Dành tặng các em học sinh Trường Nguyễn Văn Linh- Trường Trường Chinh - Ninh Thuận

Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận
.

.

1

.

.

PHẦN I : HÀM

.

.

SỐ VÀ ĐỒ THỊ

I.) BẢNG ĐẠO HÀM .
2. Đạo hàm hàm hợp:

1. Phép tốn:
• (U+ V − W= U + V − W'
) ' '
'

• (U V ) = UV + U V
.
'
'

'

• (k U ) = k U '
.
.
'

y = y .u
'
x

'
u

3. Cơng thức:
• ( ax b ) =' a
+

• (u

u '.v − u.v '
u
•   =−
v2
v
'

'
x

•

) = n u.

n '

( )

n −1

'

u =

u. '

u'
2 u

ax + b
( ac ≠ 0) .
cx + d
 SƠ ĐỒ KHẢO SÁT.

thức : y =

d
c

2. Sự biến thiên:

ad − cb
′
 Chiều biến thiên: y = (cx + d ) 2

- Nếu y' > 0 thì hàm số đồng biến trên mỗi
khoảng ( −∞; x0 ) ,( x0 ; + ∞ ).
- Nếu y' < 0 thì hàm số nghịch biến trên mỗi
khoảng ( −∞; x0 ),( x0 ; + ∞ ).
 Cực trị: Hàm số khơng có cực trị.
 Giới hạn và tiệm cận:
a
a
lim y = , lim y =
c
c
x →+∞
x →−∞

⇒ - Đường thẳng y =

•

•

u
( log u ) = u.ln' a
• ( a ) = u a .ln
'.
a

•

'

a

u '

(

u'
cos 2u
2
+1 tan ) u '
u

tan) ='
u

=(

• ( c os) =' −u '.sin
u
u

II.) KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân

1. Tập xác định: D = R \ { x0 } với x0 = −

'

u'
1
•   =− 2
u
u
• ( sin) =' u c'. os
u
u

−u '
sin 2 u
2
= − ( +1 cot ) u
u

(

cot) ='
u

'

(Nếu u = x thì u' = 1)

u

Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của y =

Giải:
1. Tập xác định: D =  \ {1}
2. Sự biến thiên của hàm số

2x − 1
x −1

−1

 Chiều biến thiên: y ' = ( x − 1) 2 < 0∀x ∈ D
⇒ Hàm số nghịch biến trên ( −∞;1 ) ; ( 1; + ∞ )
 Cực trị: Hàm số khơng có cực trị.
 Giới hạn và tiệm cận:

lim y = 2 ;
x →+∞

lim=
y

x →−∞

2

⇒ Đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang
lim y = lim
+
x→1+

x→1

2x −1
= +∞
x −1

;

x →1−

y =lim−
x →1

2x −1
lim= −∞
x −1

⇒ Đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng
 Bảng biến thiên.

a
là tiệm cận ngang.
c

Nếu y ' < 0, ∀x ∈ D thì lim y = +∞ lim y = −∞
;
+
−
x→xo

x→xo

Nếu y ' > 0, ∀x ∈ D thì lim y = −∞; lim y = +∞
+
−
x →xo

x →xo

⇒ Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng
 Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
- Vẽ các đường tiệm cận lên hệ trục toạ độ.
- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ,
các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên hệ
trục tọa độ.
 BÀI TẬP:Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số .
a) y =
.

3. Đồ thị
- Giao của đồ thị hàm số và Ox: y = 0 ⇒ x=1/2
- Giao của đồ thị hàm số và Oy: x = 0 ⇒ y=1
- Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng.

2x + 1
2x + 1
1
; b) y =
; c) y =
x −1

1− x
2x −1
.

.

.

.

.


Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận
.

.

2

.

.

.

Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
y = x4 − 2 x2 − 3 .
Giải:
x= 4 x2

1. Tập xác định: D =  ( y =f ( ) x −2 −3 )
2. Sự biến thiên:
 Chiều biến thiên:
y ' = 4 x 3 − 4 x = 0 ⇔ x = ±1 hoặc x = 0

2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trùng
phương y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0) .
 SƠ ĐỒ KHẢO SÁT.
1.Tập xác định: D = R.
2. Sự biến thiên:
 Chiều biến thiên:
- Đạo hàm y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b).
- Xét dấu y' từ đó suy ra sự đồng biến,
nghịch biến của hàm số.
 Cực trị:
- Nếu qua x0 mà y' đổi dấu từ (+) sang (-)
thì hàm số đạt cực đại tại x0 ; yCĐ = y(x0).
- Nếu qua x0 mà y' đổi dấu từ (-) sang (+)
thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 ;yCT = y(x0).
 Giới hạn:
+∞, a > 0
- lim (ax 4 + bx 2 + c ) = 
.
x →±∞
−∞, a < 0
 Bảng biến thiên:
3. Vẽ đồ thị:
- Biểu diễn các điểm cực trị (nếu có) lên hệ
trục toạ độ.
- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ

độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng
lên hệ trục toạ độ.
 BÀI TẬP:
Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số .
1
3
a) y = x 4 + x 2 −
; b) y = x 4 − 2 x 2 . ;
2
2
4
2
c) y = x + x
; d) y = – x4 ;

.

