đồ án môn học thiết kế hệ thống điện tử

Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN CƠ KHÍ

ĐỒ ÁN MÔN HỌC
THIẾT KẾ HỆ THỐNG CƠ ĐIỆN TỬ

Giáo viên hướng dẫn : PGS.TS Phan Bùi Khôi
Sinh viên thực hiện : Trần Văn Phương
Số hiệu sinh viên : 20100530
Lớp : KT CĐT3- K55
1
Năm học 2013 - 2014
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
MỤC LỤC
Lời nói đầu
3
Đề tài
4
Lí do chọn đề tài
5
Phần I : Thiết kế mô hình 3D cho Robot.
6
Phần II : Cơ sở lý thuyết về động học, động lực học Robot công nghiệp.
9
Phần III: Tính toán động học cho Robot.
22
1. Bài toán động học thuận.
22
2. Bài toán động học ngược.
28

Phần IV : Thiết kế quỹ đạo chuyển động cho Robot.
37
1. Quỹ đạo trong không gian khớp.
2
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
2. Quỹ đạo trong không gian làm việc.
Phần V : Khảo sát động lực học, thiết lập phương trình vi phân chuyển động
của Robot.
40
1. Xây dựng quy luật chuyển động của Robot.
40
2. Tính toán thiết lập phương trình vi phân.
47
Phần VI : Điều khiển khâu thao tác sử dụng quy luật điều khiển PD. (Sử dụng
Matlab Simulink).
48
1. Điều khiển từ điểm đến điểm.
49
2. Điều khiển theo quỹ đạo cho trước.
Phần VII. Mô phỏng kết quả sử dụng thư viện SimMechanics trong simulink.
Kết Luận
60
Tài liệu tham khảo
61
3
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
LỜI NÓI ĐẦU
Các Robot công nghiệp ngày càng chiếm một vị trí quan trọng, đặc biệt là trong
quá trình tự động hóa sản xuất cũng như trong dịch vụ, giải trí. Sự nghiệp công
nghiệp hóa, hiện đại hóa của đất nước không thể thiếu vai trò của điều khiển và tự

động hóa. Mục tiêu ứng dụng của Robot công nghiệp trong sản xuất là nhằm nâng
cao năng suất của các dây chuyền công nghệ, nâng cao chất lượng sản phẩm, cải
4
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
thiện điều kiện lao động, nhất là ở các khu vực con người không thể di chuyển
được…
Ở nước ta từ những năm 90 của thế kỉ XX đến nay, nhiều cơ sở sản xuất đã sử dụng
nhiều loại robot công nghiệp phục vụ quá trình sản xuất. Việc nghiên cứu Robot
công nghiệp nói riêng và Robot nói chung đang được nhiều trung tâm và các
trường Đại học chú ý quan tâm.
Trong quá trình thực hiện đề tài, dù đã nhận được sự dặn dò chỉ bảo nhiệt tình của
thầy PGS.TS Phan Bùi Khôi nhưng do kiến thức của em còn yếu nên không tránh
khỏi được những thiếu sót, rất mong được ý kiến của các thầy cô để em tự hoàn
thiện thêm . Em xin chân thành cảm ơn !
5
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
ĐỀ TÀI
Cho mô hình robot như hình vẽ:

1. Thiết kế mô hình 3D.
2. Xây dựng quy luật chuyển động phù hợp.
3. Tính toán động học, động lực học cho cơ cấu (bằng Maple) .
4. Điều khiển Robot. (Matlab Simulink) .
5. Mô phỏng kết quả.
6
Hình 1 : Cơ cấu Robot phẳng 3 bậc tự do
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Vấn đề thiết yếu đặt ra là phải tăng nhanh lượng tự động hóa vào các quá trình sản
xuất công nghiệp. Đây cũng là một đòi hỏi cấp bách liên quan đến việc giải phóng

