Chường 2 :mũ,logarit

8
6
4
2
-2
-10
-5
5
10
g
x
( )
=
2
x
f
x
( )
= 2
GIẢI TÍCH 12
PHẦN 2:
Năm học: 2010 - 2011
LŨY THỪA
1
1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN.
Số mũ
α
Cơ
số a
Lũy thừa
α

a
*
Nn ∈=
α
Ra ∈
naaaaa
n
( ==
α
thừa số )
0=
α
0≠a
1
0
== aa
α
)(
*
Nnn ∈−=
α
0≠a
n
n
a
aa
1
==
−
α

),(
*
NnZm
n
m
∈∈=
α
0>a
)( abbaaaa
n
n
n
m
n
m
=⇔===
α
),(lim
*
NnQrr
nn
∈∈=
α
0>a
n
r
aa lim=
α
2. TÍNH CHÁT CỦA LŨY THỪA.
* với a > 0, b > 0, ta có

a
.
a .a a ; a ; (a ) a ;
a
a a
(ab) a .b ;
b
b
α
β α+β α−β β αβ
α α
= = =
β
α
α
 
α α α
= =
 ÷
α
 
a > 1 :
βα
βα
>⇔> aa
0 < a < 1 :
βα
βα
<⇔> aa
Bài 1: Đơn giản biểu thức.

1)
(
)
5
5
2
3
126
yxyx −
2)
33
3
4
3
4
ba
abba
+
+
3)
1.
1
.
1
4
1
4
2
1
3

4
+
+
+
+
−
a
a
aa
aa
a
4)






+−








+
+
−

+
m
m
m
m
m
1
2
1
2
.
22
4
2
1
3
2
2
Bài 2: Biến đổi đưa về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
1)
7
35
.2
8
1
ax
2)
3
4
5

. aa
3)
4
8
3
. bb
4)
4
3
.27
3
1
a
Bài 3 : Tính .
1)
( )
3
3
3






2)
31321
16.4
+−
3)

23
2
3
27
4)
( )
5
5
4
8
2
Bài 4: Đơn giản các biểu thức.
1)
1
)(
232
3222
+
−
−
ba
ba
2)
334
3333232
))(1(
aa
aaaa
−
++−

3)
π
π
ππ








−+ abba .4)(
1
2
4)
4 1 2
3 3 3
1 3 1
4 4 4
a a a
A
a a a
−
−
 
+
 ÷
 
=

 
+
 ÷
 

5)
1 1 1
2 2 2
1 1
2 2
2 2 1
1
2 1
a a a
A
a
a a a
 
+ − +
 ÷
= −
 ÷
−
 ÷
+ +
 
6)
1 7 1 5
3 3 3 3
1 4 2 1

3 3 3 3
a a a a
A
a a a a
−
−
− −
= −
− +

7)
1 1
1 1
2 2
4 4
3 1 1 1 1
4 2 4 4 4
:
a b a b
A a b
a a b a b
 
 
− −
 
= − −
 ÷
 
 
+ +

 
 
3
8)
1 1 1 1
1
2 4 2 2
1 1 1
4 4 2
1 1 2
1 1
x x x x x
A
x x x
−
−
 
 
− + + +
 
 
= +
 
 
 
− +
 
 
 
Bài 5: Rút gọn:

a)
( )
−
−
−
 
 
 
 
−
 ÷
= −
 
 ÷
 
 
−
 
+
 ÷
 
 ÷
 
 
1
1
2
2 3 3
1 1
2 2

2 2
1 a b
A ab
a b
a b
b)
− −
−
− −
= − −
− +
2 2
1 1 3 1 1
2 2 2 2 2
a a 2 1 a
B
a a a a a
c)
2 2 1
1
2 1
a a a
C
a
a a a
  
+ − +
= −
 ÷ ÷
 ÷ ÷

−
+ +
  
d)
( ) ( )
( )
1
2 3 4 3 3
1
2 3 3 3 3
1a a a
D
a a a
−
−
− −
=
+ +
e)
2 8 5 1
3 3 3 3
2 5 2 1
3 3 3 3
a a a a
E
a a a a
−
−
− −
= −

+ −
Luyện tập
1/. Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ các biểu thức sau :
a/.
5
3
2 2 2
b/.
11
6
:a a a a a
; a > 0.
c/.
2
4
3
x x
; (x > 0) d/.
5
3
a a
b b
; (ab > 0)
2/. Đơn giản các biểu thức sau :
a/.
4
( 5)a −
b/.
4 2
81 ; ( 0)a b b <

