DE DAP AN TSDH Toan KHOI A-2002-2010.pdf

www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Ti Liu - Phn Mm Toỏn,..
bộ giáo dục và đào tạo
Kỳ thi tuyển sinh đại học, cao ĐẳnG năm 2002
-----------------------------Môn thi : toán
Đề chính thức
(Thời gian làm bài: 180 phút)
_____________________________________________
Câu I (ĐH : 2,5 điểm; CĐ : 3,0 điểm)
Cho hµm sè :
y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 m 2 (1) ( m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
− x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0
cã ba nghiệm phân biệt.
2. Tìm k để phơng trình:
3. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Câu II.(ĐH : 1,5 điểm; CĐ: 2,0 ®iĨm)
2
2
log 3 x + log 3 x + 1 2m 1 = 0

Cho phơng trình :
1

(2) ( m là tham số).

m = 2.

Giải phơng trình (2) khi

2. Tìm m để phơng trình (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [ 1 ; 3 3 ].
Câu III. (ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 2,0 điểm )

cos 3x + sin 3x

1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0 ; 2 ) của phơng trình: 5 sin x +
= cos 2 x + 3.
1 + 2 sin 2 x

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ®−êng:
y =| x 2 − 4 x + 3 | , y = x + 3.
Câu IV.( ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 3,0 điểm)
1. Cho hình chóp tam giác ®Ịu S . ABC ®Ønh S , cã ®é dµi cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lợt
là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết rằng
mặt phẳng ( AMN ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) .
2. Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đờng thẳng:
x = 1+ t
 x − 2y + z − 4 = 0

vµ ∆ 2 :  y = 2 + t .
∆1 : 
x + 2 y − 2z + 4 = 0
z = 1 + 2t

a) Viết phơng trình mặt phẳng ( P) chứa đờng thẳng 1 và song song với đờng thẳng 2 .
b) Cho điểm M (2;1;4) . Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng 2 sao cho đoạn thẳng MH
có độ dài nhỏ nhất.
Câu V.( ĐH : 2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vuông tại A ,
phơng trình đờng thẳng BC lµ 3 x − y − 3 = 0, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và
bán kính đờng tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC .
2.

Cho khai triển nhị thøc:
n

n

n −1

n −1

−x
−
 x2 1

 −x 
 x −1 
 x −1   − x 
 x −1  − x 
n
n
1
0
 2 + 2 3  = C n  2 2  + C n  2 2   2 3  + L + C n −1  2 2  2 3  + C n  2 3 



 












 








3
1
( n lµ số nguyên dơng). Biết rằng trong khai triển đó C n = 5C n và số hạng thứ t
bằng 20n , tìm n và x .
----------------------------------------Hết--------------------------------------------Ghi chú: 1) Thí sinh chỉ thi cao đẳng không làm Câu V.

n

2) Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:....................................................

Sè b¸o danh:.....................

www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..

www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Ti Liu - Phn Mm Toỏn,..

bộ giáo dục và đào tạo
-------------------------------------

Câu

ý

I

1

Kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2002
Đáp án và thang điểm
môn toán khối A
Nội dung

ĐH

m = 1 ⇒ y = − x 3 + 3x 2
x = 0
y' = 0 ⇔  1
 x2 = 2

TËp xác định x R . y ' = 3x 2 + 6 x = −3x( x − 2) ,

C§

∑1,0 ® ∑1,5 ®
0,5®

0,5 ®

0,5 ®

0,25 ®

y" = −6 x + 6 = 0,

0,25 ®

0,5 ®

y" = 0 ⇔ x = 1

Bảng biến thiên


x

0


y'

1
+

0

0

+
+

U

4

2

CĐ
lồi





CT
0

y

0

lõm

y"

+

2

x = 0
y=0
,
x = 3
Đồ thị:



y (1) = 4

y

4
2

-1

0

1

2

3

x

( Thí sinh có thể lập 2 bảng biến thiên)

1
www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn,..

I

2

C¸ch I. Ta cã − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 ⇔ − x 3 + 3 x = k 3 + 3k 2 .
Đặt a = k 3 + 3k 2 Dựa vào đồ thị ta thấy phơng trình x 3 + 3 x 2 = a
cã 3 nghiƯm ph©n biƯt ⇔ 0 < a < 4 ⇔ 0 < − k 3 + 3k 2 < 4
 −1 < k < 3
0≠k <3
0≠k <3


⇔ 
⇔
⇔
2
2
k ≠ 0 ∧ k ≠ 2
(k + 1)(k − 4k + 4) > 0

(k + 1)(k − 2 ) > 0
C¸ch II. Ta cã
− x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 ⇔ ( x − k ) x 2 + (k − 3) x + k 2 − 3k ] = 0
cã 3 nghiƯm ph©n biƯt ⇔ f ( x) = x 2 + (k − 3) x + k 2 3k = 0
có 2 nghiệm phân biệt khác k
 ∆ = −3k 2 + 6k + 9 > 0
 −1 < k < 3
⇔ 2
⇔ 
2
2
k ≠ 0 ∧ k ≠ 2
k + k − 3k + k − 3k ≠ 0

[

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

-----------

-----------

0,25®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

∑1,0 ® ∑1,0 ®

3
C¸ch I.
 x = m −1
y' = 0 ⇔  1
 x2 = m + 1
Ta thÊy x1 x 2 và y ' đổi dấu khi qua x1 và x 2 hàm số đạt cực trị tại
x1 và x 2 .
y1 = y ( x1 ) = − m 2 + 3m − 2 vµ y 2 = y ( x 2 ) = − m 2 + 3m + 2
Phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị
M 1 m 1; m 2 + 3m − 2
vµ M 2 m + 1;− m 2 + 3m + 2
lµ:

(

)

(

)

x − m + 1 y + m 2 − 3m + 2

=
⇔ y = 2x − m2 + m
2
4
'
2
C¸ch II. y = −3 x + 6mx + 3(1 − m 2 ) = −3( x − m) 2 + 3 ,

Ta thÊy

∆' = 9m 2 + 9(1 − m 2 ) = 9 > 0 ⇒ y ' = 0 cã 2 nghiÖm x1 x 2
và y ' đổi dấu khi qua x1 và x 2 hàm số đạt cực trị tại x1 vµ x 2 .
Ta cã y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2
m
1
=  x −  − 3x 2 + 6mx + 3 − 3m 2 + 2 x m 2 + m.
3
3
Từ đây ta cã y1 = 2 x1 − m 2 + m vµ y 2 = 2 x 2 − m 2 + m .
Vậy phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị là y = 2 x m 2 + m .

