Hương dẫn HS 12 ôn tập môn toán Kỳ I ( very good)

KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO GIẢI TÍCH CHƯƠNG I
Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
I/Tóm tắt lý thuyết:
Định lý 1: Cho hàm f(x) có đạo hàm trên K ( K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
a) f’(x)>0,
∀
x∈K
⇒
y= f(x) tăng trong K
b) f’(x)< 0,
∀
x∈K
⇒
y= f(x) giảm trong K
c) f’(x)=0,
∀
x∈K
⇒
f(x) không đổi
Định lý 2: y = f(x) có đạo hàm trên K.Nếu f ’(x)
≥
0 (f’(x)
≤
0),
∀
x
K∈

và

f ’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm

thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K
Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :
+ Tìm TXÐ ?
+ Tính đạo hàm : y
/
= ? Tìm nghiệm của phương trình y
/
= 0 ( nếu có )
+ Lập bảng BXD y
/
(sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng
dần. Nếu y
/
> 0 thì hàm số tăng, y
/
< 0 thì hàm số giảm )
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng
II/ Bài tập
A/ Bài tập mẫu :
1/ Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) y= –2x
3
+9x
2
+24x –7
b)
2
1

1
x x
y
x
− +
=
−
Giải:
a) Miền xác định: D=
¡

2
6 18 24y x x
′
= − + +
, cho
1
0
4
x
y
x
= −

′
= ⇔

=

Bảng biến thiên: x –

∞
–1 4 +
∞



y
′
– 0 + 0 –
y


Hàm số nghịch biến trong các khoảng:
( ; 1),(4; )−∞ − +∞
Hàm số đồng biến trong khoảng: (–1;4)
b) Miền xác định: D=
{ }
\ 1¡

( )
2
2
2
1
x x
y
x
− +
′
=

−
, cho
0
0
2
x
y
x
=

′
= ⇔

=

Bảng biến thiên: x
−∞
0 1 2 +
∞


y
′
– 0 + + 0 –
y
Hàm số đồng biến trong các khoảng: (0;1), (1;2)
Hàm số số nghịch biến trong các khoảng:
( ;0),(2; )−∞ +∞
Ví dụ 2 :
Định m để hàm số: y= x

3
– 3mx
2
+ (m+2)x– m đồng biến trên
¡
Giải:
Miền xác định: D=
¡
y
′
= 3x
2
– 6mx+ m+ 2
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
1
Điều kiện đủ để hàm số đồng biến trên
¡
là y’≥0 ∀x ⇔3x
2
– 6mx+ m+ 2 ≥0 ∀x ⇔
0
0
a >


∆ ≤

⇔ 9m
2
– 3m– 6≤ 0 ⇔

2
1
3
m− ≤ ≤
. Vậy
2
1
3
m− ≤ ≤
hàm số đồng biến trên
¡
B/ BÀI TẬP TỰ GIẢI
1) Xét tính đơn điệu của hàm số
a) y = f(x) = x
3
+3x
2
+1. b) y = f(x) = 2x
2
 - x
4
. c) y = f(x) =
2x
3x
+
−
. d) y = f(x) =
x1
4x4x
2

−
+−
.
e) y = f(x) = x +2sinx trên (-π ; π). g) y = f(x) =
)5x(x
3
2
−
. h) y= f(x) = x
3
−3x
2
.
i)
1x
3x3x
f(x) y
2
−
+−
==
. j) y= f(x) = x
4
−2x
2
. k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2π].
l) y = x +
2
3 2x x− +
m)

2
4y x x
= −
n)
2
4 3y x x
= − −

2) Cho hàm số y = f(x) = x
3
−3(m+1)x
2
+3(m+1)x+1. Định m để hàm số :
a) Ln đồng biến trên khoảng xác định của nó.Kq:1 ≤ m ≤ 0
b) Nghịch biến trên khoản(1;0). Kq: m ≤
3
4
−
3) Định m∈Z để hàm số y = f(x) =
mx
1mx
−
−
đồng biến trên các khoảng xác định của nó. Kq: m = 0
4) Định m để hàm số y = f(x) =
2x
2x6mx
2
+
−+

nghịch biến trên nửa khoảng [0;+∞).
5) Chứng minh rằng : hàm số ln ln tăng trên khoảng xác định (trên từng khoảng xác định) của nó :
a) y = x
3
−3x
2
+3x+2. b)
1x
1xx
y
2
−
−−
=
. c)
1x2
1x
y
+
−
=
.
6) Tìm m để hàm số
( ) ( )
x7mx1m
3
x
y
2
3

−−−−=
:
a) Ln ln đồng biến trên khoảng xác định của nó.
b) Ln ln đồng biến trên khoảng (0;+∞)
7) Tìm m để hàm số :
mx
2mmx2x
y
2
−
++−
=
ln đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
8) Tìm m để hàm số :
mx
1mx)m1(x2
y
2
−
++−+
=
ln đồng biến trên khoảng (0;+∞). Kq:
223m −≤
9) Chứng minh rằng :
a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx ≥
2
x
2
, với x > 0 c) sinx < x trên (0;
2

π
)
10). Cho hàm số
( ) 2 3f x sinx tanx x= + −
. CMR hàm số đồng biến trên nữa khoảng
[0; )
3
π
.
Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I/Tóm tắt lý thuyết:
• Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trò tại x
0
và có đạo hàm tại x
0
thì f
/
(x
0
)=0
• Dấu hiệu đủ thứ I : Cho sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (x
0
– h; x
0
+ h) với h > 0.
+Nếu y
/
đổi dấu từ dương sang âm qua x
0
hàm số đạt cực đại tại x

0
,
+Nếu y
/
đổi dấu từ âm sang dương qua x
0
hàm số đạt cực tiểu tại x
0
Qui t ắc tìm cực trò = dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
+ Tính : y
/
= , tìm nghiệm của ptr y
/
= 0 . Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm vừa tìm (nếu có)
+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
2
+ Kt lun cc tr ?
Chỳ ý:
1) Nu hm s luụn tng ( gim) trờn (a;b) thỡ khụng cú cc tr trờn (a;b).
2) S cc tr ca hm s bng s nghim n ca phng trỡnh y
/
= 0.
3) Nu f(x) cú o hm ti x
0
v t cc tr ti

x
0

/
0
/
0
( ) 0
( )

=




y x
y x ủoồi daỏu qua x
Daỏu hieọu II:
Cho hm f(x) cú o hm ti cp II trong (a;b), x
0
(a;b)
+Nu


/
0
//
0
( ) 0
( ) 0

=


>


y x
y x
thỡ hm s t cc tiu ti x
0
.
+Nu


/
0
//
0
( ) 0
( ) 0

=


<


y x
y x

thỡ hm s t cc i ti x
0
.
Qui tc tim cc tr = du hiu II:
+ MXé
+ o hm : y
/
= ?
cho y
/
= 0 => cỏc nghim x
1
, x
2
.( nu cú )
+ Tớnh y
//
= ?. y
//
(xi),
1,=i n
Nu y
//
(xi) > 0 thỡ hm s t CT ti xi .
Nu y
//
(xi) < 0 thỡ hm s t C ti xi .
Chỳ ý :
*Du hiu II dựng cho nhng trng hp m y
/

khú xột du
*Mt s bi toỏn cc tr cú cha tham s:
1/ iu kin hm s cú cc tr ti x = x
0
:




=
0
0
x qua daỏu ủoồi '
0)('
y
xy
hoc




=
0)(''
0)('
0
0
xy
xy
2/ iu kin hm s cú cc i ti x
0

:




+
=
0
0
.tửứ qua daỏu ủoồi '
0)('
xquasangy
xy
hoc



<
=
0)(''
0)('
0
0
xy
xy

3/ iu kin hm s cú cc tu ti x
0
:

0
0
y'(x ) 0
y'(x) ủoồi daỏu qua tửứ - sang qua x
=


+

hoc
=


>

0
0
y'(x ) 0
y''(x ) 0
4/ iu kin hm bc 3 cú cc tr (cú cc i,cc tiu):
y= 0 cú hai nghim phõn bit


a 0
0



>

5/ iu kin hm hu t b2/b1 cú cc tr (cú cc i,cc tiu):
y= 0 cú hai nghim phõn bit khỏc nghim ca mu
Tỡm cc tr ca hm hu t : Nu h/s
( )
( )
u x
y
v x
=
t cc tr ti x
0
thỡ y
/
(x
0
)= 0 v giỏ tr cc tr y(x
0
) =
u (x )
0
v'(x )
0

6/ iu kin hm bc 4 cú 3 cc tr : y
/
= 0 cú 3 nghim phõn bit.
II/ BI TP:
A/Bi tp mu:
p dng quy tc 1
1/ Tỡm cc tr ca hm s sau: y= x

4
+ 2x
2
3
Gii:
GV biờn son: Nguyn Nng Sut - Trng THPT Quang Trung
3
Miền xác định: D=
¡
.
y
′
= – 4x
3
+ 4x= 4x(–x
2
+ 1). Cho
y
′
= 0
⇔
0
1
1
x
x
x
=



=


= −

Bảng biến thiên: x
−∞
–1 0 1 +
∞


y
′
+ 0 – 0 + 0 –
y –2 –2
–3
−∞
−∞
Hàm số đạt cực đại tại x = –1 và x = 1; y
CĐ
= –2 , đạt cực tiểu tại x = 0; y
CT
= –3
 Áp dụng quy tắc 2
2/ Tìm các điểm cực trị của hàm số: y= x– 2sin
2
x
Miền xác định: D=
¡

y
′
= 1– 4sinxcosx= 1– 2sin2x

y
′
=0
⇔
sin2x=
1
2
π
π
π
π

= +

⇔ ∈


= +


¢
12
5
12
x k
k

x k

y
′′
= – 4cos2x

4 cos 2
12 6
y k k
π π
π π
   
′′
+ = − +
 ÷  ÷
   
= –2
3
<0 Vậy:
12
x k
π
π
= +
,
k
∈
¢
là những điểm cực đại.