⇒ Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1;0) và (1; +∞ ) .
;1
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞−) và (0;1)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; yCĐ=f(0)= –3
Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm :
x T =− ⇒ yCT = f( −1 )= – 4 và x T =1⇒ yCT = f(1 )=– 4
1
C
C
lim y = +∞ ,
lim y = +∞
Giới hạn:

x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên:

•

3. Đồ thị:
Bảng giá trị:
x
–1
0
1
− 3
3
y
0
–4
–3
–4
0
- Hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

e) y = − x 4 + 4 x 2
; f) y = −2 x 4 + x 2 − 3 .
Bài 2:
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
1
3

y = f ( x) = x 4 + 2 x 2 − (C)
4
2
b) Từ đồ thị hàm số (C) hãy chỉ ra miền giá trị
của f(x) khi x ∈ [ −2;5 ) .
* Lưu ý:
+) Khoảng phải chứa + ∞ , y’ luôn cùng dấu a
+) Hàm số trùng phương bậc 4 ln có ít nhất
một điểm cực trị ( tại x = 0)
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ......................................
........................................................................................................................................................................................................................ ..........................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................................ ..................................................................................
.
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...........................
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.


Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận
.

.

3

.

3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx 2 + cx + d
 SƠ ĐỒ KHẢO SÁT.
1. Tập xác định: D = R.
2. Sự biến thiên:
* Chiều biến thiên:
- Đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c.
- Xét dấu y' từ đó suy ra sự đồng biến,
nghịch biến của hàm số.
* Cực trị:
- Nếu qua x0 mà y' đổi dấu từ (+) sang (–) thì
hàm số đạt cực đại tại x0; yCĐ = y(x0).
- Nếu qua x0 mà y' đổi dấu từ (–) sang (+) thì
hàm số đạt cực tiểu tại x0; yCT = y(x0).
* Giới hạn:
–) lim (ax 3 + bx 2 + cx + d ) = +∞, a > 0


 −∞, a < 0
−∞, a > 0
lim (ax 3 + bx 2 + cx + d ) = 
x →−∞
+∞, a < 0
x →+∞

–)

* Bảng biến thiên:
3. Vẽ đồ thị:
- Biểu diễn các điểm cực trị (nếu có)
- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ
độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn
b) Một số tính chất (dùng để suy luận)
* Điểm uốn là tâm đối xứng .
* Điểm uốn là trung điểm của đoạn thẳng nối
điểm cực đại và cực tiểu .
* Đồ thì ln cắt trục hồn tại ít nhất một điểm và
nhiều nhất 3 điểm .
* Nếu y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt thì hàm số
có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu, khi đó

( a ≠ 0) .
.

.

.

Ví dụ: Khảo sát,vẽ đồ thị hàm số y =− 3+ 32 +1
x x
Giải:
1.Tập xác định: D = R.
2 . Sự biến thiên:
 Chiều biến thiên:
- Ta có : y’ = – 3x2 + 6x
y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Dấu y’
Hàm số đồng biến trên các khoảng (– ∞ ;0); (2;+ ∞ )
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)
 Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 5
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 1
 Giới hạn:
lim y = +∞,
lim y = −∞
x →−∞

x →+∞

 Bảng biến thiên:

3. Vẽ đồ thị:
Bảng giá trị:
x
0
1
2
3

−1
y
5
1
3
5
1
+) Đồ thị hàm số nhận (1; 3) làm tâm đối xứng

* Nếu y’ = 0 có nghiệm kép hoặc vơ nghiệm thì
hàm số khơng có cực trị.
 BÀI TẬP: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
a) y = f ( x) = x3 + 3 x 2 − 4 ; b) y =f ( )=− 3 3
x x +x
c) y = f ( x) = x3 − 1
; d) y =f ( )=−2 +3
x
x3
SƠ ĐỒ CHUNG VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Tập xác định.
3. Đồ thị:
Tìm TXĐ của hàm số.
- Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định
ở trên để vẽ đồ thị.
2. Sự biến thiên.
Xét chiều biến thiên của hàm số:
- Xác định thêm một số điểm đặc biệt khác
+Tính y’và tìm xi mà f’(xi)=0 hoặcf’(xi)khơng xác định.  BÀI TẬP: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số .
+ Xét dấu y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
2x +1

a) y = x 2 − 2 x + 3 ;
b) y =
* Tìm cực trị.
x +1
* Tìm các giới hạn tại vơ cực, các giới hạn vô cực

suy ra tiệm cận (nếu có).
c) y = sin( x + ) với x ∈ [ 0;3 ]
3
* Lập bảng biến thiên
(Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).
.

.

.

.

.

.


Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận
.

.

.

4
.

.

.