(

)

1.
Víi m = 2 ta cã log x + log x + 1 − 5 = 0
2
3

2
3

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

y ' = −3 x 2 + 6mx + 3(1 − m 2 ) = −3( x − m) 2 + 3 ,

II

∑ 0,5 ® ∑ 0,5 ®

0,25 ®

----------

-----------

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25®

0,25 ®
0,25 ®

0,25 ®
0,25 ®

∑ 0,5 ®

∑1,0 ®

0,25 ®

0,5 ®

2
§iỊu kiƯn x > 0 . Đặt t = log 3 x + 1 ≥ 1 ta cã

t 2 −1+ t − 5 = 0 ⇔ t 2 + t − 6 = 0

t = −3
.
⇔1
 t2 = 2

2

www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn,..

t1 = −3 (lo¹i) ,

2
t 2 = 2 ⇔ log 3 x = 3 ⇔ log 3 x = ± 3 ⇔ x = 3 ±

3

0,25 ®

0,5 ®

x = 3 ± 3 tháa m·n ®iỊu kiƯn x > 0 .
(ThÝ sinh cã thĨ gi¶i trực tiếp hoặc đặt ẩn phụ kiểu khác)

1,0 đ 1,0 ®

2.
log x + log x + 1 − 2m − 1 = 0 (2)
2
3

2
3

2
Điều kiện x > 0 . Đặt t = log 3 x + 1 ≥ 1 ta cã

t 2 − 1 + t − 2 m − 1 = 0 ⇔ t 2 + t − 2m − 2 = 0

(3)

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

-----------

----------

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

2
x ∈ [1,3 3 ] ⇔ 0 ≤ log 3 x ≤ 3 ⇔ 1 ≤ t = log 3 x + 1 ≤ 2.

VËy (2) cã nghiƯm ∈ [1,3 3 ] khi vµ chØ khi (3) có
nghiệm [ 1,2 ]. Đặt f (t ) = t 2 + t
Cách 1.
Hàm số f (t ) là hàm tăng trên đoạn [1; 2] . Ta cã f (1) = 2 vµ f (2) = 6 .
Phơng trình t 2 + t = 2m + 2 ⇔ f (t ) = 2m + 2 cã nghiÖm ∈ [1;2]
 f (1) ≤ 2m + 2
2 ≤ 2 m + 2
⇔
⇔
⇔ 0 ≤ m ≤ 2.
 f (2) ≥ 2m + 2
2 m + 2 ≤ 6
C¸ch 2.
TH1. Phơng trình (3) có 2 nghiệm t1 ,t 2 thỏa m·n 1 < t1 ≤ t 2 < 2 .
t +t
1
Do 1 2 = < 1 nên không tồn tại m .
2
2
TH2. Phơng trình (3) có 2 nghiệm t1 ,t 2 tháa m·n
t1 ≤ 1 ≤ t 2 ≤ 2 hc 1 ≤ t1 ≤ 2 ≤ t 2

⇔ −2m(4 − 2m ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m 2 .
(Thí sinh có thể dùng đồ thị, đạo hàm hoặc đặt ẩn phụ kiểu khác )
III

1.

cos 3 x + sin 3x 
1

5  sin x +
 = cos 2 x + 3 . §iỊu kiƯn sin 2 x ≠ −
1 + 2 sin 2 x 
2

cos 3x + sin 3 x 
 sin x + 2 sin x sin 2 x + cos 3 x + sin 3 x 

Ta cã 5  sin x +

 = 5
1 + 2 sin 2 x 
1 + 2 sin 2 x



 sin x + cos x − cos 3 x + cos 3 x + sin 3 x 
 (2 sin 2 x + 1) cos x 
=5 
 =5
 = 5 cos x

1 + 2 sin 2 x


 1 + 2 sin 2 x

2
VËy ta cã: 5 cos x = cos 2 x + 3 ⇔ 2 cos x − 5 cos x + 2 = 0
1
π
cos x = 2 (loại) hoặc cos x = x = + 2kπ (k ∈ Z ).
2
3

∑1,0 ® ∑1,0 ®
0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

3
www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..

www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn,..

5π
π
vµ x 2 =
. Ta thÊy x1 , x 2 tháa m·n ®iỊu
3
3
1
5π
π
kiƯn sin 2 x . Vậy các nghiệm cần tìm lµ: x1 =
vµ x 2 =
.
2
3
3
(ThÝ sinh cã thĨ sư dụng các phép biến đổi khác)
Vì x (0 ; 2 ) nên lấy x1 =

2.

y

0,25 đ

0,25 đ

1,0 đ 1,0 đ

8

3
1
0
-1

-1

1

2

5

3

x

Ta thấy phơng trình | x 2 4 x + 3 |= x + 3 cã 2 nghiÖm x1 = 0 và x 2 = 5.
Mặt khác | x 2 − 4 x + 3 |≤ x + 3 ∀ x ∈ [0;5] . VËy
5

(

1

)

(

)

(

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

3

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25®

0,25®

∑1®

∑1®

)

S = ∫ x + 3− | x 2 − 4 x + 3 | dx = ∫ x + 3 − x 2 + 4 x − 3 dx + ∫ x + 3 + x 2 − 4 x + 3 dx

0

0

5

1

(

)

+ ∫ x + 3 − x 2 + 4 x − 3 dx
3

1

(

3

)

(

)

5

(

)

S = ∫ − x + 5 x dx + ∫ x − 3 x + 6 dx + ∫ − x 2 + 5 x dx
2

0

1

1

2

3

3

5

5 
3
5 
 1
1

 1
S =  − x3 + x 2  +  x3 − x 2 + 6x  +  − x3 + x 2 
2 0 3
2

2 3
 3
1  3
13 26 22 109
S= +
+
=
(đ.v.d.t)
6
3
3
6
(Nếu thí sinh vẽ hình thì không nhất thiết phải nêu bất đẳng thức
| x 2 4 x + 3 |≤ x + 3 ∀ x ∈ [0;5] )
IV

1.
4

www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn,..

S

N
I
M
A

C

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®

K

B
Gäi K lµ trung ®iĨm cđa BC và I = SK MN . Từ giả thiÕt
1
a
⇒ MN = BC = , MN // BC ⇒ I là trung điểm của SK và MN .
2
2
Ta có ∆SAB = ∆SAC ⇒ hai trung tuyÕn t−¬ng øng AM = AN
AMN cân tại A AIMN .

(SBC )( AMN )

(SBC ) ( AMN ) = MN

Mặt khác 
⇒ AI⊥(SBC ) ⇒ AI⊥SK .
AI ⊂ ( AMN )


AI⊥MN

Suy ra SAK cân tại A SA = AK =

a 3
.
2

3a 2 a 2 a 2
SK = SB − BK =
−
=
4
4
2
2

2

2

2

 SK 
⇒ AI = SA − SI = SA − 
 =
 2 
2

Ta cã

2

S ∆AMN

2

3a 2 a 2 a 10
.
−
=
4
8
4

a 2 10
1
= MN . AI =
(®vdt)
2
16

chó ý
1) Cã thÓ chøng minh AI⊥MN nh− sau:
BC⊥(SAK ) ⇒ MN⊥(SAK ) MNAI .
2) Có thể làm theo phơng pháp tọa độ:
Chẳng hạn chọn hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz sao cho
a
  a
  −a 3   −a 3 
K (0;0;0), B ;0;0 , C  − ;0;0 , A 0;
;0 , S  0;
;h
 

2
6
2
  2




trong đó h là độ dài đờng cao SH cđa h×nh chãp S. ABC .

