Đề tài tìm hiểu bài toán tĩnh điện

BÁO CÁO KHOA HỌC ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
ĐỀ TÀI: “ TÌM HIỂU BÀI TOÁN TĨNH ĐIỆN”
Tổ: Vật Lý - Kỹ Thuật
Trường THPT Chuyên Biên Hoà Hà Nam
I. Lý do chọn đề tài
Vật lý học luôn gắn liền với nhiều hiện tượng trong tự nhiên cũng như trong
cuộc sống hằng ngày và trong kỹ thuật. Bản chất của quá trình học Vật lý là nghiên
cứu các sự vật, hiện tượng trong tự nhiên. Tìm ra quy luật của sự tồn tại và vận
động của chúng trong tự nhiên để tác động vào các sự vật hiện tượng đó theo ý
muốn của con người.
Điện học có những ứng dụng rộng rãi, có những đóng góp to lớn cho sự tồn tại
và phát triển của con người. Trong thế giới hiện đại, thời đại khoa học kỹ thuật phát
triển thì Điện học là một trong những lĩnh vực đang được quan tâm phát triển.
Các sự vật hiện tượng vật lý trong tự nhiên là muôn màu muôn vẻ, vấn đề đặt ra
với người học Vật lý là vận dụng được những kiến thức đã học để giải quyết các
vấn đề trong thực tiễn, muốn làm được điều này thì người học phải nắm vững được
bản chất vật lý của vấn đề. Tuy nhiên, các lý thuyết, các đối tượng nghiên cứu được
trình bày ở phổ thông và vật lý đại cương còn nặng về lý thuyết, còn mang tính chất
lý tưởng hóa, đã thoát khỏi mối quan hệ ràng buộc, qui định lẫn nhau. Cho nên, học
sinh gặp nhiều khó khăn trong quá trình vận dụng đặc biệt là những bài toán khó và
phức tạp.
Đề tài điện học được viết ra với mong muốn tổng kết và hệ thống hoá lại
những kiến thức trong chương trình chuyên để giúp các em học sinh ôn tập tốt hơn
và chuẩn bị cho các kỳ thi sắp tới.
II. Nội dung của đề tài.
A. LÝ THUYẾT
Nội dung lý thuyết sẽ đề cập đến nội dung chính của lý thuyết phần nâng cao
1.Điện trường
E
ur
gây ra bởi điện tích điểm :

2
0
1
4
Q r
E
r r
πε ε
=
r
ur
Điện tích dương thì điện trường hướng ra và điện tích âm thì điện trường
hướng vào
2. Định lý O-G
1
a) Điện thông: Điện thông là một đại lượng vô hướng và ý nghĩ là số đường sức
điện đi qua mặt
S∆
và xác định bằng
. . osE S c E S
α
∆Φ = ∆ = ∆
uruuur
Điện thông qua một mặt S thì ta chia nhỏ mặt S thành các mặt
S∆
từ đó lấy tổng
trên toàn bộ mặt S
. . osE S c
α
Φ = ∆Φ = ∆

∑ ∑
b) Thiết lập phương trình cho đinh lý O-G
- Xét cá điện tích đặt bên trong một mặt S:

0
1
. . os
i
E S c q
α
ε
Φ = ∆ =
∑ ∑
- Định lý O- G cho môi trường điện môi:

0
1
. . os
i
E S c q
α
εε
Φ = ∆ =
∑ ∑
- Dùng định lý O- G tìm được điện trường của một số vật đối xứng cho ra kết
quả rất nhanh và được áp dụng cho nhiều trường hợp khác.
3. Thế năng tương tác của các điện tích điểm
- Các điện tích tương tác lực với nhau, hoặc điện trường tương tác lên điện
tích tức có khả năng sinh công hay nói các khác có năng lượng, năng lượng
này tồn tại dưới tương tác tích điện

-Thế năng tương tác giữa hai điện tích:
0
W=
4
qQ
r
πε ε
- Thế năng tương tác giữa nhiều điện tích:
,
0
1
W=
2 4
i j
i j
q q
r
πε ε
∑
- Điện thế gây ra bởi điện tích điểm:
0
4
q
V
r
πε ε
=
- Điện thế là đại lượng vô hướng và có tính chất cộng nên điện thế gây ra bởi
nhiều điện tich điểm:
0

4
i
i
q
V
r
πε ε
=
∑
2
S
q
2
q
3
q
1
•
•
•
- Năng lượng tương tác giữa điện trường và điện tích:
,
1
W=
2
i i
i j
qV
∑

- Xét trường hợp vật tích điện ta cần chia vật thành các điện tích
q∆
khi đó
thế năng tương tác
1
W= .
2
V q∆
∑
4. Điện trường trên bề mặt vật dẫn và áp suất tĩnh điện.
- Xét một vật dẫn tích điện, điện trường bên trong
vật dẫn bằng 0.
- Diện tích vật là S và ta chia diện tích của vật
thành 2 phần là S và
S
∆
.
- Điện trường do vật sinh ra là E từ đó từ thông
qua mặt
S
∆
là:

.E S∆Φ = ∆
Mà điện tích phần
S
∆
là
.q S
σ

= ∆
Theo O-G:
0 0
.
.
q S
E S
σ
ε ε
∆
∆Φ = ∆ = =
từ đó
0
E
σ
ε
=
Như vậy điện trường E là do toàn bộ mặt S gây ra mà điện trường do mặt S gây ra
ta có thể coi là do phần
S S
− ∆
và
S
∆
.
Mà điện trường bên trong vật dẫn là
1 2
0E E E= + =
ur uur uur r
với điện trường

1
E
uur
và
2
E
uur
là do
hai phần diện tích gây ra.
Từ đó suy ra
1 2
0
2 2.
E
E E
σ
ε
= = =
Vậy lực điện tác dụng lên phần
S∆
là
2
2
0
.
2
S
F E q
σ
ε