III.CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Bài tốn 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM .
PHƯƠNG PHÁP:

* Hàm số y = f(x) có đồ thị (C), điểm Mo(xo;yo) thuộc (C) .
* Tiếp tuyến tại Mocó hệ số góc k = f’(xo)và có phương trình :
y – yo = f’(xo)(x – xo)
• Để viết phương trình tiếp tuyến trên cần xác định: xo , yo = f(xo) và f’(xo)
Ví dụ 1: Cho đường cong (C) y = x3.
Với xo=1 ⇒ f(xo)=1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là:
Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :
y = 3(x –1) + 1 hay y = 3x – 2 ( thỏa nãn) .
a.Tại điểm A(–1 ; –1).
Với x0= –1 ⇒ f(x0)= –1 ⇒
b.Tại điểm có hồnh độ bằng –2.
Phương trình tiếp tuyến là:
c.Tại điểm có tung độ bằng –8.
y = 3(x +1) –1 hay y = 3x + 2 ( thỏa nãn)
Giải:
1 3
Ví dụ 4. Cho hàm số y = x − 2x + 3 có đồ thị (C)
y = f(x) = x3 , f’(x) = 3x2 xác định trên R .

3
a) Ta có A(–1 ; –1) thuộc (C)
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến
xo = –1 , yo = –1 , f’(–1) = 3
cắt tia Ox,Oy lần lượt tại A,B sao cho OB = 2OA.
Vậy tiếp tuyến : y + 1 = 3(x + 1) hay y = 3x + 2
Giải:
b)Ta có x0= –2 ⇒ yo= f ( −2) = −8 và f '( − 2) = 12
Hệ số góc của tiếp tuyến :
⇒ Phương trình tiếp tuyến là :
OB
k= tan  = –
= –2
y = 12(x+2) – 8 hay y =12x + 16
OA
c)Ta có tung độ y0= –8
Giả sử (xo;yo) là các tiếp điểm
3
2
⇔ f(x0)= – 8 ⇔ x 0 = – 8 ⇔ x0= – 2
⇒ f’(xo)= – 2 ⇔ xo – 2 = – 2
⇔ xo = 0 ⇒ yo = f(0) = 3
⇒ f’(x0)=12 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là:
Vậy tiếp tuyến : y – 3 = – 2(x – 0) hay y = –2x + 3
y = 12(x+2) – 8 hay y = 12x + 16
BÀI TẬP:
2x + 1
Ví dụ 3: Cho hàm số y =
(C). Viết phương
Bài 1:Cho hàm số y = f ( x) = −2 x3 + 3 (C).Viết

x−2
phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A nằm
trình tiếp tuyến của đồ thị (C),biết hệ số góc của
trên (C) có hồnh độ bằng – 1 .
ĐS: y = −6 x − 1
nó bằng –5.
3
Giải:
Bài 2:Cho hàm số y = f ( x) = x − 1 .Viết phương
* Tiếp tuyến tại điểm (xo; yo)
trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của nó với
có hệ số góc bằng –5 khi chỉ khi :
trục Ox.
ĐS: y = 3x − 3
−5
f’(xo) = –5 ⇔
= −5 ⇔ x0 = 3 hay x0 = 1 .
Bài3 :Cho hàm số y = f ( x) = x 4 − 2 x 2 . Viết
( x0 − 2) 2
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các
* Với x0 = 3 ⇒ y0 =f (3) = 7 và y’(3) = –5
điểm uốn.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
4
Bài 4 : Cho hàm số y =
(C).Viết phương
y – 7= –5(x –3) hay y = –5x + 22
x−4
* Với x0 = 1 ⇒ y0(1) = –3 và y’(1) = –5
trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ là 3.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
* Chú ý : Đường thẳngd1:y=k1x+b1và d2:y=k2x+b2
y + 3 = – 5(x – 1) hay y = – 5x + 2
k = k
* Vậy có 2 tiếp tuyến có hệ số góc là k = –5 là
+) Song song ⇔  1 2 +) Vng góc ⇔ k1.k2=−1

d1 : y = –5x + 22 và d2: y = – 5x + 2
b1 ≠ b2

Ví dụ 3: Cho đường cong (C) y = x3. Viết phương
* Bài tốn viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm
trình tiếp tuyến tại các điểm trên (C):
(thuộc chương trình nâng cao).
a) Biết tiếp tuyến song song với Δ: y = 3x + 1.
+) Hai hàm số y =f(x) và y =g(x) tiếp xúc nhau tại
f ( x) = g ( x)
b*)Biết tiếp tuyến vng góc với (d): 2x +3y–4 = 0
các điểm thỏa mãn : f '( x ) = g '( x )
Giải:
Ta có : y = f(x) = x3,f’(x) = 3x2 xác định trên R .
f (x) = x +
k b
a) Vì tiếp tuyến song song với y = 3x + 1
x
+) y = kx + b là tiếp tuyến của y=f ( ) ⇔
f '( ) =
x k
Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
2

⇔ f’(x0) = 3 ⇔ 3. x0 = 3 ⇔ x0 = ± 1

{

.

