boi duong hs gioi

Ngày soạn:
Ngày dạy:
Chuyờn 1 : PHN TCH A THC THNH NHN T
Cỏc vớ d v phng phỏp gii
(thời gian thực hiện khoảng 90 phút)
I.M ục tiêu
1.Kiến thức: Củng cố và nâng cao các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
2.kĩ năng: Phân tích thành thạo các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử.
3.Thái độ: nghiêm túc ôn luyện.
II.Chuẩn bị
Gv: Su tầm các STK.
HS: ôn lại phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8
III.Nội dung:
Vớ d 1: Phõn tớch a thc thnh nhõn t
a.
( ) ( )
11
22
++
axxa
b.
nn
xxx
+
+
3
1
.
Gii:
a. Dựng phng phỏp t nhõn t chung
( ) ( )

11
22
++
axxa
=
xxaaax
+
22
( ) ( ) ( )( )
1
==
axaxaxaxax
b. Dựng phng phỏp t nhõn t chung ri s dng hng ng thc
nn
xxx
+
+
3
1
.
( )
( )
11
3
+=
xxx
n
( )
( )
( ) ( )

( )
[ ]
( )
( )
11
111111
12
22
+++=
+++=+++=
++
nnn
nn
xxxx
xxxxxxxxx
Vớ d 2: Phõn tớch a thc thnh nhõn t :
a. x
8
+ 3x
4
+ 4.
b. x
6
- x
4
- 2x
3
+ 2x
2
.

Gii:
a.Dựng phng phỏp tỏch hng t ri s dng hng ng thc
x
8
+ 3x
4
+ 4 = (x
8
+ 4x
4
+ 4)- x
4
= (x
4
+ 2)
2
- (x
2
)
2

= (x
4
- x
2
+ 2)(x
4
+ x
2
+ 2)

b.Dựng phng phỏp t nhõn t chung ,tỏch hng t ,nhúm thớch hp s dng hng ng
thc
x
6
- x
4
- 2x
3
+ 2x
2
= x
2
(x
4
- x
2
- 2x +2)
1
( ) ( )
[ ]
( )
( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
221
11111
1212

2
2
2
22
2
2
2
22
2242
++−=
++−=−+−=
+−++−=
xxxx
xxxxxx
xxxxx
Ví dụ 3:
Phân tích đa thức thành nhân tử :
a.
abcbccbaccaabba 42442
222222
−+−+−+
b.
200720062007
24
+++
xxx
Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi nhóm thích hợp:
abcbccbaccaabba 42442
222222

−+−+−+

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( )( )( )
cacbba
cbccbababccacabba
babcbacbaacbaab
abcbccbacabccaabba
abcbccbaccaabba
−−+=
−−−+=−+−+=
+−+++−+=
=−+−+−−+=
−+−+−+
22
222222
222222
224242
42442
2
2
222222
222222
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
20072062007
24

+++
xxx
( )
( )
( ) ( )
( )( )
20071
1200711
200720072007
22
22
24
+−++=
+++++−=
+++−=
xxxx
xxxxxx
xxxx
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a.
abccba 3
333
−++
b.
( )
333
3
cbacba
−−−++
.
Giải: Sử dụng các hằng đẳng thức

( )
( )
abbababa
−++=+
2233
( ) ( )
[ ]
abbaba 3
2
−++=
( ) ( )
baabba
+−+=
3
3
.Do đó:
2
=−++ abccba 3
333
( )
[ ]
( )
abcbaabcba 33
3
3
−+−++=
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( )

( )
cabcabcbacba
cbaabccbabacba
−−−++++=
++−++−+++=
222
2
2
3
b.
( ) ( )
[ ]
( )
3
3
3
333
3
cbacbacbacba
+−−++=−−−++
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
( )
( )( )( )
bacacbcabcabacb
cbcbcbacbaacbacb
+++=++++=

+−+−+++++++=
33333
2
222
2
Ví dụ 5: Cho a + b + c = 0.
Chứng minh rằng :a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc.
Giải: Vì a + b + c = 0
( ) ( )
abccbaabccba
cbaabbacba
303
3
333333
3333
3
=++⇒=−++⇒
−=+++⇒−=+⇒
Ví dụ 6: Cho 4a
2
+ b
2
= 5ab, và 2a > b > 0. Tính
22

4 ba
ab
P
−
=
Giải: Biến đổi 4a
2
+ b
2
= 5ab
⇔
4a
2
+ b
2
- 5ab = 0
⇔
( 4a - b)(a - b) = 0
⇔
a = b.
Do đó
3
1
34
2
2
22
==
−
=

a
a
ba
ab
P
Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu:
1;0 =++=++
c
z
b
y
a
x
z
c
y
b
x
a
thì
1;
2
2
2
2
2
2
=++
c
z

b
y
a
x
Giải:
000
=++⇒=
++
⇒=++
cxybxzayz
xyz
cxybxzayz
z
c
y
b
x
a
1
1.2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2

2
2
2
2
=++⇒
=
++
+++=






++⇒=++
c
z
b
y
a
x
abc
cxybxzayz
c
z
b
y
a
x
c

z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
3
Bài tập vận dụng - Tự luyện
1. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a.
12
2
−−
xx
b.
158
2
++
xx
c.
166
2
−−
xx
d.