4
c/.
8 4
4
( 1) ; ( 1)x x x+ ≤ −
d/.
2 2
2
1 ( )
( ) 2
a
a
b
P
a b ab
−
 
−
 
 
=
− +
e/.
2
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 3 3
;( 0; 1; )
2

2 3
a a a a
Q a a a
a a a a
− −
− −
 
− − +
 
= + > ≠ ≠
 
− −
 
g/.
h/.
3 5 13 48+ − +
3/. Đưa nhân tử ở ngoài vào dấu căn :
a/.
(4 ) ;( 4)
4
x
x x
x
− >
−
b/
2
1
(5 ) ; (0 5)
25

a a
a
− < <
−
4/. Trục căn ở mẫu số của các biểu thức sau :
a/.
4
20
b/.
6 3
1
; 0; 0a b
a b
> >
c/.
1
3 2+

d/.
5
4 11+
e/.
3
3
1
5 2−
5/. Tính giá trị của biểu thức :
a/.
1
5 1

3 7 1 1
2
3 32 4 4 2
3 .5 :2 : 16: (5 .2 .3A
−
 
   
 
=
 
   
 
   
 
b/.
2
3 3
3
3
2 2
2
2
3
:
( )
a b a a b
A
a a b b
a ab
−

+ −
=
−
−
; với
6
5
a =
và
3
5
b =
c/.
3
2
3 1
2 1
3
2 2
( ) ( )A a b ab a
−
− −
− −
 
=
 
 
; với
2
2

a =
và
3
1
2
b =
5
6/. Chứng minh đẳng thức sau :
a/.
1
2 2
2
1 1 1 1 3
2 2 2 2 2
1 2
0
a a a
a
a a a a a
− −
− −
− −
− + + =
− +
b/.
3 3 3 32 4 2 2 2 4 2 2 3
( )a a b b a b a b+ + + = +
c/.
3 2 2 3 2 2 2+ − − =
d/.

3 3
5 2 7 5 2 7 2+ − − =
7/. Rút gọn biểu thức :
a/.
1
2 2 1
.( )
−
a
a
b/.
2
3
( 3 1)
:
−
−
b b
c/.
4
2 4
:x x x
π π
d/.
3
3
25 5
( )a
8/. So sánh
a/.

600
3
và
400
5
b/.
5
7
1
( )
2
−
và
3
14
2.2
c/.
3
3
và
2
HÀM SỐ LŨY THỪA
I.Khái niệm:
Hàm số
y x ;
α
= α∈ ¡
, đươc gọi là hàm lũy thừa
Chú ý:
tập xác định của hàm số lũy thừa phụ thuộc vào giá trị của

α
- Với
α
nguyên dương thì tập xác định là R
- Với
α
nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là
{ }
\ 0¡
- Với
α
không nguyên thì tập xác định là
( )
0;+∞
Làm bài 1/ 60
II. Đạo hàm của hàm số lũy thừa:
( ) ( )
1 1
x ' .x ; u ' .u
α α− α α−
= α = α
Làm bài 2/61
LOGARIT
I. Khái niệm logarit
6
1. Định nghĩa: Cho 2 số a, b dương với a khác 1. Số
α
thỏa mãn
đẳnng thức
a b

α
=
được gọi là logarit cơ số a của b và ký hiệu
log
a
b
( )
1 log b a b
a
α
α= ⇔ =
Ví dụ 1: Tìm x
a)
log 4
2
x =
b)
2
log 3x = −
c)
81
1
log
4
x =
d)
log 25 2
x
=
b)

e)
log ( 1) 2
3
x + =
f)
( )
log 4
3
2 4x =−
g)
log ) 4(2
1
2
x = −
h)
log 1
3 4
1
5
2
x
= −
−
 
 ÷
 
k)
log 5) 0(4
2
x + =

l)
log 28
x
=
Chú ý: không có logarit của số 0 và số âm
2. Tính chất:
( )
( )
( )
( )
( )
2 log 1 0
a
3 log a 1
a
log b
a
4 a b
5 log a
a
=
=
=
α
= α
Ví dụ 2: Tính
a)
log 3
2
4

b)
4
3
3
log
c)
3
2
2
log
d)
2
log 4
e)
3
1
log
3
f)
2
1
log
16
g)
1
3
2
a
a
log

( )
với
0 1a< ≠
h)
3
5
7 49
49
+
log
log
i)
1 1
3 2
6 8
9 4+
log log
II. Quy tắc tính logarit :
1. Logarit của một tích : a > 0; b
1
> 0; b
2
> 0, a
1≠
7
( )
( )
6 log b .b log b log b
a a a
1 2 1 2

