bài giảng Phần tử hữu hạn

Phơng Pháp Phần Tử Hũ Hạn
Phơng Pháp Phần Tử Hũ Hạn
(PPPTHH)
(PPPTHH)
Finite Element Method (FEM)
Finite Element Method (FEM)
Trờng
Trờng
đ
đ
ại học GTVT
ại học GTVT
Bộ môn Sức Bền Vật Liệu
Bộ môn Sức Bền Vật Liệu
LƯƠNG Xuân Bính
LƯƠNG Xuân Bính

Cấu trúc môn học
Cấu trúc môn học
Phần 1. Bổ trợ kiến thức về CHVRBD
Phần 1. Bổ trợ kiến thức về CHVRBD
Phần 2. Lý thuyết PPPTHH
Phần 2. Lý thuyết PPPTHH
Chơng 1. Vấn đề chung
Chơng 1. Vấn đề chung
Chơng 2. Tính hệ thanh
Chơng 2. Tính hệ thanh
Chơng 3. Bài toán phẳng
Chơng 3. Bài toán phẳng
Chơng 4. Bài toán đối xứng trục

Chơng 4. Bài toán đối xứng trục
Chơng 5. Bài toán không gian
Chơng 5. Bài toán không gian
Chơng 6. Tấm mỏng chịu uốn
Chơng 6. Tấm mỏng chịu uốn
Chơng 7. Vỏ mỏng
Chơng 7. Vỏ mỏng
Chơng 8. Bài toán động lực học và bài toán ổn định
Chơng 8. Bài toán động lực học và bài toán ổn định


Phần 3. Thực hành tính toán trên máy tính
Phần 3. Thực hành tính toán trên máy tính
Báo cáo và Bài tập lớn (
Báo cáo và Bài tập lớn (
hạn nhận: 15/09/2008
hạn nhận: 15/09/2008
)
)
đ
đ
ánh giá: Báo cáo và BTL: 30%; thi: 70%
ánh giá: Báo cáo và BTL: 30%; thi: 70%

Tµi liÖu tham khaá
Tµi liÖu tham khaá
B¾t buéc:
B¾t buéc:
PP PTHH, NguyÔn Xu©n Lùu, NXB GTVT, 2007
PP PTHH, NguyÔn Xu©n Lùu, NXB GTVT, 2007

Tham khaá:
Tham khaá:
1. PP PTHH, Hå Anh TuÊn, TrÇn Binh, NXB KHKT, 1978
1. PP PTHH, Hå Anh TuÊn, TrÇn Binh, NXB KHKT, 1978
2. PP PTHH, Chu Quèc Th¾ng, NXB KHKT, 1997
2. PP PTHH, Chu Quèc Th¾ng, NXB KHKT, 1997
3. The Finite Element Method, Zienkiewicz O.C., Mc Graw -
3. The Finite Element Method, Zienkiewicz O.C., Mc Graw -
Hill London 1977
Hill London 1977
4. The Finite Element Method, Alan J. Davies,
4. The Finite Element Method, Alan J. Davies,
Clarendon Press 1980
Clarendon Press 1980

Kiến thức bổ trợ
Kiến thức bổ trợ
Cơ học vật rắn biến dạng:
Cơ học vật rắn biến dạng:
SBVL, CHKC, LT
SBVL, CHKC, LT
đ
đ
H, LTDẻo, CHMTLT
H, LTDẻo, CHMTLT
Toán học:
Toán học:
PhIơng trinh vi phân, đạo hàm riêng, tích phân,
PhIơng trinh vi phân, đạo hàm riêng, tích phân,
tích phân số, các phép tính ma trận, giaỉ hệ phIơng trinh.

tích phân số, các phép tính ma trận, giaỉ hệ phIơng trinh.
Tin học:
Tin học:
Một ngôn ngũ lập trinh (Visual C++, Visual Basic, Delphi,
Một ngôn ngũ lập trinh (Visual C++, Visual Basic, Delphi,
Fortran, Math LAB, Math CAD) hoặc tính toán trên Excel
Fortran, Math LAB, Math CAD) hoặc tính toán trên Excel

Bổ trợ về Cơ học vật rắn biến dạng
Bổ trợ về Cơ học vật rắn biến dạng
Véc tơ ứng suất:
Véc tơ ứng suất:


{ }
{ }
T
zxyzxyzyx
=
Véc tơ biến dạng:
Véc tơ biến dạng:


{ }
{ }
T
zxyzxyzyx
=
Quan hệ biến dạng - chuyển vị:
Quan hệ biến dạng - chuyển vị:

x
w
z
u
;
z
w
z
v
y
w
;
y
v
y
u
x
v
;
x
u
zxz
yzy
xyx


+

=


=


+


=


=


+


=


=

=

w
v
u
x
0
z
yz
0
0
xy
z
00
0
y
0
00

x
zx
yz
xy
z
y
x
Hay
{ }
[ ]
{ }
f=
(ChIơng 3 SBVL, ChIơng 1+2 LT
(ChIơng 3 SBVL, ChIơng 1+2 LT
đ
đ
H)
H)

Bổ trợ về Cơ học vật rắn biến dạng
Bổ trợ về Cơ học vật rắn biến dạng
Quan hệ ứng suất - biến dạng (
Quan hệ ứng suất - biến dạng (
đ
đ
ịnh luật Hooke):
ịnh luật Hooke):


( )

[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
( )
( )
zxzxzx
yzyzyz
xyxyxy
yxzz
xzyy
zyxx
E
12
G
1
E
12
G
1
E
12
G
1
E
1
E
1

E
1

+
==

+
==

+
==
+=
+=
+=
{ }
[ ]
{ }
= C
[ ]
( )
( )
( )

+
+
+



=
1200000
0120000
0012000
0001
0001
0001
E
1
C
[C] - Ma trận các hệ số đàn hồi

Bổ trợ về Cơ học vật rắn biến dạng
Bổ trợ về Cơ học vật rắn biến dạng
Hay
{ }
[ ]
{ }
= D
[ ]
( )( )
( )
( )
( )

+
=
2
21
00000
0
2
21
0000
00
2
21
000
0001
0001
0001
211
E

D
[D] - Ma trận các hệ số đàn hồi

Bổ trợ về Cơ học vật rắn biến dạng
Bổ trợ về Cơ học vật rắn biến dạng
đ
đ
iều kiện biên (
iều kiện biên (
đ
đ
KB)
KB)


S
đ
S
p
đ
đ
KB động học:
KB động học:
trên S
trên S
đ
đ
có
có
u = v = w =0

u = v = w =0
đ
đ
KB tĩnh học:
KB tĩnh học:
Trên S
Trên S
p
p
có taỉ trọng {p}
có taỉ trọng {p}
Trên S
Trên S
t
t
- S
- S
p
p
không có taỉ trọng hay
không có taỉ trọng hay
{p} = {0}
{p} = {0}


S
t

Bổ trợ về Cơ học vật rắn biến dạng
Bổ trợ về Cơ học vật rắn biến dạng

Cách giaỉ bài toán CHVRBD
Cách giaỉ bài toán CHVRBD
Giaỉ theo chuyển vị:
Giaỉ theo chuyển vị:
Chọn các thành phần chuyển vị làm ẩn
Chọn các thành phần chuyển vị làm ẩn
Giaỉ theo ứng suất:
Giaỉ theo ứng suất:
Chọn các thành phần ứng suất làm ẩn
Chọn các thành phần ứng suất làm ẩn
Giaỉ hỗn hợp:
Giaỉ hỗn hợp:
Chọn một số các thành phần chuyển vị và một số
Chọn một số các thành phần chuyển vị và một số
ứng suất làm ẩn
ứng suất làm ẩn

Bổ trợ về Cơ học vật rắn biến dạng
Bổ trợ về Cơ học vật rắn biến dạng
Cách giaỉ bài toán CHVRBD
Cách giaỉ bài toán CHVRBD
Phơng Pháp
PP Giaỉ tích PP Số
PP đúng
PP gần đúng
(các PP biến phân)
Các PP số giaỉ
gần đúng các PTVF
PP PTHH
Mô hinh chuyển vị

Mô hinh ứng suất
Mô hinh hỗn hợp
PP Sai phân HH
PP Tích phân số
1. Trong nhóm PP Số còn nhũng PP nào nũa?
2. Hãy nêu sự khác nhau chính giũa PP SFHH và PP PTHH?
1. Trong nhóm PP Số còn nhũng PP nào nũa?
2. Hãy nêu sự khác nhau chính giũa PP SFHH và PP PTHH?

