giao an day them dai so nc 10

Chương I: MÊNH ĐỀ - TÂP HƠP
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1.Mệnh đề.
. Một khẳng định hoặc đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai gọi là một mệnh đề.
. Một mệnh đề còn phụ thuộc vào những giá trị của biến số gọi là mênh đề chứa biến. Mệnh đề chứa biến x kí
hiệu là: P(x).
. Mệnh đề “ không phải P” là mệnh đề phủ định của mệnh đề P và kí hiệu là
P
.
. Mệnh đề “ Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là:
QP⇒
. Mệnh đề
QP ⇒
chỉ sai khi P
đúng và Q sai.
Định lí là một mệnh đề đúng và thường có dạng
QP ⇒
.
Mệnh đề
PQ ⇒
được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề
QP ⇒
.
. Nếu cả hai mênh đề
PQvàQP ⇒⇒
đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương. Khi đó ta kí
hiệu
QP ⇔
và đọc là : P tương đương Q hoặc P là điều kiện cần và đủ để có Q, hoặc P khi và chỉ khi Q.
. Kí hiệu
∀

đọc là “ với mọi “, nghĩa là tất cả.
. Kí hiệu
∃
đọc là “ có một “ ( tồn tại một) hay “ có ít nhất một “.
B. BÀI TẬP
1/ Trong các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến.
a) 2011 + 1 = 2012 b) x + 10 = 1
c) x + 2y > 0 d) 5 -
010 <
2/ Nếu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định xem mệnh đề phủ định đó đúng hay sai:
a) P: “ Phương trình x
2
– x + 1 = 0 có nghiệm “
b) Q: “ 17 là số nguyên tố “
c) R: “ Số 963 chia hết cho 3 “
d) S: “ 25 không thể biểu diễn thành tổng của hai số chính phương “
3/ Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “ Điều kiện cần và đủ “
a) Một hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau là hình vuông và ngược lại.
b) Một tam giác có ba đường cao bằng nhau là tam giác đều và ngược lại.
c) Một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và ngược lại.
4/ Dùng kí hiệu
∃∀,
để viết các mệnh đề sau:
a) Có số tự nhiên chia hết cho 11.
b) Mọi số nhân với chính nó đều là số không âm.
5/ Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
a) P: “
"2,
3
xxRx >∈∀

b) Q: “
"41:
2
+∈∃ nNn
2. Tập hợp.
. Tập hơp là một khái niệm cơ bản của toán học. Để chỉ a là một phần tử của tâp hơp A, ta viết a
∈

A( đọc là a thuộc A). Để chỉ a không phải là một phần tử của tập hợp A, ta viết a
∉
A( đọc là a không
thuộc A). Tập hợp rỗng kí hiệu là
Φ
tập hợp không chứa phần tử nào.
. Nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B thì ta nói A là một tập hợp con của B và viết A
⊂
B( đọc là
A chứa trong B). A
)( BxAxxB ∈⇒∈∀⇔⊂
Khi A
ABvàB ⊂⊂
ta nói tâp A bằng tập B và viết là: A = B. Nhu vậy A = B
)( BxAxx ∈⇔∈∀⇔
. Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B

}{
BxvàAxxBA ∈∈=∩ /
;




∈
∈
⇔∩∈
Bx
Ax
BAx
. Tâp hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B.
1




∈
∈
⇔∪∈∈∈=∪
Bx
Ax
BAxBxhoăoAxxBA ;}/{
. Tập C gồm các phần tử thuộc A nhưng khơng thuộc B gọi là hiệu của A và B.




∉
∈
⇔∈∉∈=
Bx
Ax
BAxBxvàAxxBA \;}/{\

1/ Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp sau :
A = {x ∈ N / x có hai chữ số và chữ số hàng chục là 3}
B = {x ∈ N / x là ước của 15}
C = {x ∈ N / x là số nguyên tố không lớn hơn 17}
D = {x ∈ N
*
/ 3 < n
2
< 30}
E = {x ∈ R / (2x – x
2
)(2x
2
– 3x – 2) = 0}
F = {x ∈ Z / 2x
2
– 7x + 5 = 0}
G = {x ∈ Q / (x – 2)(3x + 1)(x +
2
) = 0}
H = {x ∈ Z /
3
≤
x
}
I = {x ∈ Z / x
2
– 3x + 2 = 0 hoặc x
2
– 1 = 0}

J = {x ∈ R / x
2
+ x – 2 = 0 và x
2
+ 2x – 3 = 0}
2/ Xét xem hai tập sau có bằng nhau không ?
A = {x ∈ R / (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0}
B = {5, 3, 1}
3/ Trong các tập sau tập nào là con tập nào ?
M = {x ∈ Q / 1 ≤ x ≤ 2}; N = {x ∈ Z /
2≤x
}
P = {x ∈ N / x
2
+ 3 = 5}
4/ Xác đònh tất cả tập con của các tập sau :
a/ A = {a} b/ B = {0, 1} c/ C = {a, b, c}
5/ Tìm tất cả tập hợp X sao cho : {1, 2, m} ⊂ X ⊂ {1, m, 2, a, b, 6}
6/ Xác đònh A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A trong các trường hợp sau :
a/ A = {1, 2, 3, 5, 7, 9}; B = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10}
b/ A = {x ∈ N / x ≤ 20}; B = {x ∈ N / 10 < x < 30}
7/ Xác đònh các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số :
a/ [-3;1) ∩ (0;4] b/ (-∞;1) ∪ (-2;+∞) c/ (-2;3) \ (0;7)
d/ (-2;3) \ [0;7) e/ R \ (3;+∞) f/ R \ (-∞;2]
8/ Xác đònh A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A :
a/ A = [-2;4], B = (0;5] b/ A = (-∞;2], B = (0;+∞) c/ A = [-4;0), B = (1;3]
3. Sai số.
. Nếu a là số gần đúng của
a
thì

|| aa
a
−=∆
được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.
. Nếu
haahahayhaahthihaa
a
+≤≤−≤−≤−≤−=∆ ||
. Ta nói a là số gần đúng của
a
với độ chính
xác h, và viết là
=a
ha
±
.
. Để quy tròn số gần đúng
a
, người ta thường quy ước làm tròn đến hàng cụ thể ( hàng trăm, hàng nghìn,… ).Để
làm tròn đến hàng k, người ta thường quan tâm đến hàng k + 1. Nếu chữ số đó lớn hơn hoặc bằng 5 ta cộng vào
chữ số k một đơn vị, nếu chữ số nhỏ hơn 5 ta giữ ngun chữ số hàng k.
1/ Cho số
a
= 37975421
150
±
. Hãy viết số quy tròn của sở975421.
2/ Độ cao của một ngọn núi là h = 1372,5
1,0±
m. Hãy viết số quy tròn của số 1372,5.

2
CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
Bài 1: HÀM SỐ
I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1/ Định nghĩa: Cho tập D khác rỗng và
D ⊂ ¡
.
Nếu với mọi giá trị của
x
thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số
thực
¡
thì ta có một hàm số.
Ta gọi
x
là biến số và y là hàm số của
x
.
Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.
Tuy nhiên ta thường gọi tắt hàm số
( )f x
hoặc hàm số
( )f x
.
2/Cách cho hàm số: một hàm số có thể được cho bằng các cách sau:
Hàm số cho bằng bảng.
Hàm số cho bằng biểu đồ.
Hàm số cho bằng công thức.
3/ Tập xác định của hàm số cho bởi biểu thức
( )y f x=

: là tập hợp tất cả các số
x
sao cho biểu
thức
( )f x
có nghĩa.
4/ Đồ thị của hàm số: cho hàm số
( )y f x=
xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm
0 0
( ; )M x y
trên mặt phẳng toạ độ với mọi x
0
thuộc tập D và
0 0
( )y f x=
.
5/ Sự biến thiên của hàm số: cho hàm số
( )y f x=
xác định trên khoảng
( ; )a b ⊂ ¡
.
Hàm số
( )y f x=
gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng (a;b) nếu
1 2 1 2 1 2
, ( ; ) : ( ) ( )x x a b x x f x f x∀ ∈ < ⇒ <
.
Hàm số
( )y f x=

gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng (a;b) nếu
1 2 1 2 1 2
, ( ; ) : ( ) ( )x x a b x x f x f x∀ ∈ < ⇒ >
.
Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến của
nó. Kết quả được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên.
6/ Hàm số chẵn, hàm số lẻ:
Cho hàm số
( )y f x=
với tập xác định D.
( )y f x=
gọi là hàm số chẵn trên D
*
* ( ) ( ),
x D x D
f x f x x D
∀ ∈ ⇒ − ∈

