GA GT11 NC cả năm

Tuần 01 - 02
Tiết PP: 1, 2, 3, 4 CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC
§1: CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I: Mục tiêu:
Giúp học sinh :
- Hiểu khái niệm các hàm số y = sinx , y = cosx . Trong đó x là số thực và là số đo rađian của góc
( cung ) lượng giác
− Biết dựa vào trục sin, trục cosin gắn với đường tròn lượng giác để khảo sát sự biến thiên của các
hàm số tương ướng rồi thể hiện sự biến thiên đó trên đồ thị.
- Xác định được khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y =sinx và y = cosx
- Vẽ được đồ thị hàm số y = sinx và y = cosx
- Nắm được các tính chất của hàm số y = sinx : Tập xác định ; Tính chẵn – lẻ ; Tính tuần hoàn ; Tập
giá trị
- Xác định được: tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn và chu kỳ của hàm y=sinx và y =
cosx:
- Hiểu được định nghĩa hàm số y = tanx , y = cotx, tập xác định, tính chẵn lẻ
- Hiểu được định nghĩa , nêu được sự biến thiên và vẽ được đồ thị các hàm số y = tanx , y = cotx
- Nắm được tính chất tuần hoàn của hàm số.
- Học sinh rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức về các hàm số lượng giác để khảo sát chẵn lẽ và tính
tuần hoàn của các hàm số lượng giác (y = tanx,y=cotx).
- Rèn tư duy lôgíc
- Tích cực , hứng thú trong nhận thức tri thức mới
II. Chuẩn bị:
+ Giáo viên : soạn giáo án , chuẩn bị các hoạt động cho học sinh thực hiện
+ Học sinh: nhớ lại các vấn đề lượng giác đã học ở lớp 10, đọc trước bài hàm số lượng giác.
III. Nội dung và tiến trình lên lớp:
TG Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
05’ + Ổn định lớp
+ Giới thiệu nội dung
mới

+ Ồn định trật tự
+ Chú ý theo dõi
CHƯƠNG 1 : HÀM SỐ LƯỢNG
GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
§1: CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
85’ * Phép đặt tương ứng với
mỗi số thực x và sin (cos)
của góc lượng giác có số
đo rad bằng x nói lên đều
gì ?
* Nói đến hàm số là nói
đến các tính chất của
hàm số. Hãy xét tính
chẵn – lẻ của hàm số y =
sinx ; y = cosx và nhận
dạng đồ thị của mỗi hàm
số
* Ngoài tính chẵn – lẻ
của hàm số mà ta vừa
mới được ôn . Hàm số
* Nghe , hiểu và trả lời câu
hỏi
* Học sinh lên bảng chứng
minh và kết luận
* Nghe , hiểu và trả lời câu
hỏi
Do với mọi x :
1.Các hàm số y =sinx và y =cosx
a. Định nghĩa:

sin : R
→
R cos : R
→
R
x

sinx x

cosx
Tính chẵn – lẻ của hàm số :
*
∀
x
∈
R : sin(-x) = sinx
Vậy hàm số y = sinx là một hàm số lẻ ,
nên có đồ thị đối xứng nhau qua gốc
toạ độ
*
∀
x
∈
R : cos(-x) = cosx
Vậy hàm số y = cosx là một hàm số
chẵn, nên có đồ thị đối xứngnhau qua
trục tung
b.Tính chất tuần hoàn của các hàm
số y=sin(x); y=cos(x):
Ta có : sin(x+2

π
) = sinx
Vậy : Hàm số y = Sinx tuần hoàn với
chu kỳ T=2
π
.
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang1
lượng giác có thêm một
tính chất nữa , đó là tính
tuần hoàn . Dựa vào sách
giáo khoa hãy phát biểu
tính tuần hoàn của hàm
số y = sinx ; y = cosx
* Hãy cho biết ý nghĩa
của tính tuần hoàn hàm
số
Dùng đường tròn lượng
giác.
Hãy cho biết khi điểm M
chuyển động một vòng
theo hướng + xuất phát
từ điểm A’ thì hàm số y
= sinx biến thiên như thế
nào? Hãy nói một cách
cụ thể thì hàm số tăng,
giảm trên những khoảng
nào?
* Dựa vào tính tăng giảm
của hàm số y = sinx

],[
ππ
−∈∀x
. Hãy lập
bảng biến thiên của hàm
số.
( Trình chiếu đồ thị hàm
số y = sinx )
* Quan sát đồ thị hàm số
y = sinx . Hãy cho biết
tập giá trị của hàm số
*Dùng đường tròn lượng
giác.
Hãy cho biết khi điểm M
chuyển động một vòng
theo hướng + xuất phát
từ điểm A’ thì hàm số y
= cosx biến thiên như thế
nào? Hãy nói một cách
cụ thể thì hàm số tăng,
giảm trên những khoảng
nào?
* Dựa vào tính tăng giảm
của hàm số y =
],[
ππ
−∈∀x
. Hãy lập
bảng biến thiên của hàm
số.

( Trình chiếu đồ thị hàm
số y = sinx )
sin(x + 2
π
) = sin x =
OK
cos(x + 2
π
) = cosx =
OH
* Nghe , hiểu và trả lời câu
hỏi
Do sin x =
OK
Nên :
*
2
,(
π
π
−−∈∀x
) : hàm số
giảm
*
2
,
2
(
ππ
−−∈∀x

): hàm số
tăng.
*
),
2
(
π
π
∈∀x
: hàm số giảm
*Nghe , hiểu và trả lời câu
hỏi
* Nghe , hiểu và trả lời câu
hỏi
Do cosx =
OH
Nên :
*
)0,(
π
−∈∀x
) : hàm số
tăng
*
),0(
π
∈∀x
: hàm số giảm.
*Nghe , hiểu và trả lời câu
hỏi

* Nghe , hiểu và trả lời câu
hỏi
Tương tự : hàm số y = cosx tuần hoàn
với chu kỳ T=2
π
.
- Mỗi khi biến số được cộng thêm 2
π
thì giá trị của các hàm số đó lại trở về
như cũ.
c.Sự biến thiên và đồ thị hàm số
y=sinx.
Xét hàm số y=sinx
],[
ππ
−∈∀x
* Hàm số y = sinx giảm trên khoảng
(-
2
;
π
π
−
)
∪
(
);
2
π
π

.
* Hàm số y = sinx tăng trên khoảng (
2
;
2
ππ
−
)
Bảng biến thiên :
Đồ thị : (sgk)
d.Sự biến thiên và đồ thị hàm số
y=cosx
Xét hàm số y=cosx
],[
ππ
−∈∀x
* Hàm số y = cosx giảm trên khoảng
),0(
π
* Hàm số y = cosx tăng trên khoảng
)0,(
π
−
Bảng biến thiên :
x
−
π
0
π
y

1
−1 −1
Đồ thị : ( Sgk )
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang2
* Quan sỏt th hm s
y = cosx . Hóy cho bit
tp giỏ tr ca hm s
60 ? Gi hs nờu nh ngha
hm s tan
?. Chớnh xỏc húa v ghi
túm tt nh ngha
? y = tanx l hm s chn
hay l vỡ sao?
?. Trờn hỡnh 1.19 hóy ch
ra on thng cú di
i s ca tanx
?. So sỏnh tanx v
tan(x+k

)
?. Nhn xột gỡ v tớnh
tun hon ca hm s y=
tanx
?.Xỏc nh chu k ca
hm s y=tan
2
x

?. Gi hs nờu nh ngha

hm s cot
?. Chớnh xỏc húa v ghi
túm tt nh ngha
? y = cotx l hm s chn
hay l vỡ sao?
?. Trờn hỡnh 1.19 hóy ch
ra on thng cú di
i s ca cotx
?. So sỏnh cotx v
cot(x+k

)
?. Nhn xột gỡ v tớnh
tun hon ca hm s y=
cotx
?.Xỏc nh chu k ca
hm s y=1 + cot
2
x

- Quy tc t tng ng x

D
1
=R\
k / k Z
2


+

vi s thc tanx =
x
x
cos
sin
gl
hm s tang, ký hiu l y =
tanx
- y = tanx l hm s l vỡ nu
x