3
23
++−
xxx
2. Phân tích đa thức thành nhân tử :
( ) ( )
152
2
2
2
−−−−
xxxx
.
3. Phân tích đa thức thành nhân tử
1.(a - x)y
3
- (a - y)x
3
+ (x - y)a
3
.
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc.
3.x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2

+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz.
4. Tìm x,y thỏa mãn: x
2
+ 4y
2
+ z
2
= 2x + 12y - 4z - 14.
5. Cho a +| b + c + d = 0.
Chứng minh rằng a
3
+ b
3
+ c
3
+ d
3
= 3(c + d)( ab + cd).
6. Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì :
2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x

2
+ y
2
+ z
2
).
7. Chứng minh rằng với x,y nguyên thì :
A = y
4
+ (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
là số chính phương.
8. Biết a - b = 7. Tính giá trị của biểu thức sau:
( ) ( ) ( )
1311
22
+−−+−−+
baababbbaa
9. Cho x,y,z là 3 số thỏa mãn đồng thời:





=++
=++
=++
1
1
1
333

222
zyx
zyx
zyx
. Hãy tính giá trị biếu thức
P =
( ) ( ) ( )
1997917
111 −+−+− zyx
.
10.
a.Tính
2222222
10110099 4321 +−++−+−
.
b.Cho a + b + c = 9 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 53.
Tính ab + bc + ca.
11.Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện
x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0.
4
Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1)
2005
+ (y - 1)
2006

+ (z+1)
2007
12.Cho 3 số a,b,c thỏa điều kiện :
cbacba ++
=++
1111
.
Tính Q = (a
25
+ b
25
)(b
3
+ c
3
)(c
2008
- a
2008
).
==========o0o==========
HƯỚNG DẪN:
1. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a.
( )( )
3412
2
+−=−−
xxxx
b.

( )( )
53158
2
++=++
xxxx
c.
( )( )
82166
2
−+=−−
xxxx
d.
( )
( )
3213
223
+−+=++−
xxxxxx
2. Phân tích đa thức thành nhân tử :
( ) ( ) ( )( )
35152
222
2
2
+−−−=−−−−
xxxxxxxx
.
3. Phân tích đa thức thành nhân tử
1.(a - x)y
3

- (a - y)x
3
+ (x-y)a
3
( )( )( )( )
ayxayaxyx
++−−−=
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc
( )( )( )
accbba
+++=
3.x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz
( )( )( )
xzzyyx
+++
4. x
2
+ 4y

2
+ z
2
= 2x + 12y - 4z - 14
( ) ( ) ( )
222
2|321
−+−+−⇔
zyx
5. Từ a + b + c + d = 0
( ) ( )
33
dcba +−=+⇒
Biến đổi tiếp ta được :a
3
+ b
3
+ c
3
+ d
3
=
3(c + d)( ab + cd).
5
6. Nếu x + y + z = 0 thì :
( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )

( )
( )
( )
( )
222
222555
222555
222222333
333
2
*;622
3
3
3
zyxxyzzxyzxyxyz
zyxxyzzxyzxyxyzzyx
zyxxyzzxyzxyxyzzyx
zyxxyzzyxzyx
xyzzyx
++=++−
++=++−++⇔
++=++−++⇔
++=++++
⇒=++
Nhưng:
( ) ( )
222
2
20 zyxzxyzxyxyzzyx
++=++−⇒=++

(**)
Thay (**) vào (*) ta được:
2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
).
7. Với x,y nguyên thì :
A = y
4
+ (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
( )
2
22
55 yxyx ++=

8. Biến đổi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11311
2
22
+−−=+−−+−−+

bababaababbbaa
9. Từ



=++
=++
1
1
333
zyx
zyx
( ) ( )( )( )
xzzyyxzyxzyx
+++=−−−++⇒
3
333
3





=+
=+
=+
0
0
0
xz

zy
yx

2
−=⇒
P
10.
a. Sử dụng hằng đẳng thức a
2
- b
2
; S -=5151
b. Sử dụng hằng đẳng thức (a + b + c)
2
; P = 14
11. Từ giả thiết suy ra: x
2
+ y
2
+ z
2
= 0 suy ra : x = y = z = 0;S = 0

12. Từ:
cbacba ++
=++
1111
. : (a + b)(b + c)(c + a) = 0
Tính được Q = 0
==========o0o==========

6
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Chuyờn 2 : TNH CHT CHIA HT TRONG N
Mt s du hiu chia ht Vớ d
(thời gian thực hiện khoảng 90 phút)
I.M ục tiêu
1.Kiến thức: Củng cố và nâng cao tính chia hết trong N
2.kĩ năng: Thành thạo các dạng toán sử dụng dấu hiệu chia hết trong N
3.Thái độ: nghiêm túc ôn luyện.
II.Chuẩn bị
Gv: Su tầm các STK.
HS: ôn lại tính chất chia hết từ lớp 6
III.Nội dung:
I.Mt s du hiu chia ht
1. Chia hết cho 2, 5, 4, 25 và 8; 125.