π π
π π
   
′′
+ = − +
 ÷  ÷
   
5 5
4cos 2
12 6
y k k
= 2
3
>0 Vậy:
π
π
= +
5
12
x k
,
∈
¢k
là những điểm cực tiểu.
Một số bài toán có tham số
1. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
1)
( )
3 2
2 3y m x x mx m= + + + +

. 2)
2 2 2
2
1
x m x m
y
x
+ +
=
+
Giải
1)
( )
3 2
2 3y m x x mx m= + + + +
Tập xác định:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
2
' 3 2 6y m x x m= + + +
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( ) ( )
2
3 2 6 0g x m x x m= + + + =
có hai nghiệm phân biệt
( )
2 0

' 9 3 2 0
m
m m
+ ≠


⇔

∆ = − + >



( )
2
2
3 2 3 0
m
m m
≠ −


⇔

− − + >



2
3 1
m

m
≠ −

⇔

− < <

Vậy giá trị cần tìm là:
3 1m− < <
và
2m
≠ −
.
2)
2 2 2
2
1
x m x m
y
x
+ +
=
+
Tập xác định:
{ }
\ 1D = −¡
Đạo hàm:
( )
2 2
2

2
'
1
x x m
y
x
+ +
=
+
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( )
2 2
2 0g x x x m= + + =
có hai nghiệm phân biệt khác –1
( )
2
2
' 1 0
1 1 0
m
g m

∆ = − >

⇔

− = − + ≠




1 1
1
m
m
− < <

⇔

≠ ±


1 1m
⇔ − < <

Vậy giá trị cần tìm là:
1 1m− < <
2. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
4
1)
( )
3 2
3 2 3y m x mx= − − +
. 2)
2
mx x m
y
x m

+ +
=
+
Giải
1)
( )
3 2
3 2 3y m x mx= − − +
Tập xác định:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
2
' 3 3 4y m x mx= − −
( )
2
' 0 3 3 4 0y m x mx= ⇔ − − =
(1)
• Xét
3m
=
:
' 0 12 0 0y x x= ⇔ − = ⇔ =
'y⇒
đổi dấu khi x đi qua
0
0x =
⇒
Hàm số có cực trị
3m⇒ =

không thỏa
• Xét
3m
≠
:
Hàm số không có cực trị
'y⇔
không đổi dấu
⇔
phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
2
3 0
' 4 0
m
m
− ≠

⇔

∆ = ≤


3
0
m
m
≠

⇔


=


0m⇔ =
Vậy giá trị cần tìm là
0m
=
.
3/Xác định m để hàm số:
+ +
=
+
2
1x mx
y
x m
đạt cực đại tại x=2.
Giải:
*TXĐ:
{ }
= −D R \ m
*
( )
+ + −
=
+
2 2
/
2
2 1x mx m

y
x m
*Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại tại x=2 là: y
/
(2)=0 ⇔
( )
= −

+ +
= ⇔

= −

+
2
2
1
4 3
0
3
2
m
m m
m
m
*Với m=-1 ⇒
( )
=

−

= ⇔

=

−
2
/ /
2
0
2
;
2
1
x
x x
y y
x
x
xét dấu y
/
⇒m= -1 không là giá trị cần tìm
*Với m=-3 ⇒
( )
=

− +
= ⇔

=


−
2
/ /
2
4
6 8
;
2
3
x
x x
y y
x
x
xét dấu y
/
⇒ m=-3 là giá trị cần tìm
B/ Bài tập đề nghị:
1. Tìm cực trị của các hàm só.
1) y = x
2
– 3x - 4 2) y = -x
2
+ 4x – 3 3) y = 2x
3
-3x
2
+ 1 4) y =
xx 4
3

1
3
−
5) y = -2x
3
+ 3x
2
+ 12x – 5 6) y = x
3
– 3x
2
+ 3x + 1 7) y = -x
3
-3x + 2 8) y =
24
4
1
xx +−
9) y = x
4
+ 2x
2
+ 2 10) y =
1
2
+
−
x
x
11) y = x +

2
3 2x x− +
12)
2
4y x x
= −
13)
2
4 3y x x
= − −
14) y =
1
22
2
−
+−
x
xx
15) y =
1
2
−x
x
16) y = x -
x
1
17) y = x +2sinx 18) y=2sinx−
xsin
3
4

3
19)
2 osxy x c
= +
20)y = sin
2
x -
3
cosx
2: Ñònh m ñeå y=
( ) ( )
1133
2223
−−−+− mxmmxx
ñaït cöïc ñaïi taïi x=1.
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
5
3: Cho hàm số y=
bax
x
+−
2
4
2
. Định a,b để hàm số đạt cực trị bằng –2 tại x=1
4. Tìm m để hàm số:
1) y = x
3
– 3mx
2

+ (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2 ĐS : m = 1
2)
2)2()2(
3
1
23
+−+−+=
xmxmmxy
đạt cực trị tại x = -1. ĐS : m = 3
3) y = x
3
– mx
2
– mx – 5 đạt cực tiểu tại x = 1 ĐS : m = 3
4) y = x
3
+ (m + 1)x
2
+ (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2
5. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu.
1)
2)12(
3
1
23
+−++=
xmmxxy
2)
1)13(2
3

23
−++−=
xmxx
m
y
3)
1
2
2
−
+−
=
x
mxx
y
4)
2
2
2
+
++
=
x
mxx
y
5)
mx
mxmx
y
+

++
=
2
6. Tìm m để hàm số:
1) y = x
4
– mx
2
+ 2 có 3 cực trị. ĐS: m > 0
2) y = x
4
– (m + 1)x
2
– 1 có 1 cực trị ĐS : m < - 1
3) y = mx
4
+ (m – 1)x
2
+ 1 – 2m có 3 cực trị ĐS : 0 < m < 1
7. Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, hàm số
2 3
(1 ) 1x a a x a
y
x a
+ − − +
=
+
luôn có cực đại và cực tiểu.
8. Cho hàm số
( )

( )
( )
3 2 2
3 1 2 7 2 2 2y x m x m m x m m= − + + + + − +
. Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực
tiểu và viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đó. (Trích ĐTTS vào Học viện Kĩ thuật Mật mã-1999)
9. Cho hàm số
3 2 2
3y x x m x m= − + +
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và
các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng
1 5
2 2
y x= −
. ( ĐHQG à Nội, 2001)
10. Cho hàm số
4 2 4
2 2y x mx m m= − + +
. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại
và cực tiểu lập thành một tam giác đều. (Học viện Quan hệ Quốc tế, 1997)
11. Cho hàm số
( )
( )
3 2 2
2 1 3 2 4y x m x m m x= − + + − + +
. Xác định m để đồ thị của hàm số có hai điểm cực đại
và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
12. Cho hàm số
( )
3 2

3 2y x x C= − +
. Hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểm cực đại và điểm cực tiểu của
đồ thị (C) ở về hai phía khác nhau của đường tròn (phía trong và phía ngoài):
2 2 2
2 4 5 1 0x y ax ay a+ − − + − =
.
13. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
1 3 2
3 3
y mx m x m x= − − + − +
. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu
đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu
1 2
,x x
thoả
1 2
2 1x x+ =
.
14. Cho hàm số
2
( 1) 1x m x m
y
x m
+ + + −
=
−
, tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và 2 giá trị cực trị trái dấu.

