Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học giải bài tập hình học

Lời cảm ơn

Trong thời gian qua, ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài luận văn đ-ợc
hoàn thành với sự h-ớng dẫn tận tình, chu đáo của T.S Nguyễn Đinh Hùng.
Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý của các
thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và Ph-ơng pháp giảng dạy bộ môn
Toán.
Xin trân trọng gửi tới các thầy cô giáo lời biết ơn chân thành và sâu sắc
của tác giả.
Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán
tr-ờng Nghi Lộc 1 đã tạo điều kiện trong quá trình tác giả thực hiện đề tài.
Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn cổ vũ động viên để tác giả
thêm nghị lực hoàn thành Luận văn này.
Tuy đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn này chắc chắn không
tránh khỏi những thiếu sót cần đ-ợc góp ý, sửa chữa. Tác giả rất mong nhận
đ-ợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.

Vinh, tháng 11 năm 2007
Tác giả

o

www.vnmath.com
1
Mục lục


Trang

Mở đầu
1
Ch-ơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
5
1.1. T- duy
6
1.2. T- duy sáng tạo
6
1.3. Một số yếu tố đặc tr-ng của t- duy sáng tạo
9
1.4. Vận dụng t- duy biện chứng để phát triển t- duy sáng tạo cho HS.
14
1.5. Tiềm năng của hình học trong việc bồi d-ỡng t- duy sáng tạo
cho học sinh
19
1.6. Kết luận ch-ơng 1
21
Ch-ơng 2. Một số vấn đề dạy học giải bài tập hình học theo
định h-ớng bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh
22
2.1. Vấn đề 1: Rèn luyện t- duy sáng tạo qua bài toán dựng hình
22
2.2. Vấn đề 2: Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho
một bài toán hình học không gian
54
2.3. Vấn đề 3: Xây dựng hệ thống bài toán gốc giúp học sinh quy
lạ về quen
69
2.4. Vấn đề 4: Chuyển việc tìm tòi lời giải bài toán hình học
không gian về bài toán hình học phẳng

78
2.5. Kết luận ch-ơng 2
85
Ch-ơng 3. Thực nghiệm s- phạm
86
3.1. Mục đích thực nghiệm
86
3.2. Nội dung thực nghiệm
86
3.3. Tổ chức thực nghiệm
86
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm
89
kết luận
91
tài liệu tham khảo
92

o

www.vnmath.com
2
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Thế giới ngày nay đang thay đổi theo một tốc độ luỹ thừa, nhằm đáp
ứng đ-ợc những thay đổi nhanh chóng đó trong khoa học, công nghệ, truyền
thông. Chúng ta không những dựa trên các giải pháp của quá khứ, mà còn phải
tin t-ởng vào những quá trình giải quyết các vấn đề mới.
Điều này không chỉ hàm ý nói đến những kỹ thuật mới mà còn nói đến
mục tiêu giáo dục. Mục tiêu của giáo dục phải là phát triển một xã hội trong

đó con ng-ời có thể sống thoải mái với sự thay đổi hơn là sự xơ cứng. Vì thế
bắt buộc bản thân các nhà giáo dục phải vừa giữ gìn, l-u truyền tri thức và các
giá trị của quá khứ vừa chuẩn bị cho một t-ơng lai mà ta ch-a biết rõ.
Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống
xã hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá sản xuất, trở
thành công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và đ-ợc coi là chìa khoá của
sự phát triển.
Xuất phát từ những yêu cầu xã hội đối với sự phát triển nhân cách của
thế hệ trẻ, từ những đặc điểm của nội dung mới và từ bản chất của quá trình
học tập buộc chúng ta phải đổi mới ph-ơng pháp dạy học theo h-ớng bồi
d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh.
Việc học tập tự giác tích cực, chủ động và sáng tạo đòi hỏi học sinh
phải có ý thức về những mục tiêu đặt ra và tạo đ-ợc động lực trong thúc đẩy
bản thân họ t- duy để đạt đ-ợc mục tiêu đó.
Trong việc rèn luyện t- duy sáng tạo cho học sinh ở tr-ờng phổ thông,
môn Toán đóng vai trò rất quan trọng. Bởi vì, Toán học có một vai trò to lớn
trong sự phát triển của các ngành khoa học và kỹ thuật; Toán học có liên quan
chặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa
o

www.vnmath.com
3
học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại; Toán học còn là một
công cụ để học tập và nghiên cứu các môn học khác.
Vấn đề bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh đã đ-ợc nhiều tác giả
trong và ngoài n-ớc quan tâm nghiên cứu. Với tác phẩm "Sáng tạo toán học"
nổi tiếng, nhà toán học kiêm tâm lý học G.Polya đã nghiên cứu bản chất của
quá trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học. Đồng thời trong tác phẩm
"Tâm lý năng lực toán học của học sinh", Krutecxiki đã nghiên cứu cấu trúc

