chủ đề: SỰ TƯƠNG GIAO (Bản 2.0_
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (810.38 KB, 18 trang )
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luy
ện thi Đại học 2012
Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO
T
ổ Toán THPT Phong Điền
Trang 1
Chủ đề
5:
SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
I-
LÝ THUY
ẾT:
Gi
ả
s
ử
(C) và (C’) là
đồ
th
ị
c
ủa
hai hàm s
ố
:
( ) vµ ( )y f x y g x= =
.
Hoành
độ
giao
đ
i
ểm
c
ủa
(C) và (C’), n
ếu
có,
là nghi
ệm
c
ủa
ph
ươ
ng trình
( ) ( ) =f x g x
(1)
Lưu
ý:
Phương trình
( ) ( )f x g x=
là
phương trình hoành độ giao điểm
của (C) và (C’).
Đảo
l
ại
, n
ếu
0
x
là nghi
ệm
c
ủa
(1), t
ức
là:
0 0
( ) ( )f x g x=
thì
đ
i
ểm
(
)
(
)
0 0 0 0
; ( ) hay ; ( )M x f x M x g x
là
đ
i
ểm
chung c
ủa
(C) và (C’).
Kết quả
:
- N
ếu
pt (1) v
ô nghi
ệm
th
ì (C) và (C’) không có
đ
i
ểm
chung.
- N
ếu
pt (1) c
ó
n
nghi
ệm
th
ì (C) c
ắt
(C’) t
ại
n
đ
i
ểm
ph
ân bi
ệ
t (
n
không là nghi
ệm
b
ội
)
BÀI T
ẬP MINH HỌA
:
DẠ
NG 1:
XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐỒ THỊ
Bài t
ập 1:
(
ĐHVH
-98
) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng
d: 2 5y x= +
với đồ thị hàm số
(C):
3 2
3 1y x x= + +
.
Bài gi
ải:
TXĐ:
D R=
. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):
(
)
(
)
3 2 3 2
2
2
3 1 2 5 3 2 4 0
1
1 2 4 0
1 5
2 4 0
1 5
+ + = + Û + - - =
= -
é
ê
é
Û + + - = Û
= - +
ê
+ - = Û
ê
ê
= - -
ê
ë
ë
x x x x x x
x
x x x
x
x x
x
* Với
1 2.( 1) 5 3x y= - Þ = - + =
.
* Với
(
)
1 5 2 1 5 5 3 2 5x y= - + Þ = - + + = +
.
* V
ới
(
)
1 5 2 1 5 5 3 2 5x y= - - Þ = - - + = -
.
Kết luận:
V
ậy các giao điểm cần tìm là
(
)
(
)
(
)
1 2 3
1;3 , 1 5;3 2 5 , 1 5;3 2 5 M M M- - + + - - -
Nhận xét: Khi xác định tung độ giao điểm, ta đã sử dụng hàm số
2 5= +y x
để đơn giản hơn.
Bài t
ập
2: (
Đề 105) Chỉ r
õ
các giao điểm của đồ thị
(C):
1
3
1
y x
x
= + +
+
v
ới trục hoành.
Bài giải:TXĐ:
{
}
\ 1
D R= -
.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của
(
C) và Ox:
1
3 0
1
+ + =
+
x
x
(1)
TH 1:
3 1- £ ¹ -x
.(1) tr
ở thành:
x
y
M
y
0
x
0
O
(C)
(C')
1
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luy
ện thi Đại học 2012
Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO
T
ổ Toán THPT Phong Điền
Trang 2
(
)
(
)
(
)
2
1
3 0 3 1 1 0 4 4 0 2
1
+ + = Û + + + = Û + + = Û = -
+
x x x x x x
x
(nhËn)
TH 2:
3x < -
.
(1) trở thành:
(
)
(
)
(
)
2
2 2 (lo¹i)
1
3 0 3 1 1 0 4 2 0
1
2 2 (nhËn)
é
= - +
- + + = Û - + + + = Û + + = Û
ê
+
= - -
ê
ë
x
x x x x x
x
x
Kết luận: Vậy giao điểm cần
tìm là
(
)
(
)
1 2
2;0 , 2 2;0
M M- - -
.
DẠNG 2:
BI
ỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA 2 HỌ ĐỒ THỊ.
Bài tập 1:
(
Đ
ề 29) Xác định tất cả các giá trị của
a
để đường thẳng
d: 3y ax= +
không cắt đồ
th
ị hàm số
(C):
3 4
1
x
y
x
+
=
-
.
Bài giải:TXĐ:
{
}
\ 1
D R=
. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):
(
)
(
)
(
)
3 4
3 3 4 3 1 1
1
+
= + Û + = + - ¹
-
x
ax x ax x x
x
(
)
2
7 0 1Û - - = ¹ax ax x
(1)
Đ
ể đường thẳng d không cắt (C)
Û
phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
1x =
.
TH 1: Xét
0
a =
. (1) trở thành:
7 0- =
. Vậy
0a =
thỏa.
TH 2: Y.c.b.t
(
)
2
2
0
0
28;0
28 0
28 0
0
28
28 0
1
2
1
2
(v« nghiÖm)
a
a
a
a
a a
a
a
a a
a
b
a
a
é
¹
¹
ì
ì
Û Û Î -
êí í
- < <
D = + <
î
î
ê
ê
ì
ê
Û
ï
¹
= -
ì
ê
ï
ï
ê
D = + = Û
í í
-
ê
- =
ï ï
î
ê
ï
- =
ê
î
ë
Kết luận: Vậy các giá trị cần tìm
là
(
]
28;0a Î -
.
Bài tập 2:
(
Đ
ề 34) Xác định tất cả các giá trị của
k
để đồ thị hàm số
(C):
2
4 3
2
x x
y
x
+ +
=
+
c
ắt
đường thẳng
d: 1
y kx= +
t
ại 2 điểm phân biệt.
Bài giải:TXĐ:
{ }
\ 2D R= -
. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):
(
)
(
)
(
)
2
2
4 3
1 4 3 2 1 2
2
+ +
= + Û + + = + + ¹ -
+
x x
kx x x x kx x
x
(
)
(
)
(
)
2
( ) 1 2 3 1 0 2= - + - - = ¹ -g x k x k x x
(1)
Đ
ể d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
Û
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
2
¹ -
.
Chuyờn KHO ST HM S
Luy
n thi i hc 2012
Giỏo viờn:
Lấ B B
O
T
Toỏn THPT Phong in
Trang 3
Y.c.b.t
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1 0
1
( 2) 0 4 1 2 2 3 1 0 1
4 8 5 0
0
2 3 4 1 0
g
k
k
k
g k k k k
k k k
k k
ỡ
ạ
ỡ
- ạ
ù
ạ
ỡ
ù ù
- ạ - - - - ạ " ạ
ớ ớ ớ
- + > "
ợ
ù ù
D >
- + - >
ợ
ù
ợ
.
K
t lun: Vy cỏc giỏ tr cn tỡm l
(
)
(
)
;1 1; .
k ẻ -Ơ ẩ +Ơ
.
Bi tp
3: (
HSPII
-97) Tỡm
m
hm s
(C):
4 2
(1 ) 2 1y m x mx m= - - + -
ct Ox ti 4
im phõn bit.