1 1 0 0 0
2 2 0;2;4;6;8.
n n
a a a a a a

=M M

1 1 0 0
5 0;5
n n
a a a a a

=

M
1 1 0
4
n n
a a a a

M
( hoặc 25)
1 0
4a a M
( hoặc 25)

1 1 0
8
n n
a a a a

M
( hoặc 125)
2 1 0
8a a a

M
( hoặc 125)
2. Chia hết cho 3; 9.

1 1 0
3
n n
a a a a

M
(hoặc 9)
0 1
3
n
a a a
+ + +
M
( hoặc 9)
Nhận xét: D trong phép chia N cho 3 ( hoặc 9) cũng chính là d trong phép chia tổng các chữ số
của N cho 3 ( hoặc 9).
3. Dấu hiệu chia hết cho 11 :
Cho
5 4 3 2 1 0
A a a a a a a=
( ) ( )
0 2 4 1 3 5
11 11A a a a a a a + + + + + +


M M
4.Dấu hiệu chia hết cho 101

5 4 3 2 1 0
A a a a a a a
=

( ) ( )
1 0 5 4 3 2 7 6

101 101A a a a a a a a a + + + +


M M
II.Vớ d
Ví dụ 1: Tìm các chữ số x, y để:
7
a)
134 4 45x yM
b)
1234 72xyM
Giải:
a) Để
134 4 45x yM
ta phải có
134 4x y
chia hết cho 9 và 5

y = 0 hoặc y = 5
Với y = 0 thì từ
134 40 9x M
ta phải có 1+3+5+x+4
9M
4 9 5x x
+ =
M

khi đó ta có số 13554
với x = 5 thì từ :
134 4 9x yM

ta phải có 1+3+5+x+4 +5
9M
9 0; 9x x x = =M
lúc đóta có 2 số: 135045; 135945.
b) Ta có
1234 123400 72.1713 64 72 64 72xy xy xy xy= + = + + +M M

Vì
64 64 163xy
+
nên
64 xy+
bằng 72 hoặc 144.
+ Với
64 xy+
=72 thì
xy
=08, ta có số: 123408.
+ Với
64 xy+
=14 thì
xy
=80, ta có số 123480
Ví dụ 2 Tìm các chữ số x, y để
7 36 5 1375N x y
=
M
Giải:
Ta có: 1375 = 11.125.
( ) ( )

125 6 5 125 2
7 3625 11 5 6 2 3 7 12 11 1
N y y
N x x x x
=
= + + + + = =
M M
M M
Vậy số cần tìm là 713625
Ví dụ 3 a) Hỏi số
1991
1991 1991
1991 1991
so
A =
1 42 43
có chia hết cho 101 không?
b) Tìm n để
101
n
A M
Giải:
a) Ghép 2 chữ số liên tiếp nhau thì A
1991
có 2 cặp số là 91;19
Ta có: 1991.91-1991.19 = 1991. 72
M
101 nên
1991
101A M

b)
101 .91 .19 72 101 101
n
A n n n n = M M M
II. MT S NH L V PHẫP CHIA HT
A.Tóm tắt lý thuyết

8
1. Định lý về phép chia hết:
a) Định lý
Cho a, b là các số nguyên tuỳ ý,
0b

, khi đó có 2 số nguyên q, r duy nhất sao cho :
a bq r
= +
với
0 r b
, a là só bị chia, b là số chia, q là thơng số và r là số d.
Đặc biệt với r = 0 thì a = b.q Khi đó ta nói a chia hết cho b hay b là ớc của a, ký hiệu
a bM
.
Vậy
b) Tính chất
a) Nếu
a bM
và
b cM
thì
a cM

M
b) Nếu
a bM
và
b aM
thì a = b
c) Nếu
a bM
,
a cM
và (b,c) = 1 thì
a bcM
d) Nếu
ab cM
và (c,b) = 1 thì
a cM
2. Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích.
- Nếu



mb
ma
M
M
mba M+
- Nếu

mb
ma
M
M
mba M

- Nếu



mb
ma
M
M
a

.b
mM
- Nếu

maM
a
M
n
m (n là số tự nhiên)
3.M t s tớnh ch t khỏc:
Trong n s t nhiờn liờn ti p cú m t s chia h t cho n
Tớch n s t nhiờn liờn ti p chia h t cho n!
A
aM

A
bM
v (a;b) = 1
a.bA

M
B.Vớ d:
1. Ch ng minh r ng v i m i s nguyờn d ng n ta cú:
( )
2411
2
2
M+ nn
Gii:
9
a b M
có số nguyên q sao cho a = b.q
( )
( ) ( ) ( )
2
2
1 1 1 1 2 4! 24A n n n n n n

= + = + + =

M
Bi tp t luyn:
2. Chng minh rng
a.
4886

23
Mnnn ++
vi n chn
b.
384910
24
M+ nn
vi n l
3. Chng minh rng :
722
246
Mnnn
+
vi n nguyờn
4. CMR vi mi s nguyờn a biu thc sau:
a) a(a 1) (a +3)(a + 2) chia ht cho 6.
b) a(a + 2) (a 7)(a -5) chia ht cho 7.
c) (a
2
+ a + 1)
2
1 chia ht cho 24
d) n
3
+ 6n
2
+ 8n chia ht cho 48 (mi n chn)
5. CMR vi mi s t nhiờn n thỡ biu thc:
a) n(n + 1)(n +2) chia ht cho 6
b) 2n ( 2n + 2) chia ht cho 8.