= +
Logarit của một tích bằng tổng các logarit
Ví dụ 3: Tính:
a)
12 12
log 6 log 2+
b)
1 1 1
2 2 2
4
log 6 log 24 log
9
+ +
2. Logarit của một thương: a > 0; b
1
> 0; b
2
> 0, a
1≠
( )
2
b
1
7 log log b log b
a a a
1 2
b
 
= −
 ÷

 ÷
 
Logarit của một thương bằng hiệu các logarit
( )
1
8 log log b
a a
b
 
=−
 ÷
 
Ví dụ 4: Tính
a)
100 4
25 25
−log log
.
b)
2 2 2
20 6 15log log log+ −
.
c)
2 2 2
5 10 25log log log+ −
.
d)
6 7 14
3 3 3
log log log+ −

e)
10 7 14
5 5 5
log log log+ −
.
3. Logarit của một lũy thừa : a > 0; b> 0, a
1≠
( )
( )
9 log b log b
a a
α
=α
Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số
( )
( )
n
1
10 log b log b
a a
n
=

Ví dụ 5: Cho
log 2;log 3b c
a a
= = −
. Hãy tính
log x
a

, biết
a)
2 3
4
a b
x
c
=
b)
2
3
a b
x
c
=
c)
2 2
3
x a bc=
III. Đổi cơ số : Cho a > 0; b > 0. c>0, a
1≠
, c
1≠
8
( )
log b
c
11 log b
a
log a

c
=
( )
1
12 log b
a
log a
b
=
b
1≠

( )
1
13 log b log b
a
a
=
α
α
;
0
α ≠
Ví dụ 6:
a) Cho
5 14
2 2
log ;loga b= =
. Tính
35

2
log
theo a và b
b) Cho
10 7
2 2
log ;loga b= =
. Tính
35
2
log
theo a và b
c) Cho
4 5
3 3
log ;loga b= =
. Tính
10
3
log
theo a và b
d) Cho
2 9
5 5
log ;loga b= =
. Tính
6
5
log
theo a và b

e) Cho
3 5 2
7
2 3
log ;log ;loga b c= = =
. Tính
50
63
log
IV. Logarit thập phân, logarit tư nhiên
1. Logarit thập phân: là logarit cơ số 10
log b
10
thường viết là logb hay lgb
2. Logarit tự nhiên: là logarit cơ số e
log b
e
thường viết là lnb
Chú ý:
log b
log b
a
loga
=

ln b
log b
a
ln a
=

Luyện tập:
Bài 1: Biết log
5
2 = a và log
5
3 = b . Tính các lôgarit sau theo a và b.
1) log
5
27 2) log
5
15
3) log
5
12 4) log
5
30
Bài 2: Lôgarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau , rồi viết dưới dạng tổng
hoặc hiệu các lôgarit.
1)
(
)
3
2
5
3
ba
2)
2,0
6
5

10
−








b
a
3)
5
4
9 ba
4)
7
2
27a
b

9
Bài 3: Tính giá trị các biểu thức.
1) log
9
15 + log
9
18 – log
9

10
2)
3
3
1
3
1
3
1
45log3400log
2
1
6log2 +−
3)
3log
2
1
2log
6
136
−
4)
)3log.4(loglog
23
4
1
Bài 4: Tính giá trị các biểu thức.
1)
1 1
log 4

log 8
log 2
9
125 7
4 2
81 25 .49
 
−
 ÷
+
 ÷
 
2)
1
log 3 3log 5
1 log 5
5
2
4 2
16 42
+
+
+
3)
1
log 4
log 9 log 6
7 7
5
2

72 49 5
−
−
+
 
 ÷
 ÷
 
Bài 5: Tìm x biết.
1) log
6
x = 3log
6
2 + 0,5 log
6
25 – 2 log
6
3.
2) log
4
x =
3log410log2216log
3
1
444
+−

Bài 6: Tính.
1)
2020

)32log()32log( −++
2)
)725log()12log(3 −++
3)
e
e
1
lnln +
4)
).ln(4ln
21
eee +
−
Bài 7: Tìm x biết
1) log
x18
= 4 2)
5
3
2log
5
−=
x
3)
6)2.2(log
3
−=
x
Bài 8:
1) Biết log

12
6 = a , log
12
7 = b. Tính log
2
7 theo a và b.
2) Biết log
2
14 = a. Tính log
49
32 theo a
HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
I. Hàm số mũ:
1. Định nghĩa:
Cho
a 0,a 1> ≠
Hàm số y = a
x
được gọi là hàm số mũ cơ số a.
10
2. Đạo hàm của hàm số mũ:
( )
( )
x x
e ' e
u u
e ' u 'e
=
=