Bi gii:TX:
D R=
. Xột phng trỡnh honh giao im ca (C) v Ox
:
4 2
(1 ) 2 1 0 (1)- - + - =m x mx m
t
2
0t x=
, (1) tr thnh:
2
(1 ) 2 1 0 (2)- - + - =m t mt m
(C) ct Ox ti 4 im phõn bit
Phng tr
ỡnh (1) cú 4 nghim phõn bit
Phng trỡnh (2) cú 2 nghim dng phõn bit, tc l:
1 2
0 t t< <
.
Y.c.b.t
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
4 2 1 1 0
2
9 12 4 3 2 0
3
0
0 1
1
1
2 1
1
0
2
1
ạ
ỡ
ạ
ỡ
ù
ù
D = - - - >
ù
ù
- + = - > ạ
ù
ù
ớ ớ
= >
< <
ù - ù
ù ù
-
< <
= >
ù ù
ợ
ợ -
m
m
m m m
m m m m
m
S
m
m
m
m
P
m
1 2
;1 \
2 3
ổ ử ỡ ỹ
ẻ
ớ ý
ỗ ữ
ố ứ ợ ỵ
m
Kt lun: Vy cỏc giỏ tr cn tỡm l
1 2
;1 \
2 3
ổ ử ỡ ỹ
ẻ
ớ ý
ỗ ữ
ố ứ ợ ỵ
m
.
CH í:
M i quan h v s nghim ca phng trỡnh
(
)
4 2
0 0 ax bx c a+ + = ạ
(1) v
(
)
2
0 0 at bt c a+ + = ạ
(2) thụng qua phộp
t n ph:
2
0t x=
.
TH1:
Phng tr
ỡnh (2) cú 1 nghim
0t < ị
Phng tr
ỡnh (2) khụng cú nghim
x
.
TH2:
Phng tr
ỡnh (2) cú 1 nghim
0t = ị
Phng tr
ỡnh (2) cú nghim
0x =
.
TH3:
Phng trỡnh (2) cú 1 nghim
0t > ị
Phng trỡnh (2) cú 2 nghim
x t
x t
ộ
=
ờ
= -
ờ
ở
.
Vy cú th m rng yờu cu ca bi toỏn thnh cỏc dng sau:
3-1) Tỡm
m
hm s
(C)
ct Ox ti
3
im phõn bit
Phng trỡnh (2) cú nghim
1 2
0
0 (0) 0
0
t t g
S
D >
ỡ
ù
= < =
ớ
ù
>
ợ
3-2) Tỡm
m
hm s
(C)
c
t Ox ti
2
i
m phõn bit
Phng trỡnh (2) cú nghim
1 2
1 2
0 0
0
0
0
t t P
t t
S
< < <
ộ
ờ
D =
ỡ
ờ
< =
ớ
ờ
>
ợ
ở
Chuyờn KHO ST HM S
Luy
n thi i hc 2012
Giỏo viờn:
Lấ B B
O
T
Toỏn THPT Phong in
Trang 4
3-2) Tỡm
m
hm s
(C)
c
t Ox ti
1
i
m
Phng trỡnh (2) cú nghim
1 2
1 2
0
0
0
0
0
0
t t
S
t t
S
ộ
D >
ỡ
< =
ớ
ờ
<
ợ
ờ
ờ
D =
ỡ
ờ
= =
ớ
=
ờ
ợ
ở
Trờn õy l s m rng bi toỏn cựng hng gii quyt theo lý thuyt Tam thc bc hai v
ng dng. Chỳng ta s bn li bn toỏn ny cựng cỏc phng phỏp c sc hn nh ng
dng tớnh bin thiờn
,
Phng phỏp cc trtrong cỏc bi toỏn tip theo.
Bi tp
4
: (
d b 2003
) Tỡm
m
th hm s
2
( ) : ( 1)( )C y x x mx m= - + +
ct Ox ti 3
im phõn bit.
Bi gi
i:
TX:
D R
=
. Xột phng tr
ỡnh honh giao im ca (C) v Ox:
2
2
1
( 1)( ) 0 (1)
( ) 0 (2)
x
x x mx m
g x x mx m
=
ộ
- + + =
ờ
= + + =
ở
(C) ct Ox ti 3 im phõn bit
Phng tr
ỡnh (1) cú 3 nghim phõn bit
Phng tr
ỡnh (2) cú 2 nghim phõn bit khỏc 1.
Y.c.b.t
(
)
(
)
(
)
2
1
1 1 2 0
1
;0 4; \
2
2
4 0
0 4
g
g m
m
m
m m
m m
ỡ
= + ạ
ỡ
ạ -
ù ù
ỡ ỹ
ẻ -Ơ ẩ +Ơ -
ớ ớ ớ ý
D = - >
ợ ỵ
ù
ù
ợ
< >
ợ
Kt lun: Vy cỏc giỏ tr cn tỡm l
(
)
(
)
1
;0 4; \
2
m
ỡ ỹ
ẻ -Ơ ẩ +Ơ -
ớ ý
ợ ỵ
.
Trong bi tp trờn, bi ó trỡnh by tng i d thng vỡ ó cú dng
. 0A B =
. Chỳng ta
thay
i mt tớ xem sao:
Bi tp
5:
(
HKT
-
98
) Cho hm s
3 2
3 1 (C)= + +y x x
.
ng thng i qua
( 3;1)A -
v cú h
s
gúc bng
k
. Xỏc
nh
k
ng thng ú ct th ti 3 im phõn bit.
Bi gii:
TX:
D R=
.
ng thng d i qua
( 3;1)A -
v cú h s gúc
k
cú phng tr
ỡnh:
(
)
(
)
: 1 3 3 1- = + = + +d y k x y k x
Xột phng tr
ỡnh honh giao im ca (C) v d:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 3 2 2
2
2
3 1 3 1 (1) 3 3 3 3
3
3 0
(2)
+ + = + + + = + + = +
= -
ộ
+ - =
ờ
=
ở
x x k x x x k x x x k x
x
x x k
x k
d ct (C) ti 3 im phõn bit
Phng tr
ỡnh (1) cú 3 nghim phõn bit
Phng trỡnh (2) cú 2 nghim phõn bit khỏc
3-
.
Y.c.b.t
(
)
{
}
0
0; \ 9
9
k
k
k
>
ỡ
ẻ +Ơ
ớ
ạ
ợ
Kt lun: Vy cỏc giỏ tr cn tỡm l
(
)
{ }
0; \ 9k ẻ +Ơ
.
Cỏc em chỳ ý, k thut phõn tớch
(
)
(
)
3 2 3 2
3 1 3 1 (1) 3 3+ + = + + + = +x x k x x x k x
, t
o ra
c s thun li trong quỏ trỡnh phõn tớch. Cũn khụng, chỳng ta phi oỏn c nghim v
Chuyờn KHO ST HM S
Luy
n thi i hc 2012
Giỏo viờn:
Lấ B B
O
T
Toỏn THPT Phong in
Trang 5
phõn tớch theo s Hoc
-ner.
oỏn khụng c nghim thỡ sao nh???
Chỳng ta xột tip bi tp sau:
Bi tp 5:
Tỡm
m
th hm s (C):
3
1
3
y x x m= - -
ct trc honh ti 3 im phõn bit.
Bi gi
i:
TX:
D R
=
.
Xột phng trỡnh honh giao im ca (C) v Ox:
3 3
1 1
0
3 3
(1)x x m x x m- - = - =
(C) ct Ox ti 3 im phõn bit
th
(
)
3
1
' :
3
C y x x= -
ct
: //d y m Ox=
ti 3 im
phõn bit.