∆
∆ = ∆ =

Do vậy áp suất tĩnh điện tác dụng lên vật:
2
2
0
0
2. 2
E
F
p
S
ε
σ
ε
∆
= = =
∆
Nhận xét: + Áp suất tĩnh điện làm cho vật căng ra như áp suất khí bên trong một
quả bóng
+ Trên một vật dẫn bất kỳ ở những vị trí khác nhau mật độ điện mặt khác
nhau nên điện trường khác nhau và áp suất tĩnh điện khác nhau.
+ Nếu quả cầu tích điện đều thì áp suất tĩnh điện là như nhau tại mội điểm
3
S
S S− ∆
S∆
E
ur

5. Định luật bảo toàn năng lượng trong một hệ điện tích.
- Xét một hệ kín tích điện thì cơ năng được bảo toàn.

2
.
0
1
W= ons
2 4
i j
i i
i i j
q q
m v c t
r
πε ε
+ =
∑ ∑
- Nếu hệ trao đổi năng lượng với môi bên ngoài ta có biến thiên cơ năng
bằng công của ngoại lực tác dụng:

W
i
F
A = ∆

6. Phương pháp ảnh điện: Một trong những phương pháp rất hay dùng để giải các
bài toán vật lý là phương pháp mô hình hoá. Nội dung cơ bản của phương pháp này
dựa trên các tính chất khác nhau liên quan đến tính đồng dạng vật lí của các hiện
tượng ta có thể thay thế những bài toán khó, phức tạp bằng các bài toán gắn với

những hiện tượng đơn giản hơn, đã biết dựa vào tính đồng dạng của chúng.
Trong bài viết nhỏ này sẽ trình bày một ví dụ cụ thể của phương pháp mô
hình đó là “Phương pháp ảnh điện“.
Cách giải bài toán ảnh điện: Xác định được các điện tích ảnh, sau đó ta bước
vào giải bài toán tĩnh điện trên hệ điện tích ảnh đã tìm và hệ điện tích điểm ban đầu
đã biết. Nghiệm của bài toán cũng là nghiệm duy nhất phải tìm. Như vậy ta đã
chuyển bài toán phức tạp có những điện tích phân bố liên tục về bài toán đơn giản
chỉ gồm các điện tích điểm bằng cách thay thế hệ vô hạn các điện tích phân bố
phức tạp bằng các điện tích ảnh điểm.
Trong từng bài toán ảnh điện cụ thể chúng ra sẽ xét nội dung của bài toán
một cách cụ thể hơn.
B. BÀI TẬP
Bài 1: Tại 8 đỉnh của hình lập phương cạnh a =0,2m ở trong chân không, có đặt 8
điện tích điểm có cùng độ lớn là q = 9.0
-8
, bốn điện tích ở đáy trên có trị số âm, bốn
điện tích đáy dưới có trị số dương. Xác định cường độ điện trường tại tâm hình lập
phương
4
B
-q
C
- q
D
C''
q
D''
q
-q

A -q
A'
q
B'
q
Giải:
Vì hệ điện tích phân bố đối xứng nên vectơ
cường độ điện trường tổng hợp phải nằm dọc
theo trục đối xứng zz'
Rõ ràng là hình chiếu của các vectơ
cường độ điện trường của các điện tích trên trục zz' đều như nhau. Do đó, ta chỉ cần
tính hình chiếu của một trong tám vectơ đó. Trên hình 1.9G ta biểu diễn bốn vectơ
nằm trong mặt phẳng BDD'B' ( với ACC'A' cũng có một hình tương tự). ta tính cho
một vectơ, chẳng hạn
B
E
uur
ta có:
2
2 2
( )
1 1 1 3
' ' ' (2 2)
2 2 2 2
B
kq
E voi
BO
a
BO BD BD DD a

=
= = + = + =
uur
Do đó:
2
4
3
B
kq
E
a
Hình chiếu của
cos
2
2
ê ' à
' 4 4
' 3
3
3 3
B
BZ B B
E tr n zz l
DD kq a kq
E E E
BD a
a
a
α
= = = =

uur
5
B
-q
C
- q
D
C'
q
D''
q
- q

A -q
A'
q
B'
q
z'

O

z

B - q
B'
- q
D'
- q
- q D

z'
z





O

n
E
→
∆
Q
R
1
E
→
∆
M
2
E
→
∆
α
h
1
s∆
2
s∆

Từ đó
5
2
32
8 1,25.10 /
3 3
BZ
kq
E E V m
a
= = ≈
.
Bài 2: Xác định cường độ điện trường gây ra bởi một vòng dây dẫn mảnh bán kính
R mang điện tích q, tại một điểm M nằm trên trục của vòng dây, cách tâm O của
vòng dây một khoảng OM = h.
Xét các trường hợp riêng: Điểm M trùng với tâm O, và điểm m ở rất xa vòng dây
(h>> R) .
Giải:
Chia vòng dây thành từng phần nhỏ có độ
dài
( )s s R∆ ∆ <<
sao cho mỗi phân tử nhỏ mang
điện tích
q∆
có thể xem như là một tập hợp các
điểm tích điểm. mỗi.Khi đó vòng dây được xem
như là một tập hợp các điện tích điểm. Mỗi điện
tích này gây ra tại M một điện trường và điện
trường tổng hợp do cả vòng dây gây ra được xác
định nhờ nguyên lý chồng chất điện trường.

