x được xếp vào đầu mảng (vị trí j+1). Nếu j>0 thì x được xếp vào sau vị trí j.
Ví dụ: Giả sử mảng đã cho là A = (3, 6, 2, 8, 4, 5). Trong quá trình sắp thứ tự theo
thuật toán sắp xếp chèn, mảng biến đổi như sau (j nhận giá trị sau khi kết thúc vòng lặp
While):
i=2 x=6 j=1 3, 6, 2, 8, 4, 5
i=3 x=2 j=0 2, 3, 6, 8, 4, 5
i=4 x=8 j=3 2, 3, 6, 8, 4, 5
i=5 x=4 j=2 2, 3, 4, 6, 8, 5
i=6 x=5 j=3 2, 3, 4, 5, 6, 8
16
b/ Sắp xếp chọn: có thể mô tả ngắn gọn như sau
For i:=1 to n-1 do
Chọn phần tử nhỏ nhất chưa đúng vị trí và đặt nó vào vị trí i
Khi sử dụng phương pháp sắp xếp chọn ta giả thiết các vị trí từ 1 đến i-1 trong mảng
đã chọn được các phần tử đúng vị trí. Ta chọn phần tử nhỏ nhất chưa đúng vị trí nằm
trong khoảng từ vị trí i đến vị trí n và sắp nó vào vị trí i.
Mô tả chi tiết:
Procedure SXChon;
For i:=1 to n-1 do
min:=i;

For j:=i+1 to n do
If A[j] < A[min] then
min:= j;
{phần tử tại vị trí min là nhỏ nhất chưa được sắp}
Hoán vị (A[i], A[min])
Ví dụ: Giả sử mảng đã cho là A = (3, 6, 2, 8, 4, 5). Trong mỗi dòng dưới đây là tình
trạng của mảng sau khi kết thúc một vòng lặp ứng với i
i=1 2, 6, 3, 8, 4, 5
i=2 2, 3, 6, 8, 4, 5
i=3 2, 3, 4, 8, 6, 5
i=4 2, 3, 4, 5, 6, 8
i=5 2, 3, 4, 5, 6, 8
c/ Sắp xếp nổi bọt: Ta sẽ so sánh và đổi chỗ của hai phần tử liền nhau đứng không
đúng vị trí (phần tử lớn hơn đứng trước phần tử nhỏ hơn) cho tới khi tất cả các phần tử
được sắp thứ tự.
17
Mô tả chi tiết:
Procedure SXNoibot;
For i:=n downto 2 do
For j:=2 to i do
If A[j-1] > A[j] then
Hoán vị (A[j-1], A[j])
Sau lần duyệt đầu tiên, phần tử lớn nhất trong mảng được đưa về cuối mảng. Tương
tự, sau mỗi lần thực hiện vòng lặp For với i không còn phần tử nào nhỏ hơn A[i] đứng
sau nó.
Ví dụ: Giả sử mảng đã cho là A = (4, 6, 3, 8, 2, 5). Trong mỗi dòng dưới đây là tình
trạng của mảng sau khi kết thúc một vòng lặp ứng với i
i=5 4, 3, 6, 2, 5, 8
i=4 3, 4, 2, 5, 6, 8
i=3 3, 2, 4, 5, 6, 5

i=2 2, 3, 4, 5, 8, 6
i=1 2, 3, 4, 5, 6, 8
Ngoài ra có phương pháp sắp xếp đếm, nội dung của phương pháp này là đếm số
phần tử nhỏ hơn hoặc bằng A[i]. Nếu có j phần tử nhỏ hơn hoặc bằng A[i] thì A[i] sẽ có
vị trí thứ j+1 trong dãy đã sắp thứ tự. Khi đếm các phần tử bằng A[i] ta chỉ đếm những
phần tử đi trước nó để đảm bảo các số đếm là khác nhau.
Mô tả:
Procedure Sxdem;
For i:=1 to n do Count[i]:=0;
For i:=n downto 2 do
For j:=i-1 downto 1 do
18
If a[i] < a[j] then Count[j]:=Count[j]+1
Else Count[i]:=Count[i]+1;
For i:=1 to n do s[Count[i]+1]:=a[i];
Return s;
Thủ tục này trả lại s là mảng đã sắp thứ tự.
Ví dụ: Giả sử mảng đã cho là A = (4, 6, 3, 8, 2, 5). Trong mỗi dòng dưới đây là tình
trạng của mảng Count sau khi kết thúc một vòng lặp ứng với i
i=n=6 0, 1, 0, 1, 0, 3
i=5 0, 2, 1, 2, 1, 3
i=4 0, 2, 1, 5, 1, 3
i=3 0, 3, 2, 5, 1, 3
i=2 0, 4, 2, 5, 1, 3
Ta có mảng s như sau: (2, 3, 4, 5, 6, 8)
19
2.2. BÀI TẬP
1. Đánh giá độ phức tạp trong trường hợp tồi nhất của các thuật toán sắp xếp sơ
cấp đã nêu.
2. Trong các thuật toán sắp xếp sơ cấp trên, thuật toán nào có tính ổn định? Giải