Xột
3
1
( )
3
g x x x
= -
. Ta cú:
/ 2 /
2
1
3
( ) 1 ( ) 0
2
1
3
x y
g x x g x
x y
ộ
= ị = -
ờ
= - ị =
ờ
ờ
= - ị =
ờ
ở
B
ng bin thiờn:
D
a vo bng bin thiờn, ta thy d ct (C) ti 3 im phõn bit
2 2
3 3
m - < <
.
Kt lun: Vy cỏc giỏ tr cn tỡm l:
2 2
;
3 3
m
ổ ử
ẻ -
ỗ ữ
ố ứ
.
D
NG 3
:
S GIAO IM V TNH CHT GIAO IM CA HAI H TH
Phng
phỏp:
B
c 1
: Thi
t
l
p
ph
ng tr
ỡnh honh
giao
i
m
c
a
(C) v
(C):
( ) ( ) =f x g x
(1)
Bc 2
: Bi
n
lu
n
s nghim
v
tớnh cht nghim
c
a
(1).
Nh
n xột:
Rừ rng honh
giao
i
m
c
a
(C) v (C) l nghi
m
c
a
(1) nờn s
giao
i
m
v tớnh ch
t
giao
i
m
c
ng
l
s nghim
v
tớnh cht nghim
c
a
(1).
i
u
ny,
a yờu c
u
t
Gi
i
tớch sang vi
c
bi
n lun phng trỡnh s cp
m chỳng ta
ó
bi
t
.
Bi tp 1
:
Cho hm s
2 4
1
x
y
x
+
=
-
.
G
i (
d
) l
ng thng qua
(
)
1;1A
v cú h s gúc
k
. Tỡm
k
sao cho (d
) ct (
C
) ti hai im
M, N v
3 10MN =
.
Bi gi
i:
TX:
{
}
\ 1
D R=
.
T gi thit ta cú:
( ) : ( 1) 1.d y k x= - +
Bi toỏ
n tr thnh: Tỡm
k
h phng trỡnh sau cú hai
nghi
m
1 1 2 2
( ; ), ( ; )x y x y
phõn bit sao cho
(
)
(
)
2 2
2 1 2 1
90 (*)x x y y- + - =
-2
3
2
3
1
_
+
+
-1
0
g(x)
g'(x)
x
0
Chuyờn KHO ST HM S
Luy
n thi i hc 2012
Giỏo viờn:
Lấ B B
O
T
Toỏn THPT Phong in
Trang 6
2 4
( 1) 1
(I)
1
( 1) 1
x
k x
x
y k x
+
ỡ
= - +
ù
- +
ớ
ù
= - +
ợ
. Ta cú:
2
(2 3) 3 0
(I)
( 1) 1
kx k x k
y k x
ỡ
- - + + =
ớ
= - +
ợ
D
cú (
I)
cú hai nghi
m phõn bit khi v ch khi phng trỡnh
2
(2 3) 3 0 (**)kx k x k- - + + =
cú hai nghi
m phõn bit. Khi ú d cú c
3
0, .
8
k kạ <
Ta bi
n i (*) tr thnh:
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 1 2 1 2 1
(1 ) 90 1 4 90 (***)k x x k x x x x
ộ ự
+ - = + + - =
ở ỷ
Theo nh lớ Viet cho (**) ta cú:
1 2
1 2
2 3
3
k
x x
k
k
x x
k
-
ỡ
+ =
ù
ù
ớ
+
ù
=
ù
ợ
th vo (***) ta cú phng trỡnh:
3 2 2
8 27 8 3 0 ( 3)(8 3 1) 0k k k k k k+ + - = + + - =
3 41 3 41
3, ,
16 16
k k k
- + - -
= - = =
.
Kt lun: Vy
cỏc
giỏ tr ca
k
c
n tỡm l:
3 41 3 41
3, ,
16 16
k k k
- + - -
= - = =
.
Bi t
p
2:
Cho hm s
2 2
1
x
y
x
-
=
+
(C). Tỡm
m
ng thng d:
2y x m= +
ct th (C)
t
i 2 im phõn bit A, B sao cho
5
AB =
.
Bi gii: TX:
{
}
\ 1
D R= -
.
Xột p
hng trỡnh honh giao im:
(
)
2
2 2
2 ( ) 2 2 0 1
1
x
x m g x x mx m x
x
-
= + = + + + = ạ -
+
(1)
d ct (C) ti 2 im phõn bit
Phng trỡnh (1) cú 2 nghim phõn bit khỏc
1-
Y.c.b.t
(
)
2
2
8 2 0
8 16 0
( 1) 2 2 0
g
m m
m m
g m m m
ỡ
D = - + >
ù
- - >
ớ
- = - + + ạ "
ù
ợ
(
)
(
)
;4 4 2 4 4 2;
m ẻ -Ơ - ẩ + +Ơ
(2)
Lỳc ú, gi
A
(
)
;2
A A
x x m+
; B
(
)
;2
B B
x x m+
,
vi
A
x
v
B
x
l cỏc nghim ca phng trỡnh
(1)
. Theo nh lý Viet ta cú:
2
2
.
2
A B
A B
m
x x
m
x x
ỡ
+ = -
ù
ù
ớ
+
ù
=
ù
ợ
(*)
Ta cú:
(
)
(
)
2 2
2
5 4 5
B A B A
AB x x x x= - + - =
(
)
2
4 1
A B A B
x x x x+ - =
(**)
Thay (*) vo (**) ta c:
2
10
8 20 0
2
(thỏa đk (2))
(thỏa đk (2))
m
m m
m
=
ộ
- - =
ờ
= -
ở
Kt lun: Vy cỏc giỏ tr cn tỡm l:
{ }
2;10 .mẻ -
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luy
ện thi Đại học 2012
Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO
T
ổ Toán THPT Phong Điền
Trang 7
Bài tập
3:
Cho hàm số
:
2
1
x
y
x
-
=
-
(C)
.
Chứng minh rằng: với mọi giá trị của m, đường thẳng
d
:
y x m= - +
luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm A,
B phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài
đoạn thẳng AB.
Bài giải: TXĐ:
{ }
\ 1D R=
.
* Phương trình hoành độ giao điểm của d
( )CÇ
là:
(
)
2
2 0 1x mx m x- + - = ¹
(1)
Vì
2
4 8 0
(1) 1 0
m m
f
ì
D = - + >
í
= - ¹
î
với
m
"
,
nên phương tr
ình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 với
m
"
.
Suy ra d
cắt
( )C
tại hai điểm phân biệt với
m
"
.
*
G
ọi các giao điểm của
d
( )C
là: A
(
)
;
A A
x x m
- +
; B
(
)
;
B B
x x m
- +
,
v
ới
A
x
và
B
x
là các
nghiệm của phương trình (1). Theo định lý Viet ta có:
. 2
A B
A B
x x m
x x m
+ =
ì
í
= -
î
(*)
[
2
2 2
2( ) 2 ( ) 4 .
A B A B A B
AB x x x x x x
ù
= - = + -
û
(**)
Thay (*) vào (**) ta được:
[
(
)
(
)
2
2 2
2
2 4( 2) 2 2 4 2 2 8 8AB m m m m
ù
é ù
= - - = - + = - + ³
ë û
û
Vậy
: AB
min
2 2=
, đạt được khi
2m =
.
Bài tập
4
: Cho hàm số
(
)
3 2
1 2
3 3
m
y x mx x m C= - - + +
. Tìm m để (C
m
)
cắt trục hoành tại ba
đi
ểm phân biệt có hoà
nh đ
ộ
1 2 3
, , x x x
thỏa mã
n đi
ều kiện
2 2 2
1 2 3
15x x x+ + >
Bài giải: TXĐ:
D R
=
.