*******************************
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Chuyên đề 3. Đồng d thức
(thời gian thực hiện khoảng 90 phút)
I.M ục tiêu
1.Kiến thức: Củng cố và nâng cao dạng toán đồng d thức
2.kĩ năng: Thành thạo các dạng toán sử dụng các tính chất của đồng d thức
3.Thái độ: nghiêm túc ôn luyện.
II.Chuẩn bị
Gv: Su tầm các STK.
HS: ôn lại tính chất đồng d thức đã đợc ôn trong đợt thi Giải toán bằng máy tính bỏ túi.
III.Nội dung:
I.Lớ thuyt ng d:
a) Định nghĩa : Cho số nguyên m > 0. Nếu 2 số nguyên a, b cho cùng số d khi chia cho m
thì ta nói a đồng d với b theo môđun m .
Kí hiệu :
(mod )a b m

b) Tính chất
a)
(mod ) (mod )a b m a c b c m

b)
(mod ) (mod )a b m na nb mM M
c)
(mod ) (mod )
n n
a b m a b m
10

d)
(mod ) (mod )a b m ac bc m
≡ ⇒ ≡
c) M t s h ng ộ ố ằ đ ng th c:ẳ ứ
•
m m
a b a b
− −
M
•
n n
a b a b
+ +
M
(n l )ẻ
•
( )
( )
n
a b B a b+ = +
II.Ví dụ:
1. Ch ng minh:ứ
9 99
2 2 200
+
M

Gi i:ả
2 + 2 = 2 = 512  112(mod 200) (1)
 2 = 2  112 (mod 200) .

112 = 12544  12 (mod 200)  112  12 (mod 200)
12 = 61917364224  24(mod 200) .
112  24.112(mod 200)  2688(mod 200)  88(mod 200)
 2  88(mod 200) (2)
Từ (1) và (2)  2 + 2 = 200(mod 200) hay
9 99
2 2 200
+
M

III,B à i tập tự luyện:
S d ng h ng ử ụ ằ đ ng th c vẳ ứ à đ ng dồ ư
1.
( )
72196519631961
196619641962
M
+++
2.
( )
191424
19171917
M
+
3.
( )
20022
999
M
+

4.
( )
183113
12345678 9
M
−
5.
( )
1980198219811979
19811979
M
+−
6.
( )
1203 333
10032
M++++
7.
( )
755552222
22225555
M+

Ngµy so¹n:
Ngµy d¹y:
Chuyªn ®Ò 4: QUY N P Ạ TOÁN HỌC
11
(thời gian thực hiện khoảng 60 phút)
I.M ục tiêu
1.Kiến thức: Củng cố và nâng cao dạng toán về quy nạp toán học

2.kĩ năng: Thành thạo các dạng toán về quy nạp toán học
3.Thái độ: nghiêm túc ôn luyện.
II.Chuẩn bị
Gv: Su tầm các STK.
HS: ôn lại toán quy nạp đã đợc ôn trong đợt thi Giải toán bằng máy tính bỏ túi.
III.Nội dung:
I.PHNG PHP CHNG MINH
B
1
: Kim tra mnh ỳng vi n = 1?
B
2
: Gi s Mnh ỳng vi n = k

1. Chng minh mnh ỳng vi n = k + 1
II.V D:
1. Chng minh rng vi mi s nguyờn dng n thỡ:
2 2 1
7 8 57
n n
+ +
+
M
Gii:

-Vi n = 1:A
1
= 7 + 8 = 855 57
- Gi s A
k

57 ngha l
2 2 1
7 8 57
n n
+ +
+
M

A
k+1
= 7 + 8 =7. 7 + 64.8 = 7(7 + 8 ) + 57.8 .
Vỡ 7 + 8 ( gi thit qui np) v 57.8
M
57
A
k+1
M
57
Vy theo nguyờn lớ qui np A = 7 + 8
M
57.
*Chỳ ý: Trong trng hp tng quỏt vi n l s nguyờn v n
n
0
. Thỡ ta kim tra mnh ỳng khi n = n
0
?
III.BI TP:
Chng minh : Vi n l s t nhiờn thỡ:
1.