( )
( )
x x
' a
u u
' u 'a
a .ln a
a .ln a
=
=
3. Khảo sát hàm số mũ
x
y a ,a 1= >
x
y a ,0 a 1= < <
Tập xác định D = R
x
y' a .ln a 0, x= > ∀
x
y' a .ln a 0, x= < ∀
x x
lim a 0; lim a ;
x x
= = +∞
→−∞ →+∞
x x
lima ; lim a 0
x x
= +∞ =
→−∞ →+∞

Tiệm cận ngang: trục Ox
BBT
x
-∞ +∞
y’ +
y
+∞
0
BBT
f(x)=2^x
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
f(x)=(1/2)^x
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6

8
x
y
II. Hàm số logarit:
1. Định nghĩa:
Cho
a 0,a 1> ≠
Hàm số y =log
a
x được gọi là hàm số logarit cơ số a
2. Đạo hàm của số logarit :
11
x
-∞ +∞
y’ -
y
+∞
0
( )
( )
1
log x '
a
x.ln a
log '
a
u.ln a
u '
u
=

=
( )
( )
1
ln x '
x
1
ln u ' .u '
u
=
=
3. Khảo sát hàm số logarit
y log x,a 1
a
= >
y log x,0 a 1
a
= < <
Tập xác định D =
( )
0;+∞
1
y' 0, x 0
x.ln a
= > ∀ >
1
y' 0, x 0
x.ln a
= < ∀ >
lim ; lim y ;

x 0
x
y
+
= −∞ = +∞
→
→+∞
lim ; lim y ;
x 0
x
y
+
= +∞ = −∞
→
→+∞
Tiệm cận đứng : trục Oy
BBT
x
0 +∞
y’ +
y
+∞
-∞
BBT
4
2
-2
-4
-10
-5

5
10
4
2
-2
-4
-10
-5
5
10
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau.
1) y =
1−
x
x
e
e
2) y =
1
12
−
−x
e
3) y = ln







−
−
x
x
1
12
4) y = log(-x
2
– 2x )
12
x
0 +∞
y’ -
y
+∞
-∞
5) y = ln(x
2
-5x + 6) 6) y =








−
+−
x

xx
31
132
log
2
2
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau.
1) y = (x
2
-2x + 2).e
x
2) y = (sinx – cosx).e
2x
3) y =
xx
xx
ee
ee
−
−
+
−
4) y = 2
x
-
x
e
5) y = ln(x
2
+ 1) 6) y =

x
xln
7) y = (1 + lnx)lnx 8) y =
1ln.
22
+xx
9) y = 3
x
.log
3
x 10) y = (2x + 3)
e
11) y =
x
x .
π
π
12) y =
3
x
Bài 3: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng
đã cho.
1) y = e
sinx
; y’cosx – ysinx – y’’ = 0
2) y = ln(cosx) ; y’tanx – y’’ – 1 = 0
3) y = ln(sinx) ; y’ + y’’sinx + tan
2
x
= 0

4) y = e
x
.cosx ; 2y’ – 2y – y’’ = 0
5) y = ln
2
x ; x
2
.y’’ + x. y’ = 2
Bài 4: Cho hàm số
2
x x
y e
− +
=
. Giải phương trình
y y 2y 0
′′ ′
+ + =
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1)
.=
x
y x e
trên đoạn
[ 1; 2]−
2)
=
+
x
x

e
y
e e
trên đoạn
[ln2 ; ln 4]
3) y =
−ln x x
.
4)
( )
2
y x ln 1 2x= − −
trên [-2; 0] ( TN08-09)
5) y =
2
2
log 2
log 2
x
x
−
+
trên đoạn [8; 32]
6) y = f(x) = x
2
- 8. lnx trên đoạn [1 ; e]
7) f(x) = (x
2
– 3x +1)e
x

trên đoạn [0;3]
8) y = x – lnx + 3 trên
1
;e
e
 
 
 
9) f(x) = x
2
e
-x
trên đoạn [-1;1]
13
10)
2
ln
( )
x
f x
x
=
trên đoạn [1;e
3
]
PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I. Phương trình mũ cơ bản
( )
x

a b a 0;a 1
= > ≠
Nếu b > 0 thì phương trình có duy nhất một nghiệm
x log b
a
=
Nếu b = 0 hoặc b < 0 thì phương trình vô nghiệm
Ví dụ1: giải các phương trình sau:
a)
x
10 1=
b)
x
82 =
c)
x
44 = −
d)
x
5e =
f)
x
23 =
g)
x
1
3
27
=
h)

x
9
1
2
=
 
 ÷
 
II. Một số cách giải phương trình mũ
1. Đưa về cùng cơ số:
0 a 1< ≠
( )
( )
f x
b
a a f x b
= ⇔ =
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
= ⇔ =
Ví dụ2: giải các phương trình sau:
a)
2
x 5x 6
15
− +
=
b) .