15. Cho hàm số
2
3
4
x x m
y
x
− + +
=
−
, tìm m để hàm số có cực trị và y
CT
- y
CĐ
=4.
16. Cho hàm số
( )
3 2
6 3 2 6y x x m x m= − + + − −
, định m để:
a) Đồ thị của hàm số có hai cực trị cùng dấu. b) Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
3.1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
+ Đạo hàm : y
/
= ?
Tìm nghiệm của y
/
= 0 thuộc (a;b) ( nếu có ) giả sử phương trình có các nghiệm là x

1
, x
2
…
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
6
+ Tính y(a), y(b), y(x
1
), y(x
2
) ………
+ So sánh các giá trị vừa tính
max y
[a;b]
=
số lớn nhất,
min y
[a;b]
=
số nhỏ nhất.
Chú ý:
* Nếu hàm số luôn tăng trên (a;b) và liên tục trên [a;b] thì
max y f (b); min y f (a)
[a;b] [a;b]
= =
.
* Nếu hàm số luôn giảm trên (a;b) và liên tục trên [a;b] thì
max y f (a); min y f (b)
[a;b] [a;b]
= =

.
3.2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXÐ :
+ Tìm TXÐ trong trường hợp chưa biết TXĐ
+ Đạo hàm : y
/
= ?
cho y
/
= 0 tìm nghiệm của phương trình ( nếu có ) .
+ BBT: căn cứ bảng biến thiên kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Chú ý:
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT (
D
min y Y
CT
=
)
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ (
D
max y y
CD
=
)

* Nếu hàm số luôn tăng (giảm) trên (a;b) thì không có giá trị LN, NN trên (a;b).
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y= 2x
3

– 3x
2
– 12x+ 1 trên
3
2;
2
 
−
 
 
b/ y=
1
2
x
2
+
1
x
trong
( )
0;+∞
Giải:
a) Xét x
∈
3
2;
2
 
−
 

 

y
′
= 6x
2
–6x –12 cho
y
′
= 0
⇔
x= –1 ( nhận)
Ta có: f(–2) = –3, f(–1) = 8 , f(
3
2
)= –17 Vậy:
3
2;
2
max ( ) 8
x
f x
 
∈ −
 
 
=
,
3
2;

2
min ( ) 17
x
f x
 
∈ −
 
 
= −
b) Xét x
∈
( )
0;+∞

y
′
= x–
2
1
x
=
3
2
1x
x
−
cho
y
′
= 0

⇔
x= 1
Bảng biến thiên:
x 0 1
+∞


y
′
– 0 +
y
+∞

+∞


3
2

Vậy: Hàm số không có giá trị lớn nhất trong
( )
0;+∞

∈ +∞
= =
(0; )
3
min ( ) (1)
2
x

f x f

B/ Bài tập tự giải:
1) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
a) y = x
3
– 3x
2
+ 5 trên đọan [-1 ; 1] b) y =
432
3
1
23
−++ xxx
trên đọan [-4 ; 0]
c) y = x
4
– 2x
2
+ 3 trên đọan [-3 ; 2] d) y = -x
4
+ 2x
2
+ 2 trên đọan [0 ; 3]
e) y =
1
1
−
+
x

x
trên đọan [2 ; 5] f) y = 1 -
x
1
trên đoạn [1;2]
g) y = x -
x
1
trên (0 ; 2] h) y =
1
13
2
+
+−
x
xx
trên đọan [1 ; 4]
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
7
i) y =
2
452
2
+
++
x
xx
trên đọan [-3 ; 3] j)
( )
9

f x x
x
= +
trên đoạn
[ ]
2;4

k)
( )
2 osxf x x c
= +
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 
. l). y=2sinx−
xsin
3
4
3
trên đoạn [0;π]
m)
2xcos
1xsin22
y
+
−

=
. n) y = 3 sinx – 4 cosx.
p)
2
3 10y x x
= + −
q)
( )
4y x x
= −

r) y = x +
2
4 3x x− +
. s)
( )
2
2 4y x x
= + −
t) y =
2
100 x−
trên đọan [-8 ; 6] u)
2
f (x) x ln(1 2x)= − −
trên đoạn [-2; 0].
v) y = f(x) =
1x
4x4x
2

−
+−
với x<1. x) y =
1xx
x
24
2
++

2) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
−3(m+1)x
2
+3(m+1)x+1 nghòch biến trên khoảng( −1;0).Kết quả : m ≤
3
4
−

3) Tìm trên (C): y =
2x
3x
2
−
−
điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.
4) Cho hàm số
2xx
1x3
y
2

++
+
=
. Chứng minh rằng :
1y
7
9
≤≤−

5) Cho hàm số
( )
π∈α
+α−
α+−α
= ;0
1cosx2x
cosx2cosx
y
2
2
. Chứng minh rằng : −1≤ y ≤ 1
Bài 4: TIỆM CẬN
I/ Tóm tắt lý thuyết:
*Tiệm cận đứng : x = x
0
là tiệm cận đứng nếu có một trong các giới hạn sau
0 0 0 0
x x x x x x x x
lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x)
+ + − −

→ → → →
= +∞ = −∞ = +∞ = −∞

Chú ý : Tìm x
0
là những điểm hàm số khơng xác định
*Tiệm cận ngang :
y = y
0
là tiệm cận ngang nếu có một trong các giới hạn sau:
x x
f (x) y ; f (x) y
0 0
lim lim
→+∞ →−∞
= =
Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu thì có tiệm cận
ngang
* Tiệm cận xiên (ban cơ bản khơng có phần này):
Cách 1 : + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + ε (x)
lim
x→±∞
[f(x) –(ax + b)] =
x
(x)lim
→±∞
ε
= 0 ⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên
Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ;

x
f (x)
a
x
lim
→∞
=
;
[ ]
x
b f (x) ax
lim
→∞
= −
⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị (C) của hàm số
1
2
x
y
x
−
=
+
.
Giải. Vì
2
1

lim
2
x
x
x
+
→−
−
= −∞
+
;
−
→−
−
= +∞
+
2
1
lim
2
x
x
x
⇒ đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng của (C).
Vì
→+∞ →−∞
− −
= =
+ +
1 1

lim lim 1
2 2
x x
x x
x x
nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của (C).
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
8
Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
2
2 1
2 3
x x
y
x
+ +
=
−
.
Giải. Vì
2
3
2
2 1
lim
2 3
x
x x
x
+

 
→
 ÷
 
+ +
= +∞
−
(hoặc
−
 
→
 ÷
 
+ +
= −∞
−
2
3
2
2 1
lim
2 3
x
x x
x
) nên đường thẳng
3
2
x =
là tiệm cận

đứng của đồ thị hàm số đã cho.
→+∞ →−∞
+ + + +
= +∞ = −∞
− −
2 2
2 1 2 1
lim , lim
2 3 2 3
x x
x x x x
x x

⇒
d? th? hàm s? khụng cú ti?m c?n ngang
Ví dụ 3: Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số
a. y =
2
1
2
+
−
x
x
b. y =
2
1x
x
+
.

Giải:
a/ Vỡ
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
lim 2, lim 2, lim , lim
2 2 2 2
x x
x x
x x x x
x x x x
+ −
→+∞ →−∞
→− →−
− − − −
= = =− ∞ =+ ∞
+ + + +
.
⇒ đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang, đường thẳng x= -2 là tiệm cận đứng.
b/ Vỡ
2
2
2
1
1
1 1
lim lim lim 1 1
x x x
x
x
x

x x x
→+∞ →+∞ →+∞
+
+
= = + =
⇒ đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang
2
2
2
1
1
1 1
lim lim lim 1 1
x x x
x
x
x
x x x
→−∞ →−∞ →−∞
− +
+
= = − + = −
⇒ đường thẳng y=-1 là tiệm cận ngang
2 2
0 0
1 1
lim , lim
x x
x x
x x

+ −
→ →
+ +
= +∞ = −∞
⇒ đường thẳng x= 0 là tiệm cận đứng.
Ví dụ 5:Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:
2
2 3 1
2
x x
y
x
− −
=
−
Giải: ta có
2
2 3 1 1
2 1
2 2
x x
y x
x x
− −
= = + +
− −
⇒
1
lim[ (2 1)] lim[ (2 1)] lim 0
2

x x x
y x y x
x
→+∞ →−∞ →±∞
− + = − + = =
−
⇒ đường thẳng y=2x+1 là tiệm cận xiên.
B/ Bài tập tự giải:
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số :
a) y =
2x3x
1x2
2
2
+−
−
. Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2 b) y =
2x
1xx
2
+
+−
. Kết quả : x=-2
2) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số :
a) y = 1+
x
2
e
−
. Kết quả: y = 1 b) y =

x
1xx
2
++
. Kết quả: y = ±1
3) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y =
1x
2
+
.Kết quả : y = ±x
4) Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số: y =
3
32
xx3 −
. Kết quả : y = x+1.
5) Cho (Cm

) :
( )
1x
mmx1mx
y
222
+
++++
=
.
a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thị (Cm). b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị (Cm) đi qua I(1;2).
6)Tìm trên đồ thị (C):y =
1x

2x
+
+
điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
7) Lấy một điểm bất kỳ M∈(C):y = f(x) =
2x
1x3x
2
−
−+
. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận
của (C) luôn không đổi. Kq: d
1
.d
2
=
2
9
.
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
9
Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ
5.1 Sơ đồ khảo sát Hàm đa thức:
1. TXĐ
2. Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên:
Tìm y’, giải phương trình y’= 0 và các bất phương trình y’>0, y’<0 ⇒ Khoảng đồng biến, nghịch biến
b) Cực trị của hàm số.
c) Giới hạn tại vơ cực
d) BBT

Chú ý : Hàm số bậc 3 có y
/
= 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép thì y
/
ln cùng dấu với a trừ nghiệm kép
3.Đồ thị:
Bảng giá trị. Ghi dòng x gồm hồnh độ cực trị và lấy thêm 2 điểm có hồnh độ lớn hơn cực trị bên phải và nhỏ hơn
cực trị bên phải). Hàm bậc 3 lấy thêm điểm nằm giữa 2 cực trị
Vẽ đồ thị. .
Các dạng đồ thò hàm bậc 3:
y y y y
0 x 0 x 0 x 0 x