Xét phương
trình hoà
nh đ
ộ
giao đi
ểm:
3 2 3 2
1 2
0 3 3 3 2 0
3 3
x mx x m x mx x m- - + + = Û - - + + =
(
)
2
2
( 1) 1 3 3 2 0 (1)
1
( ) (1 3 ) 3 2 0 (2)
x x m x m
x
g x x m x m
é ù
Û - + - - - =
ë û
=
é
Û
ê
= + - - - =
ë
Để
(C
m
)
cắt trục Ox tạ
i ba đi
ể
m phân biệt
Û
Phương trình
(
1) có ba nghiệm phân biệt
Û
(
2) có hai ngiệm phân biệt khác 1.
Y.c.b.t
2 2
(1 3 ) 4(3 2) 0 3 2 3 0,
0 (*)
(1) 6 0 0
m m m m m
m
g m m
ì ì
D = - + + > + + > "
Û Û Û ¹
í í
= - ¹ ¹
î î
Giả sử
3
1x =
, lúc đó
1 2
, x x
là
nghiệm của
phương tr
ình
(2).
T
heo định lý Viet ta có:
1 2
1 2
3 1
. 3 2
x x m
x x m
+ = -
ì
í
= - -
î
(3)
Khi đ
ó
:
(
)
2
2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 1 2 1 2
1 15 2 14 0 (4)
x x x x x x x x x+ + = + + > Û + - - >
Chuyờn KHO ST HM S
Luy
n thi i hc 2012
Giỏo viờn:
Lấ B B
O
T
Toỏn THPT Phong in
Trang 8
Thay (3) vo (4) ta c:
2 2
(3 1) 2(3 2) 14 0 1 0 1 1m m m m m - + + - > - > < - >
i chiu vi iu kin (*) suy ra tp cỏc giỏ tr cn tỡm l:
(
)
(
)
; 1 1;mẻ -Ơ - ẩ +Ơ
.
Bi tp
5: (
Khi A
-2011
) Cho hm s
- +
=
-
1
2 1
x
y
x
. Chng minh rng vi mi giỏ tr ca
m
thỡ
ng thng
:d y x m= +
luụn ct (C) ti hai im phõn bit A v B. Gi
1 2
,
k k
ln lt l h s gúc
ca cỏc tip tuyn ti A v B. Tỡm m tng
1 2
k k
+
t giỏ tr ln nht.
Bi gii:
TX:
1
\
2
D R
ỡ ỹ
=
ớ ý
ợ ỵ
Xột phng trỡnh honh giao im ca (C) v
d
:
2
1 1
( ) 2 2 1 0 (*)
2 1 2
x
x m g x x mx m x
x
- +
ổ ử
= + = + - - = ạ
ỗ ữ
-
ố ứ
d
ct (C) ti 2 im phõn bit
( ) 0
g x =
cú 2 nghim phõn bit
1
2
ạ
/
2
0
1 0
1
1
1 0
0
2
2
g
m m m
m m m
g
ỡ
D >
ỡ
+ + > "
ù ù
ớ ớ
ổ ử
+ - - ạ "
ạ
ù ù
ỗ ữ
ợ
ố ứ
ợ
Suy ra
d
luụn c
t (C) ti 2 im A, B phõn bit.
Gi
1 2
, x x
l 2 nghim ca phng trỡnh (*). p dng nh lớ Vi
-
et:
1 2
1 2
(*)
1
.
2
x x m
m
x x
+ = -
ỡ
ù
ớ
- -
=
ù
ợ
H s gúc ca tip tuyn vi (C) ti
1
x
l:
(
)
(
)
/
1 1
2
1
1
1
k f x
x
= = -
-
H
s gúc ca tip tuyn vi (C) ti
2
x
l:
(
)
(
)
/
2 2
2
2
1
1
k f x
x
= = -
-
Cỏch
1:
CHUN_ N GIN_ D HIU
Ta cú:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1 2 1 2 1 2
1 2
2 2 2
1 2
1 2 1 2
4 8 4 2
1 1
2 1 2 1
4 2 1
x x x x x x
k k
x x
x x x x
+ - - + +
+ = - - = -
- -
ộ - + + ự
ở ỷ
(**)
Thay (*) vo (**) ta c:
(
)
2
2
1 2
4 8 6 4 1 2 2k k m m m+ = - - - = - + - Ê -
.
Suy ra
1 2
k k+
ln nht bng
2-
, t c khi ch khi
1.m = -
Cỏch
2:
C SC
Ta cú:
(
)
(
)
1 2
2 2
1 2
1 1
2 1 2 1
k k
x x
+ = - -
- -
(1)
p dng Bt ng thc Cauchy, ta cú:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luy
ện thi Đại học 2012
Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO
T
ổ Toán THPT Phong Điền
Trang 9
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
2 1. 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
x x
x x
x x
+ ³ =
- -
- -
- -
nên (1) trở thành:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2
2 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 1 2 2
2 1. 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
1 2
2
1
4 2 1
4 2( ) 1
2
k k
x x
x x
x x
m
x x x x
m
é ù
+ = - + £ - = -
ê ú
- -
- -
- -
ê ú
ë û
= - = - = -
- -
é - + + ù é ù
ë û
- - +
ê ú
ë û
Suy ra
1 2
k k+
lớn nhất bằng
2-
, đạt được khi chỉ khi
(
)
(
)
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
1 2
2 1 2 1
1 1
2 1 2 1 1 1
2 1 2 1
x x x x
x x x x m
x x
- = - ¹
é
= Û
ê
- = - + Û + = Û = -
- -
ë
( lo¹i do )
Cách 3:
C
ẦN CÙ VÀ CHÍNH XÁC
Theo trên,
d
luôn cắt (C) tại 2 điểm A, B phân biệt.
Lúc đó:
2
1
2
2
2
2 2
2
2 2 1 0
2 2
2
m m m
x
x mx m
m m m
x
é
- + + +
=
ê
ê
+ - - = Û
ê
- - + +
ê
=
ë
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2
2 2 2 2
2 2
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
1 1 1 1
2 1 2 1
2 2 1 2 2 1
1 1
2 2 1 2 2 1
2 2 1 2 2 1
2 2 1 2 2 1
2 2 2 2
k k
x x
m m m m m m
m m m m m m
m m m m m m
m m m m m m
m m m
+ = - - = - -
- -
- + + + - - - + + -
= - -
é ù é ù
+ + - + + + + +
ë û ë û
é ù é ù
+ + - + + + + + +
ë û ë û
= -
é ù é ù
+ + - + + + + +
ë û ë û
+ + +
= -
( )
(
)
(
)
( )
2
2
2
2
2
2
2
2 1
4 8 6 4 1 2 2
2 2 1
m
m m m
m m m
+ +
= - - - = - + - £ -
é ù
+ + - +
ê ú
ë û
Suy ra
1 2
k k+
lớn nhất bằng
2
-
, đ
ạt được khi chỉ khi
1.m = -
Bài tập
6
:
Cho hàm s
ố
2+
-
=
x
x
m
y
có đồ thị là
)(
m
H
. Tìm m
đ
ể đường thẳng
0122: =-+
yx
d
cắt
)(
m
H
t
ại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích là
.
