Các bài toán theo chuyên đề

ÔN THI TỐT NGHIỆP TOÁN 12


A. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1.1. Cho hàm số y =
2 1
1


x
x
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
1.2. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 2 có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x
3
– 3x
2
– m = 0.
1.3. Cho hàm số
3 2
3 1
y x x
   
có đồ thị (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A(3;1).
c) Dùng (C) định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt
3 2
3 0
x x k
  
.
1.4. Cho hàm số y =
2
1

x
x
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của(C) tại điểm có hoành độ x = -2.
1.5. Cho hàm số y = - x
4
+ 2x
2
+3 có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (C), tìm các giá trị của m để phương trình x
4
– 2x
2
+ m = 0 có bốn
nghiệm thực phân biệt.
1.6. Cho hàm số y = x(x – 3)

2
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
1.7. Cho hàm số y =
1

x
x
có đồ thị là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
1.8. Cho hàm số y =
4 2
1 5
3
2 2
 
x x có đồ thị là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 0).
1.9. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2
3



x
y
x

2. Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đứng bằng
khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
1.10. Cho hàm số y = (x – 1)
2
(x +1)
2
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng d: y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
1.11. Cho hàm số
1
1
x
y
x



(C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1).
1.12. Cho hàm số y = -x
3
+ 3x
2
– 2 có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -9.
1.13. Cho hàm số

3 2
1 2
3 3
    
y x mx x m



m
C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số khi m =0.
b) Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số


m
C
.
ÔN THI TỐT NGHIỆP TOÁN 12



“Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng”

2

1.14. Cho hàm số
4 2
2( 1) 1
y x m x   

(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
1.15. Cho hàm số y =
4
2
x 5
- 3x +
2 2
(1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 .
1.16. Cho hàm số Cho hàm số y = (x – 1)
2
(4 – x)
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A(2;2).
3/ Tìm m để phương trình: x
3
– 6x
2
+ 9x – 4 – m = 0, có ba nghiệm phân biệt.
1.17. Cho hàm số
3 2
y x 3x 4
  
có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Cho họ đường thẳng
(d ): y mx 2m 16

m
  
với m là tham số.
Chứng minh rằng
(d )
m
luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm cố định I.
1.18. Cho hàm số
3
3 2
  
y x x (C)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b.Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình :
3
3 1 0
   
x x m

c.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) và trục Ox .
1.19. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
3
1



x
y
x

2. CMR với mọi giá trị của m, (d) y = 2x + m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
3. Gọi A là giao điểm của (C) với trục Ox. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A.
1.20. Cho hàm số xxy 3
3
 có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng (d) x - 9y + 3= 0.
1.21 Cho hàm số y= x
4
-4x
2
+m có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát hàm số với m=3.
2/ Giả sử đồ thị (C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. Hãy xác định m sao cho hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phía dưới trục
hoành bằng nhau.
1.22 1/ Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = f(x)= -x
4
+2mx
2
-2m+1 luôn đi qua hai điểm cố
định A,B . Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A và B vuông góc với nhau
2/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số :y= f(x) khi m =
1/ 2
.
1.23 Cho hàm số
2
2 1
 



x
y
x
có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và các đường x = 0 và x = 2.
1.24 Cho hàm số
2
2
 


x
y
x
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết nó vuông góc với đường thẳng
1
42
2
 
y x
1.25 a) Tìm m để đồ thị hàm số y=x
3
+3x
2
+mx+1 cắt đường thẳng y=1 tại ba điểm phân biệt
C(0;1), D, E. Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại hai điểm D và E vuông góc với nhau .

b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ở câu 1/ khi m= 0.
ÔN THI TỐT NGHIỆP TOÁN 12



“Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng”

3

B. Sự biến thiên, cực trị, đạo hàm
1. Tìm m để hàm số sau đồng biến trên

.
a) y =
3
3
x
- (m + 1)x
2
+ 4x + 5 ; b) f(x) =
3
1
x
3
-
2
1
mx
2
– 2x + 1

2. Cho hàm số y = x
3
– (m + 2)x + m ( m là tham số). Tìm m để hàm số có cực trị tại x = 1.
3. Định m để hàm số: y = x
3
+ 3mx
2
+ mx có hai cực trị .
4. Tìm m để hàm số:
4 2
18 5 2008
  y x mx có 3 cực trị .
5. Cho hàm số y =
2
5
log ( 1)