' 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
=


>

y
a

' 0
0
≥ ∀


>


y x
a

' 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
y
a
=


<


' 0
0
≤ ∀


<

y x
a
Chú ý: Đồ thò hàm bậc 3 luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Các dạng đồ thò hàm trùng phương:

y' 0 có 3 nghiệm phân biệt
a 0
=



>


' 0 có 1 nghiệm đơn
0
y
a
=


>


' 0 có 3 nghiệm phân biệt
0
y
a
=


<


' 0 có 1 nghiệm đơn
0
y
a
=



<

II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= 2x
3
– 9x
2
+ 12x– 4
Giải:
Miền xác định: D=
¡

y
′
= 6x
2
– 18x+ 12

y
′
= 0
⇔
6x
2
– 18x+ 12=0
⇔
1
2

x
x
=


=


y
′
> 0
⇔
<


>

1
2
x
x
;
y
′
< 0
⇔
< <
1 2x
Hàm số đồng biến trong 2 khoảng:(
−∞

;1) và (2; +
∞
), nghịch biến trong khoảng: (1;2)
Hàm số đạt cực đại tại x=1; y
CĐ
=1, cực tiểu tại x=2; y
CT
=0
lim
x
y
→+∞
=
+∞
,
lim
x
y
→−∞
= −∞
Bảng biến thiên:
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
10
x
Ghi tập xác đònh và nghiệm của phương trình y
/
=0
f’(x)
Xét dấu y
/

f(x)
Ghi khoảng tăng, giảm , cực trò của hàm số, giới hạn ở vơ cực

x
−∞
1 2 +
∞

y
′
+ 0 – 0 +
y 1 +
∞

−∞
0
y
′′
= 12x– 18
y
′′
= 0
⇔
x=
3
2

⇒
y=
1

2
đồ thị có 1 điểm uốn I(
3
2
;
1
2
)
Điểm đặc biệt
x 0 1
3
2
2 3
y -4 1
1
2
0 5
Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận I
3 1
;
2 2
 
 ÷
 
làm tâm đối xứng.
Ví dụ 2:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= x
4
– 2x
2

– 1
Giải:
Miền xác định: D=
¡

y
′
= 4x
3
– 4x cho
y
′
= 0
⇔
4x
3
– 4x=0
⇔
0
1
1
x
x
x
=


=



= −


y
′
> 0
⇔
− < <


>

1 0
1
x
x
;
y
′
< 0
⇔
< −


< <

1
0 1
x
x

Hàm số đồng biến trong 2 khoảng: (–1;0) và (1;
+∞
), nghịch biến trong 2 khoảng: (
−∞
;–1) và (0;1)
Hàm số đạt cực đại tại x=0; y
CĐ
= -1, cực tiểu tại x= ±2; y
CT
= -2
lim
x
y
→+∞
=
lim
x
y
→−∞
= +∞
Bảng biến thiên: x
−∞
–1 0 1
+∞

y
′
– 0 + 0 – 0 +
y
+∞

–1
+∞
–2 –2
Điểm đặc biệt
x -2 -1 0 1 2
y 7 -2 -1 -2 7
Nhận xét: đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.
B/ Bài tập tự giải: Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị các hàm số sau:
1/ Dạng y = a
3
+ bx
2
+ cx +d
a/ y = 2x
3
- 3x
2
+ 1 b/ y =
1
3
x
3
– x
2
+ x -1 c/ y = - x
3
– x
2
– x -1 d/y = - x
3

+ 3x + 1 e/y = x
3
-3x+1
f/ y = x
3
+3x−4 g/ y = (1-x)
3
h/ y = 3x
2
-x
3
i/y = -
1
3
x
3
–2 x
2
-4 x +1 j/ y = x
3
+ x + 1
k/ y= x
3
- x
2
- x + 1 l/ y =
3
1
3
x

- x m/y= - x
3
+ 3x
2
n/ y = x
3
– 3x
2
+2 p/ y = x
3
– 3x + 1
2/ Dạng 2 : y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0) a/ y= x
4
– 3x
2
+2 b/ y= x
4
+ x
2
– 4 c/ y=
4
2
3
2 2
x
x− + −

GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
11
d/ y= 3 - 2x
2
– x
4
e/y=
4
2
5
3
2 2
x
x− +
f/ y = x
4
+ 2x
2
g/ y = - x
4
+ 2x
2
+2 h/ y = -
4
2
3
2 2
x
x− +

i/
y = -
4
2
5
2 2
x
x+ −
j/ y =
2
1
x
2
x
2
4
+−
k/ y = x
4
+x
2
-2. l/ y=2x
2
−x
4
-1 m/ y=x
4
-1
4.2.Hàm phân thức : y =
dcx

bax
+
+
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
* TXĐ : D = R\






−
c
d
* . Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên: y
/
=
2
)( dcx
bcad
+
−
⇒ Khoảng đồng biến, nghịch biến
b) Cực trị của hàm số. Hàm số khơng có cực trị
c) Giới hạn, tiệm cận:
• x =
c
d
−

là tiệm cận đứng vì
( / ) ( / )
lim ( ); lim ( )
x d c x d c
ax b ax b
cx d cx d
+ −
→− →−
+ +
= +∞ −∞ = −∞ +∞
+ +

• y =
c
a
là tiệm cận ngang vì
lim lim
x x
ax b ax b a
cx d cx d c
→+∞ →−∞
+ +
= =
+ +
d) BBT
+ Vẽ đồ thị : − Vẽ tiệm cận, trục toạ độ, điểm đặc biệt
− Cho 2 điểm về mỗi phía của tiệm cận đứng vẽ từng nhánh một.
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Ví dụ 1:khảo sát hàm số

1
1
x
y
x
−
=
+
TXĐ : D
{ }
\ 1= −¡
Sự biến thiên :
+ Chiều biến thiên:
( )
2
2
'
1
y
x
=
+
> 0 ,
x
∀ ∈
D ⇒ Hàm số tăng trong 2 khoảng
( ) ( )
; 1 ; 1;−∞ − − +∞

+ Giới hạn và tiệm cận :

•
lim lim 1 1
x x
y y y
→−∞ →+∞
= = ⇒ =
là tiệm cận ngang
•
( )
1
lim
x
y
+
→ −
= −∞
;
( )
1
lim
x
y
−
→ −
= +∞
1x
⇒ = −
là tiệm cận đứng
+Bbt
x -

∞
-1 +
∞

y’ + +
y +
∞
1

1 -
∞
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
12
x= −d/ c
y= a/c
x= −d/ c
y= a/c
x
Ghi tập xác đònh và nghiệm của phương trình y
/
=0
f’(x)
Xét dấu y
/
f(x)
Ghi khoảng tăng, giảm , cực trò của hàm số, giới hạn ở vơ cực và tại x = -d/c
8
6
4
2

-2
-4
-6
-8
-10
-5
5
10
h x
( )
=
x-1
x+1
g x
( )
= 1
f y
( )
= -1
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-5
5

10
h x
( )
=
-x+3
2
⋅
x+1
g x
( )
=
-1
2
f y
( )
=
-1
2
Đồ thị :
Điểm đặc biệt
x -3 -2 -1 0 1
y 2 3 -1 0
Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm I
( )
1;1−
làm tâm đối xứng .
 Ví dụ 2 : Khảo sát hàm số
3
2 1
x

y
x
− +
=
+
1. TXĐ : D
1
\
2
 
= −
 
 
¡
2. Sự biến thiên :
+ Chiều biến thiên:
( )
2
7
'
2 1
y
x
−
=
+
<0 ,
x∀ ∈
D ⇒ Hàm số giảm trong 2 khoảng
1 1

; , ;
2 2
   
−∞ − − +∞
 ÷  ÷
   

+ Giới hạn và tiệm cận :
•
1 1
lim lim
2 2
x x
y y y
→−∞ →+∞
= = − ⇒ = −
là tiệm cận ngang
•
1
2
lim
x
y
+
 
→ −
 ÷
 
= +∞
;

1
2
lim
x
y
−
 
→ −
 ÷
 
= −∞
1
2
x⇒ = −
là tiệm cận đứng
+Bảng biến thiên:
x -
∞

1
2
−
+
∞
y’ - -
y
1
2
−
+

∞
3.Đồ thị : -
∞

1
2
−
Điểm đặc biệt
x -2 -1
1
2
−
0 3
y
5
3
4 3 0

Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm I
1 1
;
2 2
 
− −
 ÷
 
làm tâm đối xứng .
B/ Bài tập tự giải:
a/
2 3

x
y
x
=
+
b/ y=
2 1
3 2
x
x
−
+
c/ y=
3 2
1
x
x
−
−
d/y=
2
1x +
e/y =
1
2 1
x
x
+
− +
f/y =

2 1
1
x
x
+
−
g/ y =
1x
1x
−
+
h/ y =
2x
x2
+
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
13
MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ:
Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến.
Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) trong các trường hợp sau:
1/ Tại điểm có toạ độ M(x
0
;f(x
0
)) :
B1: Tìm f ’(x)
⇒
f ’(x
0
)

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x
0
;f(x
0
))

là: y =
/
0
f (x )
(x–x
0
) + f(x
0
)
2/ Tại điểm M trên đồ thò (C) có hoành độ x
0
:
B1: Tìm f ’(x)
⇒
f ’(x
0
), f(x
0
)
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
là:y =
/
0

f (x )
(x–x
0
) + f(x
0
)
3/ Tại điểm trên đồ thò (C) có tung độä y
0
:
B1: Tìm f ’(x) .
B2: Do tung độ là y
0
⇔
f(x
0
)=y
0
. giải phương trình này tìm được x
0
⇒
f
/
(x
0
)
B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y
0
là:y =
/
0

f (x )
(x–x
0
) + y
0
4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:
B1: Gọi M
0
(x
0
;y
0
) là tiếp điểm .
B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :

)(
0
xf
′
=k (*)
B3: Giải phương trình (*) tìm x
0

⇒
y
0
= f(x
0
)
⇒

phương trình tiếp tuyến.
Chú ý:
 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
)=a.
 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
).a=-1.
5/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x
1
;y
1
) :
B1:Phương trình đường thẳng d đi qua A(x
1
;y
1
) có hệ số góc k là: y = k(x–x
1
) + y
1
(1)
B2: d là tiếp tuyến của (C)
⇔
hệ phương trình sau có nghiệm :




=
′
+−=
kxf
yxxkxf
)(
)()(
11
B3:Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp tuyến thế vào (1) ⇒ phương trình tiếp tuyến.
Bài tốn 2: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ :
+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 .
+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) .
+ y = g(m) là đường thẳng ∆ cùng phương với trục hồnh; hàm số y =f(x) có đồ thị (C).
+ Tuỳ theosố giao của ∆ và đồ thị (C) ⇒ số nghiệm của phương trình.
Chú ý: Căn cứ tung độ cực đại và cực tiểu để phân chia các trường hợp biện luận.
Bài tốn 3 : GIAO ÐIỂM HAI ÐUỜNG CONG ( Ð.THẲNG VÀ MỘT ÐUỜNG CONG).
1. Cho hai đồ thị (C
1
) : y = f(x) ; (C
2
) : y = g(x)
Hồnh độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) nếu có là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vơ nghiệm <=> (C
1

) và (C
2
) khơng có giao điểm.
• pt(1) có n nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) có n giao điểm.
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đuờng cong.
2. Điều kiện tiếp xúc :
Đồ thị (C
1
) tiếp xúc (C
2
) <=> hệ pt
f (x) g(x)
f (x) g (x)
=
′ ′
=



có nghiệm
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Ví dụ 1:
Cho đường cong (C): y= x
3
-3x +1 và đường thẳng d đi qua điểm A(0;1) có hệ số góc k. biện luận số giao điểm

của (C) và d.
Giải
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
14
6
4
2
-2
5
x
y
Phương trình đường thẳng d có dạng: y= kx + 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là : x
3
-3x +1 = kx + 1 (1)
⇔
x
3
-(3+k)x = 0
⇔
x(x
2
-3-k) = 0
⇔

2
0
( ) 3 0 (2)
x
g x x k

=


= − − =

ta có
/
∆
(2)
= 3+k
Nếu 3+k < 0
⇔
k<-3 Phương trình (2) vô nghiệm
⇒
(1) có 1 nghiệm
⇒
(C) và d có 1 giao điểm.
Nếu 3+k = 0
⇔
k= -3 Phương trình (2) có nghiệm kép x=0
⇒
(1) có 1 nghiệm bội
⇒
(C) và d có 1 giao
điểm.
Nếu 3+k > 0
⇔
k> -3 . Mặt khác g(0) = 0
⇔
-3-k = 0

⇔
k = -3 . Vậy k> -3 phương trình (2) có 2 nghiệm
phân biệt khác 0
⇒
(1) có 3 nghiệm phân biệt
⇒
(C) và d có 3 giao điểm.
Ví dụ 2: Cho hàm số
3 2x
y
x 1
−
=
−
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
Giài:
Đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt ⇔ Phương trình
3 2x
= mx+2
x 1
−
−
có hai nghiệm
phân biệt ⇔ Phương trình mx
2
– (m – 4)x – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt, khác 1
⇔
2
2
2

m 6 2 5
m 0
m 0
(m 4) 20m 0 6 2 5 m 0
m 12m 16 0
m 0
m.1 (m 4).1 5 0

<− −
≠


≠


∆= − + > ⇔ ⇔ − + < <

 
+ + >



>
− − − ≠



Ví du 3:
Cho hàm số y=x
3

– 6x
2
+ 9x (C). Dùng đồ thị (C) biện luận số
nghiệm của phương trình x
3
– 6x
2
+ 9x – m = 0
Giải:
Phương trình x
3
– 6x
2
+ 9x – m = 0
⇔
x
3
– 6x
2
+ 9x = m
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) và
đường thẳng d: y=m.
dựa vào đồ thị ta có:
Nếu m > 4 thì d và (C) có 1 giao điểm ⇒ phương trình có 1 nghiệm.
Nếu m = 4 thì d và (C) có 2 giao điểm ⇒ phương trình có 2 nghiệm.
Nếu 0< m <4 thì d và (C) có 3 giao điểm ⇒ phương trình có 3 nghiệm.
Nếu m=0 thì d và (C) có 2 giao điểm ⇒ phương trình có 2 nghiệm.
Nếu m < 0 thì d và (C) có 1 giao điểm ⇒ phương trình có 1 nghiệm.
Ví dụ 4 :
Cho đường cong (C) y = x

3
.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :
a.Tại điểm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hồnh độ bằng –2
c.Tại điểm có tung độä bằng –8 d. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
e.Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm B(2;8)
Giải:
Ta có y’= 3.x
2
a/ Tiếp tuyến tại A(-1;-1)
( )C∈
có
0
0
x 1
f(x ) 1
= −


= −

⇒ f’(x
0
)= 3.(-1)
2
= 3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y=f’(x
0
)(x-
x
0
)+f(x

0
) = 3.(x+1) + (-1)
b/ Ta có x
0
= -2 ⇒
0
0
f(x ) 8
f '(x ) 12
= −


=

⇒ Ph.trình tiếp tuyến là y = 12(x+2) – 8 =12x + 16
c/ Ta có tung độ bằng y
0
= –8
⇔
f(x
0
)= -8
⇔

3
0
x
=-8
⇒
x

0
= -2
⇒
f’(x
0
)=12
⇒
Phương trình tiếp tuyến là:
y= 12(x+2) – 8 = 12x + 16
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
15
d/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
⇔
f ’(x
0
)=3
⇔
3.
2
0
x
=3

⇔

x
0
=
±
1

với x
0
=1
⇒
f(x
0
)=1
⇒
Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2 .
với x
0
=-1
⇒
f(x
0
)= -1
⇒
Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2.
e/Phương trình đường thẳng d đi qua B(2;8) có hệ số góc k là: y = k(x–2) + 8

d là tiếp tuyến của (C)
⇔
hệ phương trình sau có nghiệm :
3
2
k(x-2) + 8(1)
3 (2)
x
x k


=


=



⇔
x
3
= 3x
2
(x-2) + 8
⇔
2x
3
- 6x
2
+ 8 = 0
⇔

2
1
x
x
=


= −


Với x=2
⇒
k=12
⇒
phương trình tiếp tuyến là y=12(x-2)+8 = 12x -16.
Với x=-1
⇒
k=3
⇒
phương trình tiếp tuyến là y= 3(x-2)+8 = 6x - 4
B/ Bài tập tự giải:
1) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị:
a) (C): y =
2x
3x6x
2
+
+−
và d: y = x−m.
b) (H):
1x
1x
y
−
+
=
và d: y= −2x+m.
2) a.Vẽ đồ thị (C) hàm số y = x
3

+3x
2
−2.
b.Biện luận bằng đồ thị (C) số nghiệm của pt: x
3
+3x
2
−(m−2) = 0
3) Dùng đồ thị (C): y = x
3
−3x
2
+1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
3
−3x
2
− 9x+1−m = 0.
4) Viết phương trình các đường thẳng vng góc với đường thẳng y=
4
1
x+3 và tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số
y= −x
3
+3x
2
−4x+2.
5) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x
3
+3x
2

+1 biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O.
6) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C): y =
2x
2x
+
−
. Từ đồ thò (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thò của các hàm số:
a) (C
1
): y = f
1
(x) =
2x
2x
+
−
b) (C
2
): y = f
2
(x) =
2x
2x
+
−
c) (C
3
): y = f
3
(x) =

2x
2x
+
−

d) (C
4
): |y| = f
4
(x) =
2x
2x
+
−
e) (C
5
): y = f
5
(x) =
2x
2x
+
−
f) (C
6
): |y| = f
6
(x) =
2x
2x

+
−
7) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = f(x) = x
3
−3x
2
+2. b) Từ đồ thị (C), suy ra đồ thị (C’): y = g(x) = | x|
3
−3x
2
+2. Từ đó biện luận theo m số nghiệm của phương trình: | x|
3
−3x
2
+1 − m = 0.
8). Cho hµm sè
1
2
2 xy x − +=
, cã ®å thÞ (C). LËp PTTT víi (C) t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng 1.
9). Cho hµm sè
= − +
3
3 2y x x
, cã ®å thÞ (C). ViÕt PTTT cđa (C) t¹i ®iĨm (0;2). (§H DL §«ng §« )
10). Cho hµm sè
= − +
3
3 1y x x
, cã ®å thÞ (C). Cho ®iĨm A(x

0
;y
0
) thc (C), tiÕp tun víi (C) t¹i A c¾t (C) t¹i
®iĨm B kh¸c ®iĨm A, t×m hoµnh ®é B theo x
0
(§H Th¬ng M¹i)
11). Cho hµm sè
= −
2
(3 )y x x
, cã ®å thÞ (C). ViÕt PTTT víi (C) t¹i ®iĨm x
0
m f à
//
(x
0
) = 0 (§H Th¸i Nguyªn)
12). Cho hµm sè
3 2
2 3 12 1y x x x= + - -
, cã ®å thÞ (C). T×m ®iĨm M thc (C) sao cho tiÕp tun t¹i ®ã ®i qua
gèc to¹ ®é.
13). Cho hµm sè
3 2
3 4y x x= - +
. ViÕt PTTT t¹i giao ®iĨm cđa (C) víi trơc hoµnh. (C§ Y TÕ Nam §Þnh )
14). Cho hµm sè
1
3