( )
23225
1412
M
+++
++
nnn
2. 11 + 12
M
133
3.
( )
5985.265
122
M
++
++
nnn

4.
( )
532
1312
M
++
+
nn

5.
( )

1814242
22
M
++
+
n
n

12
13
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Chuyên đề 5.BT NG THC Cễ SI V CC H QU
(thời gian thực hiện khoảng 90 phút)
I.M ục tiêu
1.Kiến thức: Củng cố và nâng cao dạng toán áp dụng bất đẳng thức Côsi
2.kĩ năng: Thành thạo các dạng toán về chứng minh đẳng thức
3.Thái độ: nghiêm túc ôn luyện.
II.Chuẩn bị
Gv: Su tầm các STK.
HS: ôn lại Bất đẳng thức CôSi
III.Nội dung:
1. Chnh minh : (Vi a , b 0) (BT Cụ-si)
Gii:
( a b ) = a - 2ab + b 0 a + b 2ab .ng thc xy ra khi a = b
2. Chng minh: . (Vi a , b 0)
Gii:
( a+b ) = (a - 2ab + b )+ 4ab = (a-b) + 4ab 0 + 4ab ( a + b )
4ab .ng thc xy ra khi a = b.
3. Chng minh: (Vi a , b 0)

Gii:
2(a + b) ( a+b ) = a-2ab+b = (a-b) 0 2(a + b) ( a+b ). ng
thc xy ra khi a = b.
4. Chng minh: .(Vi a.b > 0)
Gii:
+ = .Do ab 2 .Hay + 2 . ng thc xy ra khi a = b
5. Chng minh: .(Vi a.b < 0)
Gii:
+ = - .Do 2 - -2. Hay + - 2. ng thc xy ra khi a =
-b.
6. Chng minh: . (Vi a , b > 0)
Gii:
14
+ - = =  0  +  . Đẳng thức xảy ra khi a = b.
7. Chứng minh rằng: .
Giải:
2(a +b +c) – 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a)  0
 2(a +b +c)  2(ab+bc+ca) .Hay a +b +c  ab+bc+ca . Đẳng thức
xảy ra khi a = b;b = c;c = a  a = b= c.
*ph¬ng ph¸p xÐt hiÖu 2 vÕ:
•
0A B A B
≥ ⇔ − ≥
• Cần lưu ý tính chất:
0
2
≥
A
• Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = 0
• Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với một số khác 0 thích hợp

B.Bài tập vận dụng:
Chứng minh các bất đẳng thức sau
1. a
2
+ 4b
2
+ 4c
2

≥
4ab - 4ac + 8bc
2.
( )
edcbaedcba
+++≥++++
22222
3.
( )( )( )( )
1106431
≥+−−−−
xxxx
4. a
2
+ 4b
2
+ 3c
2
> 2a + 12b + 6c – 14
5. 10a
2

+ 5b
2
+12ab + 4a - 6b + 13
≥
0
6. a
2
+ 9b
2
+ c
2
+
2
19
> 2a + 12b + 4c
7. a
2
– 4ab + 5b
2
– 2b + 5
≥
4
8. x
2
– xy + y
2

≥
0
9. x

2
+ xy + y
2
-3x – 3y + 3
≥
0
10. x
2
+ xy + y
2
-5x - 4y + 7
≥
0
11. x
4
+ x
3
y + xy
3
+y
4

≥
0
12. x
5
+ x
4
y + xy
4

+y
5

≥
0 với x + y
≥
0
13. a
4
+ b
4
+c
4

≥
a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
14. (a
2
+ b

2
).(a
2
+ 1)
≥
4a
2
b
15
15. ac +bd
≥
bc + ad với ( a
≥
b ; c
≥
d )
16.
2
22
22






+
≥
+
baba

17.
2
222
33






++
≥
++
cbacba
18.
b
c
c
a
a
b
a
c
c
b
b
a
++≤++
(với a
≥

b ≥ c > 0)
19.
ab
ab
ba
+
≥+
9
12
( Với a,b > 0)
20.
cbaab
c
ca
b
bc
a 111
++≥++
(Với a,b,c > 0)
===========o0o===========
HƯỚNG DẪN:
Bài 1: Gọi VT của bất đẳng thức là A và VP của bất đẳng thức là B
(Nếu không nói gì thêm qui ước này được dùng cho các bài
tập khác).Với các BĐT có dấu
;
≤ ≥
thì cần tìm điều kiện của
các biến để đẳng thức xảy ra.
A – B =
( )

2
22 bca
−+
Bài 2:
4A – 4B =
( ) ( ) ( ) ( )
2222
2222 eadacaba
−+−+−+−
Bài 3:
A – 1 =
( )( )( )( )
96431
+−−−−
xxxx
=
( )
2
3+Y
Bài 4:
A – B =
( ) ( ) ( )
113321
222
+−+−+−
cba
Bài 5: A = ( a – 1)
2
+ (3a – 2b)
2