.

.

.

{

.

.


Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận
.

.

5

.

.

.

.

Bài tốn 2: BÀI TỐN TƯƠNG GIAO.
PHƯƠNG PHÁP:

* Cho hai hàm số y =f(x) có đồ thị (C1) và y =g(x) có đồ thị (C2)
+) Phương trình hồnh độ giao điểm : f(x) = g(x) (1).
+) Số giao điểm của (C1) và (C2) bằng số nghiệm của phương trình (1)
+) Khi đó các giao điểm (xo; f(xo) )
* Đường thẳng y = m (y = k(m)) là đường thẳng song song trục hoành
cắt trục tung tại điểm ( 0; m)

Dạng 1: Dựa vào đồ thị (hoặc bảng biến thiên) biện luận số nghiệm của phương trình .
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (C).Tìm toạ
độ các giao điểm của (C) và đường thẳng y = 4
Giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm :
x3 – 3x2 + 4 = 4
3
⇔ x – 3x2 = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3
+) Với x = 0 ⇒ Giao điểm (0 ;4)
+) Với x = 3 ⇒ Giao điểm (3 ;4)
Ví dụ 2. Tìm toạ độ các giao điểm của đồ thị hàm
số y = 2x3 + 3x2 (C)và hàm số y = 6x2 – 2x + 1 (P)
Giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm :
2x3 + 3x2 = 6x2 – 2x + 1
⇔ 2x3 – 3x2 + 2x – 1 = 0

⇔ (x – 1)(2x2 – x + 1) ⇔ x = 1
+) Với xo = 1 ⇒ yo = 6xo2 – 2xo + 1= 5
⇒ Giao điểm (1 ;5)
1
3
Ví dụ 4. Cho hàm số y = x 3 − x 2 + 5 (C)
4
2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hs (C).
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
x3 – 6x2 + m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt.
Giải:
3
2
b) x – 6x + m = 0
⇔

1 3 3 2
m
x − x +5 = − +5
4
2
4

Để phương trình có 3
nghiệm phân biệt thì
đường thẳng y = −

m
+5

4

cắt (C) tại 3 điểm phân
m
biệt,khi đó: −3 < − + 5 < 5 ⇔ 0 < m < 32
4
Vậy với m∈( 0; 32 )thì phương trình có 3 nghiệm
thực phân biệt.
Ví dụ 3. Cho hàm số: y = − x 3 + 3 x 2 − 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b)Tuỳ theo giá trị của m, biện luận số nghiệm của
phương trình: − x 3 + 3 x 2 − 1 = m
Hướng dẫn

b) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của
2 đồ thị y = − x 3 + 3 x 2 − 1 và y = m
Dựa vào đồ thị ta có kết luận:
m > 3
m < -1 Ph ương trình có 1 nghiệm

m = 3
*
phương trình có 2 nghiệm
m = -1
* -1< m < 3: Phương trình có 3 nghiệm.
Vớ d 5. a) Khảo sát đồ thị hàm số y = x3 + 3 x 2 − 4
*

b) Tìm m để phương trình: sin3x – 3cos2x = m + 1

vơ nghiệm.
Giải:
b) Đặt sinx = t ( −1 ≤ t ≤ 1)
Phương trình
sin3x – 3cos2x = m + 1
trở thành :
t3 – 3(1 – t2) = m + 1
⇔ t3 +3t2 – 4 = m (1)
Xét hàm số :y =f(t) = t3 +3t2–4 trên [ −1;1]

* Dựa vào đồ thị hàm số y = x3 + 3 x 2 − 4
Ta có đồ thị hàm số y =f(t) (nét liên trên hình)
* Để phương trinh đã cho vơ nghiệm thì y =f(t)
khơng cắt y = m, từ đó ta có kết luận.
Với m < –4 hoặc m > 1 phương trình vơ nghiệm
3
BÀI TẬP: Cho hàm số y = x − 3 x − 1 ; gọi đồ thị hàm số là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 3 − 3 x − 1 − m = 0 .
.

.

.

.

.

.

Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận
.

.

6

.

.

.

.

Dạng 2. Dựa vào tính chất phương trình biện luận số giao điểm của hai đồ thị.
Ví dụ 1. Xác định m để hàm số y =

2mx −
1
x +1

(Cm) cắt

đường thẳng y = x + m tại2 điểm phân biệt
Giải:
* Phương trình hồnh độ giao điểm :
2 mx − 1

x +1

∆’ > 0 ⇔ ( m + 1) – m2 > 0 ⇔ m > −
2

=x+m

⇔ x2+ (1 – m)x + m +1 = 0 (1) với x ≠ -1
*Để hàm số (Cm) cắt đường thẳng tại 2 điểm phân
biệt thì (1) có 2 nghiệm khác -1, khi đó :
1≠ 0

 a≠0


 f ( −1) ≠ 0 ⇔  1 − 1 + m + m + 1 ≠ 0
 ∆>0
( m − 1)2 − 4(m + 1) > 0


1

1

 m≠−2
 m≠−

⇔
⇔
2

m < 3 − 2 3
m 2 − 6 m − 3 > 0  

m > 3 + 2 3


(

) (
3) ∪( 3 + 2

⇔ m ∈ −∞; 3 − 2 3 ∪ 3 + 2 3; +∞

(

*Vậy m ∈ −∞; 3 − 2

)