8
3
=
S
Bài gi
ải: TXĐ:
{ }
\ 2D R= -
.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luy
ện thi Đại học 2012
Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO
T
ổ Toán THPT Phong Điền
Trang 10
Hoành độ giao điểm
A, B
của
d và
)(
m
H
là các nghiệm của phương trình
:
2
1
2
+-=
+
+-
x
x
m
x
2,0)1(22
2
-¹=-+
+
Û
x
m
xx
(1)
Để d cắt
)(
m
H
tại 2 điểm phân biệt
Û
Phương tr
ình(1) có 2 nghiệm
21
,
xx
phân biệt khác
2-
Y.c.b.t
ï
î
ï
í
ì
-¹
<
Û
î
í
ì
¹-+
>-=
D
Û
2
16
17
0
)
1
(
22
)
2
.(
2
01617
2
m
m
m
m
(*)
Ta có:
.
16
17.
2
2
4
)(.
2
)(.
2
)()(
21
2
12
2
12
2
12
2
12
m
xxxxxxyyxx
AB
-=-+=-=-+-=
Khoảng cách từ gốc tọa độ
O
đến
d là
.
22
1
=
h
Suy ra
,
2
1
8
3
1617
.
2
2
.
22
1
.
2
1
2
1
=
Û
=
-
==
D
mm
AB
hS
OAB
th
ỏa mãn (*)
Kết luận: Vậy
2
1
=
m
là giá trị cần tìm.
Bài t
ập
7:
Cho hàm số y =
2
2
x
y
x
=
-
(C). Tìm
m
đ
ể đường thẳng (d ):
y x m= +
cắt đồ thị
(C) t
ại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị sao cho khoảng cách giữa 2 điểm
đó là nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài gi
ải: TXĐ:
{
}
\ 2
D R=
.
Xét p
hương trình hoành độ giao điểm của d và (C):
(
)
(
)
2
2
4 2 0 2
2
x
x m x m x m x
x
= + Û + - - = ¹
-
(1)
Để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
Û
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
Y.c.b.t
2
16
4 0
m
m
ì
D = +
Û "
í
- ¹
î
(
2).
Lúc đó, gọi
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
A x x m B x x m+ +
là 2 giao điểm của d và (C), với
1 2
, x x
là 2 nghiệm
c
ủa phương trình (1). Theo định lí viet ta có
1 2
1 2
4
(3)
2
x x m
x x m
+ = -
ì
í
= -
î
*
Đ
ể A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị thì A, B nằm khác phía đối với TCĐ:
2 0x - =
.
Suy ra:
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2
2 2 0 2 4 0x x x x x x- - < Û - + + <
(4)
T
hay (3) vào 4 ta được
: –
4 < 0 luôn đúng (5)
* M
ặt khác ta lại có AB =
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 2( ) 8x x y y x x x x- + - = + -
(6)
T
hay (3) vào (6) ta được
2
2 32 32AB m= + ³
. Suy ra:
min
32AB =
khi
0m =
.
Kết luận: Vậy m = 0 thoả mãn .
Chuyờn KHO ST HM S
Luy
n thi i hc 2012
Giỏo viờn:
Lấ B B
O
T
Toỏn THPT Phong in
Trang 11
Bi tp
8:Tỡm
a
v
b
ng thng d:
y ax b= +
ct th (C):
1
1
x
y
x
-
=
+
ti hai im phõn
bit i xng nhau qua ng thng
: 2 3 0x yD - + =
.
Bi gi
i: TX:
{
}
\ 1D R= -
.
Phng trỡnh
: 2 3 0x yD - + =
c vit li:
1 3
:
2 2
y xD = +
. tha món bi thỡ trc ht
2a = -
. Vy d:
2y x b= - +
.
Xột phng trỡnh honh giao im ca d v (C):
(
)
(
)
(
)
2
1
2 ( ) 2 3 1 0 1
1
x
x b g x x b x b x
x
-
= - + = - - - + = ạ -
+
(1)
(d) ct (C) ti 2 im phõn bit
Phng trỡnh (1) cú 2 nghim phõn bit khỏc
1-
.
Y.c.b.t
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
3 8 1 0
2 17 0
( 1) 2 3 1 0
g
b b
b b b
g b b b
ỡ
D = - + + >
ù
+ + > "
ớ
- = + - - + ạ "
ù
ợ
(2).
Lỳc ú, gi
(
)
(
)
1 1 2 2
; 2 , ; 2
A x x b B x x b- + - +
l 2 giao im ca d v (C), vi
1 2
, x x
l 2
nghi
m ca phng trỡnh (1). Theo nh lớ viet ta cú
1 2
1 2
3
2
(3)
1
2
b
x x
b
x x
-
ỡ
+ =
ù
ù
ớ
+
ù
=
ù
ợ
Gi I l trung im ca AB, ta cú:
1 2
3
3 3
2 4
;
3
4 2
2
2
I
I I
x x b
x
b b
I
b
y x b
+ -
ỡ
= =
ù
- +
ù
ổ ử
ị
ớ
ỗ ữ
+
ố ứ
ù
= - + =
ù
ợ
.
Lỳc ú, yờu c
u bi toỏn:
(
)
2
2
2 .
3
1
2 3 0
2 3 0
4
Tồn tại A, B.
AB
I I
b
a
a
a
b
b
b
I x y
"
ỡ ỡ
= -
ỡ
= -
ỡ
ù ù ù
^ D = -
ớ ớ ớ ớ
-
= -
- + + =
ợ
ù ù ù
ẻD - + =
ợ
ợ ợ
K
t lun: Vy cỏc giỏ tr cn tỡm l
2a = -
v
1.b = -
Bi tp
9:
Cho hm s:
1
1
x
y
x
-
=
+
(C). M
t nhỏnh ca th (C) ct Ox, Oy ln lt ti A, B.
Tỡm im C thuc nhỏnh cũn li sao cho din tớch tam giỏc ABC bng 3.
Bi gii: TX:
{
}
\ 1
D R= -
.
Tỡm c ta ca A(1;0),
B(0;
1-
)
ị
phng tr
ỡnh ca AB:
1 0x y- - =
.
Do M
ẻ
(C) nờn t
a
(
)
1
; , 1
1
x
M x x
x
-
ổ ử
ạ -
ỗ ữ
+
ố ứ
, A, B thuc nhỏnh cỏc im cú honh ln hn
1
-
nờn M thu
c nhỏnh th cú cỏc im cú honh
1x < -
.
Chuyờn KHO ST HM S
Luy
n thi i hc 2012
Giỏo viờn:
Lấ B B
O
T
Toỏn THPT Phong in
Trang 12
T
a cú :
(
)
2
1
1
1 1 1
1
.d ; . 2 3
2 2 2 1
2
MAB
x
x
x x
x
S AB M AB
x
-
- -
-
+
= = = =
+
2
2
2
5 6 0
2 3 ( 2;3)
6 1
3 2 ( 3;2)
7 6 0 (loai)
x x
x y M
x x x
x y M
x x
ộ
+ + =
= - ị = -
ộ ộ
- = + ị
ờ
ờ ờ
= - ị = -
- - =
ờ
ở ở
ở
CH í:
M
T S BI TON QUAN TRNG
Bi toỏn 1: Xỏc
nh
tham s
th
hm s
3 2
( ) : ( 0)C y ax bx cx d a= + + + ạ
c
t
tr
c
honh
t
i
ba
i
m
ph
õn bi
t
c
ú honh
l
p
th
nh c
p
s
c
ng
.
