giáo trình đồ họa máy tính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.07 MB, 126 trang )
TRƯ
NG
Đ
I
H
C
ĐÀ
L
T
KHOA
CÔNG
NGH
THÔNG
TIN
ThS.
VÕ
PHƯƠNG
BÌNH
GIÁO
TRÌNH
Đ
H
A
MÁY
TÍNH
Dành
cho
sinh
viên
ngành:
Công
ngh
ph
n
m
m,
M
ng
và
truy
n
thông
Đà L
t,
2010
M
CL
C
M U
4
Chương 1 GI
I THI
U V H
A MÁY TÍNH
5
1.1
T
ng quan h
a máy tính
5
1.2
Các thành ph
n cơ b
n c
a h h
a máy tính
7
1.3 H
t
a th
gi
i th
c, h
t
a thi
t b
và h
t
a chu
n 7
Chương 2 CÁC THU
T TOÁN V I TƯ
NG H
A CƠ B
N
11
2.1 Thu
t toán v o
n th
n
g 11
2.1.1 Thu
t toán DDA (Digital DifferentialAnalyzer) 12
2.1.3 Thu
t toán MidPoint 17
2.2 Thu
t toán MidPoint v ư
ng tròn
23
2.3 Thu
t toán MidPoint v
Ellipse
27
2.4. ư
ng cong tham s
31
2.4.1. ư
ng cong Bezier
31
2.4.1.1. Thu
t toán de Casteljau 31
2.4.1.2. Thu
t toán Horner 34
2.4.2. ư
ng cong B-Spline
37
Bài t
p chương 2
42
Chương 3 TÔ MÀU
44
3.1
Gi
i thi
u v
màu s
c
44
3.2
Tô màu
ơn gi
n
44
3.3
Tô màu theo dòng quét (ScanConvert)
48
3.4
Tô màu theo v
t d
u loang (FloodFill)
52
Bài t
p chương 3
54
Chương 4 PHÉP BI
N I HAI CHI
U 55
4.1 Nh
c l
i các phép toán cơ s
v
i ma ma tr
n.
.
55
4.2 Phép t nh ti
n
56
4.3 Phép bi
n i t
l
57
4.4
Phép quay
57
4.5
Phép i x
ng
60
4.6 Phép bi
n d
ng
60
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
2
4.7
Phép bi
n i Affine ngư
c 61
4.8 H
t
a thu
n nh
t 62
4.9 K
t h
p các phép bi
n
i 63
Bài t
p chương 4
64
Chương 5 GIAO CÁC I TƯ
NG H
A 66
5.1. M u
66
5.2. Giao c
a hai
o
n th
ng
67
5.3.
o
n th
ng và hình ch
nh
t
68
5.3.1 Tìm giao b
ng cách gi
i h
phương trình 69
5.3.2 Thu
t toán chia nh
phân 69
5.3.3 Thu
t toán Cohen-Sutherland 72
5.3.4 Thu
t toán Liang-Barsky 74
5.4. Giao c
a
o
n th
ng và
a giác l
i
77
5.5. Giao hai
a giác
80
5.6. K
thu
t Ray tracing
85
Chương 6 H
A BA CHI
U 91
6.1. Gi
i thi
u h
a 3 chi
u
91
6.2. Bi
u di
n i tư
ng 3 chi
u 92
6.3. Các phép bi
n i 3 chi
u
98
6.3.1. H
t
a bàn tay ph
i - bàn tay trái 98
6.3.2. Các phép bi
n i Affine cơ s
99
6.3.2.1 Phép quay quanh tr
c
x
99
6.3.2.2 Phép quay quanh tr
c
y
100
6.3.2.3
Phép quay quanh tr
c z 100
6.3.2.4
Phép quay quanh tr
c song song v
i tr
c t
a 101
6.3.2.5
Phép quay quanh tr
c b
t kỳ 103
PH L
C: THƯ VI
N H
A OpenGL
.107
TÀI LI
U THAM KH
O
120
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
3
M U
h
a máy tính là m
t trong nh
ng lĩnh v
c h
p d
n và phát tri
n nhanh c
a
Công ngh
Thông tin. Nó
ư
c ra i b
i s
k
t h
p c
a 2 lĩnh v
c thông tin và truy
n
hình,
và
ư
c
s d
ng
r
ng
rãi
trong
h
u
h
t
các ng
d
ng
như
khoa
h
c
và
công
ngh
,
y h
c,
giáo
d
c,
ki
n
trúc,
và
k
c
gi
i
trí. Ngày
nay,
nh
vào
s
ti
n
b
c
a
khoa
h
c k
thu
t
nên ph
n
c
ng
và giá
thành
c
a
máy
tính
càng lúc
càng
phù h
p,
các k
thu
t h
a
ư
c
ng d
ng trong th
c t
nhi
u nên ngày càng có nhi
u ngư
i
quan tâm nghiên c
u n lĩnh v
c này.