)

3; +∞ thì(Cm)

1
3
Ví dụ 2. Xác định m để hàm số y = mx 4− x 2+ 5
4
2
(Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt .
Giải:

* Phương trình hồnh độ giao điểm :
1 4 3 2
mx − x + 5 = 0 ⇔ mx 4 − 6 x 2 + 20 = 0 (1)
4
2
* Đặt x2 = t , Phương trình (1) trở thành :
⇔ mt 2 − 6t + 20 = 0 (2)
*Để hàm số (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân
biệt thì (1) có 4 nghiệm phân biệt ,suy ra (2) có 2
nghiệm dương phân biệt ,khi đó :

a ≠ 0  m ≠ 0

∆ ' > 0 9 − 20 m > 0  m > 0
9


⇔
⇔
9 ⇔ 0< m<
S > 0
20

 6/m > 0
 m < 20

 P > 0  20 / m > 0


 9 

*Vậy m ∈  0;  thì(Cm) trục hồnh tại 4 điểm
 20 
phân biệt .
Ví dụ 3. Xác định m để y = x2 – 2mx + 1+m2 (P)
cắt đường thẳng y = 2x + 1 tại hai điểm phân biệt
A và B nằm về cùng một phía với trục hồnh .
Giải:
* Phương trình hồnh độ giao điểm :
.

.

1
2

* Giả sử x1 và x2 là hai nhiệm của (*),
khi đó

 x1 + x2 = 2m + 2 ,

2
 x1 .x2 = m

tọa độ giao điểm: A(x1 ;y1)với y1= 2x1+1
và B(x2 ;y2)với y2= 2x2+1.
* Vì A và B nằm về cùng một phía với trục hồnh
⇒ y1.y2 > 0 ⇔ (2x1 + 1)( 2x2 + 1) > 0
⇔ 4 x1 x2 + 2(x1 + x2 ) + 1 > 0
2
⇔ 4m + 2(2m + 2) + 1 > 0

2
⇔ 4m + 4m + 5 > 0 ( luôn đúng )
* Vậy m > −

cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt

.

x2 – 2mx + 1+ m2 = 2x + 1
2
2
⇔ x – 2(m+1)x + m = 0 (*)
* Để parabol cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt
thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt,khi đó:

1

thỏa mãn bài tốn .

2

BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hàm số y =

2x+
1
x−1

.Tìm các giá trị m để

đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị hàm số đã cho
tại 2 điểm phân biệt. (ĐS: m < -12 hoặc m > 0)
Bài 2: Cho hàm số y = f ( x) = x3 + 3x 2 − 4 .
a) khảo sát hàm số .
b) Biện luận số nghiệm phương trình
x 3 + 3 x 2 + m = 0 tuỳ theo giá trị của tham số m.
Bài 3: Cho hàm số y = f ( x) =

1

4

2

x + x −

2

3
2

.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b) Biện luận số nghiệm phương trình
x4 + 2x 2 +m =0 tuỳ theo giá trị của tham số m.
Bài 4: Xác định m để hàm số
y = mx3 + 2 x 2 + 1 − 2m .cắt đường thẳng y = 3x –m tại
2
2

3 điểm phân biệt thỏa mãn x12 + x 2 + x 3 = 5

*Định lý về dấu tam thức bậc hai :
2 ,∆
2 , =
f (x ) =ax 2 +bx +c (a ≠ 0),∆= b−4 ac ' = 'b− ac' b

 Nếu Δ < 0 (Δ’< 0) thì a.f(x) > 0 với ∀x ∈ R
−b
 Nếu Δ = 0 (Δ’= 0) thì a.f(x) > 0 với ∀x ≠ 2a

b
2

 Nếu Δ > 0(Δ’>0),tam thức có 2 nghiệm (x1 < x2)
a.f(x) > 0 khi

 x > x2 (hayx ∈(−∞; x )∪ ( ; +∞ ))
x2
1
 x < x1


a.f(x) < 0 khi x1 < x < x2 (hay x ∈( x1; x2 ) ).
.

.

.

Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận
.

.

.

7
.

.

.

Dạng 3*. Biến đổi đồ thị trong bài toán tương giao .
 f ( x) nêu f x ( ≥) 0
⇒ Đồ thị hàm số y = f ( x) gồm hai phần
 − f ( x) nêu f x ( <) 0
Phần 1: Là phần phía trên trục hoành của đồ thị hàm số y = f(x)
Phần 2: Là đối xứng của phần nằm phía dưới trục hoành của y = f(x).