5
www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Ti Liu - Phn Mm Toỏn,..

2a)
Cách I. Phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng 1 có dạng:
(x − 2 y + z − 4) + β (x + 2 y − 2 z + 4) = 0 ( α 2 + β 2 ≠ 0 )
⇔ (α + β )x − (2α − 2 β ) y + (α − 2 β )z − 4α + 4 β = 0
r
r
VËy n P = (α + β ;−2α + 2 β ;α − 2 β ) .Ta cã u 2 = (1;1;2 ) // ∆ 2 vµ M 2 (1;2;1) ∈ ∆ 2
r r
 n P .u 2 = 0
α − β = 0
(P ) // ∆ 2 ⇔ 
VËy (P ) : 2 x − z = 0
⇔
M 2 (1;2;1) ∉ (P )
 M 2 ∉ (P )

∑ 0,5 ®

∑1,0 ®

0,25 ®

0,5 ®

0,25 ®
-----------

0,5 ®
-----------

0,25 ®

0,5 ®

0,25 ®

0,5 ®

∑ 0,5 ®

∑1,0 ®

0,25 ®

0,5 ®

0,25 ®
----------0,25 ®
0,25 đ

0,5 đ
----------0,5 đ
0,5 đ

Ta có thể chuyển phơng trình 1 sang d¹ng tham sè nh− sau:
 x = 2t '

Từ phơng trình 1 suy ra 2 x z = 0. Đặt x = 2t ' 1 :  y = 3t '−2
 z = 4t '


r
⇒ M 1 (0;−2;0) ∈ ∆ 1 , u1 = (2;3;4) // 1 .
(Ta có thể tìm tọa độ ®iĨm M 1 ∈ ∆ 1 b»ng c¸ch cho x = 0 ⇒ y = −2 z = 0
C¸ch II

r −2 1 1 1 1 −2

vµ tÝnh u1 = 
 2 − 2 ; − 2 1 ; 1 2  = (2;3;4) ).


r
Ta cã u 2 = (1;1;2 ) // 2 . Từ đó ta có véc tơ pháp của mặt phẳng (P) là :
r
r r
n P = [u1 , u 2 ] = (2;0;−1) . VËy ph−¬ng trình mặt phẳng (P) đi qua M 1 (0;2;0 )
r
và ⊥ n P = (2;0;−1) lµ: 2 x − z = 0 .
Mặt khác M 2 (1;2;1) (P ) phơng trình mặt phẳng cần tìm là: 2 x − z = 0
2b)

b)C¸ch I. H ∈ ∆ 2 ⇒ H (1 + t ,2 + t ,1 + 2t ) ⇒ MH = (t − 1; t + 1;2t − 3)
⇒ MH = (t − 1) + (t + 1) + (2t − 3) = 6t − 12t + 11 = 6(t 1) + 5
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
t = 1 H (2;3;3)
Cách II. H ∈ ∆ 2 ⇒ H (1 + t ;2 + t ;1 + 2t ) .
r
MH nhá nhÊt ⇔ MH⊥∆ 2 ⇔ MH .u 2 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H (2;3;4)
2

V

1.

2

2

2

2

Ta cã BC I Ox = B(1;0 ) . Đặt x A = a ta có A(a; o) và

(

1đ

)

xC = a y C = 3a − 3. VËy C a; 3a − 3 .
1

 2a + 1 3 (a − 1) 
 xG = 3 ( x A + x B + x C )
.
Tõ c«ng thøc 
ta cã G
 3 ;


1
3


 yG = ( y A + y B + yC )
3

C¸ch I.
Ta cã :
AB =| a − 1 |, AC = 3 | a − 1 |, BC = 2 | a − 1 | . Do ®ã

0,25 ®

6
www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..

S ∆ABC =
Ta cã
VËy

1
3
(a − 1)2 .
AB. AC =
2
2
2

2S
3 (a − 1)
| a −1|
= 2.
r=
=
=
AB + AC + BC 3 | a − 1 | + 3 | a − 1 |
3 +1
| a − 1 |= 2 3 + 2.

0,25 ®

0,25 ®

7+4 3 6+2 3

;
TH1. a1 = 2 3 + 3 ⇒ G1 

3
3 


 − 4 3 −1 − 6 − 2 3 
.
;
TH2 a 2 = −2 3 − 1 ⇒ G2

3
3


Cách II.
y
C

0,25 đ
-----------

I
O

B

A

x

Gọi I là tâm đờng tròn nội tiÕp ∆ABC . V× r = 2 ⇒ y I = ±2 .
x −1
⇒ xI = 1 ± 2 3 .
Phơng trình BI : y = tg 30 0.( x 1) =
3
TH1 Nếu A và O khác phía đối víi B ⇒ x I = 1 + 2 3. Tõ d ( I , AC ) = 2
7+4 3 6+2 3

⇒ a = x I + 2 = 3 + 2 3. ⇒ G1 
;


3
3 


TH 2. NÕu A và O cùng phía đối với B x I = 1 − 2 3. T−¬ng tù
 − 4 3 −1 − 6 − 2 3 

;
ta cã a = x I − 2 = −1 − 2 3. ⇒ G2 


3
3



0,25 ®

0,25 ®

∑1 ®

2.
Tõ

0,25 ®

3
1

C n = 5C n ta cã n ≥ 3 vµ

7
www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..

n!
n!
n(n − 1)(n − 2)
=5
⇔
= 5n ⇔ n 2 − 3n − 28 = 0
(n 1)!
3!(n 3)!
6
n1 = 4 (loại) hoặc n2 = 7.
Víi n = 7 ta cã
−
 x2 1 
2 
C 



3
7

4

0,25 ®
0,25 ®

3

 −3x 
 2  = 140 ⇔ 35.2 2 x −2.2 − x = 140 ⇔ 2 x − 2 = 4 ⇔ x = 4.





0,5 ®

8
www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Ti Liu - Phn Mm Toỏn,..

Bộ giáo dục và đào tạo

kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003

--------------------------

Môn thi : toán khối A

đề chính thức

Thời gian làm bµi : 180 phót

___________________________________
mx 2 + x + m
(1)
(m lµ tham số).
x 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành
độ dơng.
Câu 2 (2 điểm).
cos 2 x
1
1) Giải phơng trình cotgx − 1 =
+ sin 2 x − sin 2 x.
1 + tgx
2
1
1

x = y
x
y
2) Giải hệ phơng trình

2 y = x 3 + 1.

Câu 3 (3 điểm).
1) Cho hình lập phơng ABCD. A ' B ' C ' D ' . TÝnh sè ®o cđa gãc phẳng nhị diện [B, A' C , D ] .