con người khỏi sự nặng nhọc, sự nhàm chán của công việc (do sự lặp đi lặp lại các
thao tác của một công việc giản đơn nào đó), sự nguy hiểm của môi trường lao
động như sự nóng bức tại các lò hơi, sự lây lan của các bệnh hiểm nghèo tại các cơ
sở y tế, sự ô nhiễm do bụi bặm của các hầm mỏ, sự nguy hiểm ở duới đáy đại
dương và trên không gian vũ trụ… Để tực hiện mục tiêu đó, bước đầu em chọn đề
tài này để trang bị những kiến thức cơ bản về bài toán động học, động lực học và
điều khiển đơn giản một Robot công nghiệp. Qua đó cũng tự trang bị cho mình một
số kiến thức về các phần mềm chuyên dùng trong tính toán thiết kế như Maple,
Matlab (Simulink)…
7
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
Phần I. Thiết kế mô hình 3D cho Robot RTR
Theo yêu cầu của đồ án môn học nên em thiết kế mô hình 3D của robot RTR ở
mức độ ý tưởng của sinh viên. Do vậy có sự khác biệt với Robot ngoài thực tiễn.
Mô hình tổng thể của Robot :
Sơ lược Robot RTR gồm đế giữ, 3 khâu dịch chuyển gắn với bàn kẹp. Hai khâu
quay của Robot sử dụng động cơ DC servo dẫn động, khâu tịnh tiến dịch chuyển
nhờ piston khí nén. Nguồn điện cấp cho Robot là nguồn DC để điều khiển động cơ
DC. Trong thực tế Robot này nhỏ, thiết kế gọn, chạy êm, định vị chính xác Bộ
điều khiển phổ biến là bộ điều khiển lập trình (PLC) để thực hiện điều khiển vòng
hở. Robot hoạt động căn cứ vào các tín hiệu phản hồi từ các tiếp điểm giới hạn
hành trình cơ khí đặt trên các trục của tay máy.
8
Hình 1.1 Mô hình tổng thể Robot RTR
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
9
Hình 1.2 Khâu đế
Hình 1.3 Khớp quay nối giữa đế và khâu tịnh tiến
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
10

Hình 1.4 Khâu tịnh tiến và khớp quay thứ hai
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
Phần II : Cơ sở lý thuyết về động học, động lực học Robot công nghiệp
Phần này trình bày cách xây dựng các hệ tọa độ gắn với Robot, các biểu thức tính
động năng, thế năng của hệ vật rắn để từ đó ta có thể thiết lập phương trình vi phân
chuyển động của hệ vật rắn.
1. Các kí hiệu, khái niệm cơ bản, cách xác định trục của hệ tọa độ khớp và bài
toán động học.
Đối với robot công nghiệp, Denavit – Hartenberg (1955) đã đưa ra cách chọn các
hệ trục toạ độ gắn vào mỗi khâu của một tay máy Robot như sau :

11
Hình 1.1 Biểu diễn các thông số Denavit- Hartenberg giữa hai hệ trục tọa
độ
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
- Trục
i
z
được chọn dọc theo hướng của trục khớp động thứ (i+1), hướng của phép
quay và phép tịnh tiến được chọn tùy ý.
- Trục
i
x
được xác định dọc theo đường vuông góc chung giữa trục khớp động thứ
i và (i+1) hướng từ khớp động thứ i đến (i+1).
- Trục
i
y
xác định theo quy tắc bàn tay phải.
Vị trí của hệ toạ độ khớp

( )
i
Oxyz
đối với hệ toạ độ khớp
1
( )
i
Oxyz
−
được xác định
bởi bốn tham số Denavit-Hartenberg
, ,
i i i
d a
θ
và
i
α
như sau :
-
i
θ
: góc giữa hai đường vuông góc chung. Là góc quay quanh trục
1i
z
−
để trục
1i
x
−

chuyển đến trục
i
x
theo quy tắc bàn tay phải.
-
i
d
: dịch chuyển tịnh tiến giữa hai đường vuông góc chung của 2 trục.
-
i
a
: khoảng dịch chuyển giữa hai trục khớp động kề nhau.
-
i
α
: góc lệch giữa trục của 2 khớp động liền kề, là góc quay quanh trục
i
x
sao cho
trục
1i
z
−
dịch chuyển đến trục
i
z
theo qui tắc bàn tay phải.
Trong bốn tham số trên , các tham số
i
a