năng lực toán học của học sinh. ở n-ớc ta, các tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn
Cảnh Toàn, Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Vũ D-ơng Thụy, Tôn Thân,
Phạm Gia Đức, đã có nhiều công trình giải quyết những vấn đề về lý luận
và thực tiễn việc phát triển t- duy sáng tạo cho học sinh. Hay nh- luận văn
Thạc sĩ của Từ Hữu Sơn - Đại học Vinh năm 2004 với tiêu đề: "Góp phần bồi
d-ỡng một số yếu tố đặc tr-ng của t- duy sáng tạo lý thuyết đồ thị". Phạm
Xuân Chung năm 2001: "Khai thác sách giáo khoa hình học 10 THPT hiện
hành qua một số dạng bài tập điển hình nhằm phát triển năng lực t- duy sáng
tạo cho học sinh". Tác giả Bùi Thị Hà - Đại học Vinh năm 2003, trong luận
văn của mình với đề tài: "Phát triển t- duy sáng tạo cho học sinh phổ thông
qua dạy học bài tập nguyên hàm, tích phân".
Nh- vậy, việc bồi d-ỡng và phát triển t- duy sáng tạo trong hoạt động
dạy học toán đ-ợc rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. Tuy nhiên, việc bồi
d-ỡng t- duy sáng tạo thông qua dạy giải các bài tập hình học ở tr-ờng THPT
thì các tác giả ch-a khai thác và đi sâu vào nghiên cứu cụ thể. Vì vậy, tôi chọn
đề tài nghiên cứu của luận văn này là: "Bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học
sinh trung học phổ thông qua dạy học giải bài tập hình học".
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn này là nghiên cứu và đề xuất một số vấn đề
nhằm góp phần rèn luyện yếu tố t- duy sáng tạo cho học sinh qua dạy học giải
bài tập hình học.
o

www.vnmath.com
4
3. Giả thuyết khoa học
Nếu dạy học hình học theo định h-ớng bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho
học sinh thì có thể góp phần đổi mới ph-ơng pháp dạy học trong giai đoạn
hiện nay và nâng cao chất l-ợng dạy học toán ở tr-ờng phổ thông trung học.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

4.1- Làm sáng tỏ khái niệm t- duy, t- duy sáng tạo.
4.2- Xác định các vấn đề đã đề xuất nhằm rèn luyện năng lực t- duy
sáng tạo cho học sinh.
4.3- Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập hình học phù hợp với sự
phát triển t- duy sáng tạo cho học sinh.
4.4- Tiến hành thực nghiệm s- phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính
hiện thực, tính hiệu quả của đề tài.
5. Ph-ơng pháp nghiên cứu
5.1- Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm lý học, lý luận
dạy học môn toán.
- Các sách báo, các bài viết về khoa học toán phục vụ cho đề tài.
- Các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.
5.2. Quan sát
- Dự giờ, quan sát việc dạy học của giáo viên và việc học của học sinh
trong quá trình khai thác các bài tập sách giáo khoa.
5.3. Thực nghiệm s- phạm
Tiến hành thực nghiệm s- phạm với lớp học thực nghiệm và lớp học đối
chứng trên cùng một lớp đối t-ợng.
6. Cấu trúc luận văn
A. Phần mở đầu
o

www.vnmath.com
5
- Lý do chọn đề tài
- Mục đích nghiên cứu
- Nhiệm vụ nghiên cứu
- Giả thiết khoa học
- Ph-ơng pháp nghiên cứu

B. Phần nội dung
Ch-ơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. T- duy
1.2. T- duy sáng tạo
1.3. Một số yếu tố đặc tr-ng của t- duy sáng tạo
1.4. Vận dụng t- duy biện chứng để phát triển t- duy sáng tạo cho HS.
1.5. Tiềm năng của chủ đề hình học trong việc bồi d-ỡng t- duy sáng
tạo cho học sinh.
1.6. Kết luận ch-ơng 1
Ch-ơng 2. Một số vấn đề dạy học giải bài tập hình học theo định
h-ớng bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh
2.1. Vấn đề 1: Rèn luyện t- duy sáng tạo qua bài toán dựng hình
2.2. Vấn đề 2: Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải trong một
bài toán.
2.3. Vấn đề 3: Xây dựng hệ thống bài toán gốc giúp học sinh quy lạ về quen.
2.4. Vấn đề 4: Chuyển việc tìm tòi lời giải bài toán hình học không gian
về bài toán hình học phẳng.
2.5. Kết luận ch-ơng 2
Ch-ơng 3. Thực nghiệm s- phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Nội dung thực nghiệm
3.2.1. Lớp thực nghiệm
3.2.2. Tiến trình thực nghiệm
3.3. Kết quả thực nghiệm
3.3.1. Đánh giá hoạt động học tập của học sinh ở lớp học
3.3.2. Kết luận về thực nghiệm s- phạm.
o

www.vnmath.com
6

Ch-ơng 1
Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1. T- duy
Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con ng-ời ch-a biết. Nhiệm vụ
của cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con ng-ời phải hiểu biết cái
ch-a biết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những
cái bản chất và những quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức đó
gọi là t- duy.
T- duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất
mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện t-ợng trong
hiện thực khách quan mà tr-ớc đó ta ch-a biết (theo tâm lý học đại c-ơng -
Nguyễn Quang Cẩn)
Theo từ điển triết học: "T- duy, sản phẩm cao nhất của vật chất đ-ợc tổ
chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách
quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận. T- duy xuất hiện trong quá
trình hoạt động sản xuất xã hội của con ng-ời và đảm bảo phản ánh thực tại
một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. T- duy chỉ tồn
tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là
hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài ng-ời cho nên t- duy của con ng-ời
đ-ợc thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của t-
duy đ-ợc ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho t- duy là những quá trình
nh- trừu t-ợng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất
định và tìm cách giải quyết chung, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm.
Kết quả của quá trình t- duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó".
Từ đó ta có thể rút ta những đặc điểm cơ bản của t- duy.
- T- duy là sản phẩm của bộ não con ng-ời và là một quá trình phản
ánh tích cực thế giới khách quan.
o