3x 1
1
3
3
−
=
 
 ÷
 
c).
2
x 3x 2
4 16
− +
=
Ví dụ3: giải các phương trình sau:
a)
2
x 2x 3
1
x 1
7
7
− −
+
=
 
 ÷
 
b).

2
x 2
1
4 3x
2
2
−
−
=
 
 ÷
 
c)
( )
5 x
2x 3
4
0,75
3
−
−
=
 
 ÷
 
d)
( )
( )
x
2 3x

0,5 2
−
+
=
14
e)
2
x x 8 1 3x
42
− + −
=
f)
x 1
1
2x
125
25
+
=
 
 ÷
 
Ví dụ4: giải các phương trình sau:
a)
x 1 x 2 x 3 x 4
3 3 3 3 750
+ − − −
+ − + =
b)
2x 1 2x

3 3 108
−
+ =
c)
2x 1 2x 1
5 3.5 550
+ −
− =
d)
x 1 x 1 x
2 2 2 28
+ −
+ + =
e)
x 1 x 1 x
2.3 3 3 96.
+ −
− =−
f)
2x 7
1
1
6
1
6x
x
.4 8
2
−
=

 
 ÷
 
2. Đặt ẩn phụ
Dạng 1: Phương trình
2x x
A.a B.a C 0+ + =
Cách giải: Đặt
x
t a=
, điều kiện: t > 0
Giải phương trình theo t: At
2
+ Bt + C =0, chọn t thỏa đk
Suy ra
x
a t x log t
a
= ⇔ =
Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:
a)
1
2x x
.5 5.5 250
5
+ =
b)
2x 2 x
2 9.2 2 0
+

− + =
( tốt nghiệp năm 2005 – 2006)
c)
2x 1 x
9.3 6 03
+
− + =
( tốt nghiệp năm 2007 – 2008)
d)
2x 6 x 7
2 2 017
+ +
=+ −
e)
x x
.3 09 2 15 =− −
f)
x x
064 8 56 =− −
g)
x x
.5 025 6 5 =− +
( tốt nghiệp năm 2008 – 2009)
h)
x x 1
.3 09 24 15
−
=− +
i)
4x 8 2x 5

3 4.3 27 0
+ +
− + =
j)
x x 1
4 36.2 32 0
−
− + =
k)
6x 3x
e 3.e 2− = −
l)
2 2
x 5 x x 5 x 2
4 2 4
+ − + − +
− = −
Dạng 2: Phương trình có chứa a
x
và a
-x
, hoặc a
x
và b
x
với a.b =1
15
Đặt:
x x
1

t a a ; t 0
t
−
= ⇒ = >
Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:
a)
x 1 x
3 18.3 29
+ −
+ =
b)
x 1 1 x
3 3 10
+ −
+ =
c)
x 1 x
5 5 4 0
−
− + =
d)
2x 2x
e 4.e 3
−
− =
e)
2 2
sin x cos x
9 9 10+ =
f)

2 2
sin x cos x
4.2 62 + =
g)
( ) ( )
x x
4 15 4 15 62+ + − =
h)
(
)
(
)
x x
2 42 3 3+ − =+
i)
(
)
(
)
x x
6 46 35 35+ − =+
Dạng 3: Phương trình
2x x x 2x
m.a n.a .b p.b 0+ + =
Cách giải: Chia 2 vế của phương trình cho một trong 3 số
2x x x 2x
a ;a .b ,b
để đưa về dạng 1 hoặc 2
Ví dụ 7: Giải các phương trình sau
a)

x x x
2.25 7.10 5.4 0− + =
b)
x x x
5.363.16 2.81+ =
c)
x x 2x 1
25 10 2
+
+ =
d)
x x x
04.9 12 3.16 =+ −
e)
x x x
3.4 2.6 9− =
f)
1 1 1
x x x
4 6 9
− − −
+ =
g)
2x 4 x 2x 2
3 45.6 9.2 0
+ +
+ − =
h)
x x x
3.25 2.49 5.35+ =