Ký hiệu
λ
là mật độ điện dài trên vòng dây ta có:
2
q
R
λ
π
=
Để cho cụ thể, giả sử q> 0. Phần tử
1
S
∆
mang điện tích
1
q
∆
gây ra tại M một điện
trường có cường độ
1
E∆
uur
với phương và chiều như trên hình và có độ lớn.
( ) ( )
9
1 1
1
2 2 2 2
0
. 1

9.10
4
q s
E k k k
R h R h
λ
πε
 
∆ ∆
∆ = = = =
 ÷
+ +
 
đơn vị SI
Chú ý đến tính đối xứng với trục vòng dây, ta thấy có thể tìm hiểu được một phần
tử
2
s∆
giống hệt
1 2 1
( )s s s∆ ∆ + ∆
nhưng đối xứng với nó qua tâm O. Phần tử này mang
điện tích
2 1
q q∆ + ∆
gây ra tại M một điện trường
2
E∆
Có cường độ
2 1

E E∆ + ∆
và có phương chiếu như trên hình. Ta thấy các véc tơ
1 2
àE v E
uuur uuur
đối xứng với nhau qua trục vòng dây. Cường độ điện trường tổng hợp do
6
cả
1 2 1 2
à â
n
s v s G y ra E E E∆ ∆ ∆ = ∆ + ∆
uur uur uur
có phương dọc theo trục vòng dây, có chiều
hướng ra xa tâm O ( do giả thiết q> 0) và có độ lớn.
( )
( )
1 1
2
2 2
2 2
2 2
3
. (2 )
2 os 2
n
s k h sh
E c
R h
R h

R h
λ λ
α
∆ ∆
∆ = = =
+
+
+
(Với
2
s∆
) là tổng độ dài của hai phân tử ta xét. Xét tất cả các cặp phần tử của vòng
dây tương tự như trên, mỗi cặp này cho một vectơ cường độ điện trường
n
E∆
uur
nằm
trên trục vòng dây. Tất cả các vectơ
n
E∆
uur
đótạo thành cường đọ điện trường
E
ur
do
toàn bộ vòng dây gây ra. Như vậy, vectơ cường độ điện trường
E
ur
do vòng dây dẫn
mang điện tích q gây ra có phương là trục vòng dây, có chiều hướng ra xa tâ, O của

vòng dây nếu q>0 hoặc hướng về tâm O, nếu q< 0 và có độ lớn:

( )
( )
( )
1 2
2 3 2 3
2 2 2 2

k h k h
E s s x
R h R h
λ λ
= ∆ + ∆ + =
+ +
chiều dài vòng dây

( ) ( )
3 2 3 2
2 2 2 2
/ /
2
k h k q h
x R
R h R h
λ
π
= =
+ +
Từ (1) và (2) ta thấy

- Tại tâm vòng dây (M=O); h=0
0
0E⇒ =
- Tại điểm M ở rất xa vòng dây h>> R
2
k q
E
h
⇒ ∞ ≈
ta thấy tại điểm ở xa vòng dây,
cường độ điện trường gây bởi dây mang điện tích q có giá trị giống như cường độ
điện trường gây bởi một điện tích điểm q đặt tại tâm của vòng dây.
Bài 3: Một quả cầu khối lượng m, mang một điện tích là q được buộc vào một sợi
chỉ cách điện. Đầu còn lại của sợi chỉ được buộc vào điểm cao nhất của một vòng
dây có bán kinh R đặt trong một mặt phẳng thắng đứng. Vòng dây được làm bằng
một dây dẫn cứng có bán kính nhỏ không đáng kể. Vòng dây được tích điện tích Q
cùng dấu với điện tích q và phân bố đều. Hãy xác định chiều dài / của sợi dây treo
sau khi đẩy lệnh, quả cầu sẽ nằm trên trục của vòng dây.
Giải:
7
Nếu điều kiện đặt ra được
thỏa mãn nghĩa là quả cầu m
nằm tại điểm M trên trục của
vòng dây. Thì điện trường
E
ur
do vòng dây gây ra tại M, có phương là trục OM, có
chiều hướng ra xa O ( từ O đến M), với giá thiết các điện tích Q và q là điện tích
dương
Khi đó, quả cầu nằm cân bằng dưới tác dụng của ba lực: trọng lực

P
ur
lực điện
trường
F qE=
ur ur
và lực căng
T
ur
của sợi chỉ cheo quả cầu:
0P F T+ + =
ur ur ur
nghĩa là sợi chỉ
bị căng ra theo hướng của hợp lực các lực
àP v F
ur ur
. ký hiệu OM =h, từ hình vẽ ta
có:
Tan
F h h qE
P R R mg
α
= = ⇒ =
Mặt khác, theo kết quả ở bài tập 1.12, ta có
( )
3/2
2 2
0 0
1
.

4 4
Qh Qh
E
R h
πε πε τ
= =
+
Đưa (2) vào (1) ta rút ra:
3
0
4
QpR
l
mg
πε
=
Thay số vào (3) ta tìm được l = 7,2.10
-2
m = 7,2 cm.
Bài 4: Điện tích Q được phân bố đều trên một mặt cầu kim loại rắn tuyệt đối với
bán kính R. Hãy xác định lực F tác dụng lên một đơn vị diện tích của mặt đó từ
phía điện tích còn lại.
Giải:
Theo điều kiện mặt cầu rắn tuyệt đối nên bán kính thực của nó không thể
thay đổi. Tuy nhiên chúng ta hãy tưởng tượng rằng do lực đẩy của các điện tích
cùng dấu, bán kính mặt cầu tăng lên chút ít, cụ thể là một lượng vô cùng nhỏ δR.
Mặt cầu tích điện có tính chất của một tụ điện – nó giữ nguyên điện tích mà người
ta truyền cho nó. Điện thế của mặt cầu liên hệ với điện tích của nó bởi hệ thức:
R
Q