 Hàm số y = f ( x) = 

 f ( x) nêux ≥ 0
 Hàm số y = f (| x |) = 
⇒ Đồ thị hàm số y = f (| x |) gồm hai phần
 f (− x) nêux < 0
Phần 1: Là phần phía bên phải trục tung của đồ thị hàm số y = f(x)
Phần 2: Là đối xứng của phần1 qua trục tung.


 Hàm số y = f ( x + a ) + b được suy ra bằng cách tịnh tiến y = f(x) theo u = ( − a; b)
Ví dụ 1 Cho hàm số y = 2x4 - 4x2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
2)Với các giá trị nào của phương trìnhx2|x2 - 2|=
 Đồ thị y = 2 x 4 − 4 x 2
m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ?
gồm hai phần
 Hướng dẫn:
Phần 1: Là phần phía
trên trục hồnh của đồ
thị hàm số y = 2x4 - 4x2
Phần 2: Là đối xứng của
phần nằm phía dưới trục
hồnh của y = 2x4 - 4x2

Bài tốn 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số.
 Phương pháp: Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x).
Qui tắc I.
Qui tắc II.
B1: Tìm tập xác định.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại điểm f’(x) = 0
B2: Giải phương trình f’(x) = 0, tìm các nghiệm xi
hoặc f’(x) khơng xác định.
B3: Tính f ”(xi)
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị

B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
+ f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi;
+ f ”(xi) < 0 thì hàm số có cực đại tại xi).
•Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc khi việc xét dấu f’(x) phức tạp.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y=2 3 3 2−36−10
x +x x
Giải:
Cách 1(Qui tắcI )
* Tập xác định : D = R
x = 2
* Ta có: y ' = 6 x 2 + 6 x − 36 ⇒ y ' = 0 ⇔ 
 x = −3
* Bảng biến thiên.

Cách 2(Qui tắc II)
* Tập xác định : D = R
* Ta có:
y ' = 6 x 2 + 6 x − 36
x = 2
y ' = 0 ⇔ 6 x 2 + 6 x − 36 = 0 ⇔ 
 x = −3
* y”= 12x + 6
* Mặt khác :
y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại
x = 2 và yct = - 54
y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại
x = -3 và ycđ =71

Vậy x =-3 là điểm cực đại và ycđ =71
x = 2 là điểm cực tiểu và yct = - 54

BÀI TẬP: Tìm cực trị của các hàm số sau:
2

3

a ) y = 10 + 15x + 6x − x
.

.

; c) y = x 4 - x
.

2

;

d) y =

x+1
2

x +1

; e) y = 2sinx + cos2x với x ∈ [ 0 ;  ]
.

.

.

Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận
.

.

8

.

.

.

.

Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị .
 Phương pháp:
 f '(a) =0
* Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a ⇔ 
 f ''(a) ≠0
 f '(a) =0
* Hàm số y =f(x) đạt cực đại tại x = a ⇔
a
f ''( ) <0
Ví dụ 1. Tìm m để hàm sốy= x3–3mx2+(m -1)x+2
đạt cực tiểu tại x = 2
Giải:
2

Cách 1: y ' = 3 x − 6 mx + m − 1.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 khi chỉ khi
.2
1 0
y'(2) =0 3.(2)2 −6m +m− =
⇔
⇔ = 1
m


y''(2)>0  6.2−6m 0
>


 BÀI TẬP:

 f '(a) =0
* Hàm số y =f(x) đạt cực tiểu tại x= a ⇔
a
f ''( ) >0
Cách 2: y ' = 3 x 2 − 6 mx + m − 1.
Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0
⇔ 3.(2) − 6 m.2 + m− 1 = 0 ⇔ m = 1
Với m = 1 ta được hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 có :
x = 0
y ' = 3x 2 − 6 x ⇒ y ' = 0 ⇔ 
x = 2
tại x = 2 hàm số đạt giá trịcực tiểu .
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
2

Bài 1. Xác định m để hàm số y = mx 3 + 3 x 2 + 5 x + 2 đạt cực đại tại x = 2
2
Bi 2. Tìm m để hàm số y = x 3 − mx 2 + ( m − ) x + 5 có cực trị tại x = 1. Khi đó hµm sè cã cực đại hay cực tiểu.
3
3
2
2
Bài 3. Tìm m để hàm số y = x − 2 mx + m x 2 đạt cực tiểu tại x = 1
Bài 4. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ
thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.