2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật
ABCD. A ' B ' C ' D ' cã A trïng víi gèc cđa hƯ täa ®é, B (a; 0; 0), D(0; a; 0), A '(0; 0; b)
(a > 0, b > 0) . Gọi M là trung điểm cạnh CC ' .
a) Tính thĨ tÝch khèi tø diƯn BDA ' M theo a và b .
a
b) Xác định tỷ số
để hai mặt phẳng ( A ' BD) và ( MBD) vuông góc với nhau.
b
Câu 4 ( 2 điểm).
y=

Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số

n

1
5
1) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của
3 + x  , biÕt r»ng

x

8

n+
n
C n + 1 − C n + 3 = 7(n + 3)
4

k

( n lµ sè nguyên dơng, x > 0, C n là số tổ hợp chập k của n phần tử).
2 3

2) Tính tích phân

I=



5

dx
2

x x +4

.

Câu 5 (1 điểm).
Cho x, y, z là ba số dơng và x + y + z 1. Chøng minh r»ng
1
1
1
x2 +
+ y2 +
+ z2 +
≥
x2
y2
z2

82 .

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− HếT
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: .. .

Số báo danh: …………….

www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Ti Liu - Phn Mm Toỏn,..
Bộ giáo dục và đào tạo

kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003



đáp án thang điểm

đề thi chính thức

Môn thi : toán

Khối A

Nội dung

điểm

2điểm
1 điểm

Câu 1.
1)

x2 + x 1
1
= x
.
x 1
x 1
+ Tập xác định: R \{ 1 }.
Khi m = −1 ⇒ y =

+ y ' = −1 +

1
( x − 1)

2

=

− x2 + 2 x
2

x=0
y'= 0 ⇔ 
 x = 2.

.

( x − 1)
1
+ lim [ y − (− x)] = lim
= 0 ⇒ tiƯm cËn xiªn của đồ thị là: y = x .
x
x →∞ x − 1
lim y = ∞ ⇒ tiÖm cËn đứng của đồ thị là: x = 1 .

0,25 đ

x 1

Bảng biến thiên:
x
y



0
0

+
y

1
+

2
0
3
CĐ

+
+

CT
1



+
0,5 đ


Đồ thị không cắt trục hoành.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 1).

y

1
O

0, 25 ®
1

2

x

−1

−3

1
www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Ti Liu - Phn Mm Toỏn,..
2)

1 điểm

Đồ thị hàm số y =

2

mx + x + m
cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ
x 1

dơng phơng tr×nh f ( x) = mx 2 + x + m = 0 có 2 nghiệm dơng phân biệt khác 1
m≠0


∆ = 1 − 4m 2 > 0



⇔  f (1) = 2m + 1 ≠ 0

 S = − 1 > 0, P = m > 0

m
m




Vậy giá trị m cần tìm là:



m0

m<1

2

m 1

2
m<0

1
< m < 0.
2

2điểm
1 điểm
(*) .

Khi đó phơng trình đà cho



0,75 đ

1
< m < 0.
2

Câu 2.
1)
sin x 0

Điều kiện cos x ≠ 0
 tg x ≠ −1


0,25 ®

0, 25 ®
cos x

cos 2 x − sin 2 x
−1 =
+ sin x(sin x − cos x)
sin x
sin x
1+
cos x

cos x − sin x
= cos x(cos x − sin x) + sin x(sin x − cos x)
sin x

⇔ (cos x − sin x)(1 − sin x cos x + sin 2 x) = 0
cos x − sin x = 0

⇔
2
1 − sin x cos x + sin x = 0.

π
TH1: sin x = cos x ⇔ tgx = 1 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z) tháa m·n ®iỊu kiƯn (*).
4
1
TH2: 1 − sin x cos x + sin 2 x = 0 ⇔ 1 − sin 2 x + sin 2 x = 0 : vô nghiệm.
2

Vậy nghiệm của phơng trình là: x = + k (k Z) .
4
1
1

(1)
x − x = y − y
2) Gi¶i hƯ 
 2 y = x3 + 1
(2).

+ §iỊu kiƯn xy ≠ 0.
 x= y
1
+ Ta cã (1) ⇔ ( x − y )(1 + ) = 0 ⇔ 
xy
 xy = −1.



x = y =1

x= y
 x= y
 x= y

−1 + 5



⇔
⇔
TH1: 
⇔ x = y =
3

3
2

2
2 y = x + 1 2 x = x + 1 ( x − 1)( x + x − 1) = 0




 x = y = −1 − 5 .

2


0, 25 ®

0, 25 ®
0, 25 ®

1 ®iĨm

0, 25 ®

0,5 ®

2
www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..

1

1

 y=−x
 xy = −1


 y=−x
⇔
⇔
TH2: 
3
 2 y = x + 1  − 2 = x3 + 1  4

x + x + 2 = 0
x

Ta chứng minh phơng trình (4) v« nghiƯm.
2

(3)
(4).

2

1 
1
3


x 4 + x + 2 =  x 2 −  +  x +  + > 0, x .
2
2
2

1
Cách 2. Đặt f ( x) = x 4 + x + 2 ⇒ f ( x) ≥ min f ( x) = f
> 0.
3
xR
4
Trờng hợp này hệ vô nghiệm.
Vậy nghiệm của hệ phơng trình là:
1 + 5 1 + 5   −1 − 5 −1 − 5 
( x; y ) = (1;1), 
;
;
, 
.

2
2   2
2



Câu 3.
B
C
Cách 1.

A

0, 25 đ

3điểm
1 điểm

D
H
B

C
I

A

D

1)
Cách 1. Đặt AB = a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC, suy ra BH
AC, mà BD ⊥ (A’AC) ⇒ BD ⊥ A’C, do ®ã A’C (BHD) AC DH. Vậy góc
phẳng nhị diện [ B, A ' C , D ] lµ gãc BHD .
0, 25 đ
Xét A ' DC vuông tại D có DH là đờng cao, ta có DH . A ' C = CD. A ' D
CD. A ' D
a.a 2 a 2
=
=
. Tơng tự, A ' BC vuông tại B có BH là đờng

DH =
A'C
a 3
3
0, 25 đ
a 2
cao và BH =
.
3
Mặt khác:

2a 2 = BD 2 = BH 2 + DH 2 − 2 BH .DH cos BHD =

2a 2 2a 2
2a 2
+
− 2.
cos BHD ,
3
3
3

1
⇒ BHD = 120o .
2
C¸ch 2. Ta cã BD ⊥ AC ⇒ BD AC (Định lý ba đờng vuông góc).
Tơng tự, BC’⊥ A’C ⇒ (BC’D) ⊥ A’C . Gäi H lµ giao điểm của A ' C và ( BC ' D)
do đó cos BHD =

0, 25 đ

0, 25 đ
hoặc

BHD là góc phẳng của [ B; A ' C ; D ] .

0, 25đ

Các tam giác vuông HAB, HAD, HA’C’ b»ng nhau ⇒ HB = HC’ = HD

0,25 ®
0,5 đ

o

H là tâm BCD đều BHD = 120 .