www.vnmath.com
7
- Kết quả của quá trình t- duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và đ-ợc thể
hiện qua ngôn ngữ.
- Bản chất của t- duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối t-ợng
đ-ợc phản ánh với hình ảnh nhận thức đ-ợc qua khả năng hoạt động của con
ng-ời nhằm phản ánh đối t-ợng.
- T- duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.
- Khách thể trong t- duy đ-ợc phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ
thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con ng-ời.
1.2. T- duy sáng tạo
Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải
quyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung của
sáng tạo gồm hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích
(giá trị hơn cái cũ). Nh- vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt động nào
của xã hội loài ng-ời. Sáng tạo th-ờng đ-ợc nghiên cứu trên nhiều ph-ơng
diện nh- là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, nh- một kiểu
t- duy, nh- là một năng lực của con ng-ời.
Các nhà nghiên cứu đ-a ra nhiều quan điểm khác nhau về t- duy sáng
tạo. Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính dộc lập và tính phê phán là
những điều kiện cần thiết của t- duy sáng tạo, là những đặc điểm về những
mặt khác nhau của t- duy sáng tạo. Tính sáng tạo của t- duy thể hiện rõ nét ở
khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra h-ớng đi mới, tạo ra kết
quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ" (Nguyễn Bá
Kim - Ph-ơng pháp dạy học bộ môn Toán)
Theo Tôn Thân quan niệm: "T- duy sáng tạo là một dạng t- duy độc lập
tạo ra ý t-ởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao". Và theo
tác giả "T- duy sáng tạo là t- duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào
cái đã có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong
việc tìm giải pháp. Mỗi sản phẩm của t- duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu

o

www.vnmath.com
8
ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó. (Tôn Thân - Xây dựng hệ thống câu hỏi và
bài tập nhằm bồi d-ỡng một số yếu tố của t- duy sáng tạo cho học sinh khá và
giỏi Toán ở tr-ờng THCS Việt Nam, luận án phó Tiến sỹ khoa học s- phạm -
Tâm lý, Viện khoa học giáo dục Hà Nội)
Nhà tâm lý học ng-ời Đức Mehlhow cho rằng "T- duy sáng tạo là hạt
nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục"
Theo ông, t- duy sáng tạo đ-ợc đặc tr-ng bởi mức độ cao của chất l-ợng, hoạt
động trí tuệ nh- tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác.
Trong khi đó, J.DanTon lại cho rằng "T- duy sáng tạo đó là những năng lực
tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng
của kiến thức, trí t-ởng t-ợng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy
và học bao gồm những chuỗi phiêu l-u, chứa đựng những điều nh-: sự khám
phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí t-ởng t-ợng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm".
Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G.Polya cho rằng: "Một t- duy gọi là
có hiệu quả nếu t- duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể
coi là sáng tạo nếu t- duy đó tạo ra những t- liệu, ph-ơng tiện giải các bài
toán sau này. Các bài toán vận dụng những t- liệu ph-ơng tiện này có số
l-ợng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của t- duy
càng cao, thí dụ: lúc những cố gắng của ng-ời giải vạch ra đ-ợc các ph-ơng
thức giải áp dụng cho những bài toán khác. Việc làm của ng-ời giải có thể là
sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không
giải đ-ợc nh-ng tốt vì đã gợi ra cho ng-ời khác những suy nghĩ có hiệu quả".
Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với ng-ời học Toán:
"Đối với ng-ời học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đ-ơng
đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận đ-ợc cái mới mà họ ch-a từng biết.
Nh- vậy, một bài tập cũng đ-ợc xem nh- là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác

giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức
là nếu ng-ời giải ch-a biết tr-ớc thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu
những b-ớc đi ch-a biết tr-ớc. Nhà tr-ờng phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh
sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày.
o

www.vnmath.com
9
Theo định nghĩa thông th-ờng và phổ biến nhất của t- duy sáng tạo thì
đó là t- duy sáng tạo ra cái mới. Thật vậy, t- duy sáng tạo dẫn đến những tri
thức mới về thế giới về các ph-ơng thức hoạt động. Lene đã chỉ ra các thuộc
tính sau đây của t- duy sáng tạo:
- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo.
- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng quy cách"
- Nhìn thấy chức năng mới của đối t-ợng quen biết.
- Nhìn thấy cấu tạo của đối t-ợng đang nghiên cứu.
- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm
hiểu lời giải (khả năng xem xét đối t-ợng ở những ph-ơng thức đã biết thành
một ph-ơng thức mới).
- Kỹ năng sáng tạo một ph-ơng pháp giải độc đáo tuy đã biết nh-ng
ph-ơng thức khác (Lene - dạy học nên vấn đề - NXBGD - 1977)
T- duy sáng tạo là t- duy tích cực và t- duy độc lập nh-ng không phải
trong t- duy tích cực đều là t- duy độc lập và không phải trong t- duy độc lập
đều là t- duy sáng tạo và có thể biểu hiện mối quan hệ giữa các khái niệm
d-ới dạng vòng trong đồng tâm

