ĐỀ THI CAO HỌC TOÁN QUY NHƠN 2010

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN

ðỀ CHÍNH THỨC
ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2010
NGÀNH: TOÁN HỌC
Môn thi: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề.

HUỲNH ĐỨC KHÁNH - CAO HỌC TOÁN QUY NHƠN KHÓA 14 – 0975.120.189

Câu 1. Cho hàm hai biến số
2
: f →
ℝ ℝ
xác ñịnh bởi

( )
(
)
( ) ( )
( ) ( )
3 3
2 2
sin
khi , 0,0
,
0 khi , 0,0 .
x y
x y
f x y

x y
x y

+

≠
=
+


=



a) Xét tính liên tục của
f
, sự tồn tại và tính liên tục của các ñạo hàm riêng cấp một của
f
.
b) Xét tính khả vi của
f
.
Câu 2. a) Cho hàm ño ñược không âm
(
)
f x
trên tập hợp A có ñộ ño hữu hạn. Với mỗi
0
n
≥

ta ký
hi
ệ
u
(
)
{
}
: 1
n
A x A n f x n
= ∈ ≤ < +
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
ñủ

ñể

(

)
f x
kh
ả
tích
Lebesgue là chu
ỗ
i
0
n
n
n A
µ
≥
∑
h
ộ
i t
ụ
.

b)
Xét tính kh
ả
tích và tính tích phân Lebesgue (n
ế
u có) c
ủ
a
( )

3
1
1
f x
x
=
−
trên
[
]
1,2
.
Câu 3. a)
Cho hàm s
ố

)
)
: 0, 0,f
+∞ → +∞
 
 

ñơ
n
ñ
i
ệ
u t
ă

ng th
ỏ
a mãn
(
)
(
)
0 0, 0
f f t
= >
khi
0
t
>
và
(
)
(
)
(
)
f u v f u f v
+ ≤ + v
ớ
i m
ọ
i
)
, 0,u v
∈ +∞



. Xét không gian mêtric
(
)
,
X d
và v
ớ
i m
ỗ
i
,
x y X
∈
ta ñặt
(
)
(
)
(
)
, , .
x y f d x y
δ
=

i) Chứng tỏ rằng
δ
là một không gian mêtric trên

X
.
ii) Chứng tỏ rằng nếu
f
là một hàm liên tục tại 0 thì ánh xạ
(
)
(
)
: , ,
id X d X
δ
→
và cả ánh
xạ ngược của nó cũng liên tục ñều. Từ ñó suy ra các dãy Cauchy trong
(
)
,
X d
và
(
)
,
X
δ
trùng
nhau.
b) Trong không gian mêtric
[
]

,
C a b
các hàm số liên tục trên
[
]
,
a b
với mêtric ''max'' xét tập con
M
thỏa mãn:
[
]
0
, 0, ,
m L x a b
∃ > ∃ ∈
sao cho
(
)
0
, ;
f x m f M
≤ ∀ ∈ và
(
)
(
)
[
]
, , , , .

f x f y L x y f M x y a b
− ≤ − ∀ ∈ ∀ ∈
Chứng minh rằng
M
là compact tương ñối trong
[
]
,
C a b
.
Câu 4. Cho không gian vec–tơ
{ }
{
}
{
}
1
1
1
: day hôi tu
n
c n k
n
k
n
S x x x
∞
∞
=
=

=
= = ⊂
∑
ℝ
. Xét ánh x
ạ

. :
c
S →
ℝ

cho b
ở
i
{ }
1
:sup ,
n
k n c
n
k
x x x x S
=
= ∀ = ∈
∑
.

a)
Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng
.
là m
ộ
t chu
ẩ
n trên
c
S
và
(
)
, .
c
S là m
ộ
t không gian Banach.

b)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng không gian
ñị
nh chu
ẩ

n
1
l
trù m
ậ
t trong
c
S
.

c)
Xét t
ươ
ng
ứ
ng
0
:
c
A S c
→ cho b
ở
i
( )
{
}
1
k
k n
n

A x x
∞
∞
=
=
=
∑
v
ớ
i m
ọ
i
{
}
n c
x x S
= ∈
. Ch
ứ
ng minh
r
ằ
ng
A
là m
ộ
t
ñồ
ng phôi tuy
ế

n tính. Tính
A
và
1
A
−
.

HẾT
Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.