x . Tính y’(1).
6. Cho hàm số f(x) =
ln 1

x
e
. Tính f
’
(ln2)
7. Cho hàm số y= xsinx . Chứng minh rằng : xy-2


' sin


y x
+xy’’=0.
8. ho hàm số: xy 3cos
2
 . Chứng minh rằng: y’’ + 18.( 2y-1 ) = 0.
C. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a)
2
1
 

x x
y
x
với
0

x
b) y =
ln
x
x
trên [1 ; e
2
]. c) y =
2
1


x
.
d) y = x
2
e
2x
trên (-

; 0 ]. e) y = sin2x – x trên ;
6 2
 

 
 
 
. f)
2
4 4 .
  
y x

g)
2
f(x)= x -4x+5
trên
[ 2; 3]

. h) y =
.ln
x x

trên [ 1; e ]. i) y = x – lnx + 3.
j) y =
cos
 x
e x
trên [0, ]. k) y = (x – 6)
2
4

x
trên [0 ; 3]. l) y = 2sin
2
x + 2sinx –1.
m)
1
 
y x
x
trên ( 0 ; +∞ ). n)
   
3 2
y 2sin x cos x 4sinx 1

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a)
4 2
1
( ) 2
4
  

f x x x trên [-2 ;0] b)
4 2
8 16
  
y x x trên [ -1;3].
c) y =
3 2
2 4 2 1
  
x x x
trên
[ 2;3]

. d)
3 2
( ) 3 9 3
   
f x x x x
trên


2;2
 .
e)
3 2
2 3 12 10
   
y x x x trên [-3;3]. f) y =
3 2
2 4 2 2

   
x x x trên
[ 1; 3]

.
D. Tương giao
1. Tìm m để đường thẳng d: y= mx+1 cắt đồ thị (C): y =
2
3
1


x
x
tại hai điểm phân biệt.
2. Viết phương trình đường thẳng

(d)
3
1
3
4
 xy và tiếp xúc với đồ thị hs
1
1
2



x

xx
y .
3. Cho hàm số
1
x
3xx
y
2



(C). Tìm trên (C) các điểm M cách đều 2 trục tọa độ.
4. Xác định tọa độ giao điểm của tiệm cận xiên của đồ thị
2
3 1
2
 


x x
y
x
với (P):
2
3 2
  
y x x .
5. Viết phương trình đường thẳng // (d): 3




xy và tiếp xúc với đồ thị hàm số
x
x
y



1
32
.
6. Cho hàm số y =
2
3 6
2
 

x x
x
(1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2;0) và có hệ
số góc là k. Với giá trị nào của k thì đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị của hàm số (1).
7. Cho hàm số :
)1x(2
4xx
y
2


 , có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) tất cả các điểm mà hoành
độ và tung độ của chúng đều là số nguyên.

8. Tìm m để hàm số:
2
2 4
2
  


x mx m
y
x
có 2 cực trị nằm cùng một phía so với trục hoành.
ÔN THI TỐT NGHIỆP TOÁN 12



“Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng”

4


2.1 Giải phương trình :
a) log
3
(x+1) + log
3
(x+3) = 1. b)
log log ( 3) 2
2 4
x x
  

c)
1
2 2
log (2 1).log (2 2) 6

  
x x

d) log(x–1) – log(x
2
–4x+3) = 1. e)
2 4 16
log log log 7
  
x x x
f)
9
4log log 3 3
 
x
x

g) 99loglog
2
3
3
 xx h)
2 2
2 2 2
log ( 1) 3log ( 1) log 32 0

x x
    

i) log
3


3 1

x
.log
3


1
3 3


x
= 6.
2.2 Giải phương trình:
a) 3
x
+ 3
x+1
+ 3
x+2
= 351. b)
1 1
3 3 10

x x
 
 
c)
2
3 5.3 6 0
x x
  

d) 4
x
+ 10
x
= 2.25
x
. e)
4.9 12 3.16 0.
x x x
   f)
2 1
3 .5 7 245
 

x x x
.
g)
16 17.4 16 0
  
x x
h)

12
3 6
3 3 80 0

  
x x
i)
2 3
3.2 2 2 60
 
  
x x x

2.3 Giải phương trình: a)
6log 1 log 2
2
x
x
 
; b)
3
2 log
3 81


x
x
.
2.4 Giải bất phương trình:
a)

2 2
log 5 3log
2 2
x x
 
. b)
2
2 3
3 4
4 3

 

 
 
x x
; c)
2.9 4.3 2 1
  
x x
d)
0,5
2 1
2
5
log



x

x

e) log
3


2

x

log
9


2

x f)
1033
11

 xx
g)
x 1
x 1
x 1
( 2 1) ( 2 1)



   .