Dạng 3. Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào đó.’
 Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
 Hàm số y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ln có 1 điểm cực trị
 x = 0 (1)
b
 Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) có y ' = x ( 4ax 2 + 2b ) = 0 ⇔  2
(k = − )
(2)
2a
x = K
+) Để hàm số có 3 cực trị thì (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 , khi đó K > 0
+) Để hàm số có 1 cực trị thì (2) vơ nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất x = 0 , khi đó K ≤ 0
a x + b1
(a2 ≠ 0, D = a1b2 − a 2 b1 ≠ 0) khơng có cực trị.
 Hàm số y = 1
a 2 x + b2
Ví dụ 1: Xác định m để hàm số sau có 2 điểm
cực trị y = 1 x + mx + (m + 6)x − 1 ;

3
3

2

 Hướng dẫn.
y ' = x 2 + 2 mx + m + 6 .
Để hàm số có cực trị thì phương trình:
x 2 + 2mx + m + 6 = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Vớ d 2: Tìm m để hàm số sau có cực đại và cực
tiểu y =(m+2 x3 +3x2 +mx 5
)

Giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu
phương trình y ' ( x) = 0 cã 2 nghiƯm ph©n biƯt
⇔ 3(m + 2) x 2 + 6x + m = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biƯt
m + 2 ≠ 0
m ≠ −2
⇔
⇔ 2
2
∆ ' = −3m − 6m + 9 > 0
 m + 2m − 3 < 0
⇔ −3 < m ≠ − 2 < 1

m > 3
⇔ ∆ ' = m2 − m − 6 > 0 ⇔ 
 m < −2

 BÀI TẬP:
1
Bài 1: Tìm m để hàm số : y = x 3 + mx 2 + (m + 6) x − (2m + 1) có cực đại và cực tiểu.
3
Bài 2: Tìm m để hàm số y = x 4 + 2mx 2 + 3m 2 + 2 có ba im cc tr.
Bài 3: Tìm m để hàm số f ( x) = 2 x 3 + 3(m − 1) x 2 + 6(m − 2) x − 1 có đường thẳngđi qua CĐ,CT song song với
đường thẳng y = ax + b .
.

.

.

.

.

.


Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận
.

.

9

.

.

.

.

Bài tốn 4 : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
PHƯƠNG PHÁP:
Cách 1:
(Áp dụng chung)
- Lập bảng biến thiên
của f ( x) trên D.
- Từ bảng biến thiên
suy ra GTLN, GTNN.

Cách 2: (Nếu f ( x) liên tục trên D = [a;b])
- Tìm các điểm x1 , x2 , …, xn trên khoảng (a;b)
mà tại đó f , ( x) bằng 0 hoặc f , ( x) khơng tồn tại.
- Tính f (a), f (x1), f (x2), … f (x n), f (b) .
,
- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các
số trên.
-Ta có: min f ( x) = m, max f ( x) = M
[ a ;b ]

Ví dụ1:. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm
1
số y = x + trên khoảng (0 ; + ∞ )
x
Giải(C1)
1

* Xét hàm số y = f ( x ) = x + trên D = (0; +∞ )
x
2
1 x−
1
* Ta có: y' = − 2= 2 ⇒ 0 ⇔ 1 2 =x 1
1
y' = x −0 ⇒ =±
x x
Ta có lim f ( x) = +∞ , lim f ( x ) = +∞
x →+∞

x →0

* Bảng biến thiên

* Vậy minf ( x ) = 2 khi x = 1
Hàm số khơng có giá trị lớn nhất.
Ví dụ2:Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
hàm số f (x) = x 2 − ln(1 − 2x) trên đoạn [-2; 0].
Giải(C2):
* Xét hàm số f (x) = x 2 − ln(1 − 2x) trên D = [-2;0].
2
−4x 2 + 2x + 2
* Ta có : f’(x) = 2x +
=
1 − 2x
1 − 2x
f’(x) =0 ⇔ x = 1(loại) hay x = − 1 (nhận);
2

* Vì f(x) liên tục trên [-2; 0] , mà
-2

0

f(x)

4 – ln5

0

−

1
2

1
− ln 2
4

* Vậy : maxf (x) = 4 − ln5 khi x = – 2
[ −2;0]

.

[ a ;b ]

1
= (cos2x + sin2x )2 – 2sin2x cos2 = 1– sin22x

2
Ta có 0 ≤ sin22x ≤ 1
1
1
⇔ 0 ≥ – sin22x ≥ –
2
2
1 2
1
⇔ 1 ≥ 1 – sin 2x ≥
2
2
1


2
min f ( x) = khi
sin = 1 ⇔x = +k
2x
2
4
2

2
max f ( x ) = 1 khi
sin 2 ⇔ x = k
x=0
2
 BÀI TẬP:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) các hàm

số sau:
a) f(x) = x 3 + 3 x 2 − 9 x + 1 trªn [-4; 4]

c) f(x) = x 4 − 8 x 2 + 16 trên đoạn [-1; 3]
d) f(x) = x 3 + 3 x 2 − 9 x 7 trên đoạn [-4; 3]

e) y = 3 x + 2 cos x trên  0 ;  ;


f) y =

x +1



2



j) y = x + 4 − x 2

;

x − x +1
g) y = cos 2 2 x − sin x.cos x + 4 ; l) y = cos 4 x + sin 6 x
2

h) y = (3 − x) x 2 + 1 trên đoạn [0;2] ;
i ) f ( x ) = 3x 3 − 2 x 2 − 5 x + 1 trên [ 0;3] ;
k) f ( x) =

ex
trên đoạn [ ln 2 ; ln 4 ]
ex + e

;

m) f ( x) = ln( x + 5 + x 2 ) trên đoạn [-2;2].
..................................................................................................................................................................