V
0
4
πεε
=
. Mặt khác, theo định nghĩa điện dung ta có V = Q/C, suy ra C = 4πεε
0
R.
Năng lượng của tụ điện này W = Q
2
/2C = Q
2
/(8πεε
0
R). Như vậy khi tăng bán kính
mặt cầu, năng lượng này giảm một lượng:
8
Q
O
R
h
q
M
p
ur
T
ur
F qE=
ur ur
α

l
T
→
∆W = W – W’ =
)(8)(88
0
2
0
2
0
2
RRR
RQ
RR
Q
R
Q
δπεε
δ
δπεεπεε
+
=
+
−
Theo định luật bảo toàn năng lượng, độ biến thiên năng lượng này bằng công
toàn phần A do lực đẩy tĩnh điện giữa các yếu tố riêng rẽ của mặt cầu thực hiện.
Gọi F là lực tác dụng lên một đơn vị diện tích, ta có: A = F.4πR
2
.δR. Do đó:
F.4πR

2
.δR =
)(8
0
2
RRR
RQ
δπεε
δ
+
. Từ đây lưu ý rằng δR.<< R, ta tính được:
F =
4
0
2
2
32 R
Q
εεπ
Bài 4: Hai vật có kích thước nhỏ, khối lượng m
1
và m
2
, mang các điện tích cùng
dấu q
1
và q
2
nằm cách nhau một khoảng a trong chân không. Hãy tính công của lực
điện trường khi thả đồng thời cả hai điện tích cho chúng tự do chuyển động. Xét

trường hợp các khối lượng bằng nhau và trường hợp các khối lượng không bằng
nhau.
Giải:
a) Trường hợp khối lượng các hạt bằng nhau:
Do lực tương tác như nhau, gia tốc các hạt như nhau. Chúng đồng thời được
thả ra, nên các điện tích luôn đối xứng qua khối tâm chung, năm chính giữa đoạn a
ban đầu.
Gọi x là các khoảng cách tức thời từ mỗi điện tích đến khối tâm. Công dịch
chuyển mỗi điện tích đi ra đến vô cùng bằng:
1 2 1 2 1 2
1
2
0 0 0
/2 /2
/2
1
4 (2 ) 16 8
a a
a
q q q q q qdx
A Fdx
x x a
πε πε πε
∞
∞ ∞
 
= = = − =
 ÷
 
∫ ∫

Suy ra công toàn phần của lực điện trường khi cho cả hai điện tích đồng thời
chuyển động ra xa vô cùng bằng:
1 2
1 2 1
0
2
4
q q
A A A A
a
πε
= + = =
b) Trường hợp các khối lượng m
1
, m
2
khác nhau:
Khi đó gia tốc của hai vật là khác nhau. Tuy nhiên theo định luật bảo toàn
khối tâm:
1 1 2 2
1 1 2 2 2 1 1 2
2 1 2 1 2
m x m ( )
m x m m
x x x x x l
m m m m m
+ ⇒ = ⇒ = + =
+ +
và
1

2
1 2
m
x l
m m
=
+
.
với l kà khoảng cách tức thời giữa hai điện tích.
9
Gọi khoảng cách ban đầu từ khối tâm đến các điện tích là a
1
và a
2
, ta có công dịch
chuyển điện tích q
1
ra xa vô cùng bằng:
1
1 2 2 1 2 2
1 1 1
2
0 1 2 0 1 2
1
4 4
a a
q q m q q mdl
A F dx
m m l m m a
πε πε

∞ ∞
= = =
+ +
∫ ∫
Tương tự công cho điện tích q
2
:
1 2 1
2
0 1 2
1
4
q q m
A
m m a
πε
=
+
Thế năng tương tác ban đầu giữa hai điện tích được chuyển hoàn toàn thành
công của hai điện tích ra xa vô cùng:
1 2
1 2
0
1
W
4
t
q q
A A
a

πε
= + =
Nhận xét: dù cho một hay cả hai điện tích của hệ dịch chuyển ra xa vô cùng thì
công của lực điện trường cũng chỉ bằng thế năng của một điện tích này trong
điện trường của một điện tích kia khi chúng cách nhau một khoảng r.
Bài 5: Cho điện tích điểm dương q= 1nC
a) Đặt điện tích q tại tâm hình lập phương cạnh a = 10 cm. Tính điện thông qua
từng mặt của hình lập phương đó. Nếu bên ngoài hình lapah phương còn có các
điện tích khác, thì điện thông qua từng mặt của hình lập phương và qua toàn bộ
hình lập phương có thay đổi không ?
b) Đặt điện tích q tại một đỉnh của hình lập phương nói trên. Tính điện thông qua
từng mặt của hình lập phương.
Giải:
a) ví lý do đối xứng, điện tích q gửi cùng một điện thông
1
Φ
qua 6 mặt của hình
lập phương. Điện thông tổng hợp qua toàn bộ hình lập phương là
1
6Φ = Φ
áp dụng định lý Ox - trô - grat - xki - Gao -xơ (O-G) ta có
0 0
18,83 .
6
q q
V m
ε ε
Φ = ⇒ =
Nếu có các điện tích bên ngoài hình lập phương, thì các điện tích này sẽ làm thay
đổi điện thông qua các mặt khác của hình lập phương. Nhưng điện thông qua toàn

bộ hình lập phương bây giờ vẫn chỉ bằng điện thông qua một mặt kín có chứa q mà
thôi nghĩa là điện thông qua toàn bộ hình lập phương vẫn là:
0
113 .
q
V m
ε
Φ = ≈
10
b) Giả sử điện tích q được đặt tại đỉnh A của hình lập phương đó. Đối với ba mặt
của hình lập phương có chưa điện tích q (hình 1.13G)tức là chưa đỉnh A ( Các mặt
ABCD, ADD'A'), điện thông bằng 0 vì các đường sức điện trường vuông góc pháp
tuyến,
α
= 90
o
. Vì lý do đối xứng điện thong qua ba mặt còn lại (BB'C''C, AB'C'D',
CDD'C'') là như nhau, bằng
2
Φ
. Để tính
2
Φ
ta xét hình lập phương lớn tâm A , có
cạnh bằng 2a điện tích q nằm tại tâm hình lập phương lớn. Diện tích của mỗi mặt
hình lập phương lớn (bằng 4a
2
) lớn gấp 4 lần diện tích của một mặt hình lập
phương ABCDA'B'C'D'. đo đó điện thông qua mỗi hình lập phương lớn sẽ bằng
2