1
3
y x x= − +
, cã ®å thÞ (C). Trong tÊt c¶ c¸c tiÕp tun víi ®å thÞ (C), h·y t×m tiÕp tun cã hƯ
sè gãc nhá nhÊt. (HV QHQT 0102)
15). Cho hµm sè
= − + − +
3 2
3 3 1y x x x
, cã ®å thÞ (C). T×m trªn (C) nh÷ng ®iĨm mµ tiÕp tun t¹i ®ã cã hƯ sè gãc
lín nhÊt.
16). Cho hµm sè
+ −
=
−
2
2
2
x x
y
x
, cã ®å thÞ (C). T×m ®iĨm M trªn (C) sao cho tiÕp tun t¹i M c¾t trơc täa ®é t¹i hai
®iĨm A, B vµ tam gi¸c OAB vu«ng c©n t¹i O.
17). Cho hµm sè
+ +
=
+
2
2
1

x mx m
y
x
, cã ®å thÞ
(C )
m
. X¸c ®Þnh m ®Ĩ
(C )
m
c¾t Ox t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt mµ tiÕp
tun t¹i hai ®iĨm ®ã vu«ng gãc víi nhau. (§H Y93)
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
16
18). Cho hàm số
( )
2

1
x
y C
x
=
+
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
( )
C
. b/ Tìm tọa độ điểm
M
thuộc
( )

C
, biết tiếp tuyến của
( )
C
cắt 2 trục
, Ox Oy
tại
, A B
và tam giác
OAB
có diện tích bằng
1
4
.
19. Cho hàm số
( )
3

2
x
y C
x
+
=
+
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
, biết tiếp tuyến cắt 2 tiệm
cận tại hai điểm phân biệt

, A B
sao cho độ dài
AB
là nhỏ nhất?
20). Cho hàm số
( )
2
1

1
x x
y C
x
+ −
=
−
. Tìm các điểm trên đồ thò
( )
C
mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thò
( )
C
vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của
( )
C

21). Cho hàm số
( )
3
2 1 1y x m x= − + +

. Tìm
m
để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt?
22). Cho hàm số
( )
3 2
3 9
m
y x x x m C= − − +
. Xác định
m
để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt
với các hồnh độ lập thành một cấp số cộng.
23). Cho hàm số
( )
3

2
x
y C
x
+
=
+
. Chứng minh rằng đường thẳng
1
2
y x m= −
ln cắt
( )

C
tại hai điểm
phân biệt
, A B
. Xác định
m
sao cho độ dài
AB
là nhỏ nhất?
24).Cho hàm số
( ) ( )
4 2
3 2 3
m
y x m x m C= − + +
,
m
là tham số. a/ Khảo sát vẽ đồ thò hàm số khi
0m =
.
b/ Tìm
m
để đường thẳng
1y = −
cắt đồ thò
( )
m
C
tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
25).Cho hàm số

( )
3 2
6 3 2 6y x x m x m= − + + − −
. Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị
cực trị cùng dấu.
26).Cho hàm số
( )
3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m= − − + − − −
(1), m là tham số. (ĐH Khối−B năm 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ.
27). Cho hàm số:
4 2 2
y x 2m x 1= − +
, (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m=1.
b) Tìm m để đồ thò hàm số (1) có ba điểm cực trò là ba đỉnh của một tam giác vuông cân .
28).Cho hàm số:
2
x mx
y
1 x
+
=
−
, (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m=0.
b) Tìm m để đồ thò hàm số (1) có cực đại cực tiểu . Với giá trò nào của m thì khoảng cách
giữa hai điểm cực trò của đồ thò hàm số (1) bằng 10.
29).Cho hàm số
2

3
1
x x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C) a) Khảo sát và vẽ (C).
b) Tìm trên (C) những điểm có toạ độ ngun. c) Tìm điểm trên (C) cách đều các trục toạ độ.
d) Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m ln ln cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N. Tìm tập hợp trung
điểm của đoạn MN.
d) Đường thẳng d cắt hai tiệm cận tại hai điểm P và Q. Chứng minh hai đoạn MN và PQ có cùng trung điểm.
30) .Cho hàm số
3
1
x
y
x
+
=
+
có đồ thị (C) a) Khảo sát và vẽ (C).
b) Chứng minh đường thẳng y = 2x + m ln cắt (C) tại hai điểmphân biệt M và N. Tìm tập hợp trung điểm I
của đoạn MN.
c) Xác định m sao cho đoạn MN ngắn nhất.
d) Tìm trên (C) những điểm có toạ độ ngun.
e) Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách tới 2 trục toạ độ nhỏ nhất.
f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh S là trung
điểm của đoạn PQ.

GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
17
KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO GIẢI TÍCH CHƯƠNG II
Bài 1: LŨY THỪA
I/Tóm tắt lý thuyết:
• Các định nghĩa: ( m ngun; n ngun dương )
a
n
=a.a…a (∀a) ; a
−
n
=
n
a
1
(a≠0) ; a
0
= 1 (a≠0) ;
m
m
n
n
a a=
(a>0)
• Các quy tắc :
⋅ a
x
.a
y
= a

x+y
 (a.b)
x
=a
x
.b
x

x
a
x y
a
y
a
−
=

x
x
a a
x
b b
=
 
 ÷
 

( )
( )
x

y
y x.y
x
a a a
= =
 a>1 thì a
x
>a
y
⇔ x>y ;  0<a<1 thì a
x
>a
y
⇔ x<y ;

II/ BÀI TẬP:
Vấn đề 1: Tính Giá trò biểu thức
Bài 1: Tính a) A =
1
5 1
3 7 1 1
2
3 3
2 4 4 2
3 5 : 2 : 16 :(5 .2 .3
−
   
   
   

b)
1 2 2 3 3
1 4 5 2
(0,25) ( ) 25 ( ) :( ) :( )
4 3 4 3
− − −
 
+
 
 
Bài 2: a) Cho a =
1
(2 3)
−
+
và b =
1
(2 3)
−
−
.
Tính A= (a +1)
-1
+ (b + 1)
-1
b) cho a =
4 10 2 5+ +
và b =
4 10 2 5− +
. Tính A= a + b

Bài 3: Tính
a) A =
5
3
2 2 2
b) B =
3
3
2 3 2
3 2 3
c) C =
3
3 9 27 3
Bài 4: Tính
a/ a
22
(
12
1
a
)
12+
(KQ: a
3
)
b/(
13
3
b
a

)
13+
.
2
31
b
a
( KQ: a
2
)
d/
π
π
ππ
)4()(
1
2
xyyx +
(KQ: |x
π
-y
π
|)
5
3
3
1
75,0
32
1

125
1
81
−−
−






−






+=A
Vấn đề 2: Đơn giản một biểu thức
Bài 1: Giản ước biểu thức sau
a) A =
4
( 5)a −
b) B =
4 2
81a b
với b ≤ 0
c) C =
3 3

25 5
( )a
(a > 0)
d) E =
2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
( )
2
( )
x y x y x y
xy
x y x y
−
 
+ + −
 ÷
− −
 ÷
 ÷
+ +
 
với x > 0, y > 0
e ) F =
2
2
2 1
1

a x
x x
−
+ −
với x =
1
2
a b
b a
 
+
 ÷
 ÷
 
và a > 0 , b > 0
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
18
f) G =
a x a x
a x a x
+ − −
+ + −
Với x =
2
2
1
ab
b +
và a > 0 , b > 0
g) J =

2
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 3
2 3
a a a a
a a a a
− −
−
 
− − +
 
+
 
− −
 
với 0 < a ≠ 1, 3/2
h)
3 3 3 3
a b a b
a b a b
− +
−
− +
i)
1
4
4
3 1

4 2
1
. . 1
1
a a a
a
a
a a
− +
+
+
+
j)
( ) ( )
5
2 2
4 4 4 4
3
3
. .
a b a b
a a a
a ab
 
+ + −
 
 
+
 
 

k)
( )
2
3 3
3
3
2 2
2
2
3
.
:
x x y
x y
x x y y
x xy
−
−
+
−
−
Vấn đề 3: Chứng minh một đẳng thức
Bài 1 chứng minh :
2 1 2 1 2x x x x+ − + − − =
với 1≤ x ≤ 2
Bài 2 chứng minh :
3 3 3 32 4 2 2 2 4 2 2 3
( )a a b b a b a b+ + − = +
Bài 3: chứng minh:
2

3 3 1 1
1
2 2 2 2
2
1 1
2 2
( ) 1
x a x a
ax
x a
x a
  
− −
 ÷
 
+ =
 ÷
 
−
 ÷
−
 
  
với 0 < a < x
Bài 4 chứng minh:
1
4 3 3 4 2 2
2
1
2 2 1

3 ( )
( ) :( ) 1
2 ( )
x x y xy y y x y
x y x y
x xy y x x y
−
−
 
+ + + −
+ + + =
 ÷
+ + −
 

Với x > 0 , y > 0, x ≠ y , x ≠ - y
Bài 5: Chứng minh rằng
3 3
9 80 9 80 3+ + − =
BÀI 2: HÀM SỐ LŨY THỨA
I/Tóm tắt lý thuyết:
1. khái niệm.
“Hàm số y = x
α
, với α ∈ R, được gọi là hàm số luỹ thừa.”
* Chú ý :
+ Với α ngun dương, tập xác định là R.
+ Với α ngun âm hoặc bằng 0, tập xác định là R\{0}
+ Với α khơng ngun, TXĐ D = (0; + ∞)
2. đạo hàm của hàm số luỹ thừa.