T- duy tích cực

T- duy độc lập

T- duy sáng tạo

Có thể nói đến t- duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng
minh mà học sinh đó ch-a biết đến. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, t- duy sáng
tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tạo trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở
tính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp.
o

www.vnmath.com
10
Nói chung t- duy sáng tạo là một dạng t- duy độc lập, tạo ra ý t-ởng
mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.
1.3. Một số yếu tố đặc tr-ng của t- duy sáng tạo
Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, về cấu trúc
của t- duy sáng tạo, có năm đặc tr-ng cơ bản sau:
- Tính mềm dẻo
- Tính nhuần nhuyễn
- Tính độc đáo
- Tính hoàn thiện
- Tính nhạy cảm vấn đề
1.3.1. Tính mềm dẻo
Tính mềm dẻo của t- duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này
sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác t- duy này sang thao tác t- duy khác,
vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu t-ợng hoá,
khái quát hóa, cụ thể hoá và các ph-ơng pháp suy luận nh- quy nạp, suy diễn,
t-ơng tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp
thời h-ớng suy nghĩ khi gặp trở ngại.
Tính mềm dẻo của t- duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh
chóng trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc
độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện t-ợng, gạt bỏ sơ đồ t- duy có

sẵn và xây dựng ph-ơng pháp t- duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan
hệ mới, hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán
đoán. Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến
thức kỹ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những
yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh h-ởng kìm hãm của những
kinh nghiệm, những ph-ơng pháp, những cách suy nghĩ đã có từ tr-ớc. Đó là
nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của
đối t-ợng quen biết.
o

www.vnmath.com
11
Nh- vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của t- duy
sáng tạo, do đó để rèn luyện t- duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các em
giải các bài tập mà thông qua đó rèn luyện đ-ợc tính mềm dẻo của t- duy.
1.3.2. Tính nhuần nhuyễn
Tính nhuần nhuyễn của t- duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách
nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàn
cảnh, đ-a ra giả thuyết mới. Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất l-ợng
của ý t-ởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo.
Tính nhuần nhuyễn đ-ợc đặc tr-ng bởi khả năng tạo ra một số l-ợng
nhất định các ý t-ởng. Số ý t-ởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả
năng xuất hiện ý t-ởng độc đáo, trong tr-ờng hợp này số l-ợng làm nảy sinh
ra chất l-ợng. Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc tr-ng sau:
- Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm
đ-ợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng tr-ớc
một vấn để phải giải quyết, ng-ời có t- duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và
đề xuất đ-ợc nhiều ph-ơng án khác nhau và từ đó tìm đ-ợc ph-ơng án tối -u.
Ví dụ : Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA =
OB = OC = a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy tính khoảng cách giữa hai

đ-ờng thẳng chéo nhau AI, OC?
Cách 1: Xem khoảng cách giữa 2 đ-ờng thẳng chéo nhau AI và OC là khoảng
cách từ 1 điểm thuộc 1 đ-ờng thẳng (chẳng hạn O OC) đến một mặt phẳng
song song đ-ờng thẳng đó và chứa đ-ờng thẳng còn lại mặt phẳng (AIJ).
Qua I kẻ IJ // OC (J OB)
Gọi (P) là mặt phẳng qua AI, IJ khi đó (P) // OC.
Vậy d(AI, OC) = d(OC, (P)) = d(O, (P)).
Kẻ OH AJ (H AJ). Vì IJ // OC nên
IJ OB
IJ OA

IJ OH.
o

www.vnmath.com
12
Do đó OH (AIJ) hay OH (P)
Suy ra d (AI, OC) = d ((P), OC) = d ((P), O) = OH =
a
5
.
- Hai là khả năng xem xét đối t-ợng d-ới nhiều khía cạnh khác nhau, có
một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện t-ợng chứ không
phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.
Trở lại ví dụ trên ta có:
Cách 2: Dựng đ-ờng vuông góc chung của AI và OC.
- Qua I kẻ đ-ờng thẳng IJ // OC (J OB)
- Qua O kẻ đ-ờng thẳng OH // AJ (H AJ)
- Qua H kẻ đ-ờng thẳng HE // IJ (I AI)
- Qua E kẻ đ-ờng thẳng EF // OH (F OC)

Khi đó EF là đoạn góc chung của AI và OC.
Thật vậy. Vì IJ // OC nên
IJ OB IJ (AOB)
IJ OA IJ OH (1)

Vì OH AJ (theo cách dựng) nên theo (1) ta có OH (AIJ)
OH AI mà EF // OH nên EF AI (2)
Ta lại có: OC (AOB) OC OH.
Do đó EF OC (OH // EF) (3)
Từ (2) và (3) ta có điều phải chứng minh.
Khoảng cách giữa đ-ờng thẳng AI và OC là:
d(AI, OC) = EF = OH.
Trong đó:
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5
OH OA OJ a a
a
2

OH =
a
5
. Vậy d(AI, OC) =
a
5
.
o
f
c

i
e
h
a
j
b
o

www.vnmath.com
13
Cách 3: Xét khoảng cách giữa hai đ-ờng thẳng AI và OC là khoảng cách giữa
hai mặt phẳng lần l-ợt chứa hai đ-ờng thẳng AI, OC và song song với nhau.
Từ I kẻ IJ // OC (J OB)
Gọi (P) là mp qua AI và IJ, (Q)
là mp qua DC và // (P)
Khi đó:
d(AC, AI) = d ((P) (Q)) = d (O, (P)) = OH =
a
5
.