( Phần 3, 4 chỉ dành cho lớp 12C1 tham khảo)
3. Phương pháp logarit hóa
Sử dụng tính chất:
16
Nếu
0; 0α > β >
và
log log ; 0 a 1
a a
α = β ⇔ α = β < ≠
Thường sử dụng phương pháp này khi gặp phương trình có dạng:
( ) ( )
f x g x
a b
=
Lấy logarit cùng một cơ số để đưa ẩn thoát ra khỏi số mũ.
Ví dụ 8: Giải các phương trình sau
a)
x 1 x
2 .5 200
+
=
b)
2
x 4 x 2
2 3
− −
=
c)
2

x 5x 6 x 3
5 2
− + −
=
d)
2
x 1 x x 2
3 .2 8.4
− −
=
e)
x x
x 1
5 . 8 100
+
=
4. Phương pháp đơn điệu:
Cách giải: Ta chỉ ra một vài nghiệm của phương trình ( thường dạng này
có duy nhất một nghiệm). Dùng tính đơn điệu để chứng minh phương trình
không còn nghiệm khác nữa.
Chú ý: Khi a> 1 thì
y
x
x y a a> ⇔ >
Khi 0<a<1 thì
y
x
x y a a> ⇔ <
Ví dụ 9: Giải các phương trình sau:
a)

x x
4 3 1− =
b)
x
1
x 4
3
= +
 
 ÷
 
c)
x x x
2 5 7+ =
d)
x
3 5 2x= −
B. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
I. Phương trình logarit cơ bản:
0 a 1< ≠
log b
a
b
x a
x
=
⇔ =

( )
( )

log b
a
b
f x a
f x
=
⇔ =
Ví dụ 1: Giải các phương trình:
a)
2
log x 3=
b)
log x 1= −
c) lnx = 0
17
d)
( )
log x 5 2
2
+ =
e)
( )
3
log x 2 1x + =
f)
( )
2
log x 1
2
x =−

II. Cách giải một số phương trình logarit
Khi giải phương trình logarit nói chung, ta cần đặt điều kiện để
logarit xác định.
1. Đưa về cùng cơ số:
0 a 1< ≠
( ) ( )
log f x log g x
a a
=
Đặt điều kiện:
f (x) 0
g(x) 0
>


>

Phương trình đã cho tương đương với: f(x) = g(x)
Ví dụ 2: Giải các phương trình:
a)
( ) ( )
log 5x 3 log 7x 5
3 3
+ = +
b)
( )
( )
2
log x x 7 log x 36 + = −−
c)

( )
log x log x 1 1
2 2
+ − =
d)
( ) ( )
log x 5 log x 2 3
2 2
− + + =
e)
( ) ( )
log x 1 log 2x 11 log2− −− =
f)
( )
log log x 3 2
2 4
x − =−
g)
( )
log log x 2
3 3
x 1++ =
h)
( )
( )
2
log x 3 log 6x 10 0
2 2
1− − =− +
i)

( )
2
2log log x 75
2
2x +=
j)
25
log x log x log x log x
2 4 8 16
12
−
+ + + =
k)
( )
( )
2
1 1
log x x 5 log 5x log
2 5x
 
+ − = +
 ÷
 
l)
( )
( ) ( )
2
1
log x 4x 1 log 8x log 4x
2

− − = −
m)
log x 4log x log x
4 8
13
2
+ + =
n)
log x log x log x 6
3 1
3
3
+ + =
o)
x 8
log log x
x 1
+
=
−
18
2. Đặt ẩn phụ:
Ví dụ 3: Giải các phương trình:
a)
( )
log x log 4x 5
4 2
+ =
( tốt nghiệp năm 2006 – 2007)
b) log

2
3
(x+1) – 5log
3
(x+1)+6 = 0
c)
2 2
log ( 1) 3log ( 1) log 32 0
2 2 2
+ − + + =
x x
d)
+ =log 16 log 64 3
2 2x
x
e)
log 2 2log 4 log 8
x
2x
2x
+ =
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
I. Bất phương trình mũ:
1. Bất phương trình mũ cơ bản: là bất phương trình có một trong
các dạng
x x x x
a b (a b,a b,a b)> ≥ < ≤
, với
0 a 1< ≠
Để giải bất phương trình mũ ta sử dụng tính đơn điệu của hàm số

mũ, Ta xét bất phương trình
x
a b>
Nếu
b 0
≤
thì bất phương trình có tập nghiệm là R
Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với
log b
x
a
a a>
Với a > 1 thì bất phương trình có nghiệm
x log b
a
>
Với 0 <a<1 thì bất phương trình có nghiệm
x log b
a
<
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình:
a)
x
3 5>
b)
x
2 16<
c)
x
1