Hàm số y =
α
x
,
( )
R∈
α
có đạo hàm với mọi x > 0 ta có :

( ) ( )
/ /
1 1 /
.x x u u u
α α α α
α α
− −
• = • =
II/ BÀI TẬP:
Bài 1.Tìm tập xát định của hàm số
a/ y =
( )
1
2
3
2x x
−
+ −
b/
( )
5

3
2
2 xy −=
c/ y =(x
2
– 1)
– 2


GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
19
d/ y =
2
(2 1)x +
e/ y =
2
2
3
( 2 3)x x+ −
f/ y =
3
2
1
x
x
−
 
 ÷
+
 

g/ y =
0
2
2
x x
x
 
+
 ÷
−
 
h/ y =
3
2
2
1
x
x
−
−
 
 ÷
+
 
i/ y =
3
2
2
2
x x

x
−
 
− −
 ÷
−
 
Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số.
a/ y =
2
x
b/ y =
2
3
x
−
c/ y =
2
( 2)x x
π
+ −

d/ y =
a b
x a
b x
   
 ÷  ÷
   
với a > 0 , b > 0 e/ y =

3
2
2
1
x
x
−
−
 
 ÷
+
 
f/ y =
3
2
2
2
x x
x
−
 
− −
 ÷
−
 
g)
( )
3
1
2

12 +−= xxy
h/ y= (x
3
+x + 1)
π
i)
1
3
2
(3 1)
2
y x
π
π
−
= +
Bài 3.khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
a)
3
4
xy =
b/
3
2
2
/y x c y x
−
−
= =

Bài 4 so sánh các số.
a/ (3,1)
7,2
< (4,3)
7, 2
b/
2,3 3,2
13 13
11 11
   
<
 ÷  ÷
   

c/ (0,3)
0,3
> (0,2 )
0,3
a/ y =
2
x
b/ y =
2
3
x
−
c/ y =
2
( 2)x x
π

+ −

d/ y =
a b
x a
b x
   
 ÷  ÷
   
với a > 0 , b > 0 e/ y =
3
2
2
1
x
x
−
−
 
 ÷
+
 
f/ y =
3
2
2
2
x x
x
−

 
− −
 ÷
−
 
Baøi 3: LOGARIT
I/ I/Tóm tắt lý thuyết:
1/ Định nghĩa Logarit: a, b>0 và a≠1 α = log
a
b ⇔ a
α
= b
2/ Tính chất: log
a
1 = 0; log
a
a=1;
x
a
a
log
= x ; log
a
x
a
= x
3/ Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta có:
• log
a
(B.C) = log

a
B + log
a
C • log
a
B
C
 
 ÷
 
= log
a
B − log
a
C •log
a
B
β
=
β
log
a
B
4/ Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có :
log
c
a.log
a
b =
log

c
b hoặc
log b
c
log b
a
log a
c
=
Hệ quả:
0 < a, b ≠ 1 thì log
a
b =
1
log a
b
; 0 < a ≠ 1 , b>0 thì log
α
a
b
β
=
β
α
log
a
b
Chú ý : log
10
x = lg x ; log

e
x = ln x
II/ BÀI TẬP:
Vấn đề 1: các phép tính cơ bản của logarit
Bài 1 Tính logarit của một số
A = log
2
4 B= log
1/4
4 C =
5
1
log
25
D = log
27
9 E =
4
4
log 8
F =
3
1
3
log 9
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
20
G =
3
1

5
2
4
log
2 8

ữ
ữ

H=
1
3
27
3 3
log
3

ữ
ữ

I =
3
16
log (2 2)
J=
2
0,5
log (4)
L =
52 3

1
log ( )
a
a a
Bi 2 : Tớnh lu tha ca logarit ca mt s
A =
2
log 3
4
B =
9
log 3
27
C =
3
log 2
9
D =
3
2
2log 5
3
2

ữ

E =
2
1
log 10

2
8
F =
2
1 log 70
2
+
G =
8
3 4log 3
2

H =
3 3
log 2 3log 5
9
+
I =
log 1
(2 )
a
a
J =
3 3
log 2 3log 5
27

K=.
3
2

1 log 4
log 3 2
3 2
+

+
L=
2 8
8
1
log 3 3log 5
1 log 5
2
16 4
+

+
M=
2
4log 5
a
a
Vn 2: Rỳt gn biu thc
Bi 12: Rỳt gn biu thc
A =
4
3
log 8log 81
B =
1

5
3
log 25log 9
C =
3
2 25
1
log log 2
5
D =
3 8 6
log 6log 9log 2
E =
3 4 5 6 8
log 2.log 3.log 4.log 5.log 7
F =
2
4
log 30
log 30
G =
5
625
log 3
log 3
H =
2 2
96 12
log 24 log 192
log 2 log 2

I =
1 9
3
3
log 7 2log 49 log 27+
Vn 3: Chng minh ng thc logarit
Bai 1: Chng minh ( gi s cỏc biu thc sau ó cho cú ngha)
a)
log log
log ( )
1 log
a a
ax
a
b x
bx
x
+
=
+
b)
1 2 .
1 1 1 ( 1)

log log log 2log
n
a
a a a

n n
x x x x
+
+ + + =
c) cho x, y > 0 v x
2
+ 4y
2
= 12xy
Chng minh: lg(x+2y) 2 lg2 = (lgx + lg y) / 2
d) cho 0 < a 1, x > 0
Chng minh: log
ax
.
2
2
1
log (log )
2
a
a
x x=
T ú gii phng trỡnh log
3
x.log
9
x = 2
e) cho a, b > 0 v a
2
+ b

2
= 7ab chng minh:
2 2 2
1
log (log log )
3 2
a b
a b
+
= +
Vn 4: Tớnh logarit ca mt s theo mt s loga rit cho trc:
Bi 1:
a/ Bit log
15
3 = a. Tớnh log
25
15 theo a?
b/ Biu din log
4
1250 theo a=log
2
5
c/ Biu din
3
log 50
theo a=log
3
15 v b=log
3
10.

d/Bit lg2 = a, lg3 = b. Tớnh lg
25
24
theo a v b
e/. Tớnh
49
log 32
theo a nu
2
log 14 a
=
f/. Tớnh
24
log 72
theo a nu
6
log 2 a
=
g/. Tớnh
5
log 6
theo a v b nu
100
log 3 a
=
v
100
log 2 b
=
Baứi 4: HAỉM SO MUế HAỉM SO LOGARIT

I/Túm tt lý thuyt:
GV biờn son: Nguyn Nng Sut - Trng THPT Quang Trung
21
(e
x
)
/
= e
x
( e
u
)
/
= u
/
.e
u
( a
x
)
/
= a
x
.lna ( a
u
)
/
= u
/
.a

u
.lna
1/ Hàm số mũ:
ĐN: Hàm số mũ là hàm số cho bởi biểu thức y =
x
a
với a > 0 ; a ≠ 1
TXÐ : D = R TGT : (0; +∞ )
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x
1
> x
2
⇔
1
x
a
>
2
x
a
+ 0 < a < 1 ; h/s nghịch biến : x
1
> x
2
⇔
1
x
a
<
2

x
a
Đạo hàm của các hàm số mũ
2/ Hàm số Logarit:
ĐN: Hàm số logarít là hàm số cho bởi biểu thức y = log
a
x với a > 0 ; a ≠ 1
TXÐ : D = (0 ; +∞ ) MGT : T= R
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x
1
> x
2
> 0 ⇔ log
a
x
1
> log
a
x
2

+ 0 < a < 1;h/s ngh biến: x
1
> x
2
> 0 ⇔ log
a
x
1
<log

a
x
2

Đạo hàm của các hàm số logrit
II/
BÀI TẬP:
Vấn đề 1: tìm tập xác định của hàm số
Bài 1: tìm tập xác định của các hàm số sau
a) y =
2
3
log
10 x−
b) y = log
3
(2 – x)
2
c) y =
2
1
log
1
x
x
−
+
d) y = log
3
|x – 2| e)y =

5
2 3
log ( 2)
x
x
−
−
f) y =
1
2
2
log
1
x
x −
g) y =
2
1
2
log 4 5x x− + −
h) y =
2
1
log 1x −
i) y= lg( x
2
+3x +2)
Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số
Bài 1: tính đạo hàm của các hàm số mũ
a) y = x.e

x
b) y = x
7
.e
x
c) y = (x – 3)e
x
d) y = e
x
.sin3x
e) y = (2x
2
-3x – 4)e
x
f) y = sin(e
x
) g) y = cos(
2
2 1x x
e
+
) h) y = 4
4x – 1
i) y = 3
2x + 5
. e
-x
+
1
3

x
j) y= 2
xex -1
+ 5
x
.sin2x k) y =
2
1
4
x
x −
Bài 2 : Tính đạo hàm các hàm số sau
a/ y = ( x + 1)e
x
b/ y = x
2