D
1
thỡ -x

D
1
v tan(-x) =
- tanx
- tanx =
AT
- Tr li cõu hi
- Chu k ca hm s y=tan
2
x
l T = 2

- Quy tc t tng ng mi

s x

D
2
=R\{
Zkk

}
vi s thc cotx =
x
x
sin
cos
gl
hm s cotang, ký hiu l y =
cotx
- y = cotx l hm s l vỡ nu
x

D
2
thỡ -x

D
2
v cot(-x) =
- cotx
- cotx =
BS
- Tr li cõu hi

- Chu k ca hm s y=1+cot
2
x
l T = 2

2. Cỏc hm s y = tanx v y = cotx
a)Hm s y = tan x
* nh ngha
D
1
= R\{
Zkk +


2
}
Tan : D
1


R
x

tanx
- Hm s y = tan x l hm s l
* Tớnh cht tun hon
- Hm s y = tanx tun hon vi chu
kỡ T =

:

tan(x + T) = tanx ;

x

D
1
Vớ d: Xỏc nh chu k ca hm s
y=tan
2
x

b)Hm s y = cot x
* nh ngha
D
2
= R\{
Zkk

}
cot :D
2


R
x

cotx
- Hm s y = cotx l hm s l
* Tớnh cht tun hon
- Hm s y = cotx tun hon vi chu

kỡ T =

:
cot(x + T) = cotx ;

x

D
2
Vớ d: Xỏc nh chu k ca hm s
y=cot
2
x

30
+ Nhắc lại các hàn số
tuần hoàn với chu kỳ nh
thế nào ?
+ Đa ra định nghĩa tổng
+ Làm theo yêu cầu của giáo
viên
3.Khái niệm hàm số tuần hoàn :
ĐN : SGK/13
Giỏo ỏn lp 11 nõng cao i s & Gii tớch 11
Trang3
quát
Đa ra một số các biến
đổi đồ thị:
Củng cố tính tuần hoàn
của hàm số lợng giác :

+ Ghi nhớ
Chú ý : Biến đổi đồ thị;
+ Đồ thị của hàm số y = f(x) +a
Có đợc do tịnh tiến đồ thị f(x) theo
vectơ
a j
r
+ Đồ thị của hàm số y = f(x -a)
Có đợc do tịnh tiến đồ thị f(x) theo
vectơ
ai
r
+ Đồ thị hàm số y=af(x)là ảnh qua
phép co dãn theo phơng trục tung
( xuống trục hoành ) với hệ số co dãn a
tức là biến điểm (x;y) thành (x;ay)
+ Đồ thị hàm số y=f(ax)là ảnh qua
phép co dãn theo phơng trục tung
( xuống trục tung ) với hệ số co dãn
1
a
tức là biến điểm (x;y) thành (
x
a
;y)
IV. Cng c, dn dũ:
nh ngha hm s y = sinx v y = cosx.
Tp xỏc nh, tớnh chn l v tớnh cht tun hon ca hm s y = sinx v y = cosx
Bi tp:
1. Hm s y = 2sin

2
x
l hm s chn hay l? Cú tun hon hay khụng? Nu l hm s tun hon hóy ch ra
chu k?
2. Hm s y = 32cosx l hm s chn hay l? Cú tun hon hay khụng? Nu l hm s tun hon hóy ch
ra chu k?
- Hm s y = tanx, y= cotx
- Tớnh chn l v chu k ca cỏc hm s y = tanx v y =cotx
- Thc hin cỏc bi tp sgk trang 14, 15 v luyn tp trang 16, 17
Tun 02
Tit PP: 05, 06 LUYN TP
I. Mc tiờu:
- ễn li cỏc kin thc ó hc nh hm s chn, hm s l, GTLN & GTNN,tp xỏc nh v th cỏc
hm s lng giỏc.
- Nm vng phng phỏp xột tớnh chn, l, tỡm tp xỏc nh v cỏc bc v th
Giỏo ỏn lp 11 nõng cao i s & Gii tớch 11
Trang4
- Thái độ tích cực trong học tập, có tư duy sáng tạo và biết vận dụng phương pháp đã học để giải các bài
tập nâng cao hơn
II. Chuẩn bị:
+ Giáo viên : soạn giáo án , chuẩn bị các bài tập cho học sinh thực hiện
+ Học sinh: chuẩn bị bài cũ, dụng cụ học tập
III. Nội dung và tiến trình lên lớp:
TG Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
10’ + Ổn định lớp
+ kiểm tra bài cũ: 1/ Nêu
tập xác định của các hàm
số y = sinx, y = cosx, y=
tanx,y =cotx
2/ Tìm tập xác

của hàm số y = tan(2x +
3
π
)
+ Gọi một học sinh lên
bảng trình bày
+ Goi học sinh nhận xét
và cho điểm
+ Giới thiệu nội dung bài
tập
+ Ồn định trật tự
+ Lên bảng trình bày
+ Nhận xét
+ Chú ý theo dõi
LUỴÊN TẬP
10’ - Nêu bài tập 1 SGK Tr
14
?. Gọi 2 hs lên bảng giải
- Quang sát học sinh giải.
?. Gọi học sinh nhận xét
- Nhận xét cho điểm
- HS giải bài toán
a/ y =
xsin3 −
ĐK: 3 – sinx
≥
0
⇔
sinx
≤

3
Rx ∈∀
Vậy D=R
b/ y =
x
x
sin
cos1−
ĐK: sinx
≠
0
⇔
x
≠
k
π
Vậy D = R\{kπ, k ∈ Z}
c/ y =
ĐK : 1+ cosx ≠0
⇔ cosx ≠-1
⇔ x ≠ π +k2 π , k ∈ Z
Vậy D=R\{π+k2π,k∈Z}
d/ y = tan(2x +
3
π
)
ĐK: 2x + ≠
π
π
k+

2

⇔ x≠
212
ππ
k+
, k ∈ Z
Vậy :
D=R\{
12 2
k
π π
+
, k∈Z}
Bài 1 : Tìm tập xác định của các
hàm số sau đây :
a/ y =
xsin3 −
b/ y =
x
x
sin
cos1−
c/ y =
d/ y = tan(2x + )
10’ Nêu bài tập 2
? Gọi hs nhắc lại khái
- Học sinh trả lời câu hỏi Bài 2 : Xét tính chẵn,lẻ
a/ y = cos(x-);
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11

Trang5
nim hm s chn, hm
s l.
?. Gi hs 1 lờn gii bi
tp
- Quang sỏt hs gii
?. Gi hs nhn xột
- Nhn xột cho im
- Hc sinh gii bi tp
- Hs nhn xột bi lm ca bn
b/ y = tan|x|;
c/ y = tanx sin2x;
10 Nờu bi tp 3
?. Gi hs nhc li tp giỏ
tr ca sinx v cosx.
- HD gi 2 hc sinh lờn
gii
-?.Gi hs nhn xột
- Nhn xột v cho im
- Hc sinh tr li cõu hi
- Hs gii bi toỏn
- Hs nhn xột bi lm ca bn

Bi 3: Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ
tr nh nht ca cỏc hm s sau:
a/ y = 2cos(x + ) + 3;
( S: GTLN: 5, GTNN: 1)
b/ y = 4sin;
( S: GTLN: 4, GTNN: -4)
10 - Nờu bi tp 4

?. Gi hs nhc li khỏi
nim tr tuyt i khai
trin |sinx|
?. y= |sinx|=?
Do ú:
- (c') (c) khi (c) nm
trờn ox (ng vi y 0)
-(c') i xng vi (c) qua
ox khi (c) nm di ox
(tng ng vi y<0)
Hc sinh tr li cõu hi
sin
sin ,sin 0
sin ,sin 0
y x
x x
x x
=


=

<

Bi 4: T th hm s y = sinx
(c), hóy suy ra th hm s y = |
sinx| (c)
10
+ khi với f(x) = 2sin2x
thì

f (x k ) ?+ =
+ cần chứng minh :
2sin(2x 2k ) 2sin 2x+ =
+
f (x k ) 2sin 2(x k )+ = +
+ Luôn chứng minh đợc vì ta có
sin(u 2k ) sin u+ =
với
u