⇔

− = ∀ ∈

( )y f x=
gọi là hàm số lẻ trên D
*
* ( ) ( ),
x D x D
f x f x x D
∀ ∈ ⇒ − ∈


⇔

− = − ∀ ∈

Hàm số chẵn có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN :
VẤN ĐỀ 1: Tìm tập xác định của hàm số:
Phương pháp:
Muốn tìm tập xác định của hàm số
( )y f x
=
, ta tìm các số
x
sao cho biểu thức
( )f x
có
nghĩa.
Một số trường hợp cần nhớ:
Hàm số dạng
điều kiện để biểu thức
( )f x
có nghĩa
( )
( )
( )
P x
f x
Q x
=

( ), ( )P x Q x
là đa thức theo
x
( ) 0Q x ≠
( ) ( )f x P x=
( ) 0P x ≥
3
( )
( )
( )
P x
f x
Q x
=
( ) 0Q x >
Bài 1.1 Tìm tập xác định của hàm số:
2 1
)
3
x
a y
x
+
=
−
3 1
)
2 3
x

b y
x
−
=
+
2
2 1
)
3 2
x
c y
x x
−
=
− +
2
2
)
4
x
d y
x
+
=
−
2
2 1
)
1
x

e y
x x
+
=
+ +
2
) 2 5f y x x= − + +
2
2
4
)
( 4 )( 1)
x x
h y
x x x
+ −
=
− −
2
2
6
)
( 2 2)
x x
i y
x x
− −
=
+ +
Bài 1.2 Tìm tập xác định của hàm số:

) 4 2a y x= −
) 1k y x= +
) 4 2 1l y x x= − + +
) 5 3 1m y x x= − + −

4 1
)
4
x
e y
x
−
=
−
) 4 2a y x= −
…………………………………………@
Chuyªn ®Ò : Hµm sè
D¹ng 1:T×m TX§ cña hµm sè.
Bµi 1. T×m TX§ cña c¸c hµm sè :
a). y=
127
2
2
+−
−
xx
x
b). y=
2)3(
75

2
++
+−
xx
xx
c).y=
3
32
+
−
x
x
d). y=
12
12
2
−−
+
xx
x
e). y=
1−x
+
x
x
−
−
2
13
f).y=

1
2
54
2
−
++−
x
xx
Bµi 2. T×m TX§ cña c¸c hµm sè :
a). y=
1−x
-
x34 −
b). y=
3−x
-
45
2
−+− xx

c). y=
1−x
-
x+1
1
d). y=
x
-
xx −
2

e). y=
2
12
−
−+
x
xx
e). y=
32
2
−− xx
x
f). y=
xx
x
−−−
+
22
2
g). y=
1
1
2
−
−−−
x
x
h). y=
)86)(1(
3

2
+−−
−
xxx
x
i). y=(
1)
3
1
2
1
−
−
−
−
x
xx
k). y=
86
3
2
+−
−
xx
x
l). y=
2
2
4
2

158
x
xx
−
−+−
4
m). y=
12
1
+

x
x
x
n). y=
1
1
5
+
+
xx
x
o). y=
xx
xx
++
+
11
11
p). y=

561
43
22
+++

xxx
x
q). y=
422
12
++
+
xx
x
Bài 3. Cho hàm số y=








+

<

1x1- khi
2
8

0 x khi
1
3
x
x
x
x

a). Tìm TXĐ của hàm số.
b). Tính f(0), f(1), f(2).
Bài 4.Cho h m số y=
[ ]
[
)
( )

;0- xkhi
)3)(2(
1
9;0 xkhi 7 2
200;10 xkhi 3512
2

+
+
xx
x
xx
a). Tìm TXĐ của hàm số.
b). Tính f(0), f(-1), f(10), f(11).

Bài 5. Cho hàm số y=f(x)=
xm
mx
x

+

3
1
2
Xac định m để
(
]
4;2=
f
D
Bài 6. Giải các bất phơng trình và phơng trình sau:
a).
438432

4
22
=++ xxxx
b).
444
22
<+ xx
Bài 7.
Xác định m để các hàm số sau:
a). y=
1+

mx
xm
xác định trên khoảng (-1; 3).
b). y=
++ 1mx
mx 2
xác định với mọi x>0.
c). y=
52
2
1
++

mx
mx
xác định trên (-1; 0).
d). y=
1

1
2
+

+++
mx
x
mx
xác định trên [1; 2)
e). y=
1
432
+

++
mx
mx
mx
xác định với mọi x>0.
Bài 9. Cho hàm số y=f(x)=
1212
2222
+ xxxx
a).Đơn giản f(x).
b).Tìm TXĐ của hàm số.
c).Tính f(4), f(-2).
5
Dạng 2:Tìm tập giá trị của hàm số.
Bài 1. Tìm tập giá trị của hàm số:
a). y=

4
32
+

x
x
b). y=
12
53

+
x
x
Bài 2. Tìm tập giá trị của hàm số:
a). y=
1
1
2
2
++
+
xx
xx
c). y=
32
20103
2
2
++
++

xx
xx
<ĐHSP TPHCM>
Bài 3. Tìm tập giá trị của hàm số: y=
1
2
+ xx
Bài 4. Tìm tập giá trị của hàm số: y=
1
12
2
++
+
xx
x
Bài 5. Tìm tập giá trị của hàm số: y=
123
31020
2
2
++
++
xx
xx
<HVNH TPHCM>
1-x nếu -2 x < 0
Bài 6. Cho hàm số y= x nếu 0 x 2
a) Tìm TXĐ của hàm số.
b) Tính các giá trị f(-1), f(0), f(1,5).
c) Tìm tập giá trị của hàm số.

Dạng 3:Khảo sát SBT của hàm số.
Bài 1. Khảo sát SBT của các hàm số sau:
a) y=
54
2
+ xx
trên mỗi khoảng (-; -2) và (-2; +).
b) y=
56
2
++ xx
trên mỗi khoảng (-; 3) và (3; +).
c) y=
32 x
trên
);
2
3
+



.
d) y=
xx 2
2
+
trên mỗi khoảng (-; 1) và (1; +).
e) y=
x

1
trên mỗi khoảng (-; 0) và (0; +).
f) y=
x32
trên nửa khoảng




3
2
;(
g) y=x
5
3


h) y=
2
32
+
+
x
x
trên mỗi khoảng (-; -2) và (-2; +).
i) y=
1
2

x
x
trên mỗi khoảng (-; 1) và (1; +).
k) y=
3
2x
l) y=
2
2
+x
Bài 2. Bằng định nghĩa hãy CMR hàm số:
a) y= -x +2 nghịch biến trên R.
b) y=
52
3
++ xx
đồng biến trên R.
Bài 3. Khảo sát SBT của hàm số sau:
Bài 4. Cho hàm số: y=f(x)=
))((
1
xxxxxx
xx
++

6
a) Tìm TXĐ của hàm số.
b) Chứng tỏ f là hàm giảm trên TXĐ.
Bài 5. Cho hàm số: y=f(x)=
x

xx
21
)3()2(
22
+
+
a) Tìm TXĐ của hàm số.
b) CMR f là hàm hằng.
Bài 6. Với giá trị nào của m thì hàm số: y=(2-m)x +
2
m
- 2
a) Đồng biến trên R b) Nghịch biến trên R
Dạng 4:Xét tính chẵn - lẻ của hàm số.
Bài 1. Xét tính chẵn - lẻ của các hàm số sau:
a) y=
2
24
4
572
x
xxx ++
b) y=
3
35
41
53
xx
xxx ++
c) y=

++ 23
2
xx
23
2
++ xx
d) y=
2
5
+x
e) y=
22 + xx
f) y=
2
)1( x
x
g) y=
3232 ++ xx
h) y=
x
x
i) y=
23
46
+ xx
j) y=
12 x
k) y=
x
x 2