Cách 4: Xem khoảng cách giữa 2 đ-ờng thẳng AI và OC là chiều cao hình
chóp có đỉnh là một điểm nằm trên một đ-ờng thẳng (chẳng hạn O OC) đáy
nằm trên mặt phẳng // đ-ờng thẳng đó và chứa đ-ờng thẳng còn lại (mp
(AIJ)). Hình chóp OAIJ
Ta có d(OC, AI) =
OAIJ
AIJ
3V

S

Trong đó:
V
OAIJ
=
3
1 1 a a a
OJ.AJ . . .a
6 6 2 2 24

S
AIJ
=
2
2
1 1 a a a 5
AJ.IJ a .
2 2 4 2 8

d
(OC, AI)
=
3
2
a 8 a
3.
2a
a 5 5

Vậy d (OC, AI) =
a
5
.
Cách 5: Xem khoảng cách giữa hai đ-ờng thẳng AI, OC là chiều cao hình hộp
có hai đáy chứa 2 đ-ờng thẳng trên.
Dựng hình hộp AMNPOCDI
c
o
j
i
b
h
a
o

www.vnmath.com
14
Gọi V là thể tích của hình hộp. Khi đó d (OC, AI) =
MNCO
V
S

Trong đó V = AO . S
OCDI
= 2AO . S
OCI

V = 2 . a .
3

1 a a a
OI.IC a. .
22
12 2

S
MNCO
= S
APDI
= IA . ID . sin (

AID
)
= IA . OC . sin (

AIJ
)
S
MNCO
= IA . OC .
AJ
AI
= OC . AJ
Trong đó OC = a
AJ =
2
2
a
a
4

S
MNCO
=
2
a 5 a 5
a. .
22

Vậy d(OC, AI) =
3
2
a
a
2
a 5 5
2
.
1.3.3. Tính độc đáo
Tính độc đáo của t- duy đ-ợc đặc tr-ng bởi các khả năng.
- Khả năng tìm ra những hiện t-ợng và những kết hợp mới.
- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên
ngoài liên t-ởng nh- không có liên hệ với nhau.
- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.
Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ
mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ
hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện
cho việc tìm đ-ợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau
m
a

p
d
c
o
n
b
i
o

www.vnmath.com
15
(tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất đ-ợc nhiều ph-ơng án khác nhau mà
có thể tìm đ-ợc giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo). Các yếu tố này có quan hệ
khăng khít với các yếu tố khác nh-: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy
cảm vấn đề. Tất cả các yếu tố đặc tr-ng nói trên cùng góp phần tạo nên t- duy
sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con ng-ời.
1.3.4. Tính hoàn thiện
Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành
động, phát triển ý t-ởng, kiểm tra và kiểm chứng ý t-ởng.
1.3.5. Tính nhạy cảm vấn đề
Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc tr-ng sau:
- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề
- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, ch-a tối -u từ
đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới.
Các yếu tố cơ bản của t- duy sáng tạo nêu trên đã biểu hiện khá rõ ở
học sinh nói chung và đặc biệt rõ nét đối với học sinh khá giỏi. Trong học tập
Toán mà cụ thể là trong hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển, thay
đổi các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp, dùng
phân tích trong khi tìm tòi lời giải và dùng tổng hợp để trình bày lời giải. ở
học sinh khá và giỏi cũng có sự biểu hiện các yếu tố đặc tr-ng của t- duy sáng

tạo. Điều quan trọng là ng-ời giáo viên phải có ph-ơng pháp dạy học thích
hợp để có thể bồi d-ỡng và phát triển tốt hơn năng lực sáng tạo ở các em.
1.4. Vận dụng t- duy biện chứng để phát triển t- duy sáng tạo cho học sinh.
T- duy biện chứng có thể phản ánh đúng đắn thế giới xung quanh và
nhiệm vụ của ng-ời thầy giáo là rèn luyện cho học sinh năng lực xem xét các
đối t-ợng và hiện t-ợng trong sự vận động, trong những mối liên hệ, mối mâu
thuẫn và trong sự phát triển.
o

www.vnmath.com
16
T- duy biện chứng rất quan trọng, nó là cái giúp ta phát hiện vấn đề và
định h-ớng tìm tòi cách giải quyết vấn đề, nó giúp ta cũng cố lòng tin khi trong
việc tìm tòi tạm thời gặp thất bại, những khi đó ta vẫn vững lòng tin rằng rồi sẽ
có ngày thành công và h-ớng tìm đến thành công là cố nhìn cho đ-ợc mỗi khái
niệm toán học theo nhiều cách khác nhau, càng nhiều càng tốt.
T- duy sáng tạo là loại hình t- duy đặc tr-ng bởi hoạt động và suy nghĩ
nhận thức mà những hoạt động nhận thức ấy luôn theo một ph-ơng diện mới,
giải quyết vấn đề theo cách mới, vận dụng trong một hoàn cảnh hoàn toàn
mới, xem xét sự vật hiện t-ợng, về mối quan hệ theo một cách mới có ý nghĩa,
có giá trị. Muốn đạt đ-ợc điều đó khi xem xét vấn đề nào đó chúng ta phải
xem xét từ chính bản thân nó, nhìn nó d-ới nhiều khía cạnh khác nhau, đặt nó
vào những hoàn cảnh khác nhau, nh- thế mới giải quyết vấn đề một cách
sáng tạo đ-ợc. Mặt khác t- duy biện chứng đã chỉ rõ là khi xem xét sự vật phải
xem xét một cách đầy đủ với tất cả tính phức tạp của nó, tức là phải xem xét sự
vật trong tất cả các mặt, các mối quan hệ trong tổng thể những mối quan hệ
phong phú, phức tạp và muôn vẻ của nó với các sự vật khác. Đây là cơ sở để
học sinh học toán một cách sáng tạo, không gò bó, đ-a ra đ-ợc nhiều cách giải
khác nhau.
Điều đó có nghĩa là chúng ta phải rèn luyện t- duy biện chứng cho học

