CHỮ KÝ SỐ TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC

CH KÝ SỮ Ố
TRÊN NG ĐƯỜ
CONG ELLIPTIC
GV: TR NH NH T TI NỊ Ậ Ế
HV: TR N V N C NGẦ Ă ƯỜ
GI I THI U Ớ Ệ
NG CONG ELLIPTCĐƯỜ
GI I THI U NG CONG ELLIPTICỚ Ệ ĐƯỜ
Cho p>3 là s nguyên t l . M t ng cong elliptic E trên ố ố ẻ ộ đườ Fp c bi u đượ ể
di n b i ph ng trình có d ng:ễ ở ươ ạ
y2=x3+ax+b (3)
Trong ó đ a,b Fp∈ và 4a3+27b2 0 (mod p)≢ .
Thi t l p E(ế ậ Fp) bao g m t t c các i m ồ ấ ả để x,y, x Fp, y Fp∈ ∈ th a mãn ỏ
ph ng trình xác nh (3), c ng nh i m c bi t ươ đị ũ ưđể đặ ệ O c g i là i m vô đượ ọ để
cùng.
GI I THI U NG CONG ELLIPTICỚ Ệ ĐƯỜ
Ví d 4ụ : ( ng cong elliptic trên Đườ F23 ) cho p = 23 và xét ng cong đườ
elliptic E:y2=x3+x+4 xác nh c i m trên đị đặ để F23 (trong các ký hi u c a ệ ủ
ph ng trình (3), chúng ta có a=1 và b=4). Chú ý ây ươ ở đ
4a3+27b2=4+432 22(mod 23)≡ , nh v y :ư ậ
E là m t ng cong elliptic th c s . Nh ng i m trong E(ộ đườ ự ự ữ để F23) là G và
c hi n th sau ây:đượ ệ ị đ
S CH KÝ ECDSAƠĐỒ Ữ
thi t l p s ch ký ECDSA (Elliptic Curve Digital Signature Để ế ậ ơđồ ữ
Algorithm) c n xác nh các tham s : ầ đị ố
- L a ch n m t ng cong Elliptic trên tr ng s Fqự ọ ộ đườ ườ ố
- i m c s G thu c E(Fq)Đ ể ơ ở ộ
KÝ TRÊN B N RÕẢ
1. Ch n s ng u nhiên k, 2 ≤ọ ố ẫ k ≤ n-1
2. Tinh kG = (x1, y1) ́
3. Tinh r = x1 mod n. N u r = 0, quay l i bu c 1 ́ ́ế ạ ̛ơ

4. Tinh k-1 mod ń
5. Tinh s = k-1 (m + dr) mod n. Nêu s = 0, quay lai bu c 1 ́ ́ ̣́ ̛ơ
6. Ch ký tren thong i p m la (r, s) ̂ ̂ ̂ ̀ữ đẹ
KI M TRA CH KÝỂ Ữ

1. Kiêm tra r và s co la cac sô t nhien trong khoang [2, n – 1] khong. ́ ̀ ́ ́ ̂ ̂̉ ự ̉
2. Tinh w = s-1 ́ mod n.
3.Tinh u1 =mw ́ mod n va u2 =rw ̀ mod n.
4. Tinh X = u1G + u2Q = (xX, yX)́
5. Nêu X = O thì ph nh n ch ký Ngu c lai tinh v = xX mod n. ́ ́ủ ậ ữ ̛ợ ̣
6. Ch ký ch c ch p nh n n u v = rữ ỉ đượ ấ ậ ế
CH NG TRÌNH DEMOƯƠ