B i 5 . Cho hàm số
y f (x) 2sin 2x= =
. CMR với các
số nguyên k tuỳ ý luôn cố
f (x k ) f (x)+ =
10 - Gi 3 hc sinh lờn bng
trỡnh by bi gii.
+
f ( x) f (x) =
là hàm số lẻ
+
f (x) f (x)=
là hàm số chắn
a.
3 3
f f
4 4

ữ ữ



hàm số
không chẵn cũng không lẻ.
b. TXĐ
D k ;k Z
2


= +


mà
x D

tan
x
=tan
x
nên hàm
số chẵn
c. tan(-x)- sin(-2x) = -tanx+sin2x
= - (tanx sin2x) vậy hàm số lẻ
Bài 7: xột tớnh chn, l ca cỏc
hm s sau:
a. y = cos ( x - /4)
b. y = tan
c. y = tanx - sin2x

15
+ DH học sinh chứng
minh hàm số tuần hoàn
a. Cần tìm số T thoả mãn :
Bi 8: chứng minh các hàm số
sau là hàm số tuần hoàn , tìm chu
Giỏo ỏn lp 11 nõng cao i s & Gii tớch 11
Trang6
x D, x T D, x T D
1 1
sin(x T) sin x
+
=
+
xét
x
2

=
:
sin T 1 T k2
2


+ = =
ữ

vậy
1
y

sin x
=
tuần hoàn với chu
kỳ
2

. Hàm số lẻ
b.Tơng tự nhh phần a xét với x= 0
kỳ và xét tính chẵn lẻ cảu các
hàm số đó :
a.
1
y
sin x
=
b.
1
y
cos x
=
IV. Cng c, dn dũ:
- Cỏch tỡm tp xỏc nh ca hm s; - Xỏc nh tớnh chn l ca hm s
- Tỡm GTLN, GTNN ca hm s; - Cỏch v th ca hm s
Tun 03
Tit PP: 07, 08, 09 Đ 2: PHNG TRèNH LNG GIC C BN .
I: Mc tiờu:
- Hiu phng phỏp xõy dng cụng thc nghim ca phng trỡnh lng giỏc c bn
( )
mxmx == cos,sin
(s dng ng trũn lng giỏc, cỏc trc sin, cosin).

- Nm vng cụng thc nghim ca cỏc phng trỡnh lng giỏc
mxmx == cos,sin
.
- Hiu phng phỏp xõy dng cụng thc nghim, PTLGCB: tan x = m, cot x = m.
- Nm vng cụng thc nghim
- Hiu phng phỏp xõy dng cụng thc nghim, PTLGCB: tan x = m, cot x = m.
- Nm vng cụng thc nghim
- Bit vn dng thnh tho cụng thc nghim ca hai phng trỡnh
mxmx == cos,sin
.
- Bit cỏch biu din nghim ca hai phng trỡnh lng giỏc c bn trờn ng trũn lng giỏc
- Vn dng thnh tho cụng thc nghim ca phng trỡnh tan x = m,
- Bit cỏch biu din nghim ca phng trỡnh tan x = m, trờn ng trũn l giỏc.
Giỏo ỏn lp 11 nõng cao i s & Gii tớch 11
Trang7
- Vận dụng thành thạo công thức nghiệm của phương trình tan x = m, cot x = m.
- Biết cách biểu diễn nghiệm của phương trình tan x = m, cotx = m trên đường tròn l giác
II. Chuẩn bị:
+ Giáo viên : soạn giáo án , chuẩn bị các hoạt động cho học sinh thực hiện
+ Học sinh: nhớ lại các vấn đề lượng giác đã học ở lớp 10, đọc trước bài hàm số lượng giác.
III. Nội dung và tiến trình lên lớp:
TG Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
10’ + Ổn định lớp
+ kiểm tra kiến thức cũ:
Nêu các tính chất cơ bản của
hàm số
xsin
và
xcos
.

2. Lập
bảng các giá trị lượng giác
xsin
và
xcos
của một số góc
đặc biệt từ
)0(1800
π
→→

.
+ Gọi học sinh trình bày
+ Nhận xét, củng cố
+ Giới thiệu nội dung mới
+ Ồn định trật tự
+ Trình bày
+ Chú ý theo dõi
§ 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC CƠ BẢN
30’?. Tìm 1 nghiệm của pt 1
?. Có còn nghiệm nào nữa?
?. Có thể chỉ ra tất cả các
nghiệm
?. Vẽ đường trọn lượng giác
góc A, tìm các điểm M trên
đường tròn lượng giác sao cho
( )
.
2

1
,sin =OMOA
?. Có bao nhiêu điểm M có
tính chất ấy ?
?.Tìm số đo của các góc
lượng giác
( )
=
1
,OMOA
và
( )
=
2
,OMOA
- Với
2
1
=m
thì phương
trình có nghiệm trên.
?.
2
=
m
và
2
3
−=m
thì

phương trình (I) có bao nhiêu
nghiệm?
?. Pt (I) có nghiệm khi nào?
?. Tương tự như đối với
phương trình (I) nếu 2 là 1
nghiệm của pt (I) nghĩa là
mx =sin
thì
mx =sin
tương
đương điều gì?
Yêu cầu học sinh cả lớp cùng
coi 2 ví dụ SGK và giải pt
2
2
sin =x
Nghe, hiểu nhiệm vụ và trả
lời câu hỏi.
Vẽ đường tròn lượng giác
gốc A.
- Trả lời câu hỏi
- Học sinh trả lời câu hỏi
H/S đọc kỹ lại ví dụ trong
SGK và giải pt
2
2
sin =x
1) Phương trình
mx =sin
a. Xét phương trình

2
1
sin =x
(1)
( )
Zk
kx
kx
∈




+−=
+=
⇔
π
π
π
π
π
2
6
2
6
b. Xét pt
mx =sin
(I)
+ Nếu
α

là nghiệm của pt (I),
nghĩa là
mx
=
sin
thì
)(
2
2
sin Ζ∈



+−=
+=
⇔= k
kx
kx
mx
παπ
πα
c. Các ví dụ
VD1: a) Giải pt
2
2
sin =x
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang8
HD: + Tìm một giá trị x sao
cho

2
2
sin =x
+ Từ công thức nghiệm
suy ra nghiệm của pt trên).
GV treo bảng phụ cho học
sinh đã vẽ ở nhà để trả lời
câu hỏi (H3).
*Vẽ đường tròn lượng giác
gốc A và cho biết các điểm M
sao cho:
+
( )
1,sin =OMOA
+
( )
1,sin −=OMOA
+
( )
0,sin =OMOA
Từ đó cho biết nghiệm của các
phương trình
+
1sin =x
+
1sin
−=
x
+
0sin =x

* Theo chú ý 2(SGK) thì ví
dụ 1 câu 2) pt
?
3
2
sin ⇔=x
Yêu cầu 2 học sinh lên bảng .
Giải pt:
a)
( ) ( )
xx +=−
5
sin
5
2sin
ππ
b)
xx sin2sin
=
Vẽ đường tròn
lượng giác và trả lời các
câu hỏi
b)Trả lời câu hỏi (H3) SGK.
CHÚ Ý: sgk
Arcsin m đọc là ác-sin m
VD 2: Giải phương trình
a)
( ) ( )
xx +=−
5

sin
5
2sin
ππ
b)
xx sin2sin =
30’ - Tương tự như đối với pt (1).
+ Tìm 1 nghiệm của pt (2)
+ Tìm tất cả các nghiệm của
phương trình (2) bằng cách sử
dụng đường tròn lượng giác.
- TXĐ: ?
- Pt (II) có nghiệm khi nào ?
- Nếu
α
là 1 nghiệm của pt
(II) thì tất cả các nghiệm của
nó là gì?
* GV treo bảng phụ (2).
* Yêu cầu học sinh lên bảng
giải pt
2
2
cos −=x
*Biểu diễn trên đường tròn
lượng giác gốc A các điểm M
làm cho
xcos
bằng 1, -1, 0 từ
- Hs trả lời các câu hỏi

2)Phương trình
mx =cos
a) Xét pt
2
1
cos =x
(2)
( )
Ζ∈




+−=
+=
⇔
=⇔
k
kx
kx
x
π
π
π
π
π
2
3
2
3

3
coscos
b) Xét pt
mx =cos
( II)
( )
Ζ∈



+−=
+=
⇔ k
kx
kx
πα
πα
2
2
(
α
là 1 nghiệm của pt (II))
VD 3:
Giải pt:
2
2
cos −=x
CHÚ Ý: sgk
Arccos m đọc là ác-cos m
VD4: Giải pt

Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang9
đó suy ra nghiệm của các pt
+
1cos =x
+
1cos
−=
x
+
0cos =x
Vẽ đường tròn
lượng giác và trả lời các
câu hỏi
( ) ( )
12cos12cos −=+ xx
30’ -Treo bảng phụ biểu diễn hình
vẽ 1.22/25 SGK.
- Yêu cầu học sinh quan sát
hình và phát biểu những điều
cảm nhận.
- Giúp học sinh hiểu và biểu
thị điều cảm nhận.
+ Trên trục tan ta lấy điểm T
sao cho AT = m.
+ Hãy nhận xét đường thẳng
OT với đường tròn lượng giác.
+ Viết
tan(OA,OM ),tan(OA,OM )
Kết luận : SGK/25 phần đóng

khung (IIIa).
- V í d ụ 3(Trang 25)
- Ghi ví dụ trên bảng phụ:
Giải các phương trình sau :
1). tanx = -1
2). tan
2
x
= 3
- Tổ chức cho học sinh giải:
+ Phân hai nhóm theo tổ
+ Gọi đại diện lên bảng
+ Nhóm chỉnh sữa
- Lớp nhận xét :
- GV chỉnh sữa và kết luận
- Chú ý (trang 26.SGK)
- Ghi chú ý trên bảng
phụ
- Giải thích từng chú ý
Bài tập :
- Giải phương trình :
- Quan sát hình và phát
biểu điều cảm nhận.
- Ghi nhận kiến thức mới
+ Theo dõi, lắng nghe
giáo viên trình bày và trả
lời những yêu cầu giáo
viên đặt ra.
+tan(OA,OM
1

) =
tan(OA,OM
2
) = m
+ Ghi nhận kết luận.
-Đọc hiểu yêu cầu ví dụ 3
- Trình bày lời giải:
1. Vì -1 = tan(-
4
π
) nên
tanx = -1
⇔ x =
π
π
k+−
4
2. Goị α là một số mà
tanα = 3 khi đó tan
3
3
=
x
⇔ x = 3α + k3π
3) Phương trình
tan x = m.
- Treo bảng phụ :
tan x = m (i) , m : số tuỳ
ý
ĐKXĐ: cosx

π
π
kx +≠⇔≠
2
0
(
α
là một nghiệm của phương trình
(i))
VD3.(Trang25SGK)
-Treo bảng phụ
Nhóm 1 giải 1.
Nhóm 2 giải 2.
- Treo bảng phụ
-H7.(trang26.SGK)
- Lời giải hoàn thiện mà GV đã kết
luận
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang10
tanx = m
πα
kx
+=⇔
tan2x = tanx
- Tổ chức cho HS giải:
+ Sử dụng chú ý 2
+ Nêu ĐKXĐ của bài
toán
- Chỉnh sữa hoàn thiện
Kết luận

Sữa sai nếu có
Ghi nhận kết luận và cách
giải
Học sinh ghi nhận hoặc có
ý kiến
Đọc hiểu yêu cầu của bài
toán
Trình bày lời giải:
+ ĐKXĐ : cos2x.cosx ≠ 0
Ta có : tan2x = tanx
⇔ 2x = x + kπ
⇔ x = kπ
- Lớp nhận xét sữa sai nếu
có
- Ghi nhận kết luận
30’ - Ghi đề trên bảng phụ
- Hãy chọn kết quả đúng trong
các kết quả đã cho số nghiệm
của phương trình: tan3x = tan
5
3
π
thuộc đoạn






15

8
;
5
ππ
A(0); B(1) ; C(2) ; D(3)
- Tổ chức cho HS giải:
- Chỉnh sữa hoàn thiện
- Kết luận
2). Phát phiếu học tập:
Phiếu 1: Giải phương trình
cot(
6
12 +x
) = tan
3
1
Phiếu 2: Giải phương trình
tan(
0
15−x
) = 5
Phiếu 3: Giải phương trình
cot(
0
20
4
+
x
) = -
3

Phiếu 4: Giải phương trình
Cot2x = cot(-
3
1
)
- GV đưa ra kết quả
- Đọc hiểu yêu cầu
của bài toán
- Trình bày lời giải:
- Lớp nhận xét sữa sai
nếu có

- Ghi nhận kết luận
- Mỗi tổ nhận 1 phiếu học
tập
- HS ghi nhận kết quả và tự
chỉnh s
4)Phương trình
cotx = m
cot x = m (ii), m: số tuỳ ý
ĐKXĐ: sinx
π
kx ≠⇔≠ 0


(
α
là 1 nghiệm phương trình (ii))
- Mỗi phiếu được in thành 4 bản
IV.Củng cố, dặn dò:

- Học sinh nắm vững cách giải các phương trình lượng giác cơ bản, các trường hợp đặc biệt của
phương trình lượng giác cơ bản
- Chuẩn bị các bài tập sách giáo khoa.
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang11
cotgx = m
πα
kx +=⇔
Tuần 04
Tiết PP: 10, 11 LUYỆN TẬP
I. Mục tiêu:
- Ôn lại các kiến thức đã học như hàm số chẵn, hàm số lẻ, GTLN & GTNN,tập xác định và đồ thị các
hàm số lượng giác.
- Nắm vững phương pháp xét tính chẵn, lẻ, tìm tập xác định và các bước vẽ đồ thị
- Thái độ tích cực trong học tập, có tư duy sáng tạo và biết vận dụng phương pháp đã học để giải các bài
tập nâng cao hơn
III.Chuẩn bị:
+ Giáo viên : soạn giáo án , chuẩn bị các bài tập cho học sinh thực hiện
+ Học sinh: chuẩn bị bài cũ, dụng cụ học tập
III. Nội dung và tiến trình lên lớp:
TG Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
10’ + Ổn định lớp
+ Kiểm trra bài cũ:
1/ Nêu phương pháp giải
các pt lượng giác cơ bản:
sinx = a, cos x = a;
+ Ồn định trật tự
+ lên bảng trình bày
LUỴÊN TẬP
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11

Trang12
tanx = m , cotx = m
2/ Giải các phương trình:
a/ sin(x + 15
o
) = 1/2; b/
cos(x + 1) = - 1/2
c/ tan(2x – 1) =
3
d/
cot2x = cot(-
3
1
)
+ Gọi 2 học sinh lên
bảng trình bày
+ Nhận xét và cho điểm
+ Giới thiệu nội dung bài
tập
+ Chú ý theo dõi
10’ - Nêu bài tập 14/ SGK Tr
28
?. Nêu công thức nghiệm
của pt sinx = m, cosx =
m
?. Gọi hs giải câu a) câu
c)
- Quang sát học sinh giải
?.Gọi học sinh nhận xét
- Nhận xét cho điểm

HS trả lời câu hỏi
HS giải bài toán
- Hs nhận xét bài làm của bạn
Bài 14: Tr 28 SGK
a. sin4x = sin
5
π
⇔





+−=
+=
π
π
π
π
π
2
5
4
2
5
4
kx
kx
⇔






+=
+=
2
220
π
π
ππ
kx
kx
(k ∈ Z)
c) cos(x +
18
π
)=
5
2
⇔ x +
18
π
=
±
arccos(
5
2
) + k2 π
⇔ x = −

18
π
±
arccos(
5
2
) + k2 π
20’ - Nêu bài tập 16 Tr 28
SGK
- HD học sinh giải
?. Gọi học sinh lên bảng
giải
- Quang sát học sinh giải
HS giải bài toán
- Hs nhận xét bài làm của bạn
Bài 16: Tr 28 SGK
a/sin2x = -
2
1
với 0< x < π
⇔ sìn2x = sin(-
6
π
)
⇔






+=
+−=
π
π
π
π
2
6
7
2
2
6
2
kx
kx
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang13
?.Gọi học sinh nhận xét
- Nhận xét cho điểm
⇔