3
www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Ti Liu - Phn Mm Toỏn,..
2)

2 điểm
a) Từ giả thiÕt ta cã
z
A’

b
C (a; a; 0); C ' (a; a; b) ⇒ M (a; a; ) .

2

D’

B’

VËy BD = (− a; a; 0), BM = (0; a;

C’
A

b
)
2

 ab ab

⇒  BD, BM  =  ;
; − a2  .

  2
2


y

D

0, 25 ®

BA ' = ( − a; 0; b ) ⇒  BD, BM  .BA ' =



B

0, 25 ®

−3a 2b 0, 25 ®
.
2

C

x

1
a 2b
 BD, BM  .BA ' =
.

6 
4
ab ab


 
; − a2  ,
b) Mặt phẳng ( BDM ) có véctơ pháp tuyến là n1 =  BD, BM  =  ;
2

 2


Do đó VBDA ' M =

mặt phẳng ( A ' BD) có véctơ pháp tuyến là n2 = BD, BA ' = (ab; ab; a 2 ) .



a
a 2b 2 a 2 b 2
+
− a4 = 0 ⇔ a = b ⇔ = 1.
2
2
b

Do ®ã ( BDM ) ⊥ ( A ' BD) ⇔ n1.n2 = 0 ⇔
C©u 4.
1)

(

0, 25 ®

0, 5 ®
0, 5 ®
2®iÓm
1 ®iÓm

)

n+
n
n +1
n
n
Ta cã Cn + 1 − Cn + 3 = 7(n + 3) ⇔ Cn + 3 + Cn + 3 − Cn + 3 = 7(n + 3)
4

(n + 2)(n + 3)
= 7(n + 3) ⇔ n + 2 = 7.2! = 14 n = 12.
2!



k
C12

Số hạng tổng quát của khai triển lµ
60 −11k
Ta cã x 2

= x8 ⇒

(x )
−3

 5
. x 2 

 
 

k
= C12

60 −11k
x 2

60 − 11k
= 8 k = 4.
2

2 3



5

Đặt t = x 2 + 4 ⇒ dt =

xdx
x

2

xdx
2

2

x +4

12!
= 495.
4!(12 − 4)!

.

I=

2 3

vµ x 2 = t 2 − 4.

∫

5

4

xdx
x2 x2 + 4

=∫

3t

dt
2

−4

0, 25 ®

1 ®iĨm

x +4
Víi x = 5 th× t = 3 , víi x = 2 3 th× t = 4 .

Khi ®ã

.

0, 25 ®

4
C12 =

Do ®ã hƯ sè cđa sè hạng chứa x 8 là
2) Tính tích phân I =

12 − k

k

0, 5 ®

=

0, 25 ®
0, 25 ®

4

1  1
1 
∫  t − 2 − t + 2  dt
4 3


0,25 ®

4

1 t −2 
1 5
=  ln
 = 4 ln 3 .
4 t +2 3

0, 25 ®

4
www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn,..

C©u 5.

Víi mäi u, v ta cã | u + v | ≤ | u | + | v |
2

1điểm

(*)

(

2

)

2

(vì | u + v |2 = u + v + 2u.v ≤ | u |2 + | v |2 +2 | u | . | v |= | u | + | v | )
1 1 1
Đặt a =  x; , b =  y;  , c =  z;  .
 y
 x
 z


¸p dơng bất đẳng thức (*) ta có | a | + | b | + | c | ≥ | a + b | + | c | ≥ | a + b + c | .
VËy

P = x2 +

1
x2

+ y2 +

1
y2

+ z2 +

2

1 1 1
≥ ( x + y + z )2 +  + +  .
z2
x y z
1

0, 25 đ

Cách 1. Ta có
2

1 1 1
P ( x + y + z) +  + +  ≥
x y z
2

(

3 3 xyz

)

2

2


1 
9
+ 3 3
 = 9t + , víi


xyz 
t


2
2
1
 x+ y+ z
t = 3 xyz ⇒ 0 < t
.
3
9


9
9
1

Đặt Q(t ) = 9t + ⇒ Q '(t ) = 9 − < 0, ∀t ∈  0;  ⇒ Q(t ) giảm trên
2
t
9
t
1
Q(t ) Q = 82. VËy P ≥ Q(t ) ≥ 82.
9
1
DÊu “=” x¶y ra khi x = y = z =
.
3
C¸ch 2.

(

0, 25 ®

)

(

 1
 0; 
 9

0, 25 ®
0, 25 ®

)

2

hc

2

1 1 1
1 1 1
Ta cã ( x + y + z )2 +  + +  = 81( x + y + z )2 +  + +  − 80( x + y + z )2
x y z
x y z
1 1 1
≥ 18( x + y + z )  + +  − 80( x + y + z )2 ≥ 162 − 80 = 82.
x y z
VËy P 82.

0,25 đ

0,5 đ

1
.
3
Ghi chú: Câu này còn có nhiều cách giải khác.

(Dấu = xảy ra

khi x = y = z =

)

5
www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Ti Liu - Phn Mm Toỏn,..

Bộ giáo dục và đào tạo
-----------------------------Đề chính thức

đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004
Môn thi : Toán , Khối A
Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian phát ®Ị
--------------------------------------------------------------

C©u I (2 ®iĨm)

− x 2 + 3x − 3
(1).
2(x 1)
1) Khảo sát hàm số (1).
2) Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1.
Cho hàm số y =

Câu II (2 điểm)

2(x 2 16)

1) Giải bất phơng trình

x 3

+ x 3 >

7x .
x −3

1
⎧
⎪ log 1 (y − x) − log 4 y = 1
⎨ 4
⎪
x 2 + y 2 = 25.
⎩

2) Gi¶i hệ phơng trình

Câu III (3 điểm)

(

)

1) Trong mặt phẳng với hƯ täa ®é Oxy cho hai ®iĨm A ( 0; 2 ) và B 3; 1 . Tìm tọa độ trực
tâm và tọa độ tâm đờng tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,
AC cắt BD tại gốc tọa độ O. BiÕt A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ). Gọi M là trung điểm
của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đờng thẳng SA, BM.

b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đờng thẳng SD tại ®iĨm N. TÝnh thĨ tÝch khèi chãp S.ABMN.
C©u IV (2 điểm)
2

1) Tính tích phân I =

1+
1

x
dx .
x 1
8

2) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức cđa ⎡1 + x 2 (1 − x) ⎤ .
⎣
⎦
C©u V (1 điểm)
Cho tam giác ABC không tù, thỏa mÃn ®iỊu kiƯn cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC = 3.
TÝnh ba gãc cđa tam gi¸c ABC.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C¸n bé coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh............................................................................Sè b¸o danh.................................................

www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Ti Liu - Phn Mm Toỏn,..

Bộ giáo dục và đào tạo
.....................