1
− ln 2 khi x = − 1
2
4

..................................................................................................................................................................

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
4
4
hàm số f ( x ) = cos x + sin x .
Giải(C3):
4
* f ( x) = cos x + sin 4 x
.

x∈D

....................................................................................................................................................................

[ −2;0]

min f (x) =

x∈D

max f ( x) = M khi x = x2

b) f(x) = x 3 + 5 x 4 trên đoạn [-3; 1]

x(0;+ )

x

Cỏch 3: (Dùng tính chất bất
đẳng thức) m ≤ f ( x ) ≤ M và
Tồn tại: f(x1) = m với x1∈ D
f(x2) = M với x2∈ D,
⇒ min f ( x) = m khi x = x1

.

................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................

.

.

.


Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận
.

.

.

10
.

.

.

Bài tốn 5: TÌM ĐIỂM ĐẶC BIỆT.
 Điểm thuộc đồ thị hàm số y = f(x) ln có dạng: M(a;f(a))với a  D(tập xác định)
 Điểm uốn: Hoành độ điểm uốn của hàm số y = f(x) là nghiệm của phương trình f"(x) = 0
 f '(xo) =0
 Điểm cực trị: Điểm M(xo; f(xo)) nếu 
.( Hoành độ là nghiệm của phương trình: f'(x) = 0 )
 f ''(xo) ≠0
 Điểm tọa độ nguyên của hàm phân thức dạng y =
Khi đó a 2 x + b 2 là các ước của b.
3x − 1
Ví dụ 1: Cho hàm số y =

có đồ thị (H).
x +1
Tìm các điểm trên (H) có toạ độ là các số
nguyên.
Giải :
3x − 1
4
Ta có y =
.
= 3−
x +1
x +1
Điểm M(xo; yo)∈ (H) với x, y thuộc Z
4
⇒
∈ Z ⇒ x + 1 là ước số của 4.
x +1
x + 1 = 1
x = 0
 x + 1 = −1
 x = −2


x + 1 = 2
x = 1
⇒
⇔
.
 x + 1 = −2
 x = −3

x + 1 = 4
x = 3


 x + 1 = −4
 x = −5
Vậy trên (H)có 6 điểm có tọa độ là các số nguyên:
(0; -1), (–2; 7), (1; 1), (–3; 5), (3; 2), (–5; 4)

a1x + b1
b
(Chuyển về y = a +
: a, b nguyên)
a 2 x + b2
a 2 x + b2

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4 - 6x2.Viết phương trình
tiếp tuyến tại các điểm uốn.
Giải :
3
Ta có y' = 4x – 12x , y"= 12x2 –12
y” = 0 ⇔ 12x2 – 12 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1
+) Với x = 1 ⇒ y(1) = – 5 ⇒ y'(1)= –8
Phương trình tiếp tuyến:
y = – 8(x – 1) – 5 ⇔ y = – 8x + 3
+) Với x = 1 ⇒ y(–1) = – 5 ⇒ y'(– 1)= 8
Phương trình tiếp tuyến:
y = 8(x + 1) – 5 = 0 ⇔ y = 8x + 3
1
Ví dụ 3: Cho hàm số y = ,có đồ thị (C).Tìm

x
điểm M thuộc (C) ,biết OM = 2 .
Giải :
1

Giả sử M  a;  thuộc (C) với a ≠ 0 , theo bài ra
 a
2

1
OM = 2 ⇔ a 2 +   = 2 ⇔ a 4 − 2a 2 + 1 = 0
a

⇔a2 = 1 a =± ⇒M≡ M1(1 hoặc M ≡M2( 1−1)
⇔ 1
;1)
−;

IV.CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1: Cho hàm số y = 2 x3 − 3 x 2 + 4
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b) Tính khoảng cách giữa 2 điểm cực đại của đồ thị
hàm số. (ĐS: d=2)
2
Bài 2: Cho hàm số y =
; có đồ thị (H)
x −1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng d: x + 2y −5= 0 .

Bài 3: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 4 , gọi đồ thị (C).
Trên (C) lấy điểm A có hồnh độ x A = 2 .Viết
phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại A.
3
Bài 4: Cho hàm số y =
.
x−2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Tìm k để đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ, có
hệ số góc k, cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
.

.

.

y = sin 4 x + cos 4 x
Bài 5: Cho hàm số y =

2x + 3
có đồ thị (C).
−x +1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Tìm các điểm trên đồ thị ( C ) của hàm số có tọa
độ là những số nguyên.
Bài 6: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 4 (C) . Tính diện
tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
1

Bài 7: Cho hàm số y = x 4 − 4 x 2 + 6 (C)
2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của (C)
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
1
− x 4 + 4 x 2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt
2
2
Bài 8: Cho f (x) = x3 + (m +1)x2 + (m2 + 4m + 2)x
3
a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên 
.

.

.


Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận

11

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.