thích.
3. Chạy từng bước các thuật toán sắp xếp đã nêu trên các mảng cụ thể có kích
thước 10.
4. Mô tả một thuật toán thích hợp sắp xếp một mảng các bit. Cho biết độ phức tạp
của thuật toán được sử dụng.
20
2.3. Các thuật toán tìm kiếm sơ cấp trên mảng.
Tìm kiếm là một thao tác đóng vai trò quan trọng trong nhiều tính toán và được áp
dụng nhiều trong thực tế. Có nhiều yêu cầu tìm kiếm khác nhau cũng như có nhiều thuật
toán tìm kiếm khác nhau. Ta sẽ quan tâm tới một số thuật toán tìm kiếm sơ cấp trên
mảng. Bài toán đặt ra là tìm một phần tử trong mảng A[1 n] cho trước có giá trị bằng T
cho trước. Có thể xét bài toán tổng quát hơn là tìm một phần tử trong mảng A[1 n] cho
trước có tính chất P cho trước
a. Tìm tuần tự: Để tìm kiếm tuần tự một phần tử T cho trước trong mảng A ta sử
dụng một vòng lặp, tại mỗi bước của vòng lặp ta thao tác với một phần tử xác định của
mảng, ở đây cụ thể là so sánh lần lượt mỗi phần tử của mảng với T (hay kiểm tra xem
phần tử tương ứng có tính chất P hay không). Thao tác này được gọi là duyệt mảng. Việc
duyệt mảng được dừng lại khi bắt gặp một phần tử bằng T hoặc đã so sánh hết các phần
tử của mảng. Khi gặp một phần tử bằng T (hay có tính chất P) ta sẽ ghi nhận sự kiện này.
Mô tả: Duyệt (so sánh mỗi phần tử mảng với T) toàn bộ mảng cho tới khi gặp một
phần tử bằng T hoặc đã duyệt hết mảng.
Procedure TimTT(A,T);
Found:= False;
For i:=1 to n do
If A[i]=T then
Found:=True;
Exit;
Biến Found dùng để ghi nhận có phần tử trong mảng bằng T.
Trong trường hợp tổng quát, điều kiện
If A[i]=T

được thay bằng
If A[i] có tính chất P.
21
b. Tìm nhị phân: Trong tình huống A là mảng sắp thứ tự ta có thuật toán tìm kiếm
tốt hơn tìm tuần tự, đó là tìm kiếm nhị phân. Ý tưởng của thuật toán tìm nhị phân là ta so
sánh T với phần tử ở giữa mảng A, dựa vào kết quả so sánh mà kết thúc hoặc tiếp tục tìm
kiếm bằng cách thu hẹp phạm vi tìm kiếm còn bằng một nửa phạm vi trước đó. Quá trình
này được thực hiện lặp đi lặp lại cho tới khi gặp một phần tử bằng T hoặc phạm vi tìm
kiếm là rỗng.
Mô tả thuật toán: Giả sử A[1 n] là mảng sắp thứ tự tăng
Procedure TimNP(A,T);
d:=1; c:=n; co:=false;
While (d<=c) and not co do
g:=(d+c) div 2;
If T=A[g] then co:=true
Else
If T < A[g] then c:=g-1
{tiếp tục tìm ở nửa trái phạm vi}
Else d:=g+1;
{tiếp tục tìm ở nửa phải phạm vi }
If co then
Phần tử bằng T có tại vị trí g trong mảng
Else Không có T trong mảng.
Nếu T < A[g] thì với mọi chỉ số k > g ta có T < A[g] < A[k] (do mảng sắp thứ tự
tăng), do đó ta chỉ cần tìm T trong mảng ứng với các chỉ số k < g. Lúc này ta thu hẹp
phạm vi tìm kiếm bằng cách xác định lại vị trí cuối của phạm vi là g-1.
Nếu T > A[g] thì ta thực hiện một hành động tương tự là tìm T trong mảng ứng với
các chỉ số k > g. Lúc này ta thu hẹp phạm vi tìm kiếm bằng cách xác định lại vị trí đầu
của phạm vi là g+1.
22