sinh hay nói cách khác là rèn luyện t- duy biện chứng cho học sinh từ đó có
thể rèn luyện đ-ợc t- duy sáng tạo cho học sinh.
Ví dụ: Xét bài toán sau đây: "Cho tam giác ABC, về phía ngoài của tam
giác đó ta dựng các tam giác đều ABC', ACB', BCA'. Chứng minh rằng tam giác
IJK tạo thành từ các điểm là tâm của các tam giác đều trên là một tam giác đều".
Tr-ớc hết ta ch-a nêu ra lời giải bài toán ngay mà hãy đặt bài toán trong
những mối liên hệ, xem xét nó trong sự vận động, nhìn bài toán d-ới nhiều góc
độ khác nhau để tìm ph-ơng án giải quyết tối -u nhất, sáng tạo nhất.
o

www.vnmath.com
17
Đối với bài toán chứng minh một tam giác là một tam giác đều chúng ta
phải h-ớng học sinh nhìn nhận tam giác đều d-ới nhiều khía cạnh khác nhau
để tìm ra các lời giải cho bài toán:
- Nếu ta nhìn tam giác đều là một tam giác có ba cạnh bằng nhau chúng
ta sẽ có h-ớng chứng minh ba cạnh của tam giác bằng nhau:

K
J
I
B'
A'
C
B
A
C'

Ta tìm cách biến đổi để có biểu thức của KJ
2
đối xứng đối với a, b, c.
Chú ý rằng
ABC
Sbc.sinA
2
1
và
222
a2bc.cosAcb
. Ta có

S
3
32
6
cba
KJ
S
3
32
6
c
6
b
6

2bc.cosAcb
KJ
222
2
2222
2

Do đó

bc.sinA
3
3
bc.cosA
3
1
3
b
3
c
)60bc.cos(A
3
2
3
b
3
c
KJ
22
22
o

Cách giải 1:
Chứng minh JI = JK = KI.
Trong tam giác AKJ ta có:
KJ
2
= AK
2
+AJ
2
-2.AK.AJ.

cosKAJ

Gọi các cạnh của tam giác ABC lần
l-ợt là a, b, c thì

3
3b
AJ,
3
3c
AK

Còn

)
o
cosKAJ cos(A 60

o

www.vnmath.com
18
Vì biểu thức KJ
2
đối xứng đối với a, b, c nên một cách t-ơng tự ta có:
222
KIJIKJ
. Suy ra
KIJIKJ
hay tam giác IJK đều.
- Nếu ta nhìn tam giác đều là một tam giác có ba góc bằng nhau ta sẽ có
h-ớng chứng minh ba góc của tam giác bằng nhau:
Ta yêu cầu học sinh hãy xét bài toán này xem trong bản thân nó có
những mối liên hệ nào? Lúc này buộc học sinh phải suy nghĩ, phải đặt bài
toán trong những mối liên hệ khác, ta có cách giải 2:
Cách giải 2: Chứng minh ba góc I, J, K bằng nhau:

K
J
I
O
C'
B'
A'
C
A
B

Ta vẽ đ-ờng tròn ACB' và CA'B ngoại tiếp hai tam giác ACB' và CA'B,
hai đ-ờng tròn cắt nhau tại C và O.
Ta có


AOC BOC 120
o
. Do đó ta có

0
AOB 120
và đ-ờng tròn ABC'
cũng đi qua O.
Mặt khác, IJ là đ-ờng nối tâm, OC là dây cung của hai đ-ờng tròn BOC
và AOC nên IJ OC.
T-ơng tự, ta có
OAIK
. Do đó, vì

0
AOB 120
, nên

0
IJK 60
.
Hoàn toàn t-ơng tự ta có:

0

JKI KIJ 60
.
(Nếu O nằm ngoài tam giác ABC ta cũng có cách chứng minh t-ơng tự
nh- trên).
Vậy ta có tam giác IJK là tam giác đều.
o

www.vnmath.com
19
A
A
2
A
1
B
O
1
O
2
* Khi đã nêu đ-ợc hai cách giải của bài toán và nêu nhận xét bây giờ
giáo viên yêu cầu học sinh hãy đặc biệt hóa các giả thiết của bài toán để làm
sáng tỏ hơn bài toán và có thể tìm ra các bài toán t-ơng tự.
- Tr-ớc hết ta xét tr-ờng hợp đặc biệt đó là khi tam giác ABC suy biến
thành đoạn thẳng tức là ta nhìn đoạn thẳng là một tam giác có hai đỉnh trùng
nhau khi đó ta sẽ có kết quả nh- thế nào?
Giả sử tam giác ABC có đỉnh C trùng với đỉnh A
Nhìn vào hình vẽ ta thấy: Dễ dàng chứng
minh đ-ợc rằng tam giác AO
1
O