Phng
phỏp:
S
d
ng
:
i
u
ki
n
c
n
v
i
v
i
ph
ng trỡnh:
3 2
0ax bx cx d+ + + =
(1)
B
c 1
:
iu kin cn
:
- Gi
i
s
ph
ng tr
ỡnh (1) cú 3 nghi
m
1 2 3 1 2 3
, , ( )x x x x x x< <
. Khi
ú
theo
nh
l
ý Viet
/v
ph
ng trỡnh (1):
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
b
x x x
a
c
x x x x x x
a
d
x x x
a
ỡ
+ + = -
ù
ù
+ + =
ớ
ù
ù
= -
ợ
-
1 2 3 1 2 3
, , ( )x x x x x x< <
l
p
thnh CSC thỡ
1 3 2 2
2 3
b
x x x x
a
+ = = -
2
3
b
x
a
= -
.Thay vo (1)
mị
Bc 2:
iu kin
: V
i
m
t
ỡm
c
gi
i pt (1) v k
t
lu
n.
Lu ý:
T
duy thu
t
toỏn cũn ỏp d
ng
cho bi toỏn: 3 nghi
m
l
p
thnh CSN. T
t
nhiờn, ph
n
g phỏp
nờu trờn ch
mang t
ớnh g
i
ý, cũn trong r
t
nhi
u
TH kh
ỏc thỡ s
c
ú cỏc cỏch khỏc t
t
h
n.
BI T
P:
1) (
HYHCM
-
98) Xỏc
nh
m
th
h
m s
3 2
3 9
y x x x m= - - +
c
t
tr
c
ho
nh t
i
3
i
m
phõn bi
t
v
i
honh
l
p
thnh m
t
c
p
s
c
ng
.
2) (
HYHCM
-96) Tỡm
a
ng
th
ng
y x=
c
t
th
3 2 3
( ) : 3 4C y x ax a= - +
t
i
3
i
m
phõn
bi
t
A, B, C v
i
AB BC=
.
Bi toỏn 2: Xỏc
nh
tham s
th
h
m s
4 2
( ) : ( 0)C y ax bx c a= + + ạ
c
t
tr
c
ho
nh t
i
4
i
m
phõn bi
t
cú honh
l
p
thnh c
p
s
c
ng
.
Phng
phỏp:
L
p
h
ng trỡnh honh
giao
i
m
:
4 2
0ax bx c+ + =
(2)
-
t
2
0t x=
: (2) c
ú d
ng
:
2
0at bt c+ + =
(3).
Lý lun
:
(2) cú 4 nghim phõn bit
khi ch khi (3) cú 2 nghim phõn bit
:
1 2 1 2
, : 0t t t t< <
(4)
- Lỳc
ú
(2) c
ú 4 nghi
m
:
2 1 1 2
, , , t t t t- -
.
Cỏc nghim ny lp thnh CSC
khi
2 1 1
2 1 2 1
1 2 1
2
3 9
2
t t t
t t t t
t t t
ỡ
- + = -
ù
= =
ớ
- + =
ù
ợ
.
- p d
ng
nh
lý Viet
/v ph
ng trỡnh (3):
Chuyờn KHO ST HM S
Luy
n thi i hc 2012
Giỏo viờn:
Lấ B B
O
T
Toỏn THPT Phong in
Trang 13
2
1
1 2
2 1
1 2
2
9S
10
và 9 Từ đây:(*) = hay
100
(*) 9
10
S
t
t t S
t t P
t t P S
t
ỡ
=
+ =
ỡ
ù
= ị
ớ ớ
=
=
ợ
ù
ợ
2
9 100S P=
(5)
- K
t
h
p
(4) v (5) nh
n
c
i
u
ki
n
c
a
tham s
.
BI T
P:
1) (
HY
-D-HCM-98) Xỏc
n
h
m
th
hm s
4 2
( ) : 2( 1) 2 1C y x m x m= - + + +
c
t
tr
c
honh t
i
4
i
m
phõn bi
t
cú honh
l
p
thnh c
p
s
c
ng
.
III-
BI TP T LUYN:
1) Tỡm ta giao im ca cỏc th sau:
a)
ỡ
= - + -
ù
ù
ớ
ù
= +
ù
ợ
2
3
3
2 2
1
2 2
x
y x
x
y
b)
-
ỡ
=
ù
-
ớ
ù
= - + +
ợ
2
2 4
1
2 4
x
y
x
y x x
c)
ỡ
= -
ớ
= - +
ợ
3
4 3
2
y x x
y x
d)
ỡ
= - +
ù
ớ
= -
ù
ợ
4 2
2
1
4 5
y x x
y x
e)
ỡ
= - + -
ù
ớ
= - +
ù
ợ
3 2
2
5 10 5
1
y x x x
y x x
f)
ỡ
ù
=
ớ
-
ù
= - +
ợ
2
1
3 1
x
y
x
y x
2)
Bi
n lun s giao im ca cỏc th sau:
a)
ỡ
= - -
ớ
= -
ợ
3
3 2
( 2)
y x x
y m x
b)
ỡ
= + -
ù
ù
ớ
ổ ử
ù
= + +
ỗ ữ
ù
ố ứ
ợ
3 2
2
3 2
1 13
2 12
x x
y x
y m x
c)
ỡ
ù
= - +
ớ
ù
= -
ợ
3
3
3
( 3)
x
y x
y m x
d)
+
ỡ
ù
=
ớ
+
ù
= +
ợ
2 1
2
2
x
y
x
y x m
e)
+
ỡ
ù
=
ớ
-
ù
= - +
ợ
1
1
2
x
y
x
y x m
f)
ỡ
- +
ù
=
ớ
+
ù
= -
ợ
2
6 3
2
x x
y
x
y x m
g)
ỡ
ù
= - + +
ớ
-
ù
= +
ợ
1
3
1
3
y x
x
y mx
h)
ỡ
- +
ù
=
ớ
-
ù
= - -
ợ
2
3 3
2
4 1
x x
y
x
y mx m
i)
ỡ
= - +
ù
ớ
= -
ù
ợ
3
2
2 1
( 1)
y x x
y m x
3) (
34) Xỏc nh tt c cỏc giỏ tr ca
k
th hm s
2
4 3
2
x x
y
x
+ +
=
+
c
t ng thng
d: 1
y kx= +
ti 2 im phõn bit.
4) (
HKT
-98) Cho hm
s
3 2
3 1 (C)y x x= + +
. ng thng i qua
( 3;1)A -
v cú h s gúc
bng
k
. Xỏc nh
k
ng thng ú ct th ti 3 im phõn bit.
5) (
HSPII
-97) Tỡm
m
hm s
4 2
(1 ) 2 1y m x mx m= - - + -
ct Ox ti 4 im phõn bit.
6) (
148
) Tỡm
m
ng thng
d: y m=
ct th hm s
2
1
1
x mx
y
x
+ -
=
-
t
i 2 im A, B
v
i
OA OB
^
.
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luy
ện thi Đại học 2012
Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO
T
ổ Toán THPT Phong Điền
Trang 14
7) (
ĐH A
-
03) Tìm
m
để đồ thị hàm số
2
( ) :
1
mx x m
C y
x
+ +
=
-
c
ắt Ox tại 2 điểm phân biệt và 2
điểm đó có hoành độ dương.
8) (
ĐH D
-03) Tìm
m
đ
ể đường thẳng
: 2 2
m
d y mx m
= + -
cắt
2
4
( ) :
2
x x
C y
x
- +
=
-
tại 2 điểm
phân bi
ệt.
9
)(
Dự bị 02
) Tìm
m
để đồ thị hàm số
4 2
( ) : 1= - + -C y x mx m
cắt Ox tại 4 điểm phân biệt.