2
+
l) y=
2
35
4 x
xxx

+
m) y=
4
2
2
4

x
xx
n) y=
( ) ( )
20082008
11 ++ xx
Bài 2. Xét tính chẵn - lẻ của các hàm số sau:
a) y=
2
3
2 x
x

b) y=
xx

xx
+
++
2
22
c) y=
11
22
+++ xxxx
d) y=
103
2
xx
)
e) y=
11
11
+
++
xx
xx
f) y=
200924
2008
+ xx
Bài 3. Xét tính chẵn - lẻ của các hàm số sau:
a) y=f(x)=

+

0 x khi 3
0 x khi 3
x
x
b) y=f(x)=





<
=
>
0 xkhi 1
0 xkhi 0
0 x khi 1
c) y=f(x)=







+
1 xkhi 1x
1x1- khi 0
-1 x khi 1

3
3
x
d) y=f(x)=





>

<+
1 xkhi 2
1x khi
1 x khi 2
x
x
x
Bài 4. Cho hàm số y=f(x)=
dcxbxax +++
23
, y=g(x)=
edxcxbxax ++++
234
XĐ a, b, c, d, e để f(x) là hàm lẻ, g(x) là hàm chẵn.
7
Bài 5. Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có cùng TXĐ là D.Khi đó y=h(x) với
h(x)=f(x).g(x) ,
Dx
.CMR:

a)Tích hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn.
b)Tích hai hàm số lẻ là một hàm số lẻ.
c)Tích của một hàm số lẻ và một hàm số chẵn là một hàm số chẵn.
Bài 6. Cho hàm số y=f(x)=
32)2(
2
+ mxx
. XĐ m để hàm số là hàm số lẻ.
Bài 7. Cho hàm số y=f(x)=
2
2
2
2
+
++
x
mxmx
. XĐ m để hàm số là hàm số lẻ trên TXĐ.
Dạng 5:Hàm số phụ thuộc tham số. Tìm điểm cố đinh của đồ thị hàm số.
Bài 1. Tìm điểm cố định của (
)
m
C
: y=
)12(2)232()1(
223
+++ mmxmmxmx
Bài 2. CMR (
)
m

P
: y=
13)2(2
2
++ mxmmx
luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi.
Bài 3. <ĐH-NG
2
> Tìm điểm cố định của (
)
m
C
: y=f(x)=
2
42
2
+
+
x
mmxx
Bài 4. <ĐH-Huế> Tìm điểm cố định của (
)
m
C
: y=
mx
xmx
+
++
)1(4

4)4(3
2
Bài 5. <ĐH-Đà Nẵng> Tìm điểm cố định của (
)
m
C
: y=
5
24
+ mmxx
Bài 6. Cho hàm số y=f(x)=(2m-1)x+3m+1, (
m
d
)
a) Xét sự biến thiê.
b) CMR (
m
d
) luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 7.<ĐH_Y Dợc TPHCM> Cho hàm số y=f(x)=
mx
mxmx
+
+++ 1)1(2
2
, (
)
m
C

CMR hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m
1
Bài 8.<ĐHSP-Vinh K
A
99> Cho y=
1)12()1(
3
+++ mxmxm
, (
)
m
C
.
CMR (
)
m
C
đi qua ba điểm cố định thẳng hàng.
Dạng 6:Hàm số bậc nhất.
Bài 1. Khảo sát SBT và vẽ ĐTHS.
a) y=4-3x b) y=
2x
Bài 2. Vẽ ĐTHS : y=

>
<+
<+

1x, 1- x
1x,0 1x-
0x,-1 12x
-1x, 32x
Bài 3. Cho hàm số y=3x-2
a) Vẽ ĐTHS
b) Từ ĐTHS trên suy ra ĐTHS y=
23 x
Bài 4. a) Vẽ ĐTHS y=x-2
b) Từ ĐTHS trên suy ra ĐTHS y=
2x
Bài 5. Cho hàm số y=f(x)=
3
3
132


+
x
x
xx
a) Khảo sát SBT và vẽ ĐTHS.
8
b) Giải và biện luận bằng đồ thị số nghiệm pt f(x)=m.
c) Tìm x để f(x) >0
Bài 6. Cho hàm số y=f(x)=

22 ++ xxx
a) Khảo sát SBT và vẽ ĐTHS.
b) Tìm m để pt f(x)=m có nghiệm duy nhất.
Bài 7. a) Khảo sát SBT và vẽ ĐTHS y=
3262 ++ xxx
b) Biện luận theo m số nghiệm pt f(x)=m.
c) Tìm x để f(x) > 0
Bài 8. a) Khảo sát SBT và vẽ ĐTHS y=f(x)=
12
22
+ xxx
.
I b) Biện luận theo m số nghiệm pt f(x)=m.
Bài 9. a) Khảo sát SBT và vẽ ĐTHS y=f(x)=
2312 + xx
.
b) Tìm x

Z để f(x) 0.
** ** ** **
Bài 10. Cho hai đờng thẳng: (
)
1
d
: y=(
2)1
2
+ mxm
, (
)

2
d
: y=(1-m)x+2m-3
a) Tìm m để (
)
1
d
/ / (
)
2
d
.
b) Tìm m để (
)
1
d

(
)
2
d
.
c) CMR (
)
2
d
luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 11. Cho ba đờng thẳng:
(
)

1
d
: 2x+3y-4=0, (
)
2
d
: -x+y-1, (
)
m
d
:
0253
2
=+ myxm
.
Tìm m để ba đờng thẳng đồng quy.
Bài 12. Cho đờng thẳng (d): y=ax+b. XĐ a và b sao cho (d):
a) Đi qua A(-1; -20), B(3; 8).
b) Đi qua C(4; -3) và // (
)
1
d
: y=
1
3
2
+ x
Bài 13. Cho ba đờng thẳng:
(
)

1
d
: y=-mx+m+3, (
)
2
d
:y=-x+4, (
)
3
d
: y=2x+3.
a) CMR (
)
1
d
luôn đi qua một điểm cố định.
Trờng ptth minh châu_gv: nguyễn văn vĩnh
b) CMR ba đờng thẳng (
)
1
d
,(
)
2
d
,(
)
3
d
luôn luôn đồng quy với mọi m.

Bài 14. Cho
ABC
biết A(1; 1), B(-2; -3), C(2; -1).
a) Lập pt các đờng thẳng AB, BC, AC.
b) Tam giác ABC có đặc điểm gì? Tính
ABC
S

?
c) Lập pt trung tuyến AM.
d) Lập pt trung trực BC.
e) Lập pt đờng thẳng qua A và // BC
f) Lập pt đờng cao CH của
ABC
.
g) XĐ toạ độ điểm D để tứ giác ABCD là hbh.
Bài 15. Cho
ABC
biết A(1; 2), B(2; -1), C(-1; 0).
a) Lập pt các cạnh của
ABC
.
b)
ABC
có đặc điểm gì ?
c) Lập pt đờng cao CH của
ABC
.
d) XĐ tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp
ABC

.
9
e) X§ to¹ ®é ®iĨm D ®Ĩ tø gi¸c ABCD lµ hbh.
Bµi 16. Trong mỈt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho 3 ®iĨm A(-4; -1), B(2; 4), C(-2; 2).
a) LËp pt c¸c c¹nh cđa
ABC∆
.
b) LËp pt c¸c ®êng trung trùc cđa
ABC∆
. X§ to¹ ®é träng t©m G cđa
ABC∆
.
c) LËp pt c¸c ®êng cao cđa
ABC∆
.X§ to¹ ®é trùc t©m H cđa
ABC∆
.
d) LËp pt c¸c ®êng trtrùc cđa
ABC∆
. X§ to¹ ®é t©m I cđa ®trßn ngtiÕp
ABC∆
.
e) CMR ba ®iĨm G, H, I th¼ng hµng.
D¹ng 7:Hµm sè bËc hai.
Bµi 1. Cho hµm sè y=f(x)=
43
2
++− xx
.
a) Kh¶o s¸t SBT vµ vÏ §THS.