Φ
. Và vì vậy do đối xứng, điện thông qua toàn bộ hình lập phương bằng
2 2
0 0
24 4,71 .
24
q q
V m
ε ε
Φ = Φ = ⇒ Φ = ≈
Bài 6. trong một điện trường tạo bởi một điện tích điểm +q
1
và một điện tích điểm
-q
1
, có một đường sức xuất hiện từ +q
1 hợ
với đoạn thẳng nối hai điện tích một góc
α
. Hãy tính góc
β
mà đường sức đó hợp với đoạn thẳng trên tại -q
1

Giải:
ở những điểm rất gần mỗi điện tích, thì sự đóng góp của
điện tích kia vào điện trường tổng hợp là rất nhỏ, có thể bỏ
qua. Vì vậy, có thể coi những đường sức đi ra ( hoặc đi tới)
mỗi điện tích điểm được phân bố đều đặt trong khoảng
không ian rất gần điện tích đó. Gọi số đường sức tổng cộng

đi ra khỏi q
1
và N
1
, số đường sức đi ra khỏi q
1
trong phạm vi hình nón với góc ở
đỉnh
'
1
2 àl N
α
theo lập luận thì tỉ số giữa
'
1
N
là
1
N
phải bằng tỉ số giữa điện tích
chỏm cầu và điện tích mặt cầu
( )
'
1
' 2
1
2 . 1 os
1 os
4 2
R R c

N c
N R
π α
α
π
−
−
= =
(1)
11

1
0q >
2
0q <
α
β
α
Tương tự, tỉ số giữa đường sức
'
1
N
đi tới điện tích -q
2
trong phạm vi hình nón có
góc ở đỉnh
2
β
với tổng số đường
'

2
N
đi tới điện tích -q
2
trong phạm vi hình nón có
góc đỉnh
2
β
với tổng số đường N
2
đi tới -q
2
là:

'
2
'
2
1 os
2
N c
N
β
−
=
(2)
Mặt khác, vì các đường sức không giao nhau nên số đường sức đi ra khỏi q
1
trong
hình nón 2

α
phải bằng số đường sức đi tới -q
2
trong hình nón
2
β
, tức là :

' '
1 2
N N=
(3)
Từ (1), (2), (3) ta có:
2
2
'
2
'
2
1
2sin 2
1 os
2 2
1 os
2sin 2
2 2
N c
N c
α α
α

β β
β
 
 ÷
−
= = =
 ÷
−
 ÷
 
Mặt khác, ta có:
2 2
1 1
N q
N q
=
(q
1
, q
2
là trị tuyệt đối của các điện tích)
Vậy:
2
2
1
2
2
2
2
q

q
α
β
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
từ đó
1
2
sin sin
2 2
q
q
β α
=
(4)
Nghiệm này chỉ có ý nghĩa nếu
1
2
sin 1
2
q
q
α
≤
Nếu
1

2
sin 1
2
q
q
α
>
thì đường sức đi khỏi q
1
sẽ đi ra xa vô cùng và không đi tới -q
2
Bài 7: Hai quả cầu nhỏ tích điện 1 và 2, có khối lượng và điện tích tương ứng là m
1
= m; q
1
= +q
;
m
2 =
4m
;
q
2
= +2q được đặt cách nhau một đoạn a trên mặt phẳng nhẫn
nằm ngang. Ban đầu giữ hai quả cầu đứng yên. Đẩy quả cấu 1 chuyển động hướng
thẳng vào quả cầu 2 với vận tốc v
0,
đồng thời buông quả cầu 2;
a) Tính khoảng cách cực tiểu r
min

giữa hai quả cầu
b) Xét trường hợp a =
∞
tính r
min
c
)
Tính vận tốc u
1
, u
2
của hai quả cầu ( theo v
o
, r
min
) khi chúng lại ra xa nhau vô
cùng. Xét trường hợp a =
∞
Giải:
12
Vì q
1
và q
2
cùng dấu nên quả cầu 1 đẩy quả cầu 2 chuyển động cùng chiều. Khi
khoảng cách giữa hai quả cầu đạt giá trị cực tiểu thì chúng có cùng vận tốc
u
r
(
u

cùng chiều với
0
v
uur
) (hình 1.1.20G)
Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có:
Mv
0

0
(4 )
5
v
m m u u= + ⇒ =
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ( năng lượng của hệ gồm động năng và thế
năng tương tác (điện));
2
2 2 2 2
0
min
2 4 2
2 2 2
mv
q mu mu q
k k
a r
 
+ = + +
 ÷
 

(2)
Từ (1), (2) suy ra:
min
2
0
1
5
a
r
mv a
kq
=
+
b) Xét trường hợp a=
∞
hoặc đầu hai quả cầu ở rất xa nhau. Từ (2) ta có
2
min
2
0
5kq
r
mv
=
c) khi hai quả cầu lại ra xa nhau vô cùng, áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta
có:
mv
2
= mu
1

+4mu
2
⇒
u
1
=v
0
-4u
2
(5)
áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có:
2
2 2
2
0
1 2
2
4
2 2 2
mv
mu muq
k
a
+ = +
(6)
Thay vào (5) và (6) ta suy ra phương trình cho u
2
2
2
2 0 2