2.5. Giải hệ phương trình: a)
2
2 4
2
2 4
5log log 8
5log log 19

 


 


x y
x y
b)
1
2 3 0
5 5 10

  


 

x y
x y

2.6. Tìm tập xác định của hàm số: y =

3
1 log ( 2)
 
x
.

3.1 Tính : a) I =
2
3
0
cos .


x dx
; b) I =
tan
4
2
0
cos


x
e
dx
x
; c) I =
2
2
0

cos 4 .


x dx
; d)I =
4
0
sin 2
1 cos2



x
dx
x
.
e) I =
2
2
0
sin 2 .


x dx
. f) I =
2
2
0
cos2
1 sin




x
dx
x
g) I =
3
0
(cos4 .sin 6 )



x x x dx
.
h)J =
2
3
3
2
cos 3
3



 

 
 


x dx
i)I =
2
0
sin 2
.
1 cos



x
dx
x
k)
2
3
0
(1 2sin ) cos
x xdx
I



.
3.2 Tính: a) I=
3
3 2
0
1



x x dx b)
1
5 3
0
1 

I x x dx
c)
2
3
2 3
1
1 

I x x dx
d)
2
2
3
0
1



x
I dx
x
e) I =
2

2
1
1


x x dx
f)
 
1

1
3
2
0
I = 2x xdx
g)
7
3
3 2
0
1



x
I dx
x
; h)J =
1
2

0
2
 

dx
x x
.
i)
 
1

1
3
2
0
I = 4x .xdx
j)
1
1 ln


e
x
I dx
x
k) I =
9
2
4
( 1)

dx
x x


l) I =
3
1
(1 ln )
.


e
x
dx
x
.
3.3 Tính : a) I =
1
0
( 1) .


x
x e dx
; b) I=
 
cos
0
sin




x
e x xdx
; c)
2
2
0
( sin )cos

 

E x x xdx

d)
2
1
( 1)ln 

e
I x xdx
; e) I =
 
2
2
1
ln

e
x x xdx

; f)
1
0
ln(1 )
 

I x dx
.
g)
1
0
(2 1)
x
I x e dx
 

. h)
 
2
3
sin cos sin
0
I x x x x dx

 

.
ÔN THI TỐT NGHIỆP TOÁN 12

“Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng”

5

3.4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
a) y =
2
1
4
x
và y =
2
1
3
2
 
x x
; b) y = 3 và y = x
2
– 2x.
c) y = lnx, y = 0, x =
1
e
, x = e ; d)
, 2 , 0
y x y x y
   
.
e) y = 4 – x

2
, y = -x + 2; f) y = x
2
+ 1, tiếp tuyến của (P) tại M(2;5) và trục Oy.
3.5 Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh Ox
a) y = tanx, y = 0, x = 0, x =
4

. b) y =
1
2
.
x
x e
, y = 0, x = 0, x = 1
c) y = lnx, y = 0, x = 2 ; d) y =
1
2


x
x
, y = 0, x = -1 và x = 2
e) y = sinx.cosx, y = 0, x = 0, x =
2

; f)
2
2 1, 0, 2, 0
      

y x x y x x
3.6 Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh Oy
a) y = x
2
và y = 6 - | x | b) y = 2 – x
2
và y = | x |
c) y = lnx, trục tung và hai đường thẳng y = 0, y = 1.


4.1 Giải các phương trình sau trong tập số phức

:
a) x
2
– 2x + 5 = 0 . b) z
4
– 1 = 0. c) 2z
2
+ z +3 = 0. d) z
4
– z
2
– 6 = 0
e)
2
2 7 0
  
x x
f)

4 2
3 4 7 0
  
z z
g)
2
2 17 0
z z
  
h) x
2
+ x + 1 = 0
4.2 Cho số phức z =x+yi (x, y
)

R
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z
2
– 2z + 4i.
4.3 Biểu diễn số phức z = 1 – i.
3
dưới dạng lượng giác.
4.4.Tìm môđun của số phức:
a)
 
2
2 2
   
z i i
. b)