b) BiƯn ln theo k sè nghiƯm pt f(x)=k.
Bµi 2. Cho hµm sè y=f(x)=
34
2
+− xx
.
a) Kh¶o s¸t SBT vµ vÏ §THS.
b) Tõ §THS trªn suy ra §THS y=g(x)=
34
2
+− xx
c) X§ m ®Ĩ pt
044
2
=−+− mxx
cã 4 nghiƯm ph©n biƯt.
Bµi 3. Cho (P): y=f(x)=
23
2
+− xx
a) Kh¶o s¸t vµ vÏ (P).
b) Tõ ®ã suy ra ®å thÞ hµm sè y=g(x)=|
23
2
+− xx
|
c) Gi¶i vµ biƯn ln b»ng ®å thÞ sè nghiƯm pt
023
2
=+−+− mxx

.
d) T×m k ®Ĩ (d):y=kx+k-2 c¾t (P) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt.
Bµi 4. Cho (P): y=f(x)=
32
2
++− xx
a) Kh¶o s¸t vµ vÏ (p).
b) CMR ®êng th¼ng (d): y=mx lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt M vµ N.T×m q
tÝch trung ®iĨm I cđa ®o¹n th¼ng MN.
Bµi 5. Cho (P): y=f(x)=
2
2
−− xx
a) Kh¶o s¸t vµ vÏ (P).
b) ViÕt pt ®êngth (d) qua M(1; -1) cã HSG lµ -1/2. X§ to¹ ®é giao ®iĨm A, B cđa
(P) vµ (d).
c) Cho ®iĨm E(0; -2). CMR:
0
90=∠AEB
.
Ph¬ng ph¸p gi¶i :BÀI TẬP CHƯƠNG II_ĐẠI SỐ 10
HÀM SỐBẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
A.HÀM SỐ BẬC NHẤT:
Dạng y = ax +b
TXĐ: D=R
Hàm số đồng biến trên R khi a >0 ; Hàm số nghòch biến trên R khi a<0
Bảng biến thiên :
a>0 a<0
10
x -∞ +∞

y
+∞
-∞
x -∞ +∞
y
+∞
-∞
Đồ thò là một đường thẳng đi qua 2 điểm
( )
b;;;
a
b
A 0B0






−
B.Hàm số bậc 2:
Dạng y = ax
2
+ bx +c (a ≠ 0)
TXĐ : D = R Đỉnh







∆
−−
2
4
2
a
;
a
b
S
Trục đối xứng
a
b
x
2
−=






∞







+∞<






∞






+∞>
2a
b
; trong biếnđồng số Hàm;
2a
b
- trong biếnnghòch số Hàm:a
2a
b
; trong biếnnghòch số Hàm;
2a
b
- trong biếnđồng số Hàm:a
0
0
Đồ thò là parabol hướng bề lõm lên trên khi a >0 và hướng bề lõm xuống dưới khi a <0

Nhận đường thẳng
a
b
x
2
−=
là trục đối xứng.
Chú ý : Muốn vẽ đồ thò của hàm số y =ax
2
+bx +c ta thực hiện như sau:
–Xác dònh hương lõm của đồ thò –Xác đònh tọa độ điểm đỉnh






∆
−−
2
4
2
a
;
a
b
S
và trục đối xứng
a
b

x
2
−=
-Tìm giao củ đồ thò với Ox và Oy .
-Nhờ tính đối xứng ta nối các điểm của đồ thò lại ta có đồ thò của hàm số.
Bài 1: Tìm các hệ số a và b của hàm số y = ax +b biết đồ thị đ qua 2 điểm A(x
1
;y
1
) và B(x
2
;y
2
)
Phương pháp :
Gọi (d):y =ax +b



+=
+=
<=>∈
baxy
baxy
)d(B;A
22
11
Giải hệ trên tìm a và b
Chú ý : (d
1

) : y=a
1
x+b
1
; (d
2
): y=a
2
x +b
2
:
(d
1
)//(d
2
) 



≠
=
21
21
bb
aa
(d
1
)⊥ (d
2
) a

1
a
2
= -1
Thí dụ :
Cho hàm số y = ax+b có đồ thị (d) .Tìm a và b biết (d) đi qua 2 điểm A(–1;3 ) và B(1; 2).
GIẢI :
11
x
-∞
a
b
2
−
+∞
y
+∞ +∞

2
4a
∆
−
x
-∞
a
b
2
−
+∞
y

2
4a
∆
−

-∞ -∞
2
5
2
1
2
1
2
5
2
3
+−==>







−=
=
<=>




+=
+−=
<=>∈ xy:)d(d
a
b
ba
ba
)d(B;A
Thí dụ 2:
Cho hàm số y =ax+b có đồ thị là hình bên.Tìm a và b.
GIẢI:
(d):y=ax+b
3
2
3
7
3
2
3
7
24
3
4231
−−==>








−=
−=
<=>



+−=
+=−
<=>∈−−
xy
b
a
ba
ba
)d();(B;);(A
Thí dụ 3 :
Vẽ đồ thị của hàm số y =





<+
≥−
11
2
1
112

xkhix
xkhix
Thí dụ 4
Tìm các hệ số a ; b của hàm số y =ax +b biết (d) đi qua A (-1;3) và song song với (d’) :y= 2x+4
GIẢI
Do (d)// (d’)=> a=2=>(d): y = 2x+b
A(-1;3) ∈ (d)3=-2+b=>b=5=> (d):y=2x-5
BÀI TẬP:
1.Tìm các hệ số a và b của hăm số y = ax +b biết đồ thị (d) của hàm số đi qua 2 điểm sau :
( )( ) ( )
3
2
3
21
2
9
112429921102
3
2
+=−=+−=
−−−






−
x
y)cy)bxy:ĐS

);(B;A)c);(B;A)b);(B;A)a
Thí dụ 5:
12
)(dcủa1x phầnXóa
D(-2;0) và(C0;1) điểm 2 qua)d(
xkhixy:)(d Vẽ
xvới)(d phần.xóa B và Aqua)(d Vẽ
B(2;3)A(1;1) điểm 2 qua)d(
xkhixy:)(dVẽ
2
2
11
1
≥
<+==
<
≥−=
2
1
11
2
1
1
112
Tìm hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên.
Bài Tập :
Tìm hàm số có đồ thị là các hàm dưới đây:
Bài 2:
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = ax
2

+bx +c
Phương pháp:
Tập xác định D = R
Chiều biến thiên
Nếu a > 0 : Hàm số đồng biến trong khoảng






+∞− ;
a
b
2
Hàm số nghịch biến trong khoảng






−∞−
a
b
;
2
Nếu a <0 : Hàm số nghịch biến trong khoảng







+∞− ;
a
b
2
Hàm số đồng biến trong khoảng






−∞−
a
b
;
2
Lập bảng biến thiên – Xác định điểm đỉnh ; trục đối xứng
Tìm giao điểm của đồ thị với Ox và Oy,
Vẽ đồ thị.
Thí dụ 1:
13
Hàm số có đồ thị như hình bên là đồ thị của hàm số
cho bởi nhiều công thức .
Do đồ thị là một đường gấp khúc nên mỗi công
thức đều có dạng y = ax +b
x< -2 : Đồ thị qua 2 điểm B(-2 ; 6) và C(-1;3)

=>y= -3x
-2 ≤ x <2 :Đồ thị qua 2 điểm C(-1 ; 3) và D(2;6)
=> y = x+4
x ≥ 2 : Đồ thị đi qua 2 điểm D(2;6) và E(3;9)
=>y = 3x
Vậy y =





≥
<≤−+
−<−
23
214
13
xkhix
xkhix
xkhix
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x
2
– 4x +3
TXĐ : D = R
a = 1 > 0 => Hàm số đồng biến trong khoảng (2 ; +∞) và hàm số nghịch biến trong (–∞ ;2)
Bảng biến thiên :
Thí dụ 2:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
Hàm số y =
2

3
2
2
++− x
x
Txđ : D= R
a =
0
2
1
<−
=> Hs đồng biến trong (–∞;1)
Hs nghịch biến trong ( 2; +∞)
Bài 3: Tìm các hệ số a ; b ; c của hàm số y = ax
2
+bx+c
Dạng 1: Qua 3 điểm A(x
1
;y
1
) ; B(x
2
;y
2
) ; C(x
3
;y
3
)
Gọi (P): y =ax