và
i
α
luôn luôn là hằng số, độ lớn phụ
thuộc vào hình dáng và sự ghép nối các khâu thứ i-1 và thứ i. Hai tham số còn lại
i
θ
và
i
d
, một là hằng số, một là biến khớp phụ thuộc vào khớp I là khớp quay hay
khớp tịnh tiến. Khi khớp i quay thì
i
d
là hằng số còn
i
θ
sẽ là biến, còn khi khớp i
tịnh tiến thì sẽ là ngược lại.
Như vậy, ta có thể chuyển hệ toạ độ khớp
1
( )
i
Oxyz
−
sang hệ toạ độ khớp
( )
i
Oxyz

bằng bốn phép biến đổi cơ bản sau:
- Quay quanh trục
1i
z
−
một góc
i
θ
12
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
- Dịch chuyển tịnh tiến dọc trục
1i
z
−
một đoạn
i
d
- Dịch chuyển tịnh tiến dọc trục
i
x
một đoạn
i
a
- Quay quanh trục
i
x
một góc
i
α
Ma trận của phép biến đổi, ký hiệu là

0
i
A
là tích của bốn ma trận biến đổi cơ bản,
và có dạng như sau:
1
os sin 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0
0 os sin 0
0 1 0 0
sin os 0 0
0 1 0 0
0 0 1
0 sin os 0
0 0 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 1
i i
i
i i
i i
i
i
i i
i
c
a
c
c

d
c
θ θ
α α
θ θ
α α
−
−
−
−
=
   
   
 ÷  ÷
 ÷ ÷
 ÷  ÷
 ÷ ÷
   
   
A

1
os sin os sin sin os
sin os os os sin sin
0 sin os
0 0 0 1
i i i i i i i
i i i i i i i
i
i i i

i
c c a c
c c c a
c d
θ θ α θ α θ
θ θ α θ α θ
α α
−
−
−
=
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
A

(2.1)
Ma trận
0
i
A
được xác định bởi công thức (2.1) được gọi là ma trận Denavit-
Hartenberg địa phương.
Áp dụng liên tiếp các phép biến đổi đối với Robot n khâu ta có :
0 0 1 1
1 2

n

n n
−
=A A A A
0 0
0 0
0 1
n E
n E
T
 
= =
 
 
R r
A A
13
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
Ma trận
0
n
A
cho biết vị trí của điểm tác động cuối E và hướng của khâu thao tác
( bàn kẹp) của Robot đối với hệ quy chiếu cố định
0
R
Như vậy khi biết được các đặc tính hình học của các khâu và quy luật chuyển động
của các khớp là ta có thể xác định được vị trí và hướng của bàn kẹp.
2. Động lực học robot công nghiệp
2.1. Biểu thức động năng và thế năng của Robot
Trong tính toán động học robot, để xác định vị trí các khâu ta chỉ cần sử dụng hệ

toạ độ cố định và hệ toạ độ khớp. Trong bài toán động lực học robot ta cần thêm
một hệ toạ độ nữa là hệ toạ độ khâu. Hệ toạ độ khâu là hệ quy chiếu gắn với vật
rắn, thường có gốc trùng với khối tâm
i
C
của vật rắn, các trục hướng theo các trục
quán tính chính của vật rắn.
Trong hình (2.2) hệ
i i i i
O x y z
là hệ toạ độ khớp,
i i i i
C
ζ ηξ
là hệ toạ độ khâu.

14
Hình 2.2. Hệ toạ độ khâu
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
Giả sử robot là hệ hôlônôm có p vật rắn và r liên kết. Khi đó số bậc tự do của hệ là
6n p r= −
. Ký hiệu các biến khớp của hệ là
1
[ ]
T
n
q q=q
.
Vị trí khâu thứ i được xác định bởi :
- Toạ độ khối tâm của khâu :

( , )
Ci Ci
t=r r q
- Ma trận cosin chỉ hướng của khâu :
( , )
i i
t=R R q
Xét robot có liên kết hôlônôm giữ và dừng, khi đó :
( )
Ci Ci
=r r q
,
( )
i i
=R R q
(2.2)
Theo định nghĩa các ma trận Jacobi tịnh tiến và ma trận Jacobi quay được xác định
bởi công thức :
Ci
Ti
∂
=
∂
r
J
q
,
Ci i
Ri
∂ ∂