3
(1 2 )
3



i
z
i
. c) Z =


2 3
 i
1
3
2
 

 
 
i .
4.5. Tính : a)


8
3

i
b) Q = ( 2 +

5
i )
2
+ ( 2 -
5
i )
2
. c) T =
5 6
3 4


i
i

4.6. Giải phương trình : a)
2 1 3
1 2
i i
z
i i
  

 
. b) (z + 2i)
2
+ 2(z + 2i) - 3 = 0.
c) (3+2i)z = z -1 d) (z + 2i)
2
+ 2(z + 2i) – 3 = 0. e) z

3
- (1+i)z
2
+ (3+i)z - 3i = 0.
f)
2
4z i 4z i
5 6 0
z i z i
 
  
 
 
 
 
. g) x
2
+ (1 + i)x – ( 1 – i) = 0
4.7. Cho số phức
1 3
2 2
  
z i
, tính z
2
+ z +3 .
4.8. Tìm số phức z thoả mãn
5

z và phần thực bằng 2 lần phần ảo của nó.

4.9. Tìm căn bậc hai của số phức
4
 
z i
.
4.10.Tìm nghiệm phức của phương trình
2 2 4
  
z z i

4.11. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:
2 2
(1 ) (2 1)
1
 
 

i i
z
i i

4.12. a) Cho số phức 31 iz  . Tính
22
)(zz  ; b) Cho số phức



1 i
z
1 i

. Tính
2010
z
.
4.13. Trên tập số phức , tìm B để phương trình bậc hai
2
z Bz i 0
  
có tổng bình phương hai
nghiệm bằng
4i

.

ÔN THI TỐT NGHIỆP TOÁN 12



“Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng”

6


A. Đa diện, mặt tròn xoay
1. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B,
aAC

, SA
( )


ABC
, góc giữa
cạnh bên SB và đáy bằng 60
0
. Tính thể tích của khối chóp.
2. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu
vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB . Mặt bên (AA’C’C) tạo với
đáy một góc bằng

45
. Tính thể tích của khối lăng trụ này .
3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên đều tạo với đáy một
góc 60
0
. Tính thể tích của khối chóp.
4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60
0
.
a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b/ Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngọai tiếp hình chóp.
5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA

(ABC), biết AB = a, BC
=
3
a
, SA = 3a.
1/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
2/ Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài của cạnh BI theo a.
6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết AB = a, BC = 2a, SC = 3a

và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
7. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA = a
3
và vuông góc với đáy.
1/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
2/ Chứng minh trung điểm I cạnh SC là tâm của mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S.ABCD.
8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên 2aSA  và vuông góc với
đáy, góc giữa SC và đáy là 45
0
.Tính thể tích của khối chóp.
9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SB vuông góc với
đáy, cạnh bên SC bằng
3
a
.
1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
2. Chứng minh trung điểm của cạnh SD là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
10. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC đôi một vuông góc với nhau. Biết SA = a, AB =
BC = a
3
.Tính thể tích của khối chóp và tìm tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
11. Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng a
3
và hình
chiếu của A’ lên mp(ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
12. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp một hình lăng trụ tam giác đều có 9 cạnh đều
bằng a.
13. Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh là
4


.
1. Tính diện tích toàn phần của hình trụ.
2. Tính thể tích của khối trụ.
14. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, (a >0). Tam giác SAC cân tại S góc
SAC bằng 60
0
, (SAC)  (ABC) . Tính thể tích của của khối chóp S.ABC theo a.
15. Cho tứ diện S.ABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA=a, SB=b, SC=c. Hai
điểm M, N lần lượt thuộc 2 cạnh AB, BC sao cho
1 1
,
3 3
 
AM AB BN BC
. Mặt phẳng (SMN) chia
khối tứ diện S.ABC thành 2 khối đa diện (H) và (H’) trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh C.
Hãy tính thể tích của (H) và (H’).
16. Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a; AB = AC= b,

60

BAC . Xác định tâm và bán hình cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.
17. Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA= a, (a > 0 ) và đáy là tam giác đều. Góc giữa mặt
bên (SBC) và mặt dáy bằng 60
0
. Tính thể tích của của khối chóp S.ABC theo a.
ÔN THI TỐT NGHIỆP TOÁN 12

“Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng”

