Các khái niệm cơ bản về đa thức một biến

Chun đề BDHSG THPT Chun Nguyễn Quang Diêu

1


Chuyên đề:

ĐA THỨC

Huỳnh Chí Hào – THPT Chun NQD

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC

Đa thức : (Đa thức một biến)
1. Đònh nghóa: Đa thức bậc n theo x (n
∈

) là biểu thức có dạng

n n 1
n n 1 1 0
f(x) a x a x a x a
−
−
= + + + +
với
n
a 0
≠

Các số

0 1 n
a ,a , ,a
gọi là các hệ số , n gọi là bậc của đa thức f(x)
Ví dụ:
3 2
f(x) 2x 9x 12x 4
= − + −
là đa thức bậc ba

2. Đa thức đồng nhất:
a) Đa thức đồng nhất:
Đònh nghóa : Đa thức đồng nhất là những đa thức luôn luôn có cùng giá trò với bất cứ giá trò
nào của biến số
• Nếu f(x) và g(x) là hai đa thức đồng nhất ta ký hiệu :
f(x) g(x)
≡



[
]
[
]
f(x) g(x) x :f(x) g(x)
≡ ⇔ ∀ ∈ =



b) Đa thức đồng nhất không:
Đònh nghóa : Đa thức đồng nhất không là những đa thức luôn luôn bằng 0 với bất cứ giá trò nào

của biến số
• Nếu f(x) đa thức đồng nhất không ta ký hiệu :
f(x) 0
≡



   
≡ ⇔ ∀ ∈ =
   

f(x) 0 x :f(x) 0

Hệ quả:
n
n 1
n n 1
n n 1 1 0
0
a 0
a 0
.
f(x) a x a x a x a 0
.
.
a 0
−
−
−
=



=



= + + + + ≡ ⇔




=



Ví dụ 1: Tìm các hệ số a, b để đa thức
4 3 2
f(x) x 2x ax 2x b
= + + + +
là bình phương của một đa thức
Bài giải:
Giả sử

(
)
2
4 3 2 2
x 2x ax 2x b x mx n
+ + + + = + +
với mọi x

4 3 2 4 2 2 2 3 2
x 2x ax 2x b x m x n 2mx 2nx 2mnx
⇒ + + + + = + + + + +
với mọi x
(
)
(
)
(
)
3 2 2 2
2m 2 x m 2n a x 2mn 2 x n b 0
⇒ − + + − + − + − =
với mọi x
Áp dụng định lý về đa thức đồng nhất khơng ta được:
Chun đề BDHSG THPT Chun Nguyễn Quang Diêu

2


2
2
2m 2 0
m 2n a 0
2mn 2 0
n b 0

− =





+ − =




 − =




− =




Giải hệ ta được:
m 1
n 1
a 3
b 1

=




=




=




=



. Vậy khi
a 3; b 1
= =
thì
(
)
2
4 3 2 2
x 2x 3x 2x 1 x x 1
+ + + + = + +

Ví dụ 2:
Bài 1: Tìm các số
,
α β
sao cho

(
)

(
)
3 1 1
x x x
α β
− + = + + −

Bài 2: Tìm các số
, ,
α β γ
sao cho

( )
(
)
2
2 2
10 3 1 6 1 3x x x x
α β λ
+ + = + + + +

Bài 3: Tìm các số
, ,
α β γ
sao cho

( ) ( )
2
2
3 8 5 2 1 1x x x x

α β λ
− + = − + − +


Bài 4: Tìm các số
, ,
α β γ
sao cho

( ) ( )
2
2
2 11 21 4 4 4 4x x x x
α β λ
− + = − + − +

Bài 5: Tìm các số A, B, C sao cho

2
3 2
2 5 3
1 2
2
x x A B C
x x x
x x x
− −
= + +
− +
+ −

Bài 6: Tìm các số A, B, C sao cho

( )
2
3 2
3 3 3
1 2
3 2
1
x x A B C
x x
x x
x
+ +
= + +
− +
− +
−


3. Nghiệm của đa thức:
• Nếu khi x = a đa thức f(x) có giá trò bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của f(x)

[ ] [ ]
đn
a là một nghiệm của f(x) f(a) 0
⇔ =

4. Phép chia đa thức:
Đònh lý: Cho hai đa thức f(x) và g(x) khác không. Tồn tại duy nhất đa thức q(x) và r(x) sao cho

f(x) g(x).q(x) r(x)
= +

Trong đó
r(x) 0 hoặc r(x) 0 và bậc của r(x) nho
û hơn bậc của g(x)
= ≠

Đa thức g(x) gọi là thương và đa thức r(x) gọi là dư của phép chia f(x) cho g(x)