= =
∂ ∂
ω φ
J
q q
&
(2.3)
Trong đó
i
ϕ
là vectơ đại số ứng với góc quay
i
ϕ
uur
của vật rắn thứ i, quay quanh
trục quay tức thời. Vận tốc khối tâm và vận tốc góc của vật rắn được xác định
bằng các công thức sau:
Ci Ci
Ci Ti
d
dt
∂
= = =
∂
r r
v q J q
q
& &
(2.4)
15

Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
( )
Ci Ci
Ci Ri
d
dt
∂
= = =
∂
φ φ
ω q J q q
q
& &
(2.5)
a. Động năng robot
Biểu thức động năng của vật rắn được xác định bởi biểu thức :

1 1
2 2
T T
i i Ci Ci i i i
T m
= +
v vω I ω
(2.6)
Trong đó
i
I
là ma trận tenxơ quán tính khối của vật rắn đối với hệ quy chiếu đi qua
khối tâm C và song song với hệ quy chiếu cố định. Mối liên hệ giữa ma trận tenxơ

quán tính khối
( )i
i
I
và ma trận quán tính khối
i
I
là :

( )i T
i i i i
=I A I A
(2.7)
Trong (2.7)
( )i
i
I
là ma trận tenxơ quán tính đối với hệ quy chiếu gắn liền với khâu.
Do đó
( )i
i
I
là ma trận hằng số và nếu ta chọn hệ toạ độ khâu là hệ quán tính chính
thì
( )i
i
I
có dạng đường chéo.
Từ (2.6) biểu thức động năng của robot có dạng :

1 1 1
1 1
2 2
p p p
T T
i i Ci Ci i i i
i i i
T T m
= = =
= = +
∑ ∑ ∑
v vω I ω
(2.8)
Thay (1.4) , (1.5) vào (1.8) ta có :

1 1
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
p p
T T
i Ti Ti Ri i Ri
i i
T m
= =
= +
∑ ∑
J q J q J q I J q
& & & &

⇒

1 1
1
{ }
2
p p
T T T
i Ti Ti Ri i Ri
i i
T m
= =
= +
∑ ∑
q J J J I J q
& &
(2.9)
Nếu ta đưa vào ký hiệu :
16
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR

1
( ) ( )
P
T T T
i Ti Ti Ri i i i Ri
i
M m
=
= +

∑
q J J J A I A J

(2.10)
thì biểu thức động năng robot (2.9) có dạng :

1
( ) ( )
2
T
T M
=
q q q
& &

(2.11)
Ma trận M(q) là ma trận vuông cấp n, và được gọi là ma trận khối lượng suy
rộng của robot.
b, Thế năng trọng lực của Robot.
Thế năng trọng lực mỗi khâu của robot được xác định bởi biểu thức :

0
T
i i Ci
m∏ = − g r

(2.12)
Trong đó :
0
g

vectơ gia tốc trọng trường, xét trường hợp
0
y
là trục thẳng đứng,
hướng lên, ta có :

0 0
[0, ,0]
T
g= −g
Thế năng của trọng lực của robot có dạng :

3
0
1
T
i Ci
i
m
=
∏ = −
∑
g r
(2.13)
2.2. Thiết lập dạng thức Lagrange loại 2
Xuất phát từ phương trình Lagrange loại 2 :
17
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR

*

i
i i i
d T T
Q
dt q q q
 
∂ ∂ ∂∏
− = − +
 ÷
∂ ∂ ∂
 
&
i = 1,2,3,…,n (2.14)
Ta có phương trình Lagrange loại 2 dạng ma trận:

T T T
d T T
dx
     
∂ ∂ ∂∏
− = +
 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂
     
*
f
q q q
&

(2.15)

Trong đó:

[ ]
1 2 3
, , , ,
T
n
q q q q=q
,
* * * * *
1 2 3
, , , ,
T
n
Q Q Q Q
 
=
 
f

(2.16)
Trong kĩ thuật Robot, người ta thường kí hiệu momen động cơ bằng
*
i i
Q
τ
=
Từ biểu thức động năng ta có:

1 1

1 1
( ) ( )
2 2
n n
T
jk j k
j k
T M m q q
= =
= =
∑∑
q q q q
& &
& &
Từ đây ta được các công thức đạo hàm:

ij
1
( )
n
j
j
i
T
m q
q
=
∂
=
∂

∑
q
&
&

ij
ij
1 1
( )
( )
n n
j j
j j
i
dm
d T
m q q
dt q dt
= =
 
∂
= +
 ÷
∂
 
∑ ∑
q
q
&& &
&

=
ij
ij
1 1 1
( )
( )
n n n
j k j
j j k
k
m
m q q q
q
= = =
∂
+
∂
∑ ∑∑
q
q
&& & &
(1)
18
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR

ij
1 1
( )
1

2
n n
j k
j k
j j
m
T
q q
q q
= =
∂
∂
=
∂ ∂
∑∑
q
& &
(2)
Từ biểu thức thế năng trọng lực ta có:

0
1
( )
n
Cj
T
j j
j
i i
m g

q q
=
∂
∂∏
= − =
∂ ∂
∑
r
g q
(3)
Thế (1),(2) và (3) vào phương trình ta được:
ij ij
ij
1 1 1 1 1
( ) ( )
1
( ) ( )
2
n n n n n
j k j j k j i
j j k j k
k j
m m
m q q q q q g
q q
τ
= = = = =
∂ ∂
+ − + =
∂ ∂

∑ ∑∑ ∑∑
q q
q q
&& & &
(2.17)
ij ij
ij
1 1 1
( ) ( )
1
( ) ( ) , 1
2
n n n
j k j i i
j j k
k j
m m
m q q q g i n
q q
τ
= = =
 
∂ ∂
+ − + = =
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
∑ ∑∑
q q

q q
&&
Ta đưa vào kí hiệu:

ij ij
1 1
( ) ( )
1
( , )
2
n n
i k j
j k
k j
m m
b q q
q q
= =
 
∂ ∂
= −
 
∂ ∂
 
 
∑∑
q q
q q
&
Do ma trận M(q) là ma trận đối xứng nên

ij
( ) ( )
ji
m m=q q
, nên có thể viết:

ij
( ) ( )
ji
m m=q q
ij
1
( ) ( )
2
ji
m m
 
= +
 
q q

ij ij
( ) ( ) ( )
1 1
2 2
ji
k k k
m m m
q q q
∂ ∂ ∂

= +
∂ ∂ ∂
q q q
(2.18)
Thay (2.18) vào phương trình (2.17) ta nhận được:

ij
1 1
1
( , )
2
n n
jk
i k j
j k
k j
m m
b q q
q q
= =
 
∂ ∂
= −
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
∑∑
q q
&

& &
19
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR

ij
1 1
1
2
n n
ji jk
k j
j k
k k i
m m m
q q
q q q
= =
∂ ∂ ∂
 
= + −
 ÷
∂ ∂ ∂
 
∑∑
& &
Bằng cách thay đổi trị số chạy trong tổng sigma kép như sau:
1 1 1 1 1 1
( )
( ) ( )
n n n n n n

ij
ki ik
k j j k k i
j k j k j k
k i j
m
m m
q q q q q q
q q q
= = = = = =
 
∂
   
∂ ∂
= =
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂
   
 
∑∑ ∑∑ ∑∑
q
q q
& & & & & &
Cuối cùng ta nhận được:

ij
1 1
1

( , )
2
n n
ji jk
i k j
j k
k k i
m m m
b q q
q q q
= =
∂ ∂ ∂
 
= + −
 ÷
∂ ∂ ∂
 
∑∑
q q
&
& &

ij
1 1
1
2
n n
jk
ik
k j

j k
k j i
m m
m
q q
q q q
= =
 
∂ ∂
∂
= + −
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂
 
∑∑
& &

1 1
n n
ijk k j
j k
h q q
= =
=
∑∑
& &
Trong đó ta định nghĩa:
ij
1

2
jk
ik
ijk
k j i
m m
m
h
q q q
 
∂ ∂
∂
= + −
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂
 
, (số hạng này có tên gọi là Christoffel symbols ở dạng
thứ nhất).
Từ đó ta có phương trình vi phân như sau:

ij
1 1 1
( ) ( ) ( )
n n n
j ijk k j j i
j j k
m q h q q g
τ
= = =

+ + =
∑ ∑∑
q q q
&& & &
(2.19)
Biến đổi phương trình vi phân chuyển động của robot
20
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
Để nhận được các phương trình vi phân chuyển động của robot dạng quen biết
trong các sách về robot ở các nước, từ phương trình ….ta thực hiện một số biến đổi
sau.
Ta đưa vào kí hiệu :