Tuy nhiên, vi
c d
y và h
c k
thu
t h
a mày tính thì không
ơn gi
n vì ch
này có nhi
u v
n ph
c t
p, liên quan n tin h
c và c
toán h
c. H
u h
t các gi
i
thu
t
v
,
tô
màu
cùng
các
phép
bi
n
hình u
ư
c
xây
d
ng
d
a trên
n
n
t
ng
c
a
hình h
c không gian hai chi
u và ba chi
u.
Giáo trình h
a máy tính này
ư
c xây d
ng d
a trên kinh nghi
m gi
ng d
y
ã
qua
và
d
a
trên
tài
li
u
tham
kh
o
chính
là
:
“Donald
Hearn,
M.
Pauline
Baker
;
Computer
Graphics
; Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey , 1986”.
Giáo
trình h
a
máy
tính
là
m
t
môn
h
c ư
c
gi
ng
d
y
cho
sinh
viên
chuyên ngành Công ngh
Thông tin v
i 45 ti
t lý thuy
t và 30 ti
t th
c t
p. N
i dung
c
a giáo trình này g
m có 3 v
n chính như sau :
•
Trình
bày
các
thu
t
toán
v
và
tô
các
ư
ng
cơ
b
n
như
ư
ng
th
ng,
a
giác,
ư
ng tròn, ellipse và các
ư
ng Bezier, B-Spline. Các thu
t toán này
giúp cho sinh viên có th
t
thi
t k v
và tô màu m
t mô hình h
a.
•
N
i
dung
th hai c
p n
các
phép
bi
n i
Affine,
tìm
giao
các i
tư
ng, tô màu c
a h
a hai chi
u.
•
N
i dung th
ba trình bày v
quan sát, hi
n th
và bi
n i Affine trên không
gian ba chi
u.
Trong
quá
trình
biên
so
n
ch
c
không
tránh
kh
i
thi
u
sót,
tôi
xin
trân
tr
ng
nh
n
ư
c
s
góp
ý
c
a
các
quý ng
nghi
p
và
sinh
viên giáo
trình
ngày
càng
ư
c hoàn thi
n hơn.
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
4
Ch
ươ
ng
1
GI
I
THI
U
V H
A
MÁY
TÍNH
N
i
dung
chính
T
ng quan v h
a máy tính.
Các
ng d
ng c
a h
a máy tính.
Các thành ph
n cơ b
n c
a h h
a máy tính.
H
t
a th
c và h
t
a h
a.
1.1
T
ng
quan h
a
máy
tính
h
a máy tính bao g
m t
t c
nh
ng gì liên quan n vi
c s
d
ng máy tính
phát sinh ra hình
nh. Các v
n liên quan n công vi
c này bao g
m: t
o, lưu tr
,
thao tác trên các mô hình và các
nh.
Ngày
nay,
h
u h
t
các chương
trình
so
n
th
o,
b
ng
tính s
d
ng h
a trong
giao
di
n
v
i
ngư
i dùng.
S
phát tri
n
c
a h
a
máy
tính
ngày
càng r
ng rãi v
i
các ch h
a hai chi
u (2D) và 3 chi
u (3D), và cao hơn, nó ph
c v
trong các
lĩnh v
c xã h
i h
c khác nhau như khoa h
c, giáo d
c, y h
c, k
thu
t, thương m
i và
gi
i trí. Tính h
p d
n và
a d
ng c
a h
a máy tính có th ư
c minh h
a r
t tr
c
quan thông qua vi
c kh
o sát các
ng d
ng c
a nó.
h
a máy tính
ư
c s
d
ng r
t r
ng rãi vì có n 80% các
ng d
ng liên quan
n
hình
nh
và
ư
c ng
d
ng
trong
nhi
u
lĩnh
v
c
khác
nhau
như
công
nghi
p,
thương m
i, qu
n lý, giáo d
c, gi
i trí, …v.v. S
lư
ng các chương trình h
a
ng
d
ng r
t l
n
và phát tri
n
liên
t
c. Sau
ây
là m
t s ng d
ng tiêu bi
u
c
a h
a
trong th
c t
:
•
H
tr
thi
t
k
-
CAD/CAM
(Computer-Aided
Design/
Computer-Aided
Manufacturing)
: Các h
th
ng thi
t k
và ch
t
o v
i s
tr
giúp c
a máy tính
ư
c
ng
d
ng
trong
các
lĩnh
v
c
như
phân
tích
thi
t
k
k
t
c
u
xây
d
ng,
công nghi
p
i
n t
, công nghi
p th
i trang, các ngành công nghi
p
ch
t
o
ôtô, máy bay, xe máy
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
5
•
th
và
b
n
(Graphs
and
Charts)
: ây là
ng d
ng ch
y
u trong lĩnh v
c
h
a minh h
a,
ng d
ng này cho phép hi
n th
các bi
u d li
u
cũng
như trong lĩnh v
c bi
u di
n và x
lý h
a. M
t trong s
nh
ng
ng d
ng
hi
n nay là h
th
ng thông tin a lí GIS (Geographical Information System).:
•
Gi
i
trí:
V
i s
h
tr h
a hi
n nay chúng ta có th
s
n xu
t nhi
u s
n ph
m
ph
c v
cho lĩnh v
c gi
i trí c bi
t là phim ho
t hình
và các trò chơi trên
máy tính. Nhi
u ph
n m
m và ngôn ng
l
p trình h
tr
ra i cho phép ta t
o
ra các hình
nh ng g
n v
i v
i cu
c s
ng th
c. Trong giáo trình này chúng
ta s
làm quen v
i công c
OpenGL.