Đáp án - Thang điểm
đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004

...........................................
Đề chính thức

Câu
I

Môn: Toán, Khối A
(Đáp án - thang điểm có 4 trang)
Nội dung

ý
I.1

Điểm
2,0

(1,0 điểm)

y=

x 2 + 3x − 3
1
1
= − x +1−
.
2

2 ( x 1)
2(x 1)

a) Tập xác định: R \ {1} .
b) Sù biÕn thiªn:
x(2 − x)
y' =
; y ' = 0 ⇔ x = 0, x = 2 .
2(x − 1) 2
1
3
yC§ = y(2) = − , yCT = y(0) = .
2
2
Đờng thẳng x = 1 là tiệm cận đứng.
1
Đờng thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên.
2
Bảng biến thiên:

0
1
x



y'
y

0

+

0,25

0,25

+

+





0


+

3
2

+

2

1
2

0,25

c) Đồ thị:

0,25

1

www.toantrunghoc.com - Thi - ỏp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Ti Liu - Phn Mm Toỏn,..

I.2

(1,0 điểm)

Phơng trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đờng thẳng y = m là :

x 2 + 3x − 3
= m ⇔ x 2 + (2 m − 3)x + 3 − 2 m = 0 (*).
2(x − 1)

0,25

Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi và chØ khi:
3
1

∆ > 0 ⇔ 4m 2 − 4m − 3 > 0 ⇔ m > hc m < − (**) .
2
2
Với điều kiện (**), đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B có hoành
độ x1 , x2 là nghiệm của phơng trình (*).

0,25

AB = 1 ⇔ x 1 − x 2 = 1 ⇔ x1 − x 2

⇔ (2 m − 3)2 − 4(3 − 2 m ) = 1 ⇔

2

=1 ⇔

m=

(x

+ x 2 ) − 4x1x 2 = 1
2

1

1± 5
(tho¶ m·n (**))
2

0,25

0,25
2,0

II
II.1

(1,0 điểm)
Điều kiện : x 4 .
Bất phơng trình đà cho tơng đơng với bất phơng trình:

0,25

2(x 2 16) + x − 3 > 7 − x ⇔ 2(x 2 − 16) > 10 − 2x

0,25
+ NÕu x > 5 thì bất phơng trình đợc thoả mÃn, vì vế trái dơng, vế phải âm.
0,25
+ Nếu 4 x 5 thì hai vế của bất phơng trình không âm. Bình phơng hai vế ta
2
đợc: 2 x 2 16 > (10 − 2x ) ⇔ x 2 − 20x + 66 < 0 ⇔ 10 − 34 < x < 10 + 34 .

(

II.2

)

Kết hợp với điều kiện 4 ≤ x ≤ 5 ta cã: 10 − 34 < x 5 . Đáp số: x > 10 34
(1,0 điểm)
Điều kiện: y > x và y > 0.

log 1 (y − x ) − log 4
4

⇔ − log 4

1
=1 ⇔
y

− log 4 (y − x ) − log 4

1
=1
y

0,25

0,25

3y
yx
=1 x =
.
y
4

0,25
2

3y
2
Thế vào phơng trình x + y = 25 ta cã: ⎜ ⎟ + y = 25 ⇔ y = ±4.
⎝ 4 ⎠
2

2

So s¸nh với điều kiện , ta đợc y = 4, suy ra x= 3 (tháa m·n y > x).
VËy nghiƯm cđa hệ phơng trình là (3; 4).

0,25
3,0

III
III.1

0,25

(1,0 điểm)

3x + 3y = 0 .

+ Đờng thẳng qua O, vuông góc với BA( 3 ; 3) có phơng trình

Đờng thẳng qua B, vuông góc với OA(0; 2) có phơng trình y = 1
( Đờng thẳng qua A, vuông góc với BO( 3 ; 1) có phơng trình

3x + y 2 = 0 )

Giải hệ hai (trong ba) phơng trình trên ta đợc trực tâm H( 3 ; 1)
+ Đờng trung trực cạnh OA có phơng trình y = 1.
Đờng trung trực cạnh OB có phơng trình 3x + y + 2 = 0 .
( Đờng trung trực cạnh AB có phơng tr×nh

3x + 3y = 0 ).

0,25
0,25

0,25

2

www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn,..

Gi¶i hƯ hai (trong ba) phơng trình trên ta đợc tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác
OAB là I 3 ; 1 .

(

III.2.a

)

(1,0 ®iÓm)

(

0,25

)

+ Ta cã: C ( −2; 0; 0 ) , D ( 0; −1; 0 ) , M − 1; 0; 2 ,

(

)

(

)

SA = 2; 0; − 2 2 , BM = 1; 1;
Gọi là góc giữa SA và BM.
Ta đợc:

(

cos = cos SA, BM

(

2 .

0,25

SA.BM

) = SA . BM =

3
⇒ α = 30° .
2

)

+ Ta cã: ⎡SA, BM ⎤ = −2 2; 0; − 2 , AB = ( −2; 1; 0 ) .
⎣
⎦
VËy:
⎡SA, BM ⎤ ⋅ AB
2 6
⎣
⎦
d ( SA, BM ) =
=
3
⎡SA, BM ⎤
⎣
⎦

III.2.b

0,25
0,25

0,25

(1,0 ®iĨm)

⎛
⎝

⎞
⎠

1
2

Ta cã MN // AB // CD N là trung điểm SD ⇒ N⎜ 0; − ; 2 ⎟ .

(

)

(

)

1
⎛
⎞
SA = 2; 0; −2 2 , SM = − 1; 0; − 2 , SB = 0; 1; − 2 2 , SN = ⎜ 0; − ; − 2 ⎟
2
⎝
⎠

⇒ ⎡SA, SM ⎤ = 0; 4 2; 0 .
⎣
⎦

(

)

(

1
6
1
=
6

VS.ABM =
VS.AMN

)

⎡SA,SM ⎤ ⋅ SB = 2 2
⎣
⎦
3
⎡SA,SM ⎤ ⋅ SN = 2 ⇒ VS.ABMN = VS.ABM + VS.AMN = 2
⎣
⎦
3

0,25

0,25
0,25
0,25
2,0

IV
IV.1

(1,0 ®iĨm)
2

x
dx . Đặt: t = x 1 x = t 2 + 1 ⇒ dx = 2 tdt .
x −1
1
x = 1⇒ t = 0 , x = 2 ⇒ t = 1.

I=

∫ 1+

0,25

3

www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..

www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..