4
1
x
e +
c/ y =
( )
1
2
x x
e e
−
−

d/ y =
( )
1
2
x x
e e
−
+
e/ y = 3x
3
+ 2
x
sinx g/ y =
2
1
3
x +
Bài 3 . Tìm đạo hàm của các hàm số logarit
a) y = x.lnx b) y = x
2
lnx -
2
2
x
c) ln(
2
1x x+ +
) d) y = log
3
(x

2
- 1)
e) y = ln
2
(2x – 1) f) y = x.sinx.lnx g) y = lnx.lgx – lna.loga(x
2
+ 2x + 3)
Bài 4 . Tính đạo hàm các hàm số sau
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
22
• (lnx)
/
=
1
x
(x>0) • (lnx)
/
=
1
x
(x≠0) • (log
a
x)
/
=
1
x ln a
(x>0) • (log
a
x

)
/
=
1
x ln a

(x≠0)
• (lnu)
/
=
u
u
′
(u>0) • (lnu)
/
=
u
u
′
(u≠0) • (log
a
u )
/
=
u
u. ln a
′
(u>0) • (log
a
u

)
/
=
/
u ln a
u
(u≠0)
a/ y = ( x + 1)lnx b/ y = x
2
lnx
2
c/ y =
1
ln
1
x
x +

d/ y =
2
ln( 1)x
x
+

e/ y = 3x
3
+ sinx .
2
log x
g/ y =

2
3
log ( 1)x +
Vn 3: Tỡm giỏ tr ln nht nh nht ca hm s m v loga:
Bi 1: Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca cỏc hm s sau:
a/ y= lnx x b/ y= e
-x
cosx trờn
[ ]
0;

c/ f(x) = x e
2x
trờn on [1 ; 0]
Bi 2: nh x hm s sau t giỏ tr nh nht v tớnh giỏ tr nh nht :y =f(x)= lg
2
x +
2xlg
1
2
+
Bi 3: Tỡm giỏ tr nh nht v giỏ tr ln nht ca hm s
2
f (x) x ln(1 2x)=
trờn on [-2; 0].
( thi TN THPT nm 2009)
Baứi 5: PHệễNG TRèNH MUế VAỉ PHệễNG TRèNH LOGARIT
1/ Mt s phng phỏp gii phng trỡnh m v loga:
a) Dng c bn:

f (x)
a
=
g(x)
a
f(x) = g(x)

v(x)
u
= 1 ( u 1 ).v(x) = 0 ( trong ú u cú cha bin )

f (x)
a
= b ( vi b > 0 ) f(x) = log
a
b
log
a
f(x) = log
a
g(x)
f (x) 0 g(x) 0
f (x) g(x)
> >
=



hoaởc

log f (x) b
a
0 a 1
=
<



f(x) =
b
a

log v(x)
u(x)
= b
[ ]
v(x) 0 ; u(x) 0 ; u(x) 1
b
v(x) u(x)
> >
=





b) t n ph :
Dng 1: .
2f (x)
a

+.
f (x)
a
+ = 0 ; t : t =
f (x)
a
k t > 0
Dng 2: .
b f (x)
a
+
+.
b f (x)
a

+ = 0 ; t : t =
f (x)
a
k t > 0
Dng 3: .
f (x)
a
+.
f (x)
b
+ = 0 v a.b = 1; t: t =
f (x)
a
;
1

t
=
f (x)
b
Dng 4: .
2f (x)
a
+.
( )
f (x)
a.b
+ .
2f (x)
b
= 0 ; t t =
f (x)
a
b

ữ

Logarit hoỏ , m hoỏ :
II/ BI TP:
A/Bi tp mu:
Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh sau:
a./
2
x 3x 1
1
3

3
+

ữ
=
ữ
ữ

b./
x 1 x 2
2 2 36
+
+ =
Gii:
a./
2
2
x 3x 1
(x 3x 1) 1 2 2
x 1
1
3 3 3 (x 3x 1) 1 x 3x 2 0
x 2
3
+
+


=

ữ
= = + = + =

ữ
=
ữ



GV biờn son: Nguyn Nng Sut - Trng THPT Quang Trung
23
b./

x x x
x 1 x 2 x
x x 4
2 8.2 2
2 2 36 2.2 36 36
4 4
9.2 36.4 2 16 2 x 4
+ −
+
+ = ⇔ + = ⇔ =
⇔ = ⇔ = = ⇔ =
Bài 2: Giải các phương trình sau
a./
2 5
3 5
x+
=

b./
2 1
5 2 50.
x x−
=
Giải:
a./
2 5
3
3
5 5
3 5 2 5 5
2

log
log
x
x x
+
−
= ⇔ + = ⇔ =
b./
2 1
20
4
5 2 50 5 50 20 100 100
2
. . log
x
x x x x

x
−
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Bài 3: Giải các phương trình sau
a./
25 2 5 15 0.
x x
− − =
b./
4 2 1
3 -4.3 27 0
x x +
+ =
c./
2 2
3 3 24
x x+ −
− =
Giải:
a./
( )
2
25 2 5 15 0 5 2 5 15 0. .
x x x x
− − = ⇔ − − =
Đặt t = 5
x
, t >0 ta có phương trình: t
2
– 2t – 15= 0

5
3 (loai)
5 5 1
=

⇔

= −

⇔ = ⇔ =
x
t
t
x
b./
( )
2
2x 2
2x 2
2
2 2
4x 2x+1
3 -4.3 +27=0 3 12 3 27 0
Nêu t=3 t>0 ta có : t 12 27 0
1
3 3 3 2 1

2
9 2 2
3 9 3

1

⇔ − + =
− + =


= = =
=
 

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

 

= =
= =
 

=

.
;
x
x
x
t
t x
x
t x
x

c./
( )
2
2 2
9
3 3 24 9 3 24 0 9 3 24 3 9 0
3
. . .
x x x x x
x
+ −
− = ⇔ − − = ⇔ − − =
Đặt
3 0
x
t = >
, ta có
2
3
9t 24 9 0 3 3 1
1
( loai)
3
=


− − = ⇔ ⇔ = ⇔ =

= −


x
t
t x
t

Bài 4: Giải các phương trình sau:
a./
2 2
3 2log log ( )x x+ + =
b./
2
2 2 2
9log log logx x x+ =
Giải:
a./
2 2
3 2log log ( )x x+ + =
(1)
ĐK:
0 0
0
3 0 3
x x
x
x x
> >
 
⇔ ⇔ >
 
+ > > −

 
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
24
2
2
2
1 3 2 3 2 4
1
3 4 0 1
4
⇔ + = ⇔ + = =

=
⇔ + − = ⇔ ⇔ =

= −

( ) log ( ) ( )

(loai)
x x x x
x
x x x
x ï
b./
2
2 2 2
9log log logx x x+ =
(1) ĐK: x>0
2 2 2 2 2 2

2 2 2 2
1 2 9 2 9
1
9 3 3
2

( ) log log log log log log
log log log log
x x x x
x x x
⇔ + = + ⇔ =
⇔ = ⇔ = ⇔ =
x=3>0 thỏa điều kiện . Vậy phương trình có nghiệm là x=3
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a./
2
2 2
2 2 0log logx x+ − =
b./
2 1
1 1 4log ( ) log
x
x
−
+ − =
c./
2 3
5 7lg lg lgx x x− = −
d./
2 2

2 16 7 0. log logx x+ − =
Giải:

2
2 2
2
2 2
2 2 0 (1) x>0
(1) 2 0
/ log log :
log log
+ − =
⇔ + − =
a x x ÑK
x x
2
2
2
2
2
2
1
1
t= ta có : t 2 0
1
2 2
2
4
−


=

=

=

+ − = ⇔ ⇔ ⇔



=− =−
= =





log
log ,
log
x
x
t
Ñaët x t
t x
x
Thỏa điều kiện x>0 . Vậy phương trình có nghiệm là: x=2 và x=1/4
b./
2 1
1 1 4log ( ) log

x
x
−
+ − =
(1)
ĐK:

[ ]
2
2 2
2 2
2
2 2
1 0 1
1 1 2
4 2
1 1 1 1 1
1 1
1 1 2 0
(*)

log
( ) log ( ) log ( )
log ( ) log ( )
log ( ) log ( )
x x
x x
x x
x x
x x

− > >
 
⇔
 
− ≠ ≠
 
⇔ + − = ⇔ + − =
− −
⇔ − + − − =
Đặt:
2
1log ( )t x= −
, ta có :
2
1
2 0
2
t
t t
t
=

+ − = ⇔

= −


2
2
1 2 3

1 1
1 5
1 2
1
4 4
log ( )
log ( )
x x
x
x
x x
− = =
 
− =

 
⇔ ⇔ ⇔

 
− = −
− = =

 
thỏa (*)
Vậy phương trình có nghiệm là : x = 3 và x = 5/4.
c./
2 3
5 7lg lg lgx x x− = −
(1)
ĐK: x>0 (*)

2 2
1 5 3 7 8 7 0

( ) lg lg lg lg lgx x x x x⇔ − = − ⇔ − + =
Đặt: t= lgx , ta có:
2
7
10
1 1
8 7 0
7 7
10
lg
lg
x
t x
t t
t x
x
=

= =
 
− + = ⇔ ⇔ ⇔

 
= =
=

 


thỏa (*)
GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung
25