•
ng
d
ng
mô
ph
ng
và
th
c
t
i
o
(Simulation
and
Virtual
Reality)
:
Bên c
nh
vi
c h
tr
thi
t k
ki
n trúc và trong s
n xu
t công nghi
p, h
a máy tính
còn có
ng d
ng r
t quan tr
ng trong mô ph
ng các công trình ki
n trúc, các
di
s
n
văn
hóa,
trong
gi
ng
d
y
các
môn
h
c. ng d
ng
th
c
t
i
o
là
m
c
cao hơn c
a mô ph
ng. Th
c t
i
o áp d
ng các k
thu
t h
ak
th
pv
i
các
thi
t
b
3D
t
o
ra
các
ng
d
ng
mô
ph
ng
gi
ng
như
th
c
nhưng
ư
c
th
c hi
n trên
máy tính như lái máy bay,
b
n súng
trong
quân s
, gi
i ph
u
trong y khoa, ….
•
X
lý
nh
(Image
Processing)
: Các kĩ thu
t x
lý
và thay i m
t b
c
nh
có
s
n
và
ư
c
áp
d
ng
trong
nhi
u
lĩnh
v
c
c
a i
s
ng.
Ví
d
ta có
th
s
d
ng ph
n m
m khôi ph
c m
t b
c
nh, phân tích các b
c
nh
ư
c ch
p
t
v
tinh
•
K
ĩ
thu
t
nh
n
d
ng
(Pattern
Recognition)
: ây là m
t lĩnh v
c c
a kĩ thu
t x
lí
nh, các chuyên gia s
xây d
ng m
t thư vi
n
nh g
c b
ng cách áp d
ng
các thu
t toán phân tích và ch
n l
c t
nh
ng
nh m
u có s
n. D
a trên thư
vi
n
ó các chuyên gia có th
phân tích và t
h
p
nh
•
Giao
di
n
h
a
ng
ư
i
dùng
(Graphical
User
Interface-GUI)
: R
t nhi
u ph
n
m
m
ng
d
ng
ngày
nay
cung
c
p
GUI
cho ngư
i
dùng.
Thành
ph
n
chính
c
a m
t giao di
n h
a
ó là chương trình qu
n lí c
a s
cho phép ngư
i s
d
ng hi
n th
nhi
u c
a s
ngư
i ta g
i
ó là các c
a s
hi
n th . Nh
có GUI
mà ngư
i s
d
ng có th
d
dàng thi
t k
giao di
n cho các chương trình
ng
d
ng.
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
6
1.2
Các
thành
ph
n
c
ơ
b
n
c
a
h h
a
máy
tính
phát tri
n h
th
ng h
a máy tính ta c
n ph
i trang b
c
ph
n c
ng l
n ph
n
m
m cũng như các
ng d
ng khác. Trong
ó, các thi
t b
ph
n c
ng là tùy thu
c vào
t
ng
ng d
ng h
a c
th
mà có th
c
n thi
t ho
c không c
n thi
t.