5 2 0
kq
mu mv u
a
− − =
13
u
→
m
2
+q
2
m
1
+q
1
u
→
r
min
0
v
uur
m
2
+q
2
m
1
+q

1
tinhs
2
' ' 2 2 ' ' 2 2
0 min
min
5 5
: , ? r ào :
mkq k
m v Hay d v m q
a mr
 
∆ ∆ = + ∆ ∆ =
 ÷
 
(7)
từ đó tìm được nghiệm của (7) :
0
2
min
5
5 5
v
q k
u
mr
= ±
(8)
vì
2

u
uur
phải cùng chiều với
0
v
uur
, nghĩa là u
2
phải cùng dấu với v
0
nên phải lấy dấu "+"
0
2
min
5
5 5
v
q k
u
mr
= +
(9)
Thay vào (8) và (5) ta được
0
1
min
4 5
5 5
v
q k

u
mr
= +
ta thấy u
1
trái dấu với v
0
( tức là ngược chiều với
0
v
uur
) vì quả cầu 1 bật trở lại
trong trường hợp
a = ∞
thì ta có:
0 0
2 1
2 3
à u
5 5
v v
u v= = −
Bài 8: Có một nửa vòng trong tích điện trên ( hình 1.9). Một hạt mang điện trái dấu
với điện một điểm nửa vòng tròn đó. Được thả ra từ một điểm rất xa trên đường
thẳng AB với vận tốc ban đầu bằng 0. Biết tỉ số vận tốc của hạt khi đi qua A và B
A
B
v
n
v

=
hãy tìm tỉ số gia tốc của hạt ở hai điểm đó.
Giải:
Gọi q là điện tích của hạt được thả ra, V
A
và V
B
lần

lượt là điện thế do nừa vòng
tròn tích điện gây ra tại A và B. Coi điện thế tại điểm ở rất xa bằng 0 ta có:
2 2
;
2 2
A B
A B
mv mv
qV qV= =
Từ đó
2
2
A A
B B
V V
n
V V
 
= =
 ÷
 

(1)
14
+Q
A
B -q
+Q
A B -q
Mặt khác, ta viết biểu thức của lực do nửa vòng tròn tác dụng lên điện tích tại A và
tại B: F
A=
qE
A
=ma
A;
F
B
= qE
B
=ma
B, với
E
A,
E
B
tương ứng

là cường độ điện trường của
nửa vòng tròn tại A và B
Suy ra:
A A

B B
E a
E a
=
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
A A A
B B B
a E V
n
a E V
=
Dưới đây ta sẽ lần lượt xác định V
A
, E
A
;V
B
; E
B
Tính V
A
. chia nửa vòng tròn thành những đoạn đủ nhỏ để coi là điện tích điểm,
mỗi đoạn mang điện tích
Q∆
Điện tích do nó gây ra tại A là (hình 1.12G)
.
i
Ai
k Q

V
r
∆
=
(r là bán kính cung tròn)
Điện thế đo cả vòng tròn gây ra tại A là:
A Ai Qi
i i
k kQ
V V
r r
= = ∆ =
∑ ∑
(Q là điện tích nửa vòng tròn) (4)
+ Tính E
A
. gọi chiều dài của mỗi đoạn mang điện tích
1
à ,
i
Q l l
λ
∆ ∆
là điện tích của
mỗi đơn vị độ dài của nửa vòng tròn, cường độ điện trường do AQ
i
gây ra tại A là:
2 2
. .
i i

Ai
k Q k l
E
r r
λ
∆ ∆
∆ = =
Ví lý do đối xứng,
A
E
uur
hướng dọc theo trục A
x
. Vì vậy ta chỉ xét hình chiếu
Aix Aix
2
os os
i i
k
E E c lc
r
λ
α α
∆ = ∆ = ∆
15
M
i
Q∆
A
N

i
r∆
Aix
E∆
Ai
E∆
x
i
α
Hay
Aix
2
i
k
E r
r
λ
∆ = ∆
Trong đó
os
i i i
r l c
α
∆ = ∆
là hình chiếu của đoạn
i
l∆
trên đường kính MN
Từ đó, ta có
Aix

2 2
2
2
A i
i i
k k k
E E r r
r r r
λ λ λ
= ∆ = ∆ = =
∑ ∑
Biết điện tích của đơn vị độ dài là
Q
r
λ
π
=
ta được
2
2
A
kQ
E
r
π
=
(5)
+ Tính V
B
. Điện thế do

i
Q∆
gây ra tại B (hình 1.25G)là:
i
Bi
i
Q
V k
ρ
∆
=
(
( 2 cos
i
r
ρ β
=
là khoảng cách từ
i
Q∆
đến B)
Hay
,
2 os 2 os
i i
Bi B
i i
k Q Q
k
V tu do V

rc r c
β β
∆ ∆
= =
∑
+ Tính E
B
, cường độ điện trường do
i
Q∆
gây ra tại B là:
2 2
.
(2 os )
i i
Bi
i i
Q k Q
E k
rc
ρ β
∆ ∆
∆ = =
Cũng lập luận tương tự như khi tính E
A,
ta chỉ xét tính hình chiếu của
Bi
E∆
uuur
trên trục

x:
ix
2
.
os
4 os
i
B Bi i
i
k Q
E E c
r c
β
β
∆
∆ = ∆ =
(7)
16
A
i
p
i
Q∆
B
Bix
E∆
i
β
Bi
E∆