2
+bx +c





=++
=++
=++
<=>∈
33
2
3
22
2
2
11
2
1
ycbxax
ycbxax
ycbxax
)P(C;B;A
Giải hệ trên tìm a ; b ; c
Dạng 2: Qua 2 điểm A(x
1
;y
1
) ; B(x

2
;y
2
) và biết trục đối xứng x = x
0
baxx
a
b
xxTruïc
ycbxax
ycbxax
)P(B;A
−=<=>=−<=>=





=++
=++
<=>∈
000
22
2
2
11
2
1
2
2

Giải hệ





=+
=++
=++
02
0
22
2
2
11
2
1
bax
ycbxax
ycbxax
tìm a ; b;c
Dạng 3: Qua điểm A(x
1
;y
1
) và có đỉnh S(x
2
; y
2
)






=+
=++
=++
<=>∈
02
2
22
2
2
11
2
1
bax
ycbxax
ycbxax
)P(S;A
Giải hệ tìm a ; b ;c
Thí dụ 1:
Cho hàm số y = ax
2
+bx+c . Tìm a ; b ;c biết đồ thị (P) của nó đi qua 3 điểm A(–2;2 ) B(0;–2) C(3;-1/2)
14
x –∞ 2 +∞
y
+∞ +∞

–1
Đỉnh S(2 ; –1)
Đồ thị cắt Oy tại điểm (0 ; 3)
Đồ thị cắt Ox tại (1 ; 0) (3;0)
Đồ thị là parabol quay bề lõm lên trên
x –∞ 1 +∞
y
2
–∞ –∞
Giải :
Gọi (P) : y =ax
2
+bx +c
2
2
2
1
2
1
2
1
39
2
224
2
−−==>








−=
−=
=
<=>







−=++
−=
=+−
<=>∈ x
x
y
c
b
a
cba
c
cba
)P(C;B;A
Thí dụ 2:
Cho hàm số y = ax
2

+bx+c . Tìm a ; b ;c biết đồ thị (P) của nó đi qua điểm A(-1 ;1) và có đỉnh S(1;3)
Giải :
(P): y=ax
2
+bx +c
2
5
2
1
2
5
1
2
1
02
3
1
2
++−==>







=
=
−=
<=>






=+
=++
=+−
<=>∈ xxy
c
b
a
ba
cba
cba
)P(S;A
Thí dụ 3:
Cho hàm số y = ax
2
+bx+c . Tìm a ; b ;c biết đồ thị (P) của nó đi qua 2 điểm O và






4
3
1;A
và có trục là

đường thẳng x=2.
GIẢI
(P): y = ax
2
+bx+c
x
x
y
c
b
a
ba
ba
c
a
b
cba
c
)P(O;A +−==>







=
=
−=
<=>








=+
=+
=
<=>









=−
=++
=
<=>∈
4
0
1
4
1
04

4
3
0
2
2
4
3
0
2
Bài 4:
Tìm tọa độ giao điểm của (C) : y = g(x) và (P):y = h(x)
Phương pháp:
Viết phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (P): h(x)= g(x) (1)
Giải pt (1) tìm x từ đó suy ra y.
Pt (1) có bao nhiêu nghiệm thì (d) và (P) có bấy nhiêu điểm chung.
Thí dụ1:
Tìm giao điểm của (P):y = 2x
2
+3x –2 với (d): y =2x +1
GIẢI:
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)
2x
2
+3x–2 = 2x–1 2x
2
+x –3 = 0
2
2
3
31

2
3
1
−==>−===>=




−=
=
yx;yx
x
x
Vậy (d) cắt (P) tại 2 điểm
( )






−− 2
2
3
31 ;B;A
Thí dụ 2:
Tìm giao điểm của (P) : y= –x
2
+3x +4 và (d): y = x +5
Giải :

15
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) :
–x
2
+3x+4 = x+5 x
2
-2x+1=0 x=1 và y = 6
Vậy (d) và (P) có 1 điểm chung A(1;6)
BÀI TẬP:
1.Cho hàm số y = ax
2
+bx +2 . Xác định các hệ số a ; b ; c trong các trường hợp sau:
a.Qua 2 điểm M(1;5) N(–2;8) b.Đi qua A(3 ;–4) và có trục đối xứng x = –
2
3
c.Có đỉnh S(2;–2) d)Có chung Ox một điểm chung duy nhất (1;0)
2.Tìm tọa độ giao điểm của các đường sau







−−=
++−=



−−=

−+=





++−=
+=





−−=
+=
1
2
2
2
4
232
2
2
5
2
2
4
2
2
2

2
2
2
2
2
x
xy
x
x
y
)d
xy
xxy
)c
x
x
y
xxy
)b
x
x
y
xy
)a
Bài tập tổng hơp:
1.Cho hàm số y = ax
2
+ bx +c có đồ thị (P) .Biết rằng (P) đi qua 2 điểm A(1 ;–2) và B(2;3) có trục đối
xứng là x=
3

2

a.Xác định các hệ số a ; b ;c của hàm số . ĐS : y = 3x
2
–4x -1
b.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) vừa tìm được ơ câu a.
c.Gọi (d) là đường thẳng có phương trình y = mx+n . Tìm m và n biết (d) đi qua 2 điểm M(–1 ; –12) và
N(3 ; 8). Tìm giao điểm của (d) và (P). ĐS:m = 5 ; n = -7
2 Cho hàm số y = ax
2
+bx +c có đồ thị (P).
a.Xác định các hệ số a ; b ; c biết đỉnh của (P) là S(3; -4) và cắt Oy tại điểm (0;5).
b.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số vừa tìm được ở câu a.
c.Vẽ (P’):y = –x
2
+4x –3 , trên cùng đồ thị với (P) . Tìm giao điểm của (P) và (P’) . Kiểm tra lại bằng đại
số.
3.Cho hàm số y =
( )( )
53
4
1
+− xx
có đồ thị (P) .
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số .
b. Gọi (d) là đường thẳng có phương trình y =
m
x
+−
2

. Định m để (d) và (P) có 1 điểm chung .
Tìm tọa độ điểm chung đó .
Bài 5:
Vẽ đồ thị của hàm số có dâu giá trị tuyệt đối.
Phương pháp :
–Chuyển về hàm số cho bởi nhiều công thức .
–Vẽ đồ thị của từng hàm số .
–Xóa bỏ những phần đồ thị không thỏa điều kiện.
Thí dụ :Vẽ đồ thị của hàm số : y = x
2
–2│x│–3





<−+
≥−−
=
032
032
2
2
xkhixx
xkhixx
y
Vẽ y = x
2
–2x–3
a=1>0 : Đồ thị quay bề lõm lên trên , đỉnh S(1;–4)

x=0=>y= -3 ; y = 0=>x= –1;x=3
Vẽ y = x
2
+2x –3
16
a=1 > 0=>đồ thị quay bề lõm lên trên
Đỉnh S’(–1;–4) x = 0=>y= –3 ; y = 0=> x= 1; x = -3
BÀI TẬP:
Bài 1. T×m tËp x¸c ®Þnh cđa hµm sè sau:
1/
x
xx
y
2
2
+
=
2/
1
1
+
=
x
y
3/
23
3
2
+−
+

=
xx
x
y
4/
2−= xy
5/
2
xy =
6/ y =
3
1x −
7/ y=
1−x
+
x34 −
8/
21 +−+= xxy
9/y=
3
32
+
−
x
x
10/ y=
12
12
2
−−

+
xx
x
11/ y=
)86)(1(
3
2
+−−
−
xxx
x
12/ y =
3x
1x2
2
+
−
13/ y=
1−x
+
x
x
−
−
2
13
14/ y =
1
1− +x
x

15/ y =
3
1
3 4
+
+
x
x
16/ y =
2
4 9− +x x
Bài 2 . XÐt tÝnh ch½n - lỴ cđa c¸c hµm sè sau:
1/ y = 2x
2
– 1 2/ y = x
5
+ 3x
3
– x 3/ y = x
4
- 3x + 2 4/ y =
3
1
+ x
x
5/ y =
3
2
x
6/ y =