Phạm vi là rỗng khi d > c.
Ví dụ: Giả sử A = (1, 6, 14, 17, 22, 25, 25, 30,45)
- Với T = 14 ta có các bước tìm kiếm được thể hiện như sau
Trước khi vào vòng lặp: d=1, c=9, co = False
Sau lần lặp d c g A[g] co
1 1 4 5 22 F
2 3 4 2 6 F
3 3 4 3 14 T
Kết luận giá trị T có trong mảng tại vị trí thứ 3.
- Với T = 50 ta có các bước tìm kiếm được thể hiện như sau
Trước khi vào vòng lặp: d=1, c=9, co = False
Sau lần lặp d c g A[g] co
1 5 9 5 22 F
2 6 9 7 25 F
3 8 9 8 30 F
4 9 9 9 45 F
5 10 9 9 45 F
Lúc này d > c và vòng lặp dừng.
Kết luận giá trị T không có trong mảng vì giá trị của biến co là False.
23
2.4. BÀI TẬP
1. Đánh giá độ phức tạp của các thuật toán tìm kiếm sơ cấp
2. Mô tả thuật toán Tìm phần tử lớn thứ nhì trong một dãy tuỳ ý có n phần tử và
đánh giá độ phức tạp của thuật toán.
3. Chạy từng bước thuật toán tìm nhị phân trên một mảng cụ thể có 16 phần tử,
xét hai trường hợp: phần tử cần tìm có trong mảng và không có trong mảng.
4. Mô tả thuật toán Tìm phần tử xuất hiện nhiều lần nhất trong một dãy tuỳ ý có n
phần tử và đánh giá độ phức tạp của thuật toán.
24
2.5. Đệ qui

2.5.1. Thuật toán đệ qui.
Các thuật toán đệ qui đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết nhiều bài toán.
Một thuật toán đệ qui là thuật toán có yêu cầu thực hiện lại chính thuật toán đó với mức
độ dữ liệu thấp hơn. Các thuật toán đệ qui có liên quan chặt chẽ với các định nghĩa đệ
qui hoặc các quan hệ truy hồi.
Một thuật toán đệ qui gồm 2 phần:
Phần cơ sở: là các trường hợp không cần thực hiện lại thuật toán.
Phần đệ qui: là các trường hợp yêu cầu thực hiện lại thuật toán.
2.5.2. Một số bài toán
Bài toán 1: Tìm ƯCLN của hai số tự nhiên a và b cho trước.
Có nhiều thuật toán khác nhau để giải bài toán này, ở đây ta sử dụng một tính chất
của ƯCLN là: nếu a > b thì ƯCLN(a,b)=ƯCLN(a-b,b). Thuật toán được mô tả như sau:
Function Ucln(a,b); {gỉả thiết b<>0}
If (a=b) or (b=1) then ucln:=b (* phần cơ sở *)
Else (* phần đệ qui *)
If a<b then
t:=a; a:=b; b:=t;
(* đổi vai trò a, b để luôn có a >= b *)
Ucln:=ucln(a-b,b);
Bài toán 2: Định nghĩa các số Fibbonacci như sau: f
0
=1, f
1
=1, fn=fn
-1
+fn
-2
với n>1.
Tính fn với n cho trước.
Thuật toán đệ qui sử dụng ngay định nghĩa đệ qui của các số Fibbonacci, vì thế thuật

toán chỉ là diễn đạt lại định nghĩa.
25