3
2
≥
 
 ÷
 
d)
x
e 2<
e)
x
1
10
10
≤
f)
x
5 16< −
g)
x
2
4
3
 
> −
 ÷
 
2. Một số bất phương trình đơn giản: có cách giải tương tự như
giải phương trình . Chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình:

a)
2
x 3x
2 4
− +
<
b)
2
2x 3x
7 9
9 7
−
≥
 
 ÷
 
c)
x 2 x 1
3 3 28
+ −
+ ≤
d)
x x
4 3.2 2 0− + >
19
e)
2x 1 2x 2 2x 3
2 2 2 448
− − −
+ + ≥

f)
x x
22 3 0
−
+ − <
g)
( ) ( )
x x 1
0,4 2,5 1,5
+
− >
h)
x x x
5.4 2.25 7.10+ ≤
II. Bất phương trình logarit
1. Bất phương trình logarit cơ bản: là bất phương trình có một
trong các dạng sau:
( )
log x b log x b;log x b;log x b
a a a a
> ≥ < ≤
Để giải bất phương trình logarit ta sử dụng tính đơn điệu
của hàm số logarit Ta xét bất phương trình
log x b
a
>
,
0 a 1< ≠
Với a > 1 thì bất phương trình có nghiệm
b

x a>
Với 0 <a<1 thì bất phương trình có nghiệm
b
0 x a< <
Ví dụ 3: Giải các bất phương trình:
a)
2
log x 3>
b)
3
4
log x 1> −
c)
5
1
log x
2
≥
d)
2
log x 4< −
e)
log x 1
3
≤ −
f)
1
3
log x 2≤
2. Một số bất phương trình đơn giản: có cách giải tương tự như

giải phương trình . Chú ý đến tính đơn điệu của hàm số logarit.
Ví dụ 4: Giải các bất phương trình:
a)
( )
log 4 2x 2
8
− ≥
b)
( ) ( )
log 3x 5 log x 1
1 1
5 5
− > +
c)
( )
log x log x 2 log 3
5
0,2 0,2
− − <
d)
2
log x 5log x 6 0
3 3
− + =
e)
( )
2
log log x 1 1
3 1
2

− <
 
 
 
 
f)
2
0,2 0,2
log x 5log x 6− < −
Luyện tập phương trình mũ và logarit
20
I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1.
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
( Khối B – 2007)
2.
2 2
2 2
4 2.4 4 0
x x x x+
− + =
( Cao Đẳng KTKTCNII- 2006)
3.
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
( Khối A – 2006)

4.
2 2
2
2 2 3
x x x x− + −
− =
(ĐH khối D – 2003)
5.
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x+ −
− − + =
(ĐH khối D – 2006)
6.
2 2
1 2
10.3 1 09
x x x x+ − −
− + =
+
( Tham khảo 2006)
7.
2
3 .2 1
x x
=
( ĐH Hùng Vương- hệ CĐ 2006)
8.
3 1

125 50 2
x x x+
+ =
( C Đ KT đông du – 2006)
9. trình:
2 2
2 2cos cos 1 2cos cos 1
2cos cos 1
6.9 13.6 6.4 0
x x x x
x x
− + − +
− +
− + =
10.
3 1 2
2 7.2 7.2 2 0
x x x+
− + − =
( Tham khảo Khối D – 2007)
11.
25 2(3 ).5 2 7 0
x x
x x− − + − =
(ĐH tài chính kế toán Hà Nội – 97)
12.
1
2 4 1
x x
x

+
− = −
(ĐH Ngoại Thương 97)
13.
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
(Học viện quan hệ quốc tế
- 99)
14.
2 2
2 1 2 2
2 9.2 2 0
x x x x+ + +
− + =
(ĐH Thủy Lợi – 2000)
15.
(7 5 2) ( 2 5)(3 2 2) 3(1 2) 1 2 0
x x x
+ + − + + + + − =
16.
1 1 1
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
x
x x x x− − −
+ =
+ + + +

17.
2( 1)
2 1 2
3 3 1 6.3 3
x
x x x
+
+ +
= + − +
18.
2 2x+1 - 1 x 2x+1+1 2 x - 2
x .2 + 2 = 2 + x .2
19.
2
x - 1 x - x 2
2 - 2 = (x - 1)
(Đại học Thủy Lợi 2001)
20.
1
4 2 m = 0
x x +
− −
(ĐH Sư phạm Vinh – 2000)
II. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1.
2
2
log 2 2log 4 log 8
x x
x