Ph
n
c
ng
•
Thi
t
b
thu
nh
n:
l
y
d li
u u
vào
cho ng
d
ng h
a
như
bàn
phím,
chu
t, máy quét, camera,
•
Thi
t b
hi
n th : hi
n th
hình
nh c
a
ng d
ng h
a như các lo
i màn hình
CRT, LCD, …
•
Thi
t b
tương
tác: làm giao ti
p trung gian gi
a ngư
i dùng
và các
ng d
ng
h
a th
c t
i
o, t
o c
m giác ngư
i dùng gi
ng như thao tác tr
c ti
p trong
môi trư
ng th
gi
i th
c như găng tay, kính 3D, …
Ph
n
m
m
Ph
n m
m h
a có th
phân thành 2 lo
i: các công c
l
p trình và các trình
ng
d
ng h
a ph
c v
cho m
t m
c
ích nào
ó. Các công c
l
p trình
cung
c
p
m
t
t
p
các
thư
vi
n h
a
có
th ư
c
dùng
trong
các
ngôn
ng
l
p
trình
c
p
cao
như
Pascal, C/C++/C#, Java, … hay th
m trí có c
m
t thư viên h
a có th
nhúng vào
các ngôn ng
l
p trình c
p b
t kỳ như OpenGL, DirectX. Các hàm cơ s
c
a nó bao
g
m vi
c t
o các i tư
ng cơ s
c
a hính
nh như
o
n th
ng,
a giác,
ư
ng tròn, …
thay i màu s
c, ch
n khung nhìn, bi
n i affine, …
phát tri
n các
ng d
ng h
a máy tính c
n có các lo
i ph
n m
m sau:
•
T
o mô hình: 3DS Max, Maya, …
•
L
p trình, phát tri
n
ng d
ng: OpenGL, DirectX, …
1.3
H
t
a th
gi
i
th
c,
h
t
a thi
t
b
và
h
t
a chu
n
M
th
h
a bao g
m 3 mi
n như sau:
•
Mi
n
i
u khi
n : bao b
c toàn b
h
th
ng.
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
7
•
Mi
n
th
c
:
n
m
trong
mi
n
i
u
khi
n.
Khi
m
t
giá
tr
n
m
trong
mi
n
th
c, nó s ư
c chuy
n thành s
th
c d
u ph
y ng, và khi có m
t s
r
i
kh
i mi
n này thì nó s ư
c chuy
n thành s
nguyên.
•
Mi
n hi
n th
: n
m trong mi
n
i
u khi
n nhưng phân bi
t v
i mi
n th
c.
Ch
có giá tr
s
nguyên m
i n
m trong mi
n hi
n th .
Trong lĩnh v
c k
thu
t h
a,
chúng ta ph
i hi
u
ư
c r
ng
th
c ch
t c
a
h
a là làm th
nào có th
mô t
và bi
n i
ư
c các i tư
ng trong th
gi
i th
c
trên máy
tính.
Các i tư
ng
trong th
gi
i th
c
ư
c mô
t
b
ng t
a trong
mi
n
th
c. Trong khi
ó, h
t
a thi
t b
l
i s
d
ng h
t
a nguyên hi
n th
các hình
nh. ây chính là v
n cơ b
n c
n gi
i quy
t. Ngoài ra, còn có m
t khó khăn khác
n
a là v
i các thi
t b
khác nhau thì có các c trưng v
thông s
k
thu
t khác nhau.
Do
ó, c
n có m
t phương pháp chuy
n i tương
ng gi
a các h
t
a và i tư
ng
có th
mô t
g
n
úng v
i hình
nh th
c bên ngoài.
Hai mô hình cơ b
n c
a
ng d
ng h
a là d
a trên m
u s
hóa và d
a trên c
trưng hình h
c. Trong
ng d
ng h
a d
a trên m
u s
hóa thì các i tư
ng h
a
ư
c
t
o
ra
b
i
lư
i
các
pixel
r
i
r
c.
Các
pixel
này
có
th ư
c
t
o
ra
b
ng
các
chương trình v
, máy quét, Các pixel này mô t
t
a xác nh v
trí và giá tr
m
u.
Thu
n l
i c
a
ng d
ng này là d
dàng thay i hình
nh b
ng cách thay i màu s
c
hay v
trí c
a các pixel, ho
c di chuy
n vùng
nh t
nơi này sang nơi khác. Tuy nhiên,
i
u b
t l
i là không th
xem xét i tư
ng t
các góc nhìn khác nhau.
ng d
ng h
a d
a trên c trưng hình h
c bao g
m các i tư
ng h
a cơ
s
như
o
n th
ng,
a giác, v.v. Chúng
ư
c lưu tr
b
ng các mô hình và các thu
c
tính.
Ch
ng h
n,
o
n th
ng
ư
c mô hình b
ng
hai
i
m u và cu
i,
có thu
c tính
như màu s
c, dày. Ngư
i s
d
ng không thao tác tr
c ti
p trên các pixel mà thao
tác trên các thành ph
n hình h
c c
a i tư
ng.
H
t
a th
gi
i
th
c
H
t
a th
c thư
ng
ư
c dùng mô t
các i tư
ng trong th
gi
i th
c là
h
t
a Descartes. Trong h
t
a này, m
i
i
m
P
ư
c bi
u di
n b
i m
t c
p t
a
(
x
p
,
y
p
) v
i
x
p
,
y
p
∈
R
(xem hình 1.1).
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
8
Hình
1.1
H
t
a
th
c
Trong
ó :
•
O
x
: tr
c hoành.