10) (
Đề dự bị 2003
) Tìm
m
để đồ thị hàm số
2
( ) : ( 1)( )C y x x mx m= - + +
cắt Ox tại 3 điểm
phân biệt.
11) (
ĐH A
-
2004) Tìm
m
để đường thẳng
y m=
cắt đồ thị hàm số
2
3 3
( ) :
2( 1)
x x
C y
x
- + -
=
-
t
ại 2 điểm A, B sao cho
1AB =
.
12) (
ĐH A
-
06
) G
ọi
d
là đư
ờng thẳng đi qua điểm
(3;20)A
và có hệ số góc là
m
. Tìm
m
để
d
c
ắt đồ thị
3
( ) : 3 2C y x x= - +
tại 3 điểm phân biệt.
1
3) (
ĐHBK A
-01
) Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
2
2;
5
M
æ ö
ç ÷
è ø
sao cho
d
cắt đồ
thị
2
3
( ) :
1
x
C y
x
+
=
+
t
ại hai điểm A, B phân biệt và M là trung điểm của AB.
1
4
) Tìm các giá trị của
m
sao cho trên
2
1
( ) :
1
x x
C y
x
+ -
=
-
có hai điểm khác nhau
(
)
;
A A
A x y
,
(
)
;
B B
B x y
thoả mãn điều kiện:
A A
B B
x y m
x y m
+ =
ì
í
+ =
î
.
15) CMR
: Đư
ờng thẳng
1
2
y x m= -
luôn cắt đồ thị hàm số
3
2
x
y
x
+
=
+
tại hai điểm phân biệt A,
B. Tìm
m
sao cho độ dài đoạn AB là nhỏ nhất.
1
6) (
ĐHCĐ
- 98
) Tìm các giá trị của
m
để đường thẳng
d : 2
m
y mx m= + -
cắt đồ thị hàm số
2
4 1
( ) :
2
x x
C y
x
+ +
=
+
tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của đồ thị (C).
1
7
) Cho hàm s
ố
(
)
(
)
(
)
3 2 2 2
2 2 1 1
m
y x mx m x m m C= - + - + -
. Tìm
m
để đường cong
(
)
m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
1
8)* Cho
hàm s
ố
(
)
(
)
3 2
3 3 1 1 3
m
y x x m x m C= - + - + +
. Tìm
m
để đường cong
(
)
m
C
c
ắt
trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
19
) Cho hàm số
(
)
3 2
3 3 3 2
m
y x mx x m C= + - - +
. Tìm
m
đ
ể đường cong
(
)
m
C
cắt trục
hoành
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
, , x x x
sao cho:
2 2 2
1 2 3
15x x x+ + =
.
20
) CMR: Với mọi
m
đư
ờng thẳng
: 0 2x y mD - + =
luôn cắt đồ thị
1
( ) :
1
x
C y
x
+
=
-
tạ
i hai
đi
ểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của (C).
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luy
ện thi Đại học 2012
Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO
T
ổ Toán THPT Phong Điền
Trang 15
21
) CMR: Với mọi
m
đư
ờng thẳng
: 2 0 y x mD = + =
luôn cắt
3
( ) : 3
1
C y x
x
= - + +
-
t
ại hai
đi
ểm A, B phân biệt có hoành độ
1 2
, . x x
Lúc đó, xác định
m
sao cho:
(
)
2
1 2
x x-
min.
2
2) Tìm
m
đ
ể đường thẳng
: ( 5) 10
m
d y m x
= - +
cắt
2
2 9
( ) :
2
- +
=
-
x x
C y
x
tại 2 điểm A, B
phân biệt và nhận
(5;10)M
làm tr
ung điểm.
23) (
ĐH A
-2010) Tìm
m
để
(
)
3 2
: 2 (1 )
C y x x m x m= - + - +
cắt trục hoành tại 3 điểm phân
biệt có hoành độ
1 2 3
, ,
x x x
sao cho:
2 2 2
1 2 3
4
x x x+ + <
.
24) (
ĐH B
-
2010) Tìm
m
để đường thẳng
2y x m= - +
cắt
2 1
( ) :
1
+
=
+
x
C y
x
tại 2 điểm A, B
phân bi
ệt sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
3
.
25) (
ĐH A
-2011
) Chứng minh rằng với mọi
m
đư
ờng thẳng
= +y x m
luôn cắt đồ thị hàm số
(
)
- +
=
-
1
:
2 1
x
C y
x
t
ại hai điểm phân biệt A và B. Gọi
1 2
,
k k
lần lượt là hệ số góc của các tiếp
tuyến của (C) tại A, B. Tìm
m
đ
ể
+
1 2
k k
đạt giá trị lớn nhất.
26) (
ĐH D
-2011) Tìm
k
đ
ể đường thẳng
2 1y kx k= + +
cắt đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
t
ại hai
điểm A, B sao cho khoảng cách từ A, B đến trục hoành bằng nhau.
27)
Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
-
(1) có đồ thị
( )C
.Chứng minh rằng đường thẳng
( ) : 2d y x m= +
luôn c
ắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau. Xác định m để đoạn AB có
đ
ộ dài ngắn nhất.
HỆ THỐNG VÀ KHÁI QUÁT:
S
Ự TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
HÀM BẬC BA
1.
Cho hàm số
3 2
3 6y x x x= - +
( C) và đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có hệ số
góc
k
. Tìm
k
để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt O, A, B sao cho
17AB =
2.
Tìm m
để đường thẳng d :
4y x= +
cắt đồ thị (Cm) :
3 2
2 ( 4) 4y x mx m x= + + + +
tại ba
điểm A(0;4) , B, C sao cho tam giác IBC có diện tích bằng
8 2
với I( 3;1)
3.
Tìm m để đường thẳng d :
2y x= - +
cắt đồ thị (Cm) :
3 2
2 3( 1) 2y x mx m x= + + - +
tại ba
điểm A(0;2) , B, C sao cho tam giác IBC có diện tích bằng
2 6
với I( 1;3)
4.
Tìm m d
ể đồ thị (Cm)
:
3 2
3( 1) 3 1y x m x mx m= - + + - +
cắt trục hoành tại ba điểm phân
biết trong đó có ít nhất một điểm có hoành độ âm
5.
Cho hàm số
3 2
6 9 6y x x x= - + -
(C). Tìm m để đường thẳng (d):
2 4y mx m= - -
cắt
(C) tại 3 điểm phân biệt
6.
Cho hàm số
3 2
( )
m
y x mx m C= - + -
. Tìm m
để
( )
m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
7.
Cho hàm số :
3 2
( 1) 1y x m x x m= + - + - -
( )
m
C
. Tìm m để
( )
m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luy
ện thi Đại học 2012
Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO
T
ổ Toán THPT Phong Điền
Trang 16
phân biệt có hoành độ dương
8.
Cho hàm s
ố
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1) ( )
m
y x mx m x m C= - + - - -
. Tìm m để
( )
m
C
cắt trục hoành tại
3 điểm phân biệt có hoành độ dương
9.
Cho hàm số
3 2
18 2 ( )
m
y x x mx m C= - + -
. Tìm m để
( )
m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ dương
10.
Cho hàm số
3 2 2 2
2 3( 1) 3( 1) 1y x m x m x m= + - + - - +
( )
m
C
. Tìm m để
( )
m
C
cắt trục hoành
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm
11.
Cho hàm s
ố
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m= - + - -
( )
m
C
. Tìm m để
( )
m
C
cắt trục hoành tại 3
điểm phân biệt trong đó có đúng hai điểm có hoành độ âm
12.