+ (b + 3)
2
Bài 6:
A–B = ( a – 1)
2
+(3b – 2)
2
+ (c - 2)
2
+
2
1
Bài 7:
A – B =
( ) ( )
22
12
−+−
bba
Bài 8:
x
2
– xy + y
2
=
4
3
2
2
2

yy
x
+






−
16
Bi 9:
.x
2
xy + y
2
-3x 3y + 3 =
( ) ( )( ) ( )
22
1111
+
yyxx
.
Bin i tip nh bi 8
Bi 10: Tng t bi 9
Bi 11:
x
4
+ x
3

y + xy
3
+y
4
=
( )
( )
2
22
yxyxyx
++
Bi 12: Tng t bi 11
Bi 13: Xem vớ d 7
Bi 14: A B = (a
2
+ b
2
).(a
2
+ 1) - 4a
2
b
Bi 15:
A - B = ac + bd - bc - ad vi ( a

b ; c

d )
=
( )( )

badc

Bi 16:
A - B =
( )
( )
4
2
2
22
baba ++
.
Bi 17: Xem bi tp 16
Bi 18: A - B = (a-c)(b-a)( .
(Vi a

b

c

0)
Bi 19:
A - B =
( ) ( )
ab
baab
+
+
9
33

22

( Vi a,b > 0)
Bi 20:
A - B =
( ) ( ) ( )
abc
abacacbcbcab
222
++
(Vi a,b,c > 0)
===========o0o==========
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Chuyên đề 6. TèM GI TR LN NHT - GI TR NH NHT
(thời gian thực hiện khoảng 90 phút)
I.M ục tiêu
1.Kiến thức: Củng cố và nâng cao dạng toán tìm giá trị lớn nhất- nhỏ nhất
2.kĩ năng: Thành thạo các dạng toán tìm giá trị lớn nhất- nhỏ nhất
3.Thái độ: nghiêm túc ôn luyện.
II.Chuẩn bị
Gv: Su tầm các STK.
HS: ôn lại tìm giá trị lớn nhất- nhỏ nhất
III.Nội dung:
17

I: DẠNG
• Nếu a > 0 :
2
2

2
4ac-b
ax + bx +c =
4a 2
b
P a x
a
 
= + +
 ÷
 
Suy ra
2
4ac-b
=
4a
MinP
Khi
b
x=-
2a
• Nếu a < 0 :
2
2
2
4 a c+b
ax + bx +c =
4 a 2
b
P a x

a
 
= − −
 ÷
 ÷
 

Suy ra
2
4 a c+b
ax
4 a
M P
=
Khi
b
x=
2 a
Một số ví dụ:
1. Tìm GTNN của A = 2x
2
+ 5x + 7
Giải:A = 2x
2
+ 5x + 7 =
2
5 25 25
2( 2. ) 7
4 16 16
x x

+ + − +
=

2 2 2
5 25 56 25 5 31 5
2( ) 7 2( ) 2( )
4 8 8 4 8 4
x x x
−
= + − + = + + = + +
.
Suy ra
31 5
8 4
MinA Khi x
= = −
.
2. Tìm GTLN của A = -2x
2
+ 5x + 7
Giải: A = -2x
2
+ 5x + 7 = -
2
5 25 25
2( 2. ) 7
4 16 16
x x
− + − +
=

2 2 2
5 25 56 25 5 81 5
2( ) 7 2( ) 2( )
4 8 8 4 8 4
x x x
+
= − − + + = − − = − −
 .
Suy ra
81 5
8 4
MinA Khi x= =
.
3. Tìm GTNN của B = 3x + y - 8x + 2xy + 16.
Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + 8  8.
 MinB = 8 khi :  .
4. Tìm GTLN của C = -3x - y + 8x - 2xy + 2.
Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + 2 = 10 -  10.
 GTLNC = 10 khi:  .
18
BI TP:
5. Tỡm GTNN
2
5 2008A x x
= +
6. Tỡm GTLN B = 1 + 3x - x
2
7. Tỡm GTLN D =
2

2007 5x x

8. Tỡm GTNN ca F = x
4
+ 2x
3
+ 3x
2
+ 2x + 1.
9. Tỡm GTNN ca G =
4 3 2
10 25 12x x x
+ +
10. Tỡm GTNN ca M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y.
11. Tỡm GTNN C =
( )
513413
2
+
xx
12. Tỡm GTNN ca N = (x +1) + ( x - 3)
13. Tỡm GTNN ca K = x + y - xy +x + y
HNG DN
5. A = x - 5x + 2008 = (x - 2,5)
2
+ 2001,75
MinA = 2001,75 khi x = 2,5
6. B = 1 + 3x - x
2
= -1,25 - ( x - 1,5)

2

7. D = 2007 - x - 5x = 2004,5 - ( x + 2,5)
2

8. F = x
4
+ 2x
3
+ 3x
2
+ 2x + 1 = (x +x+1) = .
9. G = x - 10x +25x + 12 = x(x - 5) + 12
10. M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y = (x - y + 1) + (y - 4) -16.
11.C =
( )
513413
2
+
xx
* Nu x . C = (3x - 3) + 1
* Nu x < .C = (3x + 1) + 6
12. N = (x +1) + ( x - 3) = 2(x- 1) + 8
K = x + y - xy +x + y = ( x - y) + (x + 1) + (y + 1) - 1
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Chuyên đề 7. Chứng minh đẳng thức bằng các bất đẳng thức đã biết
(thời gian thực hiện khoảng 90 phút)
I.M ục tiêu
1.Kiến thức: Củng cố và nâng cao dạng toán chứng minh bất đẳng thức