+ =
(DB_A_2006)
2.
3
1 8
2
2
log 1 log (3 ) log ( 1)x x x+ − − = −
( DB_B_2006)
21
3.
2
2
log 2 2log 4 log 8
x x
x
+ =
. Đs:
2x
=
( DB_A_2006)
4.
1
3 3
log (3 1).log (3 3) 6
x x+
− − =
.Đs:
3 3
28

log , log 10
27
x x= =
5.
2 4 2
1
2(log 1)log log 0
4
x x+ + =
.
Đs:
1
2,
4
x x= =
(DB_D_2006 )
6.
3 9
3
4
(2 log )log 3 1
1 log
x
x
x
− − =
−
Đs:
1
, 81

3
x x= =

(DB_B_2007)
7.
2
2 4 1
2
log ( 2) log ( 5) log 8 0x x+ + − + =
Đs:
3 17
6,
2
x x
±
= =
Mẫu A_2009
8.
2
2 2
log ( 1) 6log 1 2 0x x+ − + + =
Đs:
1, 3x x= =

CĐ_ABD_2008
9.
2 1
2
2log (2 2) log (9 1) 1x x+ + − =
. Đs:

3
1,
2
x x= =

DB_B_2008
10.
3
1 6
3 log (9 )
log
x
x
x x
+ = −
Đs:
2x =
DB_A_2008
11.
2 2
log (2 1) log (2 1) 4
2 1 1
+ − + − =
− +
x x x
x x
Đs:
5
2,
4

x x= =

A_2008
12.
log log5
5 50+ =
x
x
Đs:
100x
=
CĐKTĐN_2005_A_D
13.
( )
2 2
1
log 4 15.2 27 2log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−
Đs:
2
log 3x =

D_2007
14.
4 2
2 1

1 1
log ( 1) log 2
log 4 2
x
x x
+
− + = + +
. Đs:
5
2
x =

DB_A_2007
15.
( )
5
log 5 4 1
x
x− = −
Đs:
1x
=
DB_D_2003
16.
( ) ( )
2 3
4 8
2
log 1 2 log 4 log 4x x x+ + = − + +
22

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1.
1 1
15.2 1 2 1 2
x x x+ +
+ ≥ − +
Đs:
2x ≤
DB_A_2003
2.
2
2
2
1
2
9 2 3
3
−
−
− ≤
 
 ÷
 
x x
x x
Đs:
1 2 1 2x− ≤ ≤ +

DB_D_2005
3.

5.4 2.25 7.10
x x x
+ ≤
Đs:
0 1x≤ ≤
CĐKTĐN_2007
4.
2 2
2 4 2 2 1
2 16.2 2 0
− − − −
− − ≤
x x x x
Đs:
1 3 1 3x− ≤ ≤ +

DB_D_2008
5.
2 1 2 1
3 2 5.6 0
+ +
− − ≤
x x x
Đs:
3
2
log 2x ≤
DB_B_2008
6.
1

2 4 16
4
2
x
x
x
−
+ −
>
−
Đs:
( ;2) (4; )x∈ −∞ ∪ +∞
DB_B_2004
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1.
3
3 5
log ( ) 1
1
x
x
−
≤
+
. Đs:
2x
< −
DB_A_2008
2.
( )

1 1 2
2 4
log 2log 1 log 6 0x x+ − + ≤
Đs:
3x ≥
DB_B_2003
3.
2
2
4
log [log ( 2 )] 0x x x
π
+ − <
Đs:
( ; 4) (1; )x∈ −∞ − ∪ +∞

4.
1
log ( 2 ) 2
x
x
+
− >
. Đs:
2 3 0x− + < <
DB_A_2006
5.
2
5 5 5
log (4 144) 4log 2 1 log (2 1)

x x−
+ − < + +
.Đs:
2 4x
< <

B_2006
6.
1 3
log log
2 2
2 2
2 2
x x
x ≥
. Đs:
(0;2] [4; )x∈ ∪ +∞

DB_A_2004
7.
2
0,7 6
log (log ) 0
4
x x
x
+
<
+
Đs:

( 4; 3) (8; )x∈ − − ∪ +∞
B_2008
23
8.
2
1
2
3 2
log 0
x x
x
− +
≥
Đs:
[2 2;1) (2;2 2]x∈ − ∪ +
D_2008
9.
1 2
3
2 3
log (log ) 0
1
x
x
+
≥
+
. Đs:
2x < −
DB_A_2008

10.
2
4 2
(log 8 log )log 2 0
x
x x+ ≥
.Đs:
1
(0; ] (1; )
2
x∈ ∪ +∞

11.
( ) ( )
3 1
3
2log 4 3 log 2 3 2x x− + + ≤
. Đs:
3
3
4
x< ≤
A_2007
12.
)3(log53loglog
2
4
2
2
2

2
−>−− xxx
13.
2
2
log
2log
2 20 0
x
x
x+ − ≤
2
14.
…………………………………………………………………………
24