1

Ta cã: I = ∫
0

1

1

t2 +1
t3 + t
2 ⎞
⎛
2t dt = 2∫
dt = 2∫ ⎜ t 2 − t + 2 −
⎟ dt
1+ t
1+ t
t +1 ⎠
⎝
0
0

0,25

1

IV.2

1
⎡1
⎤
I = 2 ⎢ t 3 − t 2 + 2t − 2 ln t + 1 ⎥
2
⎣3
⎦0
⎡1 1
⎤ 11
I = 2 ⎢ − + 2 − 2 ln 2 ⎥ = − 4 ln 2 .
⎣3 2
⎦ 3
(1, 0 ®iĨm)

0,25
0,25

8

0
2
3
4
⎡1 + x 2 (1 − x ) ⎤ = C8 + C1 x 2 (1 − x ) + C8 x 4 (1 − x ) + C8 x 6 (1 − x ) + C8 x 8 (1 − x )
8
⎣
⎦
2

3

4

5
6
7
+ C8 x10 (1 − x ) + C8 x12 (1 − x ) + C8 x14 (1 − x ) + C8 x16 (1 − x )
8
5

6

7

8

Bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8.

0,25
0,25

Vậy x8 chỉ có trong các số hạng thứ t, thứ năm, với hệ số tơng ứng là:
3
2
4
C8 .C3 , C8 .C 0
4

Suy ra

0,25

a8 = 168 + 70 = 238 .

0,25
1,0

V
Gäi M = cos 2 A + 2 2 cos B + 2 2 cos C − 3

= 2 cos 2 A − 1 + 2 2 ⋅ 2 cos

B+C
B−C
⋅ cos
−3.
2
2

A
B−C
A
> 0 , cos
≤ 1 nªn M ≤ 2 cos 2 A + 4 2 sin − 4 .
2
2
2
2
Mặt khác tam giác ABC không tù nên cos A ≥ 0 , cos A ≤ cos A . Suy ra:

A
A⎞
A
⎛
M ≤ 2 cos A + 4 2 sin − 4 = 2⎜ 1 − 2 sin 2 ⎟ + 4 2 sin − 4
2
2⎠
2
⎝
Do sin

0,25
0,25

2

A ⎞
A
A
⎛
= −4 sin
+ 4 2 sin − 2 = −2⎜ 2 sin − 1 ⎟ ≤ 0 . VËy M ≤ 0 .
2
2
2
⎝
⎠
2

⎧

⎪cos 2 A = cos A
⎪
B−C
⎪
Theo gi¶ thiÕt: M = 0 ⇔ ⎨cos
=1
2
⎪
1
⎪ A
⎪sin 2 =
2
⎩

0,25

⎧A = 90°
⎩B = C = 45°⋅

⇔⎨

0,25

4

www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

----------------------ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2005
Mơn: TỐN, khối A
Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề
----------------------------------------

C©u I (2 điểm)
Gọi (Cm ) là đồ thị của hàm số y = m x +

1
x

(*)

( m là tham số).

1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = .
4
2) Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C m ) đến tiệm
1
cận xiên của (Cm ) bằng
.
2

C©u II (2 điểm)
1) Giải bất phương trình

5x − 1 −

x −1 >

2x − 4.

cos 2 3x cos 2x − cos 2 x = 0.

2) Giải phương trình

C©u III (3 ®iÓm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
d1 : x − y = 0 và d 2 : 2x + y − 1 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh hình vng ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1 , đỉnh C thuộc d 2
và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
x −1 y + 3 z − 3
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :
và mặt
=
=
2
1
−1
phẳng (P) : 2x + y − 2z + 9 = 0.
a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình
tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vng
góc với d.

C©u IV (2 điểm)
π

2

sin 2x + sin x
dx.
1 + 3cos x
0
2) Tìm số nguyên dương n sao cho
2n +1
C1 +1 − 2.2C 2 +1 + 3.22 C3 +1 − 4.23 C 4 +1 + L + (2n + 1).22n C 2n +1 = 2005
2n
2n
2n
2n

1) Tính tích phân I =

∫

( Ck là số tổ hợp chập k của n phần tử).
n
C©u V (1 điểm)
1 1 1
+ + = 4. Chứng minh rằng
x y z
1
1
1
+
+
≤ 1.

2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn

------------------------------ Hết ----------------------------Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh .................................................……

số báo danh........................................

www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
--------------------ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu
I

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2005
---------------------------------------Mơn: TỐN, Khối A
(Đáp án – thang điểm gồm 4 trang)

Ý

Nội dung

Điểm

2,0
1,0

I.1

m=

1
1
1
⇒ y= x+ .
4
4
x

a) TXĐ: \{0}.

0,25

b) Sự biến thiên: y ' =

1 1 x −4
−
=
, y ' = 0 ⇔ x = −2, x = 2.
4 x2
4x 2
2

yCĐ = y ( −2 ) = −1, yCT = y ( 2 ) = 1.

Đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng.
1
Đường thẳng y = x là tiệm cận xiên.
4

0,25

c) Bảng biến thiên:
x
y’

− ∞

+

−2

0

−

0

−1

+∞

−

2

0

+∞
+
+∞

0,25

y

− ∞

−∞

1

d) Đồ thị

0,25

1

www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..
I.2

1,0

1
, y ' = 0 có nghiệm khi và chỉ khi m > 0 .
x2
1
1
Nếu m > 0 thì y ' = 0 ⇔ x1 = −
, x2 =
.
m
m
Xét dấu y '
x
1
−∞
−
0
m
+
0
−
||
−
y'
Hàm số luôn có cực trị với mọi m > 0.
y' = m −

0,25

1
m

0

+∞

0,25

+

⎛ 1
⎞
; 2 m ⎟.
⎝ m
⎠
Tiệm cận xiên (d) : y = mx ⇔ mx − y = 0.

Điểm cực tiểu của ( C m ) là M ⎜

d ( M, d ) =

m −2 m
m2 + 1

1
⇔
2
Kết luận: m = 1 .
d ( M;d ) =

=

m
m +1
2

m
m2 + 1

=

0,25

.

1
⇔ m 2 − 2m + 1 = 0 ⇔ m = 1.
2

II.

0,25
2,0
1,0

II.1
Bất phương trình:

⎧5x − 1 ≥ 0
⎪
5x − 1 − x − 1 > 2x − 4 . ĐK: ⎨ x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2.
⎪2x − 4 ≥ 0

⎩

0,25

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

5x − 1 > 2x − 4 + x − 1 ⇔ 5x − 1 > 2x − 4 + x − 1 + 2 (2x − 4)(x − 1)
⇔ x + 2 > (2x − 4)(x − 1) ⇔ x + 4x + 4 > 2x − 6x + 4
2

0,25

2

⇔ x 2 − 10x < 0 ⇔ 0 < x < 10.
Kết hợp với điều kiện ta có : 2 ≤ x < 10 là nghiệm của bất phương trình đã cho.
II.2

0,25
0,25
1,0

Phương trình đã cho tương đương với

(1 + cos 6x ) cos 2x − (1 + cos 2x ) = 0
⇔ cos 6x cos 2x − 1 = 0
⇔ cos8x + cos 4x − 2 = 0
⇔ 2 cos 2 4x + cos 4x − 3 = 0

⎡ cos 4x = 1

⇔⎢
⎢ cos 4x = − 3 ( lo¹i ) .
⎢
2
⎣
π
Vậy cos 4x = 1 ⇔ x = k ( k ∈
2

0,25

0,25

0,5

).
2

www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn,..
III.
III.1

3,0
1,0

Vì A ∈ d1 ⇒ A ( t; t ) .