Phơng Pháp PTHH
Phơng Pháp PTHH
Chơng 1. Vấn đề chung
Chơng 1. Vấn đề chung
Chơng 2. Tính hệ thanh
Chơng 2. Tính hệ thanh
Chơng 3. Bài toán phẳng
Chơng 3. Bài toán phẳng
Chơng 4. Bài toán đối xứng trục
Chơng 4. Bài toán đối xứng trục
Chơng 5. Bài toán không gian
Chơng 5. Bài toán không gian
Chơng 6. Tấm mỏng chịu uốn
Chơng 6. Tấm mỏng chịu uốn
Chơng 7. Vỏ mỏng
Chơng 7. Vỏ mỏng
Chơng 8. Bài toán động lực học và bài toán ổn định
Chơng 8. Bài toán động lực học và bài toán ổn định

Ph¬ng Ph¸p PTHH
Ph¬ng Ph¸p PTHH
Ch¬ng 1. VÊn ®Ò chung
Ch¬ng 1. VÊn ®Ò chung
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH
1.2 Hµm chuyÓn vÞ. Hµm d¹ng
1.2 Hµm chuyÓn vÞ. Hµm d¹ng
1.3 Ph¬ng trinh c¬ ban cña PP PTHH
1.3 Ph¬ng trinh c¬ ban cña PP PTHH
1.4 Trinh tù tÝnh kÕt cÊu theo PP PTHH
1.4 Trinh tù tÝnh kÕt cÊu theo PP PTHH

PP PTHH - Ch¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
PP PTHH - Ch¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH
Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số
để giải các bài toán được mô tả bởi
các phương trình vi phân riêng phần
cùng với các điều kiện biên cụ thể.
Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa
các miền liên tục phức tạp của bài toán.
Các miền liên tục được chia thành nhiều
miền con (phần tử). Các miền này được liên kết với nhau
tại các điểm nút. Trên miền con này, dạng biến phân
tương đương với bài toán được giải xấp xỉ dựa trên
các hàm xấp xỉ trên từng phần tử, thoả mãn điều kiện
trên biên cùng với sự cân bằng và liên tục giữa các phần tử.

Ứng dụng
Phương pháp Phần tử hữu hạn thường được dùng trong
các bài toán Cơ học (cơ học kết cấu, cơ học môi trường liên tục)
để xác định trường ứng suất và biến dạng của vật thể.
Lịch sử
PPPTHH được bắt nguồn từ những yêu cầu giải các bài toán
phức tạp về lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu trong xây dựng
và kỹ thuật hàng không. Nó được bắt đầu phát triển bởi
Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1942).
Sự phát triển chính thức của PPPTHH được bắt đầu vào nửa
sau những năm 1950 trong việc phân tích kết cấu khung máy bay
và công trình xây dựng, và đã thu được nhiều kết quả ở Berkeley.
PP PTHH - Ch¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
PP PTHH - Ch¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH

Các phần mềm thương mại cho PPPTHH:
ABAQUS, ANSYS, LS-DYNA, Nastran, Marc,
COMSOL Multiphysics, SAP2000,
MIDAS, STAAP PRO, ETABS, PLAXIS
3. Hãy cho bi t tên và các ch c năng c b n cũng nh u nh c đi m ế ứ ơ ả ư ư ượ ể
c a nhũng ph n m m th ng m i ng d ng PP PHH ủ ầ ề ươ ạ ứ ụ ?
3. Hãy cho bi t tên và các ch c năng c b n cũng nh u nh c đi m ế ứ ơ ả ư ư ượ ể
c a nhũng ph n m m th ng m i ng d ng PP PHH ủ ầ ề ươ ạ ứ ụ ?
PP PTHH - Ch¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
PP PTHH - Ch¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH

M« hinh rêi r¹c hãa kÕt cÊu
M« hinh rêi r¹c hãa kÕt cÊu
PP PTHH - Ch¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
PP PTHH - Ch¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH

M« hinh rêi r¹c hãa kÕt cÊu
M« hinh rêi r¹c hãa kÕt cÊu
PP PTHH - Ch¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
PP PTHH - Ch¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH

M« hinh rêi r¹c hãa kÕt cÊu
M« hinh rêi r¹c hãa kÕt cÊu
PP PTHH - Ch¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
PP PTHH - Ch¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH

Chi tiÕt kÕt cÊu M« hinh phÇn tö
M« hinh phÇn tö
M« hinh phÇn tö
PP PTHH - Ch¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
PP PTHH - Ch¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH

Chi tiÕt kÕt cÊu

M« hinh phÇn tö
Chi tiÕt kÕt cÊu
M« hinh phÇn tö
M« hinh phÇn tö
M« hinh phÇn tö
PP PTHH - Ch¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
PP PTHH - Ch¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH

Phần tử đặc biệt
Phần tử
có vết nứt
Phần tử
vô hạn
Phần tử
ban rang lIợc
Mô hinh phần tử
Mô hinh phần tử
PP PTHH - Chơng 1. Các vấn đề chung
PP PTHH - Chơng 1. Các vấn đề chung
1.1 Khái niệm PP PTHH
1.1 Khái niệm PP PTHH

Siªu phÇn tö
M« hinh phÇn tö
M« hinh phÇn tö
PP PTHH - Ch¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
PP PTHH - Ch¬ng 1. C¸c vÊn ®Ò chung
1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH

1.1 Kh¸i niÖm PP PTHH

Hàm xấp xỉ (
Hàm xấp xỉ (
đ
đ
a thức xấp xỉ) (Hàm chuyển vị)
a thức xấp xỉ) (Hàm chuyển vị)
PP PTHH - Chơng 1. Các vấn đề chung
PP PTHH - Chơng 1. Các vấn đề chung
1.2 Hàm xấp xỉ. Hàm dạng
1.2 Hàm xấp xỉ. Hàm dạng
Khái niệm
Khái niệm
HXX
HXX
là hàm mô ta gần đúng một đại lIợng nào đó của
là hàm mô ta gần đúng một đại lIợng nào đó của
các điểm trong phần tử
các điểm trong phần tử
ThIờng là dạng đa thức >
ThIờng là dạng đa thức >
đa thức xấp xỉ
đa thức xấp xỉ
PhIơng pháp chuyển vị (lấy chuyển vị làm ẩn) >
PhIơng pháp chuyển vị (lấy chuyển vị làm ẩn) >
Hàm chuyển vị
Hàm chuyển vị
Dạng thức
Dạng thức

Bậc, số lIợng các số hạng phụ thuộc vào
Bậc, số lIợng các số hạng phụ thuộc vào
bậc tự do của phần tử
bậc tự do của phần tử
đ
đ
iều kiện
iều kiện
Hội tụ
Hội tụ

Hàm xấp xỉ (
Hàm xấp xỉ (
đ
đ
a thức xấp xỉ) (Hàm chuyển vị)
a thức xấp xỉ) (Hàm chuyển vị)
PP PTHH - Chơng 1. Các vấn đề chung
PP PTHH - Chơng 1. Các vấn đề chung
1.2 Hàm xấp xỉ. Hàm dạng
1.2 Hàm xấp xỉ. Hàm dạng
Các dạng xấp xỉ
Các dạng xấp xỉ
x
a b
f
phần tử
f(a)
f(b)
f

thực
f(x) =
1
2
)b(f)a(f
1
+
=
Xấp xỉ hằng số
Xấp xỉ hằng số
a b
f
x
phần tử
f(a)
f(b)
f
thực
f(x) =
1
+
2
x
Xấp xỉ tuyến tính
Xấp xỉ tuyến tính
a b
f
x
phần tử
f(a)

f(b)
f
thực
f(x) =
1
+
2
x+
3
x
2
Xấp xỉ bậc hai
Xấp xỉ bậc hai

Hàm dạng
Hàm dạng
PP PTHH - Chơng 1. Các vấn đề chung
PP PTHH - Chơng 1. Các vấn đề chung
1.2 Hàm xấp xỉ. Hàm dạng
1.2 Hàm xấp xỉ. Hàm dạng
y
z
x
i j
u
i
u
j
u(x)
x

Véc tơ chuyển vị nút và lực nút của phần tử
Véc tơ chuyển vị nút và lực nút của phần tử
{ }






=








=
j
i
j
i
e
u
u
u(x) =
1
+
2

x
{ }
[ ] [ ]
{ }
=








= Q
2
x1f
1
Véc tơ chuyển vị của 1 điểm trong phần tử
Véc tơ chuyển vị của 1 điểm trong phần tử
{ }
[ ]
{ }
=

=






= C
a1
01
u
u
2
1
j
i
e
a
{ }
[ ]
{ }
e1
C =

{ }
[ ][ ]
{ }
[ ]
{ }
ee1
NCQf ==

[N]-Ma trận hàm dạng
U
i
U
j
{ }






=
j
i
e
U
U
F