2.kĩ năng: Thành thạo các dạng toán chứng minh bất đẳng thức
3.Thái độ: nghiêm túc ôn luyện.
II.Chuẩn bị
Gv: Su tầm các STK.
HS: ôn lại chứng minh bất đẳng thức
III.Nội dung:
19
*GT: Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để
chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và
bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski
. Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên)
1.
abba 2
22
≥+
(a,b>0). (BĐT Cô-si)
2.
( )
abba 4
2
≥+
3.
( )
( )
2
22
2 baba
+≥+
4.
0,;2

>≥+
ba
a
b
b
a
5.
0,;
411
>
+
≥+
ba
baba
6.
cabcabcba
++≥++
222
7.
( )
( )( )
2222
2
yxbabyax
++≤+
( Bu nhi a cop xki)
8.
( )
yx
ba

y
b
x
a
+
+
≥+
2
22
9.
( )
zyx
cba
z
c
y
b
x
a
++
++
≥++
2
222
Ví dụ 9:Chứng minh
cba
b
ca
a
bc

c
ab
++≥++
(Với a,b,c > 0)
Giải:2A - 2B =
cba
b
ca
a
bc
c
ab
222222
−−−++
=






−++






−++







−+ 222
b
a
a
b
c
a
c
c
a
b
b
c
c
b
a

Áp dụng bất đẳng thức
0,;2
>≥+
ba
a
b
b
a

.Ta có:2A - 2B
( ) ( ) ( )
0222222
≥−+−+−≥
cba
.Vậy A
≥
B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0
20
Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1. Chứng minh rằng :
8
21
22
≥
+
+
yx
xy
.
Giải:
22222222
2
4
2
1
2
1
2
2
2

221
yxyxyx
xy
yx
xy
yx
xy
++
≥








+
+=
+
+=
+
+
( )
8
8
2
=
+
=

yx
.Đẳng thức xảy ra khi
2
1
==
yx
Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức :
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
++≥++
2
2
2
2
2
2
Giải:
c
a
c

b
b
a
c
b
b
a
.2.2
2
2
2
2
=≥+
;
a
b
a
c
c
b
a
c
c
b
.2 2
2
2
2
2
=≥+

;
b
c
b
a
a
c
b
a
a
c
.2 2
2
2
2
2
=≥+
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a

a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
++≥++⇒






++≥








++
2

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Bài tập:
1. Cho a,b,c là 3 số dương.Chứng minh rằng
( )
9
111
≥






++++
cba
cba
2. Cho các số dương a,b,c biết a.b.c = 1. Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1)≥ 8
3. Cho các số a,b biết a + b = 1. Chứng minh rằng

a) a + b ≥ b) a + b ≥
4. Cho 3 số dương a,b,c và a + b + c = 1. Chứng minh: + + ≥ 9
5. Cho x , y , z ≥ 0và x + y + z ≤ 3 . Chứng minh rằng:
+ + ≤ ≤ + +
6. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng
a. + ≥ 6
b. + ≥ 14
7. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng
(a + ) + (b + ) ≥
8. Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi a,b,c>0
,
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
bacacbcbaaccbba
++
+
++
+
++
≥

+
+
+
+
+
21
9. Cho a,b,c là 3 số dương.
Chứng minh :
cbaab
c
ac
b
bc
a 111
++≥++
.
10. Cho a,b,c là 3 số dương.
Chứng minh rằng :
2
222
cba
ab
c
ca
b
cb
a ++
≥
+
+

+
+
+
.
11. Chứng minh: a + b ≥ với a + b ≥ 1
12. Chứng minh:
2
3
≥
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
Với a,b,c > 0
13. Chứng minh:
( )
cbaabccba
++≥++
444
14. Bài 28: Cho
;0;0;0
≥≥≥
zyx

Chứng minh rằng :(x + y).(y + z).(z + x) ≥ 8xyz
15. Cho A =
13
1

22
1
12
1

2
1
1
1
+
++
+
+
+
++
+
+
+
nnnnn
Chứng minh rằng
1
>
A
HƯỚNG DẪN:
1. A =

922233
=+++≥






++






++






++
a
c
c
b
a
c
c

a
a
b
b
a

2. Áp dụng (a + 1) ≥ 2a
3. a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b) ≥ 0.
b) Áp dụng câu a.
4. Xem bài 1
5. + + ≤ + + = + + = .
+ + ≥ ≥ =
6. A = + = ( + ) + ≥ + = 6 ( vì 2ab
≤
(a+b) )
B = + = 3( +) +
7. (a + ) + + (b + ) + = + ≥ 5(a + ) + 5(b + )
= 5( a + b) + 5( + ) ≥ 5( a + b) + 5. = 25
Suy ra: (a + ) + (b + ) ≥
8. + ≥ ; + ≥ ; + ≥
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được Đpcm
9. Ta có: + = ( + )
≥
2.
22
ab
c
c
b
aab

c
ac
b 1
.2
1







+=+
bc
a
a
c
bbc
a
ab
c 1
.2
1

+=+
Cng tng v 3 bt ng thc trờn ta c pcm. ng thc xỏy ra khi v ch khi a = b = c.
(Hóy kim tra li)
10.p dng BT
( )
zyx
cba
z
c
y
b
x
a
++
++
++
2
222
11. a + b ( a + b )
12. ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + +
= (a+b+c) ( + + ) (a+b+c) . = Suy ra:
2
3

