Tai lieu toan He phuong trinh chua can

155
D. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN
Ví dụ 1:
Cho hệ phương trình:
xya
xy xya
⎧
+=
⎪
⎨
+− =
⎪
⎩
(a là tham số thực)
1. Giải hệ đó khi: a = 4
2. Với những giá trò nào của a thì hệ đã cho có nghiệm.
(CAO ĐẲNG SƯ PHẠM năm 1998).
Giải
Ta có:
22 2
xya xya
xya
xy xya
( x) ( y) xy a ( x y) 3 xy a
⎧⎧
⎧
+= +=
+=
⎪⎪ ⎪
⇔⇔

⎨⎨ ⎨
+− =
+−= +==
⎪⎪ ⎪
⎩
⎩⎩
Đặt
sxy
pxy
⎧
=+
⎪
⎨
=
⎪
⎩
thì hệ đã cho trở thành: (I)
2
sa
s3pa
=
⎧
⎪
⎨
−
=
⎪
⎩

1. Khi a = 4:

2
s4
s4
(I)
p4
43p4
=
⎧
=
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨
=
−=
⎪
⎩
⎩

x, y⇒ là nghiệm của phương trình:
2
t4t40−+=
2
(t 2) 0 t 2 x y 2 x y 4⇔− =⇔=⇔ = =⇔==
2.
2
sa
(I)
aa
p

3
=
⎧
⎪
⇔⇒
⎨
−
=
⎪
⎩
Hệ có nghiệm
2
s0
p0
s4p0
⎧
≥
⎪
⇔≥
⎨
⎪
−
≥
⎩

2
22
2
2
a0

a0
aa
0a0a1
3
3a 4a 4a
aa
a4 0
3
⎧
⎪
≥
⎪
⎧
≥
⎪
⎪
−
⎪
⇔≥ ⇔≤∨≥
⎨⎨
⎪⎪
≥−
⎩
⎪
⎛⎞
−
⎪− ≥
⎜⎟
⎜⎟
⎪

⎝⎠
⎩


156
a0
a0a1 a01a4
0a4
≥
⎧
⎪
⇔
≤∨≥ ⇔=∨≤≤
⎨
⎪
≤≤
⎩

Ví dụ 2:

Giải hệ phương trình:
x5 y27
x2 y57
⎧
+
+−=
⎪
⎨
−
++=

⎪
⎩

(ĐH Nông Nghiệp I Khối A năm 2001).
Giải
Đặt
2
2
x2 u
xu 2
(u,v 0)
y2 v
yv 2
⎧
⎧
−=
=
+
⎪⎪
≥⇔
⎨⎨
−=
=
+
⎪
⎪
⎩
⎩

Hệ

2
22
2
u7v7
u7v v7u
v7u7
⎧
++=
⎪
⇔
⇒++=++
⎨
⎪
++=
⎩

22 2 22 2
u7v2vu7v7u2uv7⇒+++ +=+++ +
22 22
v. u 7 u v 7 7(v u ) 0 u v 0
⇔
+= +⇔ + =⇔=≥
Thay vào
22
22
7u0
u7v7 u77u
u7(7u)
−≥
⎧

⎪
++=⇔ +=−⇔
⎨
+= −
⎪
⎩

0u7
x23 xy11
u3
≤≤
⎧
⇔
⇒−=⇔==
⎨
=
⎩

Ví dụ 3:

Đònh m để hệ sau có nghiệm:
x1 y2 m
(m 0) (*)
y1 x2 m
⎧
++ − =
⎪
≥
⎨
++ − =

⎪
⎩

Giải
Điều kiện
x10
x20 x2

y10 y2
y20
+≥
⎧
⎪
−≥ ≥
⎧
⎪
⇔
⎨⎨
+≥ ≥
⎩
⎪
⎪
−≥
⎩


157
x1y22x1y2 m (1)
(*)
y1x22y1x2 m (2)

⎧
++ − + + − =
⎪
⇔
⎨
++ − + + − =
⎪
⎩

(1) (2) : (x 1)(y 2) (y 1)(x 2) x y−+−=+−⇔=

xy
(*)
x1 x2 m
=
⎧
⎪
⇔
⎨
++ − =
⎪
⎩

Xét hàm số
f(x) x 1 (x 2)=++ − (x 2)≥
11
f'(x) 0
2x1 2x 2
⇒= + >
+−

khi x > 2
BBT:

Dựa vào BBT để hệ phương trình có nghiệm
m3m3
⇔
≥⇔≥