4
2x
x 1+
7/ y=
x
x 2
2
+
8/ y=
2
)1( −x
x
9/ y =
4 2
x + x + 3
10/ y =
2
x 3 x 1+ −
11/ y =
3 x x 3− + +
12/ y =
3
x 2x 2010+ +
13/ y=
23
46
+− xx
14/ y=
( ) ( )
2010 2010

x 1 x 1+ + −
Bài 3. Xác đònh a và b sao cho đồ thò hàm số y = ax + b :
a/ Đi qua 2 điểm A(−1, −20) và B(3, 8)
b/ Đi qua C(4, −3) và song song với đường thẳng y = −
3
2
x + 1
c/ Đi qua D(1, 2) và có hệ số góc bằng 2
d/ Đi qua E(4, 2) và vuông góc với đường thẳng y = −
2
1
x + 5
e/ Đi qua M(−1, 1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 5
f/ Đi qua giao điểm của 2 đường thẳng d
1
: y=2x-5 và d
2
: y=x+3 và có hệ số góc là 0.5

Bài 4. Cho hai ®êng th¼ng: (
)
1
d
: y=(
2)1
2
+−− mxm
, (
)
2

d
: y=(1-m)x+2m-3
a) T×m m ®Ĩ (
)
1
d
/ / (
)
2
d
.
b) CMR (
)
2
d
lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh.
Bài 5. Cho ba ®êng th¼ng:(
)
1
d
: 2x+3y-4=0, (
)
2
d
: -x+y-1, (
)
m
d
:
0253

2
=−−+ myxm
.
T×m m ®Ĩ ba ®êng th¼ng ®ång quy.
Bài 6. Cho ba ®êng th¼ng:(
)
1
d
: y=-mx+m+3, (
)
2
d
:y=-x+4, (
)
3
d
: y=2x+3.
c) CMR (
)
1
d
lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh.
d) CMR ba ®êng th¼ng (
)
1
d
,(
)
2
d

,(
)
3
d
lu«n lu«n ®ång quy víi mäi m.
17
Bài 7. T×m Parabol
2
2
++= bxaxy
biÕt r»ng Parabol ®ã:
1/ §i qua hai ®iĨm M(1;5) vµ N(-2; 8). (KQ:
2
2 2y x x= + +
)
2/ §i qua ®iĨm A(-3; -6) vµ cã trơc ®èi xøng
3
4
x = −
. (KQ:
2
16 8
2
9 3
y x x= − − +
)
3/ Cã ®Ønh I(1;- 4). (KQ:
2
6 12 2y x x= − +
)

4/ §i qua ®iĨm B(-2; 6), ®Ønh cã tung ®é lµ
1
4
−
. (KQ:
2
1 3
2
4 2
y x x= − +
vµ
2
4 6 2y x x= + +
)
Bài 8. Tìm Parabol y = ax
2
+ bx + c biết rằng Parabol đó :
a/ Đi qua 3 điểm A(−1; 2) ; B(2; 0) ; C(3; 1)
b/ Có đỉnh S(2; −1) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −3.
c/ Đạt cực đại tại I(1; 3) và đi qua gốc tọa độ.
d/ Đạt cực tiểu bằng 4 tại x = −2 và đi qua B(0; 6)
e/ Cắt Ox tại 2 điểm có hoành độ là −1 và 2, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng −2
Bài 9. Khảo sát vµ vÏ ®å thÞ cđa hµm sè:
1/
2
y x 3x 2= − + −
2/
62
2
1

2
−+= xxy
3/
2
y x 2x 2= + +
4/
43
2
−−−= xxy
5/
44
2
+−= xxy
6/
32
2
++−= xxy
7/
xxy 2
2
−=
8/
4
2
+−= xy

Bài 10 . T×m täa ®é giao ®iĨm cđa c¸c ®å thÞ hàm số :
1/ y = 2x − 3 và y = 1 − x 2/ y = 2(x − 1) và y = 2 3/ 4x + y-1 = 0 và 3x-y −
2=0
4/

723
2
++−= xxy
vµ
32 +−= xy
5/
1052
2
++= xxy
vµ
23 +−= xy
6/
423
2
+−= xxy
vµ
16 +−= xy
7/
552
2
−+−= xxy
vµ
3−= xy
Bài 11. Cho (P): y=f(x)=
23
2
+− xx
e) Kh¶o s¸t vµ vÏ (P).
f) Tõ ®ã suy ra ®å thÞ hµm sè y=g(x)=|
23

2
+− xx
|
g) Gi¶i vµ biƯn ln b»ng ®å thÞ sè nghiƯm pt
023
2
=+−+− mxx
.
h) T×m k ®Ĩ (d): y=kx+k-2 c¾t (P) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt.
Bài 12. Cho (P) : y = −
4
x
2
+ 2x − 3 và (d) : x − 2y + m = 0
1/ Đònh m để (P) và (d) có 2 điểm chung phân biệt.
2/ Đònh m để (P) và (d) tiếp xúc nhau. Xác đònh tọa độ tiếp điểm.
Bài 13 . Cho Parabol (P) : y = ax
2
- 4x + c
a/ Xác đònh a, c biết (P) qua A(0; 3) và có trục đối xứng x=2
b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (P) vừa tìm được.
18
c/ Gọi (d)có phương trình : y = 2x + m. Đònh m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 14. Cho (P) : y = x
2
− 3x − 4 và (d) : y = −2x + m. Đònh m để (P) và (d) :
a/Có 2 điểm chung phân biệt
b/Tiếp xúc
c/Không cắt nhau.
Bµi 15. Cho (P): y=f(x)=

32
2
++− xx
c) Kh¶o s¸t vµ vÏ (p).
d) CMR ®êng th¼ng (d): y=mx lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt M vµ N.
Vẽ đồ thị các hàm số sau :
32
2
5
3
2
1
014
012
22
2
−+=−+−=



<++
≥+−
= xxy)cxxy)b
xkhixx
xkhix
y)a
Chưong III. PHƯƠNG TRINH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Phương trình.
*. Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

*Phương trình (2) là hệ quả của phương trình (1) nếu tập nghiệm của (2) chứa tập nghiệm của (1).
* Cho phương trình f(x) = 0
)()()( xhxhxf =+⇔
, y = h(x) là một hàm số.
*Bình phương hai vế của một phương trình ta được một phương trình hệ quả.
* Đối với phương trình chứa căn ta có:



=
≥
⇔=
2
)]([)(
0)(
)()(
xgxf
xg
xgxf
2.Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai.
* Phương trình ax + b = 0, (a
)0≠
có nghiệm x =
a
b
−
.
.Nếu a = 0, b = 0 phương trình có vơ số nghiệm.
.Nếu a = 0, b
0≠

phương trình vơ nghiệm.
* Phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có
)''(4
22
acbhoăoacb −=∆−=∆
trong đó b = 2b’.
. Nếu
0≥∆
phương trình có nghiệm x =








∆±−
=
∆±−
a
b
xhoăo
a
b ''
2
. Nếu
0

<∆
phương trình vơ nghiệm.
* Nếu x
1
và x
2
là nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 thì







=
−=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
* Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình : X
2
– SX + P = 0

Ta có:
caac
ca
ca
Dbccb
bc
bc
Dbaab
ba
ba
D
yx
''
''
,''
''
,''
''
−==−==−==






≠+=+
≠+=+
)0''('''
)0(
22

22
bacybxa
bacbyax
19
1. D
0
≠
: Hệ có một nghiệm duy nhất (x ; y) trong đó x =
D
D
y
D
D
y
x
=,
2. D = 0:
*
00 ≠≠
yx
DhoăoD
: Hệ vơ nghiệm
*
0==
yx
DD
: Hệ có vơ số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phương trình
ax + by = c
B. BÀI TẬP
1. Giải phương trình :

( )( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
2
23
2
2
22
34976/;
1
1
34
32
/
;
2
4
2
1
2
2
/;0
)2(
33
/

;
)3)(2(
50
3
10
2
2
1/;
1
154
1
3
1
2
/
;
1
1
5
4
/;0651/
+−=−−
−
=
+−
−−
+
−
=+
+