•
O
y
: tr
c tung.
•
x
p
: hoành i
m
P
.
•
y
p
: tung i
m
P
.
H
t
a thi
t
b
H
t
a thi
t b ư
c dùng cho m
t thi
t b
xu
t c
th
nào
ó, ví d
như máy
in, màn hình, v.v. Trong h
t
a thi
t b
thì các
i
m cũng
ư
c mô t
b
i c
p t
a
(
x,y
). Tuy nhiên, khác v
i h
t
a th
c là
x,
y
∈
. i
u này có nghĩa là các
i
m
trong h
t
a th
c
ư
c nh nghĩa liên t
c, còn các
i
m trong h
t
a thi
t b
là
r
i r
c. Ngoài ra, các t
a
x,
y
c
a h
t
a thi
t b
ch
bi
u di
n
ư
c trong
m
t
gi
i h
n nào
ó c
a .
Ví d
: phân gi
i c
a màn hình trong ch h
a là 640x480. Khi
ó,
x
∈
(0,640) và
y
∈
(0, 480) (xem hình 1.2).
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
9
H
t
a
màn
hình
H
t
a thi
t
b
chu
n
Do cách nh nghĩa các h
t
a thi
t b
khác nhau nên hình
nh hi
n th
chính
xác trên thi
t b
này thì chưa ch
c hi
n th
chính xác trên thí
t b
khác. Ngư
i ta xây
d
ng m
t h
t
a thi
t b
chu
n i di
n chung cho t
t c
các thi
t b có th
mô t
các hình
nh mà không ph
thu
c vào b
t kỳ thi
t b
nào.
Trong h
t
a chu
n, các t
a
x,
y
s ư
c gán các giá tr
trong
o
n t
[0,1].
Như v
y, vùng không gian c
a h
t
a chu
n chính là hình vuông
ơn v
có góc trái
dư
i (0, 0) và góc ph
i trên là (1, 1).
Quy trình hi
n th
các i tư
ng th
c như sau (xem hình 1.3):
Hình
1.3
H
t
a
thi
t
b
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
10
Ch
ươ
ng
2
CÁC
THU
T
TOÁN
V I
T
Ư
NG H
A
C
Ơ
B
N
N
i
dung
chính
Các thu
t toán v o
n th
ng: DDA, Bresenham, MidPoint.
Thu
t toán MidPoint v ư
ng tròn, ellipse.
V ư
ng cong tham s
Bezier, B-Spline.
2.1
Thu
t
toán
v o
n
th
ng
Hình
2.1:
Các
i
m
g
n
o
n
th
ng
th
c
Xét
o
n th
ng có h
s
góc
m
(0, 1] và ∆
x
> 0. V
i các
o
n th
ng d
ng này,
n
u
(
x
i
,
y
i
)
là
i
m
ã
ư
c
xác nh b
ư
c
th
i
thì
i
m
k
ti
p
(
x
i+
1
,
y
i
+1
) b
ư
c
th
i
+1 s
là m
t trong hai
i
m sau:
V
n t ra là ch
n
i
m v
như th
nào o
n th
ng
ư
c v
g
n v
i
o
n
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
11
th
ng th
c nh
t và t
i ưu hóa v
m
t t
c , th
i gian th
c.
2.1.1
Thu
t
toán
DDA
(Digital
DifferentialAnalyzer)
DDA (hay còn g
i là thu
t toán s
gia) là thu
t toán v o
n th
ng xác nh các
i
m
d
a
vào
h
s
góc c
a
phương
trình
ư
ng
th
ng
y
=
m.x
+
b
.
Trong
ó,
m
=
∆
y
/
∆
x
,
∆
y
=
y
i+
1
-
y
i
,
∆
x
=
x
i+
1
-
x
i
.
Nh
n
th
y
trong
hình
v
2.1
thì
t
a c
a
i
m
x
s
tăng 1
ơn v
trên m
i
i
m v
, còn vi
c quy
t nh ch
n
y
i
là
y
i
+ 1 hay
y
i
s
ph
thu
c vào giá tr
sau khi làm tròn c
a tung
y
.
Tuy nhiên, n
u tính tr
c ti
p giá tr
th
c c
a y m
i bư
c t
phương trình
y
=
m.x
+
b
thì c
n m
t phép toán nhân và m
t
phép toán c
ng s
th
c:
y
i+
1
=
m.x
i+
1
+
b
=
m
(
x
i
+
1)
+
b
=
m
.
x
i
+
b
+
m
t
i ưu t
c , ngư
i ta kh
phép nhân trên s
th
c.