2
là tam giác đều.
Vậy ta cũng có kết quả hoàn toàn t-ơng tự.
- Bây giờ ta xét tr-ờng hợp nếu các tam giác
đều đ-ợc dựng về phía trong của tam giác ABC
thì sẽ có điều gì?
Nếu ta nhìn miền trong và miền ngoài của tam giác trong sự thống nhất
thì kết quả là ta cũng thu đ-ợc một điều t-ơng tự nh- trên.
* Nếu ta thay tam giác ABC bằng hình bình hành ABCD tức là ta xem
tam giác là hình bình hành có hai đỉnh trùng nhau thì ta sẽ có kết quả gì?
Nếu xem tam giác là hình bình hành có hai đỉnh trùng nhau thì từ các
cách dựng tam giác đều về phía ngoài của tam giác bây giờ trên các cạnh của
hình bình hành ta dựng các hình vuông về phía ngoài của hình bình hành.
Vậy tứ giác tạo bởi tâm của các hình vuông có tính chất gì t-ơng tự trên không?
- Học sinh vẽ hình và dự đoán rằng nếu ABCD là hình bình hành thì
IKLM là hình vuông.
Từ đó sẽ đ-a học sinh đến việc chứng minh xem dự đoán đó có đúng không.
o

www.vnmath.com
20

M
L
K
I
D
C
B
A

Thật vậy, vì ABCD là hình bình hành nên ta có I và L, K và M đối xứng
nhau qua O (O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD), suy ra IKLM là
hình bình hành. Mặt khác, ta có hai tam giác IBK và IAM bằng nhau (c.c.c)
nên ta suy ra góc KIM là góc vuông. Vậy IKLM là hình vuông.
1.5. Tiềm năng của hình học trong việc bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh.
Trong quá trình học Toán thì kỹ năng vận dụng Toán học là quan trọng
nhất, nhà tr-ờng phổ thông không chỉ cung cấp cho học sinh những kiến thức
Toán học, mà còn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng tính độc lập, sự độc
đáo và khả năng sáng tạo.
Các nhà tâm lý học cho rằng: "Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà các
ph-ơng pháp logic để giải quyết nhiệm vụ là không đủ và gặp trở ngại hoặc
kết quả không đáp ứng đ-ợc các đòi hỏi đặt ra từ đầu, hoặc xuất hiện giải
pháp mới tốt hơn giải pháp cũ".
Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải đ-ợc khai
thác và sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển t-
duy sáng tạo biểu hiện ở các mặt nh-: khả năng tìm h-ớng đi mới (khả năng
tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới
(khai thác các kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của
một bài toán).
o

www.vnmath.com
21
Chủ đề hình học chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc bồi d-ỡng
và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh. Bên cạnh việc giúp học sinh giải
quyết các bài tập sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng đó
thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản,
tạo cơ hội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo của mình.
Trong quá trình dạy học giáo viên cần dẫn dắt học sinh giải quyết hệ

thống bài tập mới, tạo cho học sinh phát hiện vấn đề mới, đó là vấn đề quan
trọng mà ta cần quan tâm bồi d-ỡng cho học sinh.
Có nhiều ph-ơng pháp khai thác khác các bài tập cơ bản trong sách
giáo khoa, để tạo ra các bài toán có tác dụng rèn luyện tính mềm dẻo, tính
nhuần nhuyễn, tính độc đáo của t- duy.
Trên cơ sở phân tích khái niệm t- duy sáng tạo cùng những yếu tố đặc
tr-ng của nó và dựa vào quan điểm: bồi d-ỡng từng yếu tố cụ thể của t- duy
sáng tạo cho học sinh là một trong những biện pháp để phát triển năng lực t-
duy sáng tạo cho các em. Các bài tập chủ yếu nhằm bồi d-ỡng tính mềm dẻo
của t- duy sáng tạo với các đặc tr-ng: dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này
sang hoạt động trí tuệ khác, suy nghĩ không rập khuôn; khả năng nhận ra vấn
đề mới trong điều kiện quen thuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối
t-ợng quen biết. Các bài tập chủ yếu nhằm bồi d-ỡng tính nhuần nhuyễn của
t- duy sáng tạo với các đặc tr-ng: khả năng tìm đ-ợc nhiều giải pháp trên
nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau, khả năng xem xét đối t-ợng d-ới
những khía cạnh khác nhau. Các bài tập chủ yếu nhằm bồi d-ỡng tính nhạy
cảm vấn đề của t- duy sáng tạo với các đặc tr-ng: nhanh chóng phát hiện
những vấn đề tìm ra kết quả mới, tạo đ-ợc bài toán mới, khả năng nhanh
chóng phát hiện ra các mâu thuẫn, thiếu logic.
Ngoài ra t- duy hình học mang những nét đặc tr-ng quan trọng và cơ
bản của t- duy toán học. Việc phát triển t- duy hình học luôn gắn với khả
năng phát triển trí t-ởng t-ợng không gian, phát triển t- duy hình học luôn
o

www.vnmath.com
22
gắn liền với việc phát triển của ph-ơng pháp suy luận; việc phát triển t- duy ở
cấp độ cao sẽ kéo theo sự phát triển t- duy đại số. Nh- vậy để nâng dần cấp
dộ t- duy trong dạy học hình học, việc dạy học phải đ-ợc chú ý vào: phát triển
trí t-ởng t-ợng không gian bằng cách: giúp học sinh hình thành và tích luỹ các

biểu t-ợng không gian một cách vững chắc, biết nhìn nhận các đối t-ợng hình
học ở các không gian khác nhau, biết đoán nhận sự thay đổi của các biểu
t-ợng không gian khi thay đổi một số sự kiện.
Nh- vậy tiềm năng của chủ đề hình học trong việc bồi d-ỡng t- duy
sáng tạo cho học sinh là rất lớn.
1.6. Kết luận ch-ơng 1
Trong ch-ơng này luận văn đã làm rõ các khái niệm t- duy, t- duy sáng
tạo, nêu đ-ợc các yếu tố đặc tr-ng của t- duy sáng tạo, và vận dụng đ-ợc t-
duy biện chứng để phát triển t- duy sáng tạo, đồng thời nêu đ-ợc tiềm năng
của chủ đề Hình học trong việc bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh.
Việc bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình dạy
học giải bài tập toán là rất cần thiết bởi qua đó chúng ta giúp học sinh học tập
tích cực hơn và kích thích đ-ợc tính sáng tạo của học sinh trong học tập và
trong cuộc sống.
Vậy công việc của mỗi giáo viên trong quá trình dạy học là tìm ra đ-ợc
các ph-ơng pháp nhằm phát triển và rèn luyện t- duy sáng tạo cho học sinh.
o

www.vnmath.com
23
Ch-ơng 2
Một số vấn đề dạy học giải bài tập hình học theo
định h-ớng bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh

2.1. Vấn đề 1: Rèn luyện t- duy sáng tạo qua bài toán dựng hình.
Toán dựng hình là vấn đề khá lý thú của toán học phổ thông. Nó giúp
phát triển t- duy logic, óc sáng tạo vì đòi hỏi tự tạo ra hình vẽ cần thiết để suy
luận tìm ra cách giải.
2.1.1. Vài nét về lịch sử hình học dựng hình.
Vào các thế kỷ thứ t- và thứ năm tr-ớc công nguyên các nhà toán học

HiLạp nổi tiếng đã quan tâm đến dựng hình hình học nh- Pitago, Hipôcrat,
ơclit, Apôlôniut.
Tr-ờng phái Pitago đã thành công trong một số bài toán t-ơng đối phức
tạp nh- dựng hình ngũ giác đều. Vào thế kỷ thứ 5 tr-ớc công nguyên có ba bài
toán nổi tiếng. Chia ba một góc, gấp đôi hình lập ph-ơng và cầu ph-ơng hình
tròn (không giải đ-ợc bằng th-ớc và compa).
Đến thế kỷ thứ 6 tr-ớc công nguyên, Ơclit ng-ời sáng lập hệ hình học
đầu tiên đã nêu lên những tiên đề quan trọng nhất của hình học chứng tỏ vai
trò của dựng hình trong toán học nh-:
- Có thể vạch một đ-ờng thẳng từ một điểm tới 1 điểm khác.
- Có thể liên tục kéo dài một đ-ờng thẳng bị giới hạn.
- Với mỗi một tâm và mỗi một khoảng cách có thể vạch đ-ợc một đ-ờng tròn.
Các nhà hình học cổ HiLạp đã giải đ-ợc những bài toán dựng hình khó
bằng th-ớc và compa, chẳng hạn Apôlôni Pecxki đã giải đ-ợc bài toán nổi
tiếng mang tên ông: "Dựng một đ-ờng tròn tiếp xúc với ba đ-ờng tròn cho
tr-ớc". Họ lại giải đại số với dựng hình nh-: Giải ph-ơng trình bậc nhất và
ph-ơng trình bậc hai bằng dựng hình.
o

www.vnmath.com
24
Những ng-ời sáng lập ra toán học hiện đại đã quan tâm nhiều đến các
bài toán dựng hình. Đềcác và NewTơn đã giải bài toán chia ba một góc bằng
các thiết diện hình nón, giải đ-ợc bài toán Apôlôni cùng với Ơle.
Việc khảo cứu nhiều vấn đề hình học đ-ợc dựa vào hình học dựng hình,
đặc biệt đối với cách chứng minh sự tồn tại, chẳng hạn sự tồn tại tâm của một
đ-ờng tròn nội tiếp trong tam giác, sự tồn tại của những tam giác đồng dạng,
sự tồn tại của những đờng thẳng song song, đều đợc chứng minh bằng
phép dựng hình.
2.1.2. Giải một bài toán dựng hình là gì?.

Giải một bài toán dựng hình là tìm đ-ợc 1 hình thoả mãn những điều
kiện trong bài toán.
Nói nh- thế ch-a đủ, vì điều kiện quan trọng là dùng những dụng cụ gì
để dựng hình. Bởi vì trong thực tiễn cuộc sống đòi hỏi tính hiệu quả của công
việc. Hiệu quả càng cao thì công việc có giá trị. Làm sao khi dựng hình, số
l-ợng dụng cụ sử dụng là ít nhất.
Ví dụ với bài toán "dựng một góc bằng 20
0
, lấy 1 tia cho tr-ớc làm
cạnh", nếu dùng th-ớc đo góc thì bài toán rất đơn giản, nh-ng nếu chỉ dùng
th-ớc và compa thì bài toán này không giải đ-ợc! (ng-ời ta đã chứng minh
rằng chỉ dùng th-ớc và compa thì không thể dựng đ-ợc 1 góc = 20
0
).
2.1.2.1. Tại sao chỉ dùng th-ớc và compa?
Các nhà toán học cổ HiLạp chỉ xem phép dựng dùng th-ớc và compa là
hợp pháp, có tính chất hình học chân chính và không công nhận việc sử dụng
các dụng cụ khác để dựng hình.
Quan điểm đó vẫn tồn tại cho đến ngày nay. Họ cũng đã thành công
trong việc giải những bài toán dựng hình rất khó bằng th-ớc và compa. Họ coi
th-ớc kẻ là vô hạn vì chỉ có một cạnh , coi compa có tính chất dùng để vẽ
những đ-ờng tròn có bán kính tuỳ ý.
Cơ sở lý luận của hình học dựng hình là những tiên đề sau đây.