Cho hàm s
ố
3 2
2 3( 1) 6 2y x m x mx= - + + -
( )
m
C
. Tìm m để
( )
m
C
cắt trục hoành tại duy
nhất 1 điểm
13.
Cho hàm số
3 2 2
3( 1) 2( 4 1) 4 ( 1)
y x m x m m x m m= - + + + + - +
( )
m
C
. Tìm m để
( )
m
C
cắt
trục hoành tại 3 điểm phân biệt trong đó có hoành độ lớn hơn 1
14.
Cho hàm số
3 2
3 9 ( )
m
y x x x m C= - - +
. Xác đ
ịnh m để
( )
m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm có
hoành độ lập thành cấp số cộng
15.
Tìm m
để đồ thị hàm số
3 2
3 (3 1) 6 6y x mx m x m= - + - + -
cắt trục hoành tại ba điểm phân
biệt có hoành độ
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
, , : 20x x x x x x x x x+ + + =
.
16.
Cho hàm s
ố
3 2
1 2
3 3
y x mx x m= - - + +
. Tìm m
để đồ thị hàm số cắt trục hoành tạ
i ba
đi
ểm phân biệt
2 2 2
1 2 3 1 2 3
, , : 15x x x x x x+ + >
17.
Cho hàm s
ố
3 2
2 (3 1) 3y x x m x m= - - - + +
(Cm) . Tìm m để đường thẳng d :
(1 ) 5
y m x m= - + -
cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt có hoành độ
1 2, 3 1 2 3
, : 1x x x x x x< < <
18.
Cho hàm số
3 2
(2 1) 2y x mx m x m= - + + - -
. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn đi qua
điểm cố định A trên trục hoành . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm
phân biệt A, B, C thỏa mãn hệ thức ;
2 2
19
48
OA OA
OB OC
æ ö æ ö
+ =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
19. Cho (C) :
(
)
2
3 4y x x= + +
và d là đường thẳng đi qua A(
-
1; 0 ) và có hệ số góc bằng k.
Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt . Trong trường hợp này, tìm tập hợp trung điểm
M c
ủa đoạn thẳng nối hai giao điểm lưu động khi k thay đổi
20.
Cho (C) :
3 2
3 4y x x= - +
và đường thẳng d đi qua A(3;4) và có hệ số góc m. Tìm m để
đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M
và N vuông góc nhau
21.
Cho hàm s
ố
3 2
3 1y x x mx= + + +
. Tìm m để đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số tại ba
điểm phan biệt I(0;1), A và B.Với giá trị nào của m, các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
các điểm A, B vuông góc nhau
22.
Cho hàm số
3 2
y x mx x m
= + - -
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm
phân biệt sao hoành độ của chúng lập thành cấp số cộng
HÀM TRÙNG PHƯƠNG
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luy
ện thi Đại học 2012
Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO
T
ổ Toán THPT Phong Điền
Trang 17
1.
Ch
o hàm số
4 2
1y x mx m= - + -
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân
biệt.
2.
Tìm m để đồ thị hàm số
4 2 2
2 1
y x mx m= - + -
. Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại bốn
điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.
3.
Cho hàm s
ố
4 2
(3 2) 3y x m x m= - + +
. Tìm m để đường thẳng y =
-
1 c
ắt đồ thị hàm số
t
ại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2
4.
Cho hàm s
ố
4 2
( 3) 3y mx m x m= - - +
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm
phân biệt với một điểm có hoành độ nhỏ hơn
–
2 và 3 đi
ểm kia có hoành độ lớn hơn
–
1
5.
Cho hàm s
ố
4 2
2( 2) 2 3y x m x m= - + + - -
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4
điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng
6.
Tìm m đẻ đồ thị hàm số
4 2
(3 2) 3y x m x m= - + +
cắt đường thẳng y =
-
1 tại 4 điểm phân
biệt có hoành độ
2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
, , , : 4x x x x x x x x x x x x+ + + + =
7.
Cho hàm s
ố
4 2
y x ax= -
. Tìm điều kiện đối với a và b để hàm số cắt đường thẳng y = b
t
ại 4 điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3 4
, , ,x x x x
(
1 2 3 4
x x x x< < <
). Trong trường hợ
p này,
tính tổng
2 2 2 2
1 2 3 4
x x x x+ + +
8.
Cho hàm số
4 2
1 3 5
2 2 2
y x x= - +
có đồ thị là (C). Tìm m để tiếp tuyến của (C) tại điểm M
có hoành độ x = m còn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B khác M
9.
Cho hàm s
ố
4 2
3 2( 1) 3 3y x m x m= - + + -
.
Tìm m sao cho
đồ thị :
a.
Không cắt trục hoành
b.
C
ắt trục hoành tại đúng hai điểm A, B sao cho AB = 2
HÀM NHẤT BIẾN
1.
Cho hàm s
ố
2 1
2
x
y
x
+
=
+
có đồ thị (C) và đường thẳng d :
y x m= - +
. Tìm m để d cắt (C)
tại hai điểm phân biệt AB sao cho AB ngắn nhất.
2.
Cho hàm s
ố
2 4
1
x
y
x
+
=
+
. Tìm m để đường thẳng d:
2y x m= - +
cắt đồ thị hàm số tại hai
điểm A, B . Khi đó hãy tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB
3.
Cho hàm số
2
1
x m
y
x
+
=
-
có đồ thị (C) và đường thẳng d:
2y mx= +
a.
Tìm m để (C) và d cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt có khoảng cách đến trục
hoành bằng nhau
b.
Tính di
ện tích hình chữ nhật nhận A, B ( ở câu a ) là các đỉnh đối diện và các
cạnh song song với hai trục tọa độ. Tính diện tích hình chữ nhật này. Xác định m
để diện tích hình chữ nhật bằng 10
4.
Tìm m
để đường thẳng
1
;
2
y x m
D = +
c
ắt đồ thị (C) :
2
1
x
y
x
=
-
tại hai điểm phân biệt A,
B sao cho trung điểm của đoạn AB nằm trên đường thẳng d:
2 4 0x y+ - =
5.
Cho hàm số
3 2
2
x
y
x
+
=
+
a.
Tìm a, b
để đường thẳng
: 2 4y ax bD = + -
cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luy
ện thi Đại học 2012
Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO
T
ổ Toán THPT Phong Điền
Trang 18
sao cho M, N đối xứng nhau qua O
b.
Đường thẳng
y x=
cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B. Tìm m để đường thẳng
y x m
= +
cắt (C) tại hai điểm C, D sao cho ABCD là hình bình hành
6.
Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
-
(C) . Xác định m để đường thẳng
2y x m= +
cắt (C) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A và B song song nhau.
7.
Cho hàm s
ố
2
1
x
y
x
=
+
(C) . Tìm
( )
M CÎ
, biết rằng tiếp tuyến với (C) tại M cắt
,Ox Oy
l
ần lượt tại A và B tạo thành tam giác OAB có diện tích bằng
1
4
8.
Cho hàm số
2
2 2
x
y
x
+
=
-
(C) . Xác định m để đường thẳng
y x m= +
cắt (C) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho
2 2
37
2
OA OB+ =
( O là gốc tọa độ )
9.
Cho hàm số
1
1
x
y
x
-
=
+
(C) . Xác định
,a b
để đường thẳng
y ax b= +
cắt (C) tại hai điểm
phân biệt A, B đối xứng nhau đường thẳng
: 2 3 0x yD - + =