1
( , ) ( )
n
ij ijk k
k
c h q
=
=
∑
q q q
&
&
(2.20)
Từ đó suy ra:

1 1 1
( , )

n n n
ijk k j ij j
j k j
h q q c q
= = =
=
∑∑ ∑
q q
&
& & &
(2.21)
Thế (2.21) vào(2.20) ta được:

ij
1 1
( ) ( , ) ( ) , 1,2
n n
j ij j j
j j
m q c q g i n
τ
= =
+ + = =
∑ ∑
q q q q
&
&& &
(2.22)
Hệ n phương trình vi phân chuyển động của tay máy (2.22) có thể viết dưới dạng
ma trận như sau :

( ) ( , ) ( )q C q g
τ
+ + =M q q q q
&
&& &
(2.23)
Trong đó:
n n
ij
m
×
 
= ∈
 
M R
là ma trận khối lượng suy rộng,
n n
ij
c
×
 
= ∈
 
C R
là ma trận ly tâm –Coriolis.
Thành phần
( , )C qq q
&
&

đại diện cho lực quán tính ly tâm và quán tính Coriolis tác
dụng lên robot. Xét biểu thức:

1 1 1
( , )
n n n
ijk k j ij j
j k j
h q q c q
= = =
=
∑∑ ∑
q q
&
& & &
i
d
21
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
Khi
2
:
ijk k j ijk j
j k h q q h q= =
& & &
tương đương hiệu ứng ly tâm (Centrifugal effect)
Khi
:
ijk k j
j k h q q=

& &
tương đương với hiệu ứng Coriolis ( Coriolis effect)
Một số tính chất của phương trình vi phân chuyển động:
- Ma trận khối lượng là ma trận định dương, đối xứng:
Do động năng của robot là đại lượng vô hướng không âm
1
( )
2
T
T q= q M q
&
&
nên
( )M q
là ma trận định dương. Mặt khác do
i
I
là ma trận đối xứng, nên có thể
chứng minh được
T
Ti Ti
J J
và
T
Ri i Ri
J I J
là các ma trận đối xứng, nên
( )M q
là ma trận
đối xứng.

- Với ma trận
( , )C q q
&
có các phần tử tính theo công thức (2.20) ta chứng minh tính
chất phản đối xứng của ma trận:

( , ) ( ) 2 ( , )= −N q q M q C q q
&
& &

n n×
∈R
Thực vậy, phần tử
ij
N
của ma trận
( , )N q q
&
được tính theo:
ij
1 1
( , ) ( ) 2 ( , )
m m
ij jk
ik
ij ij k k
k k
k k j i
m m m
m

N M C q q
q q q q
= =
 
∂ ∂ ∂
 
∂
= − = − + −
 ÷
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
∑ ∑
q q q q q
&
& &
& &
=
ij
1
m
ij jk
ik
k
k
k k j i
m m m
m

q
q q q q
=
 
∂ ∂ ∂
∂
− − +
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
∑
&
=
1
m
jk
ik
k
k
j i
m
m
q
q q
=
 
∂
∂
− +

 ÷
 ÷
∂ ∂
 
∑
&
Bằng cách hoán vị hai chỉ số
,i j
ta được:
1 1
( , ) ( , )
m m
jk jk
ik ik
ij k k ji
k k
j i j i
m m
m m
N q q N
q q q q
= =
   