Vì A và C đối xứng nhau qua BD và B, D ∈ Ox nên C ( t; − t ) .

0,25

Vì C ∈ d 2 nên 2t − t − 1 = 0 ⇔ t = 1. Vậy A (1;1) , C (1; −1) .

0,25

Trung điểm của AC là I (1;0 ) . Vì I là tâm của hình vng nên

⎧ IB = IA = 1
⎨
⎩ ID = IA = 1
⎧ B ∈ Ox
⎧ B(b;0) ⎧ b − 1 = 1 ⎧b = 0, b = 2
⎪
⇔⎨
⇒⎨
⇔⎨
⎨
⎩D ∈ Ox
⎩D(d;0) ⎪ d − 1 = 1 ⎩d = 0, d = 2
⎩
Suy ra, B ( 0;0 ) và D ( 2;0 ) hoặc B ( 2;0 ) và D ( 0;0 ) .

0,25

0,25

Vậy bốn đỉnh của hình vng là

A (1;1) , B ( 0;0 ) , C (1; −1) , D ( 2;0 ) ,

hoặc

A (1;1) , B ( 2;0 ) , C (1; −1) , D ( 0;0 ) .

III.2a

1,0

⎧x = 1 − t
⎪
Phương trình của tham số của d : ⎨ y = −3 + 2t
⎪z = 3 + t.
⎩
I ∈ d ⇒ I (1 − t; −3 + 2t;3 + t ) , d ( I, ( P ) ) =

0,25

−2t + 2
.
3

0,25

⎡t = 4
d ( I, ( P ) ) = 2 ⇔ 1 − t = 3 ⇔ ⎢
⎣ t = −2.
Vậy có hai điểm I1 ( −3;5;7 ) , I 2 ( 3; −7;1) .

0,25
0,25

III.2b

1,0
Vì A ∈ d nên A (1 − t; −3 + 2t;3 + t ) .

Ta có A ∈ ( P ) ⇔

Vậy A ( 0; −1; 4 ) .

2 (1 − t ) + ( −3 + 2t ) − 2 ( 3 + t ) + 9 = 0 ⇔ t = 1 .

0,25

Mặt phẳng ( P ) có vectơ pháp tuyến n = ( 2;1; −2 ) .
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u = ( −1; 2;1) .

0,5

Vì ∆ ⊂ ( P ) và ∆ ⊥ d nên ∆ có vectơ chỉ phương u ∆ = ⎡ n, u ⎤ = ( 5;0;5 ) .

⎣

⎦

⎧x = t
⎪

Phương trình tham số của ∆ : ⎨ y = −1
⎪z = 4 + t.
⎩
3

www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..

0,25


www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..
IV

2,0
1,0

IV.1
π
2

I=∫
0

(2 cos x + 1)sin x
dx .
1 + 3cos x

0,25

⎧

t2 −1
cos x =
⎪
⎪
3
Đặt t = 1 + 3cos x ⇒ ⎨
3sin x
⎪dt = −
dx.
⎪
2 1 + 3cos x
⎩
π
x = 0 ⇒ t = 2, x = ⇒ t = 1.
2
1
2
⎛ t −1 ⎞⎛ 2 ⎞
22 2
I = ∫⎜2
+ 1⎟ ⎜ − ⎟ dt = ∫ ( 2t + 1) dt.
3
91
⎠⎝ 3 ⎠
2⎝

0,25

0,25

2

⎞
2 ⎛ 2t 3
2 ⎡⎛ 16
⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎤ 34
= ⎜
+ t ⎟ = ⎢⎜ + 2 ⎟ − ⎜ + 1⎟ ⎥ = .
9⎝ 3
⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎦ 27
⎠ 1 9 ⎣⎝ 3
IV.2

Ta có (1 + x )

2n +1

=C

0
2n +1

+C

1
2n +1

x+C

2

2n +1

x +C
2

3
2n +1

0,25

x + ... + C
3

2n +1
2n +1

x

2n +1

∀x ∈ .

1,0
0,25

Đạo hàm hai vế ta có

( 2n + 1)(1 + x )

2n

+
= C1 +1 + 2C2 +1x + 3C3 +1x 2 + ... + ( 2n + 1) C2n +1x 2n ∀x ∈ .
2n
2n
2n
2n 1

Thay x = −2 ta có:

2
+
C1 +1 − 2.2C 2 n +1 + 3.2 2 C3 +1 − 4.23 C 4 +1 + ... + ( 2n + 1) .22n C 2n +1 = 2n + 1.
2n
2n
2n
2n 1
Theo giả thiết ta có 2n + 1 = 2005 ⇒ n = 1002 .

V

0,25
0,25
0,25
1,0

Với a, b > 0 ta có : 4ab ≤ (a + b) ⇔
2

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b .

Áp dụng kết quả trên ta có:

1
a+b
1
1⎛1 1⎞
≤
⇔
≤ ⎜ + ⎟.
a + b 4ab
a +b 4⎝a b⎠

0,25

1
1⎛ 1
1 ⎞ 1 ⎡ 1 1 ⎛ 1 1 ⎞⎤ 1 ⎛ 1 1
1 ⎞
≤ ⎜
+
+ ⎟ (1).
⎟ ≤ ⎢ + ⎜ + ⎟⎥ = ⎜ +
2x + y + z 4 ⎝ 2x y + z ⎠ 4 ⎣ 2x 4 ⎝ y z ⎠ ⎦ 8 ⎝ x 2y 2z ⎠
Tương tự

1
1⎛ 1
1 ⎞ 1 ⎡ 1 1 ⎛ 1 1 ⎞⎤ 1 ⎛ 1 1
1 ⎞
≤ ⎜

+
+
⎟ ≤ ⎢ + ⎜ + ⎟⎥ = ⎜ +
⎟ (2).
x + 2y + z 4 ⎝ 2y x + z ⎠ 4 ⎣ 2y 4 ⎝ x z ⎠ ⎦ 8 ⎝ y 2z 2x ⎠

0,5

1
1⎛ 1
1 ⎞ 1 ⎡ 1 1 ⎛ 1 1 ⎞⎤ 1 ⎛ 1 1
1 ⎞
≤ ⎜ +
+
⎟ ≤ ⎢ + ⎜ + ⎟⎥ = ⎜ +
⎟ (3).
x + y + 2z 4 ⎝ 2z x + y ⎠ 4 ⎣ 2z 4 ⎝ x y ⎠ ⎦ 8 ⎝ z 2x 2y ⎠
1
1
1
1⎛ 1 1 1⎞
+
+
≤ ⎜ + + ⎟ = 1.
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z 4 ⎝ x y z ⎠
Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi
3
x = y = z. Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = .
4
Vậy

-------------------------------Hết------------------------------4

www.toantrunghoc.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán,..

0,25