=
−
+−−
+−
−
+
=
−
+
−
++
=
+
−
+
−
−
−
=
−
−
=+−−
xxxxh
x
xx
xx
g
xx
x
f

xx
xxx
e
xxxx
d
x
xx
x
x
x
x
c
xx
x
bxxxa

2. Giải phương trình (trò tuyệt đối) :
235/;421/
;01
3
52
/;2
2
/;
2
1
/
;0115/;1
23
4

/;62634/
;445/;0632/;243/
2
2
2
2
2
222
=+−=+−
=+
−
−
=
−+
=
−
−
=−−−=
++
−
−=−+−
+=+−=−−−−=+
xkxxj
x
x
i
x
xx
hx
x

x
g
xxf
xx
xx
exxxxd
xxxcxxbxxa

3. Giải phương trình (chứa căn thức) :
( )( )
22
2
4
/;3421/;0)12(263/
;134/;5321/;446/
22
22
=−−
−
+=−−=−+++−
−=−+=−−+−=+−
x
x
fxxxexxxd
xxxcxxxbxxxa
4. Giải phương trình (đặt ẩn phụ) :
6315/;1381/
;
2
2

3/;3
1
2
1
/;43893/
;641282/;0)3(3)2)(5(/
;66496/;0253/;043/
22
22
222424
=−+−+−=+
−
=−=
+
−
+
−+=−+
−−=+−=++−+
+−=+−=−+=−−
xxjxxi
x
xh
x
x
x
x
gxxxxf
xxxxexxxxd
xxxxcxxbxxa
5. Giải và biện luận phương trình (bậc 1) theo tham số m :

a/ m(x – m) = x + m – 2; b/ m
2
(x – 1) + m = x(3m – 2);
c/ (m
2
+ 2)x – 2m = x – 3; d/ m(x – m + 3) = m(x – 2) + 6
6. Giải và biện luận phương trình (bậc 1 có mẫu số) theo tham số m :
2
12
)2)(1(
/;1
2
2)12(
/ +=
+
+−
+=
−
+−
m
x
xmm
bm
x
xm
a
7. Giải và biện luận phương trình (bậc 2) theo tham số m :
20
a/ (m – 1)x
2

+ 3x – 1 = 0; b/ x
2
– 4x + m – 3 = 0;
c/ mx
2
+ (4m + 3)x + 4m + 2 = 0
8. Cho phương trình ax
2
+ bx +c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
. Đặt S = x
1
+ x
2
; P = x
1
.x
2
a/ Hãy tính các biểu thức sau theo S, P :
21
21
3
2
3
1
2
2
2

1
;
11
;; xx
xx
xxxx −+++
b/ p dụng : Không giải phương trình x
2
– 2x – 15 = 0 hãy tính :
_ Tổng bình phương hai nghiệm.
_ Bình phương tổng hai nghiệm
_ Tổng lập phương hai nghiệm.
9. Đònh m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa :
a/ x
2
+ (m – 1)x + m + 6 = 0 thỏa : x
1
2
+ x
2
2
= 10.
b/ (m + 1)x
2
– 2(m – 1)x + m – 2 = 0 thỏa : 4(x
1
+ x
2
) = 7x
1

x
2
10. Cho phương trình (m + 1)x
2
– (m – 1)x + m = 0
a/ Đònh m để phương trình có nghiệm bằng -3, tính nghiệm còn lại
b/ Đònh m để phương trình có nghiệm gấp đôi nghiệm kia, tính các nghiệm.
11. Đònh m để phương trình vô nghiệm :
a/ mx
2
- (2m + 3)x + m + 3 = 0; b/ mx
2
– 2(m + 1)x +m + 1 = 0
12. Đònh m để phương trình có nghiệm kép :
a/ (m + 2)x
2
– 2(3m – 2)x + m + 2 = 0 ; b/ x
2
– (2m + 3)x + m
2
= 0
13. Đònh m để phương trình có hai nghiệm phân biệt :
a/ (m – 1)x
2
– 2(m + 4)x + m – 4 = 0; b/ (m – 2) x
2
– 2(m + 3)x + m – 5 = 0
14. Đònh m để phương trình có nghiệm :
a/ (m + 3)x
2

– (2m + 1)x + m – 2 = 0; b/ x
2
– 2(m + 2)x + m
2
+ 7 = 0
15. Đònh m để phương trình có đúng một nghiệm :
a/ mx
2
– 2(m + 3)x + m = 0; b/ (m – 1)x
2
– 6(m – 1)x + 2m – 3 = 0
16.Đònh m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt : 3x
2
+ 5x + 2m + 1 = 0
17. Giải các hệ phương trình.
a)



=−
−=+−
425
537
yx
yx
b)



−=+−

=−
32
624
yx
yx
c)



=−
=+−
4,02,03,0
7,04,05,0
yx
yx
18. Giải các hệ phương trình:
a)





−=−+−
=++
=−+
7233
572
232
zyx
zyx

zyx
b)





=++
=−+
=+−−
422
5243
343
zyx
zyx
zyx
c)





=+−
=+−
=++
1034
5223
7
zyx
zyx

zyx
19. Tìm giá trị của m để các hệ phương trình sau vơ nghiệm,
a)



=−
=+
22
923
ymx
yx
b)



=+
=−
7
52
yx
myx
20. Tìm các giá trị của a và b để các hệ phương trình sau vơ nghiệm.
a)



=+
=+
byx

ayx
2
53
b)



+=−
=+
143
2
byx
ayax
21.*Giải các hệ phương trình sau:
a)
x y
x y
2 2
4 8
2 4

+ =

+ =

b)
x xy
x y
2
24

2 3 1

− =

− =

c)
x y
x y
2
( ) 49
3 4 84

− =

+ =

d)
x xy y x y
x y
2 2
3 2 3 6 0
2 3

− + + + − =

− =

e)
x y

xy x y
3 4 1 0
3( ) 9

− + =

= + −

f)
x y
xy x y
2 3 2
6 0

+ =

+ + + =

21
g)
y x x
x y
2
4
2 5 0

+ =

+ − =


h)
x y
x y y
2 2
2 3 5
3 2 4

+ =

− + =

i)
x y
x xy y
2 2
2 5
7

− =

+ + =

22.*Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
x y
x y m
2 2
6

+ =


+ =

b)
x y m
x y x
2 2
2 2

+ =

− + =

c)
x y
x y m
2 2
3 2 1

− =

+ =

23.*Giải các hệ phương trình sau:
a)
x xy y
x y xy x y
2 2
11
2( ) 31


+ + =

+ − − + = −

b)
x y
x xy y
2 2
4
13

+ =

+ + =

c)
xy x y
x y x y
2 2
5
8

+ + =

+ + + =

d)
x y
y x

x y
13
6
6

+ =



+ =

e)
x x y y
x y xy
3 3 3 3
17
5

+ + =

+ + =

f)
x x y y
x xy y
4 2 2 4
2 2
481
37



+ + =

+ + =


24.*Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
x y xy m
x y m
2 2
3 2

+ + =

+ = −

b)
x y m
x y xy m m
2 2 2
1
2 3

+ = +

+ = − −

c)
x y m

xy x y m
( 1)( 1) 5
( ) 4

+ + = +

+ =

25.*Giải các hệ phương trình sau:
a)
x x y
y y x
2
2
3 2
3 2


= +

= +


b)
x y x y
y x y x
2 2
2 2
2 2
2 2



− = +

− = +


c)
x x y
y y x
3
3
2
2


= +

= +


d)
y
x y
x
x
y x
y
3 4
3 4


− =




− =


e)
y
y
x
x
x
y
2
2
2
2
2
3
2
3

+
=




+

=


f)
x y
y
y x
x
2
2
1
2
1
2

= +




= +


26.*Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
x x my
y y mx
2

2
3
3


= +

= +


b)
x y m m
y x m m
2 2
2 2
(3 4 ) (3 4 )
(3 4 ) (3 4 )


− = −

− = −


c)
xy x m y
xy y m x
2
2
( 1)

( 1)


+ = −

+ = −


27.*Giải các hệ phương trình sau:
a)
x xy y
x xy y
2 2
2 2
3 1
3 3 13


− + = −

− + =


b)
x xy y
x xy y
2 2
2 2
2 4 1
3 2 2 7



− + = −

+ + =


c)
y xy
x xy y
2
2 2
3 4
4 1


− =

− + =


d)
x xy y
x xy y
2 2
2 2
3 5 4 38
5 9 3 15



+ − =

− − =


e)
x xy y
x xy y
2 2
2 2
2 3 9
4 5 5


− + =

− + =


f)
x xy y
x xy y
2 2
2 2
3 8 4 0
5 7 6 0


− + =


− − =


28.*Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
x mxy y m
x m xy my m
2 2
2 2
( 1)