∂ ∂
∂ ∂
= − + = − − + = −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂
   

∑ ∑
q q q q
& &
& &
Như vậy, ta kết luận
N
là ma trận đối xứng lệch.
Phương trình vi phân chuyển động có thể biểu diễn ở dạng tuyến tính đối với các
tham số của hệ.
Các phương trình vi phân chuyển động của robot được xác định bởi một tham số
xác định nào đó, như khối lượng các khâu
j
m
, momen quán tính
j
I
, vị trí khối tâm
22
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
( , , )
j
C
ξ ς η
,… Do tính phức tạp của các phương trình vi phân chuyển động của
robot nên việc nhận dạng các thông số này rất khó khăn. Khá may mắn là các
phương trình vi phân chuyển động của robot có thể biểu diễn dưới dạng phụ thuộc
tuyến tính và các tham số này theo nghĩa sau: Tồn tại một hàm ma trận cỡ
, ( , , )n l× Y q q q
& &&
, một vec tơ

l
chiều
η
để phương trình Lagrange loại 2 của robot có
thể biểu diễn dưới dạng:

( ) ( , ) ( ) ( , , )g+ + =M q q C q q q q Y q q qη
&& & & & &&
(2.24)
Ma trận
( , , )Y q q q
& &&
được gọi là ma trận hồi quy, còn vecto
η
được gọi là vecto tham
số.
Thứ nguyên của không gian tham số, tức là số lượng các tham số cần thiết để có thể
viết phương trình vi phân chuyển động dưới dạng (2.24) là không duy nhất. Trong
trường hợp tổng quát vật rắn được mô tả bởi 10 tham số:
- 3 tham số vị trí khối tâm
( , , )
j
C
ξ ς η
.
- 1 tham số khối lượng
j
m
- 6 tham số momen quán tính (
3 3

j
×
∈I R
là ma trận đối xứng nên có 6 tham số độc
lập).
Như thế, một robot
n
khâu có
10n
tham số động lực. Tuy nhiên robot là hệ cơ học
chịu liên kết, nên chuyển động của các khâu bị ràng buộc bởi các liên kết khớp. Do
đó tham số động lực học nhỏ hơn
10n
. Việc tìm tập tối thiểu để tham số hóa các
phương trình động lực của robot là 1 bài toán khá phức tạp.
23
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
Phần III: Tính toán động học cho Robot.
Phần này sẽ trình bày một số bài toán cơ bản của động học và động lực học robot.
Vị trí mỗi khâu robot trong không gian được xác định bởi vị trí một điểm định vị và
hướng của khâu đó với hệ quy chiếu đã chọn. Điểm định vị là một điểm xác định
nào đó của khâu, ở đây ta sẽ chọn khối tâm của khâu đó làm điểm định vị. Hướng
của khâu được xác định bằng ma trận cosin chỉ hướng hoặc tọa độ suy rộng xác
định vị trí của vật rắn quay quanh một điểm. Phần động lực học trình bày bài toán
thế năng, động năng từ đó đưa ra phương trình vi phân chuyển động của robot.

1. Bài toán động học thuận
Bài toán động học thuận nghiên cứu về chuyển động các khâu của robot về phương
diện hình học, không đề cập đến các lực và momen gây ra chuyển động. Đây cũng
là bài toán quan trọng phục vụ tính toán thiết kế robot. Nhiệm vụ chủ yếu của bài

toán động học thuận là xác định vị trí và hướng của bàn kẹp dưới dạng hàm của các
biến khớp.
Robot phẳng 3 bậc tự do
Đối tượng khảo sát là một tay máy phẳng 3 bậc tự do với 2 khớp quay và một khớp
tịnh tiến chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng. Để thuận tiện cho việc tính toán
thiết kế, robot được mô hình hóa như Hình 1. Các hệ tọa độ Decard gắn vào mỗi
khâu của tay máy được đặt theo quy ước hệ tọa độ của Denavit-Hartenberg. Từ đó
dễ dàng xác định được các tham số động học Denavit-Hartenberg :
, , ,
i i i i
d a
θ α
. Kết
quả được ghi lại ở bảng 1.

24
x
0
z
0
x
1
y
0
z
2
x
2
z
3

x
3
z
1
a
3
d
2
θ
1
θ
3
Thiết kế và điều khiển mô hình 3D cho Robot RTR
Bảng 1 Tham số D-H của Robot
Khâu
i
θ
i
d
i
a
i
α
1
1
θ
0 0
90
o
2

π
2
d
0
90
o
3
3
θ
0
3
a
0
o
25
Hình 3.1 Mô hình robot phẳng 3 bậc tự do RTR