Ta có :
y
i
=
m.x
i
+
b
⇒
y
i+1
=
y
i
+
m
•
Tóm l
i, khi 0 <
m
≤
1thì:
x
i+
1
=
x
i
+
1
y
i+
1
=
y
i
+
m
•
Trư
ng h
p
m
> 1: ch
n bư
c tăng trên tr
c
y
m
t
ơn v .
x
i+1
=
x
i
+
y
i+
1
=
y
i
+
1
Hai trư
ng h
p này dùng v
m
t
i
mb
t u t
bên trái n
i
m cu
i cùng
bên ph
i c
a
ư
ng th
ng (xem hình 2.2). N
u
i
m b
t u t
bên ph
i n
i
m cu
i
cùng bên trái thì xét ngư
c l
i :
•
0
<
m
≤
1:
x
i+
1
=
x
i
–
1
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
12
y
i+
1
:=
y
i
-
m
•
m
>
1:
x
i+
1
=
x
i
–
y
i+
1
=
y
i
–
1
Hình
2.2
:
Hai
tr
ư
ng
h
p
m
>1
và
0
<
m
< 1
Cài t
minh
h
a
thu
t
toán
DDA
void
DDALine(int
x0,
int
y0,
int
x1,
int
y1)
{
int
x;
float
dx,
dy,
y,
m;
dx:=
x1
–
x0;
dy:=
y1
–
y0;
m:=
dy/dx;
y
=
y0;
for
(x=x0;
x
<=
x1;
x++)
{
glVertex2i(x,
Round(y));
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
13
y
=
y+m
}
}
Tương t
, ta có th
tính toán các
i
m v
cho trư
ng h
p
m
< 0, |
m
|
≤
1 ho
c |
m
| > 1.
2.1.2
Thu
t
toán
Bresenham
Hình
2.3
:
Thu
t
toán
Bresenham
v
o
n
th
ng
có
0
≤
m
≤
1.
G
i
(
x
i
+
1
,
y
i +1
)
là
i
m
thu
c
o
n
th
ng
(xem
hình
2.3).
Ta
có
y
=
m
(
x
i
+
1)
+
b.
t
d
1
=
y
i +1
-
y
i
;
d
2
=
(
y
i
+
1)
-
y
i +1
Vi
c
ch
n
i
m
(
x
i +1
,
y
i
+1
)
là
P
1
hay
P
2
ph
thu
c
vào
vi
c
so
sánh
d
1
và
d
2
hay
d
u
c
a
d
1
-
d
2
:
•
N
u
d
1
-
d
2
<
0
:
ch
n
i
m
P
1
,
t
c
là
y
i +1
=
y
i
•
N
u
d
1
-
d
2
≥
0
:
ch
n
i
m
P
2
,
t
c
là
y
i +1
=
y
i
+1
Xét
P
i
=
∆
x
(
d
1
-
d
2
)
Ta
có
:
d
1
-
d
2
=
2
y
i+1
-
2
y
i
-
1
=
2
m
(
x
i
+1)
+
2b
-
2
y
i
-
1
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
14
⇒
P
i
=
∆
x
(
d
1
-
d
2
)
=
∆
x
[2
m
(
x
i
+1)
+
2
b
-
2
y
i
-
1]
=
∆
x
[2(
∆
y
/
∆
x
)(
x
i
+1)
+
2
b
-
2
y
i
-
1]
=
2
∆
y
(
x
i
+1)
-
2
∆
x
.
y
i
+
∆
x
(2
b
-
1)
=
2
∆
y
.
x
i
-
2
∆
x
.
y
i
+
2
∆
y
+
∆
x
(2.
b
-
1)
V
y
C =
2∆
y
+ ∆
x
(2
b
- 1) = Const
(h
ng s
)
⇒
P
i
=
2
∆
y
.
x
i
-
2
∆
x
.
y
i
+
C
Nh
n
xét
r
ng
n
u
t
i
b
ư
c
th
i
ta
xác nh
ư
c
d
u
c
a
P
i
thì
xem
nh
ư
ta
xác
nh
ư
c
i
m c
n ch
n bư
c (
i
+
1). Ta có :
P
i +1
-
P
i
=
(2
∆
y.x
i+1
–
2
∆
x.y
i+1
+
C)
-
(2
∆
y.x
i
-
2
∆
x.y
i
+
C
)
⇔
P
i +1
=
P
i
+
2
∆
y
–
2
∆
x
(
y
i+1
-
y
i
)
-
N
u
P
i
<
0
:
ch
n
i
m
P
1
,
t
c
là
y
i +1
=
y
i
và
P
i +1
=
P
i
+
2
∆
y
.