+ + =

+ − + =


b)
xy y
x xy m
2
2
12
26


− =

− = +



c)
x xy y m
y xy
2 2
2
4
3 4


− + =

− =


Chương IV. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
22
1. Bất đẳng thức.
a) Tính chất:
a > b và b > c
ca >⇒
a > b
cbca +>+⇔
a > b và c > d
dbca +>+⇒
a + c > b
cba −>⇔
a > b




<<
>>
⇔
0
0
ckhibcac
ckhibcac
a > b
bdacdcvà >⇒≥>≥ 00
a > b
nn
baNnvà >⇒∈≥
*
0
baba >⇒≥> 0
33
baba >⇒>
xxxxx −≥≥≥ ||,||,0||
axaax ≤≤−⇔≤||
(a > 0)
axhoăoaxax ≥−≤⇔≥||

|||||||||| bababa +≤+≤−
b) Bất đẳng thức Cô-si.
*
)0,(
2
;

2
≥∀=⇔=
+
≥
+
babaab
ba
ab
ba
*
)0,,(
3
;
3
33
≥∀==⇔=
++
≥
++
cbacbaabc
cba
abc
cba
BÀI TẬP.
1.V ới x, y, z tùy ý . Chứng minh rằng:
a). x
4
+ y
4

xyyx
33
+≥
b) x
2
+ 4y
2
+ 3z
2
+ 14 > 2x + 12y + 6z.
2. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau :
Vôùi ∀ a, b, c ∈ R :
a/ a
2
+ b
2
+ c
2
+ 3 ≥ 2(a + b + c) b/ a
2
+ b
2
+ a
2
b
2
+ 1 ≥ 4ab
c/
22
22

2
baba +
≤






+
d/ a
3
+ b
3
≥ a
2
b + ab
2

e/ a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
≥ a(b + c + d + e) f/ a

2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + bc + ca
g/ (a + b + c)
2
≤ 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) h/ a
2
+ b
2
+ 1 ≥ ab + a + b
3. Vôùi a, b, c > 0 :
abbabae
abcaccbbad
cbaab
c
ca
b
bc
a
c
a

b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
bcba
b
ca
a
bc
c
ab
a
16))(2)(2(/
8))()((/
111
/
//
2
2
2
2
2
2

≥+++
≥+++++≥++
++≥++++≥++

f/
ba
a
b
b
a
+≥+
g/
baba +
≥+
411
h/
4
4
abcd
dcba
≥
+++

23
k/.
dcbadcba +++
≥+++
161111
l/.
a

b
ba 2
1
2
≥+
m/. (a + b)(b + c)(c + a)
abc8
≥

n/
( )
abbaba )(22
2
+≥+
p/
cbacba ++
≥++
9111
4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
xx −
+
1
94
với 0 < x < 1.
5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhầt của hàm số sau trên TXĐ của hàm số y =
xx −+− 51
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
1. Bất đẳng thức CauChy:
a) Cho
a+b

0, b 0
2
≥ ≥ ⇒ ≥a ab
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b
b) Cho
3
a+b+c
0, b 0, c 0
3
≥ ≥ ≥ ⇒ ≥a abc
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b = c
c) Cho
1 2 n
1 2 1 2
a +a + +a
0, 0, , 0 .
n
≥ ≥ ≥ ⇒ ≥
n
n n
a a a a a a
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2
= = =
n
a a a
2. Ví dụ:
1) Cho 2 số dương a, b . Chứng minh rằng:
a)
2+ ≥

a b
b a
b)
( ) ( )
1 4+ + ≥a b ab ab
2) Chứng minh:
( ) ( ) ( )
( )
3
3
1 1 1 1+ + + ≥ +a b c abc
với a, b, c không âm.
3) Chứng minh:
3 9
4
2 3 4 9+ + ≥a b c abc
4) Chứng minh:
+ + ≥ + +
xy yz zx
x y z
z x y
với x, y, z > 0
5) Chứng minh: a)
3
2
+ + ≥
+ + +
a b c
b c c a a b
với a, b, c > 0

b)
2 2 2
2
+ +
+ + ≥
+ + +
a b c a b c
b c c a a b
3. Bài tập:
1) Cho a, b, c > 0 . Chứnng minh:
a)
( )
1 1
4
 
+ + ≥
 ÷
 
a b
a b
b)
( )
1 1 1
9
 
+ + + + ≥
 ÷
 
a b c
a b c

c)
2 2 2
+ + ≥ + +a b c ab bc ca
d)
( )
( )
2 2 2
9+ + + + ≥a b c a b c abc
e)
+ + ≥ + +
bc ca ab
a b c
a b c
f)
4 4 4 9
2 2 2
+ + ≥
+ + + + + + + +a b c a b c a b c a b c
g)
1 1 1
+ + ≥ + +
a b c
bc ca ab a b c
2) Cho
1 2
, , ,
n
a a a
là các số thực dương thoả
1 2

. 1=
n
a a a
. Chứng minh:
( ) ( )
( )
1 2
1 1 1 2+ + + ≥
n
n
a a a
24
3) Cho x, y, z > 0. Chứng minh
2 2 2
2 2 2
+ + ≥ + +
x y z x y z
y z x
y z x
4) Chứng minh:
1
! ; n N
2
+
> ∈
n
n
n
5) Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 . Chứng minh:
( ) ( ) ( )

8
.
729
x y y z z x xyz+ + + ≤
6) Cho
1; b 1≥ ≥a
Chứng minh rằng:
1 1− + − ≤a b b a ab
7) Cho a > 0, b > 0, c > 0 thoả a + b + c = 1. Chứng minh:
6+ + + + + ≤a b b c c a
8) Chứng minh
( ) ( ) ( )
8+ + + ≥x y y z z x xyz
với x, y, z > 0
9) Cho các số dương x, y, z thoả xyz=1 và n là 1 số nguyên dương. Chứng minh
1 1 1
3
2 2 2
+ + +
     
+ + ≥
 ÷  ÷  ÷
     
n n n
x y z
10) Cho x, y, z là 3 số dương. Chứng minh
3 2 4 3 5+ + ≥ + +x y z xy yz zx
11) Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a+b+c = 0. Chứng minh
8 8 8 2 2 2+ + ≥ + +
a b c a b c

12) Chứng minh với mọi số thực a, ta có:
2
4 4 8
3 3 2
− +
+ ≥
a a
13) Cho
, , 0x y z >
và thỏa
1x y z+ + =
. Chứng minh rằng
18
2
xyz
xy yz zx
xyz
+ + >
+
14) Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh
2 2 2 2
5 5 5 5 3 3 3 3
1 1 1 1
+ + + ≥ + + +
a b c d
b c d a a b c d
15) Cho x, y, z tuỳ ý khác không. Chứng minh
2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
+ + ≥

+ +x y z x y z
16) Chứng minh với x, y là 2 số không âm tuỳ ý, ta luôn có:
3 3 2
3 17 18+ ≥x y xy
17) Chứng minh
( ) ( ) ( ) ( )
4
5 4 3 6
1
4
+ + − −
≤
+ + +
a b c d
a b c d
với
5, 4, 3, 6a b c d> − > − > >
18) Cho a, b, c > 0. Chứng minh
( )
( )
2 2 2
1 1 1 3
2
 
+ + + + ≥ + +
 ÷
+ + +
 
a b c a b c
a b b c c a

19) Cho x, y, z > 0 Chứng minh
1 1 1 8
 
  
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
  
 
x y z
y z x
20) Chứng minh
2
2
3
2
2
x
x R
x
+
≥ ∀ ∈
+
21) Chứng minh
8
6 >1
1
x
x
x
+

≥ ∀
−
22) Cho n số
1 2
, , ,
n
a a a
không âm thoả
1 2
1+ + + =
n
a a a
. Chứng minh
1 2 1 3 1
1
. . .
2
−
−
+ + + ≤
n n
n
a a a a a a
23) Chứng minh
+
1
1 , 2
n
n n n
n

< + ∀ ∈ ≥¢
25