Thay các phương trình (4), (5), (6), (7) vào (3) ta có:
2
4
A
B
a
a
π
π
=
Bài 9: Một lưỡng cực điện có mone
p
ur
, tâm O được đặt dọc theo trục x'Ox. Lưỡng
cực nằm trong một điện trường đều
0
E
uur
hướng theo trục x'Ox
a) Tìm biểu thức cho điện thế V của hệ gồm lưỡng cực và điện trường, tại một
điểm M có tốc độ cực r và
θ
, ở đủ xa lưỡng cực. Người ta giả thiết điện thế của
điện trường đều
0
E
uur
bằng không tại điểm O
b) Xác định rằng cường độ điện trường trên mặt đẳng thế V= 0 có giá trị 3E
0

cos
θ
.
Giải:
a) Biểu thức cho điện thế V tại M
( )
,r
θ
là
0 0 0
ons
E
V E dr E dx E x c t= = − = − +
∫ ∫
Tại điểm O x = 0, V
0
= 0 nên
V
E
= - E
0x
, hay V
E
= -E
0r cos
θ
điện thế tổng hợp ở M là:
V
M
=V

E
+V
l
=
0
2
0
1
os
4
e
p
E r c
r
θ
πε
 
−
 ÷
 
Điện thế của lưỡng cực ở M xa điểm O là:
V
l
=
0
2
0
os
1
4

p c
r
θ
πε
Điện thế tổng hợp ở M là
17
y
M
X'
V
0
= 0
0
E
uur
-q
O
+q
X
V
0
= 0
θ
r
0
2
0
1
os
4

e
M E l
p
V V V E r c
r
θ
πε
 
= + = −
 ÷
 
b) mặt đẳng thế ứng với V
M
= 0. có các trường hợp:
*
os 0
2
c hay
π
θ θ
= =
: Đó là mặt phẳng trung thực của lưỡng cực
*
2
0
2
0 0 0
1 1
0 ê
4 4

e e
p p
E r n n r
r E
πε πε
 
− = =
 ÷
 
Đó là mặt cầu tâm O bán kính
0
4
e
p
r
rE
=
c) Điện trường tại điểm M (r,
θ
) có các thành phần
*
3
0
0 0
3
0
2
os
4
1

* sin
4
e
r
e
p
V
E c
r
p
V
E E
r
θ
πε π
θ
θ πε π
 
∂
= − =
 ÷
∂
 
 
∂
= − = −
 ÷
∂
 
Trên mặt đẳng thế V = ) thì

0
3 3
0
1
4
e
p
E
r
πε π
=
Vậy ở đó:
0
0
3 os
0
r
E E c
E
E
θ
=

=

=

ur
Do đó, E =
0

3 os à ( ) / /E c v E r r
θ
ur r r
vì mặt đẳng thức là mặt cầu
Bài 10: Một điện tích điểm q = 20,0 nc đặt trong chân không cách một thành phẳng
bằng kim loại đã nối đất một khoảng a = 50mm.
a) Tìm lực F trong tương tác giữa điện tích q và thành
phẳng .
b) Mật độ điện tích hưởng ứng trên mặt vật dẫn.
Giải :
a) Vì thành phẳng kim loại nối đất nên điện thế
của thành phẳng bằng 0.
18
+q
-q
a
Ta xét phổ đường sức và mặt đẳng thế của một hệ hai điện tích điểm bằng
nhau, trái dấu (hình vẽ). Ta thấy mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng nối hai điện
tích + q và - q là một mặt đẳng thế, mọi điểm trên mặt phẳng có điện thế bằng 0.
Như vậy nếu ta thay mặt đẳng thế này bằng một mặt kim loại phẳng vô hạn
(nối đất, lúc đầu không mang điện) thì theo kết quả trên điện trường giữa + q và
mặt phẳng sẽ không bị thay đổi, nghĩa là điện trường đã được gây ra bởi các điện
tích σ trong kim loại trùng với điện trường gây bởi điện tích – q đặt đối xứng với q
qua bản kim loại. Điện tích ảo – q gọi là ảnh của điện tích q qua bản kim loại.
Vậy lực tương tác giữa q và bản kim loại là :
F =
2
2
16 a
q

πε
Thay số : F= 36. 10
-5
(N)
b) Xét trường gây ra tại điểm M nằm trên mặt
vật dẫn, cách A một khoảng r. Cường độ điện
trường do các điện tích q và -q gây ra tại M có
phương, chiều như hình vẽ. Độ lớn :
E
1
= E
2
= kq/r
2
.
Cường độ điện trường tổng hợp do hệ hai điện tích q
và -q gây ra tại M có phương, chiều như hình vẽ.
Độ lớn : E = 2E
1
cosα = 2kqa/r
3
.
Mật độ điện tích hưởng ứng trên mặt vật dẫn : σ = ε
0
E = qa/2πr
3
.
Bài 11: Một quả cầu nhỏ khối lượng m, điện tích q ban đầu được giữ ở vị trí thẳng
đứng, cách một mặt phẳng kim loại rộng vô hạn, có mật độ điện mặt σ một khoảng
h. Thả quả cầu cho nó chuyển động. Hãy nghiên cứu chuyển động của quả cầu.