-
N
u
P
i
≥
0
:
ch
n
i
m
P
2
,
t
c
là
y
i +1
=
y
i
+1
và
P
i +1
=
P
i
+
2
∆
y
–
2
∆
x
-
Giá
tr
P
0
ư
c
tính
t i
mv
u
tiên
(
x
0
,
y
0
)
theo
công
th
c
:
P
0
=
2
∆
y.x
0
–
2
∆
x.y
0
+
C
Do
(
x
0
,
y
0
)
là
i
m
nguyên
thu
c
v o
n
th
ng
nên
ta
có
:
y
0
=
2
m.x
0
+
b
=
x
0
+
b
Th
vào phương trình trên ta
ư
c :
P
0
=
2
∆
y
–
∆
x
Cài t
minh
h
a
thu
t
toán
Bresenham
void
Bresenham_Line
(int
x1,int
y1,int
x2,int
y2)
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
15
{
int
dx,
dy,
x,
y,
P,
incre1,
incre2;
dx
=
x2
-
x1;
dy
=
y2
-
y1;
P
=
2*dy
-
dx;
incre1
=
2*dy
;
incre2
=
2*(dy
-
dx)
;
x=
x1;
y=y1;
glVertex2i(x,
y);
while
(x
<
x2
)
{
x
=
x
+1
;
if
(P
<
0)
P
=
P
+
incre1
else
{
y
=
y+1
;
P
=
P
+
incre2
}
glVertex2i(x,
y);
}
}
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
16
Nh
n
xét
- Thu
t
toán
Bresenham
ch
thao
tác
trên
s
nguyên
và
ch
tính
toán
trên
phép
c
ng và phép nhân 2. i
u này là m
t c
i ti
n làm tăng t
c áng k
so v
i
thu
t toán DDA.
- Ý
tư
ng
chính
c
a
thu
t
toán
này
là ch
xét
d
u
Pi quy
t nh
i
m
k
ti
p,
và
s
d
ng
công
th
c
truy
h
i
P
i +1
-
P
i
tính
P
i
b
ng
các
phép
toán
ơ
n
gi
n trên s
nguyên.
- Tuy
nhiên,
vi
c
xây
d
ng
trư
ng
h
p
t
ng
quát
cho
thu
t
toán
Bresenham
có
ph
c t
p hơn thu
t toán DDA.
2.1.3
Thu
t
toán
MidPoint
Pitteway công b
thu
t toán MidPoint vào 1967, Van Aken c
i ti
n 1984. Xét h
s
góc thu
c [0, 1]. Gi
thi
t r
ng
ã ch
n
P
v
, xác nh pixel ti
p theo s
là t
i
N
hay
NE
(xem
hình
2.4).
Giao
c
a
ư
ng
th
ng
v
i
X
p
+1
t
i
Q,
M
là
trung
i
m
c
a
NE
và
E
.
Hình
2.4:
Thu
t
toán
MidPoint
v
o
n
th
ng
Ý
tư
ng
c
a
thu
t
toán
MidPoint
là
xét
i
m
M
xem
n
m
phía
nào
c
a
ư
ng
th
ng, n
u M n
m phía trên
ư
ng th
ng thì ch
n
E
(t
c là
ư
ng th
ng g
n v
i E hơn
NE
), ngư
c l
i ch
n
NE
. Vì v
y, ta c
n xác nh v
trí tương i c
a M so v
i
ư
ng
th
ng ch
a
o
n th
ng c
n v
.
•
Phân tích thu
t toán v o
n th
ng d
a trên phương trình d
ng t
ng quát c
a
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
17
ư
ng th
ng ch
a
o
n th
ng:
F(x,
y)=
a.x
+
b.y
+
c
Ta
có:
Suy
ra
d
ng
t
ng
quát: .
Hay
tương ương:
.
T ó, ta có các h
s
c
a phương trình d
ng t
ng quát là :
a
=
dy,
b
=
-
dx,
c
=
B.dx
•
Giá tr
hàm t
i
M
:
F(M)=F
(
x
p
+
1
,
y
p
+
) =
d
o
N
u
d
>
0,
M
n
m
d
ư
i
ư
ng
th
ng
thì
ch
n
NE
.
o
N
u
d
<
0,
M
n
m
phía
trên
thì
ch
n
E
.
o
N
u
d
=
0,
ch
n
E
hay
NE
tùy
ý.
•
Giá tr
c
a hàm t
i M c
a c
a
i
m ti
p theo s
v
o
G
i
giá
tr
d
v
a
tính
là:
o
Gi
s
v
a
ch
n
E:
là s
gia c
a
i
m ti
p theo.
o
Gi
s
v
a
ch
n
NE:
là
s gia
c
a
i
m ti
p theo.
Tính
giá
tr
kh
i u
c
a
d
t
i
các
trung
i
m
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
18
o
Gi
s
v o
n
th
ng
t
(x
0
,
y
0
)
n
(x
1
,
y
1
)
,
t ó
trung
i
m
th
nh
t
có
t
a (
x
0
+
1
,
y
0
+
).