+=
+−=
π
π
π

π
kx
kx
12
7
12
( k ∈ Z)
Do x ∈ (0; π ) nên k = 0, k = 1
Vậy nghiệm cần tìm
12
7
;
12
ππ
=−= xx
b) cos ( x – 5) =
2
3
; − π < x < π
ĐS:
6
13
5;
6
11
5
ππ
−=−= xx
20’ - Hướng dẫn học sinh
viết công thức nghiệm

của phương trình dạng:
tanf(x) = tang(x),
cotf(x) = cotg(x)
- Củng cố các công thức
nghiệm của phương trình
lượng giác cơ bản
Trả lời được:
a) x =
35
ππ
k+
b) x = a
0
+ 15
0
+k180
0
với tana
0
=
5
c) x =
2
1
6
+
π
+ k
2
π

d) x = -
6
1
+ k
2
π

e) x = -200
0
+ k720
0
f) x =
330
ππ
k+
Bài 18: ( SGK – T28)
Giải các phương trình sau?
a) tan3x = tan
5
3x
b) tan(x-15
0
) = 5
c) tan(2x – 1) =
3
d) cot2x = cot(-
3
1
)

e) cot(
0
20
4
+
x
) = -
3
f) cot3x = tan
5
2
π
20’ - Hướng dẫn học sinh
viết công thức nghiệm
trong khoảng đã chỉ ra
- Củng cố các công thức
nghiệm của phương trình
lượng giác cơ bản
Trả lời được:
a) Phương trình đã cho có các
nghiệm là: x = - 150
0
x = -60
0
, x = 30
0
b) Phương trình đã cho có các
nghiệm là: x = -
9
4

π
và x = -
9
π

Bài 20: ( SGK – T28)
Tìm nghiệm của các pt sau trong
khoảng đã cho:
a)
tan(2x – 15
0
) = 1 với -180
0
< x < 90
0
b)
cot3x = -
3
1

với -
2
π
< x < 0
10’ HD:
-TH1: B và C nằm khác
phía đối với H
-TH2: B và C nằm cùng
phía đối với H
- Trả lời được:

TH1: Góc B = 45
0
,
góc C
≈

35
0
15’52”
góc A
≈
99
0
44’8”
TH2:
góc B = 135
0
góc C
≈

35
0
15’52”
Bài 22: ( SGK – T28)
Tìm các góc của tam giác ABC
biết AB =
2
cm, AC =
3
cm

và đường cao AH = 1 cm
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang14
góc A
≈
9
0
44’8”
IV. Củng cố, dặn dò:
- Cách giải các ptlg cơ bản: sinx = m, cosx = m; tanx = m; cotx = m
- Giải các bài còn lại
Tuần 04, 05
Tiết PP: 12, 13, 14 §3. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LG ĐƠN GIẢN
I. Mục tiêu:
- Cách giải phương trình bậc 1, 2 đối với 1 hàm số lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc
1, 2 đại số và phương trình lượng giác cơ bản, học sinh nắm được dạng và cách giải phương trình bậc nhất
đối với sinx và cosx, phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx
- Chuyển về dạng phương trình bậc 1,2 đối với 1 hàm số lượng giác
- Đặt ẩn phụ và điều kiện
- Chọn nghiệm thích hợp
- Biết quy lạ về quen, biết định dạng, phát hiện bản chất vấn đề
- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác.
II. Chuẩn bị:
- Giáo viên: Đồ dùng dạy học, bảng phụ, hệ thống câu hỏi và bài tập
-Học sinh: Đồ dùng học tập, đọc trước bài ở nhà
III. Nội dung và tiến trình lên lớp:
T
G
Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
10’ + Ổn định lớp

+ Kiểm tra bài cũ:
Nêu công thức nghiệm của các
pt lượng giác cơ bản dạng đặc
+ Ồn định trật tự
+ lên bảng trình bày
§3. MỘT SỐ DẠNG
PHƯƠNG TRÌNH LG ĐƠN
GIẢN
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang15
biệt
+ Nhận xét và cho điểm
+ Giới thiệu nội dung bài mới + Chú ý theo dõi
25’ ?. Gọi hs cho biết dạng của pt
?. Gọi hs cho biết hướng giải pt
-Nêu VD
-Gợi ý: Có thể chuyển về
phương trìnhbậc nhất theo 1
hàm lượng giác ?
?. Gọi hs cho biết dạng của pt
?. Gọi hs cho biết hướng giải pt
Nêu VD2
Gợi ý: Dạng Phương trình ?
Đặt t = ?
Điều kiện của t?
Nghiệm thích hợp ?
Có thể chuyển về phương trình
theo 1 hàm lượng giác ?
Đặt t = ?
Điều kiện của x và t?

- HS suy nghĩ trả lời các câu hỏi
2 học sinh chỉ ra cách biến đổi và
nêu kết quả
+ 1 học sinh nêu hướng giải
đặt ẩn phụ,điều kiện
1 học sinh chỉ ra các bước giải
Biến đổi vế pt theo tanx hay
cotx .Đưa về pt bậc 2 theo t
1. Phương trình bậc nhất và
bậc hai đối với một HSLG
a) Phương trình bậc nhất đối
với một HSLG
Dạng phương trình và cách
giải
VD: Giải pt:
a. 3tan
2
2x -1 = 0

⇔






±=±=
6
tan
3

3
2tan
π
x

212
ππ
k
x +±=

b. 4cos²6x - 3 = 0

⇔
cos 12x = 1/2

636
ππ
k
x +±=

b)Pt bậc hai với một hàm số
lượn giác
Dạng phương trình và cách giải
Đặt
t = sinx (cosx) :
11 ≤≤− t
t = tan x (cotx) :
Rt
∈
VD 2: Giải pt: a. 2sin²x + 5sinx

- 3 = 0 (1)
t = sinx (
11 ≤≤− t
)
(1)
⇔
2t
2
+ 5 t - 3 = 0
t = -3 (loại), t = 1/2 (nhận)







+=
+=
π
π
π
π
2
6
5
2
6
kx
kx

b. – 2tan3x + cot3x = 1 (1)
t = cot 3x
(1)
⇔
t
2
- t -2 = 0
t = - 1, t = 2







+=
+=
3
2cot
3
1
34
π
ππ
karcx
kx
40’ -Thông qua ví dụ trong sgk yêu
cầu học sinh nêu cách giải
phương trình (1)
- Học sinh nhận xét :

Chia 2 vế của pt(1) cho
22
ba +
(1):
22
ba
a
+
sinx +
22
ba
b
+
2. Pt bậc nhất đối với sinx và
cosx
-Dạng: a.sinx +b.cosx = c với a
hoặc b khác 0
-Phương pháp giải: biến đổi vế
trái thành tích, có dạng
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang16
(
22
ba
a
+
)
2
+ (
22

ba
b
+
)
2
=
?
- Từ đó suy ra điều gì ?
- Điều kiện nào để phương trình
(2) có nghiệm ?
- Phương trình (2) là phương
trình cơ bản đã được học .
Gpt:
3
.sinx - cosx =1
-Học sinh nêu cách làm, lên
bảng giải.
-Học sinh dưới lớp trao đổi bài
giải bình luận .
-Giáo viên củng cố.
-Ngoài cách giải trên, yêu cầu
học sinh phát hiện cách giải
khác.
+Điều kiện nào để (*) có
nghiệm ?
Chú ý:
1) Nếu ta đảo 2 giá trị sin và
cos thì có:

)cos(.

cos.sin.
22
γ
−+
=+
xba
xbxa
2) Có thể thay x bởi ax hoặc
f(x)
3) Ứng dụng để giải phương
trình: a.sinx +b.cosx = c
4) Ứng dụng để tìm GTLN,NN
Ví dụ 5 Gpt:
33cos53sin2 −=+ xx
cosx =
22
ba
c
+
Đặt
22
ba
a
+
= cos
ϕ
suy
ra
22
ba

b
+
= sin
ϕ
- Đưa về pt sin(x+
ϕ
) =
22
ba
c
+
(2)
a
2
+ b
2
≥ c
2
PT ⇔ 2(sinx.cos
6
π
- cosx.sin
6
π
)
= 1
⇔ sinx(x-
6
π
) =

2
1
⇔
Zk
kx
kx
∈




+=
+=
ππ
π
π
2
2
3
-Chia hai vế của phương trình cho
a ( a≠0) rồi đặt
a
b
= tan
ϕ

- Đưa về phương trình sin(x+
ϕ
) =
a

c
cos
ϕ
(*)
(Đây là phương trình cơ bản)
-
1cos ≤
ϕ
a
c
Ta có a=2, b=
5
nên
3
22
=+ ba
, do đó:
)3cos.sin3sin.(cos3
)3cos.
3
5
3sin
3
2
(3
3cos53sin2
xx
xx
xx
ββ

+=
+
=+
3
2
3
23
1)3cos(
3)3cos(.3
π
πβ
ππβ
β
β
k
x
kx
x
xPT
+
+
=⇔
+=−⇔
−=−⇔
−=−⇔
)sin(.
α
+xC
hoặc
)cos(.

β
+xC
để đưa về
phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ 4 Gpt:
3
.sinx - cosx =1
Biến đổi
3
.sinx - cosx =
2.sin(x -
)
6
π
Đưa về pt: sin(x -
)
6
π
=
2
1
= sin
6
π
Nghiệm:
π
/3+k2
π
hoặc
π

+k
2
π
Biến đổi tổng quát
)cossin(
cos.sin.
2222
22
x
ba
b
x
ba
a
baxbxa
+
+
+
+=+
Vì
1)()(
2
22
2
22
=
+
+
+ ba
b

ba
a
nên tồn tại số
α
để:

22
22
sin
;cos
ba
b
ba
a
+
=
+
=
α
α
,do đó:

)sin(.
)cos.sin
sin.(cos
cos.sin.
22
22
α
α

α
++=
++=
+
xba
x
xba
xbxa
30’ - Xem SGK và cho biết :
Phương trình thuần nhất bậc 2
đối với sinx và cosx có dạng
Học sinh trả lời
Nêu cách giải đã biết
2. Phương trình thuần nhất
bậc hai đối với sinx và cosx
Dạng :
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang17
như thế nào ?
-Cách giải ?
2/ Rèn luyện cách giải phương
trình :
Ví dụ 1:
2 2
4sin 5s inxcosx 6 os 0x c x− − =
H. Xét cosx = 0 cho thế vào pt
ta được kết quả gì ?
H. Xét
osx 0c ≠
hãy tiếp tục

tiến trình giải phương trình cho
đến kết quả.

Ví dụ 2:
2
3 sin s inxcosx 0x − =
H. Có thể giải phương trình
theo cách nào khác ngoài cách
đã học? Hãy giải theo cách ấy
Ví dụ 3:
2 2
2sin 5s inxcosx os 2x c x− − = −
H. Có thể quy về phương trình
đã học bằng cách nào? Hãy giải
theo cách ấy.
H. Có thể quy về phương trình
bậc nhất đối với sin2x và cos2x
được không ? Hãy giải phương
trình theo cách này.
Củng cố :
H. Có thể quy về dạng phương
trình bậc hai theo cotx được
không ?
H. Trong dạng (1) có thể quy về
dạng tích khi nào ?
H. Đối với dạng
2 2
asin sinxcosx+cosx b x d+ =
thì đưa về dạng (1) như thế
nào ?

Biến đổi đưa về phương trình
theo tanx
- Giải ví dụ
2 2
2 2 2
asin sinxcosx+cos 0
, , , 0
x b x
a b c a b c
+ =
∈ + + >¡
Cách giải :
Bước 1. Xét cosx = 0 : thế vào
phương trình nếu nghiệm đúng
thì
,
2
x k k
π
π
= + ∈¢
là
nghiệm
Bước 2. Chia hai vế pt cho cos
2
x, ta được dạng :
2
atan t anx+c=0 (2)x b+
mà
ta đã biết cách giải.

+ cosx = 0
⇔
x k
π
π
= +
2
:
không phải là nghiệm của
+ ĐS
arctan2+k
3
arctan -
4
x
x k
π
π
=


 

= +
 ÷

 

+ Đặt sinx làm nhân tử chung ở
VT

+ ĐS:
x k
x k
π
π
π
=



= +
6

* Cách 1:
Bằng cách sử dụng công thức
hạ bậc và công thức nhân đôi
+ ĐS:
1
arctan
4
x k
x k
π
π
π

= +

4


 

= +
 ÷

 

+ Được lúc này phải xét 2
trường hợp sinx =0 và sinx
≠
0
+ Khi a = 0 hay c = 0
+ Viết d = d(sin
2
x + cos
2
x)
30’
- Yêu cầu HS nhắc lại công
thức biến đổi tổng thành tích,
công thức nhân đôi.
- Vận dụng công thức:
sinacosb =
4. Một số ví dụ khác
VD1: Giải phương trình
cosxcos7x = cos3xcos5x (1)
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang18
- Gọi HS lên bảng trình bày lời
giải.

2sin3x cosx = 2sin3x cos3x
⇔ cosx = cos3x
Và như thế đã làm mất nghiệm
của phương trình.
- Tùy theo từng lớp, từng đối
tượng học sinh mà giáo viên
đưa ra gợi ý hay không.
- Yêu cầu HS nhắc lại công
thức hạ bậc (tùy từng đối tượng
HS)
- Nhấn mạnh: công thức hạ bậc
hay được sử dụng để làm giảm
bậc của phương
trình lượng giác bậc cao.
- Yêu cầu HS nêu cách giải
phương trình:
sinf(x) = cosg(x)
- Kiểm tra một số HS về việc tự
giải và kết luận nghiệm.
GV chính xác hóa
- Yêu cầu HS nhắc lại điều kiện
xác định tanx, cotx.
- Chia lớp thành 2 nhóm mỗi
nhóm giải một phương trình.
- Chú ý việc HS kiểm tra các
giá trị của x có thỏa mãn điều
kiện xác định của phương trình
không?
( ) ( )
[ ]

basinbasin
2
1
−++
và sin2a = 2sinacosa
biến đổi phương trình (2) đưa về
tích phương trình tích.
- Giải các phương trình lượng
giác cơ bản và kết luận nghiệm.
- HS trả lời
- HS vận dụng công thức hạ bậc
để biến đổi phương trình (3) về
dạng que thuộc
- Làm việc theo sự phân công của
giáo viên
- Cử đại diện nhóm lên bảng trình
bày lời giải
Giải:
(1) ⇔
cos8x + cos6x = cos8x+cos2x
⇔ cos6x = cos 2x
⇔ 6x = ± 2x + k2π
⇔ x = kπ/2
x = kπ/4
⇔ x = kπ/4
Vậy phương trình đã cho có
nghiệm : x = kπ/4
VD2: Giải phương trình
sin2x + sin4x = sin6x (2)
Giải:

(2)⇔ 2sin3xcosx=2sin3xcos3x
⇔ sin3x (cosx – cos3s) = 0
⇔ -2sin3x sin2xsin (-x) = 0
VD3: Giải phương trình
2cos
2
4x + sin10x = 1 (3)
Pt(3) ⇔ sin10x = 1-2cos
2
4x
⇔ sin10x = cos8x
(HS tự giải và kết luận)
VD 4: Giải pt
a) tanx = tan x/2
b) cot2x = cot (x+π/2)
IV. Củng cố, dặn dò:
- Nhắc lại cách giải phương trình bậc 1,2 đối với 1 hàm số lượng giác.
- Dạng phương trình a.sinu +b.cosu = c và cách giải biến đổi thành tích
- Đọc lại 2 ví dụ ( 1 góc đặc biệt và 1 góc không đặc biệt)
- Làm các bài tập còn lại
- Tại sao không giải phương trình hệ quả:

3
.sinx - cosx =1
⇒
3
.sinx = cosx +1 rồi bình phương 2 vế, đưa về phương trình bậc 2 theo một ẩn ?
1) Nhóm 1: Giải : 4tan
2
x - 5| cot(x + 7

)2/
π
| + 1 = 0
2) Nhóm 2: Giải: cos
4
x + sin
4
x + cos
)4/(
π
−x
sin
)4/3(
π
−x
- 3/2 = 0
HD: 1) t = |tanx|
0≥
=> tanx =
1±
, tanx =
4/1±
2) Đưa về sin
2
2x + sin2x -2 = 0
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang19
ĐS:
ππ
kx += 4/

+
2 2
4sin 5sin os 6 os 0x xc x c x− − =
( Chia cả 2 vế cho sin
2
x)
+
2 2
sin 3 sin os 2 os 1x xc x c x− + =
( Bằng 2 cách)
- Bài tập về nhà : SGK trang 41, 42
Tuần 05, 06
Tiết PP: 15, 16, 17 LUYỆN TẬP
I. Mục tiêu:
- Pt bậc nhất, bậc 2 đối với một hàm số LG
- Luyện kĩ năng giải phương trình lượng giác cần đến biến đổi để đưa về phương trình
cơ bản
- Học sinh nắm được dạng và cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx, phương trình thuần nhất
bậc 2 đối với sinx và cosx
- Củng cố các công thức lượng giác
- Biểu diễn được công thức lên vòng tròn lượng giác và ngược lại
-Suy luận tích cực và tính toán chính xác.
II.Chuẩn bị:
+ Giáo viên : soạn giáo án , chuẩn bị các bài tập cho học sinh thực hiện
+ Học sinh: chuẩn bị bài cũ, dụng cụ học tập
III. Nội dung và tiến trình lên lớp:
TG Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng
15’ + Ổn định lớp
+ Kiểm trra bài cũ:
Gọi học sinh lên bảng chữa bài

tập:
Cho phương trình cos
2
x + 2( 1 -
m )cosx + 2m - 1 = 0
a) Giải phương trình khi m =
1
2
b) Tìm các giá trị của m để
phương trình có 4 nghiệm phân
biệt x ∈ [ 0; 2π ]
+ Nhận xét và cho điểm
+ Giới thiệu nội dung bài tập
+ Ồn định trật tự
+ Lên bảng trình bày
LUỴÊN TẬP
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang20
+ Nhận xét
+ Chú ý theo dõi
10’ - Ôn tập về tính chất của các
hàm số sinx, cosx, về giải
phương trình lượng giác cơ bản
- Cho học sinh thực hành giải
bài tập tại lớp :
Giải phương trình
cos( 8sinx ) = 1
Ta có phương trình cos(2cosx
) =
3

2
, suy ra:
Cosx=
k2 víi k Z
12
π
± + π ∈
.
Do | cosx | ≤ 1 ∀x nên phải
có |
k2
12
π
± + π
| ≤ 1
suy ra k = 0
hay cosx =
12
π
±
từ đó cho
x = ± arccos(
12
π
±
)+ m2π với
m ∈ Z
1. Giải phương trình cos( 8sinx ) =
1
Kết quả: x = mπ,

x = arcsin
4
π
+ n2π,
x = π - arcsin
4
π
+ n2π,
x = arcsin( -
4
π
)+ l2π,
x = π - arcsin( -
4
π
) + l2π
20’ - Hướng dẫn học sinh thực hiện
theo từng bước:
+ Đưa phương trình về dạng cơ
bản
+ Điều kiện có nghiệm của
phương trình để tìm các giá trị
của m
+ Kết luận về nghiệm của
phương trình đã cho
- Ôn tập về giải, biện luận
phương trình ax + b = 0
- Cho học sinh thực hành giải
bài tập: Giải, biện luận phương
trình

m(m +1)cos2x = m
2
- m -
3+m
2
cos2x
KQ: m ∈ [ -
3
; - 1 ] ∪ [
3
; 3 ]
thì
x = ±
2
1 m m 3
arccos k
2 m
 
− −
+ π
 ÷
 
m ∈ ( - ∞ ; -
3
) ∪ ( - 1;
3
)
∪
( 3 ; ∞ ) thì phương trình vô
nghiệm

Viết lại phương trình dưới
dạng:
( 1 - 3m )sinx = 5 (*)
a) Với m =
1
3
(*) vô nghiệm
b) Với m ≠
1
3
(*) ⇔ sinx =
5
1 3m−
(**)
Do
sinx 1 x
≤ ∀
nên phải có
5
1
1 3m
≤
−
giải ra được m ≥
2 hoặc m ≤ -
4
3
lúc đó ta có
các họ nghiệm: x = arcsin
5

1 3m
 
 ÷
−
 
+ k2π hoặc
x = π - arcsin
5
1 3m
 
 ÷
−
 
+ k2π
Với -
4
3
< m < 2 (**) vô
nghiệm
2. Giải biện luận theo m phương
trình:
( 4m - 1 )sinx + 2 = msinx - 3
a) Với m =
1
3
(*) vô nghiệm
b) Với m ≠
1
3
(*) ⇔ sinx =

5
1 3m−
(**)
Do
sinx 1 x≤ ∀
nên phải có
5
1
1 3m
≤
−
giải ra được m ≥ 2
hoặc m ≤ -
4
3
lúc đó ta có các họ
nghiệm:x = arcsin
5
1 3m
 
 ÷
−
 
+ k2π
hoặc x = π - arcsin
5
1 3m
 
 ÷
−

 
+
k2π
Với -
4
3
< m < 2 (**) vô nghiệm
20’ -Nêu bài tập 30 SGK Tr 41
?.Gọi hs lên bảng giải
- Quang sát học sinh giải
- HS giải bài toán
-Nhận xét
Bài 30: Tr 41 SGK
c) 5sin2x – 2 cos2x =
2
ĐS: PT VN
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang21
?. Gọi hs nhận xét
- Nhận xét và cho điểm
-Nêu bài tập 30 SGK Tr 41
?.HD hs giải
- HS lắng nghe và suy nghĩ
trả lời các câu hỏi
Bài 31: SGK Tr 41
15’ - Phát vấn học sinh về điều kiện
có nghiệm của phương trình
( viết dưới dạng hàm hoặc dưới
dạng ẩn, gọn nhất )
- Hướng dẫn học sinh đưa

phương trình về dạng bậc hai
của một hàm lượng giác( Trong
quá trình biến đổi có sử dụng
điều kiện của phương trình )
- Hướng dẫn học sinh yếu loại
nghiệm bằng phương pháp biểu
diễn lên đường tròn lượng giác
- Uốn nẵn cách trình bày lời
giải của học sinh
- Củng cố về giải phương trình
lượng giác
- Cho học sinh thực hành tại
lớp: Giải phương trình:
2 2
4sin 2x 6sin x 9 3cos2x
0
cosx
+ − −
=
KQ: x =
n
3
π
± + π
với n ∈ Z
- Điều kiện của phương trình:

sin2x 0
1
1 cos2x 0

sin2x
≠



 
− ≠

 
 

⇔
sin2x 0
cos2x 0
≠


≠


⇔ sin4x ≠ 0
⇔ x ≠
k
2
π
(2) với k∈Z
- Với điều kiện (2), ta có
phương trình:
cos2x + 3 cotg2x + sin4x = 2(
cotg2x - cos2x )

⇔ 3cos2x + 3 cotg2x + sin4x
= 0
⇔
1
3 2sin2x cos2x 0
sin2x
 
+ + =
 
 
5. giải phương trình:
cos2x 3cotg2x sin 4x
2 (1)
cotg2x cos2x
+ +
=
−
Do điều kiện ( 2 ) nên cos2x ≠ 0
suy ra:

1
3 2sin2x
sin2x
+ +
=0
⇔ 2sin
2
2x + 3sin2x + 1 = 0
⇔
sin2x 1

1
sin2x
2
= −



= −

lại do
( 2 ) nên loại sin2x = -1 lấy sin2x
= -
1
2
cho các họ nghiệm
x k
12
5
x k
12
π

=− + π


π

=− + π



với k ∈
Z
10’ - Hướng dẫn học sinh biểu diễn
điều kiện cos x ≥ 0 và các cung
lượng giác
x =
5
k2 ;x k2
6 6
π π
+ π = + π

trên vòng tròn lượng giác
- Củng cố về biểu diễn nghiệm
của bất phương trình lượng giác
cơ bản
( Bài đọc thêm - SGK )-
Từ phương trình đã cho giải
ra được:

sinx 3 (lo¹i)
1
sinx =
2
=




- Dùng vòng tròn lượng giác

biểu diễn điều kiện cos x ≥ 0
và x =
5
k2 ;x k2
6 6
π π
+ π = + π
để
lấy nghiệm của bài toán là x
=
k2
6
π
+ π
; k ∈ Z
6. Tìm các nghiệm của phương
trình 1 - 5sinx + 2 cos
2
x = 0 thỏa
mãn điều kiện cosx ≥ 0
- Dùng vòng tròn lượng giác biểu
diễn điều kiện cos x ≥ 0 và x =
5
k2 ; x k2
6 6
π π
+ π = + π
để lấy
nghiệm của bài toán là x =
k2

6
π
+ π
; k ∈ Z
- Chia nhóm để học sinh thảo
luận đưa ra bài giải
- Với phương trình:
cos2x ± sin2x = - 1
có thể áp dụng thuật toán giải
mà học sinh đã được học, cũng
có thể áp dụng công thức lượng
giác:
+ Thảo luận theo nhóm:
Khi đó (2) ⇔ cos2x ± sin2x
= - 1
⇔ 2cos
2
x - 1 ±
sin2x = - 1
⇔ ( cosx ± 2sinx
)cosx = 0 cho:
7. Giải phương trình:
2cos
2
2
cos x
2
π
 
 ÷

 
= 1 + cos
( )
sin2x
π
(1)
(1) ⇔ 1 + cos( πcos
2
x ) = 1 + cos
( )
sin2x
π
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang22
cosa + sina =
2 cos a
4



ữ

cosa - sina =
2 cos a
4


+
ữ

- Un nn cỏch trỡnh by li
gii ca hc sinh
Hoc cosx = 0 x =
k
2

+

k Z
+ Trỡnh by bi gii ca
nhúm
cos
2
x =
sin2x k2 +

k Z
cos
2
x = sin2x + 2k

1
2
( 1 + cos2x) = sin2x +
2k hay: cos2x 2 sin2x = 4k - 1
( 2 )
(1) cú nghim (2) cú nghim
(4k - 1)
2
1

2
+
2
2
= 5
16x
2
- 8k - 4 0 k = 0
( do k Z )
Hoc cosx 2sinx = 0 tgx =
0,5 cho:
10
Hãy nêu đờng lối chung để giải
phơng trình lợng giác
( Tìm cách đa về phơng trình cơ
bản để viết công thức nghiệm )
Hãy nêu các phơng pháp thờng
dùng để loại nghiệm ( xét điều
kiện ) khi giải phơng trình lợng
giác ?
- Uốn nẵn cách trình bày lời
giải của học sinh
- Củng cố về giải phơng trình l-
ợng giác
Giải phơng trình:
1 sin3x
1 2sin2x
cosx
+
= +

- Điều kiện xác định của ph-
ơng trình: cosx 0
- Do 2sin2x.cosx = sin3x +
sinx nên ta có phơng trình: 1
+ sin3x = cosx + sin3x + sinx
Hay, ta có:
sinx + cosx = 1 cos( x
+ 45
0
) =
2
2
Từ đó, suy ra:
x = k2 hoặc x = - 90
0
+
k2 với k Z
Lại do điều kiện cosx 0 nên
ta chỉ lấy x = k2
8. Giải phơng trình:
1 sin3x
1 2sin2x
cosx
+
= +
10
- Ôn tập về tính chất của các
hàm số sinx, cosx, về giải ph-
ơng trình lợng giác cơ bản
- Cho học sinh thực hành giải

bài tập tại lớp :
Giải phơng trình :
cos( 8sinx ) = 1
Kết quả: x = m, x = arcsin
4


+ n2, x = - arcsin
4

+ n2,
x = arcsin( -
4

)+ l2,
x = - arcsin( -
4

) + l2
Ta có phơng trình
cos( 2cosx ) =
3
2
, suy ra:
x=
k2 với k Z
12

+
.

Do | cosx | 1 x nên phải có
|
k2
12

+
| 1
suy ra k = 0 hay cosx =
12


từ đó cho x = arccos(
12


) + m2 với m Z
9. Giải phơng trình:
2cos( 2cosx ) =
3
Gii pt
cos( 2cosx ) =
3
2
,
Giỏo ỏn lp 11 nõng cao i s & Gii tớch 11
Trang23
10
dạng hàm hoặc dới dạng ẩn,
gọn nhất )
- Hớng dẫn học sinh đa phơng

trình về dạng bậc hai của một
hàm lợng giác( Trong quá trình
biến đổi có sử dụng điều kiện
của phơng trình )
- Hớng dẫn học sinh yếu loại
nghiệm bằng phơng pháp biểu
diễn lên đờng tròn lợng giác
- Uốn nẵn cách trình bày lời
giải của học sinh
- Củng cố về giải phơng trình l-
ợng giác
- Cho học sinh thực hành tại
lớp: Giải phơng trình:
2 2
4sin 2x 6sin x 9 3cos2x
0
cosx
+
=
KQ: x =
n
3

+
với n Z
- Điều kiện của phơng trình:

sin2x 0
1
1 cos2x 0

sin2x












sin2x 0
cos2x 0





sin4x
0 x
k
2

( 2 ) với k
Z
- Với điều kiện (2), ta có ph-
ơng trình:
cos2x + 3 cot2x + sin4x =

2( cot2x - cos2x )
3cos2x + 3 cot2x + sin4x
= 0

1
3 2sin2x cos2x 0
sin2x

+ + =


. Do điều kiện ( 2 ) nên
cos2x 0 suy ra:
1
3 2sin2x
sin2x
+ +
=0
2sin
2
2x + 3sin2x
+ 1 = 0

sin2x 1
1
sin2x
2
=

=


lại do ( 2 ) nên loại sin2x = -1
lấy sin2x = -
1
2
cho các họ
nghiệm
x k
12
5
x k
12


= +




= +



10. Giải phơng trình:
cos2x 3cot g2x sin 4x
2 (1)
cot g2x cos2x

+ +
=

15
- Hớng dẫn học sinh thực hiện
theo từng bớc:
+ Đa phơng trình về dạng cơ
bản
+ Điều kiện có nghiệm của ph-
ơng trình để tìm các giá trị của
m
+ Kết luận về nghiệm của ph-
ơng trình đã cho
- Ôn tập về giải, biện luận ph-
ơng trình ax + b = 0
- Viết lại phơng trình dới
dạng:
( 1 - 3m )sinx = 5 (*)
a) Với m =
1
3
(*) vô nghiệm
b) Với m
1
3
(*) sinx =
11
Giải biện luận theo m phơng
trình: ( 4m - 1 )sinx + 2 = msinx
3

( 1 - 3m )sinx = 5 (*)
a) Với m =
1
3
(*) vô nghiệm
Giỏo ỏn lp 11 nõng cao i s & Gii tớch 11
Trang24
5
1 3m−
(**)
Do
sinx 1 x≤ ∀
nªn ph¶i
cã
5
1
1 3m
≤
−
gi¶i ra ®îc m
≥ 2 hoÆc m ≤ -
4
3
lóc ®ã ta cã
c¸c hä nghiÖm: x = arcsin
5
1 3m
 
 ÷
−

 
+ k2π hoÆc
x = π - arcsin
5
1 3m
 
 ÷
−
 
+ k2π
Víi -
4
3
< m < 2 (**) v«
nghiÖm
b) Víi m ≠
1
3
(*) ⇔ sinx =
5
1 3m−
(**)
Do
sinx 1 x≤ ∀
nªn ph¶i cã
5
1
1 3m
≤
−

gi¶i ra ®îc m ≥ 2
hoÆc m ≤ -
4
3
lóc ®ã ta cã c¸c hä
nghiÖm: x = arcsin
5
1 3m
 
 ÷
−
 
+
k2π hoÆc
x = π - arcsin
5
1 3m
 
 ÷
−
 
+ k2π
Víi -
4
3
< m < 2 (**) v« nghiÖm
b/ m(m +1)cos2x = m
2
- m – 3 +
m

2
cos2x
KQ: m ∈ [ -
3
; - 1 ] ∪ [
3
;
3 ] th×
x=±
2
1 m m 3
arccos k
2 m
 
− −
+ π
 ÷
 
IV. Củng cố, dặn dò:
- Cách giải và biện luận pt
- Cách giải pt bậc nhất, bậc 2 đối với một hàm số LG
- Cách giải pt bậc nhất đối với sinx và cosx
Giáo án lớp 11 nâng cao Đại số & Giải tích 11
Trang25