Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Cao Bằng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
CAO BẰNG

ðỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011 - 2012



Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao ñề)


Câu 1: (2,0 ñiểm)
a. Giải hệ phương trình:
1
12
2
12
x x
y y
x x
y y

− =

+




− =

−


b. Giải phương trình:
4 3 2
3 6 2 1 0
x x x x
+ + − − =

Câu 2: (2,5 ñiểm)
a. Cho hai số dương
,
x y
thỏa mãn:
1
x y
+ =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2
1 1
(1 ).(1 )
A
x y
= − −
b. Tìm
m
ñể phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:

3 2
(2 1) 3( 4) 12 0
x m x m x m
− + + + − − =

Câu 3:
(1,0 ñiểm)
Cho ba số dương
, ,
x y z
thỏa mãn:
2
xy yz zx
+ + =
. Tính tổng:
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )

2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
. . .
2 2 2
y z x z x y
S x y z
x y z
+ + + + + +
= + +
+ + +

Câu 4:
(3,0 ñiểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy ñiểm D, vẽ ñường tròn
tâm O ñường kính CD. ðường thẳng BD cắt ñường tròn (O) tại E, ñường thẳng
AE cắt ñường tròn (O) tại F.
a. Chứng minh rằng: CA là ñường phân giác của góc BCF.
b. Lấy ñiểm M ñối xứng với D qua A, ñiểm N ñối xứng với D qua BC.
Chứng minh tứ giác BMCN nội tiếp.
c. Xác ñịnh vị trí của ñiểm D trên AC ñể ñường tròn ngoại tiếp tứ giác
BMCN có bán kính nhỏ nhất.
Câu 5:
(1,5 ñiểm)
Cho ba số dương
, ,
a b c
, chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1
3.

2 2 2
a b c a b b c c a
 
+ + ≥ + +
 
+ + +
 

____________________________Hết_______________________________
Họ và tên thí sinh:
……………………………………
Số báo danh:
……………

Họ tên, chữ ký của giám thị 1:
……………………………………………………

ðỀ CHÍNH THỨC