Suy
ra:
o
F(x
0
,
y
0
)
=
0
d
start
=
a
+
=
dy
–
o
Tránh
s
th
p
phân
c
a
d
start
, nh
ngh
ĩ
a
l
i
hàm
nh
ư
sau:
F(x,
y)=2(a.x
+
b.y
+
c)
o
Do
v
y,
ta
có:
d
start
=
2dy
-
dx;
E
=
2dy;
NE
=
2(dy
-
dx)
Cài t
minh
h
a
thu
t
toán
MidPoint
void
MidPoint_Line(int
x0,
int
y0,
int
x1,
int
y1,
int
color)
{
int
dx,
dy,
x,
y,
d,
incrE,
incrNE
;
dx
=
x1
–
x0;
dy
=
y1
–
y0;
d
=
2*dy
-
dx;
incrE
=
2*dy;
incrNE
=
2*(dy
-
dx);
x
=
x0;
y
=y0;
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
19
glVertex2i(x,
y);
while
(x<x1)
{
if
(d<=0)
{
//ch
n
E
d:=
d+incrE;
x
=
x+1
}
else
{
//ch
n
NE
d
=
d+incrNE;
x
=x+1;
y
=y+1
}
glVertex2i(x,
y);
}
}
Nh
n
xét
•
Các
thu
t
DDA,
MidPoint
trình
bày
xây
d
ng
thu
t
toán
v o
n
th
ng
trong
trư
ng h
p h
s
góc thu
c
o
n [0, 1]. Các trư
ng h
p còn l
i phân tích tương
t i v
i t
ng thu
t toán.
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
20
•
Có
m
t
tính
ch
t i x
ng
có
th
áp
d
ng v o
n
th
ng
trong
các
trư
ng
h
p h
s
góc không thu
c [0, 1] mà không ph
thu
c vào thu
t toán. i
u này
có
nghĩa
là
ta
s
l
y i
x
ng
các
o
n
th
ng
này
v
trư
ng
h
p
thu
c
o
n
[0,1], tính toán xong m
i t
a (
x,
y
) ta l
i l
y i x
ng tr
l
i r
i v
.
•
Sau
ây là chương trình cài t thu
t toán DDA t
ng quát cho t
t c
các trư
ng
h
p theo phương pháp l
y i x
ng :
void
LineDDA_DX(int
x1,
int
y1,
int
x2,
int
y2)
{
if
(x2
<
x1)
{
int
t
=
x2;
x2
=
x1;
x1
=
t;
t
=
y2;
y2
=
y1;
y1
=
t;
}
double
m;
int
dx
=
x2
-
x1;
int
dy
=
y2
-
y1;
m
=
(double)dy
/
(double)dx;
int
d;
if
(m
>
1)
{
d
=
1;
int
temp
=
x1;
x1
=
y1;
y1
=
temp;
temp
=
x2;
x2
=
y2;
y2
=
temp;
dy
=
y2
-
y1;
dx
=
x2
-
x1;
m
=
(double)dy
/
(double)dx;
}
else
if
(m
>
0)
{
d
=
2;
}
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
21
else
if
(m
>
-1)
{
d
=
3;
y1
=
-y1;
y2
=
-y2;
dy
=
y2
-
y1;
dx
=
x2
-
x1;
m
=
(double)dy
/
(double)dx;
}
else
{
d
=
4;
int
temp2
=
x1;
x1
=
-y1;
y1
=
temp2;
temp2
=
x2;
x2
=
-y2;
y2
=
temp2;
dy
=
y2
-
y1;
dx
=
x2
-
x1;
m
=
(double)dy
/
(double)dx;
}
int
x;
double
y;
y
=
y1;
for
(x
=
x1;
x
<=
x2;
x++)
{
if
(d
==
1)
{
glVertex2i(Round(y),
x);
}
else
if
(d
==
2)
{
glVertex2i(x,
Round(y));
}
else
if
(d
==
3)
{
glVertex2i(x,
-Round(y));
}
else
//
d==4
{
glVertex2i(Round(y),
-x);
}
y
+=
m;
Giáo
trình H
a
Máy
Tính
22
}
}
2.2
Thu
t
toán
MidPoint
v
ư
ng
tròn
Trong h
t
a Descartes, phương trình
ư
ng tròn bán kính R có d
ng:
•
V
i tâm O(0,0) :
x
2
+
y
2
=
R
2
•
V
i
tâm
C(
x
c
,
y
c
):
(
x
-
x
c
)
2
+
(
y
-
y
c
)
2
=
R
2
Trong h
t
a c
c:
•
x
=
x
c
+
R
.cos
θ
•
y
=
y
c
+
Y
.sin
θ
v
i θ
∈
[0, 2π].