Giải :
Vì bản rộng vô hạn nên có thể coi điện trường do bản gây ra là điện trường
đều, có phương vuông góc với bản, có cường độ :
E =
0
2
ε
σ
Lựcđiện do bản kim loại tác dụng lên điện tích q là tổng hợp của lực do điện
trường E tác dụng lên q và do điện tích hưởng ứng tác dụng lên.
19
E
1
E
2
E
• -q
• q
0
α
r
- - - - - - - - - -

M
+ Lực do điện trường E tác dụng lên q là lực đẩy, hướng ra xa bản và có độ
lớn :
0
1
2
ε

σ
q
qEF ==
Lực do điện tích hưởng ứng tác dụng lên q bằng lực tác dụng giữ điện tích q
và điện tích – q là ảnh của q qua mặt phẳng vô hạn. Lực này là lực hút, nó có hướng
ra xa bản và có độ lớn :
2
2
2
4d
kq
F =
Trong đó : d – khoảng cách từ q đến bản kim loại.
Cuối cùng lực điện tổng hợp tác dụng lên bản kim loại
2
2
0
21
4
2
.
d
kqq
FFF −=−=
ε
σ
* Vị trí cân bằng : P = F
⇔ mg =
2
0

2
0
4
2
.
d
kqq
−
ε
σ
⇒
2
0
0
0
2 4
k q
d
q mg
ε
σ ε
=
−
+ Nếu h < d
0
quả cầu chuyển động xuống và bị hút vào bản kim loại.
+ Nếu h = d
0
quả cầu ở vị trí cân bằng.
+ Nếu h > d

0
quả cầu chuyển động ra xa bản kim
loại.
Bài 12: Một điện tích điểm q cách tâm quả cầu kim loại
bán kính R nối đất một khoảng a. Hãy xác định :
a) Xác định lực tương tác giữa một điện tích điểm q và
quả cầu.
b) Cường độ điện trường do hệ gồm điện tích q và điện
tích hưởng ứng trên bề mặt quả cầu gây ra trong không
gian xung quanh và trên mặt cầu.
Giải :
a) Vì quả cầu nối đất nên điện thế trên mặt quả cầu bằng
0. Trên quả cầu chỉ có các điện tích hưởng ứng âm.
20
0
A
B
E
E
1
E
2
N
b
q’ C
q • M
a
R
1
Ta có thể thay điện tích hưởng ứng trên mặt quả cầu bằng điện tích - q' sao

cho điện thế do q và -q' gây ra trên mặt cầu phải bằng 0, tức là mặt đẳng thế có điện
thế bằng 0 sẽ trùng với mặt cầu nối đất.
Vì trường có tính chất đối xứng qua trục oq nên cần phải đặt điện tích -q' ở
trên trục này.
* Đặt OC = b. Điện thế tại một điểm N bất kỳ trên mặt cầu là :
1
2 1 2
' '
0
kq kq R q
R R R q
− = => =
+ Khi N trùng B thì R
1
= R + b ; R
2
= R + a

q
q
aR
bR
'
=
+
+
(1)
+ Khi N trùng A thì R
1
= R - b ; R

2
= a – R

q
q
Ra
bR
'
=
−
−
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :

2
; '
R qR
b q
a a
= =
(3)
Vậy lực tương tác giữa quả cầu và
điện tích điểm có độ lớn là :
2
2
)( baa
kRq
F
−
=

Hay :
222
2
)( Ra
kRaq
F
−
=
(4)
b) Cường độ điện trường do điện tích q và điện tích hưởng ứng trên bề mặt ưủa
cầu gây ra trong không gian xung quanh là :

3 3
'
'
kq kq
E R R
R R
= −
uur ur uur
Trong đó : R, R’ khoảng cách từ điện tích q và q’ đến điểm quan sát.
**) Bây giờ ta sẽ tìm cường độ điện trường tổng hợp do các điện tích gây ra tại N
trên mặt cầu.
Cường độ điện trường do q và –q’ gây ra tại N có phương, chiều như hình vẽ.
21
Độ lớn :
1 2
2 2
1 2
'

;
kq kq
E E
R R
= =
(5)
Cường độ điện trường tổng hợp do các điện tích gây ra tại N trên mặt cầu có
phương vuông góc với mặt cầu, chiều hướng vào tâm.
Độ lớn :
2 2
1 2 1 2
2E E E E E Cos
α
= + −
(6) . Trong đó α = < EE
1
N = < CNM
Từ phương trình (3) và (5) ta có :
2
1 2 2 2
1 2
2
2 1 1 1
'E q R R R
E E
E qR R R
= = ⇒ =
(7)
Và : trong tam giác CNM có
( )

2 2
1 2 1 2
2a b R R R R Cos
α
− = + −
(8)
Từ (6), (7), (8) và để ý
1
2
'
R
q R
R q a
= =
ta được :
2
2
2 2
2
2 3
1 2
2
( )
( )
*
R
kq a
a R kq kq a R
a
E E E

R
R R RR
R
a
−
− −
= = ⇔ =
III. KẾT LUẬN:
Trong chuyên đề tĩnh điện là chuyên đề rất rộng lớn, trong khuôn khổ báo
cáo này chúng tôi đã ra những ý chính của nội dung lý thuyết và những dạng toán
từ cơ bản đến nâng cao. Tuy nhiên chúng tôi hy vọng rằng đã cung cấp được một số
bài tập cho các em học sinh và các thầy giáo để tham khảo. Mong được sự góp ý,
trao đổi của các bạn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
22
1. Vũ Thanh Khiết- Vũ Đình Tuý- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi vật lý
.NXBGD 2005
2. Vũ Thanh Khiết- Nguyễn Thế Khôi – Bồi dưỡng học sinh giỏi vật lý trung học
phổ thông. NXBGD Việt Nam 2004
3. Lưu Hải An- Nguyễn Hoàng Kim- Vũ Thanh Khiết- Nguyễn Thế Khôi- Lưu Văn
Xuân- Tài liệu Chuyên Vật lý Bài tập Vật lý 11. NXBGD Việt Nam 2012
4. Vũ Thanh Khiết- Nguyễn Thế Khôi- Vũ Ngọc Hồng- Giáo trình điện đại cương
tập I . NXBGD 1977.
5. E. IRôđốp, I.V xavaliép, o.i.đamsa- Tuyển tập các bài tập vật lí đại cương. Người
dịch Lương Duyên Bình, Nguyễn Quang Hhậu. NXB đại học và trung học chuyên
nghiệp Hà Nội
23