7

18. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a;góc SAB bằng 30
0
.Tính diện tích
xung quanh của hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
19. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
, 3,
 AB a AC a
mặt bên SBC là
tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.
20. Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên gấp đôi
cạnh đáy và bằng a ?
21. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, cạnh bên SC tạo với đáy một góc 30
o
.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp.
b) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
22. Thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng đi qua trục của nó là m
ột tam giác đều cạnh a.
Tính diện tích xung quanh; toàn phần và thể tích khối nón theo a ?
23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. SA = 3a, SB = 5a, AD = a
1.Tính độ dài AB.
2.Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.
24. Cho hình chóp tứ giác đều, tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tích hình chóp S.ABCD
25. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD và O là tâm của đáy ABCD. Gọi I là trung điểm CD.

a. Chứng minh rằng CD vuông góc với mặt phẳng (SIO).
b. Giả sử SO = h và mặt bên tạo với đáy của hình chóp một góc

.
Tính theo h và

thể tích của hình chóp S.ABCD.
26. Tính thể tích của khối tứ giác đều chóp S.ABCD biết SA=BC=a.
27. Tính thể tích của khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh a, góc giữa đường chéo
mặt bên và đáy là 30 độ.
28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều
và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm AB. Chứng minh rằng: SH vuông góc mặt phẳng
(ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
29. Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b,
AC = c và

0
90
BAC . Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
30. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích 2009 cm
3
. Tính thể tích khối tứ diện C’ABC.
B. Phương pháp tọa độ trong không gian
1. Trong hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;1;0) và mặt phẳng (P): x + y – 2z + 3 = 0.
1/ Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mp(P).
2/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm.
2. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-1 ; 2 ; 1) và đường thẳng (d):
1 2
2 1 1
 

 

x y z
.
1/ Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với (d).
2/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với (d). Tìm tọa độ giao điểm.
3. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;2;0), B(-3;0;2), C(1;2;3), D(0;3;-2).
1/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và phương trình đường thẳng AD.
2/ Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD.
4. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-2;0;1), B(0;10;2), C(2;0;-1), D(5;3;-1).
1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C và viết phương trình đường
thẳng đi qua D song song với AB.
2/ Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ D.
5. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0 và điểm M(1, -2 ; 3).
1/ Viết phương trình mp(Q) qua M và // với mp(P). Tính khoảng cách từ M đến mp(P).
ÔN THI TỐT NGHIỆP TOÁN 12



“Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng”

8

2/ Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M lên mp(P).
6. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):3x–2y+2z–5=0, (Q): 4x+5y–z+1=0.
1/ Tính góc giữa và viết phương tình tham số giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
2/ Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua gốc tọa độ O vuông góc với (P) và (Q).
7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm D(-3 ; 1 ; 2) và mặt phẳng (P) đi qua ba
điểm A(1 ; 0 ; 11), B(0 ; 1 ; 10), C(1 ; 1 ; 8).
1/ Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng (P).

2/ Viết phương trình mặt cầu tâm D, bán kính R = 5. Chứng minh mặt cầu này cắt (P).
8. Trong hệ Oxyz, cho mp(P): 2x+2y+z+5=0 và mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
–2x–4y+4z=0.
1/ Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S).
2/ Viết phương trình mp(Q) song song với (P) và tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ của tiếp
điểm.
9. Trong hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1 ; 4 ; 0), B(0 ; 2 ; 1), C(1 ; 0 ; -4).
1/ Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành và tìm tọa độ tâm hình bình hành .
2/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua trọng tâm

ABC và vuông góc với (ABC).
10. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d:
1 2 3
2 1 1
  
 
 
x y z
, d':
1 5
1 3



  



  

x t
y t
z t

1/ Chứng minh d và d’ chéo nhau.
2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’. Tính khoảng cách giữa
d và d’.
11. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1;-2;2), B(1;0;0), C(0;2;0), D(0 ; 0 ; 3).
1/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
2/ Tìm điểm A’ sao cho mp(BCD) là mặt phẳng trung trực của đọan AA’.
12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1 1
2 1 2
 
 
x y z
và hai mặt phẳng
(P
1
): x + y – 2z + 5 = 0, (P
2
): 2x – y + z + 2 = 0.
1/ Tính góc giữa mp(P
1
) và mp(P
2

), góc giữa đường thẳng d và mp(P
1
).
2/ Viết phương trình mặt cầu tâm I thuộc d và tiếp xúc với mp(P
1
) và mp(P
2
).
13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3 ; 0 ; -2), B(1 ; -2 ; 4).
1/ Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng trung trực đọan AB.
2/ Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua điểm B. Tìm điểm đối xứng của B qua A.
14. Trong hệ Oxyz, cho điểm A(2; -1; 3), mp(P): 2x - y - 2z + 1 = 0 và d:
1 2
2 1 3
 
 

x y z
.
1/ Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng của A qua mp(P).
2/ Tìm tọa độ của điểm M trên d sao cho khoảng cách từ M đến mp(P) bằng 3.
15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(2 ; 1 ; 1), B(2 ; -1 ; 5).
1/ Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB.
2/ Tìm điểm M trên đường thẳng AB sao cho tam giác MOA vuông tại O
16. Trong hệ Oxyz, cho mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2

–2x–4y–6z=0 và 2 điểm M(1;1;1), N(2;-1;5).
1/ Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua các
hình chiếu của tâm I trên các trục tọa độ.
2/ Chứng tỏ đường thẳng MN cắt mặt cầu (S) tại hai điểm. Tìm tọa độ các giao điểm đó
17. Cho điểm A(2;0;1), mặt phẳng(P): 012




zyx và đường thẳng (d):
1 2
1 2 1
x y z
 
  .
1. Lập phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng (d).
ÔN THI TỐT NGHIỆP TOÁN 12



“Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng”

9

18. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d:
1 1 2
2 3 4
  
 

x y z
và d’:
2 2
1 3
4 4
  


 


 

x t
y t
z t

1/ Chứng minh d song song với d’. Tính khoảng cách giữa d và d’.
2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’.
19. Trong hệ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 1), mp(P): x+y–z–2 = 0 và d:
2 1
1 1 1
 
 

x y z
.
1/ Tìm điểm A’ đối xứng của A qua d.
2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua A, song song với mp(P) và cắt d.
20. Trong hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d):

2 3
1 2 2
 
 

x y z
và (P):
2 2 6 0
   
x y z
.
1. Viết phương trình mặt cầu tâm
(1; 2; 3)
I và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) trên mặt phẳng (P).
21. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3) và mặt phẳng (P): x - 2y + z + 3 = 0
a. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P).
b. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm M và vuông góc với
mp(P). Tìm tọa độ giao điểm H của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P).
22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz:cho A(1;0;0), B(1;1;1),
1 1 1
; ;
3 3 3
 
 
 
C
a)Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng




đi qua O và vuông góc với OC.
b) Viết phương trình mặt phẳng



chứa AB và vuông góc với




23. Cho mặt cầu (S) có đường kính AB, biết A(6;2;-5), B(-4;0;7).
1. Lập phương trình mặt cầu (S).
2. Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A.
24. Trong không gian Oxyz, cho




: 2 3 1 0; : 5 0
 
       
x y z x y z và điểm M (1; 0; 5).
1. Tính khoảng cách từ M đến




2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến (d) của





va
 
đồng thời vuông
góc với mặt phẳng (P):
3 1 0
  
x y
25. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1 1
2 1 2
 
 
x y z
và hai mặt phẳng
052:)(




zyx

và 022:)(




zyx


. Lập phương trình mặt cầu tâm I thuộc đường
thẳng d và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng




,
 
.
26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A, B có tọa độ xác định bởi các hệ
thức
2 , 4 4
   
    
 
OA i k OB j k
và mặt phẳng (P): 3x – 2y + 6z + 2 = 0.
1/ Tìm giao điểm M của đường thẳng AB với mp(P).
2/ Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AB trên mp (P).
27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2 ; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) và C(0; 0; 4).
1.Viết phương trình mặt cầu qua 4 điẻm O, A, B, C. Xác định toạ độ tâm I và tính bán
kính R của mặt cầu.
2.Viết phương trình mặt phẳng ( ABC) và đường thẳng d qua I vuông góc với (ABC).
28. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1 2
2
 








x t
y t
z t
và mp(P): x+ 2y –2z + 3 = 0.
1/ Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ, vuông góc với d và song song với (P)
2/ Viết phương trìng mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc (P) và có bán kính bằng 4.
29. Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A (0; 1; 2) và B (-3; 3; 1).
ÔN THI TỐT NGHIỆP TOÁN 12



“Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng”

10

a/ Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua B
b/ Viết phương trình tham số của đường thẳng (d ) qua B và song song với OA
c/ Viết phương trình mặt phẳng ( OAB)
30. Chứng minh rằng điểm A (1; -1; 1) và hai đường thẳng sau cùng thuộc một mặt phẳng

   
1 2
1 2
: 1 2 ; :
1 2 1

3
x t
x y z
d y t d
z t


 

    


 

.
31. Trong hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng
1
1
: 1
2
 


   




x t
y t

z
;
2
3 1
:
1 2 1
 
  

x y z

1.Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng 
1
và song song với đường thẳng 
2

2.Xác định điểm A trên 
1
và điểm B trên 
2
sao cho AB ngắn nhất .
32. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz:
a) Lập phương trình mặt cầu có tâm I(-2;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng
2 2 5 0
   
x y z

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng:
4 2 12 0 8 4 2 1 0
x y z và x y z

       

33. Trong hệ toạ độ Oxyz cho A(4 ; 3; 2) , B( 3; 0; 0 ) , C(0; 3; 0) và D(0; 0; 3).
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và G là trọng tâm của tam giác BCD.
2. Viết phương trình mặt cầu tâm Avà tiếp xúc (BCD).
34. Cho điểm A(3;4;2), đường thẳng (d):
3
1
2
1


zyx
và mp(P): 0124




zyx .
1. Lập phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(P) và cho biết toạ độ tiếp điểm.
2. Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc (d) và song song với mp (P).
35. Trong hệ toạ độ Oxyz cho A(2 ; 4; -1) , B( 1; 4; -1 ) , C(2; 4; 3) và D(2; 2; -1).
1. CMR AB AC, AC  AD, AD  AB . Tính thể tích của tứ diện ABCD.
2.Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm A, B, C, D. Xác định toạ độ tâm I và tính bán
kính của mặt cầu.
36. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(5;0;4), B(5;1;3), C(1;6;2), D(4;0;6).
a. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB
b. Viết phương trình mặt phẳng
( )


đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC).
37. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;4;2) và mặt phẳng (P): x + 2y + z – 1 = 0.
1. Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P).
38. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho (d):
2 3
1 2 2
 
 

x y z
và mp(P):
2 2 6 0
   
x y z
.
1. Viết phương trình mặt cầu tâm
(1; 2; 3)
I và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình mặt phẳng
( )

chứa đường thẳng (d) và vuông góc với mp(P).
39. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(-1;2;0), B(-3;0;2), C(1;2; 3), D(0;3; -2).
1. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
2. Viết phương trình mặt phẳng
( )

chứa AD và song song với BC.
40. Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2;2;3) ; B(1;2;-4) và C(1;-3;-1)

1/Viết phương trình mặt phẳng ABC
2/Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Tâm của mặt cầu có trùng với
trọng tâm của tứ diện không?
41. Cho mặt phẳng (P): 2x+y-z-3=0 và đường thẳng (d):
2 3
1 2 2
 
 

x y z

1. Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).
ÔN THI TỐT NGHIỆP TOÁN 12



“Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng”

11

2. Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng (d) trên mặt phẳng (P).
42. Trong không gian cho hai đường thẳng (d
1
)
2 1
2( )
3 1
 



  


 

x t
y t t R
z t
d
2
)
2
1 2 ( )
1
 


  


 

x m
y m m R
z m

a. Chứng tỏ d
1
và d
2

cắt nhau
b. Viết phương trình mặt phẳng (p) chứa (d
1
)và (d
2
)
c. Viết phương trình mặt cầu đường kính OH với H là giao điểm của (d
1
) và (d
2
).
43. Cho bốn điểm A(-2;6;3), B(1;0;6), C(0;2;-1), D(1;4;0)
1. Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
2. Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD.
3. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và song song với CD.
44. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(1; 2; 2), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)
+ Tính

AB
.

AC

+ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ).
+ Viết phương trình mặt cầu tâm I ( -2;3;-1) và tiếp xúc (ABC).
45. Trong hệ toạ độ Oxyz cho các điểm A(0,1,2), B(2,3,1), C(2,2,-1).
1) Lập phương trình mặt phẳng đi qua A,B,C.
2) Chứng minh rằng điểm O cũng nằm trên mặt phẳng đó và OABC là hình chữ nhật.
Tính thể tích khối chóp SOABC biết rằng S(0,0,5)
46. Trong hệ toạ độ Oxyz cho các điểm: A(0,1,1), B(1,2,4), C(-1,0,2). Hãy lập phương trình

mặt phẳng (Q) đi qua A,B,C. Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua B và M với M
là giao điểm của mặt phẳng (Q) với trục Oz.
47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x + 2y + 4z – 3 = 0
và hai đường thẳng (
1
) :
1
2 1 1
x y z

 

, (
2
) :
1
z
1
y
1
1x





.
1) Chứng minh (
1
) và (
2
) chéo nhau.
2) Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với (
1
) và (
2
).
48. Cho đường thẳng (d):
1 3 2
1 1 1
x y z
  
 

và mặt phẳng (P): 2x + y + 2z = 0.
1. Chứng tỏ (d) cắt (P).Tìm giao điểm đó
2. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 2.Từ đó lập hương
trình mặt cầu có tâm M và tiếp xúc với (P)
49. Cho 2 đường thẳng
1
x 1 t
x y 2 z
d : : y 2 t
3
1 2

z 1 2t
2
 



   


 

2
; d
.
1) Viết phương trình mặt phẳng chứa d
1
và song song với d
2

2) Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H trên d
2
sao cho độ dài MH nhỏ nhất
50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O , vuông
góc với mặt phẳng (Q) :
x y z 0
  
và cách điểm M(1;2;
1

) một khoảng bằng

2
.
51. Cho 2 đường thẳng d
1
:
4
3
4
 


 




x t
y t
z
, d
2
:
2
1 2 '
'



 



 

x
y t
z t

1) Tính đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng d
1
và d
2

2) Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d
1
và d
2

52. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x – 4y – 6z = 0.
ÔN THI TỐT NGHIỆP TOÁN 12



“Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng”

12

1/ Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S).
2/ Gọi A ; B ; C lần lượt là giao điểm (khác gốc toạ độ O) của mặt cầu (S) với các trục
Ox ; Oy; Oz. Tìm toạ độ A ; B ; C. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
53. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (D):
2 1 1
2 3 5
  
 
x y z
và (P): 2x + y + z – 8 = 0.
1/ Chứng tỏ đường thẳng (D) không vuông góc mp (P). Tìm giao điểm của đường
thẳng (D) và mặt phẳng (P).
2/ Viết phương trình đường thẳng (D’) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng (D)
lên mặt phẳng (P).
54. Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3) và đường thẳng (d):
1 1 1
2 1 2
x y z
  
  .
1. Viết phương trình mặt phẳng

qua A và vuông góc d.
2. Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng


55. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(-3;1;2) và mp(P): 2x + 3y + z – 13 = 0 .
1) Hãy viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và vuông góc với mặt phẳmg (P). Tìm

tọa độ giao điểm H của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).
2) Hãy viết phương trình mặt cầu tâm M có bán kính R = 4. Chứng tỏ mặt cầu này cắt mặt
phẳng (P) theo giao tuyến là 1 đường tròn.
56. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp


: 2 3 6 18 0
x y z

   
, cắt Ox, Oy, Oz
lần lượt tại A, B và C.
1. Viết phương trình mặt cầu


S
ngoại tiếp tứ diện OABC. Tình tâm của mặt cầu này.
2. Tính khoảng cách từ


; ;
M x y z
đến mặt phẳng



. Suy ra tọa độ điểm M cách đều 4 mặt
của tứ diện OABC trong vùng
0, 0, 0.
x y z

  

57. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(-2;1;2), B(0;4;1), C(5;1;-5), D(-2;8;-5) và đường
thẳng d:
5 11 9
3 5 4
  
 

x y z
.
1) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
2) Tìm tọa độ giao điểm M, N của (d) với mặt cầu (S).
3) Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M,N
58. Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng (
)

:2x-y+2z-1=0 và (

’):x+6y+2z+5=0
1/Chứng tỏ 2 mặt phẳng đã cho vuông góc với nhau.
2/Viết phương trình mặt phẳng(

) đi qua gốc tọa độ và giao tuyến của 2 mặt
phẳng(

) , (
'

)

59. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4)
1) Viết phương trình mặt phẳng



qua ba điểm A, B, C. Chứng tỏ OABC là tứ diện.
2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC.
60. Cho đường thẳng (d ) :

 




 

x 1 2t
y 2t
z 1
và mặt phẳng (P) :
2x y 2z 1 0
   
.
1. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên (d), bán kính bằng 3 và tiếp xúc với (P)
2. Viết phương trình đường thẳng (

) qua M(0;1;0), nằm trong (P) và vuông góc (d) .