Đề thi HSG lớp 9 môn Toán năm học 2009-2010

Sở Giáo Dục và Đào Tạo
Cao Bằng

Đề thi chọn học sinh Giỏi lớp 9
cấp tỉnh năm học 2009-2010
Môn: Toán
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề



Câu 1
(4 điểm)
Cho biểu thức
3 2 1 1
:
1
( 2)( 1) 1 1
a a a a
P
a
a a a a

+ + +

= +



+ +

1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm
a
để
1 1
1
8
a
P
+


Câu 2
(4 điểm)
1. Tìm các số nguyên dơng x,y thỏa mãn phơng trình

1 1 1
2
x y
+ =

2. Chứng minh rằng
A =
2 3 5 13 48
6 2
+ +
+
là số nguyên

Câu 3 (4 điểm)
1. Cho h phng trỡnh
1
x ay
ax y a
+ =


+ =

vi a l tham s.
a) Chng minh h phng trỡnh luụn cú mt nghim duy nht vi mi giỏ tr ca a
b) Tỡm cỏc giỏ tr ca a ủ h phng trỡnh cú nghim (x;y) tha món x<1, y<1.
2. Cho hàm số f(x) =ax + b có tính chất
(3) (1) (2)
f f f

và
(4) 2
f
=
. Chứng minh
rằng a=0 và f(0)=2
Câu 4
(6 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, (M không trùng với Avà
B),trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho AM = CN . Gọi E là trung điểm của MN.
Tia DE cắt tia BC tại F, qua M vẽ đờng thẳng song song với AD cắt DF tại H .
Chứng minh rằng
1. Tứ giác MFNH là hình thoi.

2. ND
2
= NB.NF
3. Chu vi tam giác BMF không đổi khi M di động trên cạnh AB
Câu 5
(2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x
2
+5y
2
+5z
2
- 4xy - 4yz- 4z+12

Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Họ tên, chữ ký của giám thị 1:.


Đề chính thức