+
+
+
+
+
ba

c
ac
b
cb
a
13.p dng BT vớ d 6 cho 3 s
444
cba
++
ri tip tc ỏp dng ln na cho 3 s
a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
ta cú pcm.
14.p dng BT
( )
xyyx 4
2
+
.Nhõn tng tha s ca 3 BT suy ra PCM
15.A cú 2n + 1 s hng (Kim tra li !).p dng BT

0,;
411
>
+
+
ba
baba
Vi tng cp s
hng thớch hp s cú pcm
*****************************
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Chuyên đề 8.
(thời gian thực hiện khoảng 90 phút)
I.M ục tiêu
1.Kiến thức: Củng cố và nâng cao dạng toán về biến đổi phân thức
2.kĩ năng: Thành thạo các dạng toán biến đổi phân thức
3.Thái độ: nghiêm túc ôn luyện.
II.Chuẩn bị
Gv: Su tầm các STK.
HS: ôn lại biến đổi phân thức
III.Nội dung:

23
• Ví dụ 1 :
a. Rút gọn Biếu thức
62
9124
2
2

−−
++
=
aa
aa
B
Với a
2
3
−≠
b. Thực hiện phép tính:
( )
aaa
a
a
aa
−
+
+
−
+
++
2
2
2
8
:
5,01
25,0
32

(a
≠
±
2.)
Giải:
a.
62
9124
2
2
−−
++
=
aa
aa
B
( )
( )( )
2
32
232
32
2
−
+
=
−+
+
=
a

a
aa
a
b.
( ) ( )
aaa
a
a
aa
aaa
a
a
aa
−
+
−
+
⋅
+
++
=
−
+
+
−
+
++
2
2
8

2
2
42
2
2
2
8
:
5,01
25,0
3
232
( )
( )
( ) ( )
aaa
a
aa
aaa
aa 1
2
2
2
2
422
42
2
2
=
−

−
=
−
−
++−
++
=
• Ví dụ 2 : Thực hiện phép tính:
xyyx
yx
yx
xyyx
A
2
:
22
33
22
22
−+
+
−
−+
=
.( Với x
≠

±
y)
Giải:

( )( )
( )
( )
( )
( )
2
22
2
22
22
33
22
22
2
:
yx
yx
xyyxyx
yx
yxyx
xyyx
xyyx
yx
yx
xyyx
A
+
−
=
−++

−
⋅
+−
−+
=
−+
+
−
−+
=
• Ví dụ 3 : Cho biểu thức :
12
1
234
34
+−+−
+++
=
xxxx
xxx
A
.
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Chứng minh rằng A không âm với mọi giá trị của x .
Giải:
1
1
12
1
2234

34
234
34
+−++−
+++
=
+−+−
+++
=
xxxxx
xxx
xxxx
xxx
A
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
1
1
11
11
11
11

11
11
2
2
22
2
2
22
3
222
3
+
+
=
++−
+−+
=
++−
++
=
+−++−
+++
=
x
x
xxx
xxx
xxx
xx
xxxxx

xxx
24
b.
( )
( )
001;01;
1
1
2
2
2
2
≥⇒>+≥+
+
+
=
Axx
x
x
A
• Ví dụ 4 : Tính giá trị biếu thức :
8765
8765
−−−−
+++
+++
aaaa
aaaa

với a = 2007.

Giải:
( )
( )
1313
23
3213
23
87658
8
123
8765
8765
8765
8765
8765
2007
1
1
11
1111
=⇒=
+++
+++
=
+++
+++
=
+++
+++
=

+++
+++
=
+++
+++
=
−−−−
Ba
aaa
aaaa
aaa
aaaaa
a
aaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
B
• Ví dụ 5 : Tính giá trị biếu thức :
2
2
:
2510
25
223
2
−−
−

+−
−
yy
y
xxx
x
.
Biết x
2
+ 9y
2
- 4xy = 2xy -
3
−
x
.
Giải:
x
2
+ 9y
2
- 4xy = 2xy -
3
−
x
( )
033
2
=−+−⇔ xyx




=
=
⇔



=
=
⇔
1
3
3
3
y
x
x
yx
( )( )
( )
( )( )
2
12
5
55
2
2
:
2510

25
2223
2
−
+−
⋅
−
+−
=
−−
−
+−
−
=
y
yy
xx
xx
yy
y
xxx
x
C
( )( )
( ) ( )
3
8
2.3
2.8
5

15
−=
−
=
−
++
=
xx
yx
Bài tập:
13. Chứng minh rằng Biếu thức
P =
( )
( )
( )
( )
11
11
222
222
++−−
++++
xaaax
xaaax
không phụ thuộc vào x.
14. Cho biểu thức M =
82
63422
2
2345

−+
+−−+−
xx
xxxxx
.
25