Ví du 1ï: Tìm thương và dư của phép chia đa thức
3 2
f(x) 2x 9x 12x 4
= − + −
cho đa thức
x 1
−

Ví dụ 2: Cho đa thức
4 3 2
f(x) x 3x bx ax b
= − + + +
và
2
g(x) x 1
= −

Tìm a và b để f(x) chia hết cho g(x).
Bài giải:
Vì
f(x) g(x)

nên ta có thể giả sử rằng
(
)
2
f(x) x 1 .q(x)
= −
(1) với mọi x
Thay
x 1
=
vào hai vế của (1) ta được:
f(1) 1 3 b a b 0 a 2b 2 (2)
= − + + + = ⇒ + =

Chun đề BDHSG THPT Chun Nguyễn Quang Diêu

3

Thay
x 1
= −
vào hai vế của (1) ta được:
f( 1) 1 3 b a b 0 a 2b 4 (3)
− = + + − + = ⇒ − + = −

Từ (2) và (3) ta suy ra được
1
a 3;b
2
= = −

5. Đònh lý BEZOUT (Bơ -Du) (1739 - 1783)
Đònh lý BEZOUT:
Đònh lý: Trong phép chia f(x) cho (x - a) thì số dư là R = f(a)
Chứng minh:
Chia đa thức f(x) cho (x - a), giả sử được thương là g(x) và dư là hằng số R. Ta có:

( )
f(x) x a g(x) R
= − +
với mọi x
Do đó với x = a thì
f(a) 0.g(a) R R f(a)
= + ⇒ =
(đpcm)

Hệ quả:
[
]
f(x) chia hết cho (x a) f(a) 0
− ⇔ =
 
 

Hệ quả: Đa thức f(x) có nghiệm là a khi và chỉ khi f(x)

(x-a)


[
]
[
]
f(a) = 0 f(x) = (x a).g(x), trong đó g(x
) là một đa thức
⇔ −

6. Sơ đồ HOOCNE Horner 1786 - 1837)
Để tính các hệ số của đa thức thương và dư của phép chia đa thức

n n 1
n n 1 1 0
f(x) a x a x a x a
−
−
= + + + +
cho (x - a) ta có thể dùng sơ đồ HOOCNE sau đây


n
a

n 1
a

−

n 2
a
−


1
a

a
0
a
n
b

n 1
b
−

n 2
b
−


1
b

0
b

Trong đó:

n n
n 1 n n 1
n 2 n 2 n 2
0 1 0
b a
b a.b a
b a.b a
.
.
.
b a.b a
− −
− − −
=
= +
= +
= +

Khi đó:
− −
−
• = − +
• = + + +
• =
n 1 n 2
n n 1 1

0
f(x) (x a).g(x) r
Thương là : g(x) b x b x b
Dư là : r b

Ví dụ 1: Tìm thương và dư của phép chia đa thức
3 2
f(x) 2x 9x 12x 4
= − + −
cho đa thức
x 1
−

Ví dụ 2: Tìm thương và dư của phép chia đa thức
4 2
f(x) 2x 3x 4x 5
= − + −
cho đa thức
x 1
+


7. Phân tích đa thức ra thừa số
Định lý: Giả sử đa thức
n n 1
n n 1 1 0 n
f(x) a x a x a x a (a 0)
−
−
= + + + + ≠

có n nghiệm là
1 2 n
x , x , , x
thì

(
)
(
)
(
)
n 1 2 n
f(x) a x x x x x x
= − − −

Ví dụ: Phân tích đa thức
3 2
f(x) x 9x 11x 21
= + + −
thành nhân tử

Chuyên đề BDHSG THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu

4



MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC

Bài 1: Giải các phương trình
1)
4 3 2
2 6 5 3 2 0
x x x x
− + − + =

2)
4 3 2
2 3 16 3 2 0
x x x x
+ − + + =

3)
4 3 2
4 3 2 6 0
x x x x
− + + − =

4)
5 4 2
9
13 22 8 0
2
x x x x
− + − + =

5)
5 4 3 2
11 25 14 0

x x x x x
− − − + − =


Bài 2: Giải phương trình

2
3
2 11 21 3 4 4 0
x x x
− + − − =


Bài 3: Giải phương trình

2
3 2 1 1 3 1
x x x x
− + = − − + + −



Bài 4: Giải phương trình

( )
2 2
10 3 1 6 1 3